Интегрирование систем обыкновенных дифференциальных уравнений, размерность алгебры точечных симметрий которых совпадает с порядком системы тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат наук Гайнетдинова Алия Айдаровна

• Гайнетдинова Алия Айдаровна
• кандидат наук
• 2019

Оглавление диссертации кандидат наук Гайнетдинова Алия Айдаровна

Введение

Глава 1 Использование оператора инвариантного дифференцирования для построения первых интегралов систем обыкновенных дифференциальных уравнений

§1 Вспомогательные сведения из теории группового анализа дифференциальных уравнений

1.1 Однопараметрические группы преобразований

1.2 Алгебры Ли операторов

§2 Построение оператора инвариантного дифференцирования специального вида

§3 Алгоритм построения первого интеграла для систем обыкновенных дифференциальных уравнений

3.1 Система дифференциальных уравнений, инвариантная относительно многопараметрической группы преобразований

3.2 Понижение порядка системы ОДУ

§4 Применение алгоритма к построению первых интегралов обыкновенных дифференциальных уравнений различных порядков и

их систем

4.1 Интегрирование уравнения первого порядка

4.2 Интегрирование уравнения второго порядка

4.3 Интегрирование уравнений третьего порядка

4.4 Интегрирование систем двух ОДУ третьего порядка

4.5 Интегрирование систем трёх ОДУ второго порядка

Глава 2 Построение приближенных первых интегралов систем обыкновенных дифференциальных уравнений с малым параметром, инвариантных относительно приближенных групп преобразований

§5 Вспомогательные сведения из теории приближенных групп преобразований

5.1 Приближенные группы преобразований

5.2 Приближенные алгебры Ли приближенных операторов

5.3 Инварианты приближенной алгебры Ли

§6 Построение оператора инвариантного дифференцирования приближенной алгебры Ли операторов

6.1 ОИД приближенной алгебры Ли

6.2 Описание программы для ЭВМ

§7 Алгоритм построения приближенного первого интеграла для систем обыкновенных дифференциальных уравнений с малым параметром

7.1 Инвариантное представление систем ОДУ с малым параметром

7.2 Понижение порядка систем ОДУ с малым параметром. . . 59 §8 Применение алгоритма к построению приближенных первых интегралов обыкновенных дифференциальных уравнений с малым параметром и их систем

8.1 Интегрирование обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка с малым параметром

8.2 Интегрирование обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка с малым параметром

8.3 Приближенное решение дробно-дифференциальных уравнений

Глава 3 Понижение порядка систем двух обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка

§9 Понижение порядка систем двух обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка с четырьмя симметриями

9.1 Инвариантное представление систем двух обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка с четырьмя симметриями

9.2 Интегрирование систем двух ОДУ второго порядка с четырьмя симметриями

§10 Понижение порядка систем двух обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка с малым порядком с четырьмя существенными симметриями

10.1 Инвариантное представление системы двух обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка с малым параметром

10.2 Интегрирование системы двух обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка с малым параметром

Заключение

Список литературы

Приложение А. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Интегрирование систем обыкновенных дифференциальных уравнений, размерность алгебры точечных симметрий которых совпадает с порядком системы»

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность и степень разработанности темы исследования.

Методы группового анализа позволяют исследовать симметрийные свойства дифференциальных уравнений, понижать их порядок и интегрировать эти уравнения в квадратурах (см. [29,32,37,39,74,76] и др.).

Для интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) наиболее распространёнными являются методы последовательного понижения порядка, предусматривающие либо введение так называемых канонических переменных, либо использование дифференциальных инвариантов.

В первом случае уравнение преобразуется к некоторому каноническому виду, затем известными методами сводится к уравнению меньшего порядка. Построение канонических видов уравнений основано на использовании результата классификации неподобных алгебр Ли операторов соответствующих размерностей. Такой подход использовался для интегрирования уравнений второго ([32]), третьего ([66]) и четвёртого ([54,55]) порядков.

Во втором случае для понижения порядка используются дифференциальные инварианты допускаемой алгебры Ли и операция инвариантного дифференцирования в смысле дифференцирования одного дифференциального инварианта по другому.

Классическая теория дифференциальных инвариантов была заложена С. Ли [32] и получила развитие в работах А. Трессе [77], Л.В. Овсянникова [37]. Одним из важных понятий этой теории является оператор инвариантного дифференцирования (ОИД) — такого линейного дифференциального оператора, результатом действия которого на произвольный дифференциальный инвариант алгебры Ли является дифференциальный инвариант той же алгебры Ли, обычно более высокого порядка. Различные подходы к построению ОИД рассматриваются в [26,27,37,43]. В ряде работ ОИД используется для построения базисов дифференциальных инвариантов допускаемой алгебры Ли (см., например, [41]), которые далее можно использовать для классификации систем ОДУ ([45,46]) и для решения уравнений ([40]).

Возможность понижения порядка дифференциального уравнения тесно

связана с разрешимостью допускаемой алгебры Ли ([32,37,39,44]). В частности, чтобы проинтегрировать ОДУ п-го порядка в квадратурах, достаточно знать п-мерную разрешимую алгебру симметрий этого уравнения.

Несмотря на развитые групповые методы решения дифференциальных уравнений, задача интегрирования систем ОДУ методами группового анализа решена не полностью. В настоящее время эта задача привлекает внимание многих исследователей. Наиболее изучены системы ОДУ второго порядка. В частности, групповая классификация систем двух ОДУ второго порядка проведена в работах [45,50,69,70,78]. Групповая классификация систем трёх ОДУ второго порядка проведена в [75]. В [46] предложен метод понижения порядка системы двух ОДУ второго порядка с тремя симметриями, а в [79] описан алгоритм понижения порядка системы двух ОДУ второго порядка, допускающей четырёхмерную алгебру Ли операторов.

При построении нелинейных математических моделей различных процессов возникают, как правило, не «точные» уравнения, а уравнения с добавлением некоторых малых параметров (см., например, [36,64]). В таком случае обычно рассматривают приближённые решения, представляющие собой первые слагаемые разложения в ряд Тейлора «точного» решения по малому параметру.

Для получения такого приближённого решения можно использовать концепцию приближённых групп преобразований. Основы теории приближённых групп и алгебр Ли заложены в работах В.А. Байкова, Р.К.Газизова и Н.Х. Ибрагимова ([2-7,9,51,52,60]). В работе Н.Х. Ибрагимова [65] построен аналог метода последовательного понижения порядка для интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка с использованием двух приближённых симметрий. В работе Ю.Ю. Багдериной [47] доказано утверждение о понижении порядка ОДУ с малым параметром, допускающего приближённую алгебру Ли, существенные операторы которой удовлетворяют условиям разрешимости. Вопрос об инвариантном представлении систем ОДУ с малым параметром обсуждался в статьях [1,8,49,61]. В работах [14,15,33] проведены классификации приближённых алгебр Ли малых размерностей, построены соответствующие системы уравнений с малым па-

раметром, в [62] предложена модификация алгоритма понижения порядка для интегрирования уравнений с малым параметром. В [34, 68] исследована возможность построения приближённых симметрий и приближённых решений дробно-дифференциальных уравнений при замене исходного уравнения уравнением в производных целого порядка с малым параметром.

Цель и задачи исследования. Целью данной работы является разработка алгоритмов построения первых интегралов для систем обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ), в том числе с малым параметром, допускающих алгебры Ли операторов, размерность которых совпадает с порядком системы. В диссертации поставлены и решены следующие задачи:

1) построение ОИД со множителем специального вида, применимого к задаче построения первых интегралов, для многомерной алгебры Ли операторов;

2) разработка алгоритма построения первых интегралов системы ОДУ порядка г, допускающей г-мерную алгебру Ли операторов, с использованием ОИД со множителем специального вида; 3) построение ОИД со множителем специального вида для приближённых алгебр Ли операторов и разработка алгоритма построения приближённых первых интегралов системы ОДУ г-го порядка с малым параметром, допускающей приближённую алгебру Ли с г существенными операторами; 4) исследование особенности применения разработанных алгоритмов к системам двух ОДУ второго порядка, в том числе с малым параметром, в зависимости от структуры допускаемой алгебры Ли операторов.

Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми. С теоретической точки зрения эти результаты являются вкладом в развитие методов современного группового анализа дифференциальных уравнений, с практической — могут быть использованы при решении различных прикладных задач, описываемых системами ОДУ, в том числе с малым параметром.

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Методы и результаты работы могут быть интересны для специалистов в области дифференциальных уравнений и использованы, в частности, для построения решений систем ОДУ, в том числе с малым пара-

метром.

Проведённое в диссертационной работе исследование в случае невозмущенных систем ОДУ позволило обобщить классические методы группового анализа скалярных ОДУ на их системы.

В случае систем ОДУ с малым параметром полученные в работе результаты дополняют теорию приближённых групп преобразований, разработанных В.А. Байковым, Р.К. Газизовым и Н.Х. Ибрагимовым, в области использования допускаемых приближённых симметрий для интегрирования уравнений.

Методология и методы исследования. При решении поставленных задач использованы методы группового анализа дифференциальных уравнений, аппарат теории приближённых групп преобразований, методы решения систем уравнений в частных производных первого порядка, включая системы с малым параметром, а также теория дифференциальных инвариантов многопараметрических групп Ли.

Положения, выносимые на защиту.

1) Условия существования ОИД со множителем специального вида, применимого к задаче построения первых интегралов систем обыкновенных дифференциальных уравнений, допускающих многомерные алгебры Ли операторов.

2) Конструктивный алгоритм получения первых интегралов для систем ОДУ г-го порядка, допускающих г-мерные алгебры Ли операторов.

3) Условия существования ОИД со множителем специального вида для приближённой алгебры Ли операторов и алгоритм понижения порядка систем ОДУ с малым параметром, допускающих приближённые алгебры Ли операторов.

4) Анализ применимости разработанных алгоритмов к системам двух обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка, в том числе с малым параметром, в зависимости от структуры допускаемой алгебры Ли операторов.

Степень достоверности и апробация результатов. Степень достоверности результатов подтверждена строгостью математических доказа-

тельств. Результаты диссертации обсуждались на семинарах научно-исследовательской лаборатории «Групповой анализ математических моделей естествознания, техники и технологий» (ФГБОУ ВО УГАТУ, 2015-2019 г.г.), семинаре по дифференциальным уравнениям под руководством профессора Сабитова К.Б.( кафедра математического анализа Стерлитамакского филиала БашГУ, г. Стерлитамак, 2018 г.), семинаре отдела динамических систем Института математики и механики им. Н.Н. Красовского УрО РАН под руководством чл.-корр. РАН В.Н. Ушакова и д.ф.-м.н. А.М. Тарасьева (г. Екатеринбург, 2019 г.), семинаре «Математические модели механики сплошных сред» под руководством чл.-корр. РАН П.И. Плотникова и д.ф.-м.н. В.Н. Старовойтова (Институт гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН, 2019 г.), семинаре под руководством д.ф.-м.н., профессора А.М. Блохина (Институт математики им. С.Л. Соболева СО РАН, 2019), семинаре по интегрируемым системам под руководством д.ф.-м.н., профессора А.В. Жибера и д.ф.-м.н., профессора И.Т. Хабибуллина (Институт математики с ВЦ УФИЦ РАН, г. Уфа, 2019 г.) и на следующих конференциях:

• «Некоторые актуальные проблемы современной математики и математического образования. Герценовские чтения - 2016», г. Санкт -Петербург,

2016 г., [10];

• IX Международная школа-конференция для студентов, аспирантов и молодых учёных «Фундаментальная математика и её приложения в естествознании», г. Уфа, 2016 г., [16];

• «Некоторые актуальные проблемы современной математики и математического образования. Герценовские чтения - 2017», г. Санкт -Петербург,

2017 г., [17];

• Международная математическая конференция по теории функций, по-свящённая 100-летию чл.-корр. АН СССР А.Ф. Леонтьева, г. Уфа, 2017 г., [18];

• Международная конференция «International conference on mathematical modelling in applied sciences (ICMMAS'17)», г. Санкт - Петербург, 2017 г., [59];

• «Актуальные проблемы дифференциальных уравнений и их приложе-

ния», г. Ташкент (Узбекистан), 2017 г., [20];

• «Некоторые актуальные проблемы современной математики и математического образования. Герценовские чтения - 2018», г. Санкт -Петербург,

2018 г., [21];

• IV Международная научная конференция «Актуальные проблемы прикладной математики», г. Нальчик, 2018 г., [22];

• «Некоторые актуальные проблемы современной математики и математического образования. Герценовские чтения - 2019», г. Санкт -Петербург,

2019 г., [25].

Публикации. Основной материал диссертации опубликован в 13 научных работах ( [10,11,16-23,25,58,59]). Также получено одно свидетельство о регистрации программы для ЭВМ [24] (см. также Приложение 1). Работы [10,11,19,23] опубликованы в изданиях, входящих в перечень ВАК, а работа [58] — в зарубежном рецензируемом журнале. При этом работы [11,58] проиндексированы в международной реферативной базе данных Web of Science, а работы [11,23,58] — в базе данных Scopus. В работах, выполненных в соавторстве, научному руководителю Р.К. Газизову принадлежат постановки задач и общие схемы их исследований, а соискателю А.А. Гайнетдиновой — точные формулировки и доказательства результатов. Все основные результаты диссертации получены автором самостоятельно. Из опубликованных в соавторстве работ в диссертацию включены только результаты автора.

Исследования по теме диссертации проводились в рамках гранта Правительства РФ по постановлению № 220, договор № 11.G34.31.0042 между Минобрнауки РФ, ФГБОУ ВПО «УГАТУ» и ведущим учёным Н.Х. Ибрагимовым по теме «Математическое моделирование и групповой анализ дифференциальных уравнений» (2011-2015 гг.); проектной части госзадания Минобрнауки РФ «Математическое и компьютерное моделирование процессов фильтрации в неоднородных коллекторах нефтегазовых месторождений на основе дробно-дифференциального подхода» (проект 1.3103.2017/ПЧ, 20172019 гг.).

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трёх глав, заключения, списка литературы и приложения. Главы разбиты на 10

параграфов, которые имеют сквозную нумерацию. Нумерация формул в параграфах двойная — первая цифра означает номер параграфа, вторая — номер формулы в параграфе. Такая же нумерация принята для определений, лемм, теорем, замечаний, примеров и рисунков. Полный объём диссертации составляет 113 страниц. Список литературы содержит 79 наименований.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

В первой главе исследован вопрос о построении ОИД специального вида для алгебры Ли операторов и предложен алгоритм построения первых интегралов систем ОДУ с помощью ОИД допускаемой алгебры Ли операторов. В первом параграфе этой главы приводятся необходимые понятия теории групп Ли преобразований и теории дифференциальных инвариантов из [29,32,37,39,53,76,77]. Во втором параграфе приводится построение ОИД со множителем специального вида и исследуются условия его существования. Показано, что такой оператор существует только для алгебры Ли, имеющей производную алгебру меньшей размерности. В третьем параграфе приводится алгоритм последовательного понижения порядка системы ОДУ с помощью ОИД, построенного в параграфе 2. Показано, что в инвариантном представлении редуцированной системы ОДУ присутствует функция, использованная для построения ОИД. В четвёртом параграфе иллюстрируется применимость алгоритма к скалярным ОДУ на примере уравнений первого, второго и третьего порядков, а также рассматриваются примеры использования алгоритма для понижения порядка различных систем ОДУ.

Во второй главе предложена модификация разработанного в главе 1 алгоритма для понижения порядка системы ОДУ с малым параметром. В пятом параграфе приводятся сведения из теории приближённых групп преобразований из [1-8,14,15,33,47-49,51,52,61]. В шестом параграфе вводится оператор инвариантного дифференцирования для приближённой алгебры Ли операторов и приводится общая схема построения ОИД со множителем специального вида. Исследованы условия существования такого ОИД. В седьмом параграфе приводится алгоритм понижения порядка системы ОДУ с малым параметром с помощью оператора инвариантного дифференцирования, по-

строенного в параграфе 6. Показано, что в случае, когда все существенные операторы приближённой алгебры Ли являются устойчивыми относительно заданного возмущения, то алгоритм понижения порядка аналогичен алгоритму, представленного в главе 1. Однако в случае, когда часть существенных операторов являются неустойчивыми относительно заданного возмущения необходимы дополнительные исследования структуры «точной» алгебры Ли, соответствующей допускаемой приближённой алгебре Ли, а также структуры подалгебры устойчивых симметрий. В восьмом параграфе приводятся примеры использования разработанного алгоритма к скалярным ОДУ с малым параметром и их системам. Также показано применение алгоритма для построения приближённого решения системы дифференциальных уравнений с производными дробного порядка.

В третьей главе описаны особенности применения разработанных алгоритмов понижения порядка к системам двух ОДУ второго порядка в зависимости от структурных свойств соответствующей алгебры симметрий. В девятом параграфе показано, что для регулярных систем ОДУ с четырьмя симметриями, образующими разрешимую алгебру Ли, можно получить решение в квадратурах, а порядок систем с неразрешимой допускаемой алгеброй может быть понижен только один раз. В десятом параграфе показано, что применимость алгоритма к системам ОДУ с малым параметром зависит от структуры алгебры симметрий соответствующей невозмущенной регулярной системы, а также размерности и структуры алгебры устойчивых симметрий: при наследовании какого-либо идеала редуцированная система допускает то же количество устойчивых симметрий; если же наследуемая подалгебра не является идеалом, то число устойчивых симметрий редуцированной системы на единицу меньше. Кроме того, число редукций зависит от количества устойчивых симметрий и разрешимости алгебры симметрий соответствующей невозмущенной системы.

Глава 1

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ОПЕРАТОРА ИНВАРИАНТНОГО ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ ДЛЯ ПОСТРОЕНИЯ ПЕРВЫХ ИНТЕГРАЛОВ СИСТЕМ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ

УРАВНЕНИЙ

В первом параграфе этой главы приводятся необходимые понятия теории групп Ли преобразований и теории дифференциальных инвариантов (использовались определения и утверждения из [29,32,37,39,53,76,77]). Во втором параграфе приводится алгоритм построения оператора инвариантного дифференцирования со множителем специального вида. В третьем параграфе даётся общая схема понижения порядка системы ОДУ с помощью оператора инвариантного дифференцирования, построенного в параграфе 2. В четвёртом параграфе иллюстрируется применимость алгоритма к скалярным ОДУ на примере уравнений первого, второго и третьего порядков, а также рассматриваются примеры использования алгоритма для понижения порядка различных систем ОДУ. Результаты опубликованы в работах [11,19].

§1 Вспомогательные сведения из теории группового анализа дифференциальных уравнений

1.1 Однопараметрические группы преобразований. Рассмотрим (п + 1)-мерное пространство Кп+1 переменных и1,... ,ип и введём однопа-раметрическую локальную группу преобразований С1, т.е. группу обратимых преобразований вида

¿ = ... ,ип,а), иг = фг(г,и1,... ,ип,а), г = 1,...,п,

зависящих от вещественного параметра а € А С К, где А — некоторая окрестность точки а = 0, так, что

^(Ь,и1,... ,ип, а)| 0 = Ь, фг(Ь,и1,... ,ип, а)| 0 = иг, г = 1,...,п;

£ = ф(р,п1, ...,Пп,Ь) = ф(Ь,п1,... ,ип,а + Ь),

Пг = фг(!,п1,... ,ип,Ь) = фг(Ь,и1,... ,ип,а + Ь), г = 1,... ,п.

В соответствии с теоремами С. Ли, однопараметрической группе С1 можно поставить в соответствие дифференциальный оператор, называемый ин-финитезимальным оператором группы С1 и определяемый формулой

д п д х = МП)-» +£ (1.1)

, пз =

дФз

dt ^ ' du3' з=1

с dLP

где i = тг- , г,

da a=0 da a=0

Важным понятием группового анализа дифференциальных уравнений является понятие инварианта. А именно, функция F (t, u1,... ,un) = const называется инвариантом группы G1, если она остаётся неизменной под любым преобразованием группы:

F (t,u\...,un) = F (t,u\...,un) .

Известно, что функция F (t,u1 ,...,un) является инвариантом группы G1, если и только если выполнено равенство

X (F) = 0.

Пусть теперь t — независимая переменная, а u3 = u3 (t) — гладкие функции от t. Тогда будем рассматривать продолженное пространство RN,

в котором координатами некоторой точки являются переменная t, функции

1 n -¡(^ dsu3

u1,... ,un, а также все производные u3,(s) = —— до p-го порядка включи-

d t

тельно, т.е. N = n + 1 + pn.

Также введём в рассмотрение пространство A — пространство дифференциальных функций, т.е. аналитических функций, зависящих от независимой переменной t и конечного числа зависимых переменных и их производ-

ных.

Локальная группа полученная распространением преобразований группы с1 на производные по обычным правилам замены переменных, действующая в продолженном пространстве, называется р-м продолжением локальной группы Ли С1. Этой группе с1р) отвечают операторы

XXЫ = £(^ и) д + Е п? ^ и)А + (^^ + ... + С^.Д г

ди? ди1' дип,(р)

3=1

где продолженные координаты вычисляются по формуле

= Щ (п3 - и3'0 + и3>(з+1)£,

где Щ — оператор полной производной:

Щ = I + Е (и?)'ди? + ••••

3=1

Здесь и далее и3' = и3,(1\ ] = 1,... ,п.

Инвариант 1р € А продолженной группы С1р) называется дифференциальным инвариантом группы С1. Порядок р старшей производной называется порядком дифференциального инварианта. Говорят, что система ОДУ

^ (г,и1,.. .,ип,и1>(1),...,ип,(р)) =0, г = 1,...,п, (1.2)

допускает группу С1, если система инвариантна относительно любого преобразования продолженной группы

Инфинитезимальный критерий инвариантности имеет вид

XX(р) №) =0, г = 1,..., п. (1.3)

(1.2)

1.2 Алгебры Ли операторов. Система (1.3) называется системой определяющих уравнений и представляет собой линейное дифференциальное уравнение в частных производных относительно координат £ и п3 (0 = 1,... ,п) инфинитезимального оператора. Множество всех решений системы (1.3) об-

разует векторное пространство.

Алгеброй Ли операторов вида (1.1) называется векторное пространство Ь, в которое наряду с любыми операторами Х1, Х2 € Ь входит также их коммутатор [Х-[, Х2], вычисляемый по формуле

[Х1, Х2] = Х1 (Х2) - Х2 (Х1).

Размерность векторного пространства Ь называется размерностью алгебры Ли; если Ь конечномерно и его размерность равна г, то алгебра Ли обозначается символом Ьг.

Пусть Ьг — алгебра Ли и операторы

д п д

Ха = £а(г,и 1,...,ип) дг + Е Па (г,и1, . . . ,ип) ~3 , а =1,...,Г, (1.4)

3=1

образуют некоторый базис соответствующего векторного пространства. Коммутатор любых двух базисных векторов можно разложить по самому базису и это разложение имеет вид

г

[Ха, Хр ] = Е сав Х7, а, в = 1,...,г. (1.5)

7=1

Числа са^ называются структурными константами алгебры Ли Ьг в базисе Х1,..., Хг.

Каждый базисный оператор алгебры Ли Ьг порождает однопарамет-рическую группу преобразований. Композиция этих однопараметрических групп образует г-параметрическую группу преобразований Сг.

§2 Построение оператора инвариантного дифференцирования специального вида

Рассмотрим линейный дифференциальный оператор, связывающий дифференциальные инварианты группы Сг. Оператором инвариантного дифференцирования (ОИД) алгебры Ли Ьг называется такой оператор \Щ1, \ € А, что для любого дифференциального инварианта Г группы Сг отображение

XDt (F) также является дифференциальным инвариантом этой группы.

В [37] показано, что любой оператор XDt, коммутирующий с каждым оператором X^ (p = 1, 2,...) алгебры Ли Lr группы Gr, является ОИД. Из условия коммутирования

[X(ap),\Dt]=0, (2.1)

следует, что функция Л находится из системы уравнений первого порядка

X^W - ЛDt (ia) = 0, a = 1,...,r. (2.2)

При этом Л является функцией с n + r + 1 переменными.

Будем искать решение системы (2.2) в виде дифференциальной функции специального вида, а именно

Л = DM ■ (2.3)

где Ф G A, причём Ф = const.

Подставляя ОИД со множителем вида (2.3) в условие коммутирования (2.1), получим

- (Dif (XaP) РФ + D&Dt (U) =0, a = 1,...,r. Учитывая известное коммутационное соотношение

X (p\D-

Xa\Dt) - Dt (X^) = -Dt (ia) D

, г О

(см. [37]), получим

а (хар-1) (ф) ----«Н- = 0,

(А (Ф))2 ,

откуда следует, что функция Ф является частным решение системы уравнений в частных производных первого порядка

ха-1 (ф) = Са, а = 1,...,Г, (2.4)

с некоторыми константами интегрирования Са. При этом Ф является функцией с г + 1 переменными.

Уравнения (2.4) — это система линейных неоднородных уравнений в частных производных первого порядка. Методы решения таких систем (см., например, [28,31,56]) предполагают их исследование на совместность и полноту.

Для исследования совместности системы (2.4), рассмотрим матрицу из

Л (р—1)

координат продолженных операторов, а именно, матрицу ЛГ вида

/«1 п1 ... пП С1'(1) ... С(р—1Л

Р П1 пп Г1,(1) ^п,(Р—1)

Г]г ... Г]г ^г . . . <ъТ у

Если г = пр, то эта матрица имеет размерность г х (г + 1). Следовательно, щ ЛГР 1) < г.

Справедливо следующее утверждение.

Лемма 2.1. Если операторы Ха, а = 1,...,г = пр, образуют базис некоторой алгебры Ли Ьг и ЛГР 1) = г, то система (2.4) совместна.

Исследуем полноту системы (2.4). Согласно общему методу исследования систем линейных неоднородных уравнений в частных производных первого порядка (см., например, [28]), полнота системы (2.4) равносильна замкнутости системы операторов вида

д

Уа = хОр—1) + садф, а = 1,...,г,

относительно операции коммутирования. Имеем

[Уа,Гв ] =

Х(р—1о + оа^,хсв)—1) + с д

д ф ,хв + с д ф

= Е сав ^ = Е с1Л у7 — с

X ар—1) хвг1] д \

ч7 7 д Ф /

7=1 7=1

Отсюда следует, что система операторов {Уа} замкнута, если константы С7 удовлетворяют системе алгебраических уравнений

г

Е сав Су = 0. (2.5)

т=1

Таким образом, справедливо утверждение.

Лемма 2.2. Система (2.4) полна, если константами интегрирования удовлетворяют системе (2.5), где с'ав структурные константы алгебры Ли Ьг, натянутой на операторы Ха, а = 1,... ,г = пр.

Заметим, что ранг системы (2.5) совпадает с размерностью производной алгебры ьГ1 = [Ег, Ег ] : производная алгебра алгебры Ли Ьг является

г

линейной оболочкой операторов вида ^ Х7 и ее размерность будет опре-

7=1

деляться рангом матрицы (здесь 7 — номер столбца, а а, в — номер

строки).

Если система (2.5) имеет нетривиальное решение, то ее ранг меньше г. Тогда размерность производной алгебры меньше г. Если же система (2.5) имеет только тривиальное решение, то ранг этой системы равен г. Тогда размерность производной алгебры совпадает с размерностью Ьг, и, следовательно, Ьг проста, а значит, не является разрешимой (см. [44]).

С другой стороны, если размерность производной алгебры меньше г, то ранг системы (2.5) меньше г и она имеет нетривиальное решение. Если же размерность производной алгебры равен г, т.е. алгебра Ли проста (и, следовательно, неразрешима), то ранг системы (2.5) равен г и система (2.5) имеет только нулевое решение.

Известно, что если ег ) имеет размерность г1 < г, то в Ьг можно выделить г — г1 идеалов размерности г — 1, каждый из которых имеет г — г1 — 1 идеалов размерности г — 2, и так далее; каждый из этих идеалов содержит ьГ1 (см. [44]). С другой стороны, если ьГ1 имеет размерность г1 < г, то система (2.5) имеет г — г1 линейно независимых решения, каждое из которых соответствует какой-либо одномерной подалгебре.

Пусть теперь система (2.5) имеет нетривиальные решения. Следовательно, столбцы матрицы (¿0^ линейно зависимы. Возьмём какое-нибудь решение Са = СО (а = 1,... ,г). Для определённости положим, что С0 = 0. В этом случае элементы первого столбца можно представить в виде линейной

комбинации соответствующих элементов остальных столбцов:

1 ^

4 _ 1 V^ л г®

j=2

Тогда

r r

[Xa, Xe] = £ C^X, = _ £ Сав (C?X, - C^)

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Гайнетдинова Алия Айдаровна, 2019 год

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Багдерина, Ю.Ю. Приближённо инвариантные решения дифференциальных уравнений с малым параметром/ Ю.Ю. Багдерина, Р.К. Газизов // Дифференциальные уравнения. — 2005. — Т.41, № 3. — С. 347-355.

2. Байков, В.А. Приближенные симметрии уравнений с малым параметром / В.А. Байков, Р.К. Газизов, Н.Х. Ибрагимов // Препринт N0. 150 Института прикл. математики АН СССР. — 1987. — 28 с.

3. Байков, В.А. Приближенные симметрии / В.А. Байков, Р.К. Газизов, Н.Х. Ибрагимов // Матем. сборник. — 1988. — Т. 136, № 4. — С. 435-450.

4. Байков, В.А. Методы возмущений в групповом анализе. / В.А. Байков, Р.К. Газизов, Н.Х. Ибрагимов // М.: ВИНИТИ, 1989 / Итоги науки и техники. Серия «Современные проблемы математики. Новейшие достижения». — Т. 34. — С. 85-147.

5. Байков, В.А. Приближенные симметрии и формальная линеаризация / В.А. Байков, Р.К. Газизов, Н.Х. Ибрагимов // Прикл. мех. и техн. физика. — 1989. — № 2. — С. 40-49.

6. Байков, В.А. Приближенные симметрии и законы сохранения / В.А. Байков, Р.К. Газизов, Н.Х. Ибрагимов // Теория чисел, алгебра, математический анализ и их приложения, Сб. ст. Посвящается 100-летию со дня рождения Ивана Матвеевича Виноградова, Тр. МИАН. М.:Наука.

— 1991. — С. 35-45.

7. Байков, В.А. Приближенные группы преобразований / В.А. Байков, Р.К. Газизов, Н.Х. Ибрагимов // Дифференциальные уравнения. — 1993. — Т. 29, № 10. — С. 1712—1732.

8. Газизов, Р.К. Инварианты приближенных групп и приближённо инвариантные решения дифференциальных уравнений с малым параметром / Р.К. Газизов // Алгебраические и аналитические методы в теории дифференциальных уравнений. - Сб. трудов международной конференции.

- Орёл: Изд-во Орловского госуниверситета, 1996. — С. 18-22.

9. Газизов, Р.К. Алгебраические свойства приближенных симметрий уравнений с малым параметром / Р.К. Газизов // Межвуз. науч. сб. "Акт. проблемы математики. Мат. методы в естествознании Уфа: УГАТУ, 1999. — С. 66-75.

10. Газизов, Р.К. Интегрирование систем двух обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка, инвариантных относительно четырёхмерных алгебр Ли операторов / Р.К. Газизов, А.А. Гайнетдинова // Дифференциальные уравнения и процессы управления (специальное приложение). — 2016. — № 2 — С. 78-86.

URL:http://diffjournal.spbu.ru/pdf/herzen2016.pdf#page=78 (дата обращения: 03.04.2019)

11. Газизов, Р.К. Оператор инвариантного дифференцирования и его применение для интегрирования систем обыкновенных дифференциальных уравнений / Р.К. Газизов, А.А. Гайнетдинова // Уфимский математический журнал. - 2017. - Т. 9, № 4. - С. 12-21.

12. Газизов, Р.К. Непрерывные группы преобразований дифференциальных уравнений дробного порядка / Р.К. Газизов, А.А. Касаткин, С.Ю. Лу-кащук // Вестник УГАТУ. - 2007. - Т. 9. - С. 125-135.

13. Газизов, Р.К. Уравнения с производными дробного порядка: замены переменных и нелокальные симметрии / Р.К. Газизов, А.А. Касаткин, С.Ю. Лукащук // Уфимский математический журнал. 2012. - Т. 4, № 4.

- С. 54-68.

14. Газизов, Р.К. Классификация неподобных приближенных алгебр Ли с двумя существенными симметриями на плоскости / Р.К. Газизов, В.О. Лукащук // Математическое моделирование и краевые задачи. - 2008.

- Ч. 3. - С. 62-64.

15. Газизов, Р.К. Классификация приближенных алгебр Ли с тремя существенными векторами / Р.К. Газизов, В.О. Лукащук // Известия вузов. Математика. - 2010. - № 10. - С. 3-17.

16. Гайнетдинова, А.А. Исследование систем двух ОДУ второго порядка с малым параметром / А.А. Гайнетдинова, Р.К. Газизов // Фундаментальная математика и ее приложения в естествознании Тезисы докладов IX Международной школы-конференции для студентов, аспирантов и молодых учёных. - Уфа, 2016. - С. 358.

17. Гайнетдинова А.А. Исследование систем двух обыкновенных дифференциальных уравнений третьего порядка с шестью симметриями / А.А. Гайнетдинова // Некоторые актуальные проблемы современной математики и математического образования Материалы научной конференции.

- Санкт-Петербург, 2017. - С. 52-58.

18. Гайнетдинова, А.А. Алгоритм построения интегралов для систем ОДУ / А.А. Гайнетдинова, Р.К. Газизов // Международная математическая конференция по теории функций, посвящённая 100-летию чл.-корр. АН СССР А.Ф. Леонтьева Сборник тезисов. - Уфа, 2017. - С. 42-44.

19. Гайнетдинова, А.А. Исследование систем обыкновенных дифференциальных уравнений, допускающих шестимерные алгебры Ли операторов / А.А. Гайнетдинова // Дифференциальные уравнения и процессы управления. - 2017. - № 4. - С. 180-193.

URL: http://diffjournal.spbu.ru/pdf/gainetdinova.pdf (дата обращения: 03.04.2019)

20. Гайнетдинова, А.А. Использование оператора инвариантного дифференцирования для интегрирования систем ОДУ, допускающих алгебры Ли / А.А. Гайнетдинова, Р.К. Газизов // Актуальные проблемы дифференциальных уравнений и их приложения. Сборник тезисов. — Ташкент, 2017.

— С. 124-125.

21. Гайнетдинова, А.А. Оператор инвариантного дифференцирования для систем обыкновенных дифференциальных уравнений с малым параметром / А.А. Гайнетдинова // Некоторые актуальные проблемы современной математики и математического образования. Материалы научной конференции «Герценовские чтения - 2018». — Санкт-Петербург, 2018.

— С. 74-78.

22. Гайнетдинова, А.А. Оператор инвариантного дифференцирования для уравнений с производными дробного порядка / А.А. Гайнетдинова // Материалы научной конференции. — Нальчик, 2018. — С. 103.

23. Гайнетдинова, А.А. Интегрирование систем обыкновенных дифференциальных уравнений с малым параметром, допускающих приближенные алгебры Ли / А.А. Гайнетдинова // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. — 2018. — Т. 28, № 2. — С. 143-160.

24. Гайнетдинова, А.А. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2018618063 «ПР-ОИД: Построение дифференциальных инвариантов и оператора инвариантного дифференцирования для приближенной алгебры Ли операторов» / автор — А.А. Гайнетдинова; заявитель и правообладатель — ФГБОУ ВО «Уфимский государственный авиационный технический университет» // Федеральная служба по интеллектуальной собственности (Роспатент). Зарегистрировано 09.07.2018.

25. Гайнетдинова, А.А. О структуре алгебр Ли операторов и построении оператора инвариантного дифференцирования / А.А. Гайнетдинова // Некоторые актуальные проблемы современной математики и математического образования. Материалы научной конференции «Герценовские чтения - 2019». — Санкт-Петербург, 2019. — С. 45-47.

26. Гончаровский, М. М. Дифференциальные инварианты и операторы инвариантного дифференцирования проецируемого действия групп Ли/М.М. Гончаровский, И.В. Широков // ТМФ. — 2015. — Т. 183, № 2.

— С. 202-221.

27. Гончаровский, М.М. Построение дифференциальных инвариантов и классификация пространств решений дифференциальных уравнений квантовой теории поля: автореф. дис. ... канд. физ.-мат. наук: 01.04.02 / Гончаровский Михаил Михайлович. - Томск, 2017. - 17 с.

28. Гюнтер, Н.М. Интегрирование уравнений первого порядка в частных производных / Н.М. Гюнтер. - ОНТИ, Ленинград-Москва, 1934. -359 с.

29. Ибрагимов, Н.Х. Групповой анализ обыкновенных дифференциальных уравнений и принцип инвариантности в математической физике / Н.Х. Ибрагимов // Успехи математических наук. - 1992. - Т. 47, № 4(286).

- С. 84-144.

30. Касаткин, А.А. Симметрийные свойства систем двух обыкновенных дифференциальных уравнений дробного порядка / А.А. Касаткин // Уфимский математический журнал. - 2012. - Т. 4, № 1. - С. 71-81.

31. Курант, Р. Уравнения с частными производными / Р. Курант. - М.: Мир, 1964. - 830 с.

32. Ли, С. Лекции о дифференциальных уравнениях с известными инфини-тезимальными преобразованиями / С. Ли, Г. Шефферс. - М.: Ижевск, 2011. - 704 с.

33. Лукащук, В.О.Неподобные шестимерные приближенные алгебры Ли на плоскости и инвариантные дифференциальные уравнения второго порядка с малым параметром / В.О. Лукащук // Уфимский математический журнал. - 2009. - Т. 1, № 3. - С. 97-110.

34. Лукащук, С. Ю. Приближение обыкновенных дробно-дифференциальных уравнений дифференциальными уравнениями с малым параметром / С.Ю. Лукащук // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. - 2017. - Т. 27, № 4. - С. 515-531.

35. Мубаракзянов, Г.М. О разрешимых алгебрах Ли / Г.М. Мубаракзянов // Изв. вузов. Матем. - 1963. - № 1. - С. 114-123.

36. Мищенко,Е.Ф. Дифференциальные уравнения с малым параметром и релаксационные колебания / Е.Ф. Мищенко, Н.Х. Розов. - М.: Наука.

- 1975. - 248 с.

37. Овсянников, Л.В. Групповой анализ дифференциальных уравнений / Л.В. Овсянников. - М.:Наука, 1978. - 399 с.

38. Овсянников, Л.В. Об оптимальных системах подалгебр / Л.В. Овсянников // Доклады академии наук. - 1993. - Т. 333, № 6. - С. 702-704.

39. Олвер, П. Приложения групп Ли к дифференциальным уравнениям / П. Олвер. - М.: Мир, 1989. - 639 с.

40. Полянин, А.Д. Элементарная теория использования инвариантов для решения математических уравнений / А.Д. Полянин // Вестник СамГУ

— Естественнонаучная серия. — 2008. — № 6 (65). — С. 152-176.

41. Попович, Р.Е. Дифференциальные инварианты однопараметрической группы локальных преобразований и интегрируемые уравнения Рикка-ти / Р.Е. Попович, В.Н. Бойко // Вестник СамГУ. — 2001. — № 4 (18).

— С. 49-56.

42. Хабиров, С.В. Иерархия подмоделей дифференциальных уравнений / С.В. Хабиров // Сибирский математический журнал. — 2013. — Т. 54, № 6. — С. 1396-1406.

43. Широков, И.В. Дифференциальные инварианты группы преобразований однородного пространства / И.В. Широков // Сибирский математический журнал. — 2007. — Т. 48, № 6. — С. 1405-1421.

44. Эйзенхарт, Л.П. Непрерывные группы преобразований / Л.П. Эйзенхарт.

— М.: Иностранная литература, 1947. — 360 с.

45. Гапонова, О. В. Системи ЗДР другого порядку, швар1антш вщносно низькорозм1рних алгебр Л1/ О. В. Гапонова, М. О. Нестеренко // Зб1р-ник праць 1нституту математики НАН Украши, Кшв. — 2006. — Т. 3, № 2. — C. 71-91.

46. Ayub, M. Symmetries of second-order systems of ODEs and integrability. / M. Ayub, F.M. Mahomed, M. Khan, M.N. Qureshi // Nonlinear Dynamics.

— 2013. — Vol. 74. — Pp. 969-989.

47. Bagderina, Yu.Yu. Solution of ordinary differential equation with a large Lie symmetry group / Yu.Yu. Bagderina // Nonlinear Dynamics. — 2002. — Vol. 30. — P. 287-294.

48. Bagderina, Yu.Yu. Invariants of multi-parameter approximate transformation groups / Yu.Yu. Bagderina // Journal of Mathematical Analysis and Applications. — 2003. — Vol. 281,№ 2. — Pp. 539-551.

49. Bagderina, Yu.Yu. Invariant representation and symmetry reduction for differential equations with a small parameter / Yu.Yu. Bagderina, R.K. Gazizov // Commun. Nonlinear Sci. Numer. Simulat. — 2004. — V. 9. — Pp. 3-11.

50. Bagderina, Yu.Yu. Symmetries and invariants of the systems of two linear second-order ordinary differential equations / Yu.Yu. Bagderina // Commun. Nonlinear Sci. Numer. Simulat. — 2014. — V. 19. — Pp. 3513-3522.

51. Baikov, V.A. Approximate transformation groups and deformations of symmetry Lie algebras / V.A. Baikov, R.K. Gazizov, N.H. Ibragimov // Chapter 2 in CRC Handbook of Lie Group Analysis of Differential Equations.

Vol. 3. New Trends in Theoretical Developments and Computational Methods. Edited by N.H.Ibragimov. CRC Press, Boca Raton, Florida, 1996.

- Pp. 31 - 67.

52. Baikov, V.A. Differential equations witha small parameter: exact and approximate symmetries / V.A. Baikov, R.K. Gazizov, N.H. Ibragimov // Chapter 9 in CRC Handbook of Lie Group Analysis of Differential Equations. Vol. 3. New Trends in Theoretical Developments and Computational Methods. Edited by N.H.Ibragimov. CRC Press, Boca Raton, Florida, 1996.

- P. 217 - 289.

53. Bluman, G.W. Symmetry and integration methods for differential equations / G.W. Bluman, S.C. Anco. — Springer-Verlag New-York, Inc., 2002. — p. 419.

54. Cerquetelli, T. Four dimensional Lie symmetry algebras and fourth-order ordinary differential equations / T. Cerquetelli, N. Ciccoli, M.C. Nucci // Journal of Nonlinear Mathematical Physics. — 2002. — № 9/2. — Pp. 24-35.

55. Fatima, A. A note on four-dimensional symmetry algebras and fourth-order ordinary differential equations / A. Fatima, M. Ayub, F.M. Mahomed // Journal of Applied Mathematics. — 2013. — № 848163 (4 p.).

56. Forsyth, A.R. A Treatise on Differential Equations / A.R. Forsyth. — New York: Dover, 1956. — 583 p.

57. Gainetdinova, A.A. Group classification of ODE y'" = F(x,y,y') / A.A. Gainetdinova, N.H. Ibragimov, S.V. Meleshko // Commun. Nonlinear Sci. Numer. Simulat., 2014. — V. 19, № 2. — Pp. 345-349.

58. Gainetdinova, A.A. Integrability of systems of two second-order ordinary differential equations admitting four-dimensional Lie algebras / A.A. Gainetdinova, R.K. Gazizov //Proc. R. Soc. A. — The Royal Society, 2017.

- V. 473, № 2197. — № 20160461 (13 p.).

59. Gainetdinova, A.A. Integrals of systems of two second-order ODEs admitting four-dimensional Lie algebras / A.A. Gainetdinova, R.K. Gazizov // International conference on mathematical modelling in applied sciences. Abstract book. — Saint-Petersburg, 2017. — C. 198.

60. Gazizov, R.K. Lie algebras of approximate symmetries / R.K. Gazizov // Nonlinear Mathematical Physics. — 1996. — Vol. 3, № 1-2. — Pp. 96-101.

61. Gazizov, R.K. Representation of general invariants for approximate transformation groups / R.K. Gazizov // Journal of Mathematical Analysis and Applications — 1997. — № 213. — Pp. 202-228.

62. Gazizov, R.K. Integration of ordinary differential equation with a small parameter via approximate symmetries: reduction of approximate symmetry

algebra to a canonical form / R.K. Gazizov, N.H. Ibragimov, V.O. Lukashchuk // Lobachevskii Journal of Mathematics : MAIK Nauka. — 2010.- Vol. 31, № 2. — P. 141-151.

63. Gazizov, R.K. Symmetry properties of fractional diffusion equations / R.K. Gazizov, A.A. Kasatkin, S.Yu. Lukashchuk // Physica Scripta. — 2009. — Vol. 136. — № 014016 (6 p.).

64. Glebov, S.G. Nonlinear equations with small parameter. Volume I: Oscillations and resonances / S.G. Glebov, O.M. Kiselev, N.N. Tarkhanov.

— Berlin: Walter de Gruyter GmbH & Co. KG. — 2017. — Vol. 23/1. — 337 p.

65. Ibragimov, N.H. Elementary Lie Group Analysis and Ordinary Differential Equations / N.H. Ibragimov. — John Wiley and Sons. — 1999. — 348 p.

66. Ibragimov, N.H. Integration of third order ordinary differential equations by Lie's method: equations admitting three-dimensional Lie algebras / N.H. Ibragimov, M.C. Nucci // Lie Groups and their Applications. — 1994. — V. 2. — Pp. 49-64.

67. Lukashchuk, S. Yu. An approximate solution method for ordinary fractional differential equations with the Riemann-Liouville fractional derivatives / S.Yu. Lukashchuk // Commun. Nonlinear Sci. Numer. Simulat. — 2014. — V. 19, № 2. — Pp. 390-400.

68. Gazizov, R.K. Approximations of fractional differential equations and approximate symmetries / R.K. Gazizov, S.Yu. Lukashchuk // IFAC PapersOnLine. — 2017. — № 50-1. — Pp. 14022-14027.

69. Mkhize, T.G. Complete group classification of systems of two linear second-order ordinary differential equations: the algebraic approach / T.G. Mkhize, S. Moyo, S.V. Meleshko // Mathematical Methods in the Applied Sciences.

— 2015. — Vol.38. — Pp. 1824-1837.

70. Oguis, G.F. Complete group classification of systems of two nonlinear second-order ordinary differential equations of the form y" = F(y) / G.F. Oguis, S. Moyo, S.V. Meleshko // Commun. Nonlinear Sci. Numer. Simulat. — 2017.

— V. 44. — Pp. 318-333.

71. Ovsyannikov, L.V. On the optimal systems of subalgebras / L.V. Ovsyannikov // Lie Groups and their Applications. — 1994. — Vol. 1, № 2.

— Pp. 18-26.

72. Patera, J. Subalgebras of real three- and four-dimensional Le algebras / J. Patera, P. Winternitz // Journal of Math. Physics. — 1977. — Vol. 18, № 7.

— Pp. 1449-1455.

73. Popovich, R.O. Realizations of real low-dimensional Lie algebras / R.O. Popovich, V.M. Boyko, M.O. Nesterenko, M.W. Lutfullin // Journal of Physics A. — 2003. — № 36. — Pp. 7337-7360.

74. Singh, M. On reduction of some differential equations using symmetry methods / M. Singh // Journal of Natural Sciences Research. — 2015. — V. 5, № 3. — Pp. 44-48.

75. Suksern, S. Application of group analysis to classification of systems of three second-order ordinary differential equations / S. Suksern, S. Moyo, S.V. Meleshko // Math. Meth. Appl. Sci. — 2015. — Vol. 38, № 18. — Pp. 50975113.

76. Stephani, H. Differential Equations: Their Solution Using Symmetries / H. Stephani. — Cambridge University Press, 1989. — 260 p.

77. Tresse, Ar. Sur les invariants differentiels des groupes continus de transformations / Ar. Tresse // Acta Math. — 1894. — V. 18, № 1. — Pp. 1-3.

78. Wafo Soh, C. Canonical forms for systems of two second-order ordinary differential equations / C. Wafo Soh, F.M. Mahomed // Journal of Physics A: Mathematical and General. — 2001. — № 34. — Pp. 2883-911.

79. Wafo Soh, C. Reduction of order for systems of ordinary differential equations / C. Wafo Soh, F.M. Mahomed // Journal of Nonlinear Mathematical Physics. — 2004. — № 11:1. — Pp. 13-20.

Приложение А. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ