Линейные системы уравнений с кратными старшими частными производными тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Миронова, Любовь Борисовна

• Миронова, Любовь Борисовна
• кандидат физико-математических наук
• 2005

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Миронова, Любовь Борисовна

Введение

Глава 1. Общая схема метода Римана в Rn и некоторые подготовительные результаты

§ 1. Существование и единственность решений задач Гурса, Коши и смешанной задачи

§ 2. Построение решений задач в терминах матрицы Римана

§ 3. Об одном частном случае системы с некратным дифференцированием

§ 4. Однозначная разрешимость одного класса систем интегральных уравнений

Глава 2. Система с двукратными старшими частными производными в R

§ 5. Теоремы существования и единственности решения трех задач

§ 6. Применение метода Римана к тем же задачам.

6.1. Матрица Римана, ее основные свойства и матричное тождество

6.2. Решение основной характеристической задачи

6.3. Другой вариант участия нормальных производных в граничных условиях

6.4. Построение решения задачи Коши

6.5. Формулы решения смешанной задачи

§ 7. Задачи с граничными условиями на трех и четырех сторонах характеристического прямоугольника

7.1. Задачи с условиями на трех характеристиках.

7.2. Задачи с условиями на всех сторонах характеристического прямоугольника

Глава 3. Задачи в пространстве Я

§ 8. Постановка основных задач. Теоремы существования и единственности

§ 9. Метод Римана.

9.1. Определение матрицы Римана

9.2. Решение основной характеристической задачи

9.3. Построение решения задачи Коши

9.4. Формулы решения смешанной задачи

§ 10. Задачи с граничными условиями на четырех, пяти и шести сторонах характеристического параллелепипеда.

10.1. Задачи с условиями на четырех характеристиках.

10.2. Задачи с условиями на пяти характеристиках

10.3. Задача с условиями на всех сторонах характеристического параллелепипеда.

Глава 4. Некоторые обобщения на случай пространства произвольного числа измерений

§ 11. Теоремы существования и единственности.

§ 12. Метод Римана

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Линейные системы уравнений с кратными старшими частными производными»

Исходным моментом для темы предлагаемой диссертации послужили работы ряда авторов по исследованию системы уравнений первого порядка ди п

- = ^T,aik{xi,. ,хп)щ + /г(жь . ,хп): г = 1, — ,гг, (1) °Xi к=1 интересной, в частности, с точки зрения применения получаемых результатов к изучению важных в теоретическом и практическом отношении дифференциальных уравнений смешанного типа (например [3], [6], [7], [36], [39], [47], [48], [49], [58], [65]).

Аналогичная система высокого порядка имеет, очевидно, вид dk'vs , ( dkl lvi dkn~lvTl\ s = 1,., п, где fs — линейные относительно аргументов г/i, . , функции.

Путем введения новых искомых функций можно представить (2) как частный случай системы т п uixj =Ч^2ац(хи.1хп)щ-{- fi(xi:.,xn), (3) г=1 г=1 если 1 ^ I ^ hi, то j = 1, если + 1 ^ I ^ ki + то j = 2, если &1 + &2 + I ^ I ^ + + то j = 3, . , если то j = п. Именно (3) и является предметом исследования в настоящей работе.

Основным инструментом служит адаптация метода Римана к рассматриваемой системе уравнений. Для гиперболического уравнения иху + а(х, у)их + Ь(х, у)иу + с(х, у)и = /(ж, у), (4) а также системы (в этом случае а, 6, с — известные матричные функции, / — известная, и — искомая векторные функции) этот метод хорошо известен и применяется при построении решений и исследовании широкого круга задач [1], [4], [8], [9], [40], [50]. В ряде работ В.И. Жега-лова и его учеников этот метод был распространен на класс уравнений со старшими частными производными

Di + D2)u = f(xu.,xn), (5) где

Qki+••■+&„

D1 = дх^ .дх a Z?2 — линейный дифференциальный оператор с переменными коэффициентами, содержащий лишь производные, получаемые из отбрасыванием по крайней мере одного дифференцирования [18], [19], [20], [21], [22], [24], [25], [26], [27], [28], [41], [42], [43], [44], [45], [54], [55], [56], [59], [60]. Одним из основных моментов в работах этих авторов было определение функции Римана как решения уравнения типа Вольтерра. Другие варианты метода Римана предлагались в работах многих российских и зарубежных математиков [12], [13], [57], [61], [70], [71], [73], [79], [82], [83], [84], [85], [86], [87], [88].

Отметим, что некоторые частные случаи уравнения (5) при п = 2 исследовались с разных точек зрения многими авторами [10], [11], [15], [16], [17], [67], [68], [69], [72], [74], [75], [77], [78], [80], [81]. Интерес к уравнению (5) объясняется его приложениями в теориях фильтрации жидкости в трещиноватых средах, поглощения влаги корнями растений, колебаний стержней с учетом эффектов поперечной инерции, распространения волн в диспергирующих средах.

Э. Хольмгрен [76] распространил метод Римана на системы уравнений первого порядка с двумя независимыми переменными. В работе Б.Н. Бурмистрова [7] результаты Хольмгрена развивались с целью решения задачи Коши, возникшей в связи с исследованием граничной задачи для системы уравнений смешанного типа на плоскости. А.А. Андреев [2] с помощью метода Римана изучил системы уравнений вида (4) при наличии у матриц-коэффициентов особенностей.

Вместе с тем многие авторы исследовали системы дифференциальных уравнений с частными производными, не прибегая к схеме, предложенной Э. Хольмгреном. Так, в работах Т.В. Чекмарева [62], [63], [64], [65] решение задачи Гурса для (1) с условиями 'Pifali • ■ ■ j 1) ■ • • ? *En)j 2 — 1, . . . , (6) строится методом последовательных приближений. На полученных формулах основывается вывод формул решений задач Коши и Дарбу. Отметим также работу [5], в которой были предложены формулы интегрального представления решений задач Коши и Гурса для (1) при п = 2, позволяющие установить их структурные свойства.

Таким образом, система (3) может рассматриваться как обобщение некоторых уравнений, изучавшихся в различных аспектах целым рядом авторов.

Главу 1 настоящей диссертации можно рассматривать как определенное распространение рассуждений из [76], [7] на случай системы (3). При этом используется указанная выше идея из работ В.И. Жега-лова и его учеников: элементы матрицы Римана вводятся как решения некоторых систем интегральных уравнений типа Вольтерра, решение каждой из этих систем существует и единственно в классе непрерывных функций (заметим, что в работе [7] матрица Римана также определялась как решение системы интегральных уравнений, но система там имела другой вид). Далее доказывается матричное дифференциальное тождество, интегрированием которого получены решения задач Гурса и Коши (при выводе формул решения задачи Коши существенно используется аппарат дифференциальных форм).

Очевидно, что вышеизложенные рассуждения проходят и в более простом случае, когда дифференцирование искомых функций системы (2) однократное. В связи с этим возникает вопрос: как соотносятся полученные результаты с ранее изученными Т.В. Чекмаревым в [62], [63], [64], [65] случаями? В § 3 с этой точки зрения рассматривается гиперболическая система щх = an(x,y)ui + a12{x,y)u2 +fi{x,y),

7)

U2У = a2i(x> у)и 1 + а22(ж, у)и2 + /г(аг, у).

В § 4 рассмотрен вопрос об однозначной разрешимости некоторой системы интегральных уравнений, на которую указаний в литературе автору обнаружить не удалось. Эти результаты требуются при доказательстве утверждений в главе 3.

Следующие главы посвящены исследованию различных граничных задач для системы с двукратными старшими производными п ди п • •' + 12 • • •' хп)щ+ г=1 dXk г=1 (8) fk{x 1> • • • > к — 1, 71.

На примере системы (8) хорошо видно, как результаты главы 1, относящиеся к системе (3), могут быть применены к системе (2) (алгоритм сведения (2) к (3) одинаков при любом порядке производных в левых частях уравнений системы (2)). В то же время для детального исследования требуется ограничиться каким-то более определенным классом систем (2). В качестве такого класса, на примере которого демонстрируются возможности метода Римана, в настоящей диссертации взяты системы с двукратными старшими производными. Представляется, что они являются моделями, на основе которых можно строить определенные предположения об изучении систем с производными любой конечной кратности. Наиболее подробно в диссертации рассмотрены системы с двукратным дифференцированием в R2 и R3. Это, в частности, связано с тем, что получаемые результаты легко интерпретировать геометрически.

В главе 2 рассмотрен случай п = 2: ихх = ai(x, y)vx + &i(>, у)и + ci(x, y)v + fi(x, у), vyy — a2(x, y)uy + b2(x, y)u + с2(ж, y)v + /2(ж, y).

При этом в замыкании рассматриваемой области D плоскости (х,у) выполняются включения ai, а2 6

С2, bubo, ci, с2, /i, /2 € С1. Решение (9) класса и, v £ C1(D), ихх, £ C'(D) называем регулярным в D.

В § 5 методом интегральных уравнений доказывается существование и единственность решений следующих задач.

Основная характеристическая задача. В области G = {ссо < х < xi, уо < у < у{\ найти регулярное решение (9), удовлетворяющее условиям у) = <pi(y), (их - aiv)(xQ, у) = <р2(у), v(x,yo) = Tpi(x), (vy - а2и)(х,уо) = ф2(х),

Р\М, Ч>1 (у) G CHbo^i]), W®)» Ых) ^ C^N,^])

Эта задача играет существенную роль при исследовании других, рассматриваемых далее, задач.

Задача Коши. Пусть D — треугольная область плоскости (х,т/), ограниченная характеристиками х = xi, у = yi, х\ > 0, у\ > О, и отрезком кривой Т,: у = &(х), сг'(ж) < О (S — кривая класса С2). Для определенности положим у\ = сг(0), cr(xi) = 0. Требуется найти регулярное в D решение (9), удовлетворяющее условиям dv

ЧЕ = Ыж), Че = vo(®)» «!.(*), дп ^ю(аг), Е п — внешняя нормаль к Е, u0, vo Е С2([0, cci]), uxo, г/щ € C1([0,a;i]).

Смешанная задача. Пусть Dq — область плоскости (х,у), ограниченная характеристиками х = у = т/i, х\ > 0, у\ >0, осями координат и отрезком АВ кривой Е: у = сг(ж), о'{х) < 0, принадлежащей классу С2. При этом кривая отсекает от характеристического прямоугольника угол с вершиной (0,0), А = (#2,0), В = (0,2/2)- Обозначим Y = {х2 < х < жх, У = 0}, X = {х = 0, у2 < у < Ух}

Требуется найти регулярное в Dq решение (9), удовлетворяющее на характеристиках х = 0, у — 0 условиям рассмотренной выше характеристической задачи, а на Е — условиям Коши що{у), Е Ую(х), (ux-a1v)\T= (р(у), (vy-a2u)|F = ^(rc), дп dv дп Е п — внешняя нормаль к Е, щ, (р Е СХ([2/2,2/i])> Ф G С1([ж2, a^i]), Що Е С2([у2,2/i])j vw Е С2([х2,^х]). Кроме того, должны выполняться условия согласования их Е С(Е U X), vy Е С(Е U F).

В § 6 в терминах матрицы Римана строятся формулы решений сформулированных выше задач.

При рассмотрении граничных условий основной характеристической задачи нетрудно заметить, что эти условия отличаются определенной несимметричностью. В том же § б исследуются условия разрешимости задачи 2.1 с более «симметричными» условиями (производные искомых функций входят в граничные условия равноправно).

Задача 2.1. Найти регулярное в G решение системы (9), удовлетворяющее условиям и(х0,у) = х(у), v(x, у0) = Кх)> ап(у)их{х о, у) + au(y)vx (ж0, у) = mi(y), a2i(x)uy(x,yo) + a22{x)vy(x,y0) = т2(х).

Предполагается, что выполняются условия гладкости ац> а\2 €

С1{[Уъ,У\]), а21, «22 G C^^o^i]), mi € Cl([yQ,yi\), т2 в Cl([x0,£i]), причем а?2 ^ 0, aJi + <4 ^ 0.

Исследуется задача 2.1 путем сведения к основной характеристической задаче. Оказывается, что эта задача может быть разрешима как однозначно, так и с точностью до одной или двух произвольных постоянных. Задачи со сходными линейными комбинациями в граничных условиях исследовались В.И. Жегаловым и Н.Х.Х. Зомотом для системы (1) при п = 2, 3 и в общем случае [23], [27], [30], [32], [33].

В § 7 выделяются достаточные условия однозначной разрешимости задач для характеристического прямоугольника G = {яо < х < я и Уо < У < 2/1} с граничными условиями на трех и четырех сторонах G. При этом указанные задачи редуцируются к основной характеристической задаче. Приведем некоторые примеры.

Задача 2.2. Найти в G регулярное решение (9), удовлетворяющее условиям и(х0:у) = (pi{y), (их - a:v)(x0,у) = <р2(у), (vy - а2и)(х, т/о) = Ф1 (ж), v(x, г/1) = х(ж),

Р2(у) е Cl([yu,yi}), х(ж) G (^([zczi]).

Обозначим сю = с\ — aix, &20 = Ь2 — а2у.

Теорема 2.5. Если аь а2 Е C2(G), Ьь Ь20, сю, с2, /ь /2 £ Cl{G), с2(х,у) ) 0 б G, то существует единственное решение задачи 2.2.

Задача 2.4. Найти в G регулярное решение (9), удовлетворяющее условиям и(х0,у) = <pi(y), (их - aiv)(xuy) = ср2{у), v{x,yQ) = ф\(х), (vy - a2u)(x,yi) = ф2(х),

PiЫ> Ч>2.Ы) £ C\[yQ,yi]), ф\{х), ф2(х) в ^([аго,

Теорема 2.7. Если аь а2 е C2(G), 6Ь Ь2о, сю, с2; /ь /2 G CX(G) и в G выполняется одно из условий у) = сю(ж, у) = с2(ж, у) = 0, 6i(®, у) ^ О, а2(х,у) = Ь20(х,у) = 0, с2(х,у) ^ О, то решение задачи 2.4 существует и единственно.

В главе 3 основные результаты главы 2 переносятся на трехмерное пространство.

В главе 4 рассмотрены основная характеристическая задача, задача Коши и смешанная задача в пространстве любого конечного числа измерений.

Отметим, что как в главе 1, так и в последующих главах, рассматриваются сходные задачи (задача Коши, смешанная задача). Однако в постановке этих задач имеются значительные различия, связанные с различным порядком уравнений, входящих в системы (3) и (8). Например, в случае задачи Коши в граничных условиях для (8) присутствуют значения производных искомых функций, в то время как для (3) нужно задавать лишь граничные значения самих искомых функций. Это приводит к различиям в деталях доказательств и в формулировках теорем существования и единственности, а также в записи формул, дающих решение задач. Поэтому целесообразно получить формулы решения, например, задачи Коши для (8) в явном виде, а не ссылаться на соответствующий результат для (3).

На защиту выносятся следующие результаты.

1. Разработка нового варианта метода Римана для системы (3). Получение в терминах матрицы Римана решений задач Гурса, Коши и смешанной задачи для (3).

2. Получение в терминах матрицы Римана решений основной характеристической задачи, задачи Коши и смешанной задачи для (8) в пространствах й2, й3 и в пространстве любого конечного числа измерений.

3. Постановка различных характеристических задач для (8) в пространствах R2 и i?3, исследование вопросов их разрешимости.

Основные результаты диссертации отражены в публикациях [89] - [97].

По мере получения они докладывались на семинарах кафедры дифференциальных уравнений Казанскго государственного университета. Были сделаны доклады на международной научной конференции «Актуальные проблемы математики и механики», посвященной 200-летию Казанского государственного университета и 70-летию НИИ математики и механики имени Н.Г. Чеботарева (Казань, 2004 г.), на VII международной научной школе-конференции «Теория функций, ее приложения и смежные вопросы» (Казань, 2005 г.).

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Миронова, Любовь Борисовна, 2005 год

1. Адамар Ж. Задача Коши для линейных уравнений с частными производными гиперболического типа. — М.: Наука, 1978. — 352 с.

2. Андреев А.А. Построение элементарных решений и решение задачи Коши для уравнений и систем уравнений гиперболического типа. Автореф. . дисс. канд. физ.-мат. наук. — Душанбе, 1981. — 13 с.

3. Бицадзе А.В. Некоторые классы уравнений в частных производных. — М.: Наука, 1981. — 448 с.

4. Бицадзе А.В. Уравнения математической физики. — М.: Наука, 1982. — 336 с.

5. Бицадзе А.В. О структурных свойствах решений гиперболических систем уравнений в частных производных // Матем. моделирование. — 1994. — Т. 6, № 6. — С. 22-31.

6. Бурмистров Б.Н. О некоторых краевых задачах типа задачи Франкля для систем уравнений первого порядка смешанного типа. Автореф. . дисс. канд. физ.-мат. наук. — Казань, 1970. — 10 с.

7. Бурмистров Б.Н. Решение задачи Коши методом Римана для системы уравнений первого порядка с вырождением на границе //Труды семинара по краевым задачам. — Казанск. ун-т, 1971. — Вып. 8. — С. 41-54.

8. Векуа И.Н. Новые методы решения эллиптических уравнений. — М. Л.: Гостехиздат, 1948. — 296 с.

9. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. — М.: Наука, 1971. — 512 с.

10. Водахова В.А. Краевая задача с нелокальным условием A.M. Наху-шева для одного псевдопараболического уравнения // Дифференц. уравнения. — 1982. — Т. 18, № 2. — С. 280-285.

11. Водахова В.А. Об одной краевой задаче для уравнения третьего порядка с нелокальным условием A.M. Нахушева // Дифференц. уравнения. — 1983. — Т. 19, № 1. — С. 163-166.

12. Волкодавов В.Ф., Николаев Н.Я., Быстрова O.K., Захаров В.Н. Функции Римана для некоторых дифференциальных уравнений в n-мерном евклидовом пространстве и их применения. — Самара, 1995. — 76 с.

13. Волкодавов В.Ф., Захаров В.Н. Функция Римана для одного класса дифференциальных уравнений в трехмерном евклидовом пространстве и ее применения. — Самара, 1996. — 52 с.

14. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. — М.: Наука, 1967. — 576 с.

15. Джохадзе О.М. Задача типа Дарбу для уравнения третьего порядка с доминирующими младшими членами // Дифференц. уравнения. — 1996. — Т. 32, № 4. — С. 523-535.

16. Джохадзе О.М. Об инвариантах Лапласа для некоторых классов линейных дифференциальных уравнений в частных производных // Дифференц. уравнения. — 2004. — Т. 40, № 1. — С. 58-68.

17. Жамалов Р.С. Смешанная задача для одного эволюционного уравнения // Неклассические дифференциальные уравнения в частных производных. — Новосибирск, 1988. — С. 126-130.

18. Жегалов В.И. Трехмерный аналог задачи Гурса // Неклассические задачи и уравнения смешанного типа. — Новосибирск, 1990. — С. 94-98.

19. Жегалов В.И., Севастьянов В.А. Задача Гурса в четырехмерном пространстве // Дифференц. уравнения. — 1996. — Т. 32, № 10. — С. 1429-1430.

20. Жегалов В.И., Севастьянов В.А. Задача Гурса в n-мерном пространстве // Сибирский матем. журнал, Новосибирск, 1997. —Деп. в ВИНИТИ 08.07.97, № 2290-В97. — 4 с.

21. Жегалов В.И. О трехмерной функции Римана // Сибирский матем. журнал. — 1997. — Т. 38, № 5. — С. 1074-1079.

22. Жегалов В.И., Котухов М.П. Об интегральных уравнениях для функции Римана // Изв. вузов. Математика. — 1998. — № 1. — С. 26-30.

23. Жегалов В.И., Зомот Н.Х.Х. Линейная характеристическая задача для системы уравнений в частных производных первого порядка // Казанский ун-т, 1998. — Деп. в ВИНИТИ 10.02.98, № 394-В98 — 20 с.

24. Жегалов В.И., Уткина Е.А. Об одном псевдопараболическом уравнении третьего порядка // Изв. вузов. Математика. — 1999. — № 10. — С. 73-76.

25. Жегалов В.И., Уткина Е.А. Задача Гурса для одного трехмерного уравнения со старшей производной // Изв. вузов. Математика. — 2001. — № 11. — С. 77-81.

26. Жегалов В.И., Уткина Е.А. Об одном уравнении в частных производных четвертого порядка с тремя независимыми переменными // Дифференц. уравнения. — 2002. — Т. 38, № 1. — С. 93-97.

27. Жегалов В.И., Миронов А.Н. Дифференциальные уравнения со старшими частными производными. — Казанское математическое общество, 2001. — 226 с.

28. Жегалов В.И., Миронов А.Н. О задачах Коши для двух уравнений в частных производных // Изв. вузов. Математика. — 2002. — № 5. — С. 23-30.

29. Забрейко П.П., Кошелев А.И. и др. Интегральные уравнения. — М.: Наука, 1968. — 448 с.

30. Зомот Н.Х.Х. Условия разрешимости одной характеристической задачи // Казанский ун-т, 1997. — Деп. в ВИНИТИ 04.04.97, № 1089-В97. — 17 с.

31. Зомот Н.Х.Х. Случаи явного решения одной трехмерной задачи Гурса // Казанский ун-т, 1998. — Деп. в ВИНИТИ 10.02.98, № 393-В98 — 9 с.

32. Зомот Н.Х.Х. Линейная характеристическая задача в четырехмерном евклидовом пространстве // Казанский ун-т, 1998. — Деп. в ВИНИТИ 30.03.98, № 900-В98. — 43 с.

33. Зомот Н.Х.Х. Общая линейная характеристическая задача для системы уравнений в частных производных первого порядка. Дисс. . канд. физ.-мат. наук. — Казанск. ун-т, 1998. — 113 с.

34. Зорич В.А. Математический анализ. 4.1. — М.: Наука. — 1981. — 544 с.

35. Зорич В.А. Математический анализ. Ч. 2. — М.: Наука. — 1984. — 640 с.

36. Карамышев Ф.И. Краевая задача для системы дифференциальных уравнений смешанного типа // Сибирский матем. журнал. — 1961. — Т. 2, № 4. — С. 537-546.

37. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. — М.: Наука, 1976. — 544 с.

38. Кошляков Н.С., Глинер Э.Б., Смирнов М.М. Уравнения в частных производных математической физики. — М.: Высшая школа, 1970. — 712 с.

39. Красильников М.Г. Задача Трикоми с обобщенными граничными условиями для модельной системы уравнений смешанного типа. Автореф. дисс. . канд. физ.-мат. наук. — Н. Новгород, 1993. — 15 с.

40. Курант Р. Уравнения с частными производными. — М.: Мир, 1964. — 830 с.

41. Миронов А.Н. О построении функции Римана для одного уравнения в n-мерном пространстве // Изв. вузов. Математика. — 1999. — № 7. — С. 78-80.

42. Миронов А.Н. О построении функции Римана для одного уравнения четвертого порядка // Дифференц. уравнения. — 2001. — Т. 37, № 12. — С. 1698-1701.

43. Миронов А.Н. О методе Римана для одного уравнения четвертого порядка со старшей частной производной // Вестник СамГТУ, серия матем. — 2003. — Вып. 22. — С. 190-194.

44. Миронов А.Н. К задаче Коши в четырехмерном пространстве // Дифференц. уравнения. — 2004. — Т. 40, № 6. — С. 844-847.

45. Миронов А.Н. О методе Римана решения задачи Коши // Изв. вузов. Математика. — 2005. — № 2. — С. 34-44.

46. Мюнтц Г. Интегральные уравнения. Т. 1. — JI М.: ГТТИ, 1934. — 330 с.

47. Плещинская И.Е. Граничные задачи для систем уравнений смешанного типа, приводимые к задаче Гильберта. Автореф. дисс. . канд. физ.-мат. наук. — Куйбышев, 1979. — 15 с.

48. Плещинская И.Е. Задача со смещениями для одной системы уравнений смешанного типа с частными производными // Тр. семинара по краевым задачам. — Казань: КГУ, 1983. — Вып. 19. — С. 145-155.

49. Плещинская И.Е. Об эквивалентности некоторых классов эллиптических и гиперболических систем первого порядка и уравнений второго порядка с частными производными // Дифференц. уравнения. — 1987. — Т. 23, № 9. — С. 1634-1637.

50. Риман Б. Сочинения. О распространении волн конечной амплитуды. — М. Д.: ГТТИ, 1948. — С. 376-395.

51. Сансоне Дж. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Т. 1. — М.: ИЛ, 1953. — 346 с.

52. Севастьянов В.А. О методе И.Н. Векуа решения интегральных уравнений типа Вольтерра // Казан, ун-т, 1997. —Деп. в ВИНИТИ 24.04.97, № 1373-В97. — 9 с.

53. Севастьянов В.А. Существование и единственность решения одного многомерного интегрального уравнения // Казан, ун-т, 1997. — Деп. в ВИНИТИ 05.06.97, № 1848-В97. — 6 с.

54. Севастьянов В.А. Метод Римана для трехмерного гиперболического уравнения третьего порядка // Изв. вузов. Математика. — 1997. — № 5. — С. 69-73.

55. Севастьянов В.А. Вариант метода Римана для одного дифференциального уравнения в n-мерном евклидовом пространстве. Дисс. . канд. физ.-мат. наук. — Казанск. ун-т, 1997. — 127 с.

56. Севастьянов В.А. Об одном случае задачи Коши // Дифференц. уравнения. — 1998. — Т. 34, № 12. — С. 1706-1707.

57. Солдатов А.П., Шхануков М.Х. Краевые задачи с общим нелокальным условием А.А. Самарского для псевдопараболических уравнений высокого порядка // Докл. АН СССР. — 1987. — Т. 297, № 3. — С. 547-552.

58. Теут О.М. Некоторые краевые задачи для систем уравнений в частных производных смешанного типа. Автореф. дисс. . канд. физ.-мат. наук. — Казань, 1964. — 8 с.

59. Уткина Е.А. Об одном уравнении в частных производных четвертого порядка // Дифференц. уравнения. — Минск, 1999. — Деп. в ВИНИТИ 28.06.99, № 2059-В99. — 13 с.

60. Уткина Е.А. Новые варианты характеристических задач для псевдопараболических уравнений. Дисс. . канд. физ.-мат. наук. — Казанск. ун-т, 1999. — 140 с.

61. Фаге М.К. Задача Коши для уравнения Бианки // Матем. сб. — 1958. — Т. 45, № 3. — С. 281-322.

62. Чекмарев Т.В. Решение гиперболической системы двух дифференциальных уравнений в частных производных с двумя неизвестными функциями // Изв. вузов. Математика. — 1959. — № 6. — С. 220228.

63. Чекмарев Т.В. Решение в квадратурах задач Коши и Гурса для линейной системы дифференциальных уравнений в частных производных // Уч. записки Горьковского ун-та. — 1967. — Вып. 80. — С. 63-69.

64. Чекмарев Т.В. Формулы решения задачи Гурса для одной линейной системы уравнений с частными производными // Дифференц. уравнения. — 1982. — Т. 18, № 9. — С. 1614-1622.

65. Чекмарев Т.В. Системы уравнений смешанного типа. — Нижегородский гос. техн. ун-т, 1995. — 199 с.

66. Чуриков Ф.С., Мащенко И.П. Построение функции Римана для уравнения иху + (p(x)ip(y)u = 0 // Научн. труды Краснодарского политехи, ин-та. — 1970. — Вып. 30. — С. 19-25.

67. Шхануков М.Х. О некоторых краевых задачах для уравнения третьего порядка, возникающих при моделировании фильтрации жидкости в пористых средах // Дифференц. уравнения. — 1982. — Т. 18, № 4. — С. 689-699.

68. Шхануков М.Х. Об одном методе решения краевых задач для уравнений третьего порядка // Докл. АН СССР. — 1982. — Т. 265, № 6. — С. 1327-1330.

69. Шхануков М.Х. О некоторых краевых задачах для уравнений третьего порядка и экстремальных свойствах их решений // Докл. АН СССР. — 1982. — Т. 267, № 3. — С. 567-570.

70. Bianchi L. Sulla estensione del metodo di Riemann alle equazioni lineari alle derivate parziali d'ordine superiore // Atti R. Accad. Lincei. Rend. CI. Sc. fis., mat. e natur. — 1895. — V. IV, 1 sem. — P. 89-99, 133-142.

71. Burgatti P. Sull'estensione del metodo d'integrazione di Riemann all'equazioni lineari d'ordine n con due variabili independenti // Rend. Reale Accad. Lincei. — 1906. — Ser. 5a, 15, № 2. — P. 602-609.

72. Colton D. Pseudoparabolic equations in one space variable // J. Different, equations. — 1972. — V. 12, № 3. — P. 559-565.

73. Delassus E. Sur une extension aux equations d'ordre quelqonque d'une methode de Riemann relative aux equations du second ordre // Comptes Rendus de l'acad. des sci. Paris. — 1893. — P. 510-513.

74. Easwaran S. On the positive definitenes of polivibrating operators of Mangeron // Bull. cl. sci. Acad. Roy. Belg. — 1973. — V. 59, № 7. — P. 563-569.

75. Easwaran S. Mangeron's polyvibrating operators and their eigenvalues // Bull. cl. sci. Acad. Roy. Belg. — 1973. — V. 59, № 10. — P. 1011-1015.

76. Holmgren E. Sur les systemes lineaires aux derivees partielles du premier ordre // Arkiv for matematik, astronomy och fysik. — 1910. — Band 6, № 2. — P. 1-10.

77. Mangeron D. New methods for determining solution of mathematical models governing polyvibrating phenomena. I. // Bui. Inst, politehn. Jasi. Sectia 1. — 1968. — V. 14, № 1-2. — P. 433-436.

78. Mangeron D., Oguztoreli M.N. Darboux problem for a polyvibrating equation: solutions as F-function // Proc. Nat. Acad. USA. — 1970. — V. 67, № 3. — P. 1488-1492.

79. Niccoletti O. Sull' estensione del metodo di Riemann alle equazioni lineari a derivate parziali d'ordine superiore // Atti R. Accad. Lincei. Rend. cl. sc. fis., mat. e natur. — 1895. — 1 sem. — P. 330-337.

80. Oguztoreli M.N. Boundary value problem for Mangerons equation. I. // Bui. Inst, politehn. Jasi. Sectia 1. — 1973. — V. 19, № 3. — P. 81-85.

81. Radochova V. Die Losing der partiellen Differentialgleihung uxxtt = A(t,x)uxx + £?(£, x)utt mit gewissen Nebenbedinungen // Cas. pestov. mat. — 1973. — V. 98, № 4. — S. 389-399.

82. Rellich F. Verallgemeinerung der Riemanschen Integrationsmethode auf Differentialgleihungen n-ter ordnung in zwei Veranderlichen // Math. Annalen, 103, 1930. — S. 249-278.

83. Rundell W., Stecher M. Remarks concerning the support of solutions of pseudoparabolic equation // Proc. Amer. Math. Soc. — 1977. — V. 63, № 1. — P. 77-81.

84. Rundell W. The construction of solutions to pseudoparabolic equations in noncilindrical domains // J. Different. Equations. — 1978. — V. 27, № 3. — P. 394-404.

85. Rundell W. The Stefan Problem for a pseudo-heat equation // Indiana Univ. Math. J. — 1978. — V. 27, № 5. — P. 739-750.

86. Rundell W. The uniqueness class for the Cauchy problem for pseudoparabolic equations // Proc. Amer. Math. Soc. — 1979. — V. 76, № 2. — P. 253-257.

87. Tedone O. Sull'integrazione dell'equazione — Y^Li §^2 = 0 // Ann. di mat. — 1889. Ser. 3, № 1. — P. 1.

88. Volterra V. Sur les vibrations des corps elastiques isotropes // Acta Math., 18, 1894. — P. 161-232.

89. Миронова JI.Б. Постановка задачи Коши для линейной системы уравнений с двукратными частными производными // Математическое моделирование и краевые задачи: Труды XIII межвуз. конф. Ч. 3. — Самара, 2003. — С. 131-133.

90. Миронова Л.Б. Метод Римана для одной системы уравнений с двукратными частными производными // Математическое моделирование и краевые задачи: Труды всеросс. конф. Ч. 3. — Самара, 2004. — С. 158-161.

91. Миронова Л.Б. О методе Римана для одной системы в трехмерном пространстве // Труды XIV между нар. школы-семинара по геометрии и анализу памяти Н.В. Ефимова. — Ростов-на-Дону, 2004. — С. 264-266.

92. Миронова Л.Б. К задаче Коши для одной системы с кратными характеристиками // Труды матем. центра им. Н.И. Лобачевского. Т. 25. Актуальные проблемы математики и механики: Материалы между нар. научн. конф. — Казань, 2004. — С. 186-187.

93. Миронова Л.Б. Метод Римана для системы с двукратными старшими частными производными в n-мерном пространстве // Системы компьютерной математики и их приложения: Материалы VI междунар. научн. конф. — Смоленск, 2005. — С. 136-137.

94. Миронова JI.Б. О характеристических задачах для одной системы уравнений с частными производными // Математическое моделирование и краевые задачи: Труды II всеросс. конф. Ч. 3. — Самара, 2005. — С. 178-180.

95. Миронова Л.Б. О характеристических задачах для одной системы с кратными характеристиками в трехмерном пространстве / Ела-бужский гос. пед. ун-т. — Елабуга, 2005. — 21 с. — Деп. в ВИНИТИ 20.07.05, № 1059-В2005.

96. Миронова Л.Б. О методе Римана в Rn для одной системы с кратными характеристиками // Изв. вузов. Математика. (В печати.)