Краевые задачи в моделировании формования волокна: аналитические и численные методы тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Дрегля, Алена Ивановна

• Дрегля, Алена Ивановна
• кандидат физико-математических наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Дрегля, Алена Ивановна

Оглавление

Список обозначений

Введение

1 Математические модели формования волокна: аналитический обзор

1.1 Математические модели пограничного слоя, возникающего при формовании волокна

1.1.1 Формование волокна (технический аспект)

1.2 Точные решения уравнения Навье-Стокса для слоистого плоскопараллельного течения без учета массовых сил

1.2.1 Плоское течение Пуазейля

1.2.2 Плоское течение Куэтта

1.3 Приближенные решения уравнений Навье-Стокса для течения с пограничным слоем

1.4 Математическая модель формования волокна в случае потока с аксиальной симметрией

1.4.1 Осевая симметрия пограничного слоя вдоль длинного тонкого цилиндра

1.4.2 Вывод краевой задачи с использованием преобразования Блазиуса

1.4.3 Решение сингулярной краевой задачи на полуоси

1.4.4 Краевая задача в моделировании теплового процесса в подвижном цилиндрическом волокне с осесимметричным пограничным слоем

1.4.5 Теплопередача от движущегося волокна

1.4.6 Теплообмен на малых расстояниях от фильеры

1.4.7 Краевые задачи в теории охлаждения испарением

в процессе формования стекловолокна

1.4.8 Модель испарения пограничного слоя неподвижного волокна в подвижном воздухе

2 Некоторые аналитические методы возникающих при моделировании формования волокна

2.1 Существование решений краевых задач в задачах с пограничным слоем

2.1.1 Некоторые сведения из нелинейного анализа

2.1.2 Нелинейные операторные уравнения с параметром

2.1.3 Теорема Коши-Ковалевской

2.1.4 Теоремы существования решений нелинейных краевых задач

2.1.5 Решение краевых задач на неограниченном интервале

2.1.6 Регуляризация вычислений в двухточечных сингулярных краевых задачах с помощью сеток Шишкина

2.2 Построение аналитических решений

2.2.1 Построение решений задачи Коши для модели

Глауэрта - Лайтхилла

2.2.2 Метод последовательных приближений решения

задачи Коши (2.2.1)-(2.2.3)

2.3 Построение точных решений в моделях Глауэрта-

Лайтхилла и в моделях Блазиуса

2.3.1 Построение точного решения для модели Глауэрта Лайтхилла при линейном выборе радиуса волокна

2.3.2 Разрешающее уравнение относительно функции тока и три точных параметрических семейства решений модели Блазиуса

3 Численное решение краевых задач в теории моделирования полимеров

3.1 Краевые задачи, возникающие при моделировании импульсного теплового пограничного слоя

3.1.1 Сингулярно возмущенная природа задачи Блазиуса!

3.1.2 Равномерный по параметру метод для задачи с пограничным слоем

Заключение

Список обозначений

а— радиус волокна [га]

Ai — kevap коэффициент аппроксимации кривой [m2/sK2] В- (крер)/(kfPfCpf)

В\— kevap коэффициент аппроксимации кривой [т?/sK] С\ — кешр коэффициент аппроксимации кривой [ra2/s] ср— теплоемкость внешней среды [J/kgK] Cpj — теплоемкость волокна [J/kgK]

Dq— диаметр начальной капли на выходе из фильеры [га] D— диаметр капли [га] hfg — латентное тепло испарения [J/kg] к— теплопроводность внешней среды (воздуха) W/m ■ К kf— теплопроводность волокна W/m ■ К kevap— коэффициент испарения [ra2/s] га'"— скорость локального испарения kg/m^s tlq— плотность распыления во внешней среде [drops/га3] п— плотность распыления в пограничном слое [drops/га3] Рг— число Прандтля учитывает влияние физических свойств теплоносителя на теплоотдачу

Nu— число Нуссельта характеризует соотношение между интенсивностью теплообмена за счёт конвекции и интенсивностью теплообмена за счёт теплопроводности

<5— конвективный тепловой поток волокна [IV] де— объемное нагревание в силу испарения [ТУ/га3] ¿— время [в]

Т— температура воздуха в пограничном слое [К] Те— температура воздуха внешней среды [К] Tf— температура волокна [К]

и— скорость пограничного слоя в аксиальном направлении [т/в] II— скорость волокна [т/в]

V— скорость пограничного слоя в радиальном направлении [т/в] х— аксиальное расстояние от фильеры [га] X— безразмерная величина хи/11а2 у— радиальное расстояние от поверхности волокна [га]

а— параметр профиля скорости /3— параметр профиля температуры д— толщина импульсного пограничного слоя [га] 8т~ толщина теплового пограничного слоя [га]

г)— безразмерная величина, характеризующая отношение энергии,

Оср)/(р/сР/)

©— отклонение температуры воздуха пограничного слоя [К]

0у— отклонение температура волокна [К]

¡1— динамическая вязкость [кд/т • в]

V— кинематическая вязкость [га2/в]

р— плотность воздуха [кд/т3]

р/— плотность волокна [кд/т3]

ри,— плотность воды [кд/т3]

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Краевые задачи в моделировании формования волокна: аналитические и численные методы»

Введение

Постановка задачи и ее актуальность

Настоящее исследование посвящено изучению краевых задач, возникающих при математическом моделировании процесса формования волокна из расплава полимера (см., например, работы [6], [41], [2], [25], [5], [80], [43], [8], [32], [27], [63]). Кратко опишем суть процесса формования волокна. Расплавленный полимер продавливается через сопло фильеры, охлаждается потоком воздуха, и затем полимер затвердевает. В застывшем состоянии волокно наматывается на приемный валик со скоростью значительно превосходящей скорос ть продавливания (экструзии) полимера через сопло. Отмстим, что по мерс удаления от фильеры радиус волокна уменьшается, принимая стационарное значение. В конце технологического процесса готовое волокно наматывается на приемный валик. Сразу после выхода из фильеры полимер слегка набухает, а затем сжимается, как только скорость увеличивается до конечной скорости. В промышленных установках одновременно производится несколько сотен волокон. Математическое моделирование взаимодействия волокна и воздушных потоков является достаточно сложной задачей, соответствующие модели строились и исследовались в работах А. Шона [39], Т. Готса [26], Д. Гагона [24], Борна и Элисто-на [6], Свитланда и Ленхарда [41], Р. Тассе [42], А. И. Дрегля [56], О. В. Апдрющспко [44], Б. А. Снигерева [70],С. Д. Старыгина [711. На

свойства волокна влияет совокупность таких факторов, как скорость потока воздуха, поверхностное натяжение волокна в жидком состоянии, молекулярная структура полимера и другие факторы (см. работы Т. Клопе [2], Глауэрта и Лайтхила [25], Борпа и Диксона [5], Л. Красна [7], Ришелье [34], Себана [40]).

В статье Глауэрта и Лайтхилла [25] используется тот факт, что скорость потока вблизи поверхности цилиндра пропорциональна логарифму его расстояния от оси цилиндра. Это позволило [25] решить задачу более точно. Подобный логарифмический профиль использовался и ранее Сакиадисом [36]. Сакиадис нашел решение уравнения Блазиуса. Ссбан [40] и позднее Глауэрт [25| заметили, что ламинарный импульсный пограничный слой может быть описан безразмерно с помощью преобразования системы координат. Факт наличия малого ускорения установлен на основе Релеевского решения [33]. В статье Ришелье [34] рассмотрен ламинарный подход к задаче формования волокна. Используя безразмерный импульсный пограничный слой вдоль волокна с круглым сечением в аксиальном направлении, мы исследовали два типа граничных условий. Один тип называется квазиподобньш решением и вычислен на полу бесконечности, а другой тин соответствует непрерывно движущейся поверхности.

Полуаналитическое решение уравнений с погранслосм для несжимаемого потока с постоянными свойствами (т. с. не зависящими от температуры) указано в монографии Шлихтинга |80], численные методы описаны в монографии Г. И. Шишкина и его коллег [35].

При построении и исследовании математических моделей эффективным оказалось сочетание классических методов гидродинамики О. Ладыженской [62], [30], [29], численных и аналитических приближенных методов решения нелинейных задач с сингулярностями (В. И.

Юдович [81], В. В. Пухначев [66], Р. Темам [72]). Особо отмстим устойчивые разностные схемы Г. И. Шишкина [35], используемые и в наших работах [54], [17], [18], [19]. В настоящей работе мы рассматриваем единичное волокно. Условия производства волокна, в особенности его затвердевание после выхода из сопла фильеры, оказывают наиболее существенное влияние на качество и характеристики готового волокна (см. [10], [24], [71]). Глубокое понимание процесса затвердевания волокна способствует улучшению его производства. Поэтому моделирование процесса формования имеет как теоретический, так и практический интерес, привлекая внимание многих математиков.

Исследуемые физико-технические модели

Рассматривая широкий спектр краевых задач, возникающих при математическом моделировании процесса формования волокна из расплава, можно обнаружить довольно много белых пятен и нерешенных проблем, как с точки зрения теоретического обоснования уже используемых аналитических методов, так и с точки зрения вычислительных методов.

Теория пограничного слоя - один из важнейших разделов гидродинамики [80], [9], [32], [27], [63], [62]. Основным объектом приложений этой теории была и остается задача обтекания. Вместе с тем, в последние годы область ее приложений значительно расширилась. Были изучены пограничные слои с замкнутыми линиями тока [64], в диффузорах и трубах [46], на вращающихся телах и проницаемых поверхностях, рассмотрены некоторые задачи о внутренних пограничных слоях п пограничных слоях вблизи границы раздела двух жидкостей, исследовано влияние малой вязкости па поведение слабых разрывов в жидкости, построена асимптотика неустановившихся движений конечной массы жидкости при стремлении вязкости к нулю, исследован ряд

важных задач со свободной границей для уравнений Навье-Стокса.

В литературе (см. библиографию [58], [56], [60], [48], [75], [50], [74]), посвященной теории и приложениям моделирования формования волокна, известен ряд математических задач, некоторые из которых рассматриваются и впервые решаются в настоящей диссертации:

- моделирование пограничного слоя в случае осевой симметрии волокна;

- вывод краевой задачи с использованием преобразования Блази-уса;

- решение сингулярной краевой задачи на полуоси;

- исследование краевой задачи в моделировании теплообмена в подвижном цилиндрическом волокне с осесимметричным пограничным слоем;

- доказательство существования решений краевых задач, возникающих при моделировании формования волокна.

Математические модели, связанные с формованием волокон, сводятся к исследованию решений систем нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных.

В настоящей работе основное внимание уделяется математическим моделям, в которых исходные нелинейные модели, описываемые уравнениями в частных производных типа Навье-Стокса, мы сводим к обыкновенным дифференциальным уравнениям, для которых формулируются краевые задачи, исследуются вопросы существования решений, построения точных и приближенных решений. В диссертации используются известные строгие методы гидродинамики, нелинейного анализа и вычислительной математики. В данной работе численные расчеты с использованием адаптивных сеток являются точными в пределах погрешности входных данных и информативными, т.к. решение

ищется строго в рамках пограничного слоя, учитываются такие сингулярности, как кромка (расчеты вблизи нуля, соответствующего соплу фильеры) и расчеты на бесконечности. В работах Г.И.Шишкина (см. библиографию в монографии [35]), используемых в данном исследовании, метод получил название робастного за счет устойчивости к такому важному параметру как вязкость.

Научная новизна диссертации

В диссертации изложены следующие научные результаты, полученные автором:

- разработан аналитический метод построения решений в одномерных стационарных моделях с краевым условием, установлена сходимость рядов в асимптотическом методе Глауэрта-Лайтхилла;

- для двумерных нелинейных систем Блазиуса построено разрешающее уравнение относительно функции тока и три точных решения;

- доказана теорема существования решения краевых задач с по-гранслосм и предложен численный метод решения нелинейной краевой задачи теории погранслоя;

- разработан численный метод расчета компонент скоростей, температуры, трения и толщины пограничного слоя для плоской пластины, в котором относительные ошибки вычислений не зависят от числа Рейнольдса;

- впервые доказано существование решений краевых задач, возникающих в физико-технических моделях полимеров, с использованием теоремы Копш-Ковалевской и принципа неподвижной точки Шаудера;

- при помощи общих теорем существования решений нелинейных уравнений с векторным параметром доказано существование решений одной краевой задачи из теории пограничного слоя на неограниченном полуинтервале.

Диссертация состоит из введения, трех глав и заключения.

Во введении дана техническая постановка проблемы, приводится обзор литературы и результатов в этой области, формулируются задачи диссертационного исследования. Приводится краткое содержание диссертации и се основные результаты.

Первая глава посвящена аналитическому обзору постановок краевых задач, возникающих при математическом моделировании процесса формования волокон. Параллельно приводятся результаты расчетов, выполненные автором в Дублинском технологическом институте (см. статьи [54], [17], [18], [19], [58], [56] и авторские отчеты [11], [12]). Основное внимание уделено четырем моделям, вытекающим из уравнения Навьс-Стокса.

В пункте 1.3 гл. I. рассмотрена система уравнений Прандтля, описывающая "почти" параллельные течения с определенными граничными условиями. Система Прандтля и является первым приближением для точной модели волокна. Получены точные решения для скорости потока в аксиальном и радиальном направлении. В пункте 1.4 изложены расчеты по вычислению скорости в аксиальном направлении. Кроме того, с помощью явных формул вычислена толщина пограничного слоя для различных значений вязкости с высокой точностью. В рассмотренной модели Прандтля построены два класса точных решений. При этом с помощью второго класса точных решений указан алгори тм получения пограничного слоя разной геометрии и вычислено сопротивление трения на единицу длины цилиндра для различных значений вязкости. В пункте 1.4.2 проводится редукция уравнения в частных производных импульсного погранслоя к обыкновенному нелинейному дифференциальному уравнению третьего порядка с граничными условиями. В разделе 1.4.3 с помощью замены и подбора параметров спн-

гулярная краевая задача на полуоси сведена к задаче Коти, решение которой строится численно. В пункте 1.4.4 для исследования краевой задачи, моделирующей тепловой процесс в подвижном цилиндрическом волокне с осесиммстричным пограничным слоем, применен метод Карман Польгаузона для поиска распределения температуры и оценки скорости теплопроводности. Возникающее при этом дифференциальное уравнение интегрируется численно методом Рунгс-Кутта 5-го порядка при 0 < а < 10 с шагом 0.05. Используя результаты решения этой задачи Коши находим зависимость радиуса волокна от скорости потока и температуры (см. результаты расчетов, приведенные на рис. 1.4.4, для различных чисел Прандтля). Результаты покггзапы в Таблице 1.3 для воздуха с числом Прандтля а = 0.72. Результаты согласуются с ранее построенной асимптотикой в пределах 5% на больших расстояниях от фильеры. В пункте 1.4.5 рассмотрено моделирование теплопередачи от движущегося волокна. Здесь найдено первое приближение для распределения тепла для функций С?о,Ст и их первой производной. Доказана сходимость рядов, в которые раскладывается решение. Показано, что па полуоси уравнения имеют разрывные решения. А именно, на основании теоремы Коши-Ковалевской доказана теорема существования. В пункте 1.4.7 рассмотрены краевые задачи в теории охлаждения испарением в процессе формования стекловолокна. Здесь построено точное решение уравнения модели, зависящее от произвольных параметров. В пункте 1.4.8 рассмотрена краевая тепловая задача, постановка которой предложена профессором Лоренсом Крайном (Тринити Колледж Дублин). На этой основе автором были получепы уравнения для определения характеристик теплового пограничного слоя.

Вторая глава состоит из двух частей. В п. 2.1.1 изложены вспомогательные сведения из нелинейного анализа и теории уравнений в частных производных. В п. 2.1.2 с помощью принципа неподвижной точки Шаудера доказана теорема существования классического решения нелинейной краевой задачи на конечном интервале. Кроме того, здесь доказано существование и единственность классического решения двухточечной нелинейной краевой задачи с малым параметром при старшей производной. Как следствие, эта теорема дала возможность получить достаточные условия существования и единственности классического решения в одной задаче из теории пограничного слоя с краевыми условиями на неограниченном полуинтервале. Предлагаемые алгоритмы для этой задачи требуют на каждом шаге решить двухточечную сингулярную задачу с малым параметром при старшей производной. Поэтому в п. 2.1.3 рассмотрена регуляризация этих вычислительных алгоритмов на примере. Приведен иллюстративный пример вычислений для прямого численного решения такой сингулярной линейной краевой задачи. При численном решении сингулярных краевых задач процесс эффективно регуляризирован с помощью адаптивных сеток Г. И. Шишкина, получивших в литературе название робастпых. В пункте 2.2.1 рассмотрено построение аналитических решений задачи Коши для модели Глауэрта-Лайтхилла. А также здесь рассмотрены аналитические решения нелинейных систем в частных производных, введенных в 1954 году Глауэртом и Лайт-хиллом в работе [25]. Доказана теорема существования аналитического решения соответствующей задачи Коши и даны формулы для вычисления коэффициентов асимптотики решения. Для определения коэффициентов выведены рекуррентные формулы. Построено решение, где первые три члена совпали с формальной асимптотикой Карман-

11ольгаузсна в случае аксиальной скорости. На Рис. 2.1, 2.2 представлены распределения скорости в аксиальном направлении для различных значений вязкости. Основное отличие графиков состоит в том, что в случае, представленном на Рис. 2.1, использовалась асимптотика третьего порядка, и влияние вязкости при распределении скорости в аксиальном направлении не прослеживалось. В случае, представленном на Рис. 2.2, использована асимптотика пятого порядка, где в четвертом и пятом коэффициентах вязкость присутствует явно. Это позволило более точно учитывать влияние вязкости при распределении скорости в аксиальном направлении. Отмстим, что при использовании асимптотики третьего порядка вязкость учитывается только при задании функции скорости в аксиальном направлении. Далее доказана еще одна конструктивная теорема существования единственного решения, гтредставимого в виде равномерно сходящихся рядов. В п. 2.2.1 рассматривается построение решений в модели Глауэрта и Лайтхил-ла методом последовательных приближений. Существование решений и сходимость последовательных приближений следует из результатов работы Н. А. Сидорова [68] и может быть проведена непосредственно с помощью принципа сжимающихся отображений. В п. 2.2.2 показано, что решение задачи Коши в модели Глауэрта- Лайтхилла можно строить методом неопределенных коэффициенов в виде рядов, или методом последовательных приближений. На одном примере показано, что решение методом последовательных приближений позволяет строить решение задачи Коши в более широкой области значений аргументов х и у, чем представление решения в виде рядов. В пункте 2.3 построено точное решение при линейном выборе радиуса волокна и построено разрешающее уравнение относительно функции тока и три точных параметрических семейства решений системы Блазиуса.

В третьей главе описан алгоритм численного решения одной краевой задачи Блазиуса, возникающей при моделировании пограничных слоев в формовании волокон. В пункте 3.1.1 поставлена сингулярно возмущенная краевая задача Блазиуса, дана постановка проблемы, которая и решена далее численно. А именно в пункте 3.1.2 описан алгоритм вычислений и приведены оценки глобальной ошибки в решении задачи Блазиуса. Основные выводы о равномерности, скорости сходимости и устойчивости вычислений но параметру вытекают из численных результатов, приведенных в таблицах 3.1, 3.2, 3.3. Таким образом, разработан устойчивый к вязкости численный метод решения задачи Блазиуса, позволяющий находить скорость, толщину пограничного слоя и коэффициент трения. Автором был написан программный комплекс, использовавшийся при этих расчетах. Получено свидетельство о государственной регистрации комплекса программ для ЭВМ № 2012616439.

Программа обеспечивает выполнение следующих функций:

- графическое построение решения краевой задачи Блазиуса, ее первой и второй производной;

- графическое построение скорости потока в аксиальном и радиальном направлении; - построение таблицы ошибок и порядок сходимости.

Используемый инструмент позволяет проводить вычисления с высокой точностью со скоростью сходимости порядка один. Главная идея алгоритма состоит в численном решении нелинейной краевой задачи на кусочно-равномерной сетке на основе робастного метода Шишкина для произвольного числа Рейнольдса.

В заключении подведены итоги проделанной работы и перечислены основные научные результаты диссертации.

Материалы диссертации опубликованы в журналах и трудах коп-ферений [55], [57], [58], [69], [20], [54], [53] [19], [67], [52], [13], [18], [17|, [21], [14], [16], [15], [23], [59], [22[, научных отчетах автора, выполненных в Дублинском Технологическом Институте [11], [12], в монографии [56]. Статьи [55], [57], [58], [69], [20] опубликованы в журналах, включенных в список ВАК. В совместных публикациях с проф. Г.И. Шишкиным, отраженных в третьей главе автору принадлежат численные и неко торые аналитические расчеты. Все остальные результаты, изложенные в диссертации, были получены автором.

Результаты диссертационной работы обсуждались и докладывались па следующих конференциях:

— III международная школа-семинар "Нелинейный анализ и экстремальные задачи", 25 июня -1 июля, 2012 г., Иркутск;

— 6th International Congress on Industrial and Applied Mathematics, ICIAM 2007, 16 - 20 July 2007 г., (мшшеимпозиум NR . IC/MP/015/S/111) Zürich, Switzerland;

— международная конференция но вычислительной математике МКВМ-2004, 21 - 25 июня 2004 г., Новосибирск;

— Лаврентьевские чтения по математике, механике и физике, 27 31 мая 2005 г., Новосибирск;

— международная конференция "Тихонов и современная математика", 19 - 25 июня, 2006 г., Москва;

— международная конференция "Дифференциальные уравнения, теория функций и приложения", посвященная 100-летию со дня рождения академика И.Н. Векуа, 28 мая - 2 июня 2007 г., Новосибирск;

— International Congress "Nonlinear Dynamical Analysis - 2007"

dedicated to the 150th anniversary of Academician A.M.Lyapunov, 4 -8 June 2007, SPb, Russia;

—IX международная четасвская конференция "Analytical Mechanics, Stability and Control of Motion", 12 - 14 июня 2007 г, Иркутск;

— V международная конференция "Inverse Problems: Identification, Design and Control", 11-17 Мая 2007 г. Москва;

— XIII и XIV Байкальские международные школы-семинары "Методы оптимизации и их приложения", 2005 г. и 2008 г., Северобайкальск-Иркутск;

— VI международная конференция Лаврентьевские чтения но математике, механике и физике, 10 14 мая 2005 г. Новосибирск;

— GAMM (Gcscllschaft fur Angcwandtc Mathematik und Mcchanik) Annual Scientific Conference, 24 - 28 March 2003, Padua, Italy;

международная конференция по вычислительной математике СМАМ-1, 2003 г. Минск;

The Second Annual Workshop on Numerical Methods for Problems with Layer Phenomena, 6-8 February 2003, Limerick, Ireland;

— The Third Stokes Summer School, 21-25 June 2002, Skrccn, County Sligo, Ireland.

Диссертация выполнена в рамках федеральной целевой программы «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009 - 2013 годы (мероприятие 1.2.2, проект 2012-1.2.2-12-000-1001-012, № 14.В37.21.0365, П696).

Частично поддержана Дублинским технологическим институтом (Ирландия), грантом компании Kliiber Lubrication, грантом Мпнобр-науки РФ в соответствии с темой НИР (номер госрегистрации НИР: 01200804682), развиваемой на кафедре матеметического анализа и

дифференциальных уравнений Иркутского государственного университета (научный руководитель - д.ф.-м.н., профессор II. А. Сидоров).

Автор глубоко признателен профессору Д. Гильберт (Дублинский технологический институт), профессору Л. Крайну (Тринити Колледж Дублин), профессору Г.И. Шишкину (Тринити Колледж Дублин), член.-корр. РАН В.В. Пухначсву (Институт Гидродинамики им. М.А. Лаврентьева) и профессору H.A. Сидорову (Иркутский госуниверситет) за поддержку и внимание.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Дрегля, Алена Ивановна

Заключение

В теории материалов одной из наиболее интересных, как с точки зрения теории, так и с точки зрения приложений, является задача формования волокна из расплава .

При формовании волокон, когда жидкая струя раствора или расплава полимера переводится в твердое агрегатное состояние, одновременно протекает множество физико-химических процессов. Многообразие таких взаимосвязанных процессов и скорости их протекания в период формования не позволяют однозначным образом определить влияние каждого из них на структурные особенности получаемой нити.

Современное состояние математических моделей в этой проблематике систематизировано и изложено в диссертации. В итоге показано, что ключевую роль в теории формования волокон занимают гидродинамические модели, описываемые нелинейными краевыми задачами (см. например стр. 86). В главе I изложены некоторые результаты автора, касающиеся построения точных решений (см. стр. 35, 57, 74), аналитических и численных решений. При этом были широко использованы работы и научные отчеты, предоставленные автору Дублинским Технологическим Институтом и Тринити Коледж Дублин. Автор благодарит проф. Дафне Гильберт, проф. Лоренса Крайна, Брэндана Рэдмонда за предоставленную возможность работать с этим матсриапрограмного обеспечения (см. стр. 115-127).

3. Доказана теорема существования решения краевых задач по-гранслоя с помощью теоремы Коши- Ковалевской и принципа неподвижной точки Шаудера (см. 2.1.6, стр. 88).

4. Построены точные решения в ряде моделей, отвечающих различным профилям скорости потока (см. стр. 111-113).

Таким образом, в диссертации исследованы основные краевые задачи для нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных, описывающих технологию формования волокна.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Дрегля, Алена Ивановна, 2013 год

Литература

|1| Ansan, A. R. On the use of Shishkin Meshes to Obtain Perameter Robust Numerical Solutions of Singularly Perturbed Differential Equations: Ph.D. thesis / Institut von Karman de Dynamiquc des Fluides. 1995.

[2] Asymptotic equations for the terminal phase of glass fiber drawing and their analysis / T. Clopcau, A. Farina, A. Fasano, A. Mikelic // Nonlinear analysis: 7'eal world applications.— 2010.— Vol. 11. Pp. 4533 4545.

[3] Atkinson, K. Theoretical numerical analysis: a functional analysis framework / K. Atkinson, W. Han. — Springer-Verlang, 2001.

[4] Blasius, H. Grenzschichten in flussigkeiten mit kleincr rcibung / II. Blasius // Z. Math. Phys. 1908,- Vol. 56.- Pp. 1-37.

[5] Bourne, D. E. The cooling of fibres in the formation process / D. E. Bourne, H. Dixon // Int. J. Heat Mass Transfer. 1971.— Vol. 24. - Pp. 1323-1332.

[6] Bourne, D. E. Heat transfer through the axially symmetric boundary layer on a moving circular fibre / D. E. Bourne, D. G. Elliston // Int. J. Heat Mass Transfer. - 1970. - Vol. 13. - Pp. 583-593.

[7] Crane, L. J. Boundary layer flow on a circular cylinder moving in fluid at rest / L. J. Crane // Journal of Applied Mathematics and Physics (ZAMP). - 1972. - Vol. 23. - Pp. 201-212.

[81 Crane, L. J. Heat transfer on continuous solid surfaces / L. J. Crane // Ing. Arch. Bd. - 1974. - Vol. 43. - Pp. 203-214.

[9] Doering, C. R. Applied Analysis of the Navier-Stokes Equations / C. R. Doering, J. D. Gibbon. — Paperback, Aug 30, 2001.

[10] Doufas, A. Simulation of melt spinning including flow-induced crystallization, part i. model development and predictions / A. Doufas, A. McHugh, C. Miller // J. Non-Newtonian Fluid. Mech.— 2000.— Vol. 92. - Pp. 27-66.

[11] Dreglea, A. A model of the melt spinning process end of year report: Tech. Rep. 20-04 / A. Dreglea: Dublin Institute of Technology, 2005.

[12] Dreglea, A. A model of the melt spinning process, end of year report: Tech. Rep. 23-05 / A. Dreglea: Dublin Institute of Technology, 2007.

[13] Dreglea, A. I. Solution of nonlinear problem in two dimensional model problem / A. I. Dreglea // Proc. of 13th Triennial Intl. School-Seminar "Optimization Methods and Applications". Inverse and Ill-posed problems in applied maths, 2-8 July 2005, Irkutsk, ISEM SB HAS Publ, ISBN 5-93908-030-8, Vol. 3.- 2005. - Pp. 118-122.

[14] Dreglea, A. I. Continuous solutions in boundary layer problem / A. I. Dreglea // Proceedings of Intl Conference "Differential Equations, Theory of Functions, and Applications", 2007, Novosibirsk, Russia. - 2007. - Pp. 16-18.

[15] Dreglea, A. I. Some analytical solutions of the Glaucrt-Lighthil and Blasius systems in the theory of modelling polymers / A. I. Dreglea // Proceedings of IX International Chetayev Conference, Analitical Mechanics, Stability and Control of Motion, Irkutsk - lake Baikal, June 12-16. - Vol. 5. - 2007. - Pp. 108-117.

116] Dreglea, A. I. Construction of branches solutions by regularized successive approximations method / A. I. Dreglea, N. A.Sidorov. // Proceedings of International Congress Nonlinear Dynamical Analysis, 2007 June 4 — 8, Russian Academy of Sciences, Saint-Petersburg State University. - 2007. — Pp. 43-45.

[17] Dreglea, A. I. Robust numerical method based on blasius' approach dor llow past a flat plate for large Reynolds numbers / A. I. Dreglea, G. I. Shishkin // Proc. of Irish Soc. Sci. and Eng. Comput.: Ann. Symp., 23-24 May, 2003, Belfield, Dublin. - Irish Soc. Sci. and Eng. Comput. Publ., 2003.- Pp. 14-14.

[18] Dreglea, A. I. Robust numerical method based on Blasius' approach for flow past a flat plate in the case of heat transfer for large reynolds numbers / A. I. Dreglea, G. I. Shishkin // Abstracts of the International Conference CMAM-1, Minsk, Belarus Editorial Board of the Journal "Computational Methods in Applied Mathematics" Joint Co. Ltd. - 2003. - Pp. 19-20.

[19] Dreglea, A. I. Robust numerical method for a singularly perturbed equation with unboundedly growing convectivo term at infinity / A. I. Dreglea, G. I. Shishkin // Proc. of Intl. Conf. on Computational Mathematics (ICCM-2004), Eds. G.A.Mikhailov, V.P.H'in, Yu.M.Laevsky 21-25 June, Inst, of Comp. Maths and

Math. Geoph. Publ., 2004, Novosibirsk, ISBN 5-901548-20-5, Vol. 2. -2004. - Pp. 835-838.

[20| Dreglea, A. I. Melt spinning process modeling: existence of nonlinear PDE systems' analytical solution / A. I. Dreglea, D. N. Sidorov // Thermal Processes in Engineering. — 2009. — Vol. 11. — Pp. 500 512.

[21] Dreglea, A. I. Impulse signals in nonlinear dynamic systems identification / A. I. Dreglea, D. N. Sidorov, N. A. Sidorov // Proceedings of Congress on Complex Systems, Intelligence and Modern Technologies Applications (CSIMTA-2004), Cherbourg, 2004,France. - 2004. Pp. 16-20.

[22] Dreglea, A. I. Construction of branches solutions by regularized successive approximations method / A. I. Dreglea, N. A. Sidorov // Proceedings of International Congress Nonlinear Dynamical Analysis, June 4-8 2007, Russian Academy of Sciences, Saint-Petersburg State University, Russia. — 2007.

[23] Dreglea, A. I. Continuous solutions of some boundary problem / A. I. Dreglea, N. A. Sidorov. // Proceedings of Applied Mathematics and Mechanics, PAMM, 2007, vol.7,. - 2007. - Pp. 1040801-1040802.

[24] Gagon, D. Computer simulation of steady polymer melt spinning / D. Gagon, M. Denn // Polym. Eng. Sci. - 1981. - Vol. 21. - Pp. 844853.

[25] Glauert, M. B. The axisyinmetric boundary layer on a long thin cylinder / M. B. Glauert, M. J. Lighthill // Proc. R. Soc. London.— 1955. - Vol. 320. - Pp. 188 203.

[26] Gotz, T. Interactions of fibers and flow: asymptotics, theory and numerics / T. Gotz // Ph.D. Thesis, University of Kaiserslautern. — 2000.

[27] Karman, T. V. Aerodynamics / T. V. Karman. — Cornell U. Press Ithaca NY, 1954.

[28] Kelly, H. R. A note on the laminar boundary layer on a cylinder in axial incompressible flow / H. R. Kelly // J. Aero. Sci. — 1954. — Vol. 21, no. 9,- Pp. 634-639.

[29] Ladyzhenskaya, O. A. Solution in the large of boundary value problems for the Navier-Stokcs equations in two space variables / O. A. Ladyzhenskaya // Dokl. Akad. Nauk SSSR, English transl, Soviet Phys. Dokl. 3 (1959), 1128-1131 and Comm. Pure App. Math. 12 (1959), 427-433. - 1958. - Vol. 123. - Pp. 427-429.

[30] Ladyzhenskaya, O. A. On the existence and uniqueness of the solution of the non-stationary problem for a viscous incompressible fluid / 0. A. Ladyzhenskaya, A. A. Kiselcv // Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Mat. 21 (1957), English transl, Amer. Math. Soe. Transl. (2) 24 (1963), 79 106. - 1957. - Vol. 21. - Pp. 665-680.

[31] Lyapunov-Schmidt Methods in Nonlinear Analysis and Applications / N. Sidorov, B. Loginov, A. Sinitsyn, M. Falalccv. — Kluwer Academic Publishers, 2002.

[32] Prandtl, L. Applied Hydro and Aeromechanics / L. Prandtl, O. Tietjens, J. Hartjog. — London England: McGraw-Hill Book Company, 1934.

[33] Rayleigh, L. Raylcigh solution / L. Rayleigh // Phil. Mag. — 1911. — Vol. 21, no. 6. -P. 697.

[34] Richelle, E. Momentum and thermal boundary layer along a slender cylinder in axial flow / E. Richelle, R. Tasse, M. Ricthinuller // Int. J. Heat Mass Transfer. - 1993. - Vol. 1. - Pp. 1-2.

[35] Robust Computational Techniques for Boundary Layers / P. A. Farrel, A. F. Hcgarty, J. J. H. Miller ct al. — Florida, USA: Chapman and hall CRC, 2000.

[36] Sakiadas, B. C. Boundary-layer behaivor on continuous solid surfaces: I. the boundary layer equations for two-dimentional and axisymmetric flow / B. C. Sakiadas // A.I.Ch.E. Journal. - 1961. - Vol. 7, no. 26. -Pp. 467-472.

[37] Sakiadas, B. C. Boundary layer behaivor on continuous solid surfaces: Ii. the boundary layer on a continuous flat surface / B. C. Sakiadas //

A.I.Ch.E. Journal. - 1961. - Vol. 7, no. 221. - Pp. 467^472.

[38| Sakiadas, B. C. Boundary layer behaivor on continuous solid surfaces: Iii. the boundary layer on a continuous cylindrical surface /

B. C. Sakiadas // AIChEe Journal - 1961,- Vol. 7, no. 467,-Pp. 467-472.

[39] Schone, A. Modelling of multifilament spinning / A. Schone, H. Brunig // Arch. Mech. - 1990. - Vol. 42. - Pp. 571-582.

[40] Seban, R. A. Skin friction and heat transfer characteristics of a laminar boundary layer on a cylinder in axial incompressible flow / R. A. Seban, R. Bond // Ing. Arch. Bd. - 1974. - Vol. 43. - Pp. 203214.

[41] Sweetland, M. Evaporative cooling of continuously drawn glass fibres by water sprays / M. Sweetland, J. Licnhard // Int. J. Heat Mass Transfer. - 2000. - Vol. 43. - Pp. 777 790.

[42] Tasse, R. Etude Theorique et Experimental du Refroidisscment a Pair de Fils Synthctiques: Ph.D. thesis / University of Limerick. — 2001.

[43] Vleggaar, J. Laminar boundary-layer behaviour on continuous, accelerating surfaces / J. Vleggaar // Chern. Eng. Science. — 1977. — Vol. 1517. - P. 32.

[44] Андрющенко, О. В. Влияние жидких сред на релаксационные свойства полимеров / О. В. Андрющенко // Труды Второй Всероссийской научной конференции (1-3 июня 2005 г.). Часть 1, Математические модели механики, прочность и надежность конструкций. Матем. моделирование и краев, задачи, СамГТУ, Самара. -2005. С. 27-29.

[45] Аристов, С. Н. Точные решения уравнений Навье-Стокса с линейной зависимостью компонент скорости от двух пространственных переменных / С. Н. Аристов, Д. В. Князев, А. Д. Полянин // Теоретические основы химической технологии. - 2009. — Т. 43. -С. 547 566.

[46] Баренблатт, Г. И. Турбулентные пограничные слои при очень больших числах Рейнольдса / Г. И. Баренблатт // УМН, выпуск 1(355). - 2004. - № 59. - С. 45-62.

[47] Бахвалов, Н. С. К оптимизации методов решения краевых задач при наличии погреничного слоя / Н. С. Бахвалов // Жур-

нал вычислительной математики и математической физики. — 1969. — Т. 9, № 4. - С. 841-859.

[48| Белоносова, В. С. Уравнения пограничного слоя в задаче истечения осесиммстричной струи / В. С. Белоносова, В. В. Пухначев // Зап. научн. сем. ЛОМИ. - 2008. - Т. 362. - С. 48 -63.

[49] Бирюков, А. Г. О гарантированной точности решения задач вычислительной математики в арифметике с плавающей запятой и переменной длиной мантиссы / А. Г. Бирюков, А. И. Гриневич // ТРУДЫ МФТИ. - 2012. - Т. 4, № 3. - С. 171-180.

[50] Дезип, А. А. О некоторых системах уравнений, содержащих малый параметр / А. А. Дезин // Матем. сб.— 1980.-- Т. 11,— С. 323 -333.

[51] Джозеф, Д. Устойчивость движений жидкости / Д. Джозеф. — Мир, Москва, 1981.

[52] Дрегля, А. И. Математическая модель формования волокна / А. И. Дрегля // Лаврентьевские чтения по математике, механике и физике (27-31 мая 2005г.) / Под ред. Л.В.Овсяников. — Ин-т гидродинамики СО РАН, Новосибирск, 2005. — С. 44-45.

[53] Дрегля, А. И. О существовании непрерывных решений в одной модельной задаче теории пограничного слоя / А. И. Дрегля // Известия Иркутского государственного университет,а. Серия Математика. 2007. — Т. 1. — С. 113-117.

[54] Дрегля, А. И. О решениях одной нелинейной краевой задачи на полуоси с малым параметром / А. И. Дрегля // Известия

Иркутского государственного университета. Серия Математика. - 2009. - Т. 2. - С. 313 316.

[55] Дрегля, А. И. Некоторые аналитические и точные решения систем уравнений в теории моделирования полимеров / А. И. Дрегля // Сиб. журн. индустр. матем. — 2008.— Т. 11, № 3.— С. 61-70.

[56] Дрегля, А. И. Краевые задачи в моделировании формования волокон / А. И. Дрегля. - LAP LAMBERT Academic Publishing GmbH & Co. KG, 2012.

[57] Дрегля, А. И. О применении преобразования Себана - Бонда и теоремы Коши - Ковалевской в одной краевой задаче для системы Навье - Стокса / А. И. Дрегля // Известия Иркутского государственного университета. — 2012. — № 3. — С. 32-40.

[58] Дрегля, А. И. О разрешимости одной краевой задачи в моделях пограничного слоя / А. И. Дрегля // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. — 2012. — № 4. — С. 27-30.

[59] Дрегля, А. И. Об одной краевой задаче в теории моделирования формования волокна / А. И. Дрегля // III Международная школа-семинар Нелинейный анализ и экстремальные задачи, Иркутск: РИО ИДСТУ СО РАН. - 2012. - С. 26-27.

[60] Дышкова, А. Л. О сингулярной задаче для нелинейного обыкновенного дифференциального уравнения третьего порядка, возникающего в гидродинамике / A. JI. Дышкова, Н. Б. Конюхова, А. И. Суков // Ж. вычисл. матем. и матем. физ.— 2007.— Т. 47. - С. 1158—1178.

[61] Курант, Р. Уравнения с частными производными / Р. Курант. — Наука, 1964.

[62] Ладыженская, О. А. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости / О. А. Ладыженская.- М.: ГНФМЛ,, 1970.

[63] Ландау, Л. Д. Гидродинамика. Теоретическая физика, т. IV / Л. Д. Ландау, Е. М.Лифшиц. — М.: Наука. Гл. ред. физ-мат. лит. 1986.

[64] Леонтьева, Н. В. Численное исследование сверхзвукового обтекания острых эллиптических конусов / Н. В. Леонтьева, Ю. П. Головачёв // Ж. вычисл. матем. и матем. физ., том 39. — 1999. — № 3. - С. 534-542.

[65] Петровский, И. Г. Лекции об уравнениях с частными производными / И. Г. Петровский, — Наука, 1961.

[66] Пухначев, В. В. Неклассичсские задачи теории пограничного слоя / В. В. Пухначев. — Новосибирский государственный университет, 1979.

[67] Сидоров, Н. А. О построении ветвей решения нелинейных уравнений с параметрами регуляризоваиным методом последовательных приближений / Н. А. Сидоров, А. И. Дрегля / / Между нар. конф. "Тихонов и современная математика", М: Из-во МГУ. — 2006. С. 254-255.

[68] Сидоров, Н. А. Дифференциальные уравнения с оператором Воль-терра при производной / Н. А. Сидоров // Известия ВУЗов. Математика. — 1984. — № 1. — С. 77-84.

[69] Сидоров, Н. А. О малых решениях нелинейных уравнений с векторным параметром в еекториальных окрестностях / Н. А. Сидоров, Р. Ю. Леонтьев, А. И. Дрегля // Магпем. заметки. — 2012. -Т. 91.- С. 120-135.

[70] Снигерева, Б. А. Неизотермическое ползущее течение вязкоупру-гой жидкости со свободной поверхностью при формовании волокон / Б. А. Снигерева, Ф. X. Тазюков // Вести. Удмургпск. унта. Матем. Мех. Компьют. науки, 2010, выпуск 2. 2010. — Рр. 101-108.

[71] Старыгина, С. Д. Математическое моделирование реологических свойств полимеров / С. Д. Старыгина, Т. Н. Яку нов / / Вестн. Казанского технологического ун-та. — 2010. — Т. 10. — С. 244—-248.

[72] Темам,, Р. Уравнения Навье-Стокса. Теория и численный анализ / Р. Темам. — North-Holland Publishing Company, 1979.

[73] Треноги'н, В. А. Функциональный анализ / В. А. Треногий. — Физ-матлит, 2002.

[74] Треногий, В. А. Развитие и приложение асимптотического метода Люстерника-Вишика / В. А. Треногин // УМН. - 1980. — Т. 25. — С. 123--156.

[75] Челышков, В. С. Применение метода интегрирования по малому параметру для расчёта ламинарного пограничного слоя на цилиндре / В. С. Челышков // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. — 1986. - Т. 26. - С. 1419—1422.

[76] Шишкин, Г. И. Сеточная аппроксимация сингуляро возмущенных параболических уравнений конвекции-диффузии с кусочно-гладким начальным условием / Г. И. Шишкин // Ж. вычисл. машем. и матем. физ. - 2006. - Т. 46, № 1. - С. 52-76.

[77] Шишкин, Г. И. Обусловленность оазностной схемы метода декомпозиции решения для сингулярно возмущенного уравнения конвекции-диффузии / Г. И. Шишкин // Тр. МММ УрО РАН. — 2012. - Т. 18, № 2. - С. 291-304.

[78] Шишкин, Г. И. Сильная устойчивость схемы на локально-равномерных сетках для сингулярно возмущенного обыкновенного уравнения конвекции-диффузии / Г. И. Шишкин // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. - 2012. — Т. 52, № 6. - С. 1010-1041.

[79] Шишкин, Г. И. Улучшенные аппроксимации решения и производных сингулярно возмущенного уравнения реакции-диффузии на основе метода декомпозиции решения / Г. И. Шишкин, Л. П. Шишкина // Ж. вычисл. матем. и матем. физ.— 2011. -Т. 51, №6,- С. 1091-1120.

[80] Шлихтинг, Г. Теория пограничного слоя / Г. Шлихтинг. Наука, 1974.

[81] Юдович, В. И. Лекции по курсу "Матеметичсские модели естественных наук" / В. И. Юдович. — Ростов-на-Дону: Ростовский гос. ун-т, 2006.