Краевые задачи для уравнений с доминирующей частной производной тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат наук Миронов, Алексей Николаевич

• Миронов, Алексей Николаевич
• кандидат наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат наук Миронов, Алексей Николаевич

Оглавление

Введение

Глава 1. Метод Римана

§ 1. Общий случай

1.1. Доказательство основного тождества

1.2. Построение формулы решения задачи Коши

§ 2. Некоторые частные случаи задачи Коши

2.1. Задача на плоскости

2.2. Задача в трехмерном пространстве

2.3. Уравнение пятого порядка в четырехмерном пространстве

Глава 2. Интегральные уравнения для функций Римана

§ 3. Уравнения Бианки

3.1. Уравнение четвертого порядка

3.2. Уравнение произвольного порядка

§ 4. Уравнения с кратным дифференцированием по одной из переменных

4.1. Уравнение третьего порядка

4.2. Уравнение четвертого порядка

4.3. Уравнение пятого порядка

4.4. Уравнение с произвольным числом независимых переменных

Глава 3. Задачи с нормальными производными на характеристиках

для уравнений Бианки

§ 5. Трехмерное пространство

5.1. Интегральные уравнения для граничных значений Гурса

5.2. Условия и характер разрешимости задач

§ 6. Размерность п ^ 4

6.1. Четырехмерное пространство

6.2. Любое конечное число независимых переменных

Глава 4. Характеристические задачи для факторизованных гиперболических уравнений

§ 7. Задачи в пространствах размерности п — 3, 4

7.1. Трехмерное пространство

7.2. Четырехмерное пространство

§ 8. Задача в Rn

8.1. Постановка задачи и ее сведение к интегральным уравнениям

8.2. Вывод условий разрешимости

Глава 5. Групповые свойства уравнений Бианки

§ 9. Уравнение третьего порядка

9.1. Построение определяющих уравнений

9.2. Выделение некоторых классов уравнений с постоянными отношениями инвариантов Лапласа

9.3. Трехмерный аналог уравнения Эйлера-Пуассона

§ 10. Уравнение четвертого порядка

10.1. Построение инвариантов Лапласа

10.2. Определяющие уравнения

10.3. Некоторые классы уравнений с постоянными отношениями инвариантов Лапласа

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Краевые задачи для уравнений с доминирующей частной производной»

Введение

Актуальность темы. В данной диссертации изучается уравнение

(А +Д,)гг = /(жь...,а;п), (1)

где

Н-----1-тпп

1)1 = дх^ ... дх' а1>2 — линейный дифференциальный оператор с переменными коэффициентами, содержащий производные функции и(х\,..., хп): получаемые из отбрасыванием по крайней мере одного дифференцирования. Данное уравнение можно записать в виде

Ци)= аЧ1Ч2...Чп(хъх2,... ,хп)их<пх<п_хяп = /(Х1,Х2, ■ ■ ■ ,хп),

О

г=1,п

где )

/ — заданные функции, ат1т2...т„ = 1, и — искомая функция; порядок уравнения равен т = тх+тг-Ь- • ■+тп. Далее такие уравнения будем называть уравнениями с доминирующей частной производной.

К данному классу принадлежит уравнение Бианки [134], для которого

дх\... дхп

В 1895 г. Л. Бианки [151] и О. Николетти [173] предложили распространение на уравнение Бианки произвольного порядка метода решения задачи Коши, разработанного Б. Риманом [96] (метод Римана) для уравнения

Ьх(и) = иху + а{х,у)их + Ь(х,у)иу + с(х,у)и = /(х,у). (2)

Результаты Римана обобщались рядом математиков и на многомерные волновые уравнения. В. Вольтерра [187] в 1894 г. распространил этот метод на случай п = 3. Наиболее общие результаты в этом направлении (случай любого числа переменных п) принадлежат Ж. Адамару. В доработанном виде они вошли в его монографию, изданную в 1921 г. (русский перевод [1]). Затем эти результаты развивались и другими, например С.А. Алдашевым [2].

Через 50 лет результаты Л. Бианки были для п = 3 переоткрыты Е. Лаэ [169], а в 1956-1958 гг. появились публикации М.К. Фаге [133], [134], посвященные этому же уравнению. В статье [134] при этом отмечалось, что "... Бианки и Николетти разработали лишь формальную часть теории, не вдаваясь в аналитические детали ...". В той же статье был представлен вариант метода Римана, более соответствующий современному уровню развития математики. В названии указанной работы уравнению присваивается имя Бианки. Позднее [136, с. 11] М.К. Фаге указал, что первым, кто предложил термин "уравнение Бианки" был Г. Бейтмен [150].

К уравнениям Бианки специальными подстановками приводятся уравнения

в смешанных переменных: комплексной по ш и действительной по х [134]. В свою очередь, к задаче Коши для частных форм (3) сводится задача интегрального представления преобразований одних обыкновенных линейных дифференциальных операторов в другие [135], [136, с. 5-13]. Задача Гурса для уравнений с итерациями операторов

тесно связана с задачей Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений [8, п. 7.4 главы 7].

дпР{и, х) _ дпГ(и,х) дшп дхп

г+к<п

дх\... дх.

Интерес к уравнениям (1) объясняется также их приложениями в теориях фильтрации жидкости в трещиноватых средах, переноса почвенной влаги, колебаний стержней с учетом эффектов поперечной инерции, распространения волн в диспергирующих средах (см., например, библиографические ссылки к статьям [105], [20]). Частными случаями уравнения (1) являются предложенное И.Н. Векуа уравнение изгиба тонкой сферической оболочки, уравнение Аллера, уравнение Буссинеска-Лява с двумя независимыми переменными, поливибрационные уравнения Манжерона.

Степень разработанности проблемы. Имеется модификация классического метода Римана [10, §§ 4-6], [6, с. 62-66], которая заключается в том, что исходное тождество, использованное Риманом, берется в иной форме, а функция Римана определяется как решение интегрального уравнения.

В 1990 г. в работе [29] было рассмотрено уравнение

ихуг + аиху + Ьиуг + сихг + (1их + еиу + /иг + ди = 0. (4)

Отправным пунктом являлся результат И.Н. Векуа из [10], где было показано, что функция Римана для уравнения (2) удовлетворяет интегральному уравнению

У X

у)- У а(х> "пМх, Г]) (к]- J Ь(£, у)у(£, у)

+

+

X у

I у ей, 77м&т7)<ме = 1

г т

и имеет место тождество

<92М) _ д

дхду дх

[дЯ

и —--ал

. \дУ

+

д_ ду

отличающееся от тождества, использованного Б. Риманом. Данная модификация метода Римана допускала возможность распространения на случай уравнения (4), что и было реализовано в [29].

Позднее, в ряде работ В.И. Жегалова, В.А. Севастьянова и ЕА. Уткиной [39], [30], [31], [32], [33], [34], [38], [40], [102], [103], [104], [107], [108] этот модифицированный метод был распространен на класс уравнений вида (1). Отметим, что этими авторами для уравнений с кратным дифференцированием изучалась задача Гурса, а задача Ко-ши исследовалась лишь для уравнения Бианки. При этом существенное значение имело то, что функция Римана в указанных работах определяется не как решение сопряженного уравнения, удовлетворяющее граничным условиям, число которых очень быстро увеличивается с ростом п, а как решение некоторого интегрального уравнения. Отметим еще, что при построении решений задач Коши В.А. Севастьянов использовал аппарат дифференциальных форм. Оба указанных изменения привели к существенному уменьшению сложности выкладок, и вывод окончательных формул решения стал более компактным. К тому же появились дополнительные возможности получения функции Римана в явном виде путем непосредственного решения соответствующего интегрального уравнения.

Почти одновременно (с 1993 г.) другой вариант метода Римана для уравнений Бианки стал разрабатываться в Самаре (например [14], [15]).

Ряд российских и зарубежных математиков также разрабатывали различные варианты метода Римана [105], [152], [158], [176], [177], [178], [179], [180], [184].

Некоторые частные случаи уравнения (1) при п — 2, 3 исследовали с разных точек зрения многие авторы, в частности В .А. Вода-хова, О.М. Джохадзе, P.C. Жамалов, И.Г. Мамедов, М.Х. Шхануков, D. Colton, S. Easvaran, D. Mangeron, M.N. Oguztoreli, V. Radochova и др. [12], [13], [17], [18], [19], [20], [21], [22], [28], [59], [60], [145], [146], [147], [155], [159], [160], [170], [171], [174], [175]. Имеются различные обобщения

таких уравнений, которые рассмотрены, например, в работах [97], [148], [149], [154], [162], [165], [166], [167], [168], [182], [183], [189].

В цикле работ Е.А. Уткиной [ЮТ]—[132], [186], для уравнения (1) исследована разрешимость характеристических задач с нормальными производными в краевых условиях, выведены достаточные условия существования и единственности решения задачи Дирихле для уравнений четвертого и шестого порядков в двух- и трехмерном пространствах, изучены задачи со смещением, построены некоторые аналоги уравнения Эйлера-Пуассона.

Укажем также, что имеются варианты метода Римана, применяемые для построения решений систем дифференциальных уравнений. Э. Хольмгрен [163] распространил метод Римана на системы уравнений первого порядка с двумя независимыми переменными. В работе Б.Н. Бурмистрова [9] результаты Хольмгрена развивались с целью решения задачи Коши, возникшей в связи с исследованием граничной задачи для системы уравнений смешанного типа на плоскости. A.A. Андреев [4] с помощью метода Римана изучил системы уравнений вида (2) при наличии у матричных коэффициентов особенностей.

В работе [87] предложен вариант метода Римана для системы

т п

uiXj=^2ait(xi,...,xn)ui + fi(x 1,...,ж„), 1 = (5)

i=1 i=1

если 1 < / ^ ki, то j — 1, если к\ + 1 ^ I ^ к\ -f- к2, то j = 2, если ki + к2 +1 ^ / < h + к2 + /с3, то j = 3, ... , если YJi=i к{ + 1 ^ 1 ^ то j = п. В статьях [88], [46] полученный результат использован для исследования ряда задач для частных случаев (5).

Отметим еще одно направление в теории уравнений с доминирующей частной производной. Хорошо известна роль инвариантов Лапласа в теории уравнения

иху + а(х, у)их + Ъ(х, у)иу + с(х, у)и = 0. (6)

В частности, они играют определяющую роль в классификации уравнений вида (6) с точки зрения группового анализа. Напомним основной классификационный результат для уравнений (6) [93, с. 116-125]. Совокупность преобразований эквивалентности для (6)

Два уравнения вида (6) называются эквивалентными по функции [93, с. 117], если они переходят друг в друга при преобразованиях (7), в которых

а(х) = х, (3{у) = у.

Два уравнения (6) эквивалентны по функции тогда и только тогда, когда инварианты Лапласа

Н — ах + аЬ — с, к = Ьу + аЪ — с

имеют для обоих уравнений одинаковые значения. Алгебра Ли уравнения (6) есть Ь = I/ © 1/°°, где 27 образована операторами вида

а Ь°° — подалгебра с оператором и(х, у)ди, и — решение (6). Оператор иди допускается любым уравнением (6), поэтому указанный оператор можно включить в Ь°° и считать, что а(х^у) определяется в (8) с точностью до постоянного слагаемого.

Если Н — к = 0, то уравнение (6) эквивалентно уравнению иху = 0 и допускает бесконечномерную алгебру Ли операторов X = £:1{х)дх + £?{у)ду с произвольными функциями С2{У)■ Если /г О,

то справедлива следующая

Теорема Ли-Овсянникова. Уравнение (6) допускает более чем одномерную алгебру Ли операторов (8) тогда и только тогда, когда функции

х = а(х), у = /%), и = ш(х, у)и.

(7)

X = ^(ж, у)дх + £2(х, у)ду + а(х, у)ид7

(8)

тождественно постоянны. Если р и д постоянны, то уравнение (6)

равносильно либо уравнению Эйлера-Пуассона (д ф 0)

2/д 2р/д Ар/д2

иху--—их---—иу + и = 0,

X + у х + у [х + у)Л

либо уравнению (д = 0)

иху + хих + + рхуи = О,

причем его алгебра Ли операторов (8) трехмерна.

Построению инвариантов Лапласа для уравнений с доминирующей частной производной третьего порядка посвящена работа [20]. Цели диссертационной работы.

1. Доказательство дифференциального тождества и построение формулы решения задачи Коши для уравнения (1) путем интегрирования указанного тождества.

2. Вывод более простых интегральных уравнений для функции Рима-на для частных случаев уравнения (1). Построение функции Римана в явном виде для указанных частных случаев уравнения (1).

3. Исследование разрешимости задач типа Гурса с нормальными производными первого порядка на характеристиках для уравнений Бианки.

4. Постановка ряда задач для факторизованных гиперболических уравнений и доказательство их корректности.

5. Изучение групповых свойств уравнений Бианки.

Методы исследования. Центральным моментом является разработка метода Римана для уравнения (1). Для обоснования полученных результатов и при исследовании задач для уравнений вида (1) применяются методы и результаты теории интегральных уравнений, группового анализа дифференциальных уравнений с частными производными, используется аппарат дифференциальных форм.

Научная новизна. Все результаты, представленные в диссертации, являются новыми. В главе 1 основную роль играет новое диффе-

ренциальное тождество, интегрированием которого получена формула решения задачи Коши. Новыми являются выделенные в главе 2 случаи построения функции Римана в явном виде, постановки задач в главе 3 и главе 4, полученные в главе 5 результаты (инварианты Лапласа для уравнений с доминирующей частной производной, определяющие уравнения в инвариантной форме, классы уравнений, допускающих алгебры Ли наибольшей размерности). Элементы новизны содержатся в методах доказательства корректности рассматриваемых в диссертации задач.

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Каждая из глав содержит результаты, которые могут служить основой для дальнейших исследований. Возможны приложения, связанные с математическим моделированием в указанных выше областях применения рассматриваемых в диссертации уравнений.

Апробация работы. По мере получения результаты работы докладывались на семинарах кафедры дифференциальных уравнений Казанского (Приволжского) федерального университета (20062010, 2013 г.г.).

Обзорные доклады по всей диссертации были сделаны на семинаре профессора А.И. Кожанова (Новосибирск, Институт математики им. С.Л. Соболева Сибирского отделения Российской академии наук, 2011 г.), на международной научной конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения" (Белгород, 2013 г.) и на семинаре академика Е.И. Моисеева (Москва, Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова, 2013 г.).

Значительная часть результатов диссертации докладывалась на различных конференциях, в частности, на регулярно проходящих конференциях "Математическое моделирование и краевые задачи" (Самара), "Теория функций, ее приложения и смежные вопросы" (Казань), "Лобачевские чтения" (Казань).

Публикации. Основные результаты диссертации отражены в 34 публикациях автора [35], [36], [37], [39], [41], [47], [48], [50], [61] - [86]. Из них 13 публикаций — в журналах, определенных Высшей аттестационной комиссией Министерства образования и науки Российской Федерации для публикации результатов докторских диссертаций. В публикациях, выполненных в соавторстве с научным консультантом, соавтору принадлежат определенные предложения по постановкам задач и рекомендации общего характера, связанные с применяемыми методами исследования. Публикации [62], [37], [63] были написаны в период работы над кандидатской диссертацией, однако они включены в данный список, поскольку некоторые главы данной диссертации являются непосредственным развитием результатов кандидатской диссертации.

Структура и объем работы. Диссертация содержит 260 страниц и состоит из введения, пяти глав, разбитых на 10 параграфов и списка литературы из 189 наименований.

Краткое содержание работы. В главе 1 настоящей диссертации разработан метода Римана для уравнения (1).

В § 1 рассмотрена задача Коши в п-мерном пространстве. В ориентированном системой координат {х\, Х2, ■ ■ ■, хп) пространстве рассмотрим свободную (нехарактеристическую) поверхность 5 класса Ст~1. Выберем точку Р{х\, х®, ■ ■ ■, х^) так, чтобы плоскости х\ = х®, Х2 = х®,..., хп = вырезали из поверхности 5 ограниченный участок Обозначим через конечную область пространства В,п, ограниченную плоскостями х\ = х®, Х2 = х\,..., хп — х®п и поверхностью 5°. Считаем ориентацию области

положительной.

Регулярным в области И решением уравнения (1) назовем решение, непрерывное в И вместе со всеми входящими в это уравнение производными.

Задача Коши: найти регулярное в области решение уравне-

ния (1), удовлетворяющее условиям

дки , , --_

—Г =фк, Л = 0,771-1, д1к 30

фк Е Ст_/г(5°), а 1 — заданное на £ некасательное к этой поверхности поле направлений.

Считаем, что коэффициенты (1) удовлетворяют включениям ап, п* а Е / Е С в замыкании рассматриваемой области С

(областью всюду будем называть открытое связное множество). Класс означает существование и непрерывность всех производных д11+12+"'+1п/дх11 дх12 ... дх1^, 1г = 0, дг, г = 1, п, на множестве С. Функция Римана Я = К(х1,х2, ■.. ,хп) для уравнения (1) определяется как решение интегрального уравнения

ГХЯ1 Гхч2 Гхяк

11(х1}Х2,...,хп) / / ■•■/ • • • ,

/с=1 ^ ^^

..., хп)ааЧк. . . (1сх.д2с1сх.д1 — 1, (9)

где вторая сумма берется по множеству всех упорядоченных наборов индексов <2к>п = {(дь д2, • • •, Як) I 1 ^ 41 < 42 < ■ • ■ < Як ^ п},

- (-^1 • ■ ■ > (Хдг > • • • > ^Як) =

т91-1тад-1 т^-1 к

р91=0 Р92=0 Р9А:=0

-(*.,"«.,Г*"*-1

^1—15 С^д!, + . . . , Хдк+1, . . . , Хп) 11

1 (т^-р^-1)!

причем если % ф то рг = 0. Здесь жг, аг Е [£г>7?г], & = 1,тг. Пусть ^ = X [6^2] X ••• х С С. Решение (9) существует и

единственно в классе С(£7). Как обычно (например [6, с. 63]), считаем Я функцией как переменных {х\, ..., хп), так и параметров

• • ■, Сгг), то есть Я = Я(х1,х2,..., хп] • • •, £п)- Из (9) следует, что Я(х1,..., хп; х1}..., хп) = 1.

Центральную роль в рассуждениях играет тождество

п

_^ рг

Рг^ГПг,

1=1,п

(10)

где рг, тг, 1г — целые неотрицательные числа, справедливое для любой вектор-функции класса ь->т"). В сумме (10) каждое слагаемое встречается лишь один раз и определяется конструкцией АР1Р2 ^Рп (точнее, набором (рг,р2, ■ ■ -Рп))- Формула (10) строится по следующему правилу. Берется набор (р\,р2, ■ ■ ■ ,Рп), затем определяем набор (¿1,12, ■ ■ ■, 1п) так, чтобы Р1 + ¿1 ^ 7711, Р2 + ¿2 ^ • • • , Рп + ¿тг ^ тп, При ЭТОМ

берутся наибольшие значения 12, .. ■ , 1п (т. е. 1г = 1, если рг < тг, 1г = 0, еслирг = т{). Эти наборы (рьрг, ■ • • (¿ь ¿2, • • •, однозначно определяют слагаемое из (10).

Чтобы доказать справедливость (10), используется следующее предложение, доказанное методом математической индукции.

Теорема 1.1. Имеет место тождество

п

Е, . £(тг-Гг+Рг)

( — 1 ]1-1 \УхР1+Г1-т1:гР2+Г2-т2 хРп+тп-тп X

ГПг-Гг^Рг, г=1,п

X и т1-11-р1 т2-12-Р2 тп-1п-рп ) ¿1 /2 ¿„ =

•• З/71

¿(2тг-гг)+1

= уигпг2 тп + ( —1)1=1 (11)

1 2 * ' 1 2 * ■ ^

где сумма в левой части (11) строится по тому же правилу, что и

сумма (10), п, Ti, rrii — фиксированные целые неотрицательные числа, и, V — функции класса

В терминах функции Римана построена формула решения задачи Коши, методом интегральных уравнений доказаны существование и единственность решения.

В § 2 для ряда уравнений в дву-, трех- и четырехмерном пространствах построены решения задачи Коши в терминах функции Римана. Ясно, что реализация схемы решения задачи Коши из § 1 в частных случаях требует определенной вычислительной работы. Вместе с тем, возможные приложения метода Римана должны быть связаны именно с конкретными уравнениями в пространствах невысокой размерности. Именно такие уравнения здесь и рассмотрены. Кроме того, разбор конкретных частных случаев уравнения (1) позволяет быстрее понять суть метода.

Ясно, что при исследовании уравнения (1) важным является вопрос построения функции Римана в явном виде. В главе 2 рассматривается вопрос о построении более простых интегральных уравнений для функции Римана и использовании этих уравнений для получения функции Римана в явном виде. Для уравнения Бианки этому вопросу посвящено довольно много публикаций. Так, например, построением функций Римана для различных вариантов уравнения (2) занимались T.W. Chaundy [153], М.Н. Олевский [95], B.C. Чуриков, И.П. Мащенко [144], A.A. Андреев [3]. Для уравнения Бианки более высокого порядка этот вопрос изучался в [16], [29], [32], [33], [39], [57]. Результаты этих работ используются при построении решений интегральных уравнений [49]. Некоторые случаи построения функции Римана в явном виде для уравнений (1) с кратным дифференцированием указаны в [108], [39].

В § 3 прежде всего изучается возможность построения более простых уравнений для функции Римана, чем (9), для уравнения Бианки.

Получены достаточные условия, позволяющие записать интегральное уравнение для функции Римана с одним кратным интегралом. Ясно, что исходя из такого уравнения значительно проще построить функцию Римана, чем из уравнения общего вида (9). Затем, исходя из полученного более простого интегрального уравнения, получены достаточные условия, позволяющие построить для уравнения Бианки функцию Римана в явном виде.

Запишем уравнение Бианки произвольного порядка в виде

иХ1Х2...Хп + Ь{и) = 0, (12)

аЧ\ ■■■ЧкихЧк+1...хЧп:

k=l Qn

Qn = {(Qu ■ ■ ■ , Qn) I fe I 1 ^ j ^ n} = {p I 1 ^ p ^ n}, qi < ... <qk, qk+i < < qn}-

Введем конструкции

hqi...qk-\,qk ~ (aqi-- qk-i)xq, + aqi...qk-i

df]

взятые по всем упорядоченным наборам (<?ь ... ,<?*;), причем считаем, что аЧх,„Чк = аР1...Рк, если | 1 ^ г ^ к] = {р^ | 1 ^ э ^ к}.

Теорема 3.1. Пусть (п,... ,гп) — некоторая перестановка (1,. .. ,п) и

- 0, к = 2,п-1, (яг,... ,Як) € Як,п- (13) Тогда интегральное уравнение для функции Римана имеет вид

и^х 1, . . . , хп, . . . , хп) ■ • • ) ^ь - • ' > пх 1 гхп

+(-1)п / ... ^...^(а,ап,Х1,... ,хп)х А?

хЛГ1...т.п_1)Гп(о;1,... ,а:п)г>(а!1,... ... , х°)(1ап ... (1аъ

Ягг • • • ,ХП,Х1,... ,х°п) = ехр ^ / аГг(х ь...

, г=1 1г

хгг-1) агг1 • • • 1Хп) \хг1+1=х°г+1 ■ ■ ■ \хГп=х°п (1оСгг

На основании этого результата доказано следующее утверждение.

Теорема 3.2. Если выполняются условия (13), коэффициенты аг имеют структуру

аг

= а®(хг)+и х3, г = 1, п, и = сопвЬ,

Кз^п, зфг

и

Ьп гп^гп = (-1)" П вЛъ)>

то функция Римана для (12) имеет вид

1){Х\: • • • , Хп, X}, ... , хп)

о^п-1 (1,... ,1;(-1)п П

\ у

хехр £ / а?г{аг)(1аг + П ^ - П ) >

оо ^

о^-Л... Д^НЕтт^ттУ-

В работе [57] данное исследование получило дальнейшее развитие: в ней получено обобщение теоремы 3.2.

В § 4 аналогичные результаты получены для уравнений с кратным дифференцированием по одной из переменных. В частности, доказана теорема 4.1, согласно которой функция Римана для уравнения

tl>X\XiX2---Xn X\X\Xi---Xn-\ + ' • • +

+ А Tl — X 1 пJ и,Х\Х\Х2---Хп-2

+ . . . +

+ A2(x2)A3(x3)uXlXlX4^,Xn Н-----b А2(х2)... А

+ <^2(^2) • • • Ц>п(Хп)и = f(x 1,Х2, ...,Хп) с непрерывными коэффициентами имеет вид

R(x 1,..., хп\ ..., fn) = exp ^^ J^ А{(a^daij х

¿i (k!)"~ fi Ux, W ' 7 (2*0!

Отметим, что при получении результатов главы 2 существенно использовалось определение функции Римана через интегральное уравнение (9).

В главе 3 рассматриваются задачи с нормальными производными на характеристиках для уравнения Бианки.

Первой известной автору публикацией, где встречаются подобные граничные условия, является работа JI.M. Невоструева [91]. Однако речь там идет о задаче для уравнения смешанного типа, а ситуация с нормальной производной на характеристике носит вспомогательный характер и исследуется лишь в той мере, в которой это необходимо для основной задачи из [91]. Имеется также цикл работ С.С. Харибегашви-ли [137]—[143], в которых для уравнения Бианки с двумя независимыми переменными, в том числе матричного, изучаются задачи в характеристических и нехарактеристических областях с граничными условиями вида

аих + ßuy + ju = f. (14)

Очевидно, если (14) задано на характеристике х = const, и (например) а = 1, /3 = 7 = 0, то это есть граничное условие обсуждаемого вида, представляющее собой как бы предельный случай общей постановки задачи. С.С. Харибегашвили применяет к исследованию задач методы функционального анализа, выделяя лишь случаи однозначной разрешимости (существование единственного решения в определенном функциональном классе).

Таким образом указанные граничные условия в упомянутых работах играют эпизодическую или вспомогательную роль. Предметом специального изучения эта задача стала в работе [188], в которой для гиперболического уравнения второго порядка с двумя независимыми переменными предложен метод редукции рассматриваемых задач к задаче Гурса. Этот метод позволяет более полно исследовать задачи: не только доказать существование решения, но и записать его либо с помощью резольвент интегральных уравнений Вольтерры (в общем случае), либо в явном виде (в ряде частных случаев). При этом устанавливаются условия не только однозначной разрешимости, но и разрешимости с точностью до определенного количества произвольных констант.

Отметим, что такие задачи не всегда содержательны. В качестве примера рассмотрим трехмерное уравнение

Поставим для него задачу Гурса следующим образом: найти в параллелепипеде £) = {0<а;<гс1,0<г/<?/1,0<>г;<2;1} непрерывно продолжимое на границу Б решение, удовлетворяющее условиям

где X, Y, Z — грани D при х = 0, у = 0, z = 0 соответственно.

(15)

и\х= u\y= (я, z), u\z= ср3(х, у)

(16)

Проинтегрировав (15) с учетом (16), получим

и = (рг(у,2:) + <р2(х,г) + <рз(х,у) -

- рг(у, 0) - <^2(0, г) - <р3(х, 0) + ^(0, 0). (17)

При произвольных (рц. можно рассматривать здесь правую часть в качестве структурной формулы решений нашего уравнения подобно тому, как это делается в [6, с. 66] для уравнения иху+аих + Ьиу + си — 0. Теперь поставим для (15) задачу с краевыми условиями

ди дх

= ф1(у,г), и у= 0, и\2= 0. (18)

х

Если, пользуясь (17), попытаться добиться для и выполнения (18), то придем к требованию ф\(у,г) = 0, делающему задачу обсуждаемого типа тривиальной. Подобные случаи из рассмотрения исключаются.

Заметим, что появление только что указанных случаев зависит от характера коэффициентов рассматриваемого уравнения. Таким образом, речь идет о выявлении условий на эти коэффициенты, которые обеспечивали бы определенный уровень содержательности рассматриваемых задач.

Перечисленные результаты опубликованы в [37] и [39]. В настоящей диссертации они используются при доказательстве теорем главы 4. Впоследствии указанные результаты были распространены Е.А. Уткиной [132] на случай общего уравнения вида (1).

В работах Т.Д. Джураева, С.Е. Елубаева, N1 Xingtang [26], [27], [23], [24], [172] исследован ряд задач в треугольных областях для уравнения

(д д \

дх + ду) ^иху + аих + Ьиу + °и^ =

относящегося к одному из канонических видов, указанных в [25].

В 2003 г. В.И. Жегалов впервые рассмотрел для (19) задачу в

прямоугольнике, образованном отрезками характеристик х = const, у = const.

В главе 4 для многомерных аналогов (19) рассмотрены задачи в характеристических параллелотопах.

В § 8 получены достаточные условия, обеспечивающие разрешимость задач в пространствах размерности три и четыре, при этом в формулировках теорем используются результаты главы 3, а также представление решения задачи Гурса для уравнения Бианки в терминах функции Римана. Целью § 9 является распространение результатов § 8 на уравнение

где мультииндексы имеют п компонент, 7 = (1,1,...,1), отношение подчиненности а < 7 означает, что а получен из 7 уменьшением по меньшей мере одной компоненты.

При этом необходима формализация всех рассуждений из § 8, позволяющая получить и сформулировать результаты в пространстве произвольного числа переменных. Сформулируем полученный итоговый результат главы 4.

Пусть й — {(х1,х2,...,хп) '■ 0 < хг < х], г = 1 , п}, = {{х\, Х2, ■ ■ ■, хп) : 0 < х3 < х1Г ] Ф г, хг = 0} — части границы С, являющиеся частями плоскостей хг = 0. Расположенные внутри части плоскостей Х\ = Х2, ... , х\ = хп, Х2 = £3, ... , хп-\ = хп обозначим соответственно через М12, ... , М1п, М23, ... , М(п_х),г. Обозначим через ег единичный мультииндекс, ег = (ех,..., еп), ег = 1, = 0, ] ф г.

Задача Zn. Найти в G функцию и 6 C(G) П(П U яв-

2 = 1

ляющуюся в G \ (U Мг]) регулярным решением уравнения (20) и удов-

г,3

(20)

а<7

Г)

летворяющую условиям

и\с — • ■ ■ , жг+Ъ . . . , хп), % — 1, 77,

ди

дх.

— 5 ■ • • > > ^г+1, ■ ■ ■ , > % — 1, 72.

При этом предполагаем, что выполняются включения

ааеСа(С), <рг,фгеС2ЦСг).

Справедлива

Теорема 8.1. При условиях гладкости (21) и

а

а

е СР(вг), аг = 1, (3 — (А,..., А»-!), (Зэ = 1,

з = 1,п - 1, г = 1,п,

и выполнении равенств

.аг=1

аг=0

М,-

0:^ = 1

^=0

(21)

мг.

задача Zn однозначно разрешима.

В главе 5 изложены результаты, полученные применением методов группового анализа к уравнениям Бианки.

А именно, в § 9 рассмотрено однородное уравнение Бианки третьего порядка

иХуг + аиху + Ьиу2 + сихг + ¿их + еиу + /г¿z + ди = 0. (22)

Из результатов работы [20] следует, что два уравнения вида (22) экви-

валентны по функции тогда и только тогда, когда инварианты Лапласа

Н\ = ау + ас — Н2 = ах + аЪ — е, — сх + Ъс — /,

#4 = Ьг + аЪ — е, Н5 — Ьу + Ъс — /, Н§ = сг + ас —

Н7 = аху + Ьс1 + се + а/ — 2а6с — д,

= Ъу2 + Ьс1 + се + а/ — 2 аЬс — д,

#9 — со;2 + Ь(1 + се + а/ — 2 аЪс — д

совпадают для обоих уравнений.

В данном параграфе выведены определяющие уравнения для (22), которые затем записаны в терминах инвариантов Лапласа (то есть в инвариантной форме). Затем вводятся конструкции

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Миронов, Алексей Николаевич, 2013 год

Литература

1. Адамар, Ж. Задача Коши для линейных уравнений с частными производными гиперболического типа / Ж. Адамар. — М.: Наука, 1978. — 352 с.

2. Алдашев, С.А. О некоторых локальных и нелокальных краевых задачах для волнового уравнения / С.А. Алдашев // Дифференциальные уравнения. — 1983. — Т. 19, № 1. — С. 3-8.

3. Андреев, A.A. О построении функции Римана / A.A. Андреев // Дифференц. уравнения. Тр. пединст. РСФСР. — 1975. — Вып. 6. — С. 3-9.

4. Андреев, A.A. Построение элементарных решений и решение задачи Коши для уравнений и систем уравнений гиперболического типа: автореф. дис. ... канд. физ.-мат. наук: 01.01.02 / A.A. Андреев. — Душанбе, 1981. — 13 с.

5. Бейтмен, Г. Высшие трансцендентные функции. Т. 1. / Г. Бейтмен, А. Эрдейи. — М.: Наука, 1973. — 294 с.

6. Бицадзе, A.B. Некоторые классы уравнений в частных производных / A.B. Бицадзе. — М.: Наука, 1981. — 448 с.

7. Бицадзе, A.B. О структурных свойствах решений гиперболических систем уравнений в частных производных / A.B. Бицадзе // Матем. моделирование. — 1994. — Т. 6, № 6. — С. 22-31.

8. Бондаренко, Б.А. Базисные системы полиномиальных и квазиполиномиальных решений уравнений в частных производных / Б.А. Бондаренко. — Ташкент: Фан, 1987. — 146 с.

9. Бурмистров, Б.Н. Решение задачи Коши методом Римана для системы уравнений первого порядка с вырождением на границе / Б.Н. Бурмистров // Труды семинара по краевым задачам. — Ка-занск. ун-т, 1971. — Вып. 8. — С. 41-54.

10. Векуа, И.Н. Новые методы решения эллиптических уравнений / И.Н. Векуа. — M.-JL: Гостехиздат, 1948. — 296 с.

11. Владимиров, B.C. Уравнения математической физики /B.C. Владимиров. — М.: Наука, 1971. — 512 с.

12. Водахова, В.А. Краевая задача с нелокальным условием A.M. Наху-шева для одного псевдопараболического уравнения / В.А. Водахова // Дифференц. уравнения. — 1982. — Т. 18, № 2. — С. 280-285.

13. Водахова, В.А. Об одной краевой задаче для уравнения третьего порядка с нелокальным условием A.M. Нахушева / В.А. Водахова // Дифференц. уравнения. — 1983. — Т. 19, № 1. — С. 163-166.

14. Волкодавов, В.Ф. Задача Коши для одного вырождающегося гиперболического уравнения третьего порядка / В.Ф. Волкодавов, A.B. Дорофеев // Изв. вузов. Математика. — 1993. — № 11. — С. 6-8.

15. Волкодавов, В.Ф. Основные краевые задачи для одного уравнения третьего порядка в трехмерной области специального вида / В.Ф. Волкодавов, И.Н. Родионова // Дифференц. уравнения. — 1993. — Т. 29, № 8. — С. 1459-1461.

16. Волкодавов, В.Ф. Функции Римана для некоторых дифференциальных уравнений в n-мерном евклидовом пространстве и их применения / В.Ф. Волкодавов, Н.Я. Николаев, O.K. Быстрова, В.Н. Захаров. — Самара: Самарский университет, 1995. — 76 с.

17. Джохадзе, О.М. Задача типа Дарбу для уравнения третьего порядка с доминирующими младшими членами /О.М. Джохадзе // Дифференц. уравнения. — 1996. — Т. 32, № 4. — С. 523-535.

18. Джохадзе, О.М. Задача типа Дарбу в трехгранном угле для уравнения третьего порядка гиперболического типа / О.М. Джохадзе // Изв. вузов. Математика. — 1999. — № 3. - С. 22-30.

19. Джохадзе, О.М. Влияние младших членов на корректность постановки характеристических задач для гиперболических уравнений третьего порядка /О.М. Джохадзе // Матем. заметки. — 2003. — Т. 74, вып. 4. — С. 517-528.

20. Джохадзе, О.М. Об инвариантах Лапласа для некоторых классов линейных дифференциальных уравнений в частных производных / О.М. Джохадзе // Дифференц. уравнения. — 2004. — Т. 40, № 1. — С. 58-68.

21. Джохадзе, О.М. О трехмерной обобщенной задаче Гурса и связанные с ней общие двумерные интегральные уравнения Вольтер-ры первого рода / О.М. Джохадзе // Дифференц. уравнения. — 2006. — Т. 42, № 3. — С. 385-394.

22. Джохадзе, О. Пространственные гиперболические уравнения высокого порядка с доминированными младшими членами / О. Джохадзе, Б. Мидодашвили // Изв. вузов. Математика. — 2006. — № 6. — С. 25-34.

23. Джураев, Т.Д. Об уравнениях смешанно-составного типа / Т.Д. Джураев // Изв. АН Узбекской ССР. Серия физ.-мат. науки. — 1961. — № 6. С. 3-14.

24. Джураев, Т.Д. О некоторых краевых задачах для уравнений смешанно-составного типа / Т.Д. Джураев // Сибирский матем. журнал. — 1963. — Т. 4, № 4. — С. 775-787.

25. Джураев, Т.Д. О канонических видах уравнений с частными производными третьего порядка / Т.Д. Джураев, Я. Попёлек // Успехи матем. наук. — 1989. — Т. 44, вып. 4. — С. 237-238.

26. Елубаев, С.Е. Об одной краевой задаче для уравнения гиперболического типа / С.Е. Елубаев // Сибирский матем. журнал. — 1961. — Т. 2, № 4. — С. 510-519.

27. Елубаев, С.Е. Об одной краевой задаче для гиперболического уравнения третьего порядка с двумя независимыми переменными / С.Е. Елубаев // Вестник АН Казахской ССР. — 1962. — № 6. — С. 54-62.

28. Жамалов, P.C. Смешанная задача для одного эволюционного уравнения /P.C. Жамалов // Неклассические дифференциальные уравнения в частных производных. — Новосибирск, 1988. — С. 126-130.

29. Жегалов, В.И. Трехмерный аналог задачи Гурса / В.И. Жегалов // Неклассические задачи и уравнения смешанного типа. — Новосибирск: Институт математики им. C.JI. Соболева СО РАН. — 1990. — С. 94-98.

30. Жегалов, В.И. Задача Гурса в четырехмерном пространстве / В.И. Жегалов, В.А. Севастьянов // Дифференц. уравнения. — 1996. — Т. 32, № 10. — С. 1429-1430.

31. Жегалов, В.И. Задача Гурса в п-мерном пространстве / В.И. Же-галов, В.А. Севастьянов; Сибирский матем. журнал. — Новосибирск, 1997. — 4 с. — Деп. в ВИНИТИ 08.07.97, № 2290-В97.

32. Жегалов, В.И. О трехмерной функции Римана / В.И. Жегалов // Сибирский матем. журнал. — 1997. — Т. 38, № 5. — С. 1074-1079.

33. Жегалов, В.И. Об интегральных уравнениях для функции Римана / В.И. Жегалов, М.П. Котухов // Изв. вузов. Математика. — 1998. — № 1. — С. 26-30.

34. Жегалов, В.И. Об одном псевдопараболическом уравнении третьего порядка / В.И. Жегалов, Е.А. Уткина // Изв. вузов. Математика. — 1999. — № 10. — С. 73-76.

35. Жегалов, В.И. Один трехмерный случай задачи Коши / В.И. Жегалов, А.Н. Миронов // Математическое моделирование и краевые задачи: труды XI межвуз. конф. Ч. 3. — Самара, 2001. — С. 58-61.

36. Жегалов, В.И. О задаче Коши для одного псевдопараболического уравнения третьего порядка / В.И. Жегалов, А.Н. Миронов // Математическое моделирование, статистика и информатика в современном управлении экономикой: труды междунар. конф. — Самара, 2001. — С. 178-179.

37. Жегалов, В.И. Трехмерные характеристические задачи с нормальными производными в граничных условиях / В.И. Жегалов, А.Н. Миронов // Дифференц. уравнения. — 2000. — Т. 36, № 6. — С. 833-836.

38. Жегалов, В.И. Задача Гурса для одного трехмерного уравнения со старшей производной / В.И. Жегалов, Е.А. Уткина // Изв. вузов. Математика. — 2001. — № 11. — С. 77-81.

39. Жегалов, В.И. Дифференциальные уравнения со старшими частными производными / В.И. Жегалов, А.Н. Миронов. — Изд. Казанского математического общества, 2001. — 226 с.

40. Жегалов, В.И. Об одном уравнении в частных производных четвертого порядка с тремя независимыми переменными / В.И. Жегалов, Е.А. Уткина // Дифференц. уравнения. — 2002. — Т. 38, № 1. — С. 93-97.

41. Жегалов, В.И. О задачах Коши для двух уравнений в частных производных / В.И. Жегалов, А.Н. Миронов // Изв. вузов. Математика. — 2002. — № 5. — С. 23-30.

42. Жегалов, В.И. О задачах Коши для двух уравнений в частных производных / В.И. Жегалов // Неклассические уравнения матем. физики. — Новосибирск: Институт математики им. C.JI. Соболева СО РАН. — 2002. — С. 73-79.

43. Жегалов, В.И. Об одной граничной задаче для уравнения в частных производных третьего порядка / В.И. Жегалов // Спектральная теория дифференциальных операторов и родственные проблемы: труды междунар. научн. конф. Т. 1. — Стерлитамак, 2003. — С. 119-123.

44. Жегалов, В.И. О случаях разрешимости гиперболических уравнений в квадратурах / В.И. Жегалов // Изв. вузов. Математика. — 2004. — № 7. — С. 47-52.

45. Жегалов, В.И. Понижение порядка одного класса уравнений с частными производными / В.И. Жегалов, O.A. Кощеева // Докл. РАН. — 2006. — Т. 406, № 5. — С. 593-597.

46. Жегалов, В.И. Об одной системе уравнений с двукратными старшими частными производными / В.И. Жегалов, Л.Б. Миронова // Изв. вузов. Математика. — 2007. — № 3. — С. 12-21.

47. Жегалов, В.И. Об одном факторизованном гиперболическом уравнении / В.И. Жегалов, А.Н. Миронов // Дифференциальные уравнения и смежные проблемы: труды междунар. научной конф. Т. 1. — Стерлитамак, 2008. — С. 84-88.

48. Жегалов, В.И. Об одном четырехмерном гиперболическом уравнении / В.И. Жегалов, А.Н. Миронов // Труды междунар. школы-семинара по геометрии и анализу памяти Н.В. Ефимова. — Ростов-на-Дону, 2008. — С. 219-220.

49. Жегалов, В.И. Решение уравнений Вольтерры с частными интегралами с помощью дифференциальных уравнений / В.И. Жегалов // Дифференц. уравнения. — 2008. — Т. 44, № 7. — С. 874-882.

50. Жегалов, В.И. К пространственным граничным задачам для гиперболических уравнений / В.И. Жегалов, А.Н. Миронов // Дифференц. уравнения. — 2010. — Т. 46, № 3. — С. 364-371.

51. Зорич, В.А. Математический анализ. Ч. 1. / A.B. Зорич. — М.: Наука. — 1981. — 544 с.

52. Зорич, В.А. Математический анализ. Ч. 2. / A.B. Зорич. — М.: Наука. — 1984. — 640 с.

53. Ибрагимов, Н.Х. Группы преобразований в математической физике / Н.Х. Ибрагимов. — М.: Наука, 1983. — 280 с.

54. Ибрагимов, Н.Х. Групповой анализ обыкновенных дифференциальных уравнений и принцип инвариантности в математической фи-

зике / Н.Х. Ибрагимов // Успехи матем. наук. — 1992. — Т. 47, вып. 4. — С. 83-144.

55. Котухов, М.П. О некоторых дифференциальных свойствах решений одного уравнения в частных производных /М.П. Котухов // Изв. вузов. Математика. — 1996. — № 5. — С. 59-62.

56. Кощеева, O.A. Об условиях понижения порядка линейных уравнений со старшими частными производными / O.A. Кощеева // Изв. вузов. Математика. — 2007. — № 6. — С. 45-54.

57. Кощеева, O.A. О построении функции Римана для уравнения Би-анки в n-мерном пространстве / O.A. Кощеева // Изв. вузов. Математика. — 2008. — № 9. — С. 40-46.

58. Лагно, В.И. Симметрийный анализ уравнений эволюционного типа / В.И. Лагно, C.B. Спичак, В.И. Стогний. — Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004. — 392 с.

59. Мамедов, И.Г. Фундаментальное решение задачи Коши, связанной с псевдопараболическим уравнением четвертого порядка / И.Г. Мамедов // Журн. вычисл. матем. и матем. физики. — 2009. — Т. 49, № 1. — С. 99-110.

60. Мамедов, И.Г. Об одной задаче Гурса в пространстве Соболева / И.Г. Мамедов // Изв. вузов. Математика. — 2011. — №2. — С. 5464.

61. Миронов, А.Н. Задачи с нормальными производными в Еп / А.Н. Миронов // Математическое моделирование и краевые задачи: труды IX межвуз. конф. Ч. 3. — Самара, 1999. — С. 90-94.

62. Миронов, А.Н. О построении функции Римана для одного уравнения в n-мерном пространстве /А.Н. Миронов // Изв. вузов. Математика. — 1999. — № 7. — С. 78-80.

63. Миронов, А.Н. О построении функции Римана для одного уравнения четвертого порядка / А.Н. Миронов // Дифференц. уравнения. — 2001. — Т. 37, № 12. — С. 1698-1701.

64. Миронов, А.Н. О построении функции Римана для одного уравнения четвертого порядка / А.Н. Миронов // Математическое моделирование и краевые задачи: труды XII межвуз. конф. Ч. 3. — Самара, 2002. — С. 100-103.

65. Миронов, А.Н. К задаче Коши в трехмерном пространстве / А.Н. Миронов // Математическое моделирование и краевые задачи: труды XIII межвуз. конф. Ч. 3. — Самара, 2003. — С. 128-131.

66. Миронов, А.Н. О методе Римана для уравнений со старшей частной производной в Rn / А.Н. Миронов // Труды матем. центра им. Лобачевского. Т. 19. Теория функций, ее приложения и смежные вопросы: материалы междунар. научн. школы-конф. — Казань, 2003. — С. 154-155.

67. Миронов, А.Н. О методе Римана для одного уравнения четвертого порядка со старшей частной производной / А.Н. Миронов // Вестник СамГТУ. Сер. "Математическая". — 2003. — Вып. 22. — С. 190-194.

68. Миронов, А.Н. К задаче Коши в четырехмерном пространстве / А.Н. Миронов // Дифференц. уравнения. — 2004. — Т. 40, № 6. — С. 844-847.

69. Миронов, А.Н. О методе Римана решения задачи Коши /А.Н. Миронов // Изв. вузов. Математика. — 2005. — № 2. — С. 34-44.

70. Миронов, А.Н. Метод Римана для уравнений со старшей частной производной в Rn / А.Н. Миронов // Сибирский матем. журнал. — 2006. — Т. 47, № 3. — С. 584-594.

71. Миронов, А.Н. К задаче Коши для уравнения со старшей частной производной /А.Н. Миронов // Труды междунар. школы-семинара по геометрии и анализу памяти Н.В. Ефимова. — Ростов-на-Дону, 2006. — С. 242-243.

72. Миронов, А.Н. О функции Римана для одного уравнения со старшей частной производной /А.Н. Миронов // Труды матем. центра им. Лобачевского. Т. 36. Лобачевские чтения-2007: материалы VI молодежной научн. школы-конф. — Казань, 2007. — С. 148-150.

73. Миронов, А.Н. О функции Римана для одного уравнения со старшей частной производной пятого порядка /А.Н. Миронов / / Актуальные проблемы современной науки: труды VIII междунар. конф. молодых ученых и студентов. Естественные науки. Ч. 1-2. Математика. Математическое моделирование. — Самара, 2007. — С. 4447.

74. Миронов, А.Н. Об инвариантах Лапласа для одного уравнения третьего порядка / А.Н. Миронов // Материалы междунар. Российско-Азербайджанского симпозиума "Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики" и VI школы молодых ученых "Нелокальные краевые задачи и проблемы современного анализа и информатики". — Нальчик - Эльбрус, 2008. — С. 112-113.

75. Миронов, А.Н. Об инвариантах Лапласа для одного уравнения четвертого порядка / А.Н. Миронов // Математическое моделирова-

ние и краевые задачи: труды V всеросс. научн. конф. с междунар. участием. Ч. 3. — Самара, 2008. — С. 127-130.

76. Миронов, А.Н. О построении функций Римана для двух уравнений со старшими частными производными /А.Н. Миронов // Вестник СамГТУ. Сер. "Физ.-мат. науки". — 2008. — № 2. — С. 49-59.

77. Миронов, А.Н. Об одном факторизованном уравнении в п-мерном пространстве / А.Н. Миронов // Труды матем. центра им. Лобачевского. Т. 38. Теория функций, ее приложения и смежные вопросы: труды IX междунар. школы-конф. — Казань, 2009. — С. 184185.

78. Миронов, А.Н. Об инвариантах Лапласа одного уравнения четвертого порядка / А.Н. Миронов // Дифференц. уравнения. — 2009. — Т. 45, № 8. — С. 1144-1149.

79. Миронов, А.Н. Построение точного решения одного квазилинейного уравнения с частными производными с тремя независимыми переменными / А.Н. Миронов // Некоторые актуальные проблемы современной математики и математического образования. Герценовские чтения-2010: материалы научной конф. — Санкт-Петербург, 2010. — С. 66-68.

80. Миронов, А.Н. О построении функции Римана для одного уравнения со старшей частной производной пятого порядка /А.Н. Миронов // Дифференц. уравнения. — 2010. — Т. 46, № 2. — С. 266-272.

81. Миронов, А.Н. О функции Римана для одного уравнения в п-мерном пространстве / А.Н. Миронов // Изв. вузов. Математика. — 2010. — № 3. — С. 23-27.

Миронов, А.Н. Об инвариантах Лапласа уравнения Бианки третьего порядка /А.Н. Миронов // Тр. матем центра им. Н.И. Лобачев-

ского. Т. 42. Лобачевские чтения-2010: лекционные материалы IX молодежной научной школы-конф. — Казань, 2010. — С. 170-174.

83. Миронов, А.Н. О трехмерных аналогах уравнения Эйлера-Пуассона / А.Н. Миронов // Уравнения смешанного типа, родственные проблемы анализа и информатики: материалы Российско-Казахского симпозиума. — Нальчик, 2011. — С. 116-118.

84. Миронов, А.Н. Об одном приложении инвариантов Лапласа для уравнения Бианки четвертого порядка / А.Н. Миронов // Труды матем центра им. Н.И. Лобачевского. Т. 43. Теория функций, ее приложения и смежные вопросы: материалы X международной казанской летней научной школы-конф. — Казань, 2011. — С. 258260.

85. Миронов, А.Н. Применение метода Римана к факторизованному уравнению в n-мерном пространстве / А.Н. Миронов // Изв. вузов. Математика. — 2012. — № 1. — С. 54-60.

86. Миронов, А.Н. Некоторые классы уравнений Бианки третьего порядка / А.Н. Миронов // Матем. заметки. — 2013. — Т. 94, вып. 3. — С. 389-400.

87. Миронова, Л.Б. О методе Римана в Rn для одной системы с кратными характеристиками / Л.Б. Миронова // Изв. вузов. Математика. — 2006. — № 1. — С. 34-39.

88. Миронова, Л.Б. О характеристических задачах для одной системы с двукратными старшими частными производными / Л.Б. Миронова // Вестник СамГТУ. Сер. "Физ.-мат. науки". — 2006. — Вып. 43. — С. 31-37.

89. Нахушев, A.M. Уравнения математической биологии /A.M. Наху-шев. — М.: Высшая школа, 1995. — 301 с.

90. Нахушев, A.M. Задачи со смещением для уравнений в частных производных / A.M. Нахушев. — М.: Наука, 2006. — 287 с.

91. Невоструев, JI.M. Задача Неймана для общего уравнения Лаврен-тьева-Бицадзе / Л.М. Невоструев // Дифференц. уравнения. — 1973. — Т. 9, № 2. — С. 320-324.

92. Овсянников, Л.В. Групповые свойства уравнений С.А. Чаплыгина / Л.В. Овсянников // Журн. прикл. мех. и техн. физики. — 1960. — № 3. — С. 126-145.

93. Овсянников, Л.В. Групповой анализ дифференциальных уравнений / Л.В. Овсянников. — М.: Наука, 1978. — 400 с.

94. Олвер, П. Приложения групп Ли к дифференциальным уравнениям / П. Олвер. — М.: Мир, 1989. — 693 с.

95. Олевский, М.Н. О функции Римана для дифференциального уравнения 0 - fr + \pi(x) +p2{t) = 0 / М.Н. Олевский // Докл. АН СССР. — 1952. — Т. 87, № 3. — С. 337-340.

96. Риман, Б. О распространении волн конечной амплитуды / Б. Ри-ман //Б. Риман. Сочинения. — М.-Л.: ГТТИ, 1948. — С. 376-395.

97. Свешников, А.Г. Линейные и нелинейные уравнения соболевского типа / А.Г. Свешников, А.Б. Алыпин, М.О. Корпусов, Ю.Д. Плет-нер. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2007. — 736 с.

98. Севастьянов, В.А. Об условиях явного построения n-мерной функции Римана / В.А. Севастьянов // Математическое моделирование и краевые задачи: тез. докл. VI научн. межвуз. конф. — Самара, 1996. — С. 91-92.

99. Севастьянов, В.А. К вопросу построения функции Римана в Rn в явном виде / В.А. Севастьянов // Алгебра и анализ: тез. докл.

научн. школы-конф., поев. 100-летию Б.М. Гагаева. — Казань, 1997. — С. 188-189.

100. Севастьянов, В.А. О методе И.Н. Векуа решения интегральных уравнений типа Вольтерра / В.А. Севастьянов; Казан, гос. ун-т. — Казань, 1997. — 9 с. — Деп. в ВИНИТИ 24.04.97, № 1373-В97.

101. Севастьянов, В.А. Существование и единственность решения одного многомерного интегрального уравнения / В.А. Севастьянов; Казан. гос. ун-т. — Казань, 1997. — 6 с. — Деп. в ВИНИТИ 05.06.97, № 1848-В97.

102. Севастьянов, В.А. Метод Римана для трехмерного гиперболического уравнения третьего порядка / В.А. Севастьянов // Изв. вузов. Математика. — 1997. — № 5. — С. 69-73.

103. Севастьянов В. А. Вариант метода Римана для одного дифференциального уравнения в n-мерном евклидовом пространстве: дис. ... канд. физ.-мат. наук: 01.01.02 / В.А. Севастьянов. — Казань, 1997. — 127 с.

104. Севастьянов, В.А. Об одном случае задачи Коши / В.А. Севастьянов // Дифференц. уравнения. — 1998. — Т. 34, № 12. — С. 1706-1707.

105. Солдатов, А.П. Краевые задачи с общим нелокальным условием A.A. Самарского для псевдопараболических уравнений высокого порядка / А.П. Солдатов, М.Х. Шхануков // Докл. АН СССР. — 1987. — Т. 297, № 3. — С. 547-552.

106. Трикоми, Ф. Лекции по уравнениям в частных производных / Ф. Трикоми. — М.: ИЛ, 1957. — 443 с.

107. Уткина, Е.А. Об одном уравнении в частных производных четвертого порядка / Е.А. Уткина; Дифференц. уравнения. — Минск, 1999. — 13 с. — Деп. в ВИНИТИ 28.06.99, № 2059-В99.

108. Уткина, Е.А. Новые варианты характеристических задач для псевдопараболических уравнений: дис. ... канд. физ.-мат. наук: 01.01.02 / Е.А. Уткина. — Казань, 1999. — 140 с.

109. Уткина, Е.А. О задачах Гурса с дополнительными нормальными производными в краевых условиях / Е.А. Уткина // Изв. вузов. Математика. — 2004. — № 3. — С. 61-65.

110. Уткина, Е.А. О задачах Гурса с дополнительными нормальными производными в краевых условиях / Е.А. Уткина // Дифференц. уравнения. — 2005. — Т. 41, № 5. — С. 697-701.

111. Уткина, Е.А. К общему случаю задачи Гурса / Е.А. Уткина // Изв. вузов. Математика. — 2005. — № 8. — С. 57-62.

112. Уткина, Е.А. Об одном уравнении с сингулярными коэффициентами / Е.А. Уткина // Изв. вузов. Математика. — 2006. — № 9. — С. 67-70.

113. Уткина, Е.А. Об одном применении метода каскадного интегрирования / Е.А. Уткина // Дифференц. уравнения. — 2007. — Т. 43, № 4. — С. 566-569.

114. Уткина, Е.А. Повышение порядка нормальных производных в граничных условиях задачи Гурса / Е.А. Уткина // Изв. вузов. Математика. — 2007. — № 3. — С. 79-83.

115. Уткина, Е.А. Об одной краевой задаче со смещениями в четырехмерном пространстве /Е.А. Уткина // Изв. вузов. Математика. — 2009. — № 3. — С. 50-55.

116. Уткина, Е.А. Задача со смещениями для трехмерного уравнения Бианки / Е.А. Уткина // Дифференц. уравнения. — 2010. — Т. 46, № 4. — С. 535-539.

117. Уткина, Е.А. Задача Дирихле для одного уравнения четвертого порядка / Е.А. Уткина // Дифференц. уравнения. — 2011. — Т. 47, № 4. — С. 400-404.

118. Уткина, Е.А. Теорема единственности решения одной задачи Дирихле /Е.А. Уткина // Изв. вузов. Математика. — 2011. — № 5. — С. 62-67.

119. Уткина, Е.А. Об одной трехмерной задача Гурса / Е.А. Уткина // Вестник СамГТУ. Сер. "Физ.-мат. науки". — 2001. — Вып. 12. — С. 30-35.

120. Уткина, Е.А. К задачам с условиями на характеристиках для общего псевдопараболического уравнения / Е.А. Уткина // Вестник СамГТУ. Сер. "Математическая". — 2003. — № 2. — С. 217-223.

121. Уткина, Е.А. Вариант метода Римана в четырехмерном евклидовом пространстве / Е.А. Уткина // Вестник СамГТУ. Сер. "Математическая". — 2004. — № 3. — С. 63-80.

122. Уткина, Е.А. Задача Гурса для одного n-мерного уравнения / Е.А. Уткина // Вестник СамГТУ. Спец. выпуск. — 2004. — С. 64-67.

123. Уткина, Е.А. О задачах со смещениями в граничных условиях для двух уравнений с частными производными / Е.А. Уткина // Уч. записки Казанского университета. Сер. "Физ.-мат. науки". — 2006. — Т. 148, кн. 3. — С. 76-82.

124. Уткина, Е.А. Об одном обобщении интегральных уравнений Воль-терра / Е.А. Уткина // Вестник ТГГПУ. — 2006. — № 7. — С. 90-93.

125. Уткина, Е.А. Вариант метода Римана в четырехмерном евклидовом пространстве / Е.А. Уткина // Вестник СамГУ. Естественнонаучная сер. — 2008. — №8/2. — С. 212-221.

126. Уткина, Е.А. Задача Неймана для одного уравнения четвертого порядка / Е.А. Уткина // Вестник СамГТУ. Сер. "Физ.-мат. науки". — 2009. — № 2. — С. 84-95.

127. Уткина, Е.А. О единственности решения полуинтегральной задачи для одного уравнения четвертого порядка /Е.А. Уткина // Вестник СамГУ. Естественнонаучная сер. — 2010. — № 4. — С. 98-102.

128. Уткина, Е.А. О повышении порядка нормальных производных в граничных условиях одной пространственной задачи Гурса / Е.А. Уткина // Известия РАЕН. Дифференц. уравнения. — Рязань: Рязанский государственный университет, 2004. — № 8. — С. 92-97.

129. Уткина, Е.А. Об одной неклассической задаче для псевдопараболического уравнения /Е.А. Уткина // Вестник КГПУ. — 2004. — № 2. — С. 25-31.

130. Уткина, Е.А. Об одном уравнении в частных производных третьего порядка с сингулярными коэффициентами / Е.А. Уткина // Вестник СамГТУ. Сер. "Математическая". — 2007. — № 5. — С. 110-113.

131. Уткина, Е.А. Об одной трехмерной нелокальной задаче для уравнения четвертого порядка / Е.А. Уткина // Вестник СамГТУ. Сер. "Математическая". — 2007. — № 6. — С. 110-115.

132. Уткина, Е.А. Характеристические граничные задачи для линейных уравнений высокого порядка со старшими частными производными: автореф. дис. ... д-ра физ.-мат. наук: 01.01.02 / Е.А. Уткина. — Казань, 2011. — 26 с.

133. Фаге, М.К. Дифференциальные уравнения с чистосмешанными производными и главным членом / М.К. Фаге // Докл. АН СССР. — 1956. — Т. 108, № 5. — С. 780-783.

134. Фаге, М.К. Задача Коши для уравнения Бианки / М.К. Фаге // Матем. сб. — 1958. — Т. 45, № 3. — С. 281-322.

135. Фаге, М.К. Операторно-аналитические функции одной независимой переменной / М.К. Фаге // Тр. Моск. матем. об-ва. — 1958. — Т. 7. — С. 227-268.

136. Фаге, М.К. Проблема эквивалентности обыкновенных линейных дифференциальных операторов / М.К. Фаге, Н.И. Нагнибида. — Новосибирск: Наука, 1987. — 290 с.

137. Харибегашвили, С.С. Задачи типа Гурса для одного класса гиперболических систем / С.С. Харибегашвили // Дифференц. уравнения. — 1981. — Т. 17, № 1. — С. 157-164.

138. Харибегашвили, С.С. О задачах типа Гурса для одного класса систем уравнений гиперболического типа второго порядка / С.С. Харибегашвили // Дифференц. уравнения. — 1982. — Т. 18, № 1. — С. 152-166.

139. Харибегашвили, С.С. О разрешимости задачи Гурса для нормально гиперболических систем второго порядка с переменными коэффициентами / С.С. Харибегашвили // Дифференц. уравнения. — 1983. — Т. 19, № 1. — С. 134-145.

140. Харибегашвили, С.С. Об одной граничной задаче для нормально гиперболических систем второго порядка / С.С. Харибегашвили // Дифференц. уравнения. — 1984. — Т. 20, № 2. — С. 269-272.

141. Харибегашвили, С.С. Об одной граничной задаче для гиперболического уравнения второго порядка / С.С. Харибегашвили // Докл. АН СССР. — 1985. — Т. 280, № 6. — С. 1313-1316.

142. Харибегашвили, С.С. Об одной граничной задаче для нормально гиперболических систем второго порядка с переменными коэффициентами / С.С. Харибегашвили // Дифференц. уравнения. — 1985. — Т. 21, № 1. — С. 149-155.

143. Харибегашвили, С.С. Граничные задачи для систем линейных дифференциальных уравнений второго порядка гиперболического типа: автореф. дис. ... д-ра физ.-мат. наук: 01.01.02 / С.С. Харибегашвили. — Тбилиси, 1986. — 31 с.

144. Чуриков, Ф.С. Построение функции Римана для уравнения иху + ср(х)ф(у)и = 0 / Ф.С. Чуриков, И.П. Мащенко // Научн. труды Краснодарского политехи, ин-та. — 1970. — Вып. 30. — С. 19-25.

145. Шхануков, М.Х. О некоторых краевых задачах для уравнения третьего порядка, возникающих при моделировании фильтрации жидкости в пористых средах / М.Х. Шхануков // Дифференц. уравнения. — 1982. — Т. 18, № 4. — С. 689-699.

146. Шхануков, М.Х. Об одном методе решения краевых задач для уравнений третьего порядка / М.Х. Шхануков // Докл. АН СССР. — 1982. — Т. 265, № 6. — С. 1327-1330.

147. Шхануков, М.Х. О некоторых краевых задачах для уравнений третьего порядка и экстремальных свойствах их решений /

М.Х. Шхануков // Докл. АН СССР. — 1982. — Т. 267, № 3. — С. 567-570.

148. Barenblatt, G.I. Mathematical model of the non-equilibrium water-oil displacement in porous strata / G.I. Barenblatt, J. Garcia-Azorero, A. De Pablo, J.L. Vazquez // Appl. Anal. — 1997. — V. 65. — P. 19-45.

149. Barenblatt, G.I. Mathematical model of the non-equilibrium water-oil displacement in porous strata / G.I. Barenblatt, T.W. Patzek, D.B. Silin // SPE Journal. — 2003. — V. 8, № 4. — P. 409-416.

150. Bateman, H. Logarithmic solutions of Bianchi's equation / H. Bateman // Proc. USA Acad. — 1933. — V. 19. — P. 852-854.

151. Bianchi, L. Sulla estensione del metodo di Riemann alle equazioni lineari alle derivate parziali d'ordine superiore / L. Bianchi // Atti R. Accad. Lincei. Rend. CI. Sc. fis., mat. e natur. — 1895. — V. IV, 1 sem. — P. 89-99, 133-142.

152. Burgatti, P. Sull'estensione del metodo d'integrazione di Riemann all'equazioni lineari d'ordine n con due variabili independenti / P. Burgatti // Rend. Reale Accad. Lincei. — 1906. — Ser. 5a, 15, № 2. — P. 602-609.

153. Chaundy, T.W. Linear partial differential equations (I) / T.W. Chaundy // Quarterly Journal of Math., Oxford. — 1971. -Ser. 6, № 9. — P. 234-240.

154. Chen Guovan. Initial boundary value problem of the generalized cubic double dispersion equation / Chen Guovan, Wang Yanpin, Wang Shubin // J. Math. Anal, and Appl. — 2004. — V. 299, № 2. — P. 563-577.

155. Colton, D. Pseudoparabolic equations in one space variable /D. Colton //J. Different, equations. — 1972. — V. 12, № 3. — P. 559-565.

156. Copson, E.T. On the Riemann-Green function / E.T. Copson //J. Rat. Mech. Anal. — 1958. — V. 1. — P. 324-348.

157. Corduneanu, A. About the equation uxyz + cu = g / A. Corduneanu // Bui. Inst, politehn. Jasi. Sectia 1. — 1974. — V. 20, № 1. — P. 103-109.

158. Delassus, E. Sur une extension aux equations d'ordre quelqonque d'une methode de Riemann relative aux equations du second ordre / E. Delassus // Comptes Rendus de l'acad. des sei. Paris. — 1893. — P. 510-513.

159. Easwaran, S. On the positive definitenes of polivibrating operators of Mangeron /S. Easvaran // Bull. cl. sei. Acad. Roy. Belg. — 1973. — V. 59, № 7. — P. 563-569.

160. Easwaran, S. Mangeron's polyvibrating operators and their eigenvalues /S. Easvaran // Bull. cl. sei. Acad. Roy. Belg. — 1973. — V. 59, № 10. — P. 1011-1015.

161. Florian, H. Darstellungen von Riemannfunction for dnw/dzidz2 ... dzn + c(zi,... , zn)w = 0 / H. Florian, J. Püngel, H. Wallner // Ber. Math.-statist, sec. Forschugszent. Graz. — 1983. — № 204. — S. 1-29.

162. Grigolia, M. On the solvability and well posedness of initial problems for nonlinear hyperbolic equations of higher order / M. Grigolia // Mem. Differ. Equat. and Math. Phys. — 2005. — V. 35. — P. 37-54.

163. Holmgren, E. Sur les systèmes lineaires aux derivees partielles du premier ordre / E. Holmgren // Arkiv for matematik, astronomy och fysik. — 1910. — Band 6, № 2. — P. 1-10.

164. Hornich, H. Das Problem der linearen Differentialgleihungen / H. Hornich // Rend, semin. mat. Univ. Padova. — 1954. — V. 23, № 2. — S. 333-339.

165. Jiang Mi-na. Asymptotic behavior solutions to the generalized BBM-Burgers equation / Jiang Mi-na, Xu Yan-ling // Acta Math. Appl. Sin. Exgl. Ser. — 2005. — V. 21, № 1. — P. 31-42.

166. Karch, G. Asymptotic behavior of solutions to some pseudoparabolic equations / G. Karch // Math. Meth. in the Appl. Sciences. — 1997. — V. 20, № 3. — P. 271-289.

167. Kiguradze, T. On the Dirichlet problem for fourth-order linear hyperbolic equations / T. Kiguradze, V. Lakshmikantham // Nonlinear Anal. — 2002. — V. 49, № 2. — P. 197-219.

168. Korpusov, M.O. Blow-up of solutions of strongly nonlinear equations of pseudoparabolic type / M.O. Korpusov, A.G. Sveshnikov //J. Math. Sciences. — 2008. — V. 148. — P. 1-142.

169. Lahaye, E. La metode de Riemann appliquée à la résolution d'une catégorie d'équations linearés de troisième ordre / E. Lahaye // Bull, cl. sei. Acad. Roy. de Belg. — 1946. — 5 serie. — V. 31. — P. 479-494.

170. Mangeron, D. New methods for determining solution of mathematical models governing polyvibrating phenomena. I. / D. Mangeron // Bui. Inst, politehn. Jasi. Sectia 1. — 1968. — V. 14, № 1-2. — P. 433-436.

171. Mangeron, D. Darboux problem for a polyvibrating equation: solutions as F-function / D. Mangeron, M.N. Oguztoreli // Proc. Nat. Acad. USA. — 1970. — V. 67, № 3. — P. 1488-1492.

172. Ni Xingtang. Boundary value problem with three characteristic supports for linear totally hiperbolic equation of the third order / Ni Xingtang // Kexue tongbao. — 1980. — V. 25, № 5. — P. 361-369.

173. Niccoletti, O. Sull' estensione del metodo di Riemann alle equazioni lineari a derivate parziali d'ordine superiore / O. Niccoletti // Atti R. Accad. Lincei. Rend. cl. sc. fis., mat. e natur. — 1895. — 1 sem. — P. 330-337.

174. Oguztoreli, M.N. Boundary value problem for Mangerons equation. I. / M.N. Oguztoreli // Bui. Inst, politehn. Jasi. Sectia 1. — 1973. — V. 19, № 3. — P. 81-85.

175. Radochova, V. Die Losing der partiellen Differentialgleihung uxxtt = A{t,x)uxx + B(t,x)utt mit gewissen Nebenbedinungen / V. Radochova // Cas. pestov. mat. — 1973. — V. 98, № 4. — S. 389-399.

176. Reilich, F. Verallgemeinerung der Riemanschen Integrationsmethode auf Differentialgleihungen n-ter Ordnung in zwei Veränderlichen / F. Reilich // Math. Annalen, 103, 1930. — S. 249-278.

177. Rundell, W. Remarks concerning the support of solutions of pseudoparabolic equation / W. Rundell, M. Stecher // Proc. Amer. Math. Soc. — 1977. — V. 63, № 1. — P. 77-81.

178. Rundell, W. The construction of solutions to pseudoparabolic equations in noncilindrical domains / W. Rundell // J. Different. Equations. — 1978. — V. 27, № 3. — P. 394-404.

179. Rundell, W. The Stefan Problem for a pseudo-heat equation / W. Rundell // Indiana Univ. Math. J. — 1978. — V. 27, № 5. — P. 739-750.

180. Rundell, W. The uniqueness class for the Cauchy problem for pseudoparabolic equations / W. Rundell // Proc. Amer. Math. Soc. — 1979. — V. 76, № 2. — P. 253-257.

181. Scott, E.J. The Riemann function for a class of equation of the form ^^ + v(x)ti{y)v = 0 / E.J. Scott // Ganita. — 1975. — V. 26, № 1. — P. 19-28.

182. Shang Yadong. Exponential attractor for a class of nonclassical diffusion equation / Shang Yadong, Guo Boling // J. Partial Diff. Eqs. — 2003. — V. 16, № 4. — P. 289-298.

183. Shang Yadong. Finite dimentional behaviour for the dissipative generalized symmetric regularized long wave equations / Shang Yadong, Guo Boling //J. Syst. Sci. and Complex. — 2003. — V. 16, № 2. — P. 236-248.

184. Tedone, O. Sull'integrazione dell'equazione § - Ya=\ S = 0 / O. Tedone // Ann. di mat. — 1889. Ser. 3, № 1. — P. 1.

185. Tomantschger, K.W. Constructive methods for solving higher order formally hiperbolic differential equation / K.W. Tomantschger // Math. Res. — 1989. — V. 53. — P. 193-202.

186. Utkina, E.A. On a partial differential equation in 4-dimentional Euclidean space / E.A. Utkina / / Lobachevskii Journal of Mathematics. — 2005. — V. 18. — P. 151-175.

187. Volterra, V. Sur les vibrations des corps elastiques isotropes / V. Volterra // Acta Math., 18, 1894. — P. 161-232.

188. Zhegalov, V.I. Relation between the Boundary Values of Goursat Problem and the Normal Derivatives / V.I. Zhegalov // Conditionally

Well-Posed Problems. — Moscow: TVP Sc. Publ. — 1994. — P. 346-349.

189. Yacheng Liu. Nonlinear pseudoparabolic equations in arbitrary dimensions / Yacheng Liu, Weiming Wan, Shujuan Lii // Acta Mathematicae Sinica. — 1997. — V. 13, iss. 3. — P. 265-278.