Устойчивые итерационные методы градиентного типа для решения нерегулярных нелинейных операторных уравнений тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.07, кандидат физико-математических наук Козлов, Александр Иванович

• Козлов, Александр Иванович
• кандидат физико-математических наук
• 2004

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Козлов, Александр Иванович

ВВЕДЕНИЕ.

А ГЛАВА I. УСТОЙЧИВЫЕ ИТЕРАЦИОННЫЕ

МЕТОДЫ ДЛЯ АППРОКСИМАЦИИ РЕШЕНИЙ НЕРЕГУЛЯРНЫХ

НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

§ 1. Об основных подходах к построению итерационных методов аппроксимации решений нерегулярных нелинейных уравнений с гладкими операторами

§ 2. Класс устойчивых итерационных методов решения нелинейных некорректных операторных уравнений

§ 3. Примеры построения итерационных процессов.

§ 4. Устойчивый метод градиентного типа для аппроксимации решений нерегулярных нелинейных уравнений

§ 5. Построение итерационных методов решения ттр.пинпйттыу \'пяни(ший с пониженными требованиями к гладкости оператора

Л' § 6. Анализ условий основных теорем

4 § 7. О применении алгоритмов построения устойчивых итерационных методов к нелинейным интегральным уравнениям

§ 8. Обсуждение результатов главы

ГЛАВА II. УСТОЙЧИВЫЕ ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ ДЛЯ НАХОЖДЕНИЯ КВАЗИРЕШЕНИЙ НЕРЕГУЛЯРНЫХ

НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ.

§ 1. Класс устойчивых итерационных методов для отыскания квазирешений нерегулярных нелинейных уравнений . —.

§ 2. Градиентно-проекционный метод для нахождения квазирешений нерегулярных нелинейных уравнений на выпуклом замкнутом множестве

§ 3. Вариант градиентно-проекционного метода для нахождения квазирешений нерегулярных нелинейных уравнений

§ 4. Обсуждение результатов главы II

ГЛАВА III. ПРИЛОЖЕНИЕ УСТОЙЧИВЫХ V** ИТЕРАЦИОННЫХ МЕТОДОВ ч К ОБРАТНЫМ ЗАДАЧАМ

ГРАВИМЕТРИИ И АКУСТИКИ.

§ 1. Обратные задачи гравиметрии

§ 2. Применение устойчивых итерационных процессов к задачам гравиметрии

§ 3. Численные эксперименты с обратными задачами гравиметрии.

§ 4. Постановка обратной задачи акустического рассеяния —.

§ 5. Применение устойчивых итерационных методов в обратной задаче акустического рассеяния

§ 6. Численные эксперименты с обратной задачей акустики

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Устойчивые итерационные методы градиентного типа для решения нерегулярных нелинейных операторных уравнений»

В последние десятилетия активно развивается направление вычислительной математики, посвященное построению приближенных методов решения нерегулярных операторных уравнений в гильбертовых и банаховых пространствах. Интерес к изучению таких уравнений в бесконечномерных пространствах возник в связи с бурным развитием теории и практики обратных задач математической физики и определяется тем обстоятельством, что подобные задачи в большинстве случаев моделируются именно нерегулярными операторными уравнениями. Достаточно полный обзор современного состояния теории нелинейных обратных задач и методов их решения содержится в монографиях [1, 2, 16, 27-29, 47, 51, 52, 65, 67, 78, 81, 83]. Поскольку источником исходных данных в этих задачах на практике обычно служат измерения и эксперименты, операторы получаемых уравнений как правило бывают известны с той или иной погрешностью.

Объектом изучения в работе являются нелинейные операторные уравнения вида

F(x) = 0, хеНъ (1) где F: Н\ -> #2 - дифференцируемый по Фреше оператор, Щ - гильбертовы пространства. В тех случаях, когда разрешимость уравнения (1) не гарантируется, естественным обобщением (1) является задача отыскания квазирешения уравнения (1) на множестве Q, т. е. точки х* Е Q, являющейся решением задачи mm ф(х), 4>(x) = \\\F(x)f. (2)

Квазирешения х* €Е Q, для которых выполняется равенство F(x*) = О, совпадают с решениями уравнения (1). Здесь и далее в работе через ||гс|| обозначается норма элемента х G X в пространстве X, вид которого обычно ясен из контекста.

В теории численных методов решения нелинейных уравнений задача (1) и соответствующая ей экстремальная задача (2) называются регулярными, если линеаризация оператора F{x) в окрестности решения (квазирешения) х* хорошо приближает F(x) в близких к х* точках [11, с. 16]. Всюду в работе регулярность (нерегулярность) задач (1), (2) и соответствующего оператора F(x) будем понимать в смысле следующего определения, конкретизирующего вышеприведенное условие.

Определение 1. Задача (1) (задача (2)) называется регулярной в окрест ности решения (квазирещения) х*, если для всех точек х из окрестности х* оператор F'(x): Hi H2 имеет непрерывный обратный, определенный на всем пространстве Щ, либо оператор F'*(x)F'(x): Hi —> Hi имеет непрерывный обратный, определенный на всем пространстве Н\. В противном случае задача (1) (задача (2)) называется нерегулярной.

Пусть ставится задача приближенного решения уравнения (1). Аппроксимируя в окрестности точки xq € Hi регулярное отображение F: Hi —> #2 в (1) его линейным приближением, приходим к уравнению

F'(xо)(ж - xq) + F(xq) = 0, ■хе Hi. (3)

В тех случаях, когда уравнение (3) не имеет решения, может оказаться разрешимой задача шш||т®о)(®-®о) + П®о)||2. (4)

Задача (4) эквивалентна уравнению

F'*(x0)F'(xq)(x - х0) + Ff*(x0)F(x0) = О, аг € Нх. (5)

Для решения уравнений (3), (5) в случае непрерывно обратимых операторов F'(xq), F'*(xq)F'(xo) может быть использован широкий спектр численных методов решения регулярных (коппрктных) линейных,операторных уряянр-ний (см., например, [48]). В случае нерегулярного отображения F(x) линейной аппроксимации (3) или (4) уже недостаточно для адекватного описания локальной структуры оператора F(x) в окрестности рассматриваемой точки хо. При этом задача отыскания решения (квазирешения) нерегулярного уравнения (1) оказывается как правило некорректно поставленной [11, с. 16; 20]. Поэтому построение эффективных методов решения указанных уравнений требует привлечения методов теории регуляризации некорректных задач. Кратко напомним основные понятия этой теории.

Пусть зафиксировано метрическое пространство (F, р), которому принадлежит точный оператор F(x) и все допускаемые к рассмотрению его аппроксимации.

Определение 2 ([73, 75]). Задача (1) (задача (2)) поставлена корректно по Адамару в паре пространств {Hi,H2), если выполняются следующие условия:

1) задача (1) (задача (2)) имеет единственное решение;

2) это решение непрерывно (в смысле метрики р на F и нормы пространства HiJ зависит от оператора F(x) при его вариациях в пределах пространства F.

Если нарушается хотя бы одно из условий 1), 2), то задача (1) (задача (2)) называется некорректно поставленной.

Согласно определению 2, малые погрешности в задании оператора F(x), определяющего корректную задачу (1), мало влияют на решение (1) и в этом смысле с вычислительной точки зрения неопасны. Напротив, некорректно поставленные задачи чувствительны к погрешностям в исходных данных, так как малые вариации оператора F{x) могут привести к значительным изменениям решения или даже превратить исходное уравнение

1) в несовместное. Задача о нахождении квазирешения на множестве Q как вариационная задача также может оказаться некорректно поставленной. В частности, существование квазирешения на Q гарантировано в общем случае лишь при наличии у функционала ф(х) свойств типа коэрцитивности и слабой полунепрерывности снизу, а также для компактного множества Q. Центральным понятием теории некорректных задач является понятие регу-ляризующего алгоритма. Следуя [73, 75], приведем соответствующее определение в необходимой нам форме. Пусть X* - множество решений (къа^и-решений) уравнения (1). Считаем, что вместо точного оператора F(x) в (1) известно его приближение F € F, p(F, F) < 5, где величина S > 0 характеризует погрешность аппроксимации F(x) и предполагается заданной.

Определение 3. Регуляризующим алгоритмом для задачи (1) (задачи

2)) называется оператор R: F х [0, оо) —У Н\, ставящий в соответствие паре (F,S) 6 Fx [0,оо) элемент Rx(F) G Н\ таким образом., чтл для некоторого элемента х* Е X*, х* = x*{F), выполняется равенство

Из (6) следует, что элемент xs = Rs(F) может быть выбран в качестве приближенного решения задачи (1), соответствующего приближенному оператору F(x) и уровню погрешности 5.

Впервые понятие регуляризующего алгоритма было сформулировано А. Н. Тихоновым в [71, 72], после чего теория приближенного решения некорректных задач оформилась как самостоятельная ветвь вычислительной математики. Современное состояние теории и методов решения некорректных задач подробно освещено в монографиях и статьях [10, 11, 19, 20, 22, 25, 31, 32, 51-53, 56-58, 68, 69, 73-75, 78, 83].

Проблема практического построения регуляризующих алгоритмов для того или иного класса некорректных уравнений имеет непосредственный прикладной интерес. Значительное место среди разрабатываемых численных методов решения уравнений (1) занимают регуляризирующие алгоритмы, построенные на базе итерационных процедур. Повышенный интерес к итерационным методам объясняется простотой алгоритмической и проlim

6->0 s sup

FeF: p(F,F)<6

6) граммной реализации этих методов, а также свойством устойчивости к погрешностям вычислений, характерным для многих итерационных процессов. Существуют различные пути использования итерационных конструкций при решении некорректных задач. Краткий обзор известных подходов к построению итерационных методов решения нерегулярных нелинейных уравнений (1) приведен ниже (гл. I, §1).

В настоящее время наиболее завершенной можно считать теорию итерационных методов решения нерегулярных нелинейных уравнений с монотонными операторами. В ее основе лежит развитый в [10, 20] принцип итеративной регуляризации, позволяющий единообразно модифицировать классические итерационные методы решения нелинейных уравнений (градиентный метод, метод Ньютона и т. п.), делая их пригодными для решения и исследования нерегулярных уравнений (см. также [43]). В случае аффинных операторов F{x) — Ал — /, где A: Hi —> Н2 - линейный непрерывный оператор, регуляризационные свойства градиентных методов вариационного типа и методов сопряженных градиентов подробно изучались в [25, 59, 60]. Для гладкого нелинейного оператора F(х) такое исследование удается провести лишь при наложении жестких структурных условий на характер нелинейности оператора в окрестности решения [83, 92, 95, 97-99]. Упомянутые условия допускают эффективную проверку только в небольшом числе примеров, выполнение же их для сколь-нибудь широких классов реальных обратных задач является проблематичным (см. [23, 90]). В основе изучаемых в [33] итерационных методов решения уравнения (1) лежит понятие 2-регулярности оператора F(x), обобщающее классическое определение регулярного оператора. Следует отметить, что свойство 2-регулярности не выполняется в случае интегрального вполне непрерывного отображения F(x), когда производная F'(x) оказывается вполне непрерывным линейным оператором.

Итеративные регуляризующие алгоритмы, пригодные для уравнений (1) с операторами, имеющими вполне непрерывную производную F'(x), строились и изучались в [3-6; 11, гл. 3, 4; 14; 45; 77; 79; 80]. В этих работах в качестве элемента Rs(F) (см. определение 3) берется результат N(6) шагов соответствующего йтерационного процесса {ccn} = {xn(F)}, сходящегося к решению х* в случае точных данных F = F. При этом число итераций N(6) выбирается в зависимости от уровня погрешности 6 так, чтобы было limN(6) = оо, а оператор Rs(F) = xN(s)(F) удовлетворял условию (6). За-<5—>0 метим, что при этом сама последовательность (a:n(-F)} (п -» оо) в случае F ф F как правило расходится. Эффективная практическая реализация таких методов часто бывает затруднена тем обстоятельством, что критерий останова N(S) определяется с точностью до произвольной постоянной и зависит от неизвестных характеристик задачи.

Альтернативный подход к построению устойчивых итерационных методов, не требующих сопровождения в виде процедуры останова, намечен в [7; 8; 11, гл. 5]. В этих работах изучались модификации стандартного градиентного процесса

Хп+1 = хп- jF'*{xn)F(xn), 7 > 0, (7) которые можно применять для решения нерегулярных уравнений без каких-либо дополнительных структурных условий на оператор F(x). Устойчивость итерационных процессов здесь и всюду далее понимается в том смысле, что вырабатываемые ими приближения {жп} = {a;n(.F)} обладают свойством lT^Tllr. т*|| < п($ + Д) fp)

П-).оо" ■■ ■ I' - • V где величина А определяется параметрами рассматриваемого процесса и при удачном выборе этих параметров может быть сделана сколь угодно малой. Свойство (8) существенно отличает данные процессы от методов итеративной регуляризации из [3-6, 11, 45], которые в применении к задачам с приближенными данными вырабатывают расходящиеся при п —> оо последовательности {xn(F)}. Из (8) следует, что для устойчивых методов нет необходимости в построении критерия оетанова. Качество получаемых приближений {жп} определяется лишь имеющимися вычислительными ресурсами и величинами д, Д. В настоящее время для уравнений с операторами F(x) общего вида известно лишь несколько отдельных процессов типа (7), обладающих свойством (8) ([11, гл. 5]) и отсутствует сколь-нибудь общая теория построения и исследования таких процессов.

В основу конструкции устойчивых итерационных процессов решения (1) может быть положен подход, используемый в классическом методе Ритца (см., например, [18, 55]). В рамках этого подхода для аппроксимации решения уравнения (1) задается полная линейно независимая система векторов {еп}~=1 С Hi. Затем строится последовательность конечномерных подпространств {Мгде М^ - та-мерное пространство, натянутое на векторы еъ в2,., еп, и при помощи тех или иных (например, итерационных) методов решается последовательность задач mtart*), = (»)

В случае, если функционал ф(х), х £ Hi, является сильно выпуклым, задача (9) оказывается разрешимой при любом п и приближения Ритца £ М^: ф(хМ) = min ф{х) при п оо сильно сходятся к единственной точке аб-гемм солютного минимума ф{х) на Н\ ([18, с. 177]). В отсутствии свойств оператора F(x), гарантирующих сильную выпуклость функционала ф(х) на Hi, вопрос о существовании и сходимости приближений Ритца остается открытым. Следует отметить, что для уравнений (1), моделирующих прикладные нелинейные обратные задачи, свойство выпуклости и тем более сильной выпуклости ф(х) на всем пространстве Н\ как правило не может быть гарантировано. Это обстоятельство делает актуальным проблему разработки модификаций метода Ритца, пригодных для устойчивого отыскания решений уравнений (1) с произвольными гладкими операторами F(x).

В диссертации для аппроксимации решения х* уравнения (1) с произвольным приближенно заданным гладким оператором F(x) применяется вариант метода Ритца с использованием вместо фиксированного аффинного подпространства М^ — {х Е Hi: х — у + f, у £ М}, £ G Н\. Таким образом, вместо (9) рассматривается задача mm ф(х), j(x) = ±\\F(x)f. (Ю)

Цель диссертации заключается в разработке и исследовании новых ме-"тодоб решения уравнения (1), основанных на применении к аппроксимирующей задаче (10) различных итерационных процессов минимизации с апробацией полученных методов на избранных обратных задачах гравиметрии и акустики.

Пусть оператор F(x) дифференцируем по Фреше, причем производная F'(x) удовлетворяет условию Липшица в некоторой окрестности точки х*. Основным элементом исследования аппроксимационных свойств решения задачи (10) по отношению к искомому решению х* уравнения (1) является введение условия на подпространство М, гарантирующего при подходящем выборе £ локальную сильную выпуклость функционала ф(х) на М^ в шаре фиксированного радиуса. Это условие имеет вид:

Ker(F'(x*))nM = { 0}. (11)

Здесь Ker(F'(x*)) = {у е Нг: F'{x*)y = 0} - ядро оператора F'(x*). В работе используются также и некоторые модификации условия (11). Предположим, что и(/-Рм)(х'-е)||<д, где Рм - оператор ортогонального проектирования из Н\ на подпространство М, / - единичный оператор. Величийа Д имеет смысл погрешности аппроксимации искомого решения х* подпространством При выполнении

I i

11), достаточной малости погрешности 6 задания F(x) и малости величины Д устанавливается, что для решения задачи (10) могут успешно использоваться различные методы конечномерной минимизации, вырабатывающие релаксационные последовательности {жп} такие, что zn е Mfj Ф(хп+1) < ф(хп), lim \\ф'(хп)\\ = 0. (12) п—юо

Именно, доказывается, что при выборе начального приближения xq Е из окрестности 0,г(Рм^(х*)) П М фиксированного радиуса г > 0, приближения хп стабилизируются в окрестности решения х* с радиусом, пропорциональным 8 и Д, так что lim ||ж„ - ж*|| = ||ж - ®*|| < С0(6 + Д).

П-4СЮ

Здесь Г2г(х) = {у Е Н\: ||у — ж|| < г}, х - точка локального минимума сильно выпуклого функционала ф(х) на указанной окрестности, постоянные г = r(F, М), Со = Co(F, М) не зависят от 6, Д, а определяются лишь данными задачи (1) и выбором подпространства М. Тем самым методы, получаемые в рамках рассматриваемой общей схемы, обладают свойством устойчивости к погрешностям S, Д. Поэтому для таких процессов проблема построения критерия останова итераций естественным образом снимается. Устанавливаются достаточные условия, позволяющие гарантировать выполнение основного предположения (И) и его модификаций. Пусть, например, что оператор F'(x) является инъективным при х Е D С #i. Это условие выполняется, в частности, для уравнений (1), моделирующих некоторые обратные задачи акустического рассеяния ([81, с. 129; 89]). В применении к этим задачам включение х Е D имеет смысл условия повышенный гладкости элемента ж, совмещенного с требованием малости отклонения функции х(-) от постоянной. В подобных случаях условие (11) автоматически выполняется для любого подпространства М, если х* Е D. Условие (11) выполняется также в случае, если для некоторой точки х Е Н\, достаточно близкой к х*, выполняется

Ker(F'(x)) П М = {0}. (13)

Вариация точки х в (13) доставляет дополнительные возможности подбора подпространствам.

При построении методов решения уравнений (1) с операторами F(x), производная которых не удовлетворяет условию Липшица в открытой окрестности ж*, рассматривается вариационная задача min ip(x)\ (р(х) = ^||Ф(я)||2, хЕМ,

14) где Ф(ж) = F(x + £ — Рм£), x e M. Дифференцируемость оператора Ф(я) = F{x + £ — в открытой окрестности х* здесь не предполагается. Будем считать, что выполняется включение Mf. С D(F) П D(F) и операторы Ф(ж), Ф(я): М Н2 обладают производными Фреше, которые удовлетворяют условию Липшица на М в шаре с центром в точке Рм%*- Основное условие на выбор подпространства М С #1 и параметра £ е Hi, гарантирующее сильную выпуклость функционала ф(х), х е М в шаре фиксированного радиуса в М, в этом случае имеет вид

Кег(Ф'(Рмх*)) = {0}. (15)

Если величины S, А, ||Ф(Рм^*)|| достаточно малы, то для нахождения минимума в задаче (14) применимы различные методы конечномерной минимизации, вырабатывающие последовательности {хп} со свойством (12). При выборе начального приближения xq е М из малой окрестности Рмх*> Для точек zn = хп + £ — Рм€, аппроксимирующих х*, справедливо предельное соотношение

Km II*. - < Ci(5 + А + ||Ф(Рм^)||).

В этом случае постоянная С\ = C\{F,M,£) в отличие от Cq(F,M) зависит от обеих компонент пары (М,£). Обсуждаются модификации условия (15), позволяющие упростить выбор элементов этой пары.

В качестве одной из модификаций схемы (7) изучается метод градиентного типа х0 G Нъ xn+i -хп- fi(F'*(xn)F(xn) + а{хп - £)). (16)

Здесь fi > 0 - шаговый множитель, а > 0 - параметр регуляризации, £ е Н\ -управляющий параметр, играющий роль начальной оценки х*. Ключевую роль в исследовании асимптотических свойств процесса (16) играет следующее условие приближенной истокопредставимости начальной невязки х*—£: х* -£ = F'*(x*)v + w, veH2, we Hi, |H|<Ai.

При выборе начального приближения xq согласно условию ||хо —ж*|| < г у/а, г = r(F) и достаточно малых величинах a, ||w||, Ai устанавливается стабилизация итераций (16) в малой окрестности решения в соответствии с неравенством im\\xn-x*\\2<C2\\v\\yfa. п—юо

Здесь постоянная С2 = /i) не зависит от а, 6, А, Ai. Последнее соотношение устанавливается без дополнительных структурных условий на оператор F(x). Вышеописанные результаты составляют основное содержание главы I.

Обоснование общей схемы построения итерационных методов для нахождения квазирешений уравнения (1) в случае Q = Н\ проводится в главе II. При малых величинах <$, Д, ||F(a;*)||, процессы, получаемые в рамках этой схемы, оказываются устойчивыми в смысле соотношения (8). Для задачи отыскания квазирешения уравнения (1) на выпуклом замкнутом множестве Q С Hi предлагаются и исследуются два варианта метода проекции градиента х0 е Hi, хп+1 = PQ ((Рмхп + £ - Рм£) --чРмГ*(Рмхп + Z ~ РмОНРмХп + £ - РмО), 7 > 0; (17) х0 t Hi, xn+i = PQnM+ £ - Рм£)

-7F'*(xn + £ - PM£)F{xn + £ - РмО), 7 > 0. (18)

Здесь Pq - оператор проектирования из Hi на Q.

Стабилизация итераций (17), (18) в окрестности квазирешения х* устанавливается при выполнении основного условия (11) и условия достаточной малости величин 7, 6, Д, Д4 — ||(/ рм)F'*(x*)F(x*)||. Именно, при выборе начального приближения хо из окрестности квазирешения с радиусом г = r(F, М, <5, Д), для итераций (17) и (18) выполняется предельное соотношение

ЙЧК-я*||2 < С3(8 + Д + Д3 + 7)п-юо м V /

Здесь постоянная С3 = Сз(-Р, М, Д) ограничена сверху, a r(F, М, 6, Д) отделена от нуля при <$, Д —0.

Заключение диссертации по теме «Вычислительная математика», Козлов, Александр Иванович

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

На защиту выносятся следующие научные положения и результаты:

1. Теоретически обоснованная общая схема построения устойчивых итерационных методов для аппроксимации решений и квазирешений нерегулярных нелинейных уравнений на базе процедур конечномерной безусловной минимизации функционала невязки.

2. Обоснование класса устойчивых итерационных процессов для решения нерегулярных нелинейных уравнений в условиях пониженных требований к гладкости их операторов.

3. Методика выбора управляющих параметров, обеспечивающая выполнение условий теорем сходимости полученных методов.

4. Новые устойчивые итерационные процессы градиентно-проекционного типа для нахождения квазирешений нерегулярных уравнений на выпуклом замкнутом множестве.

5. Результаты численного тестирования избранных итерационных процессов из числа исследованных в работе на нелинейных обратных задачах гравиметрии и акустики, подтвердившие практическую эффективность этих процессов.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Козлов, Александр Иванович, 2004 год

1. Алифанов О. М., Артюхин Е. А., Румянцев С. В. Экстремальные методы решения некорректных задач.-М.: Наука, 1988.-288 с.

2. Аниконов Ю. Е. Некоторые методы исследования многомерных обратных задач для дифференциальных уравнений.-Новосибирск: Наука, 1978.-120 с.

3. Бакушинский А. Б. К проблеме сходимости итеративно регуляризо-ванного метода Гаусса-Ньютона // Журнал вычислительной математики и математической физики.-1992.-Т.32, N9.-C. 1503-1509.

4. Бакушинский А. Б. Итерационные методы без насыщения для решения вырожденных нелинейных операторных уравнений // Доклады РАН.- 1995.-Т.344, Nl.-C.7-8.

5. Бакушинский А. Б. К проблеме линейной аппроксимации решений нелинейных операторных уравнений // Журнал вычислительной математики и математической физики.-1996.-Т.36, N9.-C.6-12.

6. Бакушинский А. Б. Итеративные методы для решения нелинейных операторных уравнений без свойства регулярности // Фундаментальная и прикладная математика.-1997.-Т.З, N3 С.685-692.

7. Бакушинский А. Б. Итеративные методы градиентного типа для нерегулярных операторных уравнений // Журнал вычислительной математики и математической физики.-1998.-Т.38, N12.-C.1962-1966.

8. Бакушинский А. Б. Итеративные методы градиентного типа с проектированием на фиксированное подпространство для решения нерегулярных операторных уравнений // Журнал вычислительной математики и математической физики.-2000.-Т.40, N10.-C.1447-1450.

9. Бакушинский А. Б. О скорости сходимости алгоритмов итеративной регуляризации для решения линейных задач с выпуклыми ограничениями // Журнал вычислительной математики и математической физики.-2002.-Т.42, N7.-C.933-936.

10. Бакушинский А. Б., Гончарский А. В. Итеративные методы решения некорректных задач.-М.: Наука, 1989.-128 с.

11. Бакушинский А. Б., Кокурин М. Ю. Итерационные методы решения некорректных операторных уравнений с гладкими операторами.-М.: Едиториал УРСС, 2002.-191 с.

12. Бакушинский А. Б., Кокурин М. Ю., Козлов А. И. Устойчивый гради-ентно-проекционный метод для решения обратной задачи гравиметрии // Математическое моделирование.-2003.-Т.15, N8.-C.37-45.

13. Бакушинский А. Б., Кокурин М. Ю., Юсупова Н. Л. Об итеративных методах градиентного типа для решения нелинейных некорректных уравнений // Сибирский журнал вычислительной математики .-2001.-N4.-C.317-329.

14. Бухгейм А. Л. Введение в теорию обратных задач.-Новосибирск: Наука, 1988.-184 с.

15. Бушманова М. В. О конечномерных приближениях к решению линей-k ного операторного уравнения первого рода // Известия вузов. Математика-1977.-М9.-С.11-17.

16. Вайнберг М. М. Вариационный метод и метод монотонных операторов.-М.: Наука, 1972.-415 с.

17. Вайникко Г. М., Веретенников А. Ю. Итерационные процедуры в некорректных задачах.-М.: Наука, 1986.-184 с.

18. Васильев Ф. П. Методы решения экстремальных задач. Задачи минимизации в функциональных пространствах, регуляризация, аппрок-симация.-М.: Наука, 1981.-400 с.

19. Васильев Ф. П. Численные методы решения экстремальных задач.-М.: Наука, 1988.-552 с.

20. Васин В. В., Агеев A. JI. Некорректные задачи с априорной информацией.- Екатеринбург: УИФ "Наука", 1993.-262 с.

21. Васин В. В., Пруткин И. JI., Тимерханова Л. Ю. Решение нелинейной задачи гравиметрии методами градиентного типа // Математическое моделирование.-1999.-Т. 11, N10.-C.86-91.

22. Владимиров В. С., Жаринов В. В. Уравнения математической физики-М.: Физико-математическая литература, 2000.-400 с.

23. Гилязов С. Ф. Методы решения линейных некорректных задач.-М.: Изд-во МГУ, 1987.-120 с.

24. Гилязов С. Ф., Черный В. В. Регуляризующий метод проекции сопря-% женных градиентов// Численный анализ: теория, приложения, программа.-М.: Изд-во МГУ, 1999.-С.56-73.

25. Гончарский А. В., Черепащук А. М., Ягола А. Г. Численные методы решения обратных задач астрофизики.-М: Наука, 1978.-336 с.

26. Горюнов А. А., Сасковец А. В. Обратные задачи рассеяния в акустике.-М.: Изд-во МГУ, 1989.-152 с.

27. Денисов А. М. Введение в теорию обратных задач.-М.: Изд-во МГУ, 1994.-208 с.

28. Деннис Дж., Шнабелъ Р. Численные методы безусловной оптимизации и решения нелинейных уравнений.-М.: Мир, 1988.- 440 с.

29. Иванов В. КВасин В. В., Танана В. П. Теория линейных некорректных задач и ее приложения.-М.: Наука, 1978.-208 с.

30. Иванов В. К., Мельникова И. В., Филинков А. И. Дифференциально-операторные уравнения и некорректные задачи.-М.: Наука, 1995.-176 с.

31. Измаилов А. Ф., Третьяков А. А. 2-регулярные решения нелинейных задач.-М.: Наука, 1999.-336 с.

32. Канторович JI. В., Акилов Г. П. Функциональный анализ.-М.: Наука, \ 1977.-744 с.

33. Карабанова О. В., Козлов А. И., Кокурин М. Ю. Устойчивые конечномерные итерационные процессы решения нелинейных некорректных операторных уравнений // Журнал вычислительной математики и математической физики.-2002-Т.42, N8.-C.1133-1146.

34. Козлов А. И. О методах сопряженных градиентов для решения нерегулярных операторных уравнений // Обозрение прикладной и промышленной математики.-2002.-Т.9, вып.2.-С.396-397.

35. Козлов А. И. Об одном классе устойчивых итерационных методов для решения нелинейных некорректных операторных уравнений // Вычислительные методы и программирование.-2002.-Т.З.-С. 180-186.

36. Козлов А. И. Градиентно-проекционный метод для нахождения квазирешений нелинейных нерегулярных операторных уравнений // Вычислительные методы и программирование.-2003.-Т.4.-С.117-125.

37. Козлов А. И. Об использовании итерационных методов для решения уравнений с нерегулярными операторами// Обратные и некорректно поставленные задачи. VIII конференция, Тезисы докладов. М.: МАКС Пресс, 2003.-С.34.

38. Козлов А. И. Об одном устойчивом методе для решения нерегулярных операторных уравнений // Обозрение прикладной и промышленной математики.-2003.-Т.10, вып.З.

39. Кокурин М. Ю. Операторная регуляризация и исследование нелинейных монотонных задач.-Йошкар-Ола: Изд-во МарГУ, 1998.-292 с.

40. Кокурин М. Ю., Козлов А. И. Градиентно-проекционный метод для отыскания квазирешений нелинейных операторных уравнений на выпуклом множестве // Обозрение прикладной и промышленной мате-матики.-2001.-Т.8, вып.2.-С.610-611.

41. Кокурин М. Ю., Юсупова Н. А. О невырожденных оценках скорости сходимости итерационных методов решения некорректных нелинейных операторных уравнений // Журнал вычислительной математики и математической физики-2000-Т.40, N6.-C.832-837.

42. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа.-М.: Наука, 1981.-543 с.

43. Колтон Д., Кресс Р. Методы интегральных уравнений в теории рас-сеяния.-М.: Мир, 1987.-312 с.

44. Красносельский М. А., Вайникко Г. М., Забрейко П. П., Рутицкий Я. Б., Стеценко В. Я. Приближенное решение операторных у равнений.-М.: Наука, 1969.-456 с.

45. Красносельский М. А., Забрейко П. П. Геометрические методы нелинейного анализа.-М.: Наука, 1975.-510 с.

46. Лаврентьев М. М., Аниконов Ю. Е., Фазылов Ф. Н. Приближенное решение некоторых линейных операторных уравнений // Доклады АН СССР.-1971.-Т.200, N4.-C.770-772.

47. Лаврентьев М. М., Савельев Л. Я. Теория операторов и некорректные задачи Новосибирск: Изд-во Ин-та математики, 1999.-702 с.

48. Лаврентьев М. М., Романов В. Г., Шишатский С. П. Некорректные задачи математической физики и анализа.-М.: Наука, 1980.-286 с.

49. Лисковец О. А. Вариационные методы решения неустойчивых задач.-Минск: Наука и техника, 1981.-343 с.

50. Мизохата С. Теория уравнений с частными производными.-М.: Мир, 1977.-504 с.

51. Михлин С. Г. Некоторые вопросы теории погрешностей.-JI.: Изд-во ЛГУ, 1988.-334 с.

52. Морозов В. А. Методы регуляризации неустойчивых задач.-М.: Наука, 1987.-216 с.

53. Морозов В. А. Регулярные методы решения некорректных задач.-М.: Наука, 1987.-240 с.

54. Морозов В. А., Гребенников А. И. Методы решения некорректных задач: алгоритмический аспект.-М: Изд-во МГУ,1992.-320 с.

55. Немировский А. С. О регуляризующих свойствах метода сопряженных градиентов на некорректных задачах // Журнал вычислительной математики и математической физики.-1986.-Т.26, N3.-C.332-347.

56. Немировский А. С., Поляк Б. Т. Итеративные методы решения линейных некорректных задач при точной информации. I, II // Известия АН СССР. Техническая кибернетика.-1984.-№.-С. 13-25; 1984.-N3-С.18-25.

57. Ортега Дж., Рейнболдт В. Итерационные методы решения нелинейных систем уравнений со многими неизвестными.-М: Мир, 1975.-558 с.

58. Поляк Б. Т. Введение в оптимизацию.-М.: Наука, 1983.-384 с.

59. Прилепко А. И. Избранные вопросы в обратных задачах математической физики // Условно-корректные задачи математической физики и анализа.-Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 1992.-С.151-162.

60. Прудников А. П., Брычков Ю. А., Маричев О. И. Интегралы и ряды.-М.: Наука, 1981.-800 с.

61. Рамм А. Г. Многомерные обратные задачи рассеяния-М.: Мир, 1994.495 с.

62. Рисс Ф., Секефальви-Надь Б. Лекции по функциональному анализу.-М.: Мир, 1979.-587 с.

63. Романов В. Г. Некоторые обратные задачи для уравнений гиперболического типа.-Новосибирск: Наука, 1972.-164 с.

64. Рябов В. М. Свойства квадратурных формул, применяемых при обращении преобразования Лапласа // Журнал вычислительной математики и математической физики.-1989.-Т.29, N6.-C.941-944.

65. Рябов В. М. Численное обращение двумерного преобразования Лапласа // Вестник ЛГУ. Серия математика, механика, астрономия.-1990.-вып.1.-С38-42.

66. Степанова И. Э. Об интегральном уравнении обратной трехмерной задачи потенциала // Математическое моделирование.-1997.-Т.9, N4.-С.77-84.

67. Тихонов А. Н. О решении некорректно поставленных задач и методе регуляризации // Доклады АН CCCP.~1963.-T.151, N3.-C.501-504.

68. Тихонов А. Н. О регуляризации некорректно поставленных задач// Доклады АН СССР.-1963.-Т.153, N1.-C.49-52.

69. Тихонов А. Н., Арсенин В. Я. Методы решения некорректных задач.-М.: Наука, 1979.-288 с.

70. Тихонов А. Н., Гончарский А. В., Степанов В. В., Ягола А. Г. Регуля-ризующие алгоритмы и априорная информация.-М: Наука, 1983.-200 с.

71. Тихонов А. Н., Леонов А. С., Ягола А. Г. Нелинейные некорректные задачи.-М.: Наука, 1995.-312 с.

72. Треногин В. А. Функциональный анализ.-М.: Наука, 1980.-496с.

73. Bakushinsky A. Universal linear approximations of solutions to nonlinear operator equations and their applications // Journal of Inverse and Ill-Posed Problems.-1998.-V.5, N6.-P.507-522.

74. Bakushinsky A., Goncharsky A. Ill-posed problems: theory and applications.-Dordrecht: Kluwer, 1996.-258 p.

75. Bakushinsky A., Kokurin M. Iterative methods for solving nonlinear irregular operator equations in Banach space // Numerical Functional Analysis and Optimization.-2000 -V.21, NN 3-4.-P.355-378.

76. Bakushinsky А. В., Kokurin M. Yu. Necessary and sufficient conditions for convergence of methods for solving ill-posed operator equations. II // Dynamics of non-homogeneous systems. Proc. of ISA RAS. V.6.-2002.-P.83-125.

77. Colton D., Kress R. Inverse acoustic and electromagnetic scattering theory. -Berlin: Springer, 1998.- 334 p.

78. Deuflhard P., Engl H. W., Scherzer 0. A convergence analysis of iterative methods for the solution of nonlinear ill-posed problems under affinely invariant conditions // Inverse Problems.-1998.-V.14.-P. 1081-1106.

79. Engl H. W., Hanke M., Neubauer A. Regularization of inverse problems-Dordrecht: Kluwer, 1996.-320 p.

80. Engl H. W., Kunisch К., Neubauer A. Convergence rates for Tikhonov regularisation of non-linear ill-posed problems / / Inverse problems.-1989.-V5.-P.523-540.

81. Hanke M., Neubauer A., Scherzer 0. A convergence analysis of the Land-weber iteration for nonlinear ill-posed problems // Numerische Mathema-tik.-1995.-V.72.-P.21-37.

82. Hettlich F., Rundell W. Iterative methods for the reconstruction of an inverse potential problem // Inverse problems.-1996.-VI2.-P.251-266.

83. Hohage T. Logarithmic convergence rates of the iteratively regularized Gauss-Newton method for an inverse potential and inverse scattering problem // Inverse Problems.-1997.-V.13.-P.1279 -1299.

84. Hohage T. Regularization of exponentially ill-posed problems // Numerical Functional Analysis and Optimization.-2000.-V.21, NN3-4.-P.439-464.

85. Hohage T. On the numerical solution of a three-dimensional inverse medium scattering problem // Inverse Problems.-2001.-V.17.-P.1743-1763.

86. Hohage Т., Schormann C. A Newton-type method for a transmission problem in inverse scattering // Inverse Problems.-1998.-V.14.-P.1207-1227.

87. Kaltenbacher B. Some Newton-type methods for the regularization of nonlinear ill-posed problems // Inverse Problems.-1997.-V.13.-P.729-753.

88. Kaltenbacher B. On Broyden's method for the regularization of nonlinear ill-posed problems // Numerical Functional Analysis and Optimization.-1998.-V.19, NN7-8.-P.807-833.

89. Neubauer A. Tikhonov regularization for nonlinear ill-posed problems: optimal convergence rates and finite-dimensional approximation // Inverse Problems.-1989.-V.5.-P.541-557.

90. Ramlau R. Modified Landweber method for inverse problem // Numerical Functional Analysis and Optimization.-1999.-V.20, NN1-2.-P.79-98.

91. Ramlau R. TIGRA an iterative algorithm for regularizing nonlinear ill-posed problems // Inverse Problems.-2003.-V.19.-P.433-465.

92. Scherzer 0. A convergence analysis of a method of steepest descent and a two-step algorithm for nonlinear ill-posed problems // Numerical Functional Analysis and Optimization.-1996.-V.17, NN1-2.-P. 197-214.

93. Scherzer 0. A modified Landweber iteration for solving parameter estimation problem // Applied Mathematics and Optimization.-1998.-V.38.-P.45-68.

94. Scherzer 0. An iterative multi level algorithm for solving nonlinear ill-posed problems // Numerische Mathematik.-1998.-V.80.-P.579-600.