Положительные решения нелинейных уравнений в F-пространствах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Дорохов, Александр Николаевич

• Дорохов, Александр Николаевич
• кандидат физико-математических наук
• 2009

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Дорохов, Александр Николаевич

Введение

§ 1. Существование неподвижных точек вполне непрерывных операторов в ^-пространстве

§2. Существование неподвижных точек у сжимающих операторов, возмущённых вполне непрерывными операторами, в F-пространстве

§3. Существование неподвижных точек уплотняющих операторов в F-пространстве

§4. Неподвижные точки монотонно компактных операторов в

F-пространстве с конусом

§5. Существование неподвижных точек монотонных уплотняющих операторов в F-пространстве с конусом

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Положительные решения нелинейных уравнений в F-пространствах»

Одним из важных разделов современного анализа является теория нелинейных операторных уравнений в банаховых пространствах [26, 33, 41, 51] с конусами [18, 19, 24, 25, 34], созданная М.А. Красносельским [34-38] и его учениками [2, 3, 4-16, 28, 39, 47-50].

Ценность этой теории обуславливается, в частности, её многочисленными приложениями различных задачах естествознания: в задаче о критическом режиме ядерного реактора [8, 9], в теории волн на поверхности тяжёлой жидкости, в задачах о формах потери устойчивости упругих систем [35], в задачах геометрии в целом [34], в теории устойчивости [36], в теории нелинейных краевых задач [34], в математической экономике и т. д.

Естественно возникает вопрос о её распространении на более широкие классы пространств чем банаховы и, в частности, на F-пространства (пространства Фреше). Этот класс пространств, кроме банаховых, включает в себя такие важные пространства как счётно-нормированные и пространства Lp(0<p<l), 1р(0<р<1).

Развитию теории нелинейных операторных уравнений в F-пространствах и посвящается данная диссертационная работа. Тема диссертации актуальна и представляет реальных научный интерес.

Основными целями диссертационной работы является разработка следующих вопросов:

1) доказательство новых теорем существования неподвижных точек вполне непрерывных операторов, действующих в F-пространствах;

2) доказательство в F-пространствах признаков существования неподвижных точек у операторов, представимых в виде суммы сжимающего и вполне непрерывного операторов;

3) доказательство в F-пространствах теорем существования неподвижных точек уплотняющих операторов;

4) получение признаков существования неподвижных точек монотонно компактных операторов, действующих в F-пространствах с конусом, без предположения непрерывности исследуемых операторов;

5) выделение специального класса уплотняющих операторов в F-пространствах с конусом и доказательство существования у них неподвижных точек, без предположения их непрерывности;

6) приложение полученных результатов в теории нелинейных интегральных и дифференциальных уравнений в конкретных функциональных F-пространствах.

В диссертации основные теоремы о неподвижных точках нелинейных операторов распространяются с банаховых пространств на F-пространства.

При естественных ограничениях на F-пространства, которые автоматически выполняются для банаховых пространств, доказаны теоремы существования неподвижных точек вполне непрерывных операторов, операторов, представимых в виде суммы сжимающего и вполне непрерывного операторов, уплотняющих операторов.

Эти теоремы являются развитиями известных принципа Шаудера [30, 33, 42] и теорем М.А. Красносельского [34, 36-38], P.JI. Фрум-Кеткова и Б.Н. Садовского [47-50].

На F-пространства с конусом распространены известные теоремы И.А. Бахтина о неподвижных точках монотонно компактных и монотонных уплотняющих операторов [6, 9, 10, 13-21], вообще говоря, не обладающих свойством непрерывности.

Полученные результаты применяются к исследованиям в конкретных функциональных F-пространствах некоторых классов интегральных, интегро-функциональных и бесконечных систем дифференциальных уравнений.

Приведём обзор содержания диссертации по шести параграфам, на которые она разбита.

Нумерация приводимых ниже утверждений и формул совпадает с их нумерацией в диссертации.

В первом параграфе работы получены теоремы существования неподвижных точек вполне непрерывных операторов, действующих в F-пространстве X. В частности доказаны следующие теоремы.

Теорема 1.1. Пусть

1) в F-пространстве X для каждого относительно компактного множества М а X множество соМ также относительно компактно;

2) сопряжённое пространство X* достаточно в ^-пространстве X;

3)вполне непрерывный оператор А преобразует непустое замкнутое ограниченное по р -норме ||х|| выпуклое множество FcIb себя: AV а V.

Тогда существует элемент х* е V, такой, что Ах* = х*.

Отметим, что теорема 1.1 является обобщением известного принципа Шаудера с банаховых пространств на F-пространства при дополнительных условиях 1), 2), которые в банаховых пространствах автоматически выполняются.

Теорема 1.3. Пусть

1) в F-пространстве X конус К псевдонормален;

2) для любого относительно компактного множества Мс! множество соМ также относительно компактно;

3) сопряжённое пространство X* достаточно вХ;

4) вполне непрерывный оператор А преобразует конусной отрезок (w,v), где и < v - фиксированные элементы в X, в себя.

Тогда существует элемент х* е (и, v), такой, что Ах, = х*.

Во втором параграфе диссертации приводятся теоремы существования неподвижных точек у операторов, действующих в ^-пространстве, которые представляются в виде суммы сжимающего и вполне непрерывного операторов. Эти теоремы являются развитием соответствующих теорем М.А.

Красносельского, P.JI. Фрум-Кеткова в банаховых пространствах. Основными здесь являются следующие результаты. Лемма 2.1. Пусть

1)в .Р-пространстве X оператор А преобразует непустое замкнутое ограниченное по р-норме ||л| выпуклое множество Fcl в себя: AV а V;

2)оператор А представляется в виде А-В+С, где В- сжимающий, а С-вполне непрерывный на множестве Vоператоры.

Тогда существует замкнутое выпуклое множество F0 с: V, такое, что coAVq - К

Теорема 2.1. Пусть

1)в ^-пространстве X для любого относительно компактного множества

М множество соМ также относительно компактно;

2) сопряжённое пространство X достаточно в X;

3)оператор А преобразует непустое замкнутое ограниченное по р-норме И выпуклое множество VczX в себя: AVczV;

4)оператор А представим в виде: А=В+С, где В - сжимающий, а С — вполне непрерывный на множестве V операторы;

5)если для замкнутого выпуклого множества V0 с V выполняется равенство со AV0=VQ, то множество V0 компактно.

Тогда существует элемент х* е V, такой, что Ах* - х*. Опираясь на лемму 2.1, теорему 2.1, а также на результаты §1, были доказаны и некоторые другие теоремы.

В третьем параграфе работы в F-пространстве выделяется класс уплотняющих операторов, и приводятся для них признаки существования неподвижных точек.

Пусть М - множество всех ограниченных по р-норме ||х| множеств

QczX /^-пространства X, a R0 - полуинтервал [0,+оо).

Определение. Функция \j/: М -> R0, обладающая свойствами:

1) равенство \j/(Q) = 0 выполняется тогда и только тогда, когда множество QcM относительно компактно;

2) выполняется равенство \|/(п)= \|/(п) (Q с М);

3) если с , то

4) \|/(niUQ2) = max{v|/(Q1),\i/(n2)};

5) \|/(f2,+П2)< \|/(f2,)+\]/(Q2), где Q,+Q2- алгебраическая сумма множеств Q, и Q2, называется мерой некомпактности в ^-пространстве X.

Отметим, что наше определение меры некомпактности в F-пространстве X отличается от определения регулярной меры некомпактности, данного Б. Н. Садовским [3, 47, 48].

Определение. Непрерывный ограниченный оператор А'.Х^Х, действующий в F-пространстве X, называется \\f -уплотняющим, если для любого относительно некомпактного множества П cz X мера некомпактности vj/(co^q)< \j/(Q).

Отметим, что приведённое определение \j/ - уплотняемости оператора А в F-пространстве X аналогично соответствующему определению, данному Б. Н. Садовским для банахова пространства [3, 47, 48]. Отметим здесь следующую теорему: Теорема 3.1. Пусть

1)в F-пространстве X непрерывный, ограниченный, -уплотняющий оператор А преобразует замкнутое ограниченное по р -норме ||х||р выпуклое множество Vb себя;

2) сопряжённое пространство X* достаточно в X;

3)для любого относительно компактного множества М а X множество соМ так же относительно компактно.

Тогда существует элемент х+ е V, такой, что Ал\ = . В четвёртом параграфе доказаны теоремы существования неподвижных точек монотонно компактных операторов, действующих в F-пространстве с конусом. Непрерывность исследуемых операторов, вообще говоря, не предполагается. Основной здесь являются следующая теорема.

Теорема 4.1. Если в .F-пространстве X с конусом К си X /z-монотонно компактный на конусном отрезке (w,v) = {xeX|w<x<$v}5 где и, v е X, и < v - фиксированные элементы, оператор А преобразует (и, v) в себя, то он имеет в (и, v) по крайней мере одну неподвижную точку.

Отметим, что если конус К а X правилен, то монотонный на конусном отрезке (w,v) оператор А является /z-монотонно компактным. Также здесь получены теоремы такого сорта и для бесконечных конусных отрезков (х0,со).

В пятом параграфе диссертации приводятся теоремы существования неподвижных точек монотонных уплотняющих операторов, действующих в .Р-пространстве с конусом. Непрерывность исследуемых операторов, вообще говоря, не предполагается.

Уплотняемость оператора А здесь определяется так.

Определение. Ограниченный по р -норме ||л| оператор А называется \|/ уплотняющим в ^-пространстве X, если для любого ограниченного относительно некомпактного множества Qc¥ мера некомпактности

-\|/(жУ)<\]/(а).

Основной здесь является Теорема 5.1. Пусть

1) в ^-пространстве X с конусом К а X монотонный 1|/ -уплотняющий на конусном отрезке (,\'0j0)cl (х0<у()) оператор А преобразует (х0,у0) в себя;

2) образ А(хй,у^) отрезка (х0,у0) ограничен по р-норме ||х|| .

Тогда оператор А имеет в (х0,у0) по крайней мере одну неподвижную точку.

В шестом параграфе приведены некоторые приложения полученных результатов к исследованию неподвижных точек интегральных, интегро-функциональных и бесконечных систем дифференциальных уравнений в некоторых функциональных пространствах.

Доказана

Теорема 6.3. Пусть дана бесконечная система дифференциальных уравнений с граничными условиями:

Х;(0) = х,.(1) = 0 (i е N) , (12) где функции fi(t,xl,x2,.,xJ,.) (ieN) обладают следующими свойствами:

1) функции ft определены и неотрицательны на множестве

М = [ОД] х [О, Mj ]х [О, и2 ] х.х [О, иj Jx. , где му > О (J е N) - некоторые фиксированные числа; I I t \ / н it /г \

2) для любых точек t,xl ,х2 ,.,х, ,. , t,x1 ,х2 ,.,х, ,. еМ из t tt I II t If xl ,x2 <x2 ,.,Xj <Xj ,. следует: t t t \ г tt <t tt \ fi I ■>•>•"•' I — ft I t,X\ ,x2 ,., Xj ,.1 (i £ iV") ,

3) выполняются неравенства: fi{t,ux,u2,.,uJ,.)<%ui (t e [0,l]; и равенства:

Тогда задача (11) - (12) имеет решение (х*(/),х^ ),.,х*(/),.), удовлетворяющее неравенствам:

О < х*(0 < щ; 0 < x*2(t) < и2;., 0 < x]{t) < и ;. {t е [0,l]).

Результаты диссертации получены новыми или усовершенствованными известными методами исследования нелинейных операторных уравнений. В математических конструкциях диссертации использованы также известные методы функционального анализа, теории функций действительного переменного, теории нелинейных уравнений с монотонными операторами, развитой в работах М.А. Красносельского, И.А. Бахтина и ряда других математиков.

Материал диссертации докладывался на Воронежской весенней математической школе (2007 г., 2008 г.), на Воронежской зимней математической школе (2008 г.), на научном семинаре по функциональному анализу под руководством доктора ф.-м. наук, профессора И.А. Бахтина (ВГПУ, 2009г.), на семинаре по математическому анализу под руководством доктора ф.-м. наук, профессора Б.Н. Садовского (ВГУ, 2009 г.), научной конференции студентов, аспирантов и преподавателей физико-математического факультета ВГПУ (2000).

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [53] - [66]. Из совместных работ [53], [54 ], [55], [56], [57], [58], [59] в диссертацию вошли только принадлежащие Дорохову А.Н. результаты.

Автор пользуется случаем выразить сердечную благодарность своему научному руководителю профессору И.А. Бахтину за внимание и помощь в работе.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Дорохов, Александр Николаевич, 2009 год

1. Александров П.С. Введение в теорию множеств и общую топологию / П.С. Александров. - М: Наука, 1977. - 368 с.

2. Ахмеров P.P. Теория уравнений нейтрального типа / Р.Р .Ахмеров, М.И. Каменский, А.С. Потапов, А.Е. Родкина, Б.Н. Садовский // Итоги науки и техн. Сер. Мат. анал., 1982. вып. 19. - С. 55-126.

3. Ахмеров P.P. Меры некомпактности и уплотняющие операторы / P.P. Ахмеров, А.С. Потапов, А.Е. Родкина, Б.Н. Садовский. Новосибирск: Наука, 1986.-264 с.

4. Бахтин И.А. Об одном классе уравнений с положительными операторами /И. А. Бахтин//Докл. АН СССР, 1957.-т. 117, № 1. С. 13-16.

5. Бахтин И.А. О положительных решениях нелинейных уравнениях с вогнутыми операторами / И.А. Бахтин. Дисс. . канд. физ.-мат. наук. Воронеж, 1958. - 134 с.

6. Бахтин И.А. О нелинейных уравнениях с вогнутыми и равномерно вогнутыми операторами / И.А. Бахтин // Докл. АН СССР, 1959. т. 126, № 1. -С. 9-12.

7. Бахтин И.А. О нелинейных уравнениях с равномерно вогнутыми операторами / И.А. Бахтин // Сиб. мат. журн., 1963. т. 4, № 2. - С. 268-286.

8. Бахтин И.А. Исследование уравнений с положительными операторами / И.А. Бахтин. Дисс. . докт. физ.-мат. наук. Воронеж, 1966. -408 с.

9. Бахтин И.А. Применение топологических методов к исследованию критического режима ядерного реактора / И.А. Бахтин // Докл. АН СССР, 1966. -т. 167, № 1.-С. 16-18.

10. Бахтин И.А. О существовании общих неподвижных точек для коммутативных совокупностей нелинейных операторов / И.А. Бахтин // Функц. анализ и его прил., 1970. т. 4, вып. 1. - С. 86-87.

11. Бахтин И.А. Теоремы о неподвижных точках монотонных операторов / И.А. Бахтин // В сб.: Функц. анализ, Ульяновск, 1982. вып. 18. - С. 13-25.

12. Бахтин И.А. О нормальности h-экстремальных конусов / И.А. Бахтин // В сб.: Функц. анализ, Ульяновск, 1982. вып. 19. - С. 3-7.

13. Бахтин И.А. Неподвижные точки монотонных операторов в пространствах Банаха / И.А. Бахтин // В сб.: Функц. анализ, Ульяновск, 1983. вып. 20.-С. 9-19.

14. Бахтин И.А. Неподвижные точки монотонных операторов в банаховых пространствах с экстремальными конусами / И.А. Бахтин // В сб.: Функц. анализ, Ульяновск, 1983. вып. 21. - С. 38-50.

15. Бахтин И.А. Об одном классе нелинейных уравнений с вогнутыми вполне непрерывными операторами / И.А. Бахтин // В кн.: Теория операторов в функц. пространствах, Воронеж, 1983. С. 3-14.

16. Бахтин И.А. О существовании положительных собственных векторов линейных положительных монотонно компактных операторов / И.А. Бахтин // В сб.: Функц. анализ, Ульяновск, 1984. вып. 22. - С. 3-16.

17. Бахтин И.А. Положительные решения нелинейных уравнений в окрестности старшей точки бифуркации: учебное пособие для спецкурса / И.А. Бахтин. Воронеж: ВГПИ, 1983. - 76 с.

18. Бахтин И.А. Конусы в пространствах Банаха: учебное пособие, ч. 1 / И.А. Бахтин. Воронеж: ВГПИ, 1975.- 184 с.

19. Бахтин И.А. Конусы в пространствах Банаха: учебное пособие для спецкурса, ч. 2 / И.А. Бахтин, А.А. Бахтина. Воронеж: ВГПИ, 1976. - 135 с.

20. Бахтин И.А. Положительные решения нелинейных уравнений с вогнутыми операторами: учебное пособие для спецкурса / И.А. Бахтин. Воронеж: ВГПИ, 1985.-82 с.

21. Бахтин И.А. Нелинейные уравнения с монотонными операторами: учебное пособие для спецкурса / И.А. Бахтин. Воронеж: ВГПИ, 1988. - 64 с.

22. Бахтин В.И. Теоремы существования неподвижных точек для монотонных операторов / В.И. Бахтин // В сб.: Функц. анализ, Ульяновск, 1982. -вып. 19.-С. 8-19.

23. Бахтин В.И. О существовании неподвижных точек монотонных операторов / В.И. Бахтин // В сб.: Функц. анализ, Ульяновск, 1984. вып. 22. С. 17-28.

24. Вулих Б.З. Введение в теорию конусов в нормированных пространствах: учебное пособие / Б.З. Вулих. Калинин: университет, 1977. - 84 с.

25. Вулих Б.З. Специальные вопросы геометрии конусов в нормированных пространствах: учебное пособие / Б.З. Вулих. Калинин: университет, 1978.-84 с.

26. Вулих Б.З. Введение в теорию полуупорядоченных пространств / Б.З. Вулих. М: Физматгиз, 1961. - 408 с.

27. Ерзакова Н.А. О мерах некомпактности в банаховых пространствах / Н.А. Ерзакова. Дисс. . канд. физ.-мат. наук. Воронеж, 1983. - 100 с.

28. Забрейко П.П.Об одном приеме получения новых принципов неподвижной точки. / П.П. Забрейко, М.А. Красносельский // Докл. АН СССР, 1967. -т. 176, №6. -С. 1233-1235.

29. Иосида К. Функциональный анализ / К. Иосида. М.: Мир, 1967. - 624 с.

30. Канторович JI.B. Функциональный анализ / JI.B. Канторович, Г.П. Аки-лов. М.: Наука, 1977. - 742 с.

31. Каримов Д.Х. Теоретические аспекты динамики отраслевого дохода / Д.Х. Каримов, В.Я. Стеценко // В кн.: Вопросы совершенствования планирования и управления. Душамбе, 1974. - вып. 2. - С. 32-37.

32. Козякин B.C. Об уплотняющих и сжимающих операторах / B.C. Козякин // Труды матем. ф-та ВГУ. Воронеж, 1970. - № 1. - С. 60-70.

33. Колмогоров А.Н. Элементы теории функций и функционального анализа / А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин. М.: Наука, 1968. - 496 с.

34. Красносельский М.А. Положительные решения операторных уравнений / М.А. Красносельский. М.: Физматгиз, 1962. - 394 с.

35. Красносельский М.А. Топологические методы в теории нелинейных интегральных уравнений / М.А. Красносельский. М.: Гостехиздат, 1956. -392 с.

36. Красносельский М.А. Оператор сдвига по траекториям дифференциальных уравнений / М.А. Красносельский. М.: Наука, 1966. - 332 с.

37. Красносельский М.А. Позитивные линейные системы / М.А. Красносельский, Е.А. Лифшиц, А.В. Соболев. М.: Наука, 1985. - 256 с.

38. Красносельский М.А. Геометрические методы нелинейного анализа / М.А. Красносельский, П.П. Забрейко. М.: Наука, 1975. - 512 с.

39. Красносельский М.А. Векторные поля на плоскости / М.А. Красносельский, А.И. Перов, А.И. Поволоцкий, П.П. Забрейко. М.: Физматгиз, 1963. - 248 с.

40. Ладыженский Л.А. Об одном классе нелинейных уравнений / Л.А. Ладыженский. Дисс. . канд. физ.-мат. наук. - Воронеж, 1958.

41. Ле Тхи Тхиен Хыонг. Нелинейные уравнения с монотонными операторами / Ле Тхи Тхиен Хыонг. Дисс. . канд. физ.-мат. наук. - Воронеж, 1985.- 135 с.

42. Люстерник Л.А. Краткий курс функционального анализа / Л.А. Люстер-ник, В.И. Соболев. М.: Высшая школа, 1982. - 272 с.

43. Опойцев В.И. Обобщение теории монотонных и вогнутых операторов / В.И. Опойцев // В кн.: Тр. Моск. матем. об-ва, 1978. т. 36. - С. 237-273.

44. Перов А.И. О двух теоремах М.А. Красносельского / А.И. Перов // Докл. АН СССР, 2005. т. 402, № 1. - С. 1-4.

45. Покорный Ю.В. О положительных и монотонных операторах / Ю.В. Покорный // Пробл. матем. анализа сложн. сист., Воронеж: ВГУ, 1967. вып. 1.-С. 58-63

46. Покорный Ю.В. О некоторых условиях существования решений у нелинейных операторных уравнений в пространстве с конусом / Ю.В. Покорный. Дисс. . канд. физ.-мат. наук. - Воронеж, 1967. - 85 с.

47. Садовский Б.Н. Об одном принципе неподвижной точки / Б.Н. Садовский // Функц. анализ и его прил., 1967. т. 1, вып. 2. - С. 74-76.

48. Садовский Б.Н. О мерах некомпактности и уплотняющих операторах / Б.Н. Садовский // Пробл. матем. анализа сложн. сист., Воронеж: ВГУ, 1968.-вып. 2.-С. 89-119.

49. Садовский Б.Н. Несколько замечаний об уплотняющих операторах и мерах некомпактности / Б.Н. Садовский // Труды матем. ф-та ВГУ, Воронеж, 1970.-№ 1.-С. 112-124.

50. Садовский Б.Н. Предельно компактные и уплотняющие операторы / Б.Н. Садовский // Успехи матем. наук, 1972. т. 27, № 1. - С. 81-146.

51. Соболев C.JI. Некоторые приложения функционального анализа в математической физике / C.JI. Соболев. JI: ЛГУ, 1950. - 256 с.

52. Чыонг Суан Дык Ха. Положительные решения нелинейных уравнений с вогнутыми операторами в банаховых пространствах / Чыонг Суан Дык Ха. Дисс. . канд. физ.-мат. наук. Воронеж, 1982. - 128 с.

53. Бахтин И.А. Существование неподвижных точек уплотняющих операторов в пространствах Фреше / И.А. Бахтин, А.Н. Дорохов // Воронежская зимняя математическая школа С.Г. Крейна 2008. Тезисы докладов. - Воронеж: ВорГУ, 2008. - С. 17-18.

54. Бахтин И.А. Теоремы о неподвижных точках вполне непрерывных операторов в F-пространстве / И.А. Бахтин, А.Н. Дорохов. Ворон, гос. пед. ун-т: Воронеж, 2007. - Деп. в ВИНИТИ 28.09.07, № 945-В. - 15 с.

55. Бахтин И.А. Теоремы о неподвижных точках уплотняющих операторов в F-пространстве / И.А. Бахтин, А.Н. Дорохов. Ворон, гос. пед. ун-т: Воронеж, 2007. - Деп. в ВИНИТИ 13.11.07, № 1059-В.- Юс.

56. Бахтин И.А. Теоремы о неподвижных точках интегро-функциональных и интегральных операторов / И.А. Бахтин, А.Н. Дорохов. Ворон, гос. пед. ун-т: Воронеж,-2007.-Деп. в ВИНИТИ 13.11.07, № 1058-В.-21 с.

57. Бахтин И.А. Теоремы о неподвижных точках уплотняющих операторов в пространствах Фреше / И.А. Бахтин, А.Н. Дорохов // Вестник Ижевского государственного технического университета. Математика, 2008. - № 2. -С. 141-144.

58. Дорохов А.Н. Неподвижные точки монотонно компактных операторов в пространствах Фреше с конусом / А.Н. Дорохов // Воронежская зимняя математическая школа С.Г. Крейна 2008. Тезисы докладов. - Воронеж: ВорГУ, 2008.-С.53.

59. Дорохов А.Н. Теоремы о неподвижных точках сжимающих операторов, возмущённых вполне непрерывными операторами в F-пространстве / А.Н. Дорохов. Ворон, гос. пед. ун-т: Воронеж, 2007. - Деп. в ВИНИТИ 28.09.07, №946-В.-14 с.

60. Дорохов А.Н. Теоремы о неподвижных точках монотонно компактных операторов в F-пространстве с конусом / А.Н. Дорохов. Ворон, гос. пед. ун-т: Воронеж, 2007. - Деп. в ВИНИТИ 13.11.07, № 1060-В. - 21 с.

61. Дорохов А.Н. Теоремы о неподвижных точках монотонных уплотняющих операторов в F-пространстве с конусом / А.Н. Дорохов. Ворон, гос. пед. ун-т: Воронеж, 2007. - Деп. в ВИНИТИ 13.11.07, № 1061-В. - 14 с.

62. Дорохов А.Н. Теоремы о неподвижных точках монотонно компактных операторов в пространствах Фреше с конусом / А.Н. Дорохов // Вестник Ижевского государственного технического университета. Математика, 2008.-№2.-С. 144-146.