Обратные, нелокальные и краевые задачи для эволюционных уравнений тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, доктор физико-математических наук Тихонов, Иван Владимирович

• Тихонов, Иван Владимирович
• доктор физико-математических наук
• 2008

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Тихонов, Иван Владимирович

Введение.

Терминология, обозначения, соглашения.

ГЛАВА 1. Задачи для уравнений произвольного порядка

§1. Периодическая задача.

§ 2. Абстрактные дифференциальные нуль-уравнения.

§ 3. Структурные свойства нуль-решений.

§ 4. Модельная обратная задача.

§ 5. Обобщенная задача Уорда.

ГЛАВА 2. Нелокальная задача для уравнения первого порядка

§ 6. Критерий единственности решения.

§ 7. Достаточные признаки единственности.

§ 8. Более общее уравнение.

§ 9. Более общее нелокальное условие.

§ 10. Разрешимость задачи с монотонной весовой функцией

§11. Нелокальная задача с периодической весовой функцией

§ 12. Теоремы об отображении точечного спектра.

ГЛАВА 3. Обратная задача для уравнения первого порядка

§ 13. Основные положения.

§ 14. Полугрупповой случай.

§ 15. Общий случай.

§ 16. Соображения монотонности.

ГЛАВА 4. Нелокальная задача для уравнения теплопроводности

§17. Предварительные рассмотрения.

§ 18. Специальные свойства оператора Лапласа.

§ 19. Теоремы единственности.

§ 20. Теоремы разрешимости.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Обратные, нелокальные и краевые задачи для эволюционных уравнений»

Настоящая работа представляет в систематической форме исследования автора за последние десять лет. Рассмотрен цикл краевых, нелокальных и обратных задач для абстрактных дифференциальных уравнений. В виде иллюстрации подробно разобран пример с модельной нелокальной задачей для уравнения теплопроводности. Несмотря на разнообразие материала, в работе присутствует объединительная идея, связанная с понятием единственности решения.

Известно, что вопрос единственности — один из центральных в математической физике. Всякое содержательное дифференциальное уравнение имеет бесконечно много различных решений. Для того чтобы выделять нужные решения, к уравнению присоединяют дополнительные условия (начальные, краевые, нелокальные и т. п.). Совокупность уравнения и дополнительных условий образует задачу. Задача считается детерминированной, если при любом выборе данных в дополнительных условиях она имеет не более одного решения. В противном случае (когда при некоторых данных есть несколько различных решений) задача считается недетерминированной. Неверно полагать, что детерминированные задачи "лучше", а недетерминированные "хуже" — и то, и то может быть по-своему интересно. Однако, желательно точно знать, когда какой случай реализуется.

Некоторое время назад внимание автора привлекла группа задач, где вопрос единственности решения допускал полное исследование, причем в самых общих предположениях. Задачи относились к уравнениям с выделенной переменной t, означающей условное "время"; такие уравнения часто называют эволюционными. Дополнительные условия ставятся по выделенной переменной. Ситуация с единственностью выражается через простые спектральные характеристики — собственные значения операторов, нули характеристических функций и т. д. Изложение полученных результатов составляет ядро данной работы. Несколько раз затрагивается тема разрешимости, но только там, где не приходится слишком отходить от генеральной линии.

Теорию удобно было развивать на языке абстрактных дифференциальных уравнений (в банаховом пространстве). Это позволило более четко выделить главные идеи доказательств и, кроме того, охватить много приложений. Разумеется, при обращении к конкретным уравнениям математической физики появятся нюансы, требующие особой проработки. То, что здесь может получиться, показано на примере многомерного уравнения теплопроводности.

Важную роль в работе играют средства комплексного анализа, связанные с целыми функциями (одной переменной). Ценность такого аппарата для математической физики известна. Например, в спектральной теории обыкновенных дифференциальных операторов привычными инструментами служат теоремы Фрагмена-Линделёфа, индикаторные диаграммы, преобразование Бореля и т. д. В абстрактных дифференциальных уравнениях целые функции встречаются реже, от случая к случаю, эпизодически. Тем самым, упускаются большие возможности. Их использование позволило автору доказать серию законченных теорем единственности практически без ограничений на операторы в абстрактных дифференциальных уравнениях. Материал оказался 3 свежим", как с точки зрения рассмотренных задач, так и с точки зрения задействованных методов.

Работая над задачами, автор обнаруживал (иногда post factum) неожиданные соприкосновения с различными результатами по абстрактным дифференциальным уравнениям (Э. Хилле, Ю. И. Любич), по уравнениям в частных производных (И. И. Привалов, А. Н. Тихонов), по теории целых функций (А. Виман, Т. Карлеман, Г. Полиа, Б. Я. Левин, Ю. И. Любич, А. Ф. Леонтьев, А. М. Седлецкий), по нулям функций типа Миттаг-Леффлера (А. М. Седлецкий, А. Ю. Попов). Существенное влияние оказали некоторые идеи Ю. С. Эйдельмана. Все эти обстоятельства помогали в развитии теории. Из-за разнообразия материала сейчас нецелесообразно делать подробные сопоставления — в отрыве от постановок задач и полученных результатов чтение такого раздела будет затруднено. Однако, в основном тексте работы в конце каждого параграфа есть пункт "Дополнительные ссылки и комментарии" со всей необходимой библиографической информацией.

Для ознакомления с другими подходами к обратным, нелокальным и прочим "неклассическим" задачам математической физики можно рекомендовать книги А. А. Дезина [38], [39], А. М. Денисова [41], А. И. Егорова [48], И. Е. Егорова, С. Г. Пяткова, С. В. Попова [49], В'. К. Иванова, И. В. Мельниковой, А. И. Филинкова [56], Г. А. Каменского, А. Л. Скубачевского [70], М. М. Лаврентьева, М. Я. Савельева [87], Г. И. Марчука [101], А. М. На-хушева [112], Ю. С. Осипова, Ф. П. Васильева, М. М. Потапова [113], Б. И. Пташника [147], В. Г. Романова [151], А. А. Самарского, П. Н. Ваби-щевича [155], В. М. Исакова [241], [243], А. И. Прилепко, Д. Г. Орловского, И. А. Васина [259], О. Вейводы [267]. Некоторые из упомянутых трудов (например, [56], [112], [147], [259], [267]) содержат обширные своды литературы.

Наше исследование не связано напрямую с теорией некорректных задач, по вопросам которой ограничимся общими ссылками на классическую монографию А. Н. Тихонова, В. Я. Арсенина [179] и на сравнительно недавние книги Ю. П. Петрова, В. С. Сизикова [118], В. Ю. Теребижа [175], А. Н. Тихонова, А. С. Леонова, А. Г. Яголы [180]. В перечисленных руководствах можно найти много соображений, связанных с понятиями "задачи", "корректности", "некорректности", а также обсуждение практических примеров.

Поясним теперь структуру работы. После Введения дан небольшой раздел "Терминология, обозначения, соглашения", где оговорены некоторые стандарты. Затем идет основной текст, разбитый на четыре главы. Главы делятся на параграфы, параграфы — на пункты. Нумерация параграфов — сквозная. Нумерация пунктов и прочих единиц (утверждений, замечаний, определений, примеров, формул) ведется по параграфам1. Найти нужное место не представляет труда. Вообще, параграф — основная структурная часть текста. Каждый параграф посвящен своей теме: вначале уточняется постановка задачи, напоминаются необходимые сведения; далее следуют формулировки результатов и их полные доказательства; в конце приводятся ссылки и комментарии. Перекрестные обращения из параграфа в параграф сведены к минимуму. Это немного удлиняет текст, но облегчает чтение.

Например, в § 6 есть пункт 6.4, теорема 6.2, определение 6.1, формула (6.8) и т. д. 4

Завершает всё список литературы, где сперва в алфавитном порядке идут работы на кириллице, а потом — на латинице. При ссылках на литературу в тексте помимо номеров работ по списку часто указаны фамилии авторов (для краткости без инициалов). Так проще ориентироваться в ситуации.

Кратко обрисуем содержание, выделяя только главные моменты.

Все обсуждаемые задачи являются линейными.

В первых трех главах изучаются задачи для абстрактных дифференциальных уравнений в банаховом пространстве Е. Считаем, что в Е задан линейный замкнутый оператор А с областью определения Е)(А) С Е. Других условий на А изначально не налагается. Требование "банаховости" тоже не является слишком обязательным — многие результаты без труда переносятся на уравнения в секвенциально полных локально выпуклых пространствах.

В главе 1 (§§ 1-5) рассматриваются уравнения произвольного порядка пЕМ. Вводный § 1 посвящен периодической задаче: пи(г) ¿Ьп Ли(<), и(* + Т) = «(*),

-оо < ^ < оо,

0.1) где Т > 0 — фиксированное число. Сразу выясняется (теорема 1.1), что задача (0.1) имеет лишь тривиальное решение и{{) = 0 тогда и только тогда, когда среди собственных значений оператора А нет чисел А* вида

А*- = т -1.

В случае, когда такие собственные значения есть, подробно изучены разные типы решений (см. теоремы 1.2-1.6). Еще приведены обобщения (теоремы 1.7 и 1.8). Методы основаны на векторных рядах Фурье и вполне элементарны. Но четко выявляется главная идея — работать с дифференциальным уравнением йпи(г) (Ип

Аи(г)

0.2) в максимальной общности.

В следующем § 2 затрагивается неожиданный вопрос: всегда ли уравнение (0.2) обладает хоть какими-то нетривиальными решениями? Если на любом промежутке 0 ^ I ^ Т имеется лишь тривиальное решение и{Ь) = 0, то уравнение (0.2) называется нуль-уравнением. В теореме 2.1 показано, что (0.2) будет нуль-уравнением, если резольвента оператора А есть целая функция нулевого типа при порядке 1 /п. Последнее заведомо выполняется, когда А~] — ограниченный оператор из подходящего вольтерровского класса (теоремы 2.2 и 2.3). Разобран пример для уравнения в частных производных (см. задачу (2.7) и теорему 2.4). Пример связан с результатами А. Н. Тихонова и Е. М. Ландиса для параболических уравнений.

Далее, в § 3, изучаются нуль-решения, т. е. нетривиальные решения уравнения (0.2), удовлетворяющие однородным условиям Коши: и(0) =и'(0) = и<*-1>

0) = 0. 5

Такие решения возникают при определенном выборе оператора А. Оказывается, надо различать два случая: 1) собственные значения А заполняют всю комплексную плоскость; 2) собственные значения А не заполняют комплексной плоскости. В первом случае поведение отдельных нуль-решений может быть весьма замысловатым: становясь ненулевыми, они затем вновь обращаются в нуль, потом опять отличны от нуля и так далее ad infinitum. Второй случай является основным: нуль-решения (если они есть) подчиняются строгим правилам. Например, став ненулевым, нуль-решение u(t) больше уже в нуль не обращается; также отличными от нуля будут производные u'(t), . . , ti(n1)(i). Анализу подобных отношений и посвящен § 3. Основные результаты представлены в теоремах 3.1-3.4. Имеются примеры и комментарии (см. пп. 3.5-3.7).

Итак, в §§ 2, 3 речь идет о самых общих вопросах теории абстрактных дифференциальных уравнений. Заметного прогресса в этой области не было давно — со времен известных работ Э. Хилле и Ю. И. Любича (1950-60-е гг.).

Следующие §§ 4, 5 относятся к более специальной тематике. В § 4 рассмотрена модельная обратная задача: dnu(i) Au(t) + д1 0 < t < Т, ' u(0) = u'(0)= . = и(п1)(0) = О, . «(Г) = О, с неизвестной функцией и : [О, Т] —> Е и неизвестным элементом д € Е. Ранее подобные задачи изучались только для уравнений первого и второго порядков (n = 1 и п — 2) при тех или иных ограничениях на оператор А. Оказалось, что ограничения нужны не всегда. В теореме 4.1 для задачи (0.3) установлен общий критерий единственности решения, использующий лишь собственные значения оператора А и нули целой функции:

1 Л А2 °° Am где п совпадает с порядком уравнения. Функция (0.4) объявляется характеристической для задачи (0.3). Она принадлежит важному классу целых функций типа Миттаг-Леффлера. Между прочим, наше исследование задачи (0.3) привело к определенному прогрессу в теории таких целых функций, инициировав работу Попова [123] с полным описанием нулей функции (0.4) в трудном случае п^З. Впоследствии А. Ю. Попов существенно развил свои результаты (см. [124], [258]). Некоторые вопросы, связанные с нулями функций типа Миттаг-Леффлера, обсуждаются в §§ 4, 5 (см. пп. 4.6 и 5.8).

Добавим еще, что задача (0.3) послужила отправным пунктом для прочих сюжетов, затронутых в главе 1. Многие идеи зародились именно здесь. Например, начальный импульс к изучении нуль-решений (см. § 3) придал такой вопрос: следует ли из соотношений (0.3) с д = 0 то, что u(t) = 0 на [0, Т] ?

0.3) 6

В § 5 близкими методами исследуется краевая задача: йпи{і)

Ип 0) = 0, к м<'>(Т) = О

Аи(і),

О < і < Г,

0.5) называемая обобщенной задачей Уорда. Здесь п ^ 3, р, <? е { О, 1, ., п — 1} — фиксированные числа (параметры задачи). В зависимости от п, р, д вводится характеристическая функция, которая тоже относится к функциям типа Миттаг-Леффлера. Затем устанавливается критерий единственности (см. теоремы 5.1 и 5.2). Идею, перенести результаты с обратной задачи (0.3) на краевую задачу (0.5), автор получил от В. А. Ильина, заметившего, что сочетание краевых условий в задаче (0.3) напоминает известную задачу Уорда [268] из спектральной теории.

Важную роль в §§ 4, 5 играет одно утверждение из теории целых функций, восходящее, видимо, к Карлеману [121; отд. IV, № 199]. Это утверждение, должным образом развитое (см. лемму 5.6), может быть полезным при изучении других краевых задач, где встречаются целые функции порядка р< 1/2. Подобное положение типично для уравнений порядка п ^ 3. Но сейчас оставим тему уравнений высокого порядка.

Следующая глава 2 (§§ 6-12) посвящена нелокальной "по времени" задаче для абстрактного дифференциального уравнения первого порядка. Традиционное условие Коши и(0) = ио заменяется нелокальным условием вида г 0 и (і) ¿¡х(і) = иі

0.6) с заданным элементом Е. В отличие от задачи Коши для нелокальной задачи на конечном отрезке [0, Т] удается построить законченную теорию единственности.

Главный результат содержится в § 6. Рассматривается однородная задача: сЦг) ¿г Аи(і), 0.

0.7)

Здесь Т > 0 — конечное число; скалярная функция //(£) имеет ограниченную вариацию на [0, Т], причем £ = 0 и £ = Т являются точками вариации меры Вводится характеристическая функция: т

Ц\) = [ , J о

Аг лес.

0.8)

Справедлив критерий единственности: для того чтобы однородная нелокальная задача (0.7) имела на [0,Т] только тривиальное решение = 0, необходимо и достаточно, чтобы ни один нуль характеристической функции Ь(Х) из формулы (0.8) не являлся собственным значением оператора А. 7

Возможно, это самый значимый результат работы. Отсутствие ограничений на оператор А (кроме линейности и замкнутости) сильно расширяет круг приложений. В § 6 дано доказательство критерия единственности (под названием теоремы 6.2) и указаны уточнения для некоторых специальных случаев (см. теоремы 6.3-6.6).

В § 7 из основного критерия извлекается ряд удобных достаточных признаков единственности, где уже не требуется точно вычислять нули характеристической функции (0.8). Особо интересна группа теорем 7.3-7.5, связанная с результатами Полиа [254] о распределении нулей функции (0.8) в случае абсолютно непрерывной меры ¿¡ліі.) = г}{Ь) (М со знакопостоянной и монотонной на (0, Т) функцией ??(£).

Два следующих параграфа посвящены обобщениям. В § 8 критерий единственности переносится на более общее уравнение с произвольными линейными замкнутыми операторами А, В, а в § 9 — на более общее нелокальное условие с заданным элементом «2 £ Е. Везде получены законченные результаты (теоремы 8.1 и 9.1). Попутно в § 9 показано, что задача с нелокальным условием (0.9) сводится к задаче с более простым условием (0.6) при должном соответствии между элементами и^ и и\ (см. леммы 9.2 и 9.4). Прием с подходящим преобразованием интегралов Стильтьеса подсказал автору А. М. Седлецкий.

Еще раз подчеркнем, что исследование единственности в нелокальных задачах выполнено в самых общих предположениях; основные требования к операторам в дифференциальных уравнениях сведены к минимуму — только линейность и замкнутость.

При изучении разрешимости нужны более жесткие ограничения. Один из возможных подходов представлен в §§ 10, 11, где бесконечном промежутке 0 ^ Ь < оо рассматривается нелокальная задача: с заданным элементом щ^Е. Оператор А порождает полугруппу 11(1) класса (Со), причем ||С/(£)|| при с константами М ^ 1 и ¿>0, т. е. полугруппа [/(¿) считается экспоненциально убывающей.

В § 10 разбирается случай, когда весовая скалярная функция г){1) ф 0 — неотрицательная и невозрастающая. Такое сочетание условий обеспечивает корректность задачи (0.10) на элементах и\ £ А) (см. теорему 10.1).

В § 11 весовая функция предполагается Т-периодической и локально суммируемой. Здесь удается построить полную теорию корректности, включающую критерий единственности (теорема 11.1) и целый цикл теорем разрешимости (теоремы 11.4-11.7). Условия разрешимости носят спектральный

0.9)

0.10) характер: нули соответствующей характеристической функции не должны попадать на спектр оператора А. Ключевую роль в рассуждениях играют результаты Э. Хилле и Р. Филлипса (см. [202; гл. XVI]) об отображении спектра для интегралов от полугрупп. Разработанная методика допускает перенос на ряд других случаев в задаче (0.10) с абсолютно непрерывной мерой г](і) гМ.

Связь нелокальной задачи с теоремами об отображении спектра, конечно, не является случайной. В § 12 совершен обратный переход: из результатов § б по единственности решения в нелокальной задаче (0.7) выведены новые теоремы 12.1-12.3 об отображении точечного спектра для оператора В, заданного формулой т в/= [ ишам), /єя.

Jo

Тем самым, получено важное продвижение в теории Э. Хилле и Р. Филлипса для случая конечного отрезка [0, Г]. Возможности для приложений открываются сразу же — в главе 3.

В этой главе 3 изучается обратная задача:

Аи(і) + <р(і)д, 0 <І<Т, и(Т) = о,

• Е и неизвестным элементом д Є Е. ЗадансИ и( 0) = 0, с неизвестной функцией и : [0, Т] ная скалярная функция <уг>(2) считается непрерывной и суммируемой на (0, Т), причем </?(£) ф. 0 на (0, Т). В таком скалярном случае2 для задачи (0.11) вводится характеристическая функция гТ

ЦХ) =

А< р(Т-і)<ІЇ, Л є с,

0.12) соотношение между нулями которой и собственными значениями оператора А определяет ситуацию с единственностью решения.

В середине 1990-х гг. про единственность решения в задаче (0.11) было известно не много. Имелись отдельные результаты в предположении, что оператор А порождает Со-полугруппу; также применялась техника Фурье. Но общая картина не складывалась. Тогда Ю. С. Эйдельман указал в частном сообщении автору на связь между вопросом единственности решения в задаче (0.11) и некоторыми проблемами "полноты" для системы экспонент {еЛй<}, построенной по нулям {А*;} характеристической функции (0.12). Похожие соображения когда-то применял Эйнар Хилле при доказательстве теоремы о точечном спектре полугруппы, порожденной оператором А (см. [201; с. 384]). Развивая идею Эйдельмана, автор смог выявить практически все возможности, возникающие в задаче (0.11) с единственностью и неединственностью решения, причем удалось исследовать как привычный полугрупповой случай, так и общий случай линейного замкнутого оператора А. Последнее оказалось весьма неожиданным.

2Известен еще операторный случай, когда неоднородное слагаемое в уравнении имеет вид Ф(¿)<7 с операторной функцией Этот случай сложнее, здесь используются другие методы (см., например, [140] или [259]). 9

Глава 3 (§§ 13-16) дает полное изложение построенной теории.

В § 13 приведена точная постановка обратной задачи (0.11), выяснена связь с характеристической функцией (0.12), разобраны типичные примеры неединственности. В конце параграфа указаны основные ссылки по задаче (0.11).

В § 14 при помощи теорем об отображении точечного спектра (см. § 12) установлен исчерпывающий результат в предположении, что оператор А порождает Со-полугруппу. Полученный критерий единственности (теорема 14.1) использует только нули характеристической функций (0.12) и собственные значения оператора А. Приходится учитывать также поведение функции ср^) в точке 1 = Т. Ж все.

Затем, в § 15, рассматривается общий случай линейного замкнутого оператора А. Здесь требуется особая техника, связанная со свойствами целой функции (0.12). Примененный прием известен в комплексном анализе, как "метод частных". Важную роль в рассуждениях играет поведение функции в точках ¿ = 0 и ¿ = Т. Пусть, например, р £ С([0,Т]), причем <р(0)^0 и ц>(Т)ф 0. Тогда справедлив критерий единственности (см. теорему 15.1): для того чтобы однородная обратная задача (0.11) имела на [0, Т] только тривиальное решение и{€) = 0, д = 0, необходимо и достаточно, чтобы ни один нуль Ад; характеристической функции Ь(Х) из формулы (0.12) не являлся собственным значением оператора А.

Более универсальный результат такого рода требует введения особого дефектного значения для функции (см. определение 15.1 в п. 15.4). Похожую характеристику некогда использовал Ю. И. Любич в работе [94] о собственных и присоединенных функциях оператора дифференцирования ¿/(И с "размазанным" по отрезку нелокальным условием. Как выяснилось, идеи Любича тесно соприкасаются с нашей тематикой. В теореме 15.2 показано, что если ¿у < оо, то критерий единственности в обратной задаче сохраняется. С помощью условия < оо можно ослаблять требования <¿>(0) / 0 и <р(Т) ф 0, допуская, что (/>(■£) имеет в точках ¿ = 0 и 1 — Т нули конечного порядка (теорема 15.3). Однако, если в ^ = 0 и ¿ = Т функция имеет нули бесконечного порядка, то ду = оо, и здесь возникает интересный пример неединственности (см. п. 15.6), показывающий, что основной критерий нарушается.

В отдельный § 16 вынесен случай положительной и монотонной на (0, Т) функции </?(■£). Для обратной задачи (0.11) установлены удобные достаточные признаки единственности, не требующие точного вычисления нулей характеристической функции (0.12) (см. теоремы 16.2 и 16.3). Аналогичный подход использовался в § 7 для нелокальной задачи (0.7). В конце § 16 обсуждается связь подобных результатов с рядом работ по обратным задачам, где также применялись "соображения монотонности" (А. И. Прилепко, В. М. Исаков, В. В. Соловьев, А. Б. Костин, И. В. Тихонов и др.).

Таковы результаты по абстрактным дифференциальным уравнениям.

Всякую общую теорию полезно "спроецировать" на конкретный пример. В виде иллюстрации выбрана модельная нелокальная задача для многомерного уравнения теплопроводности; ей посвящена заключительная глава 4 (§§ 17-20). Работа над задачей проходила совместно с А. Ю. Поповым. Соавтор выяснил поведение на бесконечности некоторых функций, возникших по

10 ходу исследования. Вклад А. Ю. Попова четко отмечен в тексте главы 4.

Пусть х — (#1,., хп) Е К™ с размерностью п ^ 1 и |ж| = у/х\ + . + х\. Через Д обозначим обычный оператор Лапласа:

А=— — дх\ ' дх\'

При фиксированном Т>0 ставится задача о нахождении функции и = и(х. из соотношений ди = Ди, х € К", 0 < г < Т,

0.13) с заданной функцией /о £ С(КП). Предполагаем, что и € С2,1(КП х (0,Т]) П С(КП х [0,Т]).

Точная постановка задачи дана в § 17. Сразу показано, что в задаче (0.13) нет, вообще говоря, единственности решения, причем неединственность связана с возможным наличием у оператора Лапласа в Кп собственных значений А & вида к€Х\{ 0}, г2 = —1.

В теореме 17.1 выявлены соображения, следующие из абстрактной теории, но для их применения требуются специальные сведения об операторе Лапласа.

Сведения о Д собраны в следующем § 18. Оператор Лапласа берется в пространстве С(КП) на области определения С2(КП). Показано, что тогда Д замыкаем при любом п ^ 1, но не замкнут при п ^ 2. Рассмотрено замкнутое расширение — расширенный оператор Лапласа Д* (оператор Лапласа-Привалова), свойства которого подробно обсуждаются в п. 18.4. Далее выясняется асимптотическое поведение комплексных собственных функций оператора Лапласа. Установлено (А. Ю. Попов), что таким собственным функциям присущ определенный экспоненциальный рост при |ж| —> оо.

Теперь можно вернуться к нелокальной задаче (0.13). В § 19 изучается вопрос единственности решения. При фиксированном <т £ К. вводится класс функций удовлетворяющих оценке

НМ)| ^Ме*'*', жеГ, 0 ^ г < Т, (0.14) с константой М > 0, зависящей от функции ¿). Тогда при а < л/тг/Т экспоненциальный класс (0.14) будет классом единственности для задачи (0.13), а при <7 ^ у ж/Т— классом неединственности (см. теорему 19.1). Введена также более тонкая классификация, учитывающая связь с размерностью п (см. теорему 19.2 и текст после нее). и

Заключительный § 20 посвящен разрешимости. Поскольку исследование задачи (0.13) проходит в экспоненциальных классах типа (0.14), то достаточно найти начальное состояние ио(х) = и(х, 0) решения и(х,£). Посредством формального преобразования Фурье выведена разрешающая формула: ио{х)= [ дт{х-у)}0{у)<1у - ТД/о(х), хеЕп. (0.15)

Формула содержит специальную функцию Грина

Оценку дт(х) на бесконечности получил А. Ю. Попов. Он показал, что дт(х (0.16) с константой £)0 = п) зависящей лишь от Т и га. Подробности про функцию дт(х) собраны в п. 20.5 (см. в особенности лемму 20.5).

На основе оценки (0.16) дано обоснование разрешающей формулы и доказана разрешимость нелокальной задачи (0.13) в экспоненциальных классах (0.14) при а < \/тт/Т. Попутно выявлено много нюансов: оказывается, например, что для применения формулы (0.15) в полном объеме надо заменить в ней обычный оператор Лапласа Д расширенным оператором Лапласа Д*. Наиболее общий результат по разрешимости представлен в теореме 20.3. Там учтены практически все возможности.

В итоге для нелокальной задачи (0.13) получено полное описание классов единственности и разрешимости в терминах экспоненциального поведения решений при |ж|—»■ оо. Как часто бывает, при работе с конкретной моделью обнаружилось много обстоятельств, неразличимых в контексте абстрактной теории.

В изложении всех вопросов автор стремился к максимальной точности и последовательности. Возможно поэтому текст местами выглядит чрезмерно педантичным. Но серьезных математических трудностей при чтении быть не должно — все детали раскрыты полностью; там, где необходимо, сделаны конкретные отсылки к литературе.

При сопоставлении результатов автор упоминал все известные ему обстоятельства, прямо или косвенно связанные с темой исследования, хотя, наверняка, что-то осталось не замеченным. Это могло произойти лишь по неведению или по добросовестному заблуждению — математический анализ и дифференциальные уравнения слишком обширная область для одного человека.

Во время работы автор ощущал неизменную поддержку своего учителя А. И. Прилепко, бывшего в курсе всего исследования. Многие результаты получены благодаря научным контактам с Ю. С. Эйдельманом и А. Ю. Поповым. Большое влияние оказали советы В. А. Ильина и А. М. Седлецкого. Отдельные вопросы обсуждались с В. В. Власовым, А. Б. Костиным, В. Б. Шерстюковым. Всем названным коллегам выражаю свою искреннюю признательность.

12

Терминология, обозначения, соглашения

В работе используются стандартные термины и обозначения. Особо оговорим только некоторые моменты.

Интервалы. Следуя Бурбаки [10; с. 149], интервалом J CR называем всякое связное подмножество вещественной прямой, содержащее более одной точки. Таким образом, [а, Ь], [а, Ь), (а, Ь], (а, 6), [а, со), (а, оо), (—оо,Ь], (—оо,Ь), (—со, оо) — интервалы. Этот обобщенный термин "интервал" будем применять там, где неважен явный вид подмножества J СІ. В более конкретных случаях, например, для J — [0,Т] будем говорить про "отрезок [0,Т]".

Скаляры. Все числовые функции по умолчанию считаем комплекснознач-ными, а линейные пространства — комплексными. При необходимости будут сделаны специальные оговорки относительно вещественного случая.

Всюду в работе і — мнимая единица, г2 = — 1.

Операторы. Рассматриваем только линейные операторы в линейных (чаще банаховых) пространствах.

Если А — линейный оператор в пространстве Е с областью определения D(A) С Е, то его ядро и образ обозначаем соответственно через N(A) и R(A). Таким образом,

N(A) = {/ є D(A) : Af = 0}, R{A) — {g Є E : Af = g для некоторого / Є D{A)}.

Собственным значением оператора А считаем число Л Є С, для которого существует ненулевой элемент / Є D(A), такой, что Af = А/. При этом / называется собственным вектором оператора А. Для вещественного оператора А в вещественном пространстве Е комплексное собственное значение Л = а + і/З (а,/0ЄІК., РФ 0) понимаем как обычно: А(/ + ід) — (а + i/3)(f + ig) с некоторыми ненулевыми f,g(zD(A). Точнее,

Af = af- ¡ig, Ag = [lf + ag.

При этом / + ig считаем комплексным собственным вектором, принадлежащим комплексификации Ее = Е + ІЕ.

Для единичного оператора используем символ I. Резольвенту, резольвентное множество и спектр линейного замкнутого оператора А обозначаем через (ЛI — А)~1, р(А) и <7(А) соответственно.

Сопряженное пространство. Если Е — банахово пространство, то Е* — сопряженное к нему, т. е. пространство линейных непрерывных функционалов на Е. Часто используем принцип скаляризации: к векторной ситуации применяем функционал /* Є Е*, рассматриваем скалярную задачу и сделанные выводы переносим на векторный объект при помощи теоремы Хана-Банаха. Там, где рассуждения повторяются (или очевидны), сразу переходим к выводам, не упоминая ни про функционал /*, ни про теорему Хана-Банаха.

13

Теория полугрупп. Под "полугруппой " всегда понимаем полугруппу линейных ограниченных операторов класса (Со) или просто Со-полугруппу, действующую в банаховом пространстве Е. Чаще всего такую полугруппу обозначаем через и{Ь), а ее производящий оператор — через А. Связь между теорией полугрупп и абстрактными дифференциальными уравнениями считаем известной. Основные источники здесь — руководства Хилле [201], Хилле, Филлипса [202], Крейна [84], Пази [250]. Много полезных сведений содержат обзоры Крейна, Хазана [85], Васильева, Крейна, Пискарева [14] и коллективные монографии [81], [218]. Первое представление о предмете можно получить из книги Треногина [195; § 31]. Обычно нам требуются самые простые сведения, да и те по ходу дела напоминаются.

Уточним лишь, что полугруппа £7(£) называется экспоненциально убывающей, если 11^7(^)11 ^ Ме~6г при £ ^ 0 с константами М ^ 1 и с) > 0. В этом случае спектр производящего оператора А принадлежит полуплоскости Ые А ^ —5 < 0, а ограниченный оператор (—А)-1 : Е —У Е вычисляется по формуле:

•ОО

-А)-1/= / итя, /€Я,

Jo причем ||(—А)1||^М/5. Экспоненциально убывающие полугруппы возникают при описании строго диссипативных систем.

Интеграл Стильтьеса. Теория векторного интегрирования подробно изложена в трактате Хилле, Филлипса [202; гл. III]; хорошее сжатое изложение дано в книге Треногина [195; § 25]. Для функции и € С([0, Т]; Е) со значениями в банаховом пространстве Е часто рассматриваем векторный интеграл Римана-Стильтьеса:

Уо

Здесь jj.it) — заданная скалярная функция, имеющая ограниченную вариацию на [0, Т] с К. и порождающая соответствующий процесс интегрирования (интегрирующая функция). При помощи принципа скаляризации векторный интеграл легко сводится к скалярному. В скалярном случае манипуляции с интегралами Стильтьеса выполняем без пояснений, если соответствующий материал есть в книге Натансона [110].

Для функций ограниченной вариации всюду в работе принято соглашение: значение в каждой внутренней точке £ £ (0, Т) совпадает с одним из пределов + 0) или — 0). Это гарантирует, что тривиальный интеграл Римана-Стильтьеса порождается только тождественными константами.

Точка ¿о € [0, Т] называется точкой вариации меры если функция не обращается в тождественную константу ни в какой окрестности В частности, £ = 0 и £ = Т являются точками вариации меры с1ц{1) тогда и только тогда, когда Уаг {/•<(£)} |д > 0 и Уаг {/"(£)}\Т£ > 0 при любом малом е > 0. В таком случае интеграл Римана-Стильтьеса по мере не допускает сужения с отрезка [0, Т] ни на какой меньший отрезок. Иногда вместо "точек вариации" меры с?/1(£) говорят про "точки роста" функции но этот последний термин использовать не будем.

14

Монотонные функции. Во избежание недоразумений отметим, что под монотонной функцией на интервале J С R. понимаем вещественную неубывающую или невозрастающую функцию, определенную всюду на J. В частности, монотонная функция на отрезке [О, Т] конечна во всех точках отрезка и имеет ограниченную вариацию на [О, Т]. Вещественная функция называется строго монотонной на J, если она строго возрастает или строго убывает на J.

Целые функции. Основные понятия из теории целых функций одной переменной см. в книгах Левина [90], [245], Леонтьева [92], [93], Маркушевича [100], Полиа, Сегё [120], [121], Стоилова [174]. Уточним лишь несколько деталей.

Если F{А) — целая функция, то множество ее нулей обозначаем через Л(F). Всюду в работе нумерация нулей проводится без учета кратности. Вопрос о кратности нулей отдельно оговаривается.

Как обычно, если запись целой функции содержит устранимые особенности, то особенности устраняются "по умолчанию". Например, формула

F(А) = Л € С, подразумевает, что .F(O) = 1.

Определения порядка и типа целой функции считаем известными. Перенос этих понятий на векторные целые функции не представляет труда; подробности см. у Хилле [201; с. 83] и Хилле, Филлипса [202; с. 118].

Вместо неуклюжего словосочетания "целая функция, растущая не выше минимального типа порядка рп используем более простой оборот — "целая функция нулевого типа при порядке р". Здесь р > 0 — фиксированное число. Целая функция F{Л) называется функцией нулевого типа при порядке р, если для любого е > 0 существует число r£ = re(F) > 0, такое, что

F(X)\ < ехР(е|А|р), |Л|^гв.

При р = 1 функция F(Л) называется целой функцией нулевого экспоненциального типа (ср. [272; с. 61 и 71]). Аналогичные определения для векторных целых функций получаются при замене |.F(A)| на ||.F(A)||.

Непосредственно проверяется, что если F(А) — целая функция нулевого типа при порядке р, то функция Fj (А) = F(aXn + Ь) с фиксированными значениями а, Ь G С, п £ N, будет функцией нулевого типа при порядке р\—пр. В частности, F(aX + b) — функция нулевого типа при исходном порядке р. Если же F(X) имеет нулевой тип при порядке р=1/п, то Fl (А) = F(aXn + b) будет целой функцией нулевого экспоненциального типа.

Факториалы. Обозначение факториала а\ используем для всех комплексных а с оговоркой, что ( — 1)! = (—2)! = (—3)! = . = оо. Имеет место обычная связь с Г-функцией: а! = Г(а + 1). При Кеа > — 1 справедливо представление

•оо />оо а\= tae-4t= / ealnt-fdi.

J о J о

Функция 1 /а! является целой с простыми нулями в точках а* = —к, к G N.

15

Задачи и решения. В работе изучаются разные дифференциальные уравнения и задачи для них. Понятие "решения" вводится каждый раз заново, обычно при постановке задачи в начале параграфа.

Классическое решение должно обладать соответствующей полной гладкостью и обращать все соотношения в задаче в верные тождества. Помимо классических, иногда вводим ослабленные решения. Здесь дифференциальное уравнение выполняется во внутренних точках интервала, а на границах (или на одной из границ) предъявляются пониженные требования гладкости (ср. [84; с. 76]). Там, где это не приводит к недоразумениям, вместо "классических" или "ослабленных" говорим просто про решения задачи. Для некоторых задач рассматриваем также обобщенные решения. Так называются функции, удовлетворяющие какой-то проинтегрированной версии уравнения.

Под тривиальным решением линейной однородной задачи понимаем решение, совпадающее с тождественным нулем. Ситуацию с наличием нетривиальных решений часто удается выразить через элементарные решения, т. е. решения с "разделяющимися переменными" вида Здесь у({) — скалярная функция вещественной переменной а / — элемент основного пространства Е, в котором изучается задача.

Соотношения между всеми типами решений всегда четко оговариваются.

Технические символы. Значок □ отмечает окончание доказательства, а значок 0 — завершение нумерованного примера.

16