Применение дифференциальных уравнений к решению интегральных уравнений Вольтерра тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат наук Шакирова, Инна Маратовна

• Шакирова, Инна Маратовна
• кандидат наук
• 2018

Оглавление диссертации кандидат наук Шакирова, Инна Маратовна

Оглавление

ВВЕДЕНИЕ 4 Глава

ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ОДНОЙ НЕЗАВИСИМОЙ

ПЕРЕМЕННОЙ

§1. Процесс редукции уравнений с вырожденными ядрами к задачам

Коши для обыкновенных дифференциальных уравненияй

1. Преобразование, основанное на дифференцировании исходного уравнения

2. Преобразование, основанное на замене искомой функции

3. Комбинации преобразований

§2. Об одном аспекте метода каскадного интегрирования

Глава

РАЗРЕШИМОСТЬ ЗАДАЧИ ГУРСА В КВАДРАТУРАХ

§3. Случай классической задачи

1. Постановка задачи, формула ее решения и известные результаты по разрешимости в квадратурах

2. Новые результаты

§4. Переход в трехмерное пространство

Глава

ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ НА ПЛОСКОСТИ И В

ТРЕХМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ

§5. Случаи с двумя независимыми переменными

1. Первый вариант

2. Второй вариант

3. Примеры

4. Иной подход к решению во втором варианте

§6. Трехмерное уравнение

1. Варианты условий, обеспечивающих определение граничных значений задачи Гурса в явном виде

2. Условия построения формулы решения задачи Гурса

3. Использование факторизации

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Применение дифференциальных уравнений к решению интегральных уравнений Вольтерра»

ВВЕДЕНИЕ

Цель работы, актуальность темы и ее связь с предыдущими исследованиями.

Отыскание условий, обеспечивающих построение решений рассматриваемых интегральных уравнений в квадратурах является основной целью данной работы. Подобные исследования традиционно считаются актуальными, а их результаты находят свое отражение в соответствующих справочниках, к примеру [52].

Методика, применяемая в представленной диссертации, основана на результатах теории уравнений с доминирующими частными производными, общий вид которых определяется формулой вида

^ > - дхйЪ + а«(х) =' <*>■ (1)

где (#1,... , хп) - декартовы координаты точки х, к = к1 + ... + кп, а =

(«1,... ,ап), |а| = а1 + ... + ап, кь,а8, в = 1,п - целые неотрицательные числа, к > 1, V - искомая, аа, / - известные функции.

Признаком, выделяющим (1) из множества уравнений с частными производными, является наличие в правой его части первого слагаемого: все прочие производные, входящие в уравнение, получаются из этого слагаемого отбрасыванием по крайней мере одного дифференцирования по какой-либо из независимых переменных.

В случае т8 = 1, в = 1,п принято (1) называть уравнением Бианки. В 1895 г. Бианки и Николетти [78], [98] рассматривали (1) как теоретическое обобщение уравнения vxy + avx + bvy + ^ = / на случай п независимых переменных. Позже выяснилось, что частные случаи уравнения (1) имеют место, к примеру, при передачи тепла в гетерогенных сферах, математическом моделировании процессов вибрации, в биологических явлениях, распространения волн в диспергирующих средах, обратных задачах и др. (см. библиографию к статье [13]).

Среди упомянутых выше уравнений наиболее известны: уравнение изгиба тонкой сферической оболочки Векуа [8, с. 258], уравнения Аллера [87], описывающее процесс переноса почвенной влаги в зоне аэрации, и Буссинеска-Лява [62], возникающее при исследовании движения волн в средах с сопротивлением. Важную роль уравнения вида (1) имеют и в теоретических исследованиях: теория отображений, теория аппроксимации, задача интегрального представления преобразования одних линейных дифференциальных операций в другие [6, с. 63, 109], [66], [67, с. 5-13].

За рубежом уравнениям вида (1) свои работы посвящали: H. Bate-man, D. Colton, A.Corduneany, S. Easwaran, M. Hallaire, E. Lahaye, D. Mangeron, Ni Xingtang, M.N. Oguztoreli, W. Rundell и др.

Внимание к общему уравнению вида (1) при n = 2 возникло благодаря задачам теории упругости. Началом исследованиям в данном направлении послужили статьи Николая Ивановича Мусхелишвили в 1919 г. и Ильи Несторовича Векуа в 1937 г. Начиная со второй половины XX века, вопросы, связанные с уравнениями вида (1) при n > 2 изучали такие математики, как С.С. Ахиев, Б.А. Бондаренко, О.М. Джохадзе, В.И. Жегалов, А.И. Кожанов, М.П. Котухов, О.А. Кощеева (Тихонова), А.Н. Миронов, Л.Б. Миронова, В.А. Севастьянов, А.П. Солдатов, Е.А. Уткина, М.К. Фаге и др. Основные из полученных результатов нашли отражение в монографиях [15] и [27].

Некоторые из перечисленных авторов, а именно Валентин Иванович Жегалов, Алексей Николаевич Миронов и Ольга Александровна Кощеева, в своих работах занимались нахождением возможностей построения в квадратурах решения рассматриваемых задач. Одна из возможностей такого построения связана с известным методом решения задачи Коши, предложенным в свое время Бернхардом Риманом, для уравнения

Uxy + aux + buy + cu = f

и распространенным затем на уравнения типа (1). Важную роль здесь выполняет функция Римана R: в терминах этой функции решения задач Коши и Гурса могут быть записаны в явном виде. В общем случае о функции Римана известно лишь то, что она существует. В.И. Жегалову,

А.Н. Миронову и О.А. Кощеевой удалось отыскать варианты условий, накладываемые на коэффициенты исходных уравнений, достаточные для построения функции Римана в явном виде, что, в свою очередь, равнозначно возможности решения в квадратурах соответствующих задач.

Наиболее любопытной для автора является статья В.И. Жегалова [20], в которой имеют место варианты интегральных уравнений Вольтерра для двух и трех независимых переменных, редуцируемых к задачам типа Гурса. В терминах коэффициентов исходных уравнений получены условия их разрешимости в явном виде, то есть в квадратурах. Содержание этой публикации привело автора представленной диссертации к идее о возможности нахождения новых случаев уравнений Вольтерра, решаемых в квадратурах. Собственно говоря, осуществлением указанной идеи мы и занимались в данной работе.

Считаем, что вышеуказанная связь темы диссертационной работы с интенсивно развивающимся направлением исследований придает ей дополнительную актуальность.

Методы исследования. Используются результаты теории обыкновенных дифференциальных уравнений, уравнений с частными производными и интегральных уравнений Вольтерра.

Научная новизна. Наиболее значимые новые результаты диссертации состоят в следующем:

• В случае одной независимой переменной разработана процедура редукции уравнений Вольтерра с вырожденными ядрами к задачам Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений.

• На основе дальнейшего изучения возможностей метода каскадного интегрирования для задачи Гурса в классической постановке к уже имеющимся достаточным условиям ее разрешимости в квадратурах добавлены четыре новых варианта подобных условий.

• Для уравнений Вольтерра с двумя и тремя независимыми переменными разработаны новые способы их редукции к задачам Гурса и на основе применения к получаемым при этом уравнениям в частных

производных методов Римана и факторизации выделены новые наборы условий разрешимости исходных уравнений в квадратурах.

Теоретическая и практическая ценность. Представленная работа носит теоретический характер. Она включает в себя результаты, которые могут быть использованы в дальнейших научных исследованиях, а также в образовательном процессе при чтении спецкурсов. Не исключена возможность приложений, связанных с математическим моделированием в указанных выше областях применения теории уравнений с доминирующими частными производными.

Апробация. Результаты диссертации по мере их получения докладывались на:

• итоговых научных конференциях Казанского (Приволжского) федерального университета (2010 — 2013 гг.),

• Всероссийских молодежных научных школах-конференциях «Лобачевские чтения» (Казань, 2009 — 2012 гг., 2016 г.)

• международных Казанских летних научных школах-конференциях «Теория функций, ее приложения и смежные вопросы» (Казань, 2011 г., 2013 г. и 2015 г.)

• Всероссийской научной конференции с международным участием «Дифференциальные уравнения и их приложения» (Стерлитамак, 2011 г. и 2013 г.)

• Десятой школе молодых ученых «Нелокальные краевые задачи и проблемы современного анализа и информатики» (Нальчик, 2012 г.)

• на международной конференции «Дифференциальные уравнения и их приложения» (Белгород, 2013 г.).

Публикации. По содержанию диссертации имеются 18 публикаций в научной печати: [21], [24] - [26], [54] - [61], [68] - [73], из них пять ( [24], [26], [68], [69] и [72]) в изданиях из Перечня ВАК.

Объем и структура работы. Диссертационная работа изложена на 90 страницах машинописного текста и состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы, содержащего 106 наименований, включая работы автора.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

В первой главе рассматривается уравнение Вольтерра с одной независимой переменной вида:

x

/и

ак (x)bk (t)y(t) dt + f (x), x G [a, в ], f,ak A G C [a,ß ],

xo k=1

для которого имеет место теорема о существовании единственного решения [53, c. 439]. В случае x = ß это уравнение является фредгольмовым и имеет название «с вырожденным ядром» (см. [53, с. 448]). Оставим это название, в том числе, и для уравнения Вольтерра.

В §1 описана процедура, допускающая выделение для этого уравнения случаев построения его решения в явном виде. Представленный метод основан на 2х преобразованиях A и B.

Так, преобразование, основанное на дифференцировании исходного уравнения (мы обозначили его как преобразование A) позволяет снизить количество слагаемых в сумме в правой части уравнения на единицу. Ясно, что последовательное применение к исходному интегральному уравнению A на n-ом шаге преобразует его в задачу Коши вида

у(и) = Mn-i(x, y, ...,y(n-1) ), y(xo) = f (xo ),

y(s)(xo) = Ms-i(x, y, ..., y(s —1) ) |x=xo , s = 2n—ï,

где

Mn-i(x,y,...,y(n 1) ) = an-in

Mn-2(x,y,...,y(n-2) )

an-1,

/

+

a

. n 1 ,n (n-1) , 7

+--- y( ) + an-1,nbny,

an—1,n

an— 1,n an—2,n—1

an-2,n an—2,n— 1

Преобразование В, основанное на замене искомой функции по

формуле

X

У1 = У (*)

хо

аналогично А позволяет уменьшить количество слагаемых под знаком интеграла в исходном уравнении на единицу. Здесь задача Коши имеет следующий вид:

упп) = ^п_1(х,уп,...,упп_1)), упв)(хс) = 0, в = о;п-т,

где

Жп-1(х,Уп, ...,У[П 1)) = Сп-1,пЬп-1,пУп +

+Ьп-

п—1,п

п-2 , 1

Жп-2,с(х,уп ,...,упп-1)) сдЛ —

п \ Ьп—

в=0 4

(п-1—в)

п— 1,п.

У(в+1) Уп

Жп-2,с(х,У„ ,...,у(п-1))= Жп-2

У п / уп \ / / Уп _) (п 2)

х, Ь , (Ь ) , ..., (ь )

Ьп— 1,п Ьп—1,п Ьп—1,п

Сп-1,п(х) = Ьп- 1(х)ап(х), Ьп-1,п(^) = -

ЬпМ

Итогом вышеприведенных рассуждений является лемма 1.1, где сформулированы условия вида

1)/,ак е С п[а,в ], Ьк е с [а, в], к = 1,п,

а5,5+1 = 0, в = 0, п - 1, ао,1 = а1,

2)/,ак е С [а, в], Ьк е Сп[а,в], к = 1,п,

Ь5,5+1 = о, в = 0, п - 1, Ьо,1 = Ь1,

выполнение которых влечет за собой приведение исходного интегрального уравнения к задаче Коши.

В случае п > 1 число задач Коши может быть увеличено благодаря применению комбинаций преобразований А и В. Таким образом, сформулирована и доказана теорема 1.1, которая гласит, что общее число наборов определенных условий, позволяющих редуцировать уравнение Вольтерра с вырожденным ядром к задаче Коши есть 2пп!

В п.3 §1 разобран частный случай п = 2: комбинации преобразований АА, АВ, ВА и ВВ.

Понятно, что решение получаемого после применения преобразований дифференциального уравнения влечет за собой построение решения исходного интегрального уравнения Вольтерра. Для решения дифференциальных уравнений можно воспользоваться известными справочниками, например [36]. Кроме того, в конце §1 приведены примеры разрешимости получаемых уравнений второго порядка в квадратурах, а в §2 предложен для таких уравнений вариант метода каскадного интегрирования.

Вторая глава носит подготовительный характер к содержанию третьей главы, где исследуются возможности решения в квадратурах уравнений Вольтерра с двумя и тремя независимыми переменными. Будем редуцировать эти уравнения так же к дифференциальным, но уже с частными производными. Роль задачи Коши из предыдущей главы переходит к задаче Гурса.

Как известно, задача Гурса, в ее классической постановке рассматривается в области Т = {хо < х < х1, уо < у < у1} и состоит в отыскании регулярного решения уравнения уху + аух + Ьуу + су = / по условиям

у(хо,у) = д(у), у(х,уо) = V(х), м(уо) = V(хо), х е [хо,Х1],у е [уо,у1 ].

Для нахождения решения задачи применим метод Римана. Тогда решение будет зависеть от функции Римана Я. Таким образом, исходная задача разрешима в квадратурах, если функция Римана может быть записана в явном виде. К началу работы над диссертацией автором были найдены три варианта условий, достаточных для представления Я в явном виде. Два из них определялись (соответственно) тождествами

Ь = ах + аЬ — с = 0; к = Ьу + аЬ — с = 0.

Значения Я в данных случаях выписаны в [15, формулы (1.23), (1.24)].

Третий вариант определялся двумя тождествами ах = Ьу, ах + аЬ — с = а(х)в(у) = 0 с любыми непрерывными функциями а, в. Они просто определяли структуру конструкции, стоящей в левой части. При этом

функция Римана Я определялась через а, Ь и функцию Бесселя первого рода

1/2

нулевого порядка </0(7), где аргумент 7 был равен 2

Конструкции к связаны с методом каскадного интегрирования. В связи с этим возникла мысль присмотреться к этому методу на предмет обнаружения дополнительных условий построения функции Римана в явном виде. И действительно, автору совместно с научным руководителем В.И. Жегаловым удалось получить еще четыре условия, которые нашли свое отражение в работе [26]. Итогом упомянутой статьи является лемма 3.1, в которой выписаны условия для нахождения функции Я в квадратурах, и теорема 3.1, где предложены необходимые условия для построения решения задачи Гурса в явном виде (используются результаты леммы 3.1 и дополнительно накладываются условия гладкости на граничные значения).

Таким образом, полученные новые соотношения более чем вдвое увеличивают количество уже известных возможностей решения задачи Гурса в квадратурах.

Следующим шагом было обнаружение подобных условий для трехмерной задачи Гурса, когда в области Б = {хо < ж < х1, уо < у < у1, го < г < г1} необходимо найти решение уравнения

^ + а^ху + ЬУ^ + СУ^ + + еуу + /^ + ду = Ф

по следующим условиям

у(жо,у,г)= ^1(у,*0, у (ж,Уо,г)= ), у(х,у,го) = (ж, у);

^2(ж, го) = ^з(х,уо), ^1(у,го)= ^(хо,у), ^(уо,г) = ^з(хо,г). Итогом явился §4, в котором в терминах соотношений

= ах + аЬ — е, = ау + ас — = Ьу + Ьс — /,

= Ь^ + аЬ — е, = сх + Ьс — /, = с^ + ас —

= 4 + Ь^ — д, ^в = еу + се — д, ^д = / + а/ — д, к1 = Ь^ + аЬу + сЬ^ + Ь^ — д,

k2 = cxz + acx + bcz + ce - g,

кз = axy + cax + bay + af - g.

выписаны условия, позволяющие факторизовать левую часть исходного уравнения операторами первого порядка, а также комбинациями операторов первого и второго порядка.

В первом случае функция Римана известна, ее представление можно найти в [15, с. 35-39]. Во втором же случае мы получили две последовательно решаемые задачи: первая из которых - задача Коши для уравнения первого порядка, а вторая - задача Гурса на плоскости.

Все только что перечисленное создало в третьей главе основу для развития результатов первой главы с целью их распространения на плоскость и в трехмерное пространство.

В §5 предметом исследования стали два варианта уравнений:

x y

v(x,y) + ai(x,y) J bi(^y)v{€,y)d£ + a2(x,y) J b2(x,n)v(x,n)dn = F{x,y),

xo У0

и

x У

J + У в(x,n)v(x,n)dn+

xo yo

x y

= F (x,y),

+ у у с(^№,п№<1г1

Хо Уо

рассматриваемых в области Т = {х0 < х < х1, у0 < у < у1}.

К первому из них мы применили преобразования типа АВ, описанные в первой главе. Итогом стали две различные задачи Гурса:

хХу + + В Ху + С\х =

где

А = а2Ь2, В = Й1&1 - [1п(а1&2)]х, С = Ъ2\(Ь2Х - а2(\п(ц)х],

^ = Ь2[^х - ^(1па{)х]. х (х,уо) = 0,

г (жо,у) = а2(хо,у)

Г (хо, п)

а2(хо,п)

ехр \ а2(хо,П1)Ь2(хо,П1)^П1 I ¿п

У0

и

Мху + ^2Мх + ^2Му + С2М = ^2, А = а2Ь2 — [1п(а2Ьх)]у, В = ахЬх, С2 = Ь1[а1у — а1 (1п а2 )у ],

Р = Ь1[^у — Г (1п а2)у ]

с граничными условиями

м(х,уо) = а1(х,уо)

м(жо,у) = 0,

Г (£,уо)'

_а1(^,уо).

ехР I / а1(^1,уо)Ь1(^1,уо)^^1 I

х0

е

Применяя к полученным задачам доказанную во второй главе теорему 3.1, получаем условия разрешимости исходного уравнения в квадратурах.

Ко второму уравнению были применены преобразования типа АА, что привело к задаче Гурса:

Уху + МУх + #Уу + РУ = ф,

где

м=вв ^1п а

м в,

N = Ав + Ап а

а V в,

«=а к

р . в

а

а

Ау + Вх + С + ( в

ху

ху

с граничными условиями

у / п

У(хо,у) = в(хо,у) / ехр N В(хо:п1 )в(Хо'П1) йп I ф,

а(хо, у) У \в

у0

а(хо,П1)

У(ж,уо) = М [ (?) ехр I / )в<^"уо)^ I

а(х,уоЫ \в7е

х0

а(^1,уо)

у

п

п

е

х

у

х

п

Для обоих уравнений приведенные выше рассуждения справедливы при условии а1(х,у)Ь1(х,у)а2(х,у)Ь2(х,у) = 0.

В третьем пункте разобраны примеры, показывающие, что сформулированные условия разрешимости могут иметь место. Четвертый пункт посвящен случаю уравнения:

х

У(х,у)+ а1(х,у) ! Ь1(С,уМ^уЖ+

хо

х у

+а2(х,у)! J Ы^пМ^пЖ^п = / (x,y),

хо уо

а1(х,у)Ь1(х,у)(2(х,у )Ь2(х,у) = 0,

которое после дважды проведенной операции дифференцирования и замены искомой функции преобразовалось в задачу Гурса:

ихху + Аихх + Виху + Сих + Впу + Еи = Р,

и(х,уо) = Ф(х), и(хо,у) = 0, Пх(хо,у) = Ь1(хо,у)/(хо, у).

В [15] был предложен способ выявления случаев разрешимости, основанный на факторизации оператора в левой части уравнения. А именно, при выполнении определенных тождеств, уравнение можно записать как

(д \ ( д2и ди ди \

тт + А тгтг + + В^ + Ст) = Р, дх дхду дх ду

где

А1 = А = -Ху, В1 = В - А = а1Ь1 - Хх + Ху, С = С - Ах - А2 = а2Ь2 + Ь1[(1у - (1(1п (2)у] + ХуХх - Х2у.

Таким образом, задача Гурса распадается на две последовательно решаемые задачи:

Хх + Ах = Р, х (хо,у) = [р1(хо,у)/(хо,у)]у + А(хо,у)Ь(хо ,у)1 (хо,у)

и

и)ху + А^Шх + В^Шу + Сш = х, ш(хо,у) = 0, ш(х,уо) = &(х).

Способ решение первой задачи Коши известен. Тогда как решение второй задачи может быть записано через функцию Римана, условия построения которой описаны в §2. Итогом вышеописанных рассуждений является теорема 5.3, содержащая условия построения интегрального уравнения второго порядка в явном виде, то есть в квадратурах.

Подобным образом может быть разобран случай, в котором

переменные (ж, у) поменялись ролями:

у

V(ж, у) + аз(ж, у) У Ьз(ж, пМж,

У0

х у

+а2(ж,У)У J = /(ж,у).

х0 у0

Заключительный §6 посвящен трехмерному уравнению в области В = {жо <ж<жь Уо <У<У1, ¿0 < г < ¿1}:

х У

^ у г) + / Л«,у, Ф «, уг № + / в (а, . М^* г

х0 у0 г х у

+ У с (ж,у,С)v (ж,у,С Ж + У У +

го хо уо

х г у г

+ УУ Е (е,у,с )v (е,у,С + 1У Е (ж,п,С )v (ж,п,С

хо го уо го

х у г

+ // / ^^ = Ф(ж,у, г),

хо уо го

где на коэффициенты интегрального уравнения накладываются определенные условия гладкости.

д 3

Здесь, применяя оператор 0 о , мы получили задачу Гурса

дждудг

Vxyz + ^ху + ^ + + ^х + eVy + /^ + ду Фхуг,

с граничными условиями у(жо,у,г) = ), у(ж,уо,г) = (ж,£),

у(ж,у,го) = ^з(ж,у), удовлетворяющими соотношениям:

У г

^(у^ + У В ЖСп^Ж + 1С (хо,У,С )^1(у,с Ж+

Уо го

У г

+ У У Е(хо,П,СШ^СЖ^П ^^у^),

Уо го

х г

«ж,г)+У А(^,уо,г^К,*Ж ^ С(ж,уо,СШ®,СЖ+

хо го

х г

+ УУ Е (е,уо,С = Ф(ж,уо,*),

хо го

х У

^з(х,у) + У Ж^у^оШ^уЖ + /В (>,п,^о)^з(х,пЖ+

хо Уо

х У

+ УУ Д^П^оШ^пЖ^ = ф(х,у,^о).

хо Уо

Полученные соотношения для граничных условий задачи Гурса представляют собой интегральные уравнения Вольтерра второго порядка, для которых в п.1 выписаны, основываясь на результатах §3, условия, обеспечивающие их разрешимость в квадратурах.

Во втором пункте доказана теорема 6.1, в которой сформулированы условия разрешимости исходного уравнения в явном виде.

Еще один способ нахождения условий разрешимости, описанный в п.3 - это факторизация операторами первого и второго порядка в терминах

конструкций к^, й = 1,9,£ = 1,3.

Итогом §6 является теорема 6.2, которая гласит, что условием разрешимости интегрального уравнения третьего порядка является выполнение определенных шести тождеств, в каждом из которых по три соотношения, записанные через коэффициенты исходного интегрального уравнения. Причем достаточно, чтобы в одном наборе имели место все три

тождества, а в остальных пяти наборах выполнялись бы только два первых из них.

Глава 1

ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ОДНОЙ НЕЗАВИСИМОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

у(х) = (х)Ь (г)у(г) ¿г + ¡(х), х е [а,в], ¡,ак А е С [а, в]. (0.1)

Указанные здесь условия гладкости коэффициентов обеспечивают [53, с. 439] существование единственного решения данного уравнения.

Нашей целью является отыскание возможностей решения (0.1) в

явном виде. Для этого предлагаются варианты его редукции к задачам Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений. Функции и полагаем линейно независимыми.

вырожденными ядрами к задачам Коши для обыкновенных дифференциальных уравненияй

1. Преобразование, основанное на дифференцировании исходного уравнения

Пусть ¡, е Сп[а,в е С [а, в ] и при этом а1 = 0. Разделив (0.1) на а1, получим

Рассматриваются уравнения вида

X

1. Процесс редукции уравнений с

у(х)

а^х)

а-\_(х)

/ (х)

Продифференцировав полученное соотношение и умножив на а\, придем к

у'(х) =

а\Ъ\ +

а[ (х) а\(х)

X

/и

Е

хо к=2

ак (х) а1(х)

а\(х)Ък(г)у(г) (г+

+ Е ак(х)Ък(х)у(х) + ах(х)

к=2

ш

а\(х)

или

у' = Мо(х,у)+ а1,к(х)Ък(г)у(г) ЛЬ, у(хо) = —(х0), (1.1)

хо

к=2

где

а1,к (х) = а\(х)

ак (х) а1(х)

, к = 2,п,

(/ \' а' и

— ) + -1 у + У^ ак Ък у. (ц) (ц

(1.2) (1.3)

Отметим, что второе слагаемое в правой части (1.3) возникло благодаря дифференцированию дроби у/а1.

Переход от (0.1) к (1.1) обозначим как преобразование А. Заметим, что (0.1) и (1.1) имеют в правых частях идентичную структуру, только количество слагаемых в (1.1) под знаком суммы снизилось на единицу, тогда как в левой части функция у перешла в у'. В силу а1 = 0 линейная

независимость ак влечет линейную независимость а1кк, к = 2,п. В случае, когда а1:2 = 0, применим А уже к уравнению (1.1), в результате получим

у'(х) Мо (х,у)

а1,2(х) а\22(х)

+ Е

хо

к=2

а1,к (х) а1,2(х)

Ък (г)у(г) (г.

После дифференцирования имеем у''(х) а'х^

у

а\22(х) а212(х)

Мо(х,у)

а1,2(х)

+ Ъ2(х)у(х) +

+ Е

хо

к=3

а1,к (х) а1,2(х)

и а (х) Ък (г)у(г) (г + £ ^^ Ък (х)у(х),

к=3 а1,2 (х)

х

х

х

затем умножим на a^2 получившееся соотношение:

/ n

Mnix.y)

+ ai,2

n, , ' a1,2 (x)

y (x) = y , / ч ai,2(x)

Mn(x,y)

ai,2 (x)

+ ^ ai,k (x)bk (x)y(x) +

k=2

x

/n

^ ai,2(x)

X0 k=3

ai,k (x) ai,2(x)

bk(t)y(t) dt.

Используем следующие обозначения

" Мо(х,у)

Mi(x,y,y' ) = ai,2

ai,2

' a'

+ — У' + У] ai,k bk y,

ai,2 1,2 k=2

a2,k (x) = ai,2(x) В итоге получим

ai,k (x) ai,2(x)

k = 3, n.

(1.4)

(1.5)

y'' = Mi(x,y,y')+ / ^ a2,k(x)bk(t)y(t) dt, y(xn) = f(xn), (1.6)

x0

k=3

у/(хо) = Мо(х,у)|х=хо. Продолжая последовательное применение преобразования Л, после т шагов (т < п — 1) получим аналоги формул (1.1) - (1.3) и (1.4) - (1.6):

y(m) = Mm-i(x,y,...,y(m-i))^ ^ am,k (x)bk (t)y (t) dt,

x0 k=m+i ( . )

y(xn) = f (xn), y(s)(xn) = Ms-i(x,y, ...,y(s-i))|:

| x=x0

s = 1, m — 1,

Mm-i(x,y, ...,y(m i)) = am-i,m

Mm-2(x,y,...,y(m-2))

am—i,

+

'n

+y(m-i) + ^ am-i,kbky,

am—i,m

am,k am—i,

am—i,k

k=m /

, k = m + 1, n.

ат—1,ш_

В случае т = п интегральных слагаемых в (1.7) не будет. Таким образом, мы получим дифференциальное уравнение с известными значениями у(в)(хо), й = 0,п — 1:

y(n) = Mn-i(x, y,..., y(n-i)), y(xn) = f (xn),

(1.8)

x

x

у(в)(хо) = Мя_1(ж,у, ...,у(5-1))|х=хо, 5 = 2,п - 1.

Неравенства, обеспечивающие переход от исходного уравнения (0.1) к задаче Коши (1.8), имеют вид

а5,5+1 = 0, 5 = 0, п _ 1, ао,1 = (1.9)

2. Преобразование, основанное на замене искомой функции

Пусть теперь коэффициенты в (0.1) удовлетворяют иным условиям гладкости, а именно: Е Сп[а,в], /, £ Сп[а,в]. Если 61 = 0, то введение новой искомой функции

х

У1 = / (*) ^ (1.10)

хо

позволяет записать исходное уравнение (0.1) в следующем виде

х

п

У1 = «1У1 +1 £ (х) у; (¿) ^ + / (х).

хо к=2

Интегрируем по частям получившееся соотношение и умножаем на Ь1, таким образом, придем к

х

п

= Й1&1У1 + «к(х)Ьк(х)у(х) _ ^«к(х)&1(^)У1(^)

к=2 х^ к=2

МО

Ьх(^).

/

^ + 6/ (х),

откуда при вводе обозначений

п

Л/о(ж,у1) = 61/ + ^ а^У1, (1.11)

к=1

(*)" '

С1,к (х) = б1(х)а^ (х), 61,^ (£) = _

имеем:

61Й

к = 2,п. (1.12)

х

п

у; = Л0(х,у1) + / ^ С1,к(х)б1,к(¿ЫО У1(хо) = 0. (1.13)

хо к=2

Процедуру перехода от исходного уравнения (0.1) к получившемуся выше уравнению (1.13) обозначим как преобразование В. Результат после применения преобразования В подобен результату, полученном ранее в п.1: в правой части число слагаемых в интеграле снизилось на единицу, тогда как в левой части появилась у'. К тому же а1:к и линейно независимы. В случае, когда Ь1:2 = 0, преобразование В можно применить к уравнению (1.13). В этом случае вместо (1.10) введем замену

X

У2 = I ь^Ыг) «г. (1.14)

хо

Здесь для подстановки в (1.13) следует выразить из (1.14) у1 и у':

У2 ' У2 ' Ь1,2

Ух = Г~, У' = 1--У^Г2Г ■

ь',2 Ь1,2 ь'2

Тогда (1.13) имеет вид

х

У2 Л2 ^ , У'2 , х^^^ ^У2 (г)

п ' (* п ' (+\ У2ьи = £ акЬ>£ Ч ? ^(Х)Ь1*(г)Ш) М + ^(Х)■

к=1 ' X к=2

х0

Здесь снова с помощью применения операций интегрирования и умножения на Ь1:2(х) получим соотношения

х

п П

(1.15)

у2 = Щх,У2,У>2) + ^ Е С2,к (х)Ь2,к (г)У2(г) <й,

хо к=3

у28\хо) = 0, з = 0,2,

роль (1.11), (1.12) играют формулы

Ь' п

N1 {Х,У2,У2) = ^У2 + Ь1,2Щ,0(Х, у2) + V с1,кЬ1,кУ2, (1.16)

Ь1 2 —

1,2 к=2

Щ,о(х,у'2 ) = N0

У'2

х,

Ь

1/2

(1.17)

Ь1,к\'

С2,к(х) = Ь1,2(х)с1,к(х), Ь2,к(г) = -( , к = 3,п, (1.18)

Функции и снова линейно независимы. В случае 62,з = 0 вновь применяем преобразование В и приходим к

х п

Уз" = N2(х, уз, у3,у")+ / Е сз,к(х)6з,к(*)уз(*)

хо

к=4

^2(х,Уз^з ,Уз/) = 62,з

у^Ы = 0, 5 = 0, 2,

М,о(х,Уз ,у?) _ Е С2

(2-е)

в=о

уз

+Е с2,к62,кУ3,

к=з

Ж1,о(х,уз ,уз') = N

х

/ / / \ Л

Уз / Уз \

' 62,з' V 62,з

Сз,к = б2,зС2,к, 6з,к = , к = 4, п.

6

2,з

Продолжая данный процесс, получим при т < п _ 1 соотношения, играющие роль (1.15) - (1.18):

У(Т) = ^_1(х,ут,...,утт 1))+ / Е ст,к (х)6т,к (¿)Уш(^)

У(т)(хо) = 0, 5 = 0, т _ 1,

хо

к=т+1

(1.19)

где

+ 6т—

т 1,т

Nm_1 (x, ym, ..., )) ^ ^ ст-1,к6т-1,кут +

/ 1

к=т т2

Жт_2,о(х,ут ,...,утт-1)) _Е С

(т-1-в)

т1

в=о

6т 1,т

У:

Жт-2,о(х,Ут ,...,УтП 1)) = ^т_2

х ут ( ут )/ ( ут )(т_2)

х, 6 , (6 ) , ..., (6 )

6т 1,т 6т 1,т 6т 1,т

(1.20)

(1.21)

_ 6 6 _ _ | 6т-1,к 1 к _ +1

ст,к 6т-1,тст-1,к, 6т,к | 7 I , к т + 1,п.

ч 6т-1,т /

Обратим внимание, что формула (1.16) не пропадает из (1.20), так как в правой части первое слагаемое представляется следующим образом

61,2 Е с

1-в

1 V1-" (.

1

х

В случае т = п в (1.19) исчезает слагаемое под знаком интеграла, и формула принимает вид дифференциального уравнения п-го порядка с нулевыми данными Коши уПв)(хо) = 0, й = 0,п - 1. Условия получения данного уравнения представляют собой:

6в,в+1 = 0, 5 = 0, п - 1, (1.22)

отметим, что 6в,в+1 можно найти по формулам типа (1.18), (1.21).

Для нахождения решения у уравнения (0.1) по уп необходимо использовать следующие формулы

уП уП—1 у2 у1 /10о\

= Уn-1, 7- = Уп^..^ 7— = У1, Т = у. (1.23)

6п—1 ,п П ^ 6п-2,п-1 ^ ' 61,2 61

Выводом является

Лемма 1.1. Каждая из двух групп условий:

1)/,а* £ Сп[а,в], £ С [а, в], (к = 1,п),

а5,5+1 = 0, 5 = 0, п - 1, ао,1 = «1,

2)/, а* £ С [а, в], £ С [а, в], (к = 1,п),

65,в+1 = 0, 5 = 0, п - 1, 6о,1 = 61

позволяет редуцировать (0.1) к задаче Коши для одного из линейных дифференциальных уравнений п-го порядка.

3. Комбинации преобразований

В случае п > 1 количество получаемых из (0.1) задач Коши может быть увеличено благодаря перестановке слагаемых (х)6к(£). Исходное уравнение (0.1) остается прежним, однако соотношения (1.1), (1.6) и (1.7) после применения преобразований А будут другими. Изменятся так же операторы М^. Принимая во внимание, что количество возможных перестановок а^равно п!, имеем такое же число задач Коши, которые отличаются друг от друга уравнениями и начальными условиями. После каждой перестановки функции ав,к (к = в + 1,п) будут записываться через

коэффициенты исходного уравнения (0.1) другим способом. Таким образом, неравенства, выполняющие роль (1.9), получат новое содержание. В п.1.2, в отличие от п.1.1, начальные данные Коши будут нулевыми для всех уравнений. Неравенства (1.22) так же будут иными. В следствии этого, последовательное применение преобразований А и В, каждого в отдельности, позволяет выполнить редукцию исходного уравнения (0.1) к 2п! различным задачам Коши.

Предположим, что одновременно выполняются исходные требования п.1.1 и п.1.2, а именно: /, ак, Ьк е Сп[а, в], к = 1, п. В таком случае возможно чередование в любом порядке преобразований А и В. Ряд из п указанных преобразований всякий раз будет порождать дифференциальные уравнения п-го порядка с условиями Коши в точке х = х0 .В случае фиксирования расположения слагаемых ак Ьк, количество возможных

п

комбинаций преобразований А и В составит ^ СПк = (1 + 1)п = 2п.

к=0 п

В связи с тем, что количество перестановок составляет п! , количество дифференциальных уравнений, получаемых в результате ряда из п преобразований есть 2пп! Условием, обеспечивающим описанный процесс в каждом из 2пп! случаев, является выполнение набора неравенств, играющих роль (1.9) и (1.22). Иными словами, будет чередование условий типа (1.9) и типа (1.22). Для нахождения решения исходного уравнения (0.1) по решениям получаемых задач Коши необходимо воспользоваться рядом вида (1.23). Количество слагаемых в этом ряду будет меньше п.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Шакирова, Инна Маратовна, 2018 год

Литература

[1] Андреев, А.А. Задача Гурса для одной системы гиперболических дифференциальных уравнений третьего порядка с двумя независимыми переменными / А.А. Андреев, Ю.О. Яковлева. // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. - 2011. - №3 (24). - С. 35-41

[2] Андреев, А.А. Характеристическая задача для одного гиперболического дифференциального уравнения третьего порядка с некратными характеристиками / А.А. Андреев, Ю.О. Яковлева. // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. - 2013. - №1 (2). - С. 3-6

[3] Андреев, А.А. Задача Коши для уравнения гиперболического типа высокого порядка с некратными характеристиками / А.А. Андреев, Ю.О. Яковлева. // Труды Матем. центра им. Н. И. Лобачевского. -Казань, 2014. - Т.49. - С. 97-99.

[4] Бицадзе, А.В. Уравнения математической физики / А.В. Бицадзе. -Москва: Наука, 1982. - 336 с.

[5] Бондаренко, Б.А. Задача Гурса для уравнений Манжерона и ее связь с задачей Гурса для обыкновенных дифференциальных уравнений / Б.А. Бондаренко, Г.У. Саидкаримова // Качественная теория сложных систем. -Л. - 1986. - С. 102-108.

[6] Бондаренко, Б.А. Базисные системы полиномиальных и квазиполиномиальных решений уравнений в частных производных / Б.А. Бондаренко. - Ташкент: ФАН, 1987. - 146 с.

[7] Бейтмен, Г. Высшие трансцендентные функции / Г. Бейтмен, А. Эрдейн. - М.: Наука, 1973. - Т.1 - 448 с.

[8] Векуа, И.Н. Новые методы решения эллиптических уравнений / И.Н. Векуа. - М.: Л, 1948. - 296 с.

[9] Волкодавов, В.Ф. Задача Коши для одного вырождающегося гиперболического уравнения третьего порядка / В.Ф. Волкодавов,

A.В. Дорофеев // Изв. вузов. Математика. - 1993. - №11. - С. 6-8.

[10] Волкодавов, В.Ф. Основные краевые задачи для одного уравнения третьего порядка в трехмерной области специального вида / В.Ф. Волкодавов, И.Н. Родионова // Дифференциальные уравнения. - 1993. - Т.29. - № 8. - С. 1459-1461.

[11] Волкодавов, В.Ф. Функции Римана для некоторых дифференциальных уравнений в n-мерном евклидовом пространстве и их применения / В.Ф. Волкодавов, Н.Я. Николаев, О.К. Быстрова, В.Н. Захаров. - Самара: «Самарский университет», 1995. - 76 с.

[12] Волкодавов, В.Ф. Функции Римана для одного класса дифференциальных уравнений в трехмерном евклидовом пространстве и ее применения /

B.Ф. Волкодавов, В.Н. Захаров. - Самара, 1996. - 52 с.

[13] Джохадзе, О.М. Об инвариантах Лапласа для некоторых классов линейных дифференциальных уравнений в частных производных / О.М. Джохадзе // Дифференциальные уравнения. - 2004. - Т.40. - № 1. - С. 58-68.

[14] Ежов, А.М. Решение задачи Коши - Гурса для одного уравнения третьего порядка / А.М. Ежов // Дифференц. уравнения (межвуз. сборник). - Самара: СГПУ, - 1995. - С. 8-12.

[15] Жегалов, В.И. Дифференциальные уравнения со старшими частными производными / В.И. Жегалов, А.Н. Миронов. - Казанское математическое о-во, 2001. - 226 с.

[16] Жегалов, В.И. К случаям разрешимости гиперболических уравнений в терминах специальных функций / В.И. Жегалов // Неклассические

уравнения математической физики. Новосибирск: ИМ СО РАН - 2002. -С. 73-79.

[17] Жегалов, В.И. Понижение порядка одного класса уравнений с частными производными / В.И. Жегалов, О.А. Кощеева // Докл. РАН. - 2006. -Т.406. - № 5 - С. 593-597.

[18] Жегалов, В.И. Об одной системе уравнений с двухкратными старшими частными производными / В.И. Жегалов, Л.Б. Миронова // Изв. вузов. Математика. - 2007. - №3. - С. 12-21.

[19] Жегалов, В.И. Метод каскадного интегрирования в трехмерном пространстве / В.И. Жегалов, О.А. Тихонова // Труды Матем. центра им. Н. И. Лобачевского. - Казань, 2008. - Т.37. - С. 50-52.

[20] Жегалов, В.И. Решение уравнений Вольтерра с частными интегралами при помощи дифференциальных уравнений / В.И. Жегалов // Дифференциальные уравнения. - 2008. - Т.44. - № 7. - С. 874-882.

[21] Жегалов, В.И. Об уравнениях Вольтерра с вырожденными ядрами / В.И. Жегалов, И.М. Сарварова // Труды Матем. центра им. Н. И. Лобачевского: Материалы Восьмой молодежной научной школы-конференции «Лобачевские чтения - 2009». - №39. - С. 213-216.

[22] Жегалов, В.И. К пространственным граничным задачам для гиперболических уравнений / В.И. Жегалов, А.Н. Миронов // Дифференциальные уравнения. - 2010. - Т.46. - № 3. - С. 364-371.

[23] Жегалов, В.И. О разрешимости в квадратурах одной гиперболической системы уравнений с частными производными / В.И. Жегалов // Стерлитамак: Дифференц. уравнения и их приложения. Тр. Всероссийской научн. конф. - 2011. - С. 61-64.

[24] Жегалов, В.И. Об одном подходе к решению интегральных уравнений Вольтерра с вырожденными ядрами / В.И. Жегалов, И.М. Сарварова // Изв. вузов. Математика. - 2011. - №7. - С. 28-36. В англ. версии One

approach to the solution of Volterra integral equations with degenerate kernels // Russian Mathematics. - 2011. Vol. 55. - №7. - P. 23-29.

[25] Жегалов, В.И. О случаях решения задачи Гурса в явном виде /

B.И. Жегалов, И.М. Сарварова // Труды Матем. центра им. Н. И. Лобачевского: Материалы Десятой молодежной научной школы-конференции «Лобачевские чтения - 2012». - №45. - С. 58-60.

[26] Жегалов, В.И. К условиям разрешимости задачи Гурса в квадратурах / В.И. Жегалов, И.М. Сарварова // Изв. вузов. Математика. - 2013. - №3.

- С. 68-73. В англ. версии Solvability of the Goursat problem in quadratures // Russian Mathematics. - 2013. Vol. 57. - №3. - P. 56-59.

[27] Жегалов, В.И. Уравнения с доминирующей частной производной / В.И. Жегалов, А.Н. Миронов, Е.А. Уткина. - Казань: Изд-во Казанского ун-та, 2014. - 385 с.

[28] Жибер, А.В. Инварианты Лапласа и интегрируемые уравнения лиувиллевского типа / А.В. Жибер // Вестн. УГАТУ. -2001. - №2. -

C. 38-44.

[29] Жибер, А.В. Точно интегрируемые гиперболические уравнения лиувиллевского типа / А.В. Жибер, В.В. Соколов // УМН. -2001.

- Т56, вып. 1. - С. 63-106.

[30] Жибер, А.В. Интегралы, решения и существование преобразований Лапласа линейной гиперболической системы уравнений / А.В. Жибер, С.Я. Старцев // Мат. заметки. -2008. - Т.74, вып. 6. - С. 848-857.

[31] Забрейко, П.П. Об интегральных уравнениях с частными интегралами в пространстве непрерывных функций / П.П. Забрейко, А.С. Калитвин, Е.В. Фролова // Дифференц. уравнени. - 2002. - Т. 38. - №4. - С. 538-546.

[32] Забрейко, П.П. Интегральные уравнения / П.П. Забрейко, А.И. Кошелев и др. - М.: Наука, 1968. - 448 с.

[33] Зайцев, В.Ф. Справочник по нелинейным дифференциальным уравнениям / В.Ф. Зайцев, А.Д. Полянин. - М.: Наука, 1993. - 462 с.

[34] Зайцев, В.Ф. Справочник по обыкновеннным дифференциальным уравнениям / В.Ф. Зайцев, А.Д. Полянин. - М.: Физматлит, 2001. - 576 с.

[35] Ибрагимов, Н.Х. Практический курс дифференциальных уравнений и математического моделирования / Н.Х. Ибрагимов. - Нижний Новгород:изд-во гос. уни-та им. Н. И. Лобачевского, 2007. - 421 с.

[36] Камке, Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям / Э. Камке. - М.: Наука, 1976. - 576 с.

[37] Карташев, А.П. Обыкновенные дифференциальные уравнения и основы вариационного исчисления / А.П. Карташев, Б.Л. Рождественский. - М.: Наука, 1986. - 272 с.

[38] Кожанов, А.И. Об одной нелокальной краевой задаче с переменными коэффициентами для уравнений теплопроводности и Аллера / А.И. Кожанов // Дифференциальные уравнения. - 2003. - Т.39. - № 6. - С. 763-773.

[39] Котухов, М.П. О некоторых дифференциальных свойствах решений одного уравнения в частных производных / М.П. Котухов // Изв. вузов. Математика. - 1996. - №5. - С. 59-62.

[40] Кощеева, О.А. Об условиях понижения порядка линейных уравнений со старшими частными производными / О.А. Кощеева // Изв. вузов. Математика. - 2007. - №6. - С. 45-54.

[41] Кощеева, О.А. О построении функции Римана для уравнения Бианки в n-мерном пространстве / О.А. Кощеева // Изв. вузов. Математика. -2008. - №9. - С. 40-46.

[42] Кунгурцев, А.А. Об одном гиперболическом уравнении в трехмерном пространстве / О.А. Кощеева // Изв. вузов. Математика. - 2006. - №3. - С. 76-80.

[43] Мартиросян, Г.М. Задача Гурса для трехмерного уравнения Бианки / Г.М. Мартиросян. - Выпускная квалификационная работа бакалавра. -Казань, 2015. - 19 с.

[44] Миронов, А.Н. О построении функции Римана для одного уравнения в п-мерном пространстве / А.Н. Миронов // Изв. вузов. Математика. -1999. - №7. - С. 78-80.

[45] Миронов, А.Н. О построении функции Римана для одного уравнения четвертого порядка / А.Н. Миронов // Дифференц. уравнения. - 2001.

- Т.37. - №12. - С. 1698-1701.

[46] Миронов, А.Н. О построении функции Римана для двух уравнений со старшими частынми производными / А.Н. Миронов // Вестник СамГТУ. Сер. «Физ.-мат. науки». - 2008. - №2. - С. 49-59.

[47] Миронов, А.Н. О построении функции Римана для одного уравнения со старшей частной производной пятого порядка / А.Н. Миронов // Дифференц. уравнения. - 2010. - Т.46. - №2. - С. 266-272.

[48] Миронова, Л.Б. О методе Римана в Яп для одной системы кратными характеристиками / Л.Б. Миронова // Изв. вузов. Математика. - 2006.

- №1. - С. 34-39.

[49] Миронова, Л.Б. О характеристических задачах для одной системы с двукратными старшими частными производными / Л.Б. Мироновав // Вестник СамГТУ. Сер. «Физ.-мат. науки». - 2006. - Вып. 43. - С. 31-37.

[50] Мюнтц, Г. Интегральные уравнения. Часть 1. Линейные уравнения Вольтерра / Г. Мюнтц. - М.: Л., 1934. - 330 с.

[51] Нахушев, А.М. Уравнения математической биологии / А.М. Нахушев.

- М.: Высшая школа, 1995. - 301 с.

[52] Полянин, А.Д. Справочник по интегральным уравнениям / А.Д. Полянин, А.В. Манжиров. - М.: Физматлит, 2003. - 608 с.

[53] Сабитов, К.Б. Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения / К.Б. Сабитов. - М.: Высшая школа, 2005. - 671 с.

[54] Сарварова, И.М. Метод исключения для одной системы уравнений Вольтерра / И.М. Сарварова // Труды Матем. центра им. Н. И. Лобачевского: Материалы Девятой молодежной научной школы-конференции «Лобачевские чтения - 2010». - Т. 40. - С. 289-291.

[55] Сарварова, И.М. Аналог метода каскадного интегрирования для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка / И.М. Сарварова // Труды Матем. центра им. Н. И. Лобачевского: Материалы Десятой молодежной научной школы-конференции «Лобачевские чтения - 2011». - Т. 44. - С. 261-263.

[56] Сарварова, И.М. Редукция одной системы уравнений Вольтерра к дифференциальным уравнениям / И.М. Сарварова // Тр. Всероссийской научной Конференции с международным участием «Дифференциальные уравнения и их приложения». Стерлитамак, 27-30 июня 2011г. - С. 81-83.

[57] Сарварова, И.М. Условия разрешимости одного уравнения Вольтерра в явном виде / И.М. Сарварова // Материалы X Школы молодых ученых «Нелокальные краевые задачи и проблемы современного анализа и информатики». Нальчик: Издательство КБНЦ РАН. - 2012. - С. 92-94.

[58] Сарварова, И.М. Варианты условий разрешимости одного интегрального уравнения в квадратурах / И.М. Сарварова // Международная научная конференция «Дифференциальные уравнения и смежные проблемы». Стерлитамак 26 - 30 июня 2013г. - С. 264-267.

[59] Сарварова, И.М. Достаточные условия разрешимости одного уравнения Вольтерра в квадратурах / И.М. Сарварова // Международная конференция «Дифференциальные уравнения и их приложения». Белгород: ИПК НИУ «БелГУ». - 2013. - С. 170-171.

[60] Сарварова, И.М. О разрешимости одного интегрального уравнения в явном виде / И.М. Сарварова // Труды Матем. центра им. Н.

И. Лобачевского: Материалы Одиннадцатой международной Казанской летней научной школы-конференции «Теория функций, ее приложения и смежные вопросы». Казан. матем. об-во. - 2013. - Т. 46. - С. 402-405.

[61] Сарварова, И.М. Система уравнений Вольтерра с вырожденными ядрами / И.М. Сарварова // Труды Матем. центра им. Н. И. Лобачевского: Материалы Десятой международной Казанской летней научной школы-конференции «Теория функций, ее приложения и смежные вопросы». - 2011. - Т. 43. - С. 318-320.

[62] Сердюкова, С.И. Экзотическая асимптотика для линейного гиперболического уравнения / С.И. Сердюкова // Докл. РАН. - 2003. -Т.389. №3. - С. 305-309.

[63] Старцев, С.Я. Метод каскадного интегрирования Лапласа для линейных гиперболических систем уравнений / С.Я. Старцев // Мат. заметки. -2008. - Т.83, вып. 1. - С. 107-118.

[64] Трикоми, Ф. Лекции по уравнениям в частных производных / Ф. Трикоми. - М.: ИЛ., 1957. - 443 с.

[65] Уткина, Е.А. Об одном применении метода каскадного интегрирования / Е.А. Уткина // Дифференц. уравнения, 2007. - Т. 43. - №4. - С. 566-569.

[66] Фаге, М.К. Операторно-аналитические функции одной независимой переменной / М.К. Фаге // Тр. Моск. матем. об-ва. - 1958. - Т. 7. - С. 227-268.

[67] Фаге, М.К. Проблема эквивалентности обыкновенных линейных дифференциальных операторов / М.К. Фаге, Н.И. Нагнибида. -Новосибирск: Наука, 1987. - 290 с.

[68] Шакирова, И.М. Условия разрешимости в квадратурах двух уравнений типа Вольтерра / И.М. Шакирова. // Учен. зап. Казан. ун-та. Серия Физ.-матем. науки - 2013. - Т. 155. - №4. - С. 90-98.

[69] Шакирова, И.М. К случаям разрешимости одного интегрального уравнения в квадратурах / И.М. Шакирова. // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. - 2014. - №3 (36). - С. 57-63

[70] Шакирова, И.М. О разрешимости трехмерной задачи Гурса в квадратурах / И.М. Шакирова. / / Тез. докл. Международной научной конференции «Дифференциальные уравнения и математическое моделирование».- Улан-Удэ: Изд-во ВСГТУ, 2015. - С. 113-114.

[71] Шакирова, И.М. К условиям разрешимости трехмерной задачи Гурса в квадратурах / И.М. Шакирова. // Тр. матем. центра им Н.И. Лобачевского: Материалы Двенадцатой международной Казанской летней научной школы-конференции «Теория функций, ее приложения и смежные вопросы». - 2015. - Т.51. - С. 476-478.

[72] Шакирова, И.М. О вариантах разрешимости в квадратурах одного уравнения Вольтерра в трехмерном пространстве / И.М. Шакирова. // Учен. зап. Казан. ун-та. Серия Физ.-матем. науки - 2016. - Т. 158. -№4. - С. 557-569.

[73] Шакирова, И.М. О случаях разрешимости в квадратурах одного уравнения Вольтерра /И.М. Шакирова. // Труды Матем. центра им. Н. И. Лобачевского: Материалы Пятнадцатой молодежной научной школы-конференции «Лобачевские чтения - 2016». - 2016. - Т.53. - С. 164-167.

[74] Шханухов, М.Х. О некоторых краевых задачах для уравнения третьего порядка, возникающих при моделировании фильтрации жидкости в пористых средах / М.Х. Шханухов // Дифференциальные уравнения.

- 1982. - Т.18. - С. 689-699.

[75] Шханухов, М.Х. Об одном методе решения краевых задач для уравнений третьего порядка / М.Х. Шханухов // ДАН СССР. - 1982. - Т.265. - С. 1327-1330.

[76] Appel, J.M. Partial Integral Operators and Integro-Differential equations / J.M. Appel, A.S. Kalitvin, P.P. Zabrejko. - New York: Marcel Dekker, 2000.

- 560 c.

[77] Bateman, H. Logarithmic solutions of Bianchi's equation / H. Bateman. -1933. - Vol. 19. - P. 852-854.

[78] Bianchi, L. Sulla estensione del metodo di Riemann alle equazioni lineari alle derivate parziali d'ordine superiore / L. Bianchi. // Atti R. Accad. Lincei. Rend. CI. Sc. fis., mat. e natur. - 1895. - Vol. IV. - 1 sem. - P. 89-99, 133-142.

[79] Bondarenko, B.A. Operational representation of solutions of a class of polylinear equation / B.A. Bondarenko, K.V. Leung, D. Mangeron, M.N. Oguz-toreli. // Notices Amer. Math. Soc. - 1977. - V. 24., №2 - P. A-244.

[80] Bondarenko, B.A. Studies on polylinear equations / B.A. Bondarenko, K.V. Leung, D. Mangeron, M.N. Oguztoreli. // Math. Notae. - 1977/1978. - V. 26. - P. 13-20.

[81] Bondarenko, B.A. Studi concernanti le equazioni polilineari / B.A. Bondarenko, K.V. Leung, D. Mangeron, M.N. Oguztoreli. // Rend. Accad. Sci. fis.-mat. Napoli. - 1978. - V. 44. - P. 285-291.

[82] Bondarenko, B.A. Problemes concernant certeines extensions des equations polivibrants, dites equations de Mangeron / B.A. Bondarenko, D. Mangeron, I.P. Olivera Santos, E. Shumenura. // Bull. Inst. Politehn. Jasi. Sectia 1. -1980. - V. 26 (30). - F. 1-2. - P. 9-12.

[83] Bondarenko, B.A. Construction des systemes de base des solutions polyno-miales pour une classe d'equations polylineaires d'ordre superieur aux operateurs differentials differents, dont certein sont les operateurs polyvibrants de Mangeron / B.A. Bondarenko, P.T. Cracinnas, D. Salandi, I.P. Olivera Santos. // Bull. Inst. Politehn. Jasi. Sectia 1. - 1981. - V. 27 (31). - F. 3-4. - P. 9-15.

[84] Colton, D. Pseudoparabolic equation in one space variable / D. Colton. //J. Different. Equation - 1972. - Vol. 12. - P. 559-565.

[85] Ibragimov, N.H. Laplace Type Invariants for Parabolic Equations / N.H. Ibragimov. // Nonlinear Dynamics. - 2002. - T. 28. - №2. - P. 125-133.

[86] Florian, N. Darstellungen von Riemannfunction for dnw/dz\dz2 ...dzn + c(zi,..., zn)w = 0 / N. Florian, J. Pungel, H. Wallner. // Ber. Math.-statist.sec. Forschugszent. Graz. - 1983. - №204. - S. 1-29.

[87] Hallaire, M. Le potential efficace de l'eau dans le sol an regime de dessechement / M. Hallaire. // L'eau et production vegetale. - Paris: Institut National de la Recherche Agronomique. - 1964. - №9. - P. 27-62.

[88] Hornich, H. Das Problem der linearen Differentialgleihungen / H. Hornich. // Rend. semin. mat. Univ. Padova. - 1954. - V. 23, №2. - S. 333-339.

[89] Hornich, H. Lineare partielle Differ entialgleihungen for hoher Ordnung / H. Hornich. // Studia scient. math. hung. - 1968. - V. 3, №1-3. - S. 1-4.

[90] Lahaye, E. La metode de Riemann appliquée a la résolution d'une categorie d'equations linearés de troisieme ordre / E. Lahaye // Bull. cl. sci. Acad. Roy. de Belg. - 1946. - 5 serie. - V. 31. - P. 479-494.

[91] Laplace, P.S. Recherches sur le calcul integral aux differences partielles /P.S. Laplace // Memoires de l'Académie royale des Sciences de Paris. - 1773/77. - P. 341-402. Reprinted in: P.S. Laplace's oevres complètes. - Vol. IX. -Gauthien-Villars. - Paris, 1893. - P. 5-68. English translation: New-York, 1966.

[92] Mangeron, D. New methods for determining solution of mathematical models governing polyvibrating phenomena. I. / D. Mangeron. // Bul. Inst. politehn. Jasi. Sectia 1. - 1968. - V. 14, №1-2. - P. 433-436.

[93] Mangeron, D. Functional equations in the theory of class of polyvibrating equations / D. Mangeron. // Math. Notae. - 1968/1969 (1970). - V. 21, №34. - P. 81-86.

[94] Mangeron, D. Functions de Bessel et polynomes de Legendre relatives aux equations polyvibrantes generalisees / D. Mangeron, M.N. Oguztoreli. // C.R. Acad. Sci. - 1970. - V. 270, №1. - P. A33-A40.

[95] Mangeron, D. Darboux problem for a polyvibrating equation: solutions as F -function / D. Mangeron, M.N. Oguztoreli. // Proc. Nat. Acad. USA. - 1970. - V. 67, №3. - P. 1488-1492.

[96] Mangeron, D. Sobre las relaciones entre las solutiones de las ecuationes en derivadas partiales de diferentes tipos y sobre clertas nuevas de functiones relativas a las ecuationes polivibrantes / D. Mangeron, M.N. Oguztoreli. // Math. Notae. - 1968/1969 (1970). - V. 21, №3-4. - P. 95-103.

[97] Mangeron, D. Problema di Goursat per le equazioni polivibranti / D. Mangeron, M.N. Oguztoreli. // Atti Acad. naz. Lincei. Rend. cl. sci. fis., mat e natur. - 1976 (1977). - V. 61, №6. - P. 553-559.

[98] Niccoletti, O. Sull'estensione del metodo di Riemann alle equazioni lineari a derivate parziali d'ordine superiore / O. Niccoletti // Atti R. Accad. Lincei. Rend. Cl. sci. fis., mat. e natur. (5). - 1895. - V. 4. - P. 330-337.

[99] Nicolesco, M. Ecuatia iterata a caldurii / M. Nicolesco // Stud. si. serc. -1954. - V. 3-4. - Anul. 5. - P. 243.

[100] Ni Xingtang Boundary value problem with three characteristic supports for linear totally hiperbolic equation of the third order / Xingtang Ni // Kexue tongbao. - 1980. - V. 25. - №5 - P. 361-369.

[101] Petren, L. Extension de la méthode de Laplace aux equations

V^ A1i(x, y) 0 0 . + V^ A0i(x, y)^- = 0 / L. Petren // Lunds Universitets

dxdy* dy*

¿=0 y ¿=0 y

Arssrift. N.F. Afd. 2, - Bd.7, - №3. - P. 1-65.- Konl. Fysigrafiska Salls-kapets Handligar, - N.F. Bd.22, - №3. - Imprimerie Hákan Ohlisson. Lind, 1911 (english translation: Archives of ALYA. - 2006. - Vol. 3. - P. 13-31.)

[102] Radochova, V. Die Losing der partiellen Differentialgleihung uxxtt = A(t, x)uxx + B(t, mit gewissen Nebenbedinungen / V. Radochova // Cas. pestov. mat. - 1973. - Vol. 98., №4. - S. 389-399.

[103] Rundell, W. Remarks concerning the support of solutions of pseudoparabolic

equation / W. Rundell., M. Stecher // Proc. Amer. Math. Soc. - 1977. - Vol. 63. - P. 77-81.

[104] Rundell, W. The construction of solution to pseudoparabolic equation in noncilindrical domains / W. Rundell. //J. Different. Equation. - 1978. - Vol. 27. - P. 394-404.

[105] Rundell, W. The Stefan Problem for a pseudo-heat equation / W. Rundell. // Indiana Univ. Math. J. - 1978. - Vol. 27. - P. 739-750.

[106] Rundell, W. The uniqueness class for the Cauchy problem for pseudoparabolic equations / W. Rundell. // Proc. Amer. Math. Soc. - 1979. -Vol. 76. - P. 253-257.