Численное моделирование развития нелинейных возмущений в сверхзвуковом пограничном слое с благоприятным градиентом давления тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Илюхин Иван Михайлович

• Илюхин Иван Михайлович
• кандидат наук
• 2024

Оглавление диссертации кандидат наук Илюхин Иван Михайлович

Введение

Глава 1. Постановка задачи и численный метод

1.1. Постановка задачи

1.2. Численный метод

1.3. Методологические исследования

1.3.1. Взаимодействие ламинарного пограничного слоя со скачком уплотнения21

1.3.2. Уточнение расчётной сетки

Выводы по главе

Глава 2. Устойчивость сверхзвукового пограничного слоя над параболическим профилем

2.1. Анализ устойчивости двумерного течения

2.2. Численное моделирование развития возмущений

2.3. Исследование сеточной сходимости

Выводы по главе

Глава 3. Численное моделирование возникновения и развития турбулентного пятна в сверхзвуковом пограничном слое с благоприятным градиентом давления58

3.1. Особенности численного моделирования распространения возмущений

3.2. Развитие возмущения до формирования турбулентного пятна

3.3. Сформировавшееся турбулентное пятно

Выводы по главе

Глава 4. Численное моделирование перекрытия турбулентных пятен в сверхзвуковом пограничном слое

4.1. Постановка задачи и результаты моделирования

4.2. Сравнение течения в области взаимодействия с уединённым турбулентным пятном

Выводы по главе

Заключение

Список литературы

Введение

Все линейные системы ведут себя одинаково.

Каждая нелинейная система нелинейна по-своему

Басов Н. Г.

Ценность науки заключается, в том числе, в возможности практического применения теорий, выведенных на основе наблюдений и экспериментов. Одним из критериев достоверности тех или иных теорий оказывается предсказательное свойство - насколько точно теория способна до наблюдений в заданных условиях описать их результат? В некоторых областях современной науки предсказательная сила теорий слаба из-за тяги рассматриваемых систем к хаосу. Хотя само понятие «хаос» кажется повседневным (его можно обнаружить в расцветке гепарда, в беспорядочном разлёте тополиного пуха или в комнате молодого человека), есть разделы математики, специализирующиеся на его изучении. Особый интерес представляет динамический хаос, возникающий во вполне детерминированных системах и проявляющийся в том, что состояние системы чувствительно к малейшим изменениям начальных условий. Первым сообщением о хаотичном поведении системы, чувствительной к начальным условиям, принято называть работу [1]. Она же привела к созданию термина «эффект бабочки». В этой работе в ходе численного моделирования детерминированный хаос был получен при рассмотрении систем, связанных с предсказанием погоды - и это неслучайно. Перемещение воздушных масс и конвекция атмосферы описываются уравнениями, полученными из уравнений Навье-Стокса, обладающих широким классом решений. К этим решениям относятся, в том числе, неустойчивые. Простейшим примером неустойчивого течения можно назвать обтекание цилиндра и связанную с ним вихревую дорожку Кармана, или неустойчивость Кельвина-Гельмгольца, возникающую на тангенциальном разрыве двух сред [2]. Дальнейшее обсуждение детерминированного хаоса продолжено в работе [3], где обсуждаются временные ограничения предсказательной силы теории в применении к динамическим

системам.

С практической точки зрения данная проблема возникает при проектировании летательных аппаратов. Её актуальность возрастает, если речь идёт об аппаратах, движущихся со сверхзвуковой скоростью. На поверхности тел, движущихся в газе, возникает пограничный слой - довольно тонкая пристенная область, появляющаяся вследствие прилипания частиц газа к стенке. Течение в пограничном слое может быть ламинарным - слоистым, либо турбулентным - с перемешиванием частиц газа из различных слоёв друг с другом различными по масштабам вихрями. Переход пограничного слоя из ламинарного состояния в турбулентное оказывается довольно сложным для предсказания, так как сильно зависит от большого числа параметров: возмущений в набегающем потоке, температуры стенки, её шероховатости и так далее [4]. В то же время, в турбулентном пограничном слое существенно изменяются коэффициент трения и, в сверхзвуковом случае, возрастает тепловой поток [5,6].

Определение области начала ЛТП и её протяжённости на конкретной конфигурации при заданных параметрах набегающего потока - одна из сложнейших задач в аэрогидродинамике. Для упрощения, её можно разбить на подзадачи, каждая из которых описывает соответствующую стадию ламинарно турбулентного перехода: восприимчивость пограничного слоя к возмущениям в набегающем потоке, линейный рост неустойчивых мод возмущений, нелинейное взаимодействие между гармониками и распад, приводящий к формированию турбулентных пятен [7,8]. Турбулентные пятна растут вниз по потоку, перекрываются и, занимая всё большую площадь, формируют турбулентный пограничный слой [9].

Приведённые выше подзадачи могут рассматриваться как отдельно, так и вместе. К примеру, в работах [10,11] численно исследуется задача о восприимчивости пограничного слоя на пластинке к акустическим возмущениям. В работе [12] пропущен первый этап моделирования ЛТП и отдельно решаются параболизованные уравнения устойчивости (PSE) для пластинки, обтекаемой

сверхзвуковым потоком с числом Маха 1.6. В работах [13,14] причины формирования пятен и устойчивость пограничного слоя не являются предметом исследования. Вместо этого, авторами рассматриваются турбулентные пятна и зависимость их параметров от условий обтекания поверхности тела.

При совместном решении подзадач подход к моделированию ЛТП называют целостным. Примером реализации такого подхода можно назвать работу [15], в которой выполнено численное моделирование развития возмущений в пограничном слое параболического профиля, порождаемых акустическими возмущениями с фюзеляжа сверхзвукового летательного аппарата и атмосферной турбулентностью. В экспериментальных работах, например в [16], в качестве источника возмущений используются акустические возмущения от турбулентного пограничного слоя на стенках сопла аэродинамической трубы [17]. Целостный подход к моделированию ЛТП хотя и обладает рядом достоинств, оказывается требовательным как к расчётным сеткам, из-за необходимости корректно разрешать прохождение возмущений через скачок уплотнения [18], так и к постановке эксперимента.

Наиболее распространённым подходом к моделированию ЛТП оказывается смешанный подход, допускающий пропуск некоторых этапов. Чаще всего, пропускается этап восприимчивости. Например, при низких уровнях возмущений в набегающем потоке аэродинамической трубы, в пограничный слой можно ввести контролируемые возмущения [19]. При численном исследовании, возмущения задаются либо так же, как в эксперименте [20-24], либо в пограничный слой вводятся волновые пакеты, полученные с помощью линейной теории устойчивости [25,26]. Такие исследования, с одной стороны, оказываются проще, так как уменьшают число варьируемых параметров в задаче, а с другой стороны позволяют детальнее изучить рост неустойчивых мод, их взаимодействие и переход к турбулентности.

Исследование турбулентных пятен интересно как с прикладной, так и с теоретической точек зрения. Согласно [9], турбулентные пятна формируются в

некоторой узкой области, растут вниз по потоку и постепенно образуют турбулентный пограничный слой. Экспериментально показано [27], что геометрические характеристики пятен, такие как угол полураскрытия, скорость переднего и заднего фронта, не зависят от истории появления пятна, а являются функциями местных параметров среднего течения: числа Маха на внешней границе пограничного слоя, температуры стенки, градиента давления и т.п. Таким образом, моделирование уединённого турбулентного пятна в заданных условиях, позволяет получить необходимую информацию для построения функции перемежаемости, описывающей протяжённость области ЛТП. С теоретической точки зрения интересны механизмы формирования турбулентных пятен, их самоподдержки, а также влияния на них различных характеристик внешнего потока. В частности, в обзоре [28] упоминается, что до сих пор слабо изучена зависимость турбулентных пятен от градиента давления в сверхзвуковом потоке. Имеющиеся расчёты [23,29,30] чаще всего проводятся для безградиентных сверхзвуковых течений: острых пластин и конусов под нулевым углом атаки.

В работе [21] представлены результаты численного моделирования прохождения волновых пакетов и турбулентных пятен над углом разрежения. Показано, что амплитуда сформировавшегося волнового пакета при прохождении угла разрежения начинает падать, так как в изменившемся пограничном слое гармоники, из которых он состоит, оказываются устойчивыми. В то же время, сформировавшееся турбулентное пятно после прохождения угла разрежения не начинает затухать. В отличие от угла разрежения, на тонком параболическом профиле градиент давления не локализован в узкой области. Анализ автомодельных течений в его пограничном слое показал наличие точки максимального усиления неустойчивых гармоник [24]. При увеличении относительной толщины профиля данная точка смещается ближе к передней кромке, а максимальное интегральное усиление гармоник уменьшается. Этот результат был подтверждён с помощью прямого численного моделирования для распространения волнового пакета на линейном режиме в пограничном слое.

Численное моделирование распространения турбулентных пятен на параболическом профиле пока не проводилось.

Помимо эволюции сформировавшихся турбулентных пятен, интерес представляет механизм нелинейного взаимодействия неустойчивых мод пограничного слоя [31]. Взаимодействие начинается при достижении возмущениями некоторой критической амплитуды [32], после чего развивается по одному из трёх механизмов: фундаментальный резонанс, субгармонический резонанс и косой распад [19]. При развитии первой моды возмущений в пограничном слое, чаще всего нелинейное взаимодействие происходит по сценарию косого распада [12]: гармоники первой моды с одинаковыми по модулю, но разными по знаку значениями поперечного волнового числа, участвуют в трёхволновом взаимодействии и передают энергию продольному стрику, обладающему нулевой частотой и удвоенным значением поперечного волнового числа [26,33]. Управление стриками может повлиять на протяжённость области ламинарно-турбулентного перехода [34].

Отдельно стоит выделить задачу о перекрытии турбулентных пятен в пограничном слое. Принято считать, что турбулентный пограничный слой состоит из турбулентных пятен [28,35]. Однако до сих пор работ по численному моделированию процесса перекрытия турбулентных пятен в сжимаемых пограничных слоях мало. В [36] проведено моделирование взаимодействующих друг с другом пятен для двух случаев: в первом одно пятно находилось в следе другого, а во втором пятна двигались параллельно друг с другом, взаимодействие происходило на боковых поверхностях. Показано, что во втором случае осреднённый коэффициент перемежаемости оказывается выше, чем в первом.

В данной диссертационной работе за основу выбрано течение около параболического профиля с относительной толщиной 10%. Набегающий поток соответствует условиям полёта в атмосфере на высоте 20 км: число Маха 3, температура набегающего потока 230°К. На данном профиле имеется почти постоянный благоприятный градиент давления, что упрощает сравнение

полученных результатов с теоретическими. Выполнены исследования устойчивости данного пограничного слоя, проведено моделирование формирования и развития турбулентного пятна, а также взаимодействия турбулентных пятен.

Актуальность темы исследования

Актуальность темы развития нелинейных возмущений в сверхзвуковом пограничном слое связана с тем, что в области ламинарно-турбулентного перехода наблюдается экстремум распределения тепловых потоков, в котором тепловые потоки превышают значения полностью турбулентного пограничного слоя. Используемые эмпирические модели перехода построены, в основном, по данным, полученным в отсутствие градиента давления. В данной работе представлены результаты прямого численного моделирования нелинейных возмущений, из которых формируется турбулентное пятно в условиях благоприятного градиента давления. Полученные в работе сведения могут быть использованы как для создания более точных моделей ламинарно-турбулентного перехода, так и для выявления физических механизмов ламинарно-турбулентного перехода.

Взаимодействие турбулентных пятен редко становится объектом исследования в виду сложности моделирования данного процесса. Однако детальное рассмотрение взаимодействия пятен поможет улучшить понимание самоподдержание турбулентности и формирования турбулентного пограничного слоя.

Степень разработанности темы

Формированию и развитию турбулентных пятен в безградиентных пограничных слоях уделено достаточно внимания в литературе. Для возмущений на линейном режиме также имеются теории, позволяющие описать их развитие. Однако такие вопросы, как влияние градиента давления на критическую

амплитуду для начала нелинейного взаимодействия неустойчивых гармоник и на форму турбулентного пятна пока разработаны слабо. Кроме этого, практически не уделено внимания взаимодействию турбулентных пятен в сверхзвуковом пограничном слое.

Цель и задачи работы

Цель работы: определить основные закономерности развития нелинейных возмущений в сверхзвуковом пограничном слое с благоприятным градиентом давления.

Для достижения цели, необходимо решить следующие задачи:

1) Провести исследования двумерных стационарных течений с градиентом давления. Верифицировать полученные результаты на различных сетках и сравнить с известными теоретическими и экспериментальными данными;

2) Провести моделирование распространения линейных возмущений в пограничном слое на пластинке и с благоприятным градиентом давления. Сравнить полученные результаты с линейной теорией устойчивости. Выполнить исследование сеточной сходимости для нестационарных трёхмерных решений;

3) Выполнить прямое численное моделирование зарождения и развития турбулентного пятна в сверхзвуковом пограничном слое с благоприятным градиентом давления. Получить основные закономерности поведения характеристик пятен, сопоставить их с литературными данными;

4) Провести численное моделирование взаимодействия турбулентных пятен на режиме перекрытия в пограничном слое с благоприятным градиентом давления. Проанализировать полученные результаты и исследовать механизмы и закономерности формирования турбулентного пограничного слоя в области перекрытия турбулентных пятен.

Научная новизна

1) Впервые численно исследовано формирование турбулентного пятна в

сверхзвуковом пограничном слое параболического профиля с благоприятным градиентом давления;

2) Детально описаны нелинейные механизмы, приводящие к формированию турбулентного пятна в сверхзвуковом пограничном слое на параболическом профиле;

3) Исследовано взаимодействие двух турбулентных пятен на режиме перекрытия в сверхзвуковом пограничном слое на параболическом профиле;

4) Впервые обнаружено новое возмущение в следе за двумя перекрывающимися турбулентными пятнами.

Теоретическая и практическая значимости работы

Теоретическая значимость работы заключается в том, что полученные результаты прямого численного моделирования могут быть в дальнейшем использованы для создания моделей ламинарно-турбулентного перехода в пограничном слое.

С практической точки зрения, в работе были применены алгоритмы для оценки сеточной сходимости нестационарных решений, а также написаны относительно простые и быстрые программы, позволяющие начинать нестационарный трёхмерный расчёт с любого заданного момента времени.

Метод исследования

Основным методом исследования является метод прямого численного моделирования с помощью авторского пакета программ, написанного на языке С++. Обработка результатов расчётов проводилась с помощью оригинальных программ, написанных на языке Python. Для сравнительного анализа использовались известные экспериментальные данные, эмпирические модели, теория сверхзвукового тонкого профиля и асимптотическая теория отрыва от гладкой поверхности. Для постановки задач использованы данные, полученные с помощью линейной теории устойчивости.

Степень достоверности

Высокая степень достоверности полученных результатов численного моделирования подтверждается согласованием с известными расчётными, экспериментальными и теоретическими данными.

1) При решении стационарной задачи, проведены исследования на сеточную сходимость и выполнено сравнение с известными результатами;

2) Результаты численного моделирования развития нелинейных возмущений подтверждаются детальным исследованием сеточной сходимости и согласованием с линейной теорией устойчивости;

3) Результаты моделирования турбулентных пятен согласуются с расчётами на близких режимах, близки к известным эмпирическим моделям.

Положения, выносимые на защиту

1) С помощью прямого численного моделирования продемонстрировано затухание линейных возмущений в сверхзвуковом пограничном слое с благоприятным градиентом давления, соответствующее результатам линейной теории устойчивости;

2) Определение механизма формирования турбулентного пятна в сверхзвуковом пограничном слое с благоприятным градиентом давления;

3) Измерение по результатам численного моделирования интегральных характеристик турбулентного пятна в сверхзвуковом пограничном слое на параболическом профиле;

4) Обнаружение нового возмущения в следе двух взаимодействующих турбулентных пятен на прямом параболическом профиле в сверхзвуковом потоке.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Численное моделирование развития нелинейных возмущений в сверхзвуковом пограничном слое с благоприятным градиентом давления»

Апробация работы

Материалы, входящие в диссертацию, были представлены на научных конференциях:

1. XIV Всероссийская школа-конференция молодых ученых: Проблемы

механики: теория, эксперимент и новые технологии. 28 февраля - 06 марта 2020 г., Новосибирск - Шерегеш;

2. XX Международная конференция по методам аэрофизических исследований (ICMAR 2020). 01 - 07 ноября 2020 г., Новосибирск;

3. 63-я Всероссийская научная конференция МФТИ 23-29 ноября 2020 года

4. XV Всероссийская школа-конференция молодых ученых «Проблемы механики: Теория, эксперимент и новые технологии». 25 февраля - 05 марта 2021

г., Новосибирск - Шерегеш;

5. 65-я Всероссийская научная конференция МФТИ. 3-8 апреля 2023 года., Жуковский;

6. XIII Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике, 21 -25 августа 2023 г., Санкт-Петербург;

7. XXV Международная конференцию "НеЗаТеГиУс-2024", 18-24 февраля 2024 г., Звенигород;

8. XVIII Всероссийская школа-конференция молодых ученых «Проблемы механики: Теория, эксперимент и новые технологии». 10-18 марта 2024 г., Новосибирск-Шерегеш;

9. 66-я Всероссийская научная конференция МФТИ. 01-06 апреля 2024 г., Жуковский.

Результаты работы регулярно представлялись и обсуждались на семинарах лаборатории аэрофизических исследований МФТИ под научным руководством

д.ф.-м.н., чл.-корр. РАН, проф. Егорова И.В.

Публикации

По теме диссертационного исследования опубликовано 5 печатных работ, входящих в список, рекомендованный ВАК. Работы 1, 2, 5 индексируются базами данных Scopus и Web of Science, опубликованы в журналах из группы К1 собственного перечня журналов МФТИ. Работы 3, 4 индексируются базой данных Scopus. В РИНЦ индексируются работы 1, 3, 4.

1. И.В. Егоров, И.М. Илюхин, В.Я. Нейланд Численное моделирование взаимодействия скачка уплотнения с пограничным слоем над движущейся поверхностью // Изв. РАН. МЖГ. 2020. № 5. С. 110-117.

2. P.V. Chuvakhov, I.V. Egorov, I.M. Ilyukhin, A.O. Obraz, A.V. Fedorov Boundary layer instabilities in supersonic expansion corner flows // AIAA Journal, 2021. V. 59, No 9, p. 3398-3405

3. P.V. Chuvakhov, A.V. Fedorov, A.O. Obraz, I.M. Ilyukhin Disturbance evolution over an unswept wing in a Mach 3 flow // AIP Conference Proceedings, 2021

4. I.M. Ilyukhin, I.V. Egorov, V.Ya. Neyland Investigation of Shock Wave Boundary Layer Interaction over the Moving Flat Plate // AIP Conference Proceedings, 2021

5. Chuvakhov P.V., Ilyukhin I.M., Fedorov A.V. Stability of supersonic boundary layer over an unswept wing with a parabolic airfoil // Theor. Comput. Fluid Dyn. 2024. Vol. 38, № 1. P. 1-13.

Личный вклад автора

Работа выполнена автором диссертации самостоятельно. Автор благодарен своим коллегам из лаборатории аэрофизических исследований МФТИ за регулярное плодотворное обсуждение результатов работы.

Структура и объем работы

Диссертация состоит из 95 страниц, содержит 53 рисунка.

Во введении приведён литературный обзор о положении исследуемой темы, её актуальности, теоретической и практической значимости, степени разработанности и научной новизне. Приведены положения, выносимые на защиту, цель и задачи настоящего исследования. Представлены данные об апробации работы на конференциях, перечислены публикации и личный вклад автора.

Первая глава посвящена описанию численного метода, применяемого в

качестве метода исследования. Приведены сведения о постановке задачи и алгоритме численного решения уравнений Навье-Стокса. Также приведены результаты решения двумерной задачи о взаимодействии скачка уплотнения с ламинарным пограничным слоем и сообщается о методе уточнения расчётной сетки.

Вторая глава посвящена исследованию устойчивости течения в пограничном слое на параболическом профиле к малым возмущениям. Представлены результаты линейной теории устойчивости и численного моделирования зарождения, роста и затухания волнового пакета первой моды. Приведены спектры возмущения в различных сечениях вдоль поверхности профиля, выполнено сравнение с предсказаниями линейной теории устойчивости.

Третья глава посвящена численному моделированию зарождения и развития турбулентного пятна в пограничном слое параболического профиля. Моделирование выполняется от этапа генерации возмущения. Выделена критическая амплитуда возмущения, соответствующая началу нелинейного взаимодействия неустойчивых гармоник. Определён сценарий нелинейного взаимодействия. Приведены данные о сформировавшемся турбулентном пятне и сравнение его характеристик с известными результатами для безградиентных течений.

В четвёртой главе представлены результаты численного моделирования взаимодействия двух турбулентных пятен. Выполнено сравнение интегральных характеристик и мгновенных полей течения в фиксированной области для одного пятна и пересечения двух пятен. Замечено формирование нового пятна в следе за областью взаимодействия.

В заключении приведены общие выводы по работе, а также предлагаются направления дальнейших исследований по теме диссертации.

Глава 1. Постановка задачи и численный метод

1.1. Постановка задачи

В рассмотренных в диссертации задачах используется модель вязкого сжимаемого совершенного газа. Его динамика описывается нестационарными уравнениями Навье-Стокса. Рассматриваемый газ - воздух с постоянными значениями показателя адиабаты у = 1.4, и числа Прандтля Pr = 0.72. Данная модель лучше всего подходит для описания течений сжимаемого вязкого газа при числах Маха от 0.4, когда эффекты сжимаемости становятся существенными, до чисел Маха примерно равных 6, при которых предположение о совершенном газе перестаёт выполняться из-за высокого значения температуры торможения, при котором могут начаться активации дополнительных степеней свободы у молекул, входящих в состав рассматриваемого газа. Также недопустимы слишком низкие значения температуры набегающего потока, при которых может начаться конденсация воздуха.

Дифференциальные уравнения Навье-Стокса решаются в криволинейной системе координат (£ ц, £) в дивергентном виде:

ао аЕ , ас , ар .

аг+а^+аг0 (1)

в котором вектор консервативных переменных О и вектора потоков Е, С и Р, записанные в криволинейных координатах, связаны со своими значениями Ес, Сс и Рс в прямоугольной декартовой системе координат следующим образом:

* ( сдх сду сдх^ * ( сдх с ду сдх/

Где J = д(х, у, ¿)/д(%, ц, $ - якобиан перехода от прямоугольной системы координат к криволинейной. Вектора Ес, Сс и Рс в прямоугольной декартовой системе координат записываются следующим образом:

Qc =

/Р\

ри pv pw

W

Gr =

( PV \

1 puv - тху

PV2 + р- Туу

pvw - Tyz \ pvH + Iy )

Er =

/ Pu \

pu2 + p- Txx puv - TXy puw - Txz \ puH + I

Lx

)

¥r =

I pw ^ puw - Txz pvw - Tyz

pw2 + p-Tzz \ pwH + Iz )

Где p - плотность газа; u, v, w - компоненты вектора скорости V; H = e + p/p -

полная энтальпия газа, е = h/y + ^(и2 + v2 + w2) - удельная энергия; h -

удельная энтальпия.

Тензор вязких напряжений вычисляется с использованием гипотезы Ньютона-Стокса:

2 диъ

тч =

где Бу - тензор скоростей деформации, 6у - символ Кронекера, - коэффициент молекулярной вязкости (объёмной вязкостью можно пренебречь), определяемый по формуле Сазерленда

ß _1 + Т^(Т\2 ßm Т + Гц 41 от

(rj

где Гц = 110.4/Г». Компоненты тензора скоростей деформации 8 вычисляются следующим образом:

— — Я^- — цуТ;у

^ _ 1/дц | дц ^ 2 \дх;- дх^

Компоненты вектора I определяются следующим образом:

дГ дх^

Для описания теплопроводности применён закон Фурье, коэффициент теплопроводности связан с вязкостью:

Л — -

Рг

Для замыкания данной системы уравнений используется уравнение состояния:

р — рДГ

1.2. Численный метод

Для численного решения записанных уравнений Навье-Стокса в диссертационной работе использован авторский пакет программ [37, 38], позволяющий проводить расчёты на многоблочных структурированных сетках. Уравнения Навье-Стокса (1) приводятся к безразмерному виду следующим образом:

(х*,у*,7*) — (х,у,г)Г (ц*, — (ц, V,

г — р* — рроко2

* * 7 * 77* * *

р — РРоо; Л — ЯЯо,; Д — ДДо

где £ - характерный масштаб длины, К» - модуль вектора скорости набегающего потока. Размерные величины обозначены звёздочками в верхнем индексе. Символ «»» соответствует значениям газодинамических величин в набегающем потоке.

Для аппроксимации уравнений использован метод конечного объёма с неявной схемой второго порядка для производной по времени:

Т7 П+1 17 П+1 "+1 "+1 ТГ"+1

Л СЛп . П"-1 Е ■ 1 , ~ ■ 1 / ■ 1/ _ ■ 1 ; ■ ■ ; 1 _ ■ ■ ; 1

3О , — 4О , + О • , 1+-, } ,к г—,},к г,./+-,к г,./ —,к г,к+- г,},к— ^г,],к ^г,],к +2_2 + 2_ 2 + 2_ 2 _ д

Лt Ил И^

При определении конвективных слагаемых в векторах потоков на гранях ячейки, например, , определяется Матрица Якоби (А = ЭЕ/ЭО для

направления ¿), которая приводится к диагональному виду: А = ВЛВ-1, где В — матрица, составленная из правых собственных векторов, а Л — диагональная матрица, состоящая из собственных чисел матрицы А.

Конвективная составляющая векторов потоков Е, С, Р определяется следующим образом (индексы I, ], к, п опущены для читаемости):

Е 1 _1 ) + Е(Од ) — Б^Л(^(Я ))В—^ (Од — Оь )],

г+- 21 2 2

где индексами Ь и Я отмечены левые и правые величины относительно рассматриваемой грани, полученные с помощью подхода WENO [41] 3 порядка точности. Индексом ЬЯ отмечены величины, вычисляемые с помощью метода Роу [42] для приближённого решения задачи Римана о распаде произвольного разрыва. ф(к) - энтропийная коррекция

И, |И|>8,

Я2 +82

¥И) _

<8.

28

обеспечивающая физически корректное изменение энтропии на разрывах. Во всех расчётах, приведённых в диссертации, значение е = 0.1.

Для аппроксимации диффузных составляющих векторов Е, С и Р на грани ячейки использована центральная разностная схема 2 порядка точности:

dq дё

■J h

1+-, j ,k ё

2

1 (qi+1,j,k ql,J,k)'

dq _ 1

1 i+—, j, 4h k 4hv

2J

dq 1

d£ 1 i+-,j k 4h

( qi+1, j+1,k + qi, j+1,k qi+1, j-1,k qi, j-1,k )

q+1,j ,k+1 + qi,j ,k+1 qi+1,j ,k-1 qi, j ,k-1),

где q — любая из примитивных переменных.

Полученная в результате аппроксимации исходных уравнений система нелинейных алгебраических уравнений R(U) = 0, где U - вектор примитивных переменных, R(U) - вектор невязки, решается численно с помощью метода Ньютона-Рафсона:

U[k+1] = U[k] -r[k+1] (J[k°])-1R(U[k]),

где k - номер итерации, J = SR/SU - матрица Якоби, k0 - номер итерации, при котором была посчитана матрица Якоби (рассчитывается не на каждой итерации), т - параметр регуляризации. Вместо вычисления обратной матрицы Якоби, на каждой итерации метода Ньютона следующее приближение ищется для поправки вектора неизвестных примитивных переменных: Y[k] = U[k+1] - U[k] с помощью решения СЛАУ:

J[k„]y[k] =-r[k+l]R(U[k] )

обобщённым методом минимальных невязок GMRes(k). Параметр регуляризации определяется по формуле:

(y[k] _ y[k-1] ) y[k]

r[k+1]

^ У [к] _ у [к-1] ^

и его значение стремится к 1 по мере сходимости решения.

Матрица Якоби вычисляется численно. Её т-й столбец на ко-й итерации будет равен:

Гк1 И (и[к0] +«ет)- И (и[к0])

= —^-^-*-а = 10-8

а

где ет — вектор, полностью состоящий из 0, кроме единицы на т-й позиции. Данный метод вычисления матрицы Якоби применим к произвольной системе сеточных уравнений.

1.3. Методологические исследования

1.3.1. Взаимодействие ламинарного пограничного слоя со скачком уплотнения

В качестве тестовой задачи для расчётов с градиентом давления была выбрана двумерная задача о взаимодействии скачка уплотнения с ламинарным пограничным слоем на пластинке. Данное взаимодействие - распространённая причина отрыва пограничного слоя [43]. Двумерная асимптотическая теория свободного взаимодействия для сверхзвуковых течений [44-45] объясняет отрыв как следствие неблагоприятного градиента давления над поверхностью обтекаемого тела. Детально данная задача рассмотрена в эксперименте [46]. Согласно асимптотической теории, протяжённость области отрыва пропорциональна Яе8ь-3/8, где Яе8ь - число Рейнольдса, посчитанное по расстоянию от передней кромки до точки падения скачка уплотнения. Внутри пограничного слоя, около точки отрыва образуется область с возвратным течением и примерно постоянным значением давления, называемом «плато».

На практике также распространены ситуации, в которых скачок уплотнения может двигаться как вверх, так и вниз по потоку. Один из подходов к численному исследованию данных задач - переход в систему координат, движущуюся со скоростью скачка уплотнения У8ь В этом случае, скачок уплотнения покоится, а стенка движется со скоростью -У8ь Отдельно течение около движущейся пластинки рассмотрено в работе [47]. Решения, полученные с помощью асимптотической теории для стенки, движущейся вниз по потоку, приведены в работах [48-50]. В работах [48, 49] также имеются результаты расчётов. Показано,

что при движении стенки вниз по потоку сокращается длину отрывной области. В рамках асимптотической теории также получено решение для случая стенки, движущейся вверх по потоку [51, 52].

В данной тестовой задаче было рассмотрено взаимодействие сверхзвукового ламинарного пограничного слоя с падающим скачком уплотнения. Изучено влияние скорости движения стенки на отрывную область. Течение в области передней кромки не рассматривалось, так как при выбранных скоростях движения стенки оно не оказывает существенного влияния на отрыв. Некоторые результаты данного исследования опубликованы в работе [53]. Текущие результаты получены для случая, соответствующего эксперименту [46]. Также в работе предложен критерий определения начала отрыва для случая, в котором стенка движется против потока. Стационарное решение получено с помощью метода установления.

Основные параметры задачи приведены в Таблице 1 для каждого из рассмотренных случаев. Нижние индексы "да", 'V", и "бИ" обозначают параметры в набегающем потоке, на поверхности пластинки и за падающим скачком уплотнения соответственно. Температура поверхности фиксирована и равна температуре восстановления. Данное условие описывает прогретую поверхность модели в сверхзвуковой аэродинамической трубе продолжительного действия. В двух расчётных случаях температура набегающего потока Тда* = 293 К. Ударная волна, падающая на ламинарный пограничный слой, задана с помощью граничного условия в верхней части расчётной области. Здесь задан поток за клином с углом полураствора ф равным 4° в первом случае и 1.92° во втором. Необходимые параметры потока получены из соотношений Ранкина-Гюгонио:

М^т(е) =

N

— РС 2у Рс

Psh = Рс (1 + (МС Sin2(ф) - 1)

(2 ^2 , з 2 4 М

Тби = Тт-( 1 +

РзьЛ . 2у M2cosm2(ф) + ?

рт\ 1 + у М^ зт2(ф) 1

Щи = и

1 + Ьап(ф) Гап(0)

= —^со£ап(0)

Здесь 0 - угол наклона косой ударной волны. Скорость отрицательная, так как поток за клином течёт против направления оси у.

Таблица 1. Основные параметры потока для двух расчётных вариантов

Величины М» Яеь Т^/ Т» Р^Р» ашт атах

Вариант 1 2.3 617000 1.898 1.27 -0.08 0.2

Вариант 2 3 2106 2.517 1.16 -0.02 0.02

Высота левой границы расчётной области определена таким образом, чтобы косой скачок уплотнения попадал в середину пластинки. На левой границе находится набегающий поток, поэтому значения скорости, давления и температуры заданы равными своим значениям в набегающем потоке в форме условий Дирихле. Высота правой границы подобрана таким образом, чтобы на неё попадало возмущение от передней кромки пластины. Так как возмущения в сверхзвуковых течениях не распространяются вверх по потоку, на правой границе задано условие экстраполяции. Течение за клином с заданным углом полураствора задано в форме условий Дирихле на верхней границе расчётной области. Наконец, на нижней границе заданы нулевое значение нормальной компоненты вектора скорости, постоянное значение (а) тангенциальной компоненты вектора скорости и постоянное значение температуры, равное температуре восстановления. В начальный момент времени во всей расчётной области значение зависимых переменных равно их значению в набегающем

потоке, стационарное решение получено методом восстановления.

Расчётная сетка для случая с Мда = 2.3 изображена рис. 1. Для ускорения вычислений, сетка была разбита на блоки с примерно одинаковым числом узлов в каждом. Чтобы разрешить ламинарный пограничный слой на поверхности пластины, узлы были сгущены на стенке. В области взаимодействия скачка уплотнения с пограничным слоем находится примерно 100 узлов по оси у. Равномерное распределение узлов по нормали к стенке позволяет получить второй порядок аппроксимации для диссипативных членов в уравнениях Навье-Стокса. Дополнительно, сетка имеет сгущения по оси х. У передней кромки данное сгущение необходимо для разрешения слабого скачка уплотнения от передней кромки. В области взаимодействия сетка не только сгущена в направлении х, но и построена с одинаковым расстоянием между узлами. Область отрыва покрыта равномерной расчётной сеткой по направлениям х и у.

Рисунок 1. Топология расчётной сетки. Нанесена каждая вторая сеточная линия

Далее представлены результаты численного моделирования влияния движения стенки на поток в области взаимодействия скачка уплотнения с пограничным слоем. Поле давления для первого расчётного варианта изображено на рис. 2. На рис. 3 приведены поля давления в области взаимодействия при различных скоростях движения стенки для случая Мда = 2.3. Верхней сплошной

линией обозначена изолиния скорости, примерно соответствующая внешней границе пограничного слоя (и = 0.9). Чёрные сплошные линии в области отрыва обозначают изолинии нулевой скорости и = 0 и скорости стенки и = а. Область отрыва на рис. 3 растянута вертикально, чтобы сделать изображение наглядным. Из представленных результатов видно, что увеличение скорости стенки связано со сдвигом точки начала взаимодействия ближе к точке падения скачка уплотнения Кроме этого, при а < 0, изолиния продольной компоненты вектора скорости и = 0 незамкнута и достигает передней кромки пластины. В этих случаях, возвратные течения, обычно ассоциирующиеся с отрывом пограничного слоя, находятся вблизи поверхности стенки по всей её длине. При а > 0, изолиния и = 0 замкнута и исчезает при а > 0.18.

Рисунок 2. Поле давления при Мда = 2.3 и неподвижной стенке. Чёрные линии обозначают линии тока в пограничном слое

а = -0.04 (а)

а = 0 (б)

а = 0.04 (в)

а = 0.08 (г)

а = 0.16 (д) а = 0.2 (е)

Рисунок 3. Поля продольной компоненты вектора скорости при Мда = 2.3. Сплошными чёрными линиями обозначены изолинии и: и = 0.9, и = 0 и и = а

Распределение давления и изолинии продольной компоненты скорости в области отрыва (рис. 2 и 3) показывают особенности течения в пограничном слое при изменении скорости движения стенки. Отсутствие «плато» в распределении давления (рис. 3а) при а = 0.2, в частности, согласуется с исчезновением изолинии и = 0. (рис. 3е). Толщина и протяжённость области отрыва одного порядка с толщиной пограничного слоя при выбранных параметрах потока (числа Маха и Рейнольдса, скачок уплотнения).

На рис. 4 приведено распределение давления по поверхности пластины в асимптотических переменных:

X =

_ х 1/4 1/2

иГРИ2-?'4?3'4

р =Р Р™ ..-1/2 „1/2-,-1

•1ь1/2Я2-г1/2Р1/2

и = -^-1/4рЦ2х-1/4р1/4

(2)

(3)

(4)

Где е = Ке8ь-1/8 - малый параметр (е ~ 0.21 для М« = 2.3 и е ~ 0.18 для М« = 3),

X = 0.3321 - постоянная Блазиуса, в = (М«2 - 1)

1/2

М.» З.яе.ц -10*

■ (а ■ -о.М]

и.(1 |£Т и. = а.] 1 сг =

ж

ж

ж V

//! //!

/уу

1 ; т

(а) (б)

Рисунок 4. Распределение давления при М« = 2.3 (а) и М« = 3 (б) в асимптотических переменных (уравнения 2-4)

3

£

£

На рис. 4б нанесены распределения давления по поверхности пластины при различных скоростях движения стенки при М» = 3. Относительно малое значение перепада давления за скачком уплотнения приводит к исчезающе малому «плато» при а = 0. При движении стенки вверх по потоку наблюдается расширение «плато». С помощью расчётов удалось получить обе особенности распределения давления, наблюдаемых в отрывных течениях на пластине: «плато» давления и максимум давления в точке присоединения потока.

Графики на рис. 5 показывают распределение коэффициента трения С/ при различных скоростях движения стенки. Хотя отрицательные значения С/, обычно ассоциируются с отрывом пограничного слоя, они наблюдаются при а = 0.2 (рис. 5а), когда в области взаимодействия нет ни «плато» давления, ни возвратных течений (и > 0 всюду на рис. 3е). При а = 0.02 на рис. 5б также имеются отрицательные значения С/, однако возвратные течения для этого случая также не наблюдаются. Кроме этого, при а = -0.04 в первом расчётном варианте, коэффициент трения дважды меняет знак с положительного на отрицательный.

(а) (б)

Рисунок 5. Распределение коэффициента трения СГ для М» = 2.3 (а) и М» = 3 (б)

на поверхности движущейся стенки

Для стационарного течения около пластины без скачка уплотнения при

неподвижной стенке было выполнено сравнение результатов расчёта с автомодельным пограничным слоем Блазиуса для сверхзвукового потока при Мда = 3. Профили продольной компоненты вектора скорости в трёх различных сечениях по х, полученные в результате расчёта и из автомодельных уравнений сравнены на рис. 6, где построен модуль отклонения численного решения от теоретического. Согласно этим данным, наибольшее различие в профилях скорости в пограничном слое не превышает 0.3%, и может быть объяснено слабым вязко-невязким взаимодействием у передней кромки пластины.

- х = 0А

- х = 0.5 - л-0.fi

У)

0.0 о.] Л 2 ЙЗ 0.-1

\и - %

Рисунок 6. Отклонение профилей продольной скорости, полученных из численного решения от решения автомодельных уравнений Блазиуса при Мда = 3 в сечениях х = 0.4, 0.5, 0.6. У - автомодельная переменная уравнений Блазиуса

Также, в ходе методологического исследования, выполнено численное моделирование взаимодействия скачка уплотнения с пограничным слоем над неподвижной стенкой. Для верификации этих результатов, выполнено сравнение данных, полученных для первого расчётного варианта, с экспериментом [46]. На рис. 7 нанесены распределения давления в области отрыва, полученные в расчёте и взятые из эксперимента. Различные экспериментальные точки взяты при разных значениях числа Рейнольдса, посчитанного по расстоянию от передней кромки до

точки начала взаимодействия х0. Значение х0 определено по расстоянию от передней кромки до точки, в которой распределение давления достигает своего минимума: р0. До этой точки возмущения от скачка уплотнения не влияют на течение, а за ней отклоняющиеся линии тока в пограничном слое изменяют внешнее течение. Для точного сравнения значения давления на этих графиках нормированы на р0 и по оси х кривые соединены в точке х0. Сравнение экспериментальных и расчётных данных показывает их удовлетворительное совпадение.

[LO 0.4 О, в \2

Рисунок 7. Сравнение распределения давления, полученного расчётным путём (N-S) с измеренным в эксперименте [46] (NACA 1356) при Мда = 2.3

1.3.2. Уточнение расчётной сетки

После получения предварительных результатов расчёта на параболическом профиле, была выполнена проверка на соответствие эмпирическому требованию, согласно которому для надёжного моделирования распространения возмущений в пограничном слое на толщину пограничного слоя должно приходиться не менее 100 точек по нормали к поверхности. Для расчётов, приведённых в диссертации, это число выбрано равным 125. Поле числа Маха в двумерном расчёте приведено на рис. 8, где по оси ординат отложено расстояние по нормали от поверхности профиля до выбранной точки:

5^2 (X—Xw) + (y-yw)2 вдоль фиксированной сеточной

линии i = const. Видно, что сеточная линия j = const оказывается ломанной, что, на первый взгляд, не должно оказывать существенного влияния на результат расчёта. Однако если результаты, полученные с помощью такой сетки, далее использовать как среднее поле для анализа устойчивости такого течения, ломаные линии следует исправить.

J™ = 2.1:

QU 4JL L ftj U.J IH 0l5 tlD

Рисунок 8. Поле числа Маха и сеточные линии, соответствующие ] = 237 (верхняя

граница), ] = 125 (чёрная сплошная линия), 1 = 50 (пунктирная линия вблизи передней кромки) и полученная с помощью интерполяции толщина пограничного слоя 0.7595. Рисунок растянут по направлению у для наглядности.

Для определения положения толщины пограничного слоя в сверхзвуковом течении удобнее рассматривать число Маха, так как таким образом будут учтены и форма профиля скорости, и форма профиля температуры. Для рис. 8 толщина пограничного слоя была определена с помощью интерполяции как линия, вдоль которой производная числа Маха по нормали к стенке оказывается равной 5.

На рис. 9 показаны профили числа Маха в различных сечениях по х. Кпасеыми точками отмечено положение сеточной линии ] = 125 на исходной сетке (рис. 8), зелёными квадратиками - положение толщины пограничного слоя. На уточнённой сетке 125-я сеточная линия выстроена сразу по толщине пограничного слоя. После того, как данная линия выстроена, остальные точки

распределяются равномерно по нормали от поверхности стенки до пересечения с толщиной пограничного слоя. Уточнённое поле числа Маха и сеточные линии для него построены на рис. 10.

Рисунок 9. Профили числа Маха в различных сечениях по х. Красные точки соответствуют 125-й сеточной линии на исходной расчётной сетке, зелёные

квадраты - на уточнённой

Рисунок 10. Поле числа Маха и сеточные линии на уточнённой сетке. Синим, зелёным и оранжевым цветом выделены линии ] = 15, ] = 30и ] = 45

соответственно

Выводы по главе 1

В главе 1 приведены сведения об используемом в диссертации методе исследования. В разделе 1.1 описана физическая постановка задачи о моделировании течения сжимаемого вязкого совершенного газа. В разделе 1.2 кратко описан алгоритм решения нестационарных уравнений Навье-Стокса. В разделе 1.3 подробно описаны проведённые методологические исследования. К ним относятся моделирование взаимодействия скачка уплотнения с ламинарным пограничном слое на движущейся по потоку и против потока пластинке (раздел 1.3.1) и описание алгоритма построения равномерной по толщине пограничного слоя сетки около параболического профиля (раздел 1.3.2).

Глава 2. Устойчивость сверхзвукового пограничного слоя над

параболическим профилем

Несмотря на то, что сверхзвуковые пассажирские самолёты XX века не стали использоваться повсеместно, концепция быстрого перелёта между крупными деловыми и политическими центрами по-прежнему вызывает интерес. Для успешной реализации этой концепции ключевым является сокращение стоимости полёта, а также удовлетворение международным требованиям по выбросам и шуму. Поэтому разработка энергосберегающих и «зелёных» самолётов с пониженным уровнем звукового удара является необходимым условием развития сверхзвуковой авиации. Один из способов повышения аэродинамического качества и снижения шума - ламинаризация обтекания крыла сверхзвукового самолёта.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Илюхин Иван Михайлович, 2024 год

- I

и 11» (1.15 азй т Т - 0.47 [1.35 Ш5 1».5(1 0.55

- т I

и 11» (1.15 ац т 1 . 0.71 [1.35 1141* Ш5 1».5(1 0.55

4»

1».'.* Ii.l1» (1.1? а:!! 1»..1(1 [1.35 им 1».г(1 и.?5

НИМИ

О.ООЦ

»и,<кц

Н].1Л||

»и,<кц

ЧИН!

Н].1кц

»и.1ки

ЧИН!

-мм

Рисунок 30. Пульсации давления на поверхности параболического профиля в различные моменты времени. Чёрный прямоугольник - положение генератора

возмущений

На рис. 31 представлено поле максимального возмущения давления на стенке за всё время расчёта:

р'™,тах(х^) = Стах(|р^(х^д0

для двух расчётных вариантов: текущего, с нелинейным развитием возмущений (рис. 31, верхняя полуплоскость TS), и аналогичного, из главы 2 (рис. 31, нижняя

полуплоскость WP). Нормировочный коэффициент С = (АдуМ^) 1 , где начальная амплитуда А0 = 10-3 для текущего расчёта и А0 = 10-6 для расчёта на линейном режиме.

0.06 010« 0112 ОН ОЛВ

г

Рисунок 31. Максимальное возмущение давления на стенке за всё время расчёта. TS - данные текущего расчёта, WP - данные для линейного режима

Из сравнения видно, что первые отклонения от линейного режима наблюдаются примерно при х = 0.12. Максимум возмущения давления на стенке в этом сечени начинает смещаться из плоскости симметрии г = 0, в то время как в линейном случае максимальное возмущение давления продолжает оставаться на линии г = 0. Местное число Маха на внешней границе пограничного слоя Ме = 2.54. В данном сечении можно определить максимальную амплитуду возмущений давления на стенке (рис. 32). Найденная таким образом амплитуда -критическая амплитуда возмущений, при которой начинается нелинейное взаимодействие неустойчивых гармоник. Её значение оказалось равным р^/ре = 0.58% для возмущения давления на стенке, отнесённого к давлению на внешней границе пограничного слоя. Это значение почти в два раза превосходит аналогичное, полученное при моделировании уединённой волны первой моды в [74] при числе Маха на внешней границе Ме = 2. По пока ещё не опубликованным данным А.В. Фёдорова, ссылающегося на работу [75] (в которой, при упоминании зависимости критической амплитуды возмущений давления на стенке от числа Маха на внешней границе пограничного слоя автор ссылается на работу А.В. Федорова и М.В. Козлова [76]), критическая амплитуда

возмущений давления при числе Маха на внешней границе пограничного слоя ожидается равной 0.5%, что довольно близко к полученным в ходе текущей работы результатам.

Рисунок 32. Координата максимума возмущения давления на стенке (левая ось) и его амплитуда, отнесённая к значению давления на внешней границе

пограничного слоя (правая ось)

В спектрах пульсаций давления на поверхности профиля (рис. 33), при переходе с линейного режима (х = 0.12) на нелинейный начинают появляться возмущения, отличные от волн первой моды (х = 0.15; х = 0.17). Постепенно спектр заполняется в результате нелинейного взаимодействия между различными гармониками (х = 0.21, цветовая палитра расширена в два раза) и затем, при х = 0.22 наблюдается резкий всплеск нулевой гармоники [ю = 0; в = 0], что свидетельствует об изменении среднего поля течения и формировании турбулентного пятна. Спектр турбулентного пятна приведён на рис. 33 в сечении х = 0.27 в цветовой палитре, расширенной в 5 раз по сравнению с предыдущими сечениями.

Рисунок 33. Спектры пульсаций давления на поврехности параболического профиля в различных сечениях по х. Цветовые палитры отличаются в различных

сечениях.

Пространственное поведение гармоник возмущения давления приведено на рис. 34. Гармоника, соответствующая возмущению, задаваемому генератором ([ю = 196 ~ ю0; в = 942 ~ в0]) является доминирующей от сечения х = 0.08 до

сечения х = 0.175. Затем наибольшей амплитудой в спектре обладает гармоника [ю = 151; в ~ во]. Наконец, в сечении х ~ 0.21 нулевая гармоника испытывает взрывной рост и к этому моменту можно наблюдать формирование турбулентного пятна.

ч11>;о (ига апн» 1Й5 игй и:» аш айв

х

Рисунок 34. Распределение амплитуд энергии возмущений давления для

различных гармоник.

На полях возмущения продольной скорости в фиксированной сеточной плоскости j = 52, примерно соответствующей 40% от местной толщины ламинарного пограничного слоя (рис. 35) можно детальнее рассмотреть структуру возмущений в разные моменты времени. При ? = 0.08 наблюдается волновой пакет первой неустойчивой моды. К моменту времени ? = 0.17 начинают формироваться продольные структуры, которые взаимодействуют между собой и дестабилизируют окружающий пограничный слой. Эти структуры становятся отчётливо видны начиная с ? = 0.28. При ? = 0.47 и ? = 0.71 турбулентное пятно сформировано.

r-niBi

IMXI

Il Si

J.ljt

Ш

■n.Pl

J.ljt

(105 (U5 0 ¡0 dis (Xjfl X Г = lï ]7 (liS 0 50 O.SJ

*

(105 (U5 0 ¡0 Q£S (Xjfl X i=0.JH diS 0 50 0«

-

0JQÎ а:с (1.L.4 QJO ï Г — IP 17 as? (1.45 ая) а*5

оя; а:с (1.L.4 0.Ï0 ï f =0.71 asf 0.« (1.45 ая) а*5

■П.Р1

г им

II'INI

L -o.os

rd.H

iHh

I (W

rd.H

iHh

Рисунок 35. Поля возмущений продольной скорости на 40% толщины ламинарного пограничного слоя (сеточная плоскость ] = 52)

При переходе с линейного режима на нелинейный (х = 0.12) максимальное возмущение продольной скорости в сеточной плоскости j = 52, отнесённое ко скорости на внешней границе пограничного слоя, равно ^'о.4б/ие = 7.5% (рис. 36). В работе [12] критическое значения пульсаций продольной скорости при переходе на нелинейный режим в пограничном слое пластинки при числе Маха на внешней границе пограничного слоя Ме = 1.6 оказалось ниже: 4-5%. Расхождение можно объяснить тем, что в [12] для оценки критической амплитуды использовалась не максимальная амплитуда пульсаций, а её среднеквадратичное

значение.

Рисунок 36. Координата максимума возмущения продольной скорости на сеточной плоскости ] = 52 (левая ось) и его амплитуда, отнесённая к значению продольной скорости на внешней границе пограничного слоя (правая ось)

В спектрах возмущений продольной скорости, при переходе с линейного режима на нелинейный, заметно появление гармоник, соответствующих вышеупомянутым продольным структурам. Их поперечное волновое число равно в ~ 2000 (рис. 37). Это значение соответствует удвоенному поперечному волновому числу начального возмущения: во = 952, что позволяет сделать вывод о механизме нелинейного распада. Гармоники, относящиеся к двум волнам первой моды начинают взаимодействовать друг с другом: [шо; во] с [шо; -во]. В результате взаимодействия, энергия переходит к возмущениям с нулевой частотой и удвоенным поперечным волновым числом [о; 2во] и [о; -во]. Далее, две новые гармоники начинают взаимодействовать друг с другом и с начальными возмущениями, порождая новые гармоники в спектре и постепенно заполняя его. Данный сценарий, получивший название косой распад, также наблюдался на пластинке при числе Маха набегающего потока 1.6 в работе [12], где также отмечено, что для него требуется наименьшая начальная амплитуда возмущений, по сравнению с другими сценариями в заданных условиях.

Рисунок 37. Спектры пульсаций продольной скорости вдоль сеточной плоскости

] = 52 (уп - у* « 0.45)

На рис. 38 приведены амплитуды различных гармоник пульсаций продольной скорости вдоль оси х. Цветными линиями выделены гармоники, которые имели наибольшую амплитуду в рассматриваемом пространственном интервале. Серыми пунктирными линиями показаны амплитуды некоторых гармоник, лежащих в диапазоне от 0 до 1000 по т и от 0 до 5000 по в. Видно, что амплитуда гармоник, соответствующих продольным структурам в пограничном слое (в = 2во ~ 2000), превышает амплитуду гармоник первой моды при х = о.13. Ниже по потоку, вследствие нелинейного взаимодействия, усиливаются остальные гармоники. Всплеск нулевой гармоники наблюдается при х = 0.21, что свидетельствует об изменении среднего поля течения и формировании

турбулентного пятна.

П№0 НОТ? 11104 й12! НЕМ 11.17! и:((1 1113 ця)

X

Рисунок 38. Распределение амплитуд возмущений продольной скорости на расстоянии 0.4 толщины пограничного слоя по нормали к стенке

3.3. Сформировавшееся турбулентное пятно

В предыдущей главе показано, что в сечении х = 0.205 наблюдается максимальное интегральное усиление неустойчивых гармоник. После прохождения этого сечения, волновой пакет первой моды затухает ниже по потоку. В отличие от волнового пакета, нелинейные возмущения не затухают после сечения х = 0.205. Также вело себя турбулентное пятно после прохождения угла разряжения в работе [21]. В сечении х = 0.22 турбулентное пятно сформировано и начинает расти вниз по потоку. На рис. 39 представлены поля завихренности в плоскости симметрии в разные моменты времени. По ним видна отличительная особенность турбулентных пятен, а именно - распространение возмущений от пятна во внешний невязкий поток. Слоистое распределение завихренности, характерное для пограничного слоя, в области турбулентного пятна разрывается. Серая палитра на рис. 39 соответствует производной плотности по направлению х и также показывает распространение возмущений от пятна во внешний поток.

Рисунок 39. Поля амплитуды завихренности в плоскости симметрии профиля в различные моменты времени. Серая палитра соответствует нормированной

производной плотности по х

На рис. 40б представлены профили продольной скорости, осреднённые по интервалу времени, в течение которого пятно проходит сечение х = 0.31: £6 [0.45,0.5] . Осреднение проведено на оси симметрии (г = 0), на краю пятна (г = 0.01) и, дополнительно, поперёк г (чёрная линия на рис. 40 a). Серыми пунктирными линиями представлены мгновенные профили продольной скорости

при х = 0.31, г = 0 или г = 0.01. Чёрная пунктирная линия на рис. 40б соответствует профилю скорости в невозмущённом пограничном слое. Из рисунка видно, что больше всего от ламинарного отклоняется профиль скорости, осреднённый на оси симметрии г = 0, в то время как профиль скорости, осреднённый по размаху (фиолетовая линия на рис. 40б), слабо отличается от профиля, осреднённого при г = 0.01. Кроме этого, вблизи вязкого подслоя все три осреднённых по времени профиля скорости почти совпадают.

у„ й; {Ыдв5:I = 0.45 Л f =0.50

0 25 0.31 033 0125 &31 0.3?

а

.г О,(0.№а,№;

ги ол

Ц

б

Рисунок 40. Поля возмущений продольной скорости в сеточной плоскости ] = 52 (а) и осреднённые по времени профили скорости (б)

Для оценки угла полураскрытия пятна в использовано поле максимальной

амплитуды возмущений давления на поверхности профиля за всё время расчёта тах(|р^(х,г, ф построенное также, как на рис. 31. Скорости переднего и заднего

фронта получены при построении траекторий переднего и заднего фронта и аппроксимации с помощью метода наименьших квадратов (рис. 41). Геометрические характеристики турбулентного пятна на прямом параболическом профиле оказались равными:

в « 5.1°; щ « 0.86 ит; ит « 0.63 ит

0.03

о.о:

liOfl

---- 4U"h i

jyi*

*

IJJ4 0.10 0.3* 0Л0 cui

I

'т

* fp.-IM

* wo - 'Miu-Jili

■

■ til N<11 US IUV-" 1Ц1 4П U7i

I

Рисунок 41. Аппроксимация границ пятна: угла полураскрытия (а) и скоростей

фронтов (б)

Полученные значения согласуются с данными из экспериментов и расчётов при отсутствии градиента давления [9, 29, 30, 68-73]. Для сравнения выбрана эмпирическая модель из работы [13] (рис. 42). Параметр роста пятна, оценивается также, как в работе [29]:

1 W-CO

а = --tan(0) ~ 0.061

2 ^wt

где uw - скорость боковой границы турбулентного пятна (wing tip). В расчёте эта скорость оказалась равной uw = 0.73мда. Таким образом, для рассмотренного в

работе режима, влияние градиента давления оказалось незначительным.

^ Л

\

Л

II.IIIи * й II'

■ "И!<ИВНН|М»М

ч |1*Ш

ш. Цн

* кшМнЙ «4Р4Ш1Л11

9 1Ы| ¡и ф Ц+Ш(

* Ь..------А I ^Р! I

* ЯИ^ЙА >н«1иВ1|И1Д

■ и «I 1,Ч1..,1 0 ММ1

о.м

ПЧЛ 1У9?

аз:

---ши + и.ш?и. * ГЧвмйа 1ГН* Т 1 1н1'| || А иг. сдаз! 4 kniip.LliS.ri

1» |№<

Л 1.Ч1 # ЫМДАжЬшнОД № ■

■ Ьь-«1я Я рЛ" Ш 11П1У4

1 ^ 1

V'

* *

М.

4

.и.

Рисунок 42. Сравнение полученных в работе результатов с данными из других работ для угла полураскрытия, скоростей переднего и заднего фронта,

пятна и параметра роста

Выводы по главе 3.

В данной главе представлены результаты численного моделирования зарождения и развития нелинейных возмущений в пограничном слое прямого параболического профиля, которые приводят к формированию турбулентного пятна. При х = 0.12 началась нелинейная стадия развития возмущений. Критическая амплитуда возмущений давления на стенке оказалась равной 0.58% относительно локального давления на внешней границе пограничного слоя.

Критическая амплитуда пульсаций продольной скорости, отнесённая ко значению продольной скорости на внешней границе пограничного слоя, оказалась равной 7.5%.

По мгновенным полям возмущений продольной скорости видно, что в результате взаимодействия двух косых волн первой моды друг с другом, в пограничном слое сформировались продольные структуры. Дальнейшее взаимодействие косых волн с этими структурами заполняет спектр пограничного слоя и приводит к резкому росту амплитуды нулевой гармоники возмущений продольной скорости при х = 0.21, что свидетельствует об изменении среднего поля течения и формировании турбулентного пятна. Доминирующий механизмом нелинейного распада оказался косой распад.

Выполнено сравнение геометрических характеристик турбулентного пятна с известными данными для безградиентных течений. Слабое отличие от результатов, полученных в условиях постоянного давления на внешней границе пограничного слоя, позволяет сделать вывод о том, что в рассматриваемой конфигурации градиент давления оказывает незначительное влияние на турбулентное пятно.

Глава 4. Численное моделирование перекрытия турбулентных пятен в

сверхзвуковом пограничном слое

В данной главе приводятся результаты численного моделирования взаимодействия двух перекрывающихся пятен. Ранее данная задача решалась в работе [37], где рассматривалось два сценария взаимодействия турбулентных пятен. В первом сценарии, второе пятно находилось в следе первого. Во втором сценарии пятна двигались параллельно и перекрывались в поперечном направлении. Показано, что перемежаемость оказывается выше при взаимодействии между пятнами по второму сценарию.

4.1. Постановка задачи и результаты моделирования

Для расчёта перекрытия двух турбулентных пятен в качестве начального поля использовалось трехмерное решение из главы 3, в момент времени ? = 0.08. В этот момент времени генератор возмущения индуцировал в пограничном слое параболического профиля возмущение массового расхода. Сформирован волновой пакет первой неустойчивой моды. Поскольку на данном этапе решение остаётся линейным и его сложение с самим собой не превысит критическую амплитуду начала нелинейной стадии развития возмущений (раздел 3.2), в этот момент времени добавлено возмущение на поверхности профиля, линией симметрии для которого является г = 0.03. Шаг решения по времени в данной задаче также равен & = 0.0001. Возмущения скорости по направлениям х и у, а также возмущения давления и температуры прибавлены к исходному полю со смещением по направлению г на 0.03. Возмущение поперечной скорости прибавлено также, но перед этим умножено на -1. Поля пульсаций давления на поверхности профиля для этого случая приведены на рис. 43 в разные моменты времени. Из этих данных видно, что к моменту времени ? = 0.47 турбулентные пятна начинают перекрываться, а к моменту времени ? = 0.598 за ними образовалось новое возмущение, которое немного запаздывает относительно взаимодействующих пятен = 0.711).

41 Ш ((И)

О,ГО

I || ■ XVI

ИГ'""

и ■ ■ль. _

1н 0

......

II......

о.«»?

Рисунок 43. Пульсации давления на поверхности параболического профиля в

разные моменты времени

Также были рассмотрены спектры полученных возмущений. Они представлены на рисунке 44. Основным изменением в спектрах является, появление полосчатых структур. По мере расширения пятен, спектры становятся всё более и более заполненными. Сами по себе спектры оказываются полосчатыми, что объясняется свойствами преобразования Фурье.

Рисунок 44. Спектры пульсаций давления на поверхности профиля в различных сечениях по х для случая двух перекрывающихся пятен

Максимальное возмущение давления за всё время расчёта представлено на рисунке 45. Из него видно, что пятна полностью перекрылись к сечению х = 0.34, образовав сплошную турбулентную область. Кроме этого, максимальная амплитуда пульсаций давления снижается ближе к концу расчётной области.

Рисунок 45. Максимальное возмущение давления за всё время расчёта

4.2. Сравнение течения в области взаимодействия с уединённым турбулентным пятном

Для того чтобы выяснить характер взаимодействия двух пятен, целесообразно сравнить между собой расчёт уединённого турбулентного пятна и двух пятен. Сравнение максимального возмущения давления за всё время расчёта для двух перекрывающихся пятен с одним пятном приведены на рис. 47. Из него видно, что максимальная амплитуда возмущений давления выше для одного пятна, чем для перемежающихся, причём всюду после х = 0.45 в рассматриваемой области. Кроме этого, влияние взаимодействия двух пятен таково, что амплитуда пульсаций давления на поверхности тела падает вниз по потоку, в то время как при рассмотрении уединённого пятна максимальное значение пульсаций давления на поверхности профиля смещается от оси симметрии г = 0 к границе потока, но его амплитуда почти не уменьшается.

.г

Рисунок 47. Сравнение максимальных возмущений давления перекрывающихся

пятен (2ТБ) с одним пятном (ТБ)

Чтобы выяснить характер взаимодействия двух пятен, проведено сравнение распределений р' (х, г) для уединённого турбулентного пятна и двух

перекрывающихся пятен в области перекрытия (рис. 48). Оказалось, что р'тах(х,7) внутри этой области меньше, чем внутри соответствующей области для уединённого пятна. Количественно получены следующие оценки для средних по пространству значений максимального возмущения давления:

(р'тах) = 0.0093 для перекрывающих пятен (р' ) = 0.0115 для уединенного пятна

что подтверждает подавление максимальной амплитуды возмущений давления в области перекрытия пятен.

Рисунок 48. Распределение р'тах(х>для двух перекрывающихся пятен (область 0 < г < 0.03) и для уединенного пятна (область -0.03 < г < 0). Штриховкой обозначена область перекрытия, по которой проводилось осреднение максимальных пульсаций давления на поверхности профиля

Аналогичный результат покажет интегральная оценка (рис. 49). Её можно получить двумя способами: в первом считается двойной интеграл по полю возмущений давления в области перекрытия. Сначала интегрирование выполняется по размаху, а затем полученные сегменты суммируются по х. Второй способ - представить в качестве интегральной оценки только результат интегрирования максимальных возмущений давления в фиксированном сечении по х. В двух случаях видно, что заметное расхождение начинается после х = 0.4.

а.^ «..«о ЬЗ-Й а-чль |>.43и сии и.*!!* и..+5о о.з-??. Мйр о.-«< (ММ

Рисунок 49. Интегральные оценки распределения р'тах(*>Ю для двух перекрывающихся пятен и для уединенного пятна

Тем не менее, при рассмотрении рис. 50, на котором представлены поля завихренности и продольная производная плотности в плоскости взаимодействия пятен г = 0.15 видно, что завихренность всплывает выше в области перекрытия двух пятен, чем в той же области без взаимодействия пятен. Область возмущений существенно расширена. В отличие от одного пятна, за взаимодействующими пятнами образуется новое возмущение, не наблюдаемое в работе [37].

0,350 (Х375 0.400 0,425 0,450 0.475 0.500 0325 0.550

Т

Рисунок 50. Поле завихренности в пограничном слое (цветная палитра) и поле продольного градиента плотности (черно-белая палитра) в плоскости взаимодействия пятен: для двух пятен (сверху) и одного пятна (снизу)

Детальнее новое возмущение, появившееся в следе за плоскостью взаимодействия пятен можно рассмотреть на рис. 51, где в момент времени ? = 0.7 приведены поля возмущений давления для двух пятен (верхняя полуплоскость) и одного пятна (нижняя полуплоскость). Пунктиром обозначена плоскость взаимодействия, по которой посторены поля из рис. 50. Видно, что за задним фронтом уединённого пятна заметные возмущения давления отсутствуют, в то время как возмущения давления в следе за взаимодействущими пятнами оказываются существенными по амплитуде.

t 0.7

-0.030

0.35 0,40 0,45 0.50 0,55

X

Рисунок 51. Поле возмущений давления на поверхности профиля в фиксированный момент времени. На верхней полуплоскости - два перекрывающихся пятна, на нижней - половина одного пятна

Ту же картину можно наблюдать на мгновенном распределении коэффициента трения вдоль линии г = 0.015. Между х = 0.4 и х = 0.47 существенных отличий по амплитуде между взаимодействующими пятнами и уединённым пятном не обнаружено. Фронт уединённого пятна в выбранном сечении имеет более резкий характер (х = 0.49). Существенные различия заметны между х = 0.35 и х = 0.4, где возмущения от одного пятна затухают, а в распределении мгновенного коэффициента трения для двух пятен наблюдается максимум.

: — 0.01 I -0,7

0.0031

...........

73 гт5

С/

0.001 ■

0Ш ■

МО (ИМ 0.+О 0.4? 0-50 0-^5

Рисунок 52. Мгновенное распределение коэффициента трения для 1 пятна (TS) и

двух пятен (2TS)

Развитие данной особенности можно отследить с помощью рис. 53, где представлены сравнения мгновенных полей возмущения продольной скорости на сеточной линии ] = 52, примерно соответствующей 40% от толщины ламинарного пограничного слоя. В момент времени ? = 0.4 основная часть турбулентных пятен ещё не начала взаимодействие. В следе наблюдаются продольные структуры, по наклону соответствующие волнам первой моды. В момент времени ? = 0.5, турбулентные пятна начали взаимодействие. Между ними образовалась область близких к нулю возмущений, а ниже по потоку наблюдается формирование продольных структур, аналогичных тем, что присутствуют при формировании турбулентного пятна (см. раздел 3.2, рис. 35). В момент времени ? = 0.6 амплитуда продольных структур возрастает, а ко времени t = 0.7 в следе за областью взаимодействия двух турбулентных пятен сформировалось новое турбулентное пятно.

Рисунок 53. Сравнение полей возмущений продольной скорости в различные моменты времени в сеточной плоскости ] = 52, соответствующей 40% от толщины ламинарного пограничного слоя. В верхней полуплоскости каждого рисунка -взаимодействие двух турбулентных пятен, в нижней - уединённое турбулентное

пятно

Выводы по главе 4.

В данной главе приведены результаты численного моделирования взаимодействия двух перекрывающихся турбулентных пятен. Показано, что максимальная амплитуда возмущений давления в области взаимодействия пятен (в области перекрытия) оказывается ниже, чем в той же области при развитии уединённого пятна. Также показано, что максимальная амплитуда возмущений давления падает вниз по потоку для взаимодействующих пятен, в то время как при развитии уединённого турбулентного пятна, максимум в возмущении давления смещается от центра пятна к его границе.

Обнаружено, что в следе за взаимодействующими пятнами формируется новое возмущение. Оно продемонстрировано на полях пульсаций скорости на поверхности параболического профиля, распределении коэффициента трения и на полях возмущений продольной скорости вдоль фиксированной сеточной плоскости. Наиболее вероятным представляется сценарий, в котором волновые возмущения в следе за двумя пятнами перекрываясь достигают критической амплитуды для начала нелинейного взаимодействия. Далее образуются продольные структуры, приводящие к появлению нового турбулентного пятна в следе за двумя взаимодействующими пятнами. В дальнейшем планируется расширить анализ данного возмущения.

Заключение

В диссертационной работе получены сведения о развитии нелинейных возмущений в сверхзвуковом пограничном слое с благоприятным градиентом давления. Основные полученные результаты:

1. С помощью численного моделирования развития линейных возмущений на прямом параболическом профиле подтверждён результат линейной теории устойчивости о существовании точки максимального интегрального усиления неустойчивых гармоник. Показано, что после прохождения данной точки, амплитуда волнового пакета первой моды, возбуждённого генератором вдув-отсос, начинает уменьшаться. Таким образом, при ламинаризации течения 10% параболического профиля до точки максимального интегрального усиления, расположенной на расстоянии примерно 0.2 от длины хорды, ожидается ламинарное обтекание на большей части поверхности, вплоть до начала отрывного течения (0.8 от хорды крыла).

2. Впервые выполнено численное моделирование формирования и развития турбулентного пятна в сверхзвуковом пограничном слое на параболическом профиле. Определён основной механизм перехода к турбулентности: им оказался косой распад. Также выполнено сравнение характеристик полученного в расчёте турбулентного пятна с известными экспериментальными данными и эмпирическими моделями для безградиентных течений. Показано, что при рассмотренном в работе благоприятном градиенте давления, геометрические и интегральные характеристики турбулентного пятна слабо отличаются от безградиентного случая.

3. С помощью численного моделирования взаимодействия перекрывающихся турбулентных пятен в сверхзвуковом пограничном слое на параболическом профиле впервые обнаружено формирование нового возмущения в следе за линией взаимодействия пятен. Поля возмущений скорости показывают, что данное возмущение ниже по потоку также формирует турбулентное пятно. Дальнейшие исследования данной задачи улучшат понимание механизмов

самоподдержки турбулентности и начальной стадии развития турбулентного пограничного слоя.

Список литературы

1. Lorenz E.N. Deterministic Nonperiodic Flow // J. Atmos. Sci. 1963. Vol. 20, № 2. P. 130-141.

2. Дразин Ф. Введение в теорию гидродинамической устойчивости. М.: Физматлит, 2005. 288 с.

3. Lighthill M.J. The recently recognized failure of predictability in Newtonian dynamics // Proc. R. Soc. Lond. A. 1986. Vol. 407, № 1832. P. 35-50.

4. Гапонов С.А., Маслов А.А. Развитие возмущений в сжимаемых потоках // Новосибирск: Наука, 1980. 144 с

5. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя. М.: Наука, 1974. 712 с.

6. Лойцанский Л.Г. Механика жидкости и газа. М.: Дрофа, 2003. 840 с.

7. Kachanov Y.S. Physical Mechanisms of Laminar-Boundary-Layer Transition // Annual Review of Fluid Mechanics. Annual Reviews, 1994. Vol. 26, № Volume 26, 1994. P. 411-482.

8. Fedorov A. Transition and Stability of High-Speed Boundary Layers // Annual Review of Fluid Mechanics. 2011. Vol. 43, P. 79-95.

9. Narasimha R. The laminar-turbulent transition zone in the boundary layer // Progress in Aerospace Sciences. 1985. Vol. 22, № 1. P. 29-80.

10. Егоров И.В., Пальчековская Н.В. Численное моделирование восприимчивости сверхзвукового пограничного слоя к акустическим возмущениям в течениях сжатия и разрежения // Доклады Российской Академии Наук. Физика, Технические Науки. 2021. Т. 497, № 1. P. 40-43.

11. Шубин К.В., Чувахов П.В. Взаимодействие акустических возмущений со сверхзвуковым пограничным слоем на плоской пластине. 2023. № 6. P. 3-13.

12. Chang C.-L., Malik M.R. Oblique-mode breakdown and secondary instability in supersonic boundary layers // J. Fluid Mech. 1994. Vol. 273. P. 323-360.

13. Van den Eynde J., Steelant J. Compressibility and temperature effects on turbulent spot growth // Proceedings of HiSST. CEAS, 2018.

14. Karsch M., Van Den Eynde J., Steelant J. Linearly combined transition model

based on empirical spot growth correlations // CEAS Space J. 2023. Vol. 15, № 6. P. 947-958.

15. Чувахов П.В., Погорелов И.О. Источники турбулентности на прямом крыле сверхзвукового пассажирского самолета // Математическое моделирование. 2022. Т. 34, № 8. С. 19-37.

16. Косинов А.Д. и др. Влияние малых углов атаки на возникновение турбулентности в сверхзвуковых пограничных слоях на стреловидных крыльях // Изв. РАН. МЖГ. 2023. № 3. С. 59-68.

17. Pate S.R. Effects of Wind Tunnel Disturbances on Boundary-layer Transition with Emphasis on Radiated Noise: A Review. American Institute of Aeronautics and Astronautics, 1980.

18. Chuvakhov P.V. Shock-Capturing Anomaly in the Interaction of Unsteady Disturbances with a Stationary Shock // AIAA Journal. 2021. P. 1-11.

19. Косинов А.Д. и др. Экспериментальное исследование эволюции контролируемых возмущений в продольном вихре, порожденном в пограничном слое плоской пластины при числе Маха 2 // ПМТФ. 2023. Т. 64, № 4. С. 118-129.

20. Яцких А.А., Афанасьев Л.В. Численное моделирование эволюции локализованных возмущений от двух синхронных разнесенных источников в сверхзвуковом пограничном слое // Теплофизика и аэромеханика. 2022. № 6. С. 923-934.

21. Чувахов П.В., Егоров И.В. Численное моделирование эволюции возмущений в сверхзвуковом пограничном слое над углом разрежения // Изв. РАН. МЖГ. 2021. № 5. С. 49-60.

22. Chuvakhov P.V. et al. Boundary-layer instabilities in supersonic expansion corner flows // AIAA Journal. 2021. Vol. 59, № 9. P. 3398-3405.

23. Егоров И.В., Новиков А.В., Чувахов П.В. Численное моделирование развития турбулентных пятен в сверхзвуковом пограничном слое на пластине // Математическое моделирование. 2022. Т. 34, № 7. С. 63-72.

24. Chuvakhov P.V., Ilyukhin I.M., Fedorov A.V. Stability of supersonic boundary layer over an unswept wing with a parabolic airfoil // Theor. Comput. Fluid Dyn. 2024. Vol. 38, № 1. P. 1-13.

25. Chuvakhov P.V., Fedorov A.V., Obraz A.O. Numerical simulation of turbulent spots generated by unstable wave packets in a hypersonic boundary layer // Computers & Fluids. 2018. Vol. 162. P. 26-38.

26. Zhou T. et al. Direct numerical simulation of complete transition to turbulence via first- and second-mode oblique breakdown at a high-speed boundary layer // Physics of Fluids. 2022. Vol. 34, № 7, 074101.

27. Wygnanski I., Sokolov M., Friedman D. On a turbulent 'spot' in a laminar boundary layer // J. Fluid Mech. 1976. Vol. 78, № 04. P. 785-819

28. Wu X. New Insights into Turbulent Spots // Annu. Rev. Fluid Mech. 2023. Vol. 55, № 1. P. 45-75.

29. Krishnan L., Sandham N.D. Effect of Mach number on the structure of turbulent spots // J. Fluid Mech. 2006. Vol. 566. P. 225-234.

30. Redford J.A., Sandham N.D., Roberts G.T. Numerical simulations of turbulent spots in supersonic boundary layers: Effects of Mach number and wall temperature // Progress in Aerospace Sciences. 2012. Vol. 52. P. 67-79.

31. Mayer C.S.J., Von Terzi D.A., Fasel H.F. Direct numerical simulation of complete transition to turbulence via oblique breakdown at Mach 3 // J. Fluid Mech. 2011. Vol. 674. P. 5-42.

32. Hartman A.B., Hader C., Fasel H.F. Nonlinear transition mechanism on a blunt cone at Mach 6: oblique breakdown // Journal of Fluid Mechanics. Cambridge University Press, 2021. Vol. 915, R2.

33. Косинов А.Д. и др. Экспериментальное исследование эволюции контролируемых возмущений в продольном вихре, порожденном в пограничном слое плоской пластины при числе Маха 2 // ПМТФ. 2023. Т. 64. № 4. С. 118-129.

34. Zhou T. et al. Interactions between oblique second mode and oblique waves in

a high-speed boundary layer // J. Fluid Mech. 2023. Vol. 973, A27.

35. Kneer S., Guo Z., Kloker M.J. Control of laminar breakdown in a supersonic boundary layer employing streaks // J. Fluid Mech. 2022. Vol. 932. A53.

36. Lee C., Jiang X. Flow structures in transitional and turbulent boundary layers // Physics of Fluids. 2019. Vol. 31, № 11. P. 111301.

37. Krishnan L., Sandham N.D. On the merging of turbulent spots in a supersonic boundary-layer flow // International Journal of Heat and Fluid Flow. 2006. Vol. 27, № 4. P. 542-550.

38. Башкин В.А., Егоров И.В. Численное моделирование динамики вязкого совершенного газа. — М.: Физматлит, 2012, 372 с.

39. Егоров И.В., Новиков А.В. Прямое численное моделирование ламинарно-турбулентного обтекания плоской пластины при гиперзвуковых скоростях потока // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2016. Т. 56. № 6. С. 145 — 162.

40. Новиков А.В. Численное моделирование устойчивости и ламинарно-турбулентного перехода в гиперзвуковом пограничном слое: дис. ... д-ра физ.-мат. наук: 01.02.05 / Новиков Андрей Валерьевич. - Жуковский, 2017 -229 с.

41. Roe P.L. Approximate Reimann solvers, parameter vectors, and difference schemes // J. Comp. Phys. 1981. V. 43, pр. 357 — 372.

42. Jiang G.-S., Shu C.-W. Efficient Implementation of Weighted ENO Schemes // Journal of Computational Physics. — 1996. — June. — Vol. 126, no. 1. — P. 202-228

43. Shock Wave-Boundary-Layer Interactions. 1st ed. / ed. Babinsky H., Harvey J.K. Cambridge University Press, 2011. 461 p.

44. Нейланд В.Я. К теории отрыва ламинарного пограничного слоя в сверхзвуковом потоке // Изв. АН СССР, МЖГ. 1969, №4.

45. Stewartson K., Williams P.G. Proc. Roy. Soc. Ser. A312(1509), 181-206 (1969)

46. Chapman D.R., Kuehn D.M., Larson H.K. Investigation of separated flows in

supersonic and subsonic streams with emphasis on the effect of transition. NACA-TR-1356, 1956.

47. Гайфуллин А.М., Накрохин С.А. Интегрально несимметричное течение около пластины с движущейся против потока поверхностью // Доклады Российской академии наук. Физика, технические науки. 2020, Т. 490, №1. С. 63-65

48. Крапивский П.Л., Нейланд В.Я. Отрыв пограничного слоя от подвижной поверхности тела в сверхзвуковом потоке газа // Ученые записки ЦАГИ. 1982. Т.13, №3. С. 32-42

49. Ruban A.I., Araki D., Yapalarvi R., Gajjar J.S.B. On unsteady boundary-layer separation in supersonic flow. Part 1. Upstream moving separation point // J. Fluid Mech. 2011. Vol. 678, pp. 124-155.

50. Нейланд В.Я. Асимптотическая теория взаимодействия пограничного слоя с бегущей ударной волной // Уч. Зап. ЦАГИ, 2020. Т. 51, №2. С. 18-23.

51. Жук В.И. О локальных рециркуляционных зонах в сверхзвуковом пограничном слое на движущейся поверхности // Ж. Вычисл. Матем. и Матем. Физ., 1982. Т. 22, №5. C. 249-255.

52. Yapalparvi R. Van Dommelen L.L. Numerical solution of unsteady boundary-layer separation in supersonic flow: upstream moving wall // J. Fluid Mech., 2012. Vol. 706, pp. 413-430.

53. Егоров И.В., Илюхин И.М., Нейланд В.Я. Численное моделирование взаимодействия скачка уплотнения с пограничным слоем над движущейся поверхностью // Изв. РАН. МЖГ. 2020. № 5. С. 110-117.

54. Joslin R.D. Aircraft laminar flow control // Annu. Rev. Fluid Mech. 1998. Vol. 30, № 1. P. 1-29.

55. Sturdza P. Extensive Supersonic Natural Laminar Flow on the Aerion Business Jet // 45th AIAA Aerospace Sciences Meeting and Exhibit. Reno, Nevada: American Institute of Aeronautics and Astronautics, 2007.

56. Morkovin M.V., Reshotko E., Herbert T. Transition in open flow systems: a

reassessment // Bull APS. 1994. Vol. 39, № 9, p. 1 - 31

57. Zurigat Y.H., Nayfeh A.H., Masad J.A. Effect of pressure gradient on the stability of compressible boundary layers // AIAA Journal, 1992. Vol. 30, №.9, pp. 2204-2211

58. Masad J.A., Zurigat Y.H. Effect of pressure gradient on first mode of instability in compressible boundary layers // Physics of Fluids, 1994. Vol. 6, №12, pp. 3945-3953.1.

59. Ren J., Fu S. Effect of pressure gradient on the stability of hypersonic boundary layer flows // 21st AIAA International Space Planes and Hypersonics Technologies Conference. Xiamen, China: American Institute of Aeronautics and Astronautics, 2017.

60. Liebhardt B. et al. Exploring the Prospect of Small Supersonic Airliners - A Case Study Based on the Aerion AS2 Jet // 17th AIAA Aviation Technology, Integration, and Operations Conference. Denver, Colorado: American Institute of Aeronautics and Astronautics, 2017.

61. Chuvakhov P.V. et al. Disturbance evolution over an upswept wing in a Mach 3 flow. Novosibirsk, Russia, 2021. P. 030025.

62. Malik M., Zang T., Bushnell D. Boundary layer transition in hypersonic flows // 2nd International Aerospace Planes Conference. Orlando,FL,U.S.A.: American Institute of Aeronautics and Astronautics, 1990.

63. Masson C. et al. Curvature and nonparallel effects in 3-D compressible transition analysis // 35th Aerospace Sciences Meeting and Exhibit. Reno,NV,U.S.A.: American Institute of Aeronautics and Astronautics, 1997.

64. Lagerstrom P.A. Laminar Flow Theory. First princeton paperback printing. Princeton, NJ: Princeton Univ. Press, 1996. 268 p.

65. Mack L.M. Boundary layer stability theory // (Doc./JPL; 900-277, Rev. A), Pasadena, California. 1969

66. Образ А.О., Фёдоров А.В. Пакет программ HSFS для анализа устойчивости сжимаемых пограничных слоев // Ученые записки ЦАГИ. 2017,

T. 48, № 3. C. 11-27.

67. Fischer M.C. Spreading of a Turbulent Disturbance // AIAA Journal. 1972. Vol. 10, №7. P. 957-959.

68. Clark J.P., Jones T.V., La Graff J.E. On the propagation of naturally-occurring turbulent spots // J Eng Math. 1994. Vol. 28, № 1. P. 1-19.

69. Mee D.J., Goyne C.P. Turbulent spots in boundary layers in a free-piston shock-tunnel flow // Shock Waves. 1996. Vol. 6, № 6. P. 337-343.

70. Mee D.J. Boundary-Layer Transition Measurements in Hypervelocity Flows in a Shock Tunnel // AIAA Journal. 2002. Vol. 40, № 8. P. 1542-1548.

71. Jocksch A., Kleiser L. Growth of turbulent spots in high-speed boundary layers on a flat plate // International Journal of Heat and Fluid Flow. 2008. Vol. 29, № 6. P.1543-1557.

72. Sivasubramanian J., Fasel H. Direct Numerical Simulation of a Turbulent Spot in a Cone Boundary-Layer at Mach 6 // 40th Fluid Dynamics Conference and Exhibit. Chicago, Illinois: American Institute of Aeronautics and Astronautics, 2010.

73. Jewell J.S., Leyva I.A., Shepherd J.E. Turbulent spots in hypervelocity flow // Exp Fluids. 2017. Vol. 58, № 4. P. 32.

74. Chuvakhov P.V., Fedorov A.V. Asymptotic boundary condition for numerical modeling of wave packets in a supersonic boundary layer // Computers & Fluids. 2024. Vol. 271. P. 106181.

75. Marineau E.C. Prediction Methodology for Second-Mode-Dominated Boundary-Layer Transition in Wind Tunnels // AIAA Journal. 2017. Vol. 55, № 2. P. 484-499.

76. Fedorov A.V., Kozlov M.V. Receptivity of high-speed boundary layer to solid particulates // 6th AIAA Theoretical Fluid Mechanics Conference. Honolulu, Hawaii: American Institute of Aeronautics and Astronautics, 2011.