Об оптимальном вдуве в турбулентный пограничный слой в сверхзвуковых потоках газа тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.05, кандидат наук Мухаметзянов, Ильшат Ринатович

• Мухаметзянов, Ильшат Ринатович
• кандидат наук
• 2014

Оглавление диссертации кандидат наук Мухаметзянов, Ильшат Ринатович

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

1. СОСТОЯНИЕ ВОПРОСА ПО ИССЛЕДОВАНИЯМ ТУРБУЛЕНТНОГО ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ

1.1. Основные уравнения турбулентного пограничного слоя

1.2. Методы расчета турбулентного пограничного слоя

1.2.1. Конечно - разностный метод интегрирования уравнений турбулентного пограничного слоя

1.2.2. Интегральный метод расчета уравнений турбулентного пограничного слоя

1.3. Критерии выбора модели турбулентности

2. РАСЧЁТ ТРЕНИЯ И ТЕПЛООБМЕНА НА ПОВЕРХНОСТИ СФЕРЫ В СВЕРХЗВУКОВОМ ТУРБУЛЕНТНОМ ПОТОКЕ

2.1. Постановка задачи

2.2. Вычислительный эксперимент

3. ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ТУРБУЛЕНТНЫМ ПОГРАНИЧНЫМ СЛОЕМ НА СФЕРЕ ПРИ ЛИНЕЙНОЙ ЗАВИСИМОСТИ ВЯЗКОСТИ ГАЗА ОТ ТЕМПЕРАТУРЫ

3.1. Постановка вариационной задачи по минимизации тепловых потоков

3.2. Постановка вариационной задачи по минимизации сопротивления трения

3.3. Необходимые условия оптимальности

3.4. О задаче оптимального управления пограничным слоем в приближенной постановке

3.4.1. Алгоритм поиска оптимального управления

3.4.2. Вычислительный эксперимент по оптимизации тепломассообмена на проницаемой сфере

3.5. Минимизация сопротивления трения

4. ОПТИМАЛЬНО УПРАВЛЯЕМЫЙ ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ НА СФЕРЕ ПРИ СТЕПЕННОЙ ЗАВИСИМОСТИ ВЯЗКОСТИ ОТ ТЕМПЕРАТУРЫ

4.1. Минимизация тепловых потоков

4.1.1. Вычислительный эксперимент

4.2. Минимизация сопротивления трения

5. ОБ ОПТИМАЛЬНОМ УПРАВЛЕНИИ ТУРБУЛЕНТНЫМ ПОГРАНИЧНЫМ СЛОЕМ НА ПРЯМОМ КРУГОВОМ ЦИЛИНДРЕ

5.1. Аппроксимирующая система второго приближения

5.2. Вариационная задача по минимизации тепловых потоков

5.3. Вариационная задача по минимизации сопротивления трения

5.4. Аэродинамический критерий «слабого» вдува в задачах оптимального управления пограничным слоем на проницаемых поверхностях

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

ПРИЛОЖЕНИЯ

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Об оптимальном вдуве в турбулентный пограничный слой в сверхзвуковых потоках газа»

ВВЕДЕНИЕ

Во введении обосновывается актуальность темы диссертации, даётся обзор литературы по теме исследования, определяются цели и задачи исследования, приводится перечень основных результатов, выносимых на защиту, а также структура диссертации.

Актуальность. Для большинства газов внутренние трения и теплопроводности проявляются, в основном, в довольно тонких слоях, примыкающих к обтекаемой поверхности, поэтому для решения многих практических задач обтекания тел потоком газа с большими скоростями пользуются идеями и методами теории пограничного слоя, которые были предложены в 1904 г. JL Прандтлем для течения несжимаемой жидкости [145].

Теория пограничного слоя оказалась очень плодотворной и дала мощный толчок к развитию теоретических исследований. Под влиянием задач, поставленных развитием авиационной и ракетной техники, эта теория быстро превратилась в самостоятельный раздел механики жидкости и газа.

Следует отметить, что в зависимости от значений числа Рейнольдса и других условий течения внутри пограничного слоя, он может быть ламинарным или турбулентным. Теория ламинарного пограничного слоя в настоящее время исследована довольно глубоко в многочисленных работах [см. напр. 50, 57, 70, 82, 87, 108, 123], чего нельзя утверждать в отношении турбулентного пограничного слоя. Однако, нельзя не отметить работы [77, 78, 106, 118], которые посвящены исследованию теории турбулентного пограничного слоя.

Главными областями применения теории пограничного слоя являются: задача о вычислении сопротивления, возникающего при обтекании тела вследствие трения жидкости или газа о поверхность тела; расчет теплопередачи между телом и обтекаемой жидкостью или газом; определение точки отрыва пограничного слоя и др.

Имеются различные способы, позволяющие влиять на характеристики пограничного слоя. Один из таких способов, заключающийся в отсасывании

пограничного слоя, указал еще Л. Прандтль в своей первой работе о пограничном слое [145].

Известно, что ламинарный пограничный слой в состоянии преодолеть без отрыва относительно небольшое расстояние, а при турбулентном течении опасность отрыва значительно меньше, чем при ламинарном, так как турбулентное течение дает непрерывный перенос импульса из внешнего течения в пограничный слой. Многочисленные расчеты показали эффективность управления ламинарным пограничным слоем [см. напр. 43, 47, 101, 114]. Однако, и при турбулентном режиме течения желательно управлять пограничным слоем.

Среди способов управления пограничным слоем наиболее распространенными являются: вдув [3, 38, 71, 84, 92, 139] в пограничный слой или отсос [64, 103, 148], охлаждение или нагрев обтекаемой стенки [63, 80], придание стенке особой формы [1, 132], приведение стенки, на которой образуется пограничный слой, в движение в сторону течения [86], введение устройств разрушения вихрей [14, 67], сдув пограничного слоя [141]. Методы управления пограничным слоем исследованы теоретически [см. напр. 6, 19, 50, 57, 60, 62, 74, 78, 107, 116, 123] и проверены экспериментально [см. напр. 2, 4, 5, 20, 21, 59, 61, 65, 66, 111, 122]. Наибольшее практическое значение, из всех способов управления пограничным слоем, представляют отсос и вдув в пограничный слой [52, 70,123].

В области сверхзвуковых чисел Маха охлаждение обтекаемой стенки позволяет полностью стабилизировать пограничный слой и уменьшить его толщину. Если через пористую или перфорированную стенку вдувать (отсасывать) газ в пограничный слой, то можно уменьшить теплопередачу между стенкой и внешним течением и уменьшить сопротивление трения и, следовательно, уменьшить лобовое сопротивление обтекаемого тела.

Так как точное решение задачи о трении и теплообмене при вдуве в турбулентный пограничный слой представляет большие трудности, то на практике широко используются эмпирические зависимости [75, 76, 77].

Вдув газа в пограничный слой используется как средство уменьшения трения и теплопередачи. С увеличением скорости вдува в направлении нормали к стенке напряжение трения в пограничном слое уменьшается [52, 70, 91, 123]. Если же вдува нет, то максимум напряжения трения имеет место на стенке. При увеличении интенсивности вдува напряжение на стенке значительно уменьшается, а в пограничном слое существенно возрастает, достигая максимума на некотором удалении от поверхности. При этом, если интенсивность вдува невелика, то сохраняются основные допущения теории пограничного слоя. Методы расчета параметров турбулентного пограничного слоя при наличии вдува представлены в многочисленных работах [см. напр. 2, 5, 78, 89,107].

Отсасывание применяется для стабилизации пограничного слоя. Действие отсасывания проявляется двояким образом. Во-первых, отсасывание уменьшает толщину пограничного слоя, а более тонкий пограничный слой имеет меньшую наклонность к переходу в турбулентное состояние. Во-вторых, отсасывание пограничного слоя создает в нем такие профили скоростей, которые обладают более высоким пределом устойчивости, т.е. более высоким критическим числом Рейнольдса [123], чем профили скоростей в пограничном слое без отсасывания. Таким образом, за счет затягивания ламинарно-турбулентного перехода и предотвращения отрыва достигается уменьшение сопротивления, так как при турболизации потока силы трения существенно возрастают.

Численное исследование пограничного слоя на проницаемой стенке с отсосом газа с использованием дифференциальной модели турбулентности, дополненной уравнением переноса для турбулентного потока тепла, проведено в работе [81]. Показано, что при отсосе газа происходят затягивание перехода от ламинарного режима течения к турбулентному и ламинаризация исходного турбулентного пограничного слоя. Об этом свидетельствуют поведение как интегральных и локальных характеристик течения и теплообмена, так и вырождение турбулентности с выходом на асимптотический отсос ламинарного

5

пограничного слоя. Определены также критические величины параметра отсоса.

В работе [116] для ламинарного течения в пограничном слое несжимаемой жидкости определён закон распределения скорости и отсоса в области положительного градиента давления, обеспечивающий безотрывный характер течения вплоть до задней критической точки. Указаны возможные обобщения полученных результатов на случай течения сжимаемой жидкости и турбулентного пограничного слоя. В работе [121] доказана возможность установления безотрывного течения в пограничном слое несжимаемой жидкости у пористой стенки произвольной длины за счет чередования отсоса и вдува.

Наряду с классическими постановками задач по управлению пограничным слоем на проницаемых профилях, благодаря работам Казанского профессора Т.К. Сиразетдинова и его учеников, успешно развивается новое направление: теория оптимально управляемого пограничного слоя. Ему же принадлежит пионерская постановка задачи об оптимальном управлении ламинарным пограничным слоем [112].

Как уже отмечалось, одним из способов уменьшения показателей суммарного сопротивления трения или теплопередачи является управление местными значениями градиентов продольной скорости на обтекаемой поверхности путем вдува жидкости или газа в пограничный слой. Так как энергетические ресурсы (суммарный расход жидкости, мощность системы управления) ограничены, то естественным образом возникает вариационная задача оптимального управления пограничным слоем.

В работах [113, 114] в качестве функционалов выступает либо суммарное ньютоновское трение, либо количество тепла в единицу времени, передаваемое от пограничного слоя к обтекаемой поверхности. Управлением служит скорость вдува, который предполагается «слабым», т.е. практически не влияющим на распределение скорости на внешней границе пограничного слоя. В качестве ограничений выступает суммарный расход и кинетическая энергия

вдуваемой жидкости (мощность системы управления). Разработан метод интегрирования сопряженной системы, основанный на идее пограничного слоя решений для множителей Лагранжа. Позднее А.Н. Крайко [69] сделал полезное замечание к проблеме интегрирования сопряженной системы, вытекающее из факта существования интеграла Крокко для уравнения энергии в случае обтекания пластинки при числе Прандтля Рг = 1 и постоянной температуре стенки.

В работе [28] с помощью теоремы Э. Нетер [29, 142] был найден первый интеграл сопряженной системы для случая минимизации силы трения в пограничном слое несжимаемой жидкости на произвольном проницаемом профиле. Групповые свойства уравнений оптимально управляемого пограничного слоя исследованы в работе [46], а в [45] было осуществлено их расслоение. В работе [25] построено основное интегральное соотношение сопряженной системы и получено следствие из первого интеграла, которое предложено использовать для построения минимизирующей последовательности оптимальных законов вдува. На примере обтекания пластинки была показана эффективность использования группового подхода к решению вариационной задачи по сравнению с идеей пограничного слоя решений для множителей Лагранжа, предложенного в работе [114].

Задача оптимизации теплообмена для случая несжимаемой жидкости с учетом уравнения теплового баланса рассмотрена в работе [34].

В работе [3] дана постановка и решение задачи оптимального управления двухфазным пограничным слоем несжимаемой жидкости (через проницаемую поверхность подается жидкость с физическими свойствами, резко отличающимися от свойств жидкости в основном потоке). Разработан алгоритм построения оптимального закона вдува для случая обтекания пластинки; в качестве функционала выступает величина силы ньютоновского трения, в качестве ограничений - расход и энергия вдуваемой жидкости. В статье [59] результаты работы [3] были распространены на случай оптимизации теплового обмена в двухфазном пограничном слое несжимаемой жидкости. Отметим, что

в работах [3, 59] для построения оптимальных управлений был использован первый интеграл сопряженной системы, полученный ранее в работе [28].

В работах [42, 98] разработаны разностные схемы для уравнений оптимально управляемого пограничного слоя в несжимаемой жидкости соответственно на клиньях и круговом цилиндре, а в статье [41] для случая обтекания клиньев потоком несжимаемой жидкости впервые была доказана конечность оптимального управления в критической точке. Следует отметить, что разностные схемы были построены с учетом первого интеграла, полученного профессором К.Г. Гараевым для сопряженной системы относительно множителей Лагранжа. С использованием метода дифференциальной прогонки [51] в работе [100] получены характеристики устойчивости пограничного слоя на плоской проницаемой пластине с оптимальным законом вдува; проведено их сравнение с соответствующими характеристиками в случаях равномерного вдува и непроницаемой поверхности пластины.

В работе [32] поставлена и решена задача о построении оптимальной неразрушающей тепловой защиты поверхностей, обтекаемых потоком вязкого газа при любой зависимости вязкости от температуры, произвольном числе Прандтля и произвольной температуре поверхности. Отметим, что в работе [114] подобная задача была поставлена для случая постоянной температуры стенки и линейной зависимости вязкости от температуры; там же были получены необходимые условия оптимальности. В качестве функционала выступает конвективный тепловой поток, передаваемый от пограничного слоя к стенке; в качестве управления - местный расход газа через проницаемую поверхность. Задача решается при ограничении на мощность системы охлаждения, которая рассчитывается с учетом закона Дарси [7, 105]. Оптимальная задача алгоритмизирована: проблема поиска оптимального управления с помощью метода обобщенных интегральных соотношений А.А. Дородницына [56, 85, 104] сведена к рекуррентному интегрированию двух систем обыкновенных дифференциальных уравнений с разрешимыми

8

особенностями в точке полного торможения потока. Проведен вычислительный эксперимент по построению оптимального расхода охладителя через пористую стенку кругового цилиндра. Минимизирующая последовательность строилась комбинированным способом: на первой итерации оптимальное управление определялась методом типа Пикара, последующие приближения методом наискорейшего спуска [113]. Была обнаружена быстрая сходимость итерационного процесса: оптимальное управление, найденное в первом приближении в аналитическом виде, дает значение функционала, совпадающее с точностью до 1-2% с его значением, полученным для «предельного» управляющего воздействия. Работы [22, 31] посвящены минимизации тепловых потоков на проницаемых телах вращения. Получены необходимые условия оптимальности, построен первый интеграл сопряженной системы, получен оптимальный закон вдува охладителя в первом приближении (также в аналитической форме), разработан итерационный подход к построению последовательности оптимальных управлений. Проведен вычислительный эксперимент для случая обтекания сферы сверхзвуковым потоком. Кроме того, поставлена и решена задача о форме внутреннего контура стенки, обеспечивающей требуемую температуру наружной стороны обшивки.

Задача минимизации сопротивления трения при обтекании проницаемого цилиндра сверхзвуковым потоком при вдуве газа в пограничный слой рассмотрена в работе [71]. Задача поставлена для аппроксимирующей системы уравнений ламинарного пограничного слоя (в переменных A.A. Дородницына), вариационная задача решена методом последовательных приближений типа Пикара. Для случая обтекания клиновидных профилей, аналогичная задача минимизации ньютоновского сопротивления трения в сверхзвуковом потоке газа при вдуве в ламинарный пограничный слой, в предположении линейной зависимости вязкости от температуры и с учетом ограничения на мощность системы управления, рассмотрена в работе [72]. Здесь же построены разностные схемы для уравнений оптимально управляемого пограничного слоя; проведён вычислительный эксперимент, из которого следует, что выигрыш в

значении функционала увеличивается с уменьшением угла раствора клина, увеличением мощности системы вдува и ростом числа Маха.

Также в рамках аппроксимирующей системы второго приближения (в переменных A.A. Дородницына) задачи оптимального управления пограничным слоем ставились и решались для случаев обтекания сверхзвуковым потоком клиньев в работах [53, 102] и кругового конуса - в работе [48]. Для обоих случаев была получена приближенная аналитическая формула для определения оптимальных управлений в первом приближении. Отметим, что эти формулы были получены без учета условий трансверсальности.

В области гиперзвуковых скоростей рассмотрены задачи оптимального управления ламинарным пограничным слоем идеально диссоциирующего газа [10], неравновесно диссоциирующего газа [9, 13] и неравновесно диссоциирующего замороженного газа [11].

В работе [99] проведено исследование влияния равномерно распределенного по всей поверхности цилиндра и оптимального вдувов на распределение скорости на внешней границе пограничного слоя и, как следствие этого, на трение. Расчёты, приведённые в работе [99], показывают, что учет влияния вдува на распределение скорости на внешней границе пограничного слоя оказывает слабое влияние на трение: разница в суммарном трении не превышает 2.5%.

Следует отметить, что уравнения Эйлера-Лагранжа-Остроградского задачи оптимального управления пограничным слоем, полученные на основе уравнений Прандтля и используемые при поиске решений, полностью совпадают с сопряженной системой, записанной для уравнений Навье-Стокса, для которой был осуществлен предельный переход при больших числах Рейнольдса в работе [23].

Вариационная задача о минимизации путем нормального вдува в ламинарный пограничный слой ньютоновского сопротивления трения, при обтекании затупленного цилиндрического тела сверхзвуковым потоком

10

совершенного газа при учете ограничения по мощности системы управления вдувом, рассмотрена в работе [37]. Порядок сопряженной системы понижен с использованием полученного первого интеграла. Построен эффективный алгоритм поиска оптимального управления на основе метода сеток. В работе приводятся результаты вычислительного эксперимента, согласно которому выигрыши в значениях функционала сопротивления трения для полученных оптимальных управлений по сравнению с равномерным законом вдува достигают 65%.

В работе [35] для случая Рг = 1 задача минимизации сопротивления трения в сверхзвуковом потоке при обтекании клиньев ставилась непосредственно для уравнений типа Прандтля [101]. В этом случае, как известно [50, 83], уравнения движения из системы уравнений пограничного слоя можно интегрировать независимо от уравнения энергии. Поиск оптимальных управлений проводился с использованием алгоритма типа Пикара [43]. , ,

В работе [27] первый интеграл задачи оптимального управления ламинарным пограничным слоем в потоке несжимаемой жидкости получен для системы уравнений пограничного слоя в переменных Фолкнер-Скэн. Важно отметить, что этот интеграл автоматически следует из соответствующего закона сохранения для сопряженной системы. В работе [49] также в переменных Фолкнер-Скэн поставлена вариационная задача по минимизации интегрального теплового потока, передаваемого от пограничного слоя к обтекаемой поверхности, при заданном ограничении на мощность системы управления. Получен первый интеграл, подобный тому, который был получен в работе [27], где рассматривалась задача минимизации трения испытываемого профилем.

В работе [12] рассмотрена задача оптимального управления пограничным слоем электропроводящей жидкости в магнитном поле.

Поиск оптимального управления (вдув-отсос) минимизирующего сопротивление, определяемое как скорость диссипации энергии во внешней к

11

телу области деленная на скорость жидкости на бесконечности, производится в рамках полных уравнений Навье-Стокса в работах [15, 16, 17]. При этом также используется градиентный метод. В рамках приближения Стокса (при малых числах Рейнольдса) получены аналитические формулы для определения оптимальных управлений. Рассматривается также возможность применения численных методов нелинейного программирования [120], которые оказываются менее эффективными, нежели стандартные способы решения вариационных задач газовой динамики [68].

Следует отметить, что все указанные выше оптимальные задачи принадлежат к классу двумерных вариационных задач типа Майера [24].

Среди зарубежной литературы отметим нижеследующие работы.

В работах [125, 127] рассмотрены задачи оптимального управления ламинарным пограничным слоем несжимаемой жидкости в стационарном случае, уравнения которого взяты в форме Мизеса: требуется найти управление (вдув или отсос [127], или распределение скорости на внешней границе пограничного слоя [125]), реализующее заданное распределение продольной компоненты скорости в фиксированном сечении х = х*. Функционал записывается в виде чебышевского отклонения действительного распределения скорости от желаемого. В обеих задачах методом наискорейшего спуска проведены вычислительные эксперименты для модельных задач; при этом обнаружена достаточно быстрая сходимость метода последовательных приближений.

В работе [146] описывается базовый аппарат для получения дискретного представления сопряженных уравнений [147] в задаче оптимального управления нестационарными течениями, использование которого демонстрируется на примере решения задачи о минимизации сопротивления трения при обтекании кругового цилиндра. В работе [131] ищется распределение по времени скорости вдува-отсоса через единичное отверстие, обеспечивающее ламинаризацию нестационарного течения на заданном участке. При этом используется метод гашения волн [136, 137].

12

В работах [128, 133, 135, 143] рассматривается вариационная задача об определении распределения отсоса из пограничного слоя, обеспечивающего минимальное значение некоторого показателя, определяющего рост возмущений в пограничном слое: это либо функционал кинетической энергии возмущений [124, 129, 130], либо так называемый iV-фактор [126]. Минимизация подобных показателей приводит к затягиванию ламинарно-турбулетного перехода [134]. Для определения управлений используется градиентный метод с привлечением сопряженных систем для уравнения устойчивости и линеаризированных уравнений Навье-Стокса [144].

Из приведенного обзора видно, что задачи сверхзвукового обтекания рассматривались довольно редко. Среди решенных задач этого класса можно выделить задачу об оптимальном охлаждении пористой криволинейной стенки и рассмотренные в приближенной постановке (в рамках аппроксимирующей системы) задачи о минимизации сопротивления трения для частных случаев обтекания клина, кругового конуса и цилиндра при ламинарном режиме

течения. В качестве ограничения в этих задачах выступала мощность системы

> *

управления вдувом, а для решения системы уравнений пограничного слоя применялся метод обобщенных интегральных соотношений A.A. Дородницына.

Применение метода обобщенных интегральных соотношений для решения указанных задач определяется преимущественно тем, что для небольших номеров приближений этот метод характеризуется сравнительно низкими требованиями к вычислительными ресурсам. Отметим, что увеличение точности данных, полученных с его использованием, реализуется либо за счет «удачного» подбора системы базисных функций (их выбор носит эвристический характер), либо за счет увеличения номера приближения (числа полос). Причем увеличение числа полос приводит к весьма значительному росту трудоемкости расчетов. Однако, учитывая тенденцию к увеличению доступных вычислительных мощностей, этот факт уже не является столь существенной проблемой. Кроме того, для дальнейшего развития теории оптимального управления пограничным слоем и расширения области

13

применения её результатов в инженерной практике необходимо введение в рассматриваемые вариационные задачи дополнительных (помимо мощности системы управления вдувом) ограничений.

Следует также отметить, что авторы по оптимальному управлению пограничным слоем в сверхзвуковых потоках при турбулентном режиме течения до настоящего времени неизвестны. Впервые указанная вариационная задача для точных уравнений пограничного слоя типа Прандтля поставлена в работе К.Г. Гараева [26], но она носит идейный характер. В указанной работе получен первый интеграл оптимально управляемого турбулентного пограничного слоя, однако непосредственно задача не решалась. В настоящей работе эта задача поставлена и решена впервые в рамках аппроксимирующей системы второго порядка в переменных A.A. Дородницына.

В настоящее время известно множество математических« моделей турбулентного пограничного слоя (модель Меллора, модель Кармана и др.). Однако, использование существующих моделей для постановки и решения

Ч

вариационных задач весьма затруднительно. Поэтому, в настоящей работе, значительное внимание уделено разработке именно однослойной математической модели, на возможность реализации которой было ещё указано в работах Л.Г. Лойцянского [83] и И.К. Ротты [109]. Модель, предложенная в настоящей работе, основана на классическом методе интегральных соотношений. Из сказанного следует, что изучение вопроса оптимального управления турбулентным пограничным слоем актуально как с фундаментальной, так и с практической точки зрения.

Цель работы. Целью диссертационной работы является построение оптимальных законов вдува в турбулентный пограничный слой в сверхзвуковых потоках газа.

Для достижения этой цели необходимо решить следующие задачи:

• Построить однослойную математическую модель сверхзвукового турбулентного пограничного слоя для различных законов зависимости вязкости

от температуры в рамках аппроксимирующей системы второго приближения (в переменных A.A. Дородницына);

• Выполнить расчеты локального теплового потока и трения на сферической лобовой поверхности летательного аппарата в рамках построенной модели;

• Разработать и реализовать алгоритм построения законов распределения скорости вдува в турбулентный пограничный слой, обеспечивающий минимальное значение интегрального теплового потока, передаваемого от газа к обтекаемой поверхности, либо суммарного ньютоновского сопротивления трения при обтекании сферической лобовой поверхности летательного аппарата и цилиндрической поверхности сверхзвуковым потоком газа с учетом ограничения на мощность системы управления, которая рассчитывается с учетом фильтрационного закона Дарси.

Научная новизна. Научная новизна заключается в том, что:

• Использованная в диссертации математическая модель для решения задачи управления тепловыми режимами на проницаемых участках сферической лобовой поверхности летательного аппарата и цилиндрической поверхности, обтекаемых сверхзвуковым турбулентным потоком, предложена впервые;

• Поставлены (в рамках аппроксимирующей системы) и решены вариационные задачи по оптимальному управлению турбулентным пограничным слоем на сферической лобовой поверхности летательного аппарата и цилиндрической поверхности при сверхзвуковом режиме обтекания для различных законов зависимости вязкости от температуры;

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Мухаметзянов, Ильшат Ринатович, 2014 год

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Абзалилов Д.Ф. Минимизация коэффициента сопротивления крылового профиля методом оптимального управления // Изв. РАН. МЖГ. 2005. № 6. С. 173-179.

2. Авдуевский B.C., Калашкин В.Н. Проблемы расчета трения и теплообмена в турбулентном пограничном слое // Изв. АН СССР, Энергетика и транспорт. 1967. №5. С. 9-24.

3. Афанасьев A.A. Оптимальный вдув инородной жидкости в пограничный слой // Тр. КАИ, Казань, 1972. Вып. 147. С. 38-44.

4. Бабуев В.Ф., Бирюков В.И., Боксер В.Д. и др. Экспериментальное исследование ламинарно-турбулентного перехода на стреловидном крыле в условиях локального отсоса пограничного слоя при дозвуковых скоростях // Механика жидкости и газа. 1998. №4. С. 65-73.

5. Барышев Ю.В., Леонтьев А.И., Пейкер Н.К. Турбулентный пограничный слой на проницаемой поверхности при интенсивных вдувах. Инженерно-физический журнал. 1976. Т. 30. № 5. С. 773-779.

6. Батенко С.Р., Терехов В.И. Трение и теплообмен в ламинарном отрывном потоке за прямоугольным уступом при наличии пористого вдува или отсоса // Прикладная механика и техническая физика. 2006. № 1. С. 18-28.

7. Белое C.B. Пористые материалы в машиностроении. М: Машиностроение, 1981.247 с.

8. Белое И.Ф. Модели турбулентности. Л.: Ленинградский механический

«

институт, 1982. 88 с.

9. Бильченко Н.Г. К задаче обтекания проницаемой цилиндрической поверхности потоком неравновесно диссоциирующего газа // Труды математического центра им. Н.И. Лобачевского, Казань: УНИПРЕСС, 1998. С. 173-183.

10. Бильченко Н.Г., Гараев КГ. Об оптимальном управлении тепломасообменом в ламинарном пограничном слое диссоциирующего газа // Известия высш. учеб. заведений. Авиационная техника. 2000. № 3. С. 17-19.

116

11. Бтъченко Н.Г. К задаче оптимального управления пограничным слоем неравновесно диссоциирующего замороженного газа // Изв. высш. учеб. заведений. Авиационная техника. 2002. №2. С. 12-15.

12. Бтъченко Н.Г., Гараее К.Г., Дербенев С.А. К задаче оптимального управления пограничным слоем электропроводящей жидкости в магнитном поле // Изв. высш. учеб. заведений. Авиационная техника. 1994. №1. С. 23-27.

13. Бтъченко Н.Г., Гараев К.Г., Овчинников В.А. Группа симметрии и законы сохранения в задаче оптимального управления ламинарным пограничным слоем неравновесно диссоциирующего газа // Известия высш. учеб. заведений. Математика. 1999. №11. С. 12-21.

14. Бойко A.B., Корнтое В.И. О возможности снижения турбулентного трения с помощью вертикальных устройств разрушения вихрей // Теплофизика и аэромеханика. 2009. Т. 16. № 4. С. 583-596.

15. Брутян М.А. Оптимальные задачи в вязкой жидкости // Аэрогидродинамика течений с неизвестными границами. Тр. сем. по краев, задачам, вып. 26. Казань: Изд-во Казан, гос. ун-та. 1991. С. 60-79. •

16. Брутян М.А., Крапивский П.Л. Об оптимальном управлении потоком вязкой несжимаемой жидкости // ПММ. 1984. Т. 48. Вып. 6. С. 929-934.

17. Брутян М.А., Крапивский П.Л., Сычев В.В. Оптимальное управление вязким течением при больших числах Рейнольдса // Изв. АН СССР. Механика жидкости и газа. 1986. №3. С. 174-176.

18. Ван-Драйст Е. Турбулентный пограничный слой в сжимаемых жидкостях // Сб. переводов «Механика», 1952. №1/11. С. 27-55.

19. Волчков Э.П. Пристенные газовые завесы. Новосибирск: Наука, 1983. 240 с.

20. Волчков Э.П., Кутателадзе С. С., Леонтьев А.И. О влиянии сжимаемости и неизотермичности газа на эффективность заградительного охлаждения при турбулентном пограничном слое // Журнал прикладной механики и технической физики. 1966. № 4. С. 126-129.

21. Волчков Э.П., Левченко В.Я. Эффективность газовой завесы в турбулентном пограничном слое // Журнал прикладной механики и технической физики. 1965. №5. С. 142-146.

22. Гараев КГ, Осадчая Д.М. Необходимые условия экстремума и первый интеграл в задаче оптимального управления ламинарным пограничным слоем на теле вращения. Труды математического центра им. Н.И. Лобачевского. Т. 30 / Казанское математическое общество. Теория функций, ее приложения и смежные вопросы // Материалы седьмой международной казанской летней научной школы-конференции. Казань: Изд-во Казанского математического общества, 2005. С. 41-43.

23. Гараев К.Г. Вывод уравнений оптимально управляемого пограничного слоя Прандтля-Сиразетдинова на основе уравнений Навье-Стокса // Изв. высш. учеб. заведений. Авиационная техника. 2007. №2. С. 13.

24. Гараев КГ. Группы Ли и теория Нетер в проблеме управления с приложениями к оптимальным задачам пограничного слоя // Казан, гос. техн. ун-т. Казань. 1994.240 с.

25. Гараев КГ. К задаче построения оптимального управления трением в ламинарном пограничном слое // Изв. высш. учеб. заведений. Авиационная техника. 1981. № 2. С. 27-31.

26. Гараев КГ. О существовании первого интеграла в задаче оптимального управления турбулентным пограничным слоем в сверхзвуковом потоке // Учёные записки ЦАГИ, 2012. Том ХЫИ. №1. С. 63-70.

27. Гараев КГ. О существовании первого интеграла в одной задаче теории управляемого пограничного слоя. Учён. зап. Казан, гос. ун-та. Серия: Физико-математические науки. 2008. № 3. С. 117-121.

28. Гараев КГ. Об инвариантных вариационных задачах // Материалы I Поволжской конференции по автоматическому управлению. Казань: Таткнигоиздат, 1971. С. 121-129.

29. Гараев КГ. Об одном следствии из теоремы Нетер для двумерных вариационных задач типа Майера // Прикладная математика и механика. 1980. Т. 44. №3. С. 448-453.

30. Гараев КГ. Об оптимальном вдуве охладителя в ламинарный пограничный слой сжимаемого газа // Прикладная математика и механика. 2001. Т. 65. №2. С. 261-267.

31. Гараев КГ. Об оптимальном управлении движением газа в ламинарном пограничном слое на проницаемых телах вращения // Проблемы аналитической механики, устойчивости и управления движением. Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 1991. С. 226-231.

32. Гараев КГ. Об оптимальном управлении тепломассообменом в ламинарном пограничном слое сжимаемого газа на проницаемых поверхностях // Изв. АН СССР. Механика жидкости и газа. 1988. № 3. С. 92-100.

33. Гараев КГ. Оптимальное управление ламинарным пограничным слоем при заданном ограничении на скорость вдува // Межвузовский сборник. Оптимизация процессов в авиационной технике. Казань, 1980. С. 30-35.

34. Гараев КГ. Оптимизация теплообмена в ламинарном пограничном слое несжимаемой жидкости с учетом уравнения теплового баланса // Изв. высш. учеб. заведений. Авиационная техника. 1982. № 4. С. 28-31.

35. Гараев КГ., Дараган М.А., Осадчая ДМ. К задаче минимизации сопротивления трения на клиньях в сверхзвуковом потоке // Изв. высш. учеб. заведений. Авиационная техника, 2006. № 3. С. 23-25.

36. Гараев КГ., Дербенев С.А. Об одном приближенном решении уравнений Эйлера для окрестности точки торможения при наличии вдува // Материалы XXXII Всероссийской конференции «Наука и технологии». - Миасс: Межрегиональный совет по науке и технологиям, 2012. С. 92-94.

37. Гараев КГ., Кузнецов В.К. Об одной инвариантной вариационной задаче ламинарного пограничного слоя // Прикладная математика и механика. 2011. Т. 75. № 4. С. 572-580.

38. Гараев КГ., Кузнецов В.К. Об оптимальном вдуве в пограничный слой в сверхзвуковом потоке на проницаемых цилиндрических телах при нелинейных законах зависимости вязкости от температуры // Вестник КГТУ им. А.Н. Туполева. 2012. № 4, вып. 1. С. 143-151.

39. Гараев КГ., Кусюмов А.Н., Павлов В.Г. Об управлении температурой поверхности сферы, обтекаемой высокоскоростным потоком вязкого газа // Изв. высш. учеб. заведений. Авиационная техника, 1987. №2. С. 22-25.

40. Гараев КГ., Мухаметзянов И.Р. К задаче оптимального управления турбулентным пограничным слоем на проницаемой сфере в сверхзвуковом потоке // Вестник КГТУ им. А.Н. Туполева, 2014. №2. С. 160-167.

41. Гараев КГ., Овчинников В.А. Инвариантные краевые задачи оптимально управляемого пограничного слоя // Прикладная математика и техническая физика. 2003. Т. 44. № 1. С. 33-38.

42. Гараев КГ., Овчинников В.А. Об одной разностной схеме для уравнений оптимально управляемого пограничного слоя // Изв. высш. учеб. заведений. Авиационная техника. 2002. № 3. С. 15-18.

43. Гараев КГ., Овчинников В.А., Билъченко Н.Г. Инвариантные вариационные задачи ламинарного пограничного слоя при различных режимах течения // Казань: Изд-во Казан, гос. техн. ун-та, 2003. 123 с.

44. Гараев КГ., Овчинников В.А., Мухаметзянов И.Р. Интегрирование уравнений турбулентного пограничного слоя на сфере в сверхзвуковом потоке // Вестник КГТУ им. А.Н. Туполева, 2009. №4. С. 62-65.

45. Гараев КГ., Павлов В.Г. Групповое расслоение уравнений оптимально управляемого пограничного слоя // Изв. высш. учеб. заведений. Авиационная техника. 1977. № 4. с. 30-33.

46. Гараев КГ., Павлов В.Г. Групповые свойства уравнений оптимально управляемого пограничного слоя // Изв. высш. учеб. заведений. Авиационная техника. 1970. № 4. С. 5-9.

47. Гараев К.Г., Соловьев B.B. Об одной оптимальной задаче аэродинамики пограничного слоя // Гидрогазодинамика летательных аппаратов и их систем: Межвузовский сб. Куйбышев: КуАИ, 1984. С. 41-46.

48. Гараев К.Г., Осадчая Д.М. Оптимальный вдув охладителя в ламинарный пограничный слой на круговом конусе в сверхзвуковом потоке // Всероссийский семинар по аналитической механике, устойчивости и управлению движением. Казань, 2005.

49. Гараев Т.К., Каримова И.А. О существовании первого интеграла в одной оптимальной задаче с распределенными параметрами // Вестник КГТУ им. А.Н. Туполева. 2011. № 1. С. 100-103.

50. Гинзбург И.П. Теория сопротивления и теплопередачи. Л.: ЛГУ, 1970. 376 с.

51. Гольдштик М.А., Штерн В.Н. Гидродинамическая устойчивость и турбулентность. Новосибирск: Наука, 1977. 366 с.

52. Гошек И. Аэродинамика больших скоростей. М.: Иностранная литература, 1954. 548 с.

53. Дараган М.А., Осадчая Д.М. Оптимально управляемый пограничный слой на клине при сверхзвуковом режиме обтекания // XII Саратовская зимняя школа «Современные проблемы теории функций и их приложения». Саратов, 2004. С. 54-55.

54. Дородницын A.A. Ламинарный пограничный слой в сжимаемом газе // Сб. теоретических работ по аэродинамике. М.: Оборонгиз, 1957. С. 140-173.

55. Дородницын A.A. Об одном методе решения некоторых нелинейных задач аэрогидродинамики // Труды 3-го Всесоюз. матем. съезда. М.: Изд-во АН СССР, 1958. Т. 3. С. 447-453.

56. Дородницын A.A. Об одном методе решения уравнений ламинарного пограничного слоя // Прикл. математика и техн. физика. 1960. №3. С. 111-118.

57. Дорренс У.Х. Гиперзвуковые течения вязкого газа. М.: Мир, 1966. 439 с.

58. Дракин И.И. Аэродинамический и лучистый нагрев в полете. М.: Оборонгиз, 1961. 68 с.

59. Жанабеков Ж.Ж., Лукьянов А.Т. Об оптимальном управлении теплообменом на пористой поверхности // Изв. высш. учеб. заведений. Авиационная техника. 1977. № 2. С. 55-61.

60. Жукаускас А., Шланчаускас А. Теплоотдача в турбулентном потоке жидкости. Вильнюс: МИНТИС, 1973. 327 с.

61. Зинченко В.И., Путянина E.H. Исследование тепломассообмена при обтекании тел различной формы с учетом вдува // Инженерно-физический журнал. 1983. Т. 45. № 1.С. 11-21.

62. Казаков A.B. О возможности затягивания ламинарно-турбулентного перехода при больших числах рейнольдса с помощью оптимального выбора объемных сил // Изв. РАН. МЖГ. 2001. № 4. С. 81-86.

63. Казаков A.B., Коган М.Н., Купарев В.А. Затягивание ламинарно-турбулентного перехода с помощью интенсивного локального нагрева поверхности вблизи передней кромки //ТВТ. 1996. Т. 34. № 1. С. 46.

64. Козлов Л.Ф. Об оптимальном отсасывании пограничного слоя на пористой пластине с учетом начальной турбулентности потока // Инженерно-физический журнал. 1965. Т. 9. № 2. С. 151-154.

65. Комаров В.П., Леонтьев А.И. Экспериментальное исследование эффективности завесы в турбулентном пограничном слое газа // Теплофизика высоких температур. 1970. Т. 8. № 2. С. 353-358.

66. Корнилов В.И. Турбулентный пограничный слой на теле вращения при периодическом вдуве/отсосе // Теплофизика и аэромеханика. 2006. Т. 13. № 3. С. 368-385.

67. Корнилов В.И., Шквар Е.А. Моделирование турбулентных пограничных слоев на теле вращения при наличии разрушителей крупных вихрей // Теплофизика и аэромеханика. 2010. Т. 17. № 3. С. 335-348.

68. Крайко А.Н. Вариационные задачи газовой динамики. М.: Наука, 1979. 447 с.

69. Крайко А.Н. К оптимальному управлению пограничным слоем // Изв. высш. учеб. заведений. Авиационная техника. 1979. № 1. С. 124-125.

122

70. Краснов Н.Ф., Кошевой В.Н. Управление и стабилизация в аэродинамике. М.: Высшая школа, 1978. 480 с.

71. Кузнецов В.К Об оптимальном вдуве в пограничный слой в сверхзвуковом потоке на проницаемом цилиндре // Вестник КГТУ им. А.Н. Туполева. 2006. № 2. С. 43-45.

72. Кузнецов В.К Оптимальное управление ламинарным пограничным слоем на клине в сверхзвуковом потоке // Вестник КГТУ им. А.Н. Туполева. 2009. № 2. С. 42-45.

73. Кузнецов В.К Принцип максимума в задаче оптимального управления пограничным слоем в сверхзвуковом потоке // Материалы Всероссийского семинара «Аналитическая механика, устойчивость и управление движением» // Казань, 2009. С. 72-73.

74. Кузьминский В.А. О полной стабилизации течения в пограничном слое при сверхзвуковых скоростях // Ученые записки ЦАГИ. 1975. Т.6. №5. С. 45-54.

75. Кутателадзе С.С. Основы теории теплообмена. М.: Атомиздат, 1979. 416 с.

76. Кутателадзе С.С. Теплопередача и гидродинамическое сопротивление: Справочное пособие. М.: Энергоатомиздат, 1990. 367 с.

77. Кутателадзе С.С., Леонтьев А.И. Тепломассообмен и трение в турбулентном пограничном слое. 2-е изд., перераб. М.: Энергоатомиздат, 1985. 320 с.

78. Лапин Ю.В. Турбулентный пограничный слой в сверхзвуковых потоках газа. М.: Наука, 1982. 312 с.

79. Лебедев А.А., Чернобровкин Л.С. Динамика полета беспилотных летательных аппаратов. М.: Машиностроение, 1973. 616 с.

80. Левин В.А., Громов В.Г., Афонина Н.Е. Численное исследование влияния локального энергоподвода на аэродинамическое сопротивление и теплообмен сферического затупления в сверхзвуковом потоке воздуха // Прикладная механика и техническая физика. 2000. № 5. Т. 41. С. 171-179.

81. Леонтьев А.И., Лущик В.Г., Якубенко А.Е. Пограничный слой на проницаемой стенке с отсосом газа // Теплофизика высоких температур. 2010. Т. 48. №3. С. 396-401.

82. Лойцянский Л.Г. Ламинарный пограничный слой. М.: Физматгиз, 1962, 479 с.

83. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. М.: Наука, 1978. 736 с.

84. Лущик В.Г., Якубенко А.Е. Трение и теплообмен в пограничном слое на проницаемой поверхности при вдуве инородного газа // Теплофизика высоких температур. 2005. Т. 43. № 6. С. 880-887.

85. Лю-Шень-Цюань. Расчет ламинарного пограничного слоя в сжимаемом газе при наличии отсоса или вдува // Журнал вычислит, математики и физики. 1962. №5. С. 868-883.

86. Мануйлович С.В. Стабилизация ламинарного пограничного слоя с помощью активного воздействия, локализованного на обтекаемой поверхности // Изв. РАН. МЖГ. 2006. № 1. С. 76-92.

87. Механика в СССР за 50 лет. Т.2. Механика жидкости и газа. М.: Наука, 1970. 880 с.

88. Миеле А. Обобщение вариационной задачи на несколько функций двух независимых переменных // Теория оптимальных аэродинамических форм. М.: Мир, 1969. 508 с.

89. Мугстев В.П. Исследование теплообмена и характеристик турбулентного пограничного слоя на пористой поверхности. В кн.: Тепло- и массоперенос, т.1 / Под ред. A.B. Лыкова, Б.М. Смольского. М.: Энергия, 1968. С. 33-38.

90. Мухаметзянов И.Р. Интегрирование уравнений сжимаемого турбулентного пограничного слоя на сфере методом интегральных соотношений A.A. Дородницына // Труды XVII Школы-семинара молодых ученых и специалистов под руководством академика РАН А.И. Леонтьева «Проблемы газодинамики и тепломассообмена в аэрокосмических технологиях». 25-29 мая 2009 г., г. Жуковский. - М.: Издательский дом МЭИ, 2009. Т. 2. С. 106-109.

91. Мухаметзянов И.Р. Интегрирование уравнений турбулентного пограничного слоя на проницаемой сфере методом интегральных соотношений А.А. Дородницына // Материалы IV Всероссийского конкурса молодых ученых «Итоги диссертационных исследований», М.: РАН, 2012. Т.4. С. 3-10.

92. Мухаметзянов И.Р. Математическое моделирование вдува газа в турбулентный пограничный слой при сверхзвуковых скоростях // Материалы всероссийской научно-практической конференции молодых ученых «Современные проблемы математики и её прикладные аспекты», 12 марта 2010 г., Пермь, 2010. С. 113.

93. Мухаметзянов И.Р. Об одной задаче оптимального управления турбулентным пограничным слоем в сверхзвуковом потоке // Сборник Международной научной конференции «Образование, наука и экономика в вузах. Интеграция в международное образовательное пространство», г. Плоцк, Польша, Высшая школа им. Павла Влодковица, 2008. С. 490-493.

94. Мухаметзянов И.Р. Об оптимальном вдуве в пограничный слой в турбулентном сверхзвуковом потоке на проницаемых сферических телах // Материалы V Всероссийского конкурса молодых ученых «Итоги диссертационных исследований», М.: РАН, 2013. Т.4. С. 3-12.

95. Мухаметзянов И.Р. Программный комплекс «Оптимальное управление турбулентным пограничным слоем в сверхзвуковом потоке» - М.: Федеральная служба по интеллектуальной собственности (РОСПАТЕНТ) - №2014611252 от 29.01.2014.

96. Мухаметзянов И.Р. Расчёт трения и теплового потока на сфере в турбулентном сверхзвуковом потоке // Известия высших учебных заведений. Авиационная техника, 2013. № 2. С. 43-46.

97. Мухаметзянов И.Р. Решение уравнений турбулентного пограничного слоя на цилиндре в сверхзвуковом потоке // Материалы Всероссийского семинара, посвященного столетию Кузьмина П.А. «Аналитическая механика, устойчивость и управление движением», г. Казань, 2008. С. 87-88.

>4 ч

98. Овчинников В.А. К задаче оптимального управления трением в ламинарном пограничном слое несжимаемой жидкости на круговом цилиндре // Вестник КГТУ им. А.Н.Туполева, 2003. № 3. С. 41-46.

т

99. Овчинников В.А. Оптимальное управление трением на круговом цилиндре с учетом обратного влияния пограничного слоя // Изв. высш. учеб. заведений. Авиационная техника. 2007. № 2. С. 23-25.

100. Овчинников В.А. Устойчивость оптимально управляемого ламинарного пограничного слоя на плоской пластине. Труды Второй Всероссийской научной конференции (1-3 июня 2005 г.). Часть 2, Моделирование и оптимизация динамических систем и систем с распределенными параметрами, Математические модели в информационных технологиях, Матем. моделирование и краев, задачи, СамГТУ, Самара, 2005. С. 194-197.

101. Осадчая Д.М. Управление пограничным слоем в сверхзвуковых потоках при различных режимах течения / Под редакцией К.Г. Гараева. Казань: Изд-во Казан, гос. техн. ун-та, 2007. 108 с.

102. Осадчая Д.М., Дараган М.А. К задаче оптимального управления пограничным слоем на клиньях в сверхзвуковом потоке // Вестник КГТУ им. А.Н. Туполева. Казань, 2004. № 1. С. 26-29.

103. Осовский А.Е. Об оптимизации закона отсоса пограничного слоя // Ученые записки ЦАГИ. 1981. Т.12. №6. С. 112-118.

104. ПавловскийЮ.Н. Численный расчет ламинарного пограничного слоя в сжимаемом газе // Вычислительная математика и физика. 1962. №5. С. 884-901.

105. Панкратов Б.М. Спускаемые аппараты. М.: Машиностроение, 1984.232 с.

106. Патанкар С., Сполдинг Д. Тепло- и массообмен в пограничных слоях. Пер. с англ. М.: Энергия, 1971. 128 с.

107. Репухов В.М. Теория тепловой защиты стенки вдувом газа. Киев: Наукова думка, 1980.296 с.

108. Романенко П.Н. Гидродинамика и тепломассообмен в пограничном слое. М.: Энергия. 1974.464 с.

109. Pomma И.К Турбулентный пограничный слой в несжимаемой жидкости. JL: Судостроение, 1967. 232 с.

110. Сафаров P.A., Тирский Г.А. Турбулентный пограничный слой с теплообменом // Труды Моск. физ. - техн. ин-та; Серия 1: «Аэромеханика. Процессы управления». М.: Изд-во Моск. физ. - техн. ин-та, 1973. С. 43-58.

111. Сидняев Н.И. Экспериментальное исследование влияния массообмена на

аэродинамические характеристики тела вращения сложной формы // Известия

«

вузов. Авиационная техника. 2005. №2. С. 25-29.

112. Сиразетдинов Т.К. Оптимальные задачи газодинамики // Изв. высш. учеб. заведений. Авиационная техника. 1963. № 2. С. 26-29.

113. Сиразетдинов Т.К. Оптимизация систем с распределенными параметрами. М.: Наука, 1977. 480 с.

114. Сиразетдинов Т.К., Диваков О.Г. Оптимальное управление пограничным слоем // Изв. высш. учеб. заведений. Авиационная техника. 1969. № 3. С. 5-13.

115. Степанов Ю.Г. Расчет отрывного обтекания крылового профиля при малых скоростях на больших углах атаки // Труды ЦАГИ, 1980. Вып. 2080. С. 19-31.

116. Сычёв В.В. Об отсосе пограничного слоя, предотвращающем его отрыв // Ученые записки ЦАГИ. 1974. Т. 5. № 4. С. 86-89.

117. Фабрикант Н.Я. Аэродинамика. М.: Наука, 1964. 816 с.

118. Федяевский К.К, Гиневский A.C., Колесников A.B. Расчет турбулентного пограничного слоя несжимаемой жидкости. JL: Судостроение, 1973. 256 с.

119. Харша П.Т. Модели переноса кинетической энергии / Турбулентность. Принципы и применения / Под ред. У. Фроста, Т. Моулдена. М.: Мир, 1980. С. 207-261.

120. Химмелъблау Д. Прикладное нелинейное программирование. М.: Мир, 1975. 534 с.

121. Хуснутдинова Н.В. Качественные свойства отрывных течений в пограничном слое Прандтля // Сибирский математический журнал. 2001. Т. 42. №6. С. 1431 - 1442.

122. Швалев Ю.Г. Экспериментальное исследование местной теплоотдачи в ламинарном пограничном слое при сверхзвуковых скоростях // Ученые записки ЦАГИ. 1978. Т. 9. № 5. С. 46-51.

123. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя. М.: Наука, 1974. 712 с.

124. Airiau С., Bottaro A., Walther S., Legendre D. A methodology for optimal laminar flow control: Application to the damping of tollmien-shlichting waves in a boundary layer, Phys. Fluids, 15, 2003, p. 1131-1145.

125. Assassa G., Brauner CM. and Gay B. Optimal control of the boundary layer equations by the outer velocity finite element method I I International Conference in Water Resourse, Southampton, U.K. «Finite 2nd Int. Conf., London, 1978», London-Plymount, 1978, p. 365-384.

126. Balakumar P., Hall P. Optimum suction distribution for transition prediction // Theor. Comput. Fluid. Dyn., 1999, 13, p. 1-19.

127. Brauner C.M., Crolet M.H., Misiti M, Gay B. Optimal control of the laminar boundary layer by blowing or suction the wall. «Number. Methods Laminar and Turbulent Flow // Proc. 1 st. int. Conf. Swansea, 1978», London-Plymount, 1978. p. 369-377.

128. Bystroma M.G., Levina O., Henningson D.S. Optimal disturbances in suction boundary layers // European Journal of Mechanics - B/Fluids, Volume 26, Issue 3, May-June 2007, p. 330-343.

129. Cathalifaud P., Bewley T.R. Optimal Control of Boundary-Layer Perturbations: A Global Approach // American Physical Society, 54th Annual Meeting of the Division of Fluid Dynamics November 18-20, 2001, San Diego, California Meeting ID: DFD01, abstract #JN.001.

130. Cathalifaud P., Luchini P. Algebraic growth in a boundary layer: optimal control by blowing and suction at the wall // Eur. J. Mech. B/Fluids, 2000, 19(4), p. 469-490.

131. Dumitrache A. A method for optimal control in boundary-layer flow // PAMM, 2007, Vol. 7, № l,p. 1061103-1061104.

132. Glowinscki R., Pironnen O. On the numerical computation of the minimum drag profile in laminar flow // Journal of Fluid Mechanics, 1975, Vol. 72, part 2, p. 385-389.

133. Henningson D., Hanifi A. The Application of Optimal Control to Boundary Layer Flow // Solid Mechanics and Its Applications. IUTAM Symposium on One Hundred Years of Boundary Layer Research. Springer Netherlands, 2006, p. 59-71.

134. Hógberg M. Optimal control of Boundary Layer Transition. Ph.D. Thesis, Royal Institute of Technology, KTH Mechanics, Stockholm, Sweden, 2001.

135. Hógberg M, Henningson D.S. Linear optimal control applied to instabilities in spatially developing boundary layers // Journal of Fluid Mechanics, Vol. 470, 2002, p. 151-179.

136. Joslin R.D., Erlebacher G. Hussaini M.Y. Active control of instabilities in laminar boundary-layer flow. Part 1: An overview // Fluid Mechanics and Heat Transfer, Final Report Institute for Computer Applications in Science and Engineering, Hampton, VA, 1994.

137. Joslin R.D., Gunzburger M.D., Nicolaides R.A., Erlebacherl G., Hussaini M. Y. Self-Contained Automated Methodology for Optimal Flow Control //AIAA Journal, vol. 35, issue 5,1997, p. 816-824.

138. Launder B.E., Spalding D.B. Mathematical models of turbulence. London, New York: Academic Press, 1972. 169 p.

139. Lógdberg O. Turbulent boundary layer separation and control // Technical Reports from Royal Institute of Technology, KTH Mechanics, Stockholm, Sweden, December 2008.

140. Mellor G.L., Herring H.J. A survey of the mean turbulent field closure models // AIAA Journal, 1973. Vol. 11. P. 590-599 (Меллор, Херринг. Обзор моделей для замыкания уравнений осредненного турбулентного течения // Ракетная техника и космонавтика, 1973. Т. 11. № 5. С. 17-29).

141. Napolitano М. Numerical Study of Strong Slot Injection into a Supersonic Laminar Boundary Layer//AIAA Journal, 1980. Vol. 18, issue I, p. 72-77.

142. Noether E. Invariante Variationsprobleme // Nachr. Kg. Ges. Wiss. Gottingen. Math. Phys. 1918, к. 1. p. 235-257. (Рус. перевод: Нетер Э. Инвариантные вариационные задачи // Вариационные принципы механики. М.: Физматгиз, 1959. С. 611-630).

143. Pralits J. О., Hanifi A. Optimal suction design for hybrid laminarflow control // Fluid Mechanics and Its Applications. Six IUTAM Symposium on LaminarTurbulent Transition. Springer, 2006, p. 201-206.

144. Pralits J.O., Hanifi A., Henningson D.S. Adjoint-based optimization of steady suction for disturbance control in incompressible flows // J. Fluid. Mech. 2002, Vol. 467, p. 129-161.

145. Prandtl L. Uber Flussigkeitsbewegung bee sehr Kleiner Reibung. III. Intern. Math. Kongr. Heidelberg 1904. p. 484-491.

146. Rumpfkeil M.P., Zingg D. W. The optimal control of unsteady flows with a discrete adjoint method // Optimization and Engineering. Springer Science+Business Media, LLC, 2008.

147. Schneider R. Applications of the Discrete Adjoint Method in Computational Fluid Dynamics, Ph.D. Thesis, University of Leeds, 2006.

148. Shojaefard M.H., Noorpoor A.R., Avanesians A., Ghaffarpour M. Numerical investigation of flow control by suction and injection on a subsonic airfoil // American Journal of Applied Sciences 2 (10), 2005, p. 1474-1480.

149. Van-Driest E.R. On turbulent flow near a wall // Journal of Aeronautical Sciences, 1956. Vol. 23. № ю. P. 1007-1011.

Стандартные обозначения:

М - значение числа Маха;

- безразмерная температура газа на стенке;

АХТ = 100% • (уХ^ - Х^ )!Х^ - выигрыш в значении сопротивления

трения, который дает оптимальное управление по сравнению с неоптимальным (равномерным законом вдува);

т(0) - начальное приближение, равномерный вдув;

X^ - значение сопротивления трения для оптимального управления п-ои приближении т{п) (х);

хУ) - трение на стенке;

X - эмпирическая постоянная турбулентности; у - показатель адиабаты.

Результаты вычислительного эксперимента по минимизации сопротивления трения на сфере при линейной зависимости вязкости от

температуры

т(0)(х) 0.4 0.6 0.8

£ 0.25 0.5 0.25 0.5 0.25 0.5

у(о) УЛ. у, 0.105091 0.118849 0.094548 0.108269 0.085270 0.098840

у( 1) Л. у 0.102391 0.116312 0.091704 0.105538 0.082726 0.096335

у{ 2) 0.102262 0.116230 0.091400 0.105304 0.082234 0.095923

-Л у 0.102262 0.116215 0.091341 0.105263 0.082099 0.095797

у-М УЛ. у — 0.116209 0.091350 0.105241 0.082051 0.095775

у<5) А ^ — 0.116208 0.091343 0.105256 0.082020 0.095738

у{<>) — — 0.091343 0.105247 0.082020 0.095730

уС) УЛ. у — — — 0.105235 — 0.095711

у( «) Л у — — — 0.105234 — 0.095707

у(9) УЛ. ^ — — — — — 0.095707

АХТ,% 2.692 2.222 3.389 2.803 3.811 3.170

Результаты вычислительного эксперимента по минимизации интегрального теплового потока на сфере при степенной зависимости

вязкости от температуры

т{0){ х) 0.2 0.4

0.25 0.5 0.8 0.25 0.5 0.8

¿(0) 0.177365 0.139488 0.057064 0.160912 0.125502 0.050361

¿(0 0.168568 0.132129 0.053629 0.146829 0.113533 0.044735

й{2) 0.168479 0.132071 0.053611 0.146284 0.113095 0.044552

¿(3) 0.168479 0.132067 0.053606 0.146241 0.113069 0.044474

&4) — 0.132067 0.053606 0.146225 0.113042 0.044467

&5) — — — 0.146219 0.113032 0.044459

&6) — — — 0.146219 0.113023 0.044450

й{1) — — — — 0.113023 0.044449

де,% 5.010 5.320 6.060 9.131 9.943 11.739

Результаты вычислительного эксперимента по минимизации интегрального теплового потока на сфере при степенной зависимости вязкости от температуры (продолжение)

т(0)(х) 0.6 0.8

К 0.25 0.5 0.8 0.25 0.5 0.8

0(0) 0.145815 0.112645 0.044194 0.132027 0.100882 0.038553

0.129110 0.098275 0.037281 0.114252 0.085515 0.031105

&г) 0.127826 0.097216 0.036828 0.112226 0.083755 0.030408

¿(3) 0.127681 0.097118 0.036826 0.111949 0.083579 0.030491

ё(4) 0.127642 0.097033 0.036773 0.111932 0.083422 0.030190

ё(5) 0.127635 0.097003 0.036794 0.111897 0.083373 0.030401

ё(6) 0.127634 0.096996 0.036748 0.111881 0.083360 0.030192

— 0.096992 0.036737 0.111881 0.083360 0.030377

— 0.096988 0.036728 — — 0.030239

— 0.096981 0.036727 — — 0.030193

ё(10) — 0.096980 — — — 0.030192

12.468 13.906 16.896 15.259 17.369 21.687

О потребном расходе газа и перепаде давления над пористой стенкой

Расчёты проводились при следующих исходных данных: т(0) = 0.4; радиус сферы / = 0.05 м; число Маха Ми = 7; у = 1.4; параметры стандартной атмосферы соответствовали высоте 10000 м (Тт = 223.15 К; а = 299.45 м/с;

=26491.08 кг/(м-с2);роо = 4.1357-10"1 кг/м3; V« =3.5232- 10'5м2/с).

Кроме того, вычислим дополнительные параметры:

у-1

--р. =2.4336538 кг/м3.

Ро

^М2

. 1 оо

у +1

у + 1

4у

2(7-1)

и-1 г

(у + 1 у (у + 1)2М2

ию = м „а = 7 • 299.45 = 2096.15 м/с, тогда

гт=К>М

т = т

1 О 1 00

(у -1) • М

\

= 2096.15/1 +

(1.4-1) -49

= 2200.5 м/с.

1 + ^±М2

= 223.15-

1 +

14-1 ^ --49

= 2410.02 К;

^=уда-Роо= 3.5232-10"5 • 4.1357 • 10"1 = 1.45708982-10"5кг/(м-с).

Динамическая вязкость воздуха для случая степенной зависимости

вязкости от температуры

= 1.45708982-10"5

г №-7 71 1 о

Т

V/ СО У

г 2410.02

223.15

= 7.7069573-10"5 кг/(м-с), тогда

= ^ = 17069573 401 = 3 16682566 10_5 7 ро 2.4336538 '

Расход вдуваемого газа определяется выражением вида

При т(л;) = т®(Зс) = 0.4, (рв)^ =1.1492289 кг/(м2-с).

На следующем рисунке представлены зависимости расхода воздуха от координаты Зс при различных значениях температурного фактора Тк на сферической лобовой поверхности летательного аппарата для случаев «предельных» оптимальных управлений пг(х), которые получены при

минимизации функционала интегрального теплового потока в случае степенной зависимости вязкости от температуры.

Зависимость расхода воздуха от координаты л: для различных : линия 1 - Т„ = 0.25; линия 2 - Тщ = 0.5; линия 3 - = 0.8

Потребный перепад давления определим по классической формуле

кп 8 Кп

Здесь индекс «§» относится к параметрам газа в пористой среде; П - пористость материала стенки; Кп - коэффициент проницаемости среды; к - толщина пористой стенки.

Результаты расчета перепада давления для стенки, изготовленной из пористой коррозионно-стойкой стали 14X17Н2 с пористостью П = 0.4 и коэффициентом проницаемости Кп = 6.4-10-14 м2, при равномерном вдуве

т^ (Зс) = 0.4 сведены в таблицу.

к, м 0.002 0.004 0.006 0.008

АР, Па 3163252.63 6326505.26 9489757.89 12653010.52

На следующем рисунке представлена зависимость перепада давления от координаты х для «предельного» оптимального управления т( Зс),

полученного для случая минимизации функционала интегрального теплового потока при степенной зависимости вязкости от температуры и безразмерной температуры газа на стенке = 0.25, при различных значениях толщины пористой стенки.

А/МО"6,Па 75

60

45

30

15

0

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 Зс 1.0

Зависимость перепада давления от координаты х для различных к: линия 1 - к = 0.002 м; линия 2 - к = 0.004 м; линия 3 - Л = 0.006 м; линия 4 - к = 0.008 м

Результаты вычислительного эксперимента по минимизации сопротивления трения на сфере при степенной зависимости вязкости от

температуры

т(0)( х) 0.4 0.8

% 0.25 0.5 0.25 0.5

у(0) у\ у. 0.100844 0.128271 0.087518 0.112003

у{ 1) 0.099318 0.126590 0.085730 0.110139

УЛ. у. 0.099272 0.126541 0.085591 0.109909

л Т 0.099272 0.126541 0.085524 0.109877

у(*) У\. у. — — 0.085493 0.109876

У^ А J — — 0.085478 —

у(<>) — — 0.085478 —

АХ Т, % 1.559 1.349 2.331 1.899

График оптимальных законов вдува для случая: М = 7; Т^- 0.25; тя(0) (х) = 0.4

при степенной зависимости вязкости от температуры. Обозначения: Линия 1 соответствует случаю равномерного вдува т^ (Зс) = 0.4; кривая 2 - оптимальному управлению в 1-ом приближении; кривая 3 - «предельному» оптимальному управлению в 3-ем приближении.

■ // />----- / \2 Ч\

■ // Й» н ч 1 -

ч \\ Хч, \ч

- к " 1

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 X 1.0

Зависимость оптимальной скорости вдува от координаты

Выигрыш в значении сопротивления трения для этого случая составляет 1.6%.

Результаты вычислительного эксперимента по минимизации интегрального теплового потока на цилиндре при степенной зависимости

вязкости от температуры

7И(0)(х) 0.2 0.4

Т. 0.25 0.5 0.8 0.25 0.5 0.8

0.316785 0.252794 0.106075 0.277718 0.219601 0.090172

ё(,) 0.296609 0.236327 0.098558 0.246825 0.193690 0.077927

2й 0.296445 0.236216 0.098514 0.245578 0.192807 0.077608

2<>, 0.296445 0.236216 0.098513 0.245485 0.192701 0.077547

¿.о — — — 0.245450 0.192605 0.077531

е(!) — — — 0. 245450 0. 192604 0.077512

е(6) — — — — — 0.077503

е"1 — — — — — 0.077503

Л0, % 6.421 6.558 7.129 11.619 12.294 14.050

Результаты вычислительного эксперимента по минимизации интегрального теплового потока на цилиндре при степенной зависимости вязкости от температуры (продолжение)

т(0) (л;) 0.6

Т* 0.25 0.5 0.8

¿(0) 0.242440 0.189427 0.075651

¿0) 0.207618 0.160044 0.061417

&2) 0.204976 0.158043 0.060823

¿(3) 0.204715 0.158024 0.060863

ё(4) 0.204660 0.157749 0.060773

б(5) 0.204651 0.157547 0.060772

&6) 0.204646 0.157410 —

ё(7) 0.204646 0.157605 —

б(8) — 0.157324 —

&9) — 0.157296 —

— 0.157295 —

15.589 16.963 19.668

Результаты вычислительного эксперимента по минимизации интегрального теплового потока на цилиндре при линейной зависимости

вязкости от температуры

тт(х) 0.2 0.4

Т. 0.25 0.5 0.8 0.25 0.5 0.8

0.337073 0.234288 0.090409 0.275478 0.191997 0.072833

£(,) 0.303656 0.212781 0.082050 0.228795 0.159310 0.059355

е(!| 0.303400 0.212652 0.082002 0.226006 0.158085 0.058966

е(!) 0.303386 0.212644 0.082006 0.225756 0.157880 0.058893

е(,) 0.303386 0.212644 0.082003 0.225657 0.157738 0.058858

е,!) — — 0.082003 0.225656 0.157716 0.058848

е"» — — — — 0.157654 0.058857

е(,) — — — — 0.157654 0.058840

ё"» — — — — — 0.058836

— — — — — 0.058836

дё,% 9.994 9.238 9.298 18.086 17.887 19.218

Результаты вычислительного эксперимента по минимизации интегрального теплового потока на цилиндре при линейной зависимости вязкости от температуры (продолжение)

О.б

Т. 0.25 0.5 0.8

0.222533 0.154726 0.057110

вт 0.175065 0.119688 0.041843

вт 0.169646 0.116923 0.041195

¿о. 0.169229 0.117116 0.041282

е,4) 0.169094 0.116220 0.041235

е(!) 0.169094 0.116809 0.041234

ё"> — 0.116625 —

вт — 0.116010 —

ё(!) — 0.115910 —

ё" — 0.115842 —

— 0.115800 —

е"" — 0.115771 —

— 0.115770 —

де,% 24.014 25.177 27.799

Результаты вычислительного эксперимента по минимизации сопротивления трения на цилиндре при степенной зависимости вязкости

от температуры

т(0)(3с) 0.4 0.6 0.8

К 0.25 0.5 0.25 0.5 0.25 0.5

у(°) У\- у 0.160266 0.206846 0.149100 0.193347 0.138840 0.180970

уО) УХ у 0.158641 0.205010 0.147242 0.191348 0.136885 0.178937

у( 2) Ух у 0.158639 0.205008 0.147236 0.191286 0.136892 0.178877

у( 3) Л. у 0.158632 0.204998 0.147219 0.191235 0.136837 0.178801

у-(<) ух ^ 0.158613 0.204992 0.147188 0.191265 0.136831 0.178808

-Л у 0.158613 0.204985 0.147188 0.191248 0.136833 0.178808

у(6) УХ у — 0.204984 — 0.191248 0.136832 —

уС) Ух у — — — — — —

УХ — — — — — —

у(9) УХ ^ — — — — — —

1.032 0.900 1.282 1.086 1.446 1.195

Результаты вычислительного эксперимента по минимизации сопротивления трения на цилиндре при линейной зависимости вязкости

от температуры

0.4 0.6 0.8

£ 0.25 0.5 0.25 0.5 0.25 0.5

УЛ. у 0.165206 0.190340 0.148199 0.173350 0.133338 0.158302

уО) УЛ. у 0.162174 0.187392 0.145129 0.170282 0.130537 0.155515

уР) УЛ. у 0.162056 0.187267 0.144813 0.170001 0.130091 0.155099

у( 3) 0.162028 0.187279 0.144770 0.169956 0.129995 0.154988

УЛ. у. 0.162028 0.187271 0.144763 0.169979 0.129951 0.154952

УЛ. у — 0.187268 0.144747 0.169959 0.129939 0.154949

у{6) УЛ. у 0.187267 0.144747 0.169959 0.129932 0.154936

А. у — — — — 0.129918 0.154913

у® УЛ у — — — — 0.129911 0.154887

У"( 9) — — — — 0.129910 0.154887

АХТ,% 1.924 1.615 2.329 1.956 2.571 2.157

Расчет скорости вдува в турбулентный пограничный слой на проницаемой сфере при степенной зависимости вязкости от температуры

Расчет выполнен для случая: М = 7; Н = 10000 м; Г, = 0.25;

т(0)(х) = 0.4.

Обозначения: Кривая 1 соответствует случаю равномерного вдува т(0) (Зс) = 0.4; кривая 2 - случаю «предельного» оптимального управления т (Зс), которое получено при минимизации функционала интегрального теплового потока.

0.7& 0.50 0.25 0.0

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 X 1.0

Зависимость скорости вдува от координаты х

Максимальная скорость вдува для рассмотренного случая составляет Зу/ = 0.682 м/с. Проверим условие «слабого» вдува (5.48)

ит 2096.15

оо

Условие выполняется.

\ ^ \2 (

- / У У У У

1 ----- **