Понижение порядка и решение в квадратурах дифференциальных уравнений со старшими частными производными тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Тихонова, Ольга Александровна

• Тихонова, Ольга Александровна
• кандидат физико-математических наук
• 2010

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Тихонова, Ольга Александровна

Введение

Глава I. Понижение порядка путём факторизации с применением к решению граничных задач.

§1. Уравнения с некратным дифференцированием по каждой из независимых переменных (уравнения Бианки).

1.1. Понижение порядка на единицу.

1.2. Понижение порядка на к единиц (к>1).

§2. Уравнения с кратным дифференцированием.

2.1. Понижение порядка на единицу. 2.2. Понижение на величину порядка дифференцирования по одной из переменных.

2.3. Об уравнениях с дифференцированием по одной переменной

§3. Решение граничных задач на плоскости для уравнения четвёртого порядка с двукратным дифференцированием.

3.1. Условия полной факторизации рассматриваемого уравнения, достаточные для его разрешимости в квадратурах

3.2. Вывод формул решения задачи Гурса.

3.3. Решение задачи Коши.

Глава II. Условия построения в явном виде функции Римана для уравнения Бианки в пространствах размерности п >

§4. Четырёхмерное пространство

§5. Пространство любого конечного числа измерений.

Глава III. Развитие метода каскадного интегрирования

§6. Общая схема построения основного каскада и определение сопутствующего

6.1. Левосторонний способ.

6.2. Правосторонний вариант.

§7. Рекуррентные соотношения и условия понижения порядка уравнений основного каскада. Цепочки уравнений, разрешаемых в квадратурах.

7.1. JT-последовательности.

7.2. П-последовательности.

7.3. Построение бесконечной цепочки уравнений, решаемых в квадратурах.

§8. Изучение сопутствующего каскада. Разрешимость исходного уравнения в квадратурах на основе структурных формул для его коэффициентов.

8.1. Отправная точка.

8.2. Варианты достаточных условий разрешимости уравнения (3.4).

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Понижение порядка и решение в квадратурах дифференциальных уравнений со старшими частными производными»

Предметом исследования в настоящей диссертации является класс уравнений вида

--—!— + Ми(х) = /(ж), (1) где х — точка некоторой области D евклидова пространства К" с координатами (ici,., хп), (mi,.,mn) — мультииндекс, длина которого больше единицы, и(х) — искомая функция, М — линейный дифференциальный оператор с достаточно гладкими переменными коэффициентами, содержащий лишь производные, получаемые из первого слагаемого в левой части (1) отбрасыванием по крайней мере одного дифференцирования.

Первыми исследователями уравнения (1) считаются JL Бианки [59] и О. Никколетти [65], предложившие ещё в 1895 г. распространение на случай любого п при rrik — 1, к = 1, п метода решения задачи Коши, разработанного Б. Риманом [67] для уравнения иху + аих + buy + си = f. ' (2)

Таким образом, первоначальный интерес к (1) возник из теоретического обобщения. После Бианки и Никколетти различные вопросы, связанные с уравнением (1), изучались многими авторами как за рубежом (Г. Бейтмен, Е. Лаэ, Г. Горнич, Д. Манжерон, М. Огюсторели, Д. Колтон, С. Еасваран, В. Радо-чова, А. Кордунеану, У. Ранделл, М. Стечер и др.), так и в нашей стране (И. Н. Векуа [4], М. К. Фаге [51-53], А. П. Солдатов, М. X. Шхануков [43, 56], Б. А. Бондаренко, Г. У. Саидкаримова [1, 2], В. И. Жегалов, В. А. Севастьянов, А. Н. Миронов, Е. А. Уткина [10, 18, 21, 22, 42, 48], В. Ф. Волкодавов с учениками [5], О. М. Джохадзе [7, 8] и др.). Большинство из перечисленных авторов развивали результаты Л. Бианки и О. Никколетти, связанные с 4 методом Римана. Выяснилось также, что частные случаи уравнений данного класса встречаются в теории упругости, при изучении фильтрации жидкости в трещиноватых породах, влагопереноса в почвогрунтах, передачи тепла в гетерогенных средах, моделировании различных биологических процессов и явлений,.распространении волн в диспергирующих средах, а также в теории оптимальных процессов и обратных задачах (см. библиографические ссылки в конце статьи [8]). Имеются и чисто математические вопросы, связанные с уравнениями вида (1): они играют существенную роль в теории аппроксимации и теории отображений, к задаче Коши для частных форм (1) сводится задача интегрального представления преобразований одних обыкновенных линейных дифференциальных операторов в другие [52, 53]. Все это в немалой степени способствовало возрастанию интереса к обсуждаемым уравнениям, которые при rrik — 1, к = 1, п называются теперь уравнениями Бианки, а при наличии кратных производных по независимым переменным (когда встречаются т,к > 1) — псевдопараболическими уравнениями. Обзору результатов, полученных до 2001 г., посвящена монография [9].

Целью нашего диссертационного исследования является отыскание условий, при которых уравнения вида (1) решаются в квадратурах или хотя бы допускают понижение порядка. Указанные вопросы в теории обыкновенных дифференциальных уравнений изучены с большой основательностью: имеются солидные справочники Э. Камке [33], В. Ф. Зайцева и А. Д. Полянина [30, 31]. В значительно более обширной теории уравнений с частными производными разработка таких вопросов не менее важна, но результатов здесь получено меньше: они носят достаточно эпизодический характер, нам известны лишь два небольших обзора [5, 61], посвященных этой теме. Второй из указанных обзоров относится как раз к уравнениям вида (1). Некоторые сведения можно также найти в уже упомянутой монографии [9].

Нами избраны три подхода к проблеме: понижение порядка путём факторизации оператора в левой части уравнения, дальнейшая разработка изложенного в [9] метода построения функций Римана с целью его применения к уравнениям Бианки более высокого порядка, расширение области применения метода каскадного интегрирования Лапласа [64] путём его распространения с плоскости в трёхмерное пространство. Каждому из указанных подходов посвящена отдельная глава в том порядке, как это перечислено выше.

Диссертация состоит из введения и восьми параграфов, разбитых на три главы. Для параграфов выбрана сквозная нумерация, для формул — нумерация, согласованная с номером главы, для теорем — с номером параграфа.

Заключение диссертации по теме «Дифференциальные уравнения», Тихонова, Ольга Александровна

Результаты работы докладывались и обсуждались на следующих семинарах и конференциях: Третья молодёжная научная школа-конференция «Лобачевские чтения — 2003» (Казань, 2003 г.); итоговая конференция по научно-исследовательской деятельности КГУ за 2005 год (Казань, 2006 г.); международная школа-семинар по геометрии и анализу памяти Н. В. Ефимова (Абрау-Дюрсо, 2006 г.); конференция «Дифференциальные уравнения и их

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Тихонова, Ольга Александровна, 2010 год

1. Бондаренко, Б. А. Базисные системы полиномиальных и квазиполиномиальных решений уравнений в частных производных / Б. А. Бондаренко. — Ташкент: Фан, 1987. - 146 с.

2. Бондаренко, Б. А. Задача Гурса для уравнений Манжерона и её связь с задачей Гурса для обыкновенных дифференциальных уравнений / Б. А. Бондаренко, Г. У. Саидкаримова // Качественная теория сложных систем. Д., 1986. - С. 102—108.

3. Буллаф, Ф. Солитоны / Ф. Буллаф, Ф. Кадри. М.: Мир, 1983. - 408 с.

4. Векуа, И. Н. Новые методы решения эллиптических уравнений /f <И. Н. Векуа. M.-JL: Гостехиздат, 1948. - 296 с.

5. Волкодавов, В. Ф. Функции Римана для некоторых дифференциальных уравнений в n-мерном евклидовом пространстве и их применения /B. Ф. Волкодавов, Н. Я. Николаев, О. К. Быстрова, В. Н. Захаров. -Самара: Изд-во «Самарский ун-т», 1995. 76 с.

6. Гурьева, А. М. Инварианты Лапласа двумеризованных открытых цепочек Тоды / А. М. Гурьева, А. В. Жибер // ТМФ. 2004. - Т. 138, вып. 3.C. 401-421.

7. Джохадзе, О. М. Задача типа Дарбу для уравнения третьего порядка с доминирующими младшими членами / О. А. Джохадзе // Дифференц. уравнения. 1996. - Т. 32, №4. - С. 523-535.

8. Джохадзе, О. М. Об инвариантах Лапласа для некоторых классов линейных дифференциальных уравнений в частных производных / О. М. Джохадзе // Дифференц. уравнения. 2004. - Т. 10, №1. - С. 58—68.

9. Жегалов, В. И. Дифференциальные уравнения со старшими частными производными / В. И. Жегалов, А. Н. Миронов. Казанское математическое общество, 2001. - 226 с/

10. Жегалов, В. И. Задача Гурса в четырёхмерном пространстве / В. И. Жегалов, В. А. Севастьянов // Дифференц. уравнения. -1996. Т. 32, №10. -С. 1429-1430./

11. Жегалов, В. И. К случаям разрешимости гиперболических уравненийв терминах специальных функций / В. И. Жегалов // Неклассические уравнения математической физики. Новосибирск: Институт математики им. С. JI. Соболева СО РАН, 2002. - С. 73—79.

12. Жегалов, В. И. Каскадное интегрирование в трёхмерном пространстве / В. И. Жегалов, Н. В. Баринова // Тр. матем. центра им. Н. И. Лобачевского, Т. 11. Казань: Изд-во Казан, гос. университета, 2001. - С. 90—92.

13. Жегалов, В. И. Каскадное интегрирование уравнений Бианки третьего порядка / В. И. Жегалов, О. А. Тихонова; Препринт №10-01 НИИММ им. Н. Г. Чеботарева. Казан, гос. ун-т, 2010. - 41 с.

14. Жегалов, В. И. О случаях разрешимости гиперболических уравнений в квадратурах / В. И. Жегалов // Изв. вузов. Математика. 2004. - №7. -С. 47-52.

15. Жегалов, В. И. Об одной системе уравнений смешанного типа высшего порядка / В. И. Жегалов // Изв. вузов. Математика. 1975. - № 6. -С. 25-35.

16. Жегалов, В. И. Об одном уравнении в частных производных четвёртого порядка с тремя независимыми переменными / В. И. Жегалов, Е. А. Уткина // Дифференц. уравнения. 2002. - Т. 38, №1. - С. 93—97. ./

17. Жегалов, В. И. Понижение порядка одного класса уравнений с частными производными / В. И. Жегалов, О. А. Кощеева // Доклады РАН. -2006. Т. 406, №5. - С. 593-597.

18. Жегалов, В. И. Трёхмерные характеристические задачи с нормальными производными в граничных условиях / В. И. Жегалов, А. Н. Миронов // Дифференц. уравнения. 2000. - Т. 36, №6. - С. 833—836.

19. Жегалов, В. И. Трёхмерный аналог задачи Гурса / В. И. Жегалов // Неклассические уравнения и уравнения смешанного типа. Новосибирск: Ин-т матем. СО АН СССР, 1990. - С. 94-98.

20. Жегалов, В. И. Трёхмерный вариант каскадного метода / В. И. Жега-лов. Материалы VI междунар. конф. им. акад. М. Кравчука. - Киев, 1997. - С. 165.

21. Жибер, А. В. Алгоритм построения общего решения n-компонентной гиперболической системы уравнений с нулевыми инвариантами Лапласа и краевые задачи / А. В. Жибер, Ю. Г. Михайлова // Уфимский матем. журнал. 2009. - Т. '1, №3. - С. 28-45.

22. Жибер, А. В. Интегралы, решения и существование преобразований Лапласа линейной гиперболической системы уравнений / А. В. Жибер, С. Я. Старцев // Мат. заметки. 2008. - Т. 74, вып. 6. - С. 848—857.

23. Жибер, А. В. Нелинейные гиперболические системы уравнений лиувил-левского типа / А. В. Жибер, В. В. Соколов, С. Я. Старцев // Тезисы докладов международной конференции «Тихонов и современная математика». М.: МГУ, 2006. - С. 305-306.

24. Жибер, А. В. О гиперболических системах уравнений с нулевыми обобщёнными инвариантами Лапласа / А. В. Жибер, Ю. Г. Михайлова // Тр. Ин-та математики и механики. Т. 13, вып. 4. - Екатеринбург, 2007. -С. 74-83.

25. Жибер, А. В. О нелинейных гиперболических уравнениях, интегрируемых по Дарбу / А. В. Жибер, В. В. Соколов // Доклады РАН. 1995. -Т. 343, №6. - С. 746-748.

26. Жибер, А. В. Точно интегрируемые гиперболические уравнения лиувил-левского типа / А. В. Жибер, В. В. Соколов // УМН. 2001. - Т. 56, вып. 1. - С. 63-106.

27. Зайцев, В. Ф. Справочник по нелинейным дифференциальным уравнениям / В. Ф. Зайцев, А. В. Полянин. М.: Наука, 1993. - 462 с.г г

28. Зайцев, В. Ф. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям / В. Ф. Зайцев, А. В. Полянин. М.: Физматлит, 2001. - 576 с.

29. Ибрагимов, Н. X. Практический курс дифференциальных уравнений иматематического моделирования / Н. X. Ибрагимов. Нижний Новгород: Изд-во Нижегородского госуниверситета им. Н. И. Лобачевского,2007. 421 с.

30. Камке, Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям / Э. Камке. М.: Наука, 1976. - 576 с.

31. Кощеева, О. А. 0.: построении функции Римана для уравнения.1 Бианки в n-мерном пространстве / О. А. Кощеева // Изв. вузов. Математика.2008. т. - С. 40-46.

32. Кощеева, О. А. Об условиях понижения порядка линейных уравнений со старшими частными производными / О. А. Кощеева // Изв. вузов. Математика. 2007. - №6. - С. 45-54.

33. Кощеева, О. А. Один случай построения функции Римана для уравнения Бианки / О. А. Кощеева // Тез. докл. конф. «Дифференциальные уравнения и их приложения». Самара: Изд-во «Универс. группа», 2007. -С. 68-71.

34. Кузнецова, М. Н. Преобразование Лапласа и нелинейные гиперболические уравнения / М. Н. Кузнецова // Уфимский матем. журнал. 2009. -Т. 1, №3. - С. 87-96.

35. Нахушев, А. М. Уравнения математической биологии / А. М. Нахушев. -М.: Высш. школа, 1995. 301 с.

36. Севастьянов, В. А. Об одном случае задачи Коши / В. А. Севастьянов // Дифференц. уравнения. 1998. - Т. 34, №12. - С. 1706—1707.

37. Солдатов, А. П. Краевые задачи с общим нелокальным условием А. А. Самарского для псевдопараболических уравнений высокого порядка / А. П. Солдатов, М. X. Шхануков // ДАН СССР. 1987. - Т. 297, №3. -С. 547-552.

38. Старцев, С. Я. Метод каскадного интегрирования Лапласа для линейных гиперболических систем уравнений / С. Я. Старцев // Мат. заметки. -2008. Т. 83, вып. 1. - С. 107-118.

39. Степанов, В. В. Курс дифференциальных уравнений / В. В. Степанов. -М.: ГИФМЛ, 1959. 468 с.

40. Трикоми, Ф. Лекции по уравнениям в частных производных / Ф. Трико-ми. М., 1957. - 443 с. Переиздано (стереотип) в 2007 г.: М.: Комкнига.

41. Уткина, Е. А. К задачам с условиями на характеристиках для общего псевдопараболического уравнения / Е. А. Уткина // Вестник Самарского гос. технического ун-та. Серия математическая. - 2003. - №2. -С. 217-223.

42. Уткина, Е. А. К развитию метода Лапласа для одного общего трёхмерного уравнения / Е. А. Уткина // Тр. междунар. научн. конф. «Современные методы физико-математ. наук». Орел, 2006. - С. 126—129.

43. Уткина, Е. А. Об одном применении метода каскадного интегрирования / Е. А. Уткина // Дифференц. уравнения. 2007. - Т. 43, №4. - С. 566—569.

44. Фаге, М. К. Задача Коши для уравнения Бианки / М. К. Фаге // Матем. сб. 1976. - Т. 151, №3. - С. 281-322.

45. Фаге, М. К. Операторно-аналитические функции одной независимой переменной / М. К. Фаге // Тр. Моск. матем. об-ва. 1958. - Т. 7. -С. 227-268.

46. Фаге, М. К. Проблема эквивалентности обыкновенных дифференциальных операторов / М. К. Фаге, Н. И. Нагнибида. Новосибирск: Наука, 1987. - 290 с.

47. Чудновский, А. Ф. Теплофизика почв / А. Ф. Чудновский. М.: Наука, 1976. - 352 с.

48. Шхануков, М. X. О некоторых краевых задачах для уравнения третьего порядка, возникающих при моделировании фильтрации жидкости в пористых средах / М. X. Шхануков // Дифференц. уравнения. 1982. -Т. 18, №4. - С. 689-699.

49. Шхануков, М. X. Об одном методе решения краевых задач для уравнения третьего порядка / М. X. Шхануков // ДАН СССР. -1982. Т. 265, №6. -С. 1327-1330.I

50. Anderson, J. М., Kamran N. The variational bicomplex for second order scalar partial differential equations in the plane / J. M. Anderson, N. Kamran // Duke. Math. J. 1997. - Vol. 87, №2. - P. 265-319.

51. Bateman, H. Logarithmic solutions of Bianchi's equation / H. Bateman // Proc. USA Acad. 1933. - Vol. 19. - P. 852-854.

52. Bianchi, L. Sulla estensione del metodo di Riemann alle equiazioni lineari alle derivate parziali d'ordine superiore / L. Bianchi // Atti R. Accad. Lincei. Rend. CI. Sc. fis., mat. e natur. 1895. - Vol. IV, 1 sem. - P. 89-99, 133-142.

53. Colton, D. Pseudoparabolic equations in one space variable / D. Colton // J. Different. Equat. 1972. - Vol. 12, №3. - P. 559-565.

54. Copson, E. T. On the Riemann-Green fonction / E. T. Copson // Jorn. Rat. Mech. Anal. 1958. - Vol. 1. - P. 324-348.

55. Ibragimov, N. H. Laplace Type Invariants for Parabolic Equations / N. H. Ibragimov // Nonlinear Dynamics. 2002. - Vol. 28, №2. - P. 125-133.

56. Lahaye, E.La metode de Riemann appliquee a la resolution d'une categorie d'equation lineards de troisifeme ordre / E. Lahaye // Bull. cl. sci. Acad. Roy. de Belg. 1946. - 5 serie. - Vol. 31. - P. 479-494.

57. Niccoletti, 0. Sull' estensione del metodo di Riemann alle equiazioni lineari a derivate parziali d'ordine superiore / O. Niccoletti // Atti R. Accad. Lincei. Rend. Cl. Sc. fis., mat. e natur. 1895. - 1 sem. - P. 330-337.

58. Rundell, W. Remarks concerning the supports of solution of pseudoparabolic equation / W. Rundell, M. Stecher // Proc. Amer. Math. Soc. 1977. -Vol. 63, №. - P. 77-81.

59. Rundell, W. The uniqueness class for the Cauchy problem for pseudoparabolic equation / W. Rundell, M. Stecher // Proc. Amer. Math. Soc. 1979. - Vol. 76, №. - P. 253-257.