Граничные задачи для систем уравнений со старшими частными производными тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат наук Созонтова, Елена Александровна

• Созонтова, Елена Александровна
• кандидат наук
• 2018

Оглавление диссертации кандидат наук Созонтова, Елена Александровна

Оглавление

Введение

Глава 1. Задача Гурса для гиперболических систем

§ 1. Теорема существования и единственности решения

§ 2. Случаи разрешимости задачи Гурса в квадратурах в ее классической постановке

§ 3. Применение к системе двух уравнений первого порядка на плоскости

§ 4. Пространственный вариант системы первого порядка

Глава 2. Системы второго порядка

§ 5. Граничные задачи на плоскости

5.1. Условия разрешимости задачи Гурса в квадратурах

5.2. Задачи с граничными условиями на трех и четырех сторонах характеристического прямоугольника

§ 6. Граничные задачи в пространстве

6.1. Варианты разрешимости задачи Гурса в квадратурах

6.2. Задачи с граничными условиями на четырех, пяти, шести сторонах характеристического параллелепипеда

Глава 3. Системы с кратным дифференцированием и задачи с нормальными производными в граничных условиях

§ 7. Решение в квадратурах задачи Гурса для системы третьего порядка с двумя независимыми переменными

§ 8. Обобщение на случай двумерной системы п-го порядка

§ 9. Задачи с нормальными производными в граничных условиях для системы уравнений первого порядка с двумя неизвестными функциями

9.1. Задача с нормальными производными второго порядка

9.2. Обобщение на случай задачи с нормальными производными п-го порядка

Глава 4. Применение к системам интегральных уравнений Вольтерра с частными интегралами

§ 10. Общая схема метода исследования в Яп

§ 11. Условия разрешимости в квадратурах систем с двумя независимыми переменными

§ 12. Трехмерный вариант

Заключение

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Граничные задачи для систем уравнений со старшими частными производными»

Введение

Актуальность темы исследования и степень ее разработанности. Тема предлагаемой диссертации относится к одному из направлений теории уравнений со старшими (доминирующими) частными производными. В случае одной неизвестной функции структура таких уравнений в их линейном варианте имеет вид

dmu(x) + V т (x) dWu(x) — J (x)

dxm ... ^ ,...,3xt~ Jy h (1)

ks <ms

где x — (x\,..., xn), m — m\ + ... + mn, k — (k\,..., kn), \k\ — k\ + ... +

kn, ms, ks, s — 1,n - целые неотрицательные числа, m > 1.

При ms — 1, (s — 1,n) уравнение (1) носит имя Л. Бианки, который одновременно с О. Николетти [50], [59] еще в 1895 году предложил распространить на указанное уравнение метод решения задачи Коши, разработанный ранее Б. Риманом для уравнения

Qxy + ав + Ьву + св — f. (2)

В связи со сказанным появление уравнений вида (1) является естественным моментом на пути теоретических обобщений.

После Л. Бианки и О. Николетти уравнения вида (1) с различных точек зрения исследовалось в работах ряда зарубежных математиков [49], [51] - [58], [60] - [65]. В том числе начали публиковаться результаты, относящиеся к уравнениям с кратными производными (mk > 1), названные Д. Колтоном [51] псевдопараболическими. В нашей стране начало исследованию уравнений вида (1) было положено в работах М.К. Фаге [43], [44] и С.С. Ахиева [2]. Постепенно обнаруживались прикладные аспекты обсуждаемых уравнений, связанные с явлениями вибрации и фильтрации, передачи тепла в гетерогенных средах, с моделированием биологических и оптимальных процессов, с изучением ситуаций, приводящих к постановке обратных задач и др. (см., например, библиографию к статье [10]).

Начали появляться группы математиков, ведущих систематические исследования в данной области. Одна из них сложилась в Казани (В.И. Жегалов, В.А. Севастьянов, Е.А. Уткина, А.Н. Миронов и др.). Участниками этой группы предложено развитие метода Римана, позволившее построить решения задач Гурса и Коши для самого общего уравнения вида (1), изучены постановки новых задач, например, с нормальными производными в граничных условиях, интенсивный характер приобрел поиск новых возможностей решения рассматриваемых задач в квадратурах и т.д. Результаты проведенных исследований нашли отражение в монографиях [13], [18]. В основном изучались задачи с одной искомой функцией, а исследование систем уравнений носило достаточно эпизодический характер, хотя в этом направлении защищались и диссертации

[22], [27].

В предлагаемой диссертации рассматриваются характеристические задачи Гурса и некоторые их видоизменения для системы уравнений

дтг щ(х) , / \ дк1 и^ (х) _

+ Е Е азкп ...Ьп {х) Vи'[х1 = Мх), г = 1,п.

дхТ* ... ах> ^ ^ к.гт, ^V1 -дх>~ (3)

Здесь х = {х]_,... ,хп), = т^ +... + т¡п, ^ = kjí +... + , та, ка, в = 1,п - целые неотрицательные числа.

Частные случаи этой системы с различных точек зрения изучались мно-

гими авторами. Только для = 1 (г = 1,п) можно указать публикации [45] -[48], [5], [54], [36], [31] - [33], [11], [16], [22]. Так, в [5] при п = 2 исследованы задачи Коши и Гурса, получены формулы интегрального представления решения этих задач, позволяющие установить их структурные свойства. В работах [11], [22] исследована характеристическая задача, являющаяся обобщением задачи Гурса. В [16] для той же системы изучена задача с нормальными производными первого порядка в граничных условиях.

В [3, с. 62] были изложены решения задачи Коши и Гурса для системы

(3) при = 2, = т¡2 = 1 (г = 1,п), полученные методом Римана. Та же система с различных точек зрения изучалась и в [19], [35]. Аналогичная система (но с нулевыми обобщенными инвариантами Лапласа) рассматривалась в [20], [7]. Для систем с кратными доминирующими частными производными (т^ = 2) был разработан векторно-матричный аналог метода Римана, изучены

задачи Коши и Гурса [27], [29], а также поставлен ряд новых характеристических задач и исследован характер их разрешимости [28] (например, в Я2 задачи с граничными значениями на трех и четырех сторонах характеристического прямоугольника).Частные случаи системы (3) более высокого порядка рассматривались, например, в [1], [9].

Собственно говоря, запись рассматриваемой системы в виде (3) возникла в связи с желанием автора представить в единой форме по возможности все частные случаи из процитированных выше публикаций.

В начале первой главы формулируется следующая

Задача 1.1 (Гурса). В области О = {Хк0 < Хк < Хк1, к = 1,п} найти регулярное решение системы (3), удовлетворяющее непрерывно дифференцируемым граничным условиям

дХт (Х10, Х2,..., Хп) = фИп (Х2, ...,Хп) (к = 0, Шп - 1),

(Х1, Х20, Хп) = ф2гг2 (Х1, Х3, . . . , Хп) (%2 = 0, Шг2 - 1),

дгиг

дх1п-(Х1, Х2,..., Хпо) = фиггп (Х1, . . . , Хп-1) (Ъп = 0, ПЦп - 1), Ъ = 1,П, значения которых на границе О согласуются по формулам

дг2 фии ( \ дп ф2щ / ч

д%г2 (Х20, Х3,..., Хп) = &хг1 2 (Х10, Х3,..., Хп),

О'3 фШи ч д

(Х2, Х30, Х4, Хп) = —

д?п фши ч

(Х2, Х30, Х4, ..., Хп) = Х?3 (Х10, Х2, Х4, ..., Хп),...,

дх1п (х2"> Х3, • • • , Хп0) (x10, x2, . . . , Хп-1),

д13 ф2гг2 ( Ч _ дг2 фзц3 ( ч

\x1, x30, x4, ... , Хп) — хП \Х1, Х20, x4, . . . , xn), . . . ,

Ф2И2 / ч дфпЫп / ч

дхгп (Х1, Х3, Х4,..., Хп0) = дХ2 п (Х1, Х20, Х3, . . . , Хп-1), ...,

д%П фп-1ггп_ 1 / ч д%п-1 фпцп ( Ч

- п (Х2, Х3, Х4,..., Хп0) = а пп (Х1, Х2, Х3, ..., Хп-10).

дХп дхп-1

С использованием метода сжимающих отображений доказана теорема существования и единственности решения этой задачи.

Значительная часть остального содержания диссертации связана с отысканием частных случаев задачи 1.1, для которых возможно построение реше-

ния в квадратурах. При этом существенную роль играют случаи разрешимости в явном виде задачи Гурса для уравнения (2) с условиями

0{хо,у) = ф(у), 0{х,уо) = ф{х), ф(уо) = ф(хо),

(4)

х е [х0, х1], у Е [х0, х1].

Известно [4, с. 172], [13, с. 14], что решение задачи (2), (4) записывается через соответствующие функции Римана, для которых известны [13, с. 15-16], [14], [17] случаи их построения в явном виде. В обозначенных выше источниках условия, при которых функции Римана определяются в явном виде, записываются следующим образом

1) к = ах + аЬ — с = 0;

2) к = Ьу + аЬ — с = 0;

2) ах = Ьу, с — ах — аЬ = £о(х)щ(у) = 0;

4) Ьу — ах = ах + аЬ — с = £1{х)п1(у) = 0; (5)

5) ах — Ьу = Ьу + аЬ — с = Ь(х)п2(у) = 0;

6) тах — Ьу = тЬу — ах = (т — 1){аЬ — с);

7) о- = (2—т^х)+ыр, Их) + [х)г (у) = 0.

Здесь £к, пк Е С1 (к = 0,2), в, I, т е С2, т зависит только от одной из переменных (х, у) и т = 2. В остальном обозначенные выше функции произвольны, а именно, в соответствующем классе должны найтись функции, при которых выполняются условия (5). Коэффициенты а, Ь, с имеют гладкость, которая обеспечивает возможность выполнения формул (5). Классы гладкости задаются на замкнутых множествах определения соответствующих функций. Любого из тождеств 1) - 2) и соотношений 3) - 5) достаточно для получения функций Римана в явном виде. А соотношения 6) - 7) необходимо применять совместно: при выполнении условий 6) функцию Римана можно построить в явном виде в том случае, если левая часть хотя бы одного из тождеств 1), 2) имеет вид о, записанный в 7). Для всех случаев соответствующие функции Римана можно найти в [13], [14], [17]. Путем развития метода каскадного ин-

тегрирования [38, § 3.2] в совместной с В. И. Жегаловым статье автора [84] получено шесть новых случаев разрешимости задачи (2), (4). Вместе с (5) они образуют уже 13 вариантов разрешимости в квадратурах задачи (2), (4).

В той же первой главе формулируется теорема 1.2, основанная на указанных 13 вариантах, применяемая затем к задачам Гурса для систем уравнений первого порядка на плоскости и в трехмерном пространстве. При этом используется возможность редукции рассматриваемых систем к уравнениям вида (3) и его пространственным аналогам.

Во второй главе для систем второго порядка изучаются задачи Гурса и их видоизменения, связанные с привлечением других частей границы области в качестве носителей краевых значений. Для задачи Гурса с помощью факторизации и наложения определенных условий на коэффициенты уравнений рассматриваемой системы выделяются случаи разрешимости в квадратурах (для двумерной системы - 390 различных вариантов условий разрешимости, для пространственного варианта - 13281). Для видоизмененных задач выводятся условия их корректности. При этом указанные задачи редуцируются к задаче Гурса, а значит, для них остаются справедливыми условия разрешимости в квадратурах, полученные ранее. Аналогичные задачи для системы с двукратными старшими производными рассматривались в [28]. Сходные задачи, когда граничные значения искомой функции задаются на всем контуре, определяющем характеристическую область, исследовались для уравнения (1), например, в [39] - [42].

В главе 3 рассматриваются системы уравнений, содержащие производные высокого порядка или нормальные производные в граничных условиях. Используемый во второй главе метод, основанный на факторизации уравнений системы с целью получения условий разрешимости в квадратурах задачи Гурса, распространяется в этой главе на двумерные системы псевдопараболических уравнений 3-го порядка, а затем обобщается на системы п - го порядка

т я ( ■ ■) ( ■ •)

Щт,я) + Е Е (аЙ Щг ■) + ак2 и2(г ■)) = /к, (6)

■=0 ■ =0

где ик(г■) = д^ди^, к = 1, 2, г > 1, ] > 1. Для системы (6) при г+в = 3 получено 390 различных вариантов условий разрешимости задачи Гурса в квадратурах,

а для общего случая (г, в - произвольные) - 780. В § 9 той же главы для системы первого порядка рассматривается задача с нормальными производными второго порядка в граничных условиях и ее п-мерное обобщение. В рамках теорем 3.13 - 3.14 формулируются условия, при которых указанные задачи разрешимы однозначно или с точностью до определенного набора произвольных постоянных. Как отмечалось выше, задача с нормальными производными первого порядка для той же системы изучалась в [16]. Аналогичные задачи для системы с двукратными старшими производными рассматривались в [15]. В случае одной неизвестной функции подобные задачи рассматривались, например, в [66], [25], [26], [12].

Наконец, в главе 4 полученные ранее варианты разрешимости применяются к системам уравнений Вольтерра с частными интегралами

П Хк п _

= Е (а?к / (Е Ькгфг№к) + 1, = 1 п) (7)

к=1 х°к г=1

с целью выделения случаев их разрешимости в явном виде. Здесь Фj = Фj(х1,..., хп) - неизвестные функции, ajk, Ькг, - переменные коэффициенты и свободный член, зависящие от (х1,... ,хп). Так, для системы (7) при п = 2 получено 26 различных вариантов условий разрешимости этой системы в явном виде, а для (7) при п = 3 - 99 вариантов.

Цели и задачи диссертационной работы. Исследование вопросов разрешимости ранее не изученных характеристических задач для систем уравнений со старшими частными производными и возможности применения полученных результатов к решению в явном виде систем уравнений Вольтерра с частными интегралами.

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы для дальнейшего развития теории систем со старшими частными производными.

Методология и методы исследования. В диссертационной работе используются методы теории дифференциальных уравнений с частными производными (методы Римана, каскадного интегрирования и факторизации), а также методы теории интегральных уравнений.

Положения, выносимые на защиту.

1. Доказательство существования и единственности решения задачи Гур-са для общего случая системы (3).

2. Развитие методов каскадного интегрирования и факторизации с целью получения условий, обеспечивающих разрешимость задачи Гурса в квадратурах для системы (3) при различных т, п.

3. Постановка отличающихся от задачи Гурса характеристических задач для системы (3) и исследование вопросов их разрешимости.

4. Применение полученных результатов к исследованию разрешимости в явном виде систем уравнений Вольтерра с частными интегралами.

Научная новизна. Все результаты, представленные в диссертации и выносимые на защиту, являются новыми.

Степень достоверности и апробация результатов. Результаты диссертации по мере их получения докладывались автором

- на семинарах кафедры дифференциальных уравнений Казанского (Приволжского) федерального университета,

- на Х международной научной школе-конференции "Теория функций, ее приложения и смежные вопросы" (Казань, 2011 г.),

- на семинаре кафедры ФАиП под руководством академика РАН Е. И. Моисеева (Москва, МГУ, 2014 г.),

- на международной научной конференции "АМАДЕ-2015" (Минск, 2015 г.),

- на проводимых в КФУ молодежных научных конференциях "Лобачевские чтения" (2015, 2016 гг.),

- на семинаре кафедры уравнений математической физики ФГАОУ ВО "Самарский национальный исследовательский университет имени академика С. П. Королева" (руководитель семинара д.ф.-м.н., профессор Л.С. Пулькина, Самара, 2017 г.).

Публикации. Основные результаты диссертации отражены в публикациях [67] - [86], из них [71], [72], [75], [76], [81], [83] - [85] входят в Перечень ВАК.

Глава 1. Задача Гурса для гиперболических систем

§1. Теорема существования и единственности решения

В области и = {х10 < х1 < хц, х20 < х2 < х21., хп0 < хп < хп1} рассматривается система

дтг щ(х) , / \ д к3 и' (х)

дх-П ... дхП- + ^ к<тг ^ (х) дх"* ^ = fi(X), 1 = 1,n, (1.1)

' <т38

где х = (х1,... ,хп), тг = тг1 + ... + тп, к3 = кп + ... + кп, та, ка, в =

1,п - целые неотрицательные числа. Гладкость коэффициентов системы (1.1) определяется включениями

а' е а(кл, '' )(Щ, ¡г е С (0'°'--'0)(П). (1.2)

Класс С(к'1 '''■■■')(и) означает существование и непрерывность в и всех производных д1'1/дх'дх' .. .дхПп, Ц = 0,кц, р = 1,п. Грани параллелепипеда и при х1 = х10, х2 = х20, ..., хп = хп0 обозначим соответственно Х1, Х2, ..., Хп.

Задача 1.1. В области и найти регулярное решение системы (1.1), удовлетворяющее непрерывно дифференцируемым граничным условиям

д

дх11

(хю, х2, . . . , хп) = ф1гг1 (х2, . . . , х„) (¿1 = 0, тч - 1),

д2 и (хЬ х20, . . . , хп) = ф2гг2 (х1, х3, ... , хп) (¿2 = 0, П^ - 1),

2 (1.3)

дх2

2

дПи (х1, х2,..., хп0) = Фпггп (х1, . . . , хп-1) (¿п = 0, Шгп - 1), I = 1,п,

значения которых на границе О согласуются по формулам

дг2 фщ1 ( ) = 3г1 ф2и2 ( )

дх22 \Х20-) Х3-) . . . , Хп) дХ-1 (x10, x3, . . . , xn),

^ (Х2, Х30, Х4, ..., Хп) = д1дфГ (Х10, Х2, Х4, ..., Хп), . . . ,

дфпп (x2, Х3, . . . , xn—1, Хп0) д)хч (x10, x2, . . . , Хп-1);

дгз ф2гг2 / ч дг2 ф3г гз / ч

дхг3 \Х1, Х30, x4, ... , Хп) = дхг2 \x1, x20, Х4, . . . , Хn), . . . ,

9 дфп'2 (Х1, Х3, Х4,..., Хп0) = ^ (Х1, Х20, Х3, . . . , Х„-), ...,

дгп фп-1ггп_ 1 ( ч д?п-1 фпгп / ч

-дх пП 1 (Х2, Х3, Х4,..., Хп0) = дхп-Г (Х1, Х2, Х3, ..., Хп-10).

При этом предполагается, что

ф1гп Е С (0тг2 т3 т--,тгп )(Х1), ф2гг2 Е С (т1 >°>тз ,"',т"гп )(Х2), ..., фтгГ1 Е С (т1т"'"^-1,0) (X).

Рассмотрим слагаемое ...к-п (х) дк3и(х)к. (к^ < тг1, I = 1,п). Про-

11 0п дх4 ...дхЩп

интегрируем его сначала тг1 раз по переменной х1. Применяя формулу интегрирования по частям и учитывая граничные значения (1.3), на первом шаге (интегрирование по переменной Х1 один раз) получим

а дк1 -1щ _ х да0кп ...кп дк1 -1щ Иа + г

аЗкц '.'к1п к11-1 кп ] дх 1 к11-1 к1п аа1 + ¡1з ,

дх1 '.'дхп хю дх1 '.'дхп

где кз = азкп...кпФ1з0.

На втором шаге имеем

дк1 -2щ _ 2 х дазкн ...кп дк1 -2щ и +

азк11 '.'к1п к11-2 4 дх1 дхк11-2 дх1п а(11 +

дх1 '''дхп хю дх1 ...дхп

х,1 х1 д 2ачк. к. дк1 -2и

+ П Ц аа + ¡223,

х10 х10 °х1 ''' °хп

где ¡23 известная функция в силу условий (1.3). На тг1 -м шаге получаем

х1 х1

к

к11 I' I' ЯР1 а., , якп-к4

и апкп ...кд 1 п1 ип

еыгчэг*пЗпа«1+тз■ (1.4)

хло хю в1 раз

где в1 = тг1 - кц1 + р1, ¡т11 ц - известная функция.

Аналогичным образом интегрируем теперь (1.4) тг1 раз по переменным

xl (l = 2, n)

kji kjn о Pl n

E ■■■ E MF' Пcjx

pi =0 pn=0 l=1 31

xi X- Xn xn Y^ p

[ f f [ 9 ajkni1-5)

x ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ dxPi ^QXn,nn Uj da1 ■ ■ ■ dan + fmii ■■■min j ,

x-o x-0 Xno Xno si раз sn раз

где si = m,l - kjl + pi (l = 1,n). Учитывая формулу

xj xj

(xj - aj)lj 1 (lj - 1)!

J ■■■Ju(Xl'-,Xn)daj = J (l D! U(xi,-,xj-1,aj ,Xj+1,Xn)daj,

xjo xjo xjo

ij раз

выражение (1.5) перепишем в виде

n xqi x42 xqk kji kjk k p k f тч,-kn, +pql-i

E E //■■■/ E ■■■ E (-i)i-i "v П (Cj ■ % -U)x

k=1 Qk,n xqio xq2o xqko "qi =0 "qk =0 l=1 (16)

E pql di = i ajj ...j

X ßx^qi Bx^^k Ujdaqi ■ ■ ■ daqk + fmii ■■■min j ,

где Qk,n = {(Q1,Q2, ■■■iQn) | 1 < q1 < Я2 < ■ ■ ■ < qi < n}, функция Uj зависит от переменных (xbx2, ■ ■ ■ ,Xqi_1,aqi,xqi+1, ■ ■ ■ ,Xqk_1,aqk,xqk+1, ■ ■ ■ ,Xn).

Проинтегрируем теперь систему (1.1) по области Учитывая (1.6) и

принимая во внимание, что kjl = 0,m,d (l = 1,n), kjl < тг, получим

i=1

k

mi1 min n x q1 x qk kj1 kjk p

U, + Z ■■■ Z ЕЕ f ■■■ f E ■■■ E s(-1)it/«x

kji =0 kjn =0 k=1 Qk,n xqio xqk o pqi =rii "qk =Tik (1 7)

k (rP4l (xql _aqi )mii+pqi-i ) di-i Pqi ajkji ..j d d = F

XH (Ckn ■ (mH-kjl +pql-1)! ) dxpqi ,:dxpkqk Ujdaqi ■ ■■daqk = F■

i=1

Здесь в = тах{вг1,... ,вгк}, вг. = 0, гг. = 1, если кг. = тг., вг. = 1, гг. = 0, если кг. = тг., Ег - известная непрерывная функция в силу условий (1.3).

j

Обозначим для краткости

n

h] , _ j kk РЧ1 ^ (CP* (Xqi -«П Г1 -kjl - ) 9 ^ jj

hjkn-kjn _ = ... = s( i_[(Ckn • {тг1 -j +pqi-1)1 ) dxin ,..dxpkqk

Pqi —'4 pqk='lk

и представим систему (1.7) в операторном виде

u - Ku _ F, (1.8)

где

mn min n xqi xqk

Ku _ - E ■■■ E E E f ■■■ f hjkn...kjnudaqi... da4k

kjl —0 kjn —0 k—l Qk,n xq^0 xqk 0

Не нарушая общности [34], будем считать хю = 0 (I = 1,и). Воспользуемся нормой для матриц [8, с. 410]

А ||_ maxE | aij

i j

где aij заданы на Q. Пусть выполняются оценки

Ъ]кн< М, х3 <з (з,М > 0,з = 1,и).

Докажем, что оператор К непрерывен. Пусть иг и и2 - непрерывные векторные функции, заданные на множестве О. Тогда

min n

Кщ - Ku2 ||_\| Е • • • Е Е Е I • • • S hjkj1...kjn Ы - u2)daqi . . . daqk W<

kjl —0 kjn —0 k—l Qk,n xq^0 xqk 0

< МпЕ СкII иг — и2 II . к=1

п

Очевидно, что для любого £ > 0 найдется 6 = е/Мп^2 $к такое, что из

к=1

условия || иг — и2 ||< 6 следует || Киг — Ки2 ||< £. Непрерывность оператора К доказана.

Покажем, что некоторая степень К является сжимающим отображением. Имеем

КV - К2щ ||< (Мп)2 £ II И1 - П2 II,

к=1

___ {/~чк ак\т , ,

КтП1 - КтП2 II < (Мп)т £ ЩПу^ || П1 - П2 II .

к=1 ( !)

При некотором т

п

ж-—, (пк ак\ш

(Мп)т£ < 1'

к=1 v ''

Следовательно, оператор Кт является сжимающим.

Известно [24, с. 82], если К является непрерывным отображением полного метрического пространства в себя, таким что некоторая степень является сжатием, то уравнение

и - К и = Г

имеет единственное решение (в нашем случае - нулевое). Тогда [6, с. 39] уравнение (1.8) имеет только одно решение в классе непрерывных векторных функций. Поэтому справедлива

Теорема 1.1. Если имеют место условия (1.2), то решение задачи 1.1 существует и единственно.

§2. Случаи разрешимости задачи Гурса в квадратурах в

ее классической постановке

В области Б = {х0 < х < х1, у0 < у < у1} рассматривается уравнение

иху + аих + Ьиу + си = ¡. (2.1)

Задача 1.2. В области Б найти регулярное решение уравнения (2.1), удовлетворяющее непрерывно дифференцируемым граничным значениям

и(хо,у) = ф(у), и(х,уо) = ф(х),ф(уо)= ф(хо),

(2.2)

X £ [х0, Х1], у £ [х0, Х1].

Во введении отмечалось, что решение этой задачи существует, единственно и условия, обеспечивающие разрешимость это задачи в квадратурах

определяются соотношениями (5). Целью нашего исследования является получение новых случаев разрешимости задачи 1.2 в квадратурах.

Предлагаемые здесь дополнения к (5) связаны с привлечением уравнений

иаху + ааиах + Ъаиау + саиа = /а, а = 1, 2, (2.3)

возникающих в схеме метода каскадного интегрирования [38, § 3.2] уравнения (2.1). Коэффициенты и искомые функции уравнений (2.1) и (2.3) связаны друг с другом формулами

а1 = а — (1п Н)у, Ъ1 = Ъ, с1 = с — ах + Ъу — Ъ(1п Н)у,

/1 = [а — (1п Ь)у ]/ — у;

(2.4)

(2.5)

а2 = а, Ъ2 = Ъ — (1пк)х, С2 = с — Ъу + ах — а(1п к)х,

/2 = [Ъ — (1п к)х]/ — /х; иг = иу + аи, и1х + Ъи1 — / = Ни; (2.6)

и2 = их + Ъи, и2у + аи2 — / = ки. (2.7)

При этом Н, к определены в 1), 2) из (5).

С помощью (2.6) - (2.7) можно вычислить для иа граничные значения типа (2.2). Например, для и1 обозначим и1(х0,у) = ф1(у), и1(х,у0) = ф1(х). Тогда из (2.6) имеем

Ф1(У) = Ф1(У)+ а(хо,У)ф(У), ф1(х) + Ъ(х,уо)ф1(х) = /(х,уо) + Н(х, уо)ф(х).

Первое равенство сразу дает ф1(у), а второе есть хорошо известное легко решаемое уравнение для ф1(х). При этом с целью согласования ф1 и ф1 в точке (х0,у0) следует положить ф1(х0) = ф1(у0): ведь ф1(у) мы уже нашли. Ясно, что при наличии данного согласования ф1(х) однозначно определится. Аналогично из (2.7) для и2 вычисляются граничные значения ф2(у), ф2(х). Таким образом, мы для каждой функции иа получаем задачу Гурса. Для нашей цели достаточно построить формулу решения хоть одной из них: отыскание исходной

искомой функции и(х, у) оказывается тогда простой задачей либо для уравнения иу + аи = и1 (с условием и(х,у0) = ф(х)), либо для их + Ьи = и2 (с и(хо,у) = Ф(у)).

Из вышеизложенного следует, что соотношения (5) можно теперь использовать для формулирования условий, обеспечивающих построение иа (а, следовательно, и и(х,у)) в квадратурах. Запишем окончательные результаты в терминах коэффициентов исходного уравнения (2.1), то есть подставим в соотношения (5) значения аа, Ьа, са из (2.4), (2.5).

Осуществив указанную процедуру в части, связанной с и1(х,у), получим, что первое из тождеств (5) переходит в

2Н - (1п Н)ху - к = 0, (2.8)

а второе - в первое: Н = 0. Понятно, что в последнем случае мы сможем вычислить и1 в квадратурах, а по этому значению построить и(х,у). Но это нецелесообразно: ведь в силу единственности решения задачи Гурса у нас должна получиться та же функция и(х,у), что и в результате применения 1) из (5), а способ ее вычисления через и1 только усложняет дело. Поэтому не будем считать это новым вариантом разрешимости нашей исходной задачи.

Обратимся к варианту 3) из (5). Первое и второе соотношения принимают виды

ах - (1п Н)ху = Ьу, 2ах + аЬ - с - Ьу - (1п Н)ху = Цо(х)то(у) = 0.

При этом второе соотношение в силу первого перепишется как Н = цо(х)го(у)(у) = 0, а из Н = 71(х)^(у) следует, что (1пН)ху = 0. Другими словами, соотношения 3) оказываются инвариантными относительно рассматриваемой процедуры. Как и в предыдущем случае 2), вычисление и(х, у) через и1 является нецелесообразным.

Соотношения, получаемые из 4), имеют вид

2[Ьу - ах + (1пН)ху] = Н, Ьу - ах + (1пН)ху = 1и(х)п(у) = 0.

Первая из этих формул с учетом второй дает Н = 2д1(х)т1(у), вследствие чего (1п Н)ху = 0. В свою очередь это тождество превращает первую формулу в

2к = 3Н, а оба соотношения 4) переходят в

Н = 2М1(х)т1(у) = 0, к = 3^1(х)т1(у) = 0. (2.9)

Аналогично убеждаемся, что 5) перепишутся в формах

к + (1п Н)ху = 0, ах - Ьу - (1п Н)ху = Ц2(х)т2(у) = 0.

Поскольку второе соотношение здесь можно переписать как Н - к - (1п Н)ху = ц2(х)т2(у) = 0, в силу первого оно приобретает вид Н = ц2(х)т2(у) = 0. Это влечет за собой (1п Н)ху = 0. Поэтому окончательно имеем к = 0, Н = ц2(х)т2(у) = 0. Первое тождество тут совпадает с 2) из (5). Опять получается, что вычислить и(х,у) через и1 можно, но делать это нецелесообразно.

Наконец, обратимся к соотношениям 6) из (5), первое из которых переписывается в форме (т + 1)(а1х - Ь1у) = 0. При не противоречащем неравенству т = -2 из 6) серии (5) условии т = -1 отсюда (уже в терминах а, Ь, с) выводим, что ах - Ьу = (1п Н)ху или Н - к = (1п Н)ху. Второе же соотношение с учетом первого переходит в 2Ьу - ах - аЬ + с = 0, что равносильно Н = 2Ьу. Набор 6) следует рассматривать вместе с 7), где а в данном случае равно либо Н1 = а1х + а1Ь1 - с1, либо к1 = Ь1у + а1Ь1 - с1. Другими словами, 6) и 7) порождают два варианта условий разрешимости в квадратурах. Так как Н1 = 2Н - к - (1п Н)ху, то в силу только что вычисленного первого соотношения 6) получаем Н1 = 2Н - к + к - Н = Н. Поскольку же к1 = Н, то получаем тождество Н1 = к1, вследствие чего 6) и 7) в данном случае порождают не два, а только один вариант разрешимости в квадратурах, определяемый условиями

(1п Н)ху = Н - к Н = 2Ьу = (2 - ■ (2Л0)

При этом в (2.9) и (2.10) д1(х), т1(у), т1, в1, г1 - функции тех же классов, что и ак, вк, т, в, г в (5).

Аналогичные рассуждения, проведенные в связи с и2(х,у), показывают, что в случаях, соответствующих 1), 3), 4) из (5), отыскивать и(х,у) через и2(х,у) нецелесообразно, а роли (2.8), (2.9), (2.10) играют (в том же порядке)

2к - (1п к)ху - Н = 0; (2.11)

Н = 3»з(х)тз(у) = 0, к = 2»з(х)тз(у) = 0; (2.12)

('п к)*» * к " Н'к = 2ах * (2 — гЖ^+Ь№ • (2Л3)

При этом ^3(х), т3(у), т2, в2, 12 имеют ту же гладкость, что и соответствующие функции из (5).

Для дальнейшего использования целесообразно записать результаты, связанные с (5) и (2.8) - (2.13), в объединенном виде, введя обозначения

Н = ах + аЪ — с, к = Ъу + аЪ — с,

,, = ^т (х)К (у) шг —-

(2.14)

(2.15)

(2—шг Ж(х+1 (у)]2 , & (х) + и (у Ж (х%. (у) = С помощью (2.14) указанным соотношениям можно придать вид:

1) Н з 0;

2) к з 0;

3) 2Н — (1п Н)ху — к з 0;

4) 2к — (1п к)ху — Н = 0;

5) ах з Ъу, Н з £о(х)по(у) = 0;

6) Ъу — ах з Н з £1 (х)щ(у) = 0;

7) ах — Ъу = к = £2(х)П2(у) = 0;

8) Н з 2^о(х)го(у) = 0, к з 3уо(х)то(у) = 0;

9) Н = 3»1(х)п(у) =0, к = 21ц(х)г1(у) = 0;

10) (1п Н)ху з Н — к, Н з 2Ъу з и1;

11) (1п к)ху з к — Н, к з 2ах з щ;

12) тоах — Ъу з тоЪу — ах з (то — 1)(аЪ — с);

13) Н з ш0;

14) к з и0.

При этом 12) - 13) и 12) - 14) следует рассматривать как два отдельных набора, то есть каждая из этих пар дает по одному набору. Таким образом, (2.15)

определяют 13 наборов необходимых для нас соотношений.

На основании вышеизложенного может быть сформулирована

Теорема 1.2. Пусть Н, к, шг определяются формулами (2.14). Тогда построение решения задачи (2.1) - (2.2) в квадратурах обеспечивается любым из тождеств 1) -4), а также существованием функций Сг, Пг, И-г, тг, тг, вг, гг, для которых имеет место любая из групп соотношений 5) - 11), или когда вместе с 12) любая из определяемых в (2.14) комбинаций Н, к имеет вид, указанный в 13) - 14). При этом зависящая лишь от одной из переменных (х,у) функция шо удовлетворяет условию шо = 0, а Ш - (шк + 1)(ш - 2) = 0.

Далее мы будем использовать теорему 1.2 неоднократно путем сведения изучаемых ситуаций к задаче (2.1) - (2.2), при этом про коэффициенты А, В, С уравнения, играющего роль (2.1), будем говорить, что они удовлетворяют условиям а, Ь, с.

§3. Применение к системе двух уравнений первого

порядка на плоскости

В области Б = {хо < х < х1, уо < у < у1} рассматривается система

их + а1и + = ¡1,

(3.1)

Уу + а2и + Ь<У = ¡2, гладкость коэффициентов которой определяется включениями

аг, Ьг £ С(о'о) (г = 1, 2).

Решение системы (3.1) класса и, V, их, Уу £ С (Б) назовем регулярным в Б.

Задача 1.3. В области Б найти регулярное решение системы (3.1), удовлетворяющее условиям

и(хо, у) = Ф1(у), у(х,уо)= ^(х). (3.2)

Будем считать, что ф1 £ С 1(Х), ф1 £ С 1(У) (X, У - стороны характеристического прямоугольника Б при х = хо, у = уо соответственно).

Известно [45], что рассматриваемая задача является однозначно разрешимой (кроме того, она является частным случаем однозначно разрешимой задачи 1.1). Для нахождения условий разрешимости этой задачи в квадратурах воспользуемся возможностью редукции системы (3.1) к двум уравнениям вида

вху + авх + Ъву + св = /. (3.3)

А именно, при выполнении условия

Ъ1 = 0 (3.4)

получаем уравнение вида (3.3) для в = и, коэффициенты которого определяются формулами

а = Ъ2 — (1п Ъ1)у, Ъ = а1, с = а1у — аД1п Ъ1)у — Ъа + Ъ2а1. (3.5)

При

а2 = 0 (3.6)

получаем уравнение вида (3.3) для в = V с коэффициентами

а = Ъ2, Ъ = а1 — (1па2)х, с = Ъ2х — Ъ2(1па2)х — а2Ъ1 + а^. (3.7)

Решив первое уравнение, полученное при выполнении условия (3.4), можно найти функцию v(x,y) из первого уравнения системы (3.1). И наоборот, при выполнении неравенства (3.6), зная v(x,y), функцию и(х,у) можно найти из второго уравнения системы (3.1). Но для нахождения функций в = и и в = V из (3.3) условий (3.2) недостаточно: нужно знать еще

Заключение диссертации по теме «Дифференциальные уравнения», Созонтова, Елена Александровна

Заключение

Основные результаты диссертации:

1. Доказаны существование и единственность решения задачи Гурса для общего случая системы

^ + £ к<т, а]кп-к3п (х) ^ = ^ ' = 1,П (1)

где х = (хг,... ,х„), тг = тг1 + ... + т1п, к] = к]1 + ... + к]п, к$, в = 1,п - целые неотрицательные числа.

2. С помощью методов каскадного интегрирования и факторизации получены условия, обеспечивающие разрешимость задачи Гурса в квадратурах для системы (1) при различных т, п.

3. Сформулированы отличающиеся от задачи Гурса характеристические задачи для системы (1) и исследованы вопросы их разрешимости.

4. Полученные результаты применены к исследованию разрешимости в явном виде систем уравнений Вольтерра с частными интегралами

П х к п _

Ф] = Е(а]к/ (£ Ькгф^к) + }'] , Ц = 1,n),

к=г х0к =

где ф] = ф](хг,... ,хп) - неизвестные функции, а]к, Ьк.ь, - переменные коэффициенты и свободный член, зависящие от (хг,... ,хп).

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Созонтова, Елена Александровна, 2018 год

Литература

[1] Андреев, А. А. Задача Гурса для одной системы гиперболических дифференциальных уравнений третьего порядка с двумя независимыми переменными / А. А. Андреев, Ю. О. Яковлева // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. - 2011. - №3 (24). - С. 35-41.

[2] Ахиев, С. С. Фундаментальные решения некоторых локальных и нелокальных начально-краевых задач математической физики / С. С. Ахиев.

- Баку: Азербайджанский ун-т, 1988. - 58 с.

[3] Бицадзе, А. В. Некоторые классы уравнений в частных производных / А. В. Бицадзе. - М.: Наука, 1981. - 448 с.

[4] Бицадзе, А. В. Уравнения математической физики / А. В. Бицадзе. - М.: Наука, 1982. - 336 с.

[5] Бицадзе, А. В. О структурных свойствах решений гиперболических систем уравнений в частных производных / А. В. Бицадзе // Матем. моделирование. - 1994. - Т. 6, №6. - С. 22-31.

[6] Владимиров, В. С. Уравнения математической физики / В. С. Владимиров.

- М.: Наука, 1971. - 512 с.

[7] Воронова, Ю. Г. О задаче Коши для линейных гиперболических систем уравнений с нулевыми обобщенными инвариантами Лапласа / Ю. Г. Воронова // Уфимск. матем. журн. - 2010. - Т. 2, № 2. - С. 20-26.

[8] Гантмахер, Ф. Р. Теория матриц / Ф. Р. Гантмахер. - М.: Наука, 1967. -576 с.

[9] Джохадзе, О. М. Функция Римана для гиперболических уравнений и систем

высокого порядка с доминированными младшими членами / О. М. Джо-хадзе // Дифференц. уравнения. - 2003. - Т. 39, № 10. - С. 1366-1378.

[10] Джохадзе, О. М. Об инвариантах Лапласа для некоторых классов линейных дифференциальных уравнений в частных производных / О. М. Джохадзе // Дифференц. уравнения. - 2004. - Т. 40, № 1. - С. 58-68.

[11] Жегалов, В. И. Линейная характеристическая задача для системы уравнений в частных производных первого порядка / В. И. Жегалов, Н. Х. Х. Зо-мот. - Казанский ун-т. 1998. - 20 с. - Деп. в ВИНИТИ 10.02.98, № 394-В98.

[12] Жегалов, В. И. Трехмерные характеристические задачи с нормальными производными в граничных условиях / В. И. Жегалов, А. Н. Миронов // Дифференц.уравнения. - 2000. - Т. 36, № 6. - С. 833-836.

[13] Жегалов, В. И. Дифференциальные уравнения со старшими частными производными / В. И. Жегалов, А. Н. Миронов. - Казань, 2001. - 226 с.

[14] Жегалов, В. И. К случаям разрешимости гиперболических уравнений в терминах специальных функций / В. И. Жегалов // Неклассические уравнения математической физики. - Новосибирск: ИМ СО РАН, 2002. - С. 73 -79.

[15] Жегалов, В. И. Об одной системе уравнений с двукратными старшими частными производными / В. И. Жегалов, Л. Б. Миронова // Изв. вузов. Математика. - 2007. - № 3. - С. 12-21.

[16] Жегалов, В. И. Задача с нормальными производными в граничных условиях для системы дифференциальных уравнений / В. И. Жегалов // Изв. вузов. Математика. - 2008. - № 8. - С. 70-72.

[17] Жегалов, В. И. К условиям разрешимости задачи Гурса в квадратурах / В. И. Жегалов, И. М. Сарварова // Изв. вузов. Математика. - 2013. - № 3. -С. 68-73.

[18] Жегалов, В. И. Уравнения с доминирующей частной производной / В. И. Жегалов, А. Н. Миронов, Е. А. Уткина. - Казань: изд-во Казан. ун-та, 2014. - 385 с.

[19] Жибер, А. В., Старцев С. Я. Интегралы, решения и существование преобразований Лапласа линейной гиперболической системы уравнений / А. В. Жибер, С. Я. Старцев // Мат. заметки. - 2003. - Т. 74, № 6. -

С. 848-857.

[20] Жибер, А. В. Алгоритм построения общего решения п-компонентной гиперболической системы уравнений с нулевыми инвариантами Лапласа и краевые задачи / А. В. Жибер, Ю. Г. Михайлова // Уфимск. матем. журн.

- 2009. - Т. 1, № 3. - С. 28-45.

[21] Забрейко, П. П. Интегральные уравнения / П. П. Забрейко, А. И. Кошелев и др. - М.: Наука, 1968. - 448 с.

[22] Зомот, Н. Х. Х. Общая линейная характеристическая задача для системы уравнений в частных производных первого порядка: дисс. . . . канд. физ.-мат. наук 01.01.02 / Зомот Насер Хасан Хуссейн. - Казанский ун-т, 1998.

- 113 с.

[23] Зомот, Н. Х. Х. Линейная характеристическая задача в четырехмерном евклидовом пространстве / Н. Х. Х. Зомот. - Казанский ун-т. 1998. - 43 с.

- Деп. в ВИНИТИ 30.03.98, № 900-В98.

[24] Колмогоров, А. Н. Элементы теории функций и функционального анализа / А. Н. Колмогоров, С. В. Фомин. - М.: Наука, 1976. - 544 с.

[25] Котухов, М. П. О некоторых дифференциальных свойствах решений одного уравнения в частных производных / М. П. Котухов // Изв. вузов. Математика. - 1996. - № 5. - С. 59-62.

[26] Миронов, А. Н. О связи граничных значений задачи Гурса с нормальными производными третьего порядка / А. Н. Миронов // Изв. вузов. Математика. - 1999. - № 10. - С. 23-26.

[27] Миронова, Л. Б. Линейные системы уравнений с кратными старшими частными производными: дисс. ... канд. физ.-мат. наук 01.01.02 / Миронова Любовь Борисовна. - Казанский ун-т, 2005. - 140 с.

[28] Миронова, Л. Б. О характеристических задачах для одной системы с двукратными старшими частными производными / Л. Б. Миронова // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. - 2006. - №43. - С. 31-37.

[29] Миронова, Л. Б. О методе Римана в Яп для одной системы с кратными

характеристиками / Л. Б. Миронова // Изв. вузов. Математика. - 2006. -№ 1. - С. 34-39.

[30] Мюнтц, Г. Интегральные уравнения. Т.1 / Г. Мюнтц. - Л-М.: ГТТИ, 1934.

- 330 с.

[31] Плещинская, И.Е. Граничные задачи для систем уравнений смешанного типа, приводимые к задаче Гильберта: автореф. дисс. . . . канд. физ.-мат. наук 01.01.02 / Плещинская Ирина Евгеньевна. - Куйбышев, 1979. - 15 с.

[32] Плещинская, И.Е. Задача со смещениями для одной системы уравнений смешанного типа с частными производными / И. Е. Плещинская // Тр. семинара по краевым задачам. - Казанский ун-т, 1983. - Вып. 19. - С. 145155.

[33] Плещинская, И.Е. Об эквивалентности некоторых классов эллиптических и гиперболических систем первого порядка и уравнений второго порядка с частными производными / И. Е. Плещинская // Дифференц. уравнения. - 1987. - Т. 23, № 9. - С. 1634-1637.

[34] Севастьянов, В. А. Вариант метода Римана для одного дифференциального уравнения в п-мерном евклидовом пространстве: дисс. ... канд. физ.-мат. наук 01.01.02 / Севастьянов Виктор Александрович. - Казанский ун-т, 1997. - 127 с.

[35] Старцев, С. Я. Метод каскадного интегрирования Лапласа для линейных гиперболических систем уравнений / С. Я. Старцев // Мат. заметки. -2008. - Т. 83, № 1. - С. 107-118.

[36] Теут, О. М. Задача Коши для одной системы гиперболического типа / О. М. Теут // Учен. зап. Казанского ун-та. - 1962. - Т. 122, кн. 3. - С. 54-72.

[37] Тимергалиев, С. Н. Об одном подходе к исследованию разрешимости краевых задач для системы дифференциальных уравнений пространственной теории упругости /С. Н. Тимергалиев // Дифференц. уравнения. - 2016.

- Т. 52, № 4. - С. 544-547.

[38] Трикоми, Ф. Лекции по уравнениям в частных производных / Ф. Трикоми.

- М.: Наука, 1957. - 443 с.

[39] Уткина, Е. А. Задача Дирихле для одного трехмерного уравнения / Е. А. Уткина // Вестн. СамГУ. Естественнонаучн. сер. - 2010. - № 2 (76). -С. 84-95.

[40] Уткина, Е. А. Теорема единственности решения одной задачи Дирихле / Е. А. Уткина // Изв. вузов. Математика. - 2011. - № 5. - С. 62-67.

[41] Уткина, Е. А. Задача с условиями на всей границе для одного псевдопараболического уравнения шестого порядка / Е. А. Уткина // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. - 2011. - № 11 (2).-С. 36-41.

[42] Уткина, Е. А. Задача Дирихле для одного уравнения четвертого порядка / Е. А. Уткина // Дифференц. уравнения. - 2011. - Т. 47, № 4. - С. 400-404.

[43] Фаге, М. К. Дифференциальные уравнения с чистосмешанными производными и главным членом / М. К. Фаге // Докл. АН СССР. - 1956. -Т. 108, № 5. - С. 780-783.

[44] Фаге, М. К. Задача Коши для уравнения Бианки / М. К. Фаге // Матем. сборник. - 1958. - Т. 45, № 3. - С. 281-322.

[45] Чекмарев, Т. В. Решение гиперболической системы двух дифференциальных уравнений в частных производных с двумя неизвестными функциями / Т.В. Чекмарев // Изв. вузов. Математика. - 1959. - № 6. - С. 220-228.

[46] Чекмарев, Т. В. Решение в квадратурах задач Коши и Гурса для линейной системы дифференциальных уравнений в частных производных / Т. В. Чекмарев // Уч. записки Горьковского ун-та. - 1967. - Вып. 80. -C. 63-69.

[47] Чекмарев, Т. В. Формулы решения задачи Гурса для одной линейной системы уравнений с частными производными / Т.В. Чекмарев // Дифференц. уравнения. - 1982. - Т. 18, № 9. - С. 1614-1622.

[48] Чекмарев, Т. В. Системы уравнений смешанного типа / Т.В. Чекмарев. -Нижний Новгород: Нижегородский гос. техн. ун-т, 1995. - 199 с.

[49] Bateman, H. Logarithmic solutions of Bianchi's equation / H. Bateman //

Proc. USA Acad. - 1933. - V. 19. - P. 852-854.

[50] Bianchi, L. Sulla estensione del metodo di Riemann alle equazioni lineari alle derivate parziali d'ordine superiore / L. Bianchi // Atti R. Accad. Lincei. Rend. Cl. Sc. fis., mat. e natur. - 1895. - V. 4. - P. 89-99, 133-142.

[51] Colton, D. Pseudoparabolic equations in one space variable / D. Colton //J. Different. equations. - 1972. - V. 12, № 3. - P. 559-565.

[52] Corduneanu, A. About the equation uxyz + cu = g / A. Corduneanu // Bul. Inst. politehn. Jasi. Sectia 1. - 1974. - V. 20, № 1. - P. 103-109.

[53] Easwaran, S. On the positive definitenes of polivibrating operators of Mangeron / S. Easwaran // Bull. cl. sci. Acad. Roy. Belg. - 1973. - V. 59, № 7. - P. 563-569.

[54] Holmgren, E. Sur les systemes lineaires aux derivees partielles du premier ordre / E. Holmgren // Arkiv for matematik, astronomy och fysik. - 1910. -Band 6, № 2. - P. 1-10.

[55] Hornich, H. Das Problem der linearen Differentialgleihungen / H. Hornich // Rend. semin. mat. Univ. Padova. - 1954. - V. 23, № 2. - S. 333-339.

[56] Hornich, H. Lineare partielle Differentialgleihungen for hoher Ordnung / H. Hornich // Studia scient. math. hung. - 1968. - V. 3, № 1-3. - S. 1-4.

[57] Lahaye, E. La metode de Riemann appliquee a la resolution d'une categorie d'equations lineares de troisieme ordre / E. Lahaye // Bull. cl. sci. Acad. Roy. de Belg. - 1946. - 5 serie. - V. 31. - P. 479-494.

[58] Mangeron, D. New methods for determining solution of mathematical models governing polyvibrating phenomena. I. / D. Mangeron // Bul. Inst. politehn. Jasi. Sectia 1. - 1968. - V. 14, № 1-2. - P. 433-436.

[59] Niccoletti, O. Sull'estensione del metodo di Riemann alle equazioni lineari a derivate parziali d'ordine superiore / O. Niccoletti // Atti R. Accad. Lincei. Rend. Cl. sci. fis., mat. e natur. (5). - 1895. - V. 4. - P. 330-337.

[60] Oguztoreli, M. N. Boundary value problem for Mangerons equation. I. / M. N. Oguztoreli // Bul. Inst. politehn. Jasi. Sectia 1. - 1973. - V. 19, № 3. -

P. 81-85.

[61] Radochova, V. Die Losing der partiellen Differentialgleihung uxxtt = A(t,x)uxx + B(t,x)un mit gewissen Nebenbedinungen / V. Radochova // Cas. pestov. mat. - 1973. - V. 98, № 4. - S. 389-399.

[62] Rundell, W. Remarks concerning the support of solutions of pseudoparabolic equation / M. Stecher, W. Rundell // Proc. Amer.Math. Soc. - 1977. - V. 63, № 1. - P. 77-81.

[63] Rundell, W. The construction of solutions to pseudoparabolic equations in noncilindrical domains / W. Rundell //J. Different. equations. - 1978. - V. 27, № 3. - P. 394-404.

[64] Rundell, W. The Stefan Problem for a pseudo-heat equation / W. Rundell // Indiana Univ. Math. J. - 1978. - V. 27, № 5. - P. 739-750.

[65] Rundell, W. The uniqueness class for the Cauchy problem for pseudoparabolic equations / W. Rundell // Proc. Amer. Math. Soc. - 1979. - V. 76, № 2. -P. 253-257.

[66] Zhegalov, V. I. Relation between the Boundary Values of Goursat Problem and the Normal Derivatives / V. I. Zhegalov // Conditionally Well-Posed Problems. Moscow: TVP Sc. Publ. - 1994. - P. 346-349.

Публикации автора по теме диссертации

[67] Созонтова, Е. А. О характеристических задачах с нормальными производными для системы гиперболического типа / Е. А. Созонтова // Труды Математического центра имени Н.И. Лобачевского: материалы Десятой международной Казанской летней научной школы-конференции "Теория функций, ее приложения и смежные вопросы", г. Казань, 1-7 июля 2011 г.

- Казань: Изд-во Казан. матем. общества, Изд-во Казан. гос. ун-та., 2011.

- Т. 43. - С. 322-323.

[68] Созонтова, Е. А. О характеристической задаче с нормальными производными 2-го порядка для системы гиперболического типа / Е. А. Созонтова // Труды IV международной конференции для молодых математиков по дифференциальным уравнениям и приложениям, посвященная

Я. Б. Лопатинскому, г. Донецк, 14-17 ноября 2012 г. - Донецк: Донецкий национальный ун-т, 2012. - С. 76.

[69] Созонтова, Е. А. О характеристической задаче с нормальными производными п-го порядка для одной системы гиперболического типа / Е. А. Со-зонтова //XI Белорусская математическая конференция: Тез. докл. Меж-дунар. науч. конф., г.Минск, 5-9 ноября 2012 г. - Часть 2. - Мн.: Институт математики НАН Беларуси, 2012. - С. 86-87.

[70] Созонтова, Е. А. Характеристические задачи для одной системы гиперболического типа в трехмерном пространстве / Е. А. Созонтова // Некоторые актуальные проблемы современной математики и математического образования. Материалы научной конференции "Герценовские чтения - 2013", г. Санкт-Петербург, 15-20 апреля 2013 г. - СПб.: Изд. РГПУ им. А. И. Герцена, 2013. - С. 130-132.

[71] Созонтова, Е. А. О характеристических задачах для одной системы гиперболического типа в трехмерном пространстве / Е. А. Созонтова // Вестн. СамГУ. Естественнонаучн. сер. - 2013. - №6 (107). - С. 74-84.

[72] Созонтова, Е. А. О характеристических задачах с нормальными производными для системы гиперболического типа / Е. А. Созонтова // Изв. вузов. Математика. - 2013. - №10. - С. 43-54.

[73] Жегалов, В. И. О разрешимости одной системы уравнений с частными интегралами / В. И. Жегалов, Е. А. Созонтова // Труды Математического центра имени Н. И. Лобачевского: материалы Международной научной конференции "Краевые задачи для дифференциальных уравнений и аналитических функций - 2014", г. Казань, 29 сентября-1 октября 2014 г. -Казань: Изд-во Казан. ун-та, 2014. - Т. 49. - С. 160-162.

[74] Созонтова, Е. А. Об условиях разрешимости в квадратурах задачи Гур-са для гиперболической системы второго порядка / Е. А. Созонтова // Материалы Четырнадцатой Всероссийской молодежной научной школы-конференции "Лобачевские чтения - 2015", г. Казань, 22-27 октября 2015 г. - Казань: Изд-во Казан. матем. общества, Изд-во Академии наук РТ, 2015.

- Т. 52. - С. 140-143.

[75] Жегалов, В. И. Условия разрешимости одной системы интегральных уравнений в квадратурах / В. И. Жегалов, Е. А. Созонтова // Дифференциальные уравнения. - 2015. - Т. 51, №7. - С. 958-961.

[76] Созонтова, Е. А. Об условиях разрешимости трехмерной системы интегральных уравнений в квадратурах / Е. А. Созонтова // Вестн. СамГУ. Естественнонаучн. сер. - 2015. - №10 (132). - С. 40-46.

[77] Созонтова, Е. А. Об условиях разрешимости задачи Гурса в квадратурах для трехмерной гиперболической системы первого порядка / Е. А. Созон-това // Материалы международной конференции "Воронежская зимняя математическая школа С. Г. Крейна - 2016". - Воронеж: Издательско-полиграфический центр "Научная книга", 2016. - С. 365-369.

[78] Созонтова, Е. А. К условиям разрешимости характеристической задачи в квадратурах для системы уравнений с кратным дифференцированием / Е. А. Созонтова // Некоторые актуальные проблемы современной математики и математического образования. Материалы научной конференции "Герценовские чтения - 2016", г. Санкт-Петербург, 11-15 апреля 2016 г. -СПб.: Изд. РГПУ им. А. И. Герцена, 2016. - С. 104-105.

[79] Созонтова, Е. А. Об условиях разрешимости задачи Гурса в квадратурах для системы уравнений п-го порядка / Е. А. Созонтова // Некоторые актуальные проблемы современной математики и математического образования. Материалы научной конференции "Герценовские чтения - 2016", г. Санкт-Петербург, 11-15 апреля 2016 г. - СПб.: Изд. РГПУ им. А. И. Герцена, 2016. - С. 106-108.

[80] Жегалов, В. И. К новым случаям разрешимости задачи Гурса в квадратурах / В. И. Жегалов, Е. А. Созонтова // Труды Математического центра имени Н.И. Лобачевского. Материалы Пятнадцатой молодежной научной школы-конференции "Лобачевские чтения - 2016", г. Казань, 24-29 ноября 2016 г. - Казань: Изд-во Казан. матем. общества, Изд-во Академии наук РТ, 2016. - Т. 53. - С. 75-76.

[81] Созонтова, Е. А. Об условиях разрешимости граничных задач в квадратурах для гиперболических систем второго порядка / Е. А. Созонтова // Уфимск. матем. журн. - 2016. - Т. 8, № 3. - С. 135-140.

[82] Созонтова, Е. А. Условия существования и единственности решения задачи Гурса для системы уравнений п-го порядка / Е. А. Созонтова // Некоторые актуальные проблемы современной математики и математического образования. Материалы научной конференции "Герценовские чтения - 2017", г. Санкт-Петербург, 10-14 апреля 2017 г. - СПб.: Изд. РГПУ им. А. И. Герцена, 2017. - С. 93-94.

[83] Созонтова, Е. А. К условиям разрешимости задачи Гурса в квадратурах для двумерной системы высокого порядка / Е. А. Созонтова // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. - 2017. - Т. 21, № 1. - С. 94-111.

[84] Жегалов, В. И. Дополнение к случаям разрешимости задачи Гурса в квадратурах / В. И. Жегалов, Е. А. Созонтова // Дифференциальные уравнения. - 2017. - Т. 53, № 2. - С. 270-272.

[85] Созонтова, Е. А. К условиям разрешимости задачи Гурса в квадратурах для трехмерной системы первого порядка / Е. А. Созонтова // Вестник Воронежского гос. ун-та. Серия: Физика. Математика. - 2017. - № 2. -С. 128-138.

[86] Созонтова, Е. А. К новым случаям разрешимости задачи Гурса в квадратурах для системы второго порядка / Е. А. Созонтова // Труды Математического центра имени Н.И. Лобачевского: материалы Шестнадцатой молодежной научной школы-конференции "Лобачевские чтения - 2017", г. Казань, 24-29 ноября 2017 г. - Казань: Изд-во Казан. ун-та, 2017. -Т. 55. - С. 140-141.