Исследование операторов и операторных уравнений, связанное с мерами некомпактности тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, доктор физико-математических наук Ерзакова, Нина Александровна

• Ерзакова, Нина Александровна
• доктор физико-математических наук
• 1998

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Ерзакова, Нина Александровна

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 0. СВОДКА ИСПОЛЬЗУЕМЫХ ПОНЯТИЙ И ФАКТОВ

0.2. Сведения из теории мер некомпактности и уплотняющих

ГЛАВА 1. О МЕРАХ НЕКОМПАКТНОСТИ и, (3, Х НЕКОТОРЫХ МНОЖЕСТВ В ПРОСТРАНСТВАХ ФУНКЦИЙ

1.1. О мере V подмножеств произвольных правильных пространств

1.2. О мере некомпактности (3 подмножеств пространств

Ьр

1.3. О мере некомпактности /3 подмножеств пространств Лоренца

1.4. О мере некомпактности подмножеств пространств функций, интегрируемых по Бохнеру

1.0. О мере некомпактности ь> ограниченных подмножеств

пространств Соболева в пространствах Орлича

1.6. О мере некомпактности х ограниченных подмножеств пространств Соболева в различных пространствах функций

1.7. О мере некомпактности (3 ограниченных подмножеств пространств Соболева в различных пространствах функций

ГЛАВА 2. ПРИЛОЖЕНИЕ МЕР НЕКОМПАКТНОСТИ К ТЕОРИИ ОПЕРАТОРОВ

0.1. Обозначения

операторов 0.3. Сведения из теории операторов 0.4. Разные результаты и определения

2.1. Об операторе вложения пространств Соболева в правильные пространства

2.2. О мере некомпактности оператора вложения специального класса пространств Соболева

2.3. Об операторе суперпозиции

2.4. Об уплотняющих операторах в пространствах суммируемых функций

2.5. О критериях Ф+-операторов

2.6. Об условиях справедливости одного неравенства

2.7. Критерии компактности по мере

2.8. Критерии компактности оператора вложения в пространства Орлича

ГЛАВА 3. ПРИЛОЖЕНИЕ МЕР НЕКОМПАКТНОСТИ К ТЕОРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

3.1. О существовании и продолжимости решений дифференциального уравнения с разрывной правой частью

3.2. О разрешимости задачи Неймана

3.3. О существовании решения операторного уравнения в пространстве функций, интегрируемых по Бохнеру

ЛИТЕРАТУРА

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Исследование операторов и операторных уравнений, связанное с мерами некомпактности»

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы. Теория мер некомпактности и уплотняющих операторов, возникшая сравнительно недавно, имеет приложения в различных областях математики. Так, например, техника, связанная с мерами некомпактности и уплотняющими операторами, применяется при исследовании дифференциальных уравнений в бесконечномерных пространствах, функционально- дифференциальных уравнений нейтрального типа, интегральных уравнений, а также некоторого типа дифференциальных уравнений с частными производными.

Впервые количественную характеристику степени некомпактности подмножества метрического пространства ввел в рассмотрение польский математик К.Куратовский [29,81] в связи с задачами общей топологии.

Другие наиболее известные меры некомпактности были введены И.Ц.Гохбергом, Л.С.Гольденштейном, А.С.Маркусом в работах [14] и [15].

Как правило, мера некомпактности - это числовая характеристика множества, тесно связанная с некоторым критерием компактности.

Заметим, что необходимость рассмотрения различных мер некомпактности объясняется, в некоторой степени, существованием примеров операторов, уплотняющих относительно одной меры некомпактности и не уплотняющих относительно другой (см. [2], [99], [105]).

В настоящее время известно достаточно много мер некомпактности (см. обзоры [1], [2], [57]) и их продолжают вводить (см., например, [22], [43], [54], [69], [82], [99]), если это требуется для решения поставленной задачи.

Отметим еще, что в [43] дается общее определение меры некомпактности, а в работе [7] исследуется вопрос о структуре множества всех мер некомпактности на банаховом пространстве.

В 1955 году Дж.Дарбо (G.Darbo) в работе [64] использовал меру некомпактности х (Хаусдорфа) для обобщения теоремы Шаудера на класс (к, ^-ограниченных отображений.

В 1967 году Б.Н.Садовский в работе [41] обобщил теорему Дарбо на уплотняющие операторы.

Напомним, что непрерывный оператор, вообще говоря нелинейный, называется уплотняющим, если он делает меру некомпактности образа множества, замыкание которого некомпактно, меньше меры неком-

пактности самого множества. Отсюда следует, что сумма компактного и сжимающего операторов является уплотняющим оператором.

Существуют примеры [15] уплотняющих операторов, не представи-мых в виде суммы компактного и сжимающего операторов.

Топологическое исследование различных классов некомпактных отображений, осуществлявшееся в последние десятилетия в работах Б.Н.Садовского [1, 2, 10, 41 - 43], Ю.Г.Борисовича [8,9], Ю.И.Сапронова [8,9], М.А.Красносельского [25, 28], П.П.Забрейко [19, 20, 28], Г.И.Вайникко [10], Р.Д.Нуссбаума (R.D.Nussbaum) [8588], М.Фури (M.Furi) [72], А.Виньоли (A.Vignoli) [72], В.В.Петришина (W.V.Petryshin) [91], Ю.Аппеля (J.Appell) [53- 56], Р.Р.Ахмерова [1, 2], В.В.Обуховского [23, 79, 80, 84], М.И.Каменского [1, 2, 79, 80], А.С.Потапова [1, 2, 40] и других (см., например, список литературы в [1,2], а также [3, б, 21, 30, 31, 36, 44, 45, 46, 48, 57, 59 - 63, 6872, 74-76, 89, 93-104]), выявило многочисленные новые применения мер некомпактности в теории неподвижных точек, теории линейных и нелинейных операторов, теории дифференциальных и интегральных уравнений, в теории оптимального управления и т.д.

Основные результаты теории мер некомпактности, а также главные прикладные аспекты изложены в обзорах Б.Н.Садовского и др. [1, 2, 43].

Вместе с тем, техника, связанная с мерами некомпактности, позволяет исследовать все новые задачи из различных областей математики, например, установить новые критерии компактности операторов, доказать существование решений дифференциального уравнения.

С другой стороны, приложений мер некомпактности к исследованию дифференциальных уравнений с разрывной правой частью и операторных уравнений в пространстве функций, интегрируемых по Бох-неру, не достаточно.

Более того, автору настоящей работы не известна литература по приложению мер некомпактности к разрешимости краевых задач математической физики.

Этим, а также вопросам, связанным с развитием теории мер некомпактности и уплотняющих операторов, поиску новых приложений этой теории к решению задач функционального анализа и дифференциальных уравнений и посвящена диссертация.

Цель работы. Исследовать с помощью мер некомпактности некоторые классы операторов и операторных уравнений в различных про-

странствах функций. Затем на основе проведенных исследований получить новые результаты, относящиеся к функциональному анализу, а также к теории дифференциальных уравнений.

Методика исследования. Доказательства проводятся методами функционального анализа, а также теории дифференциальных уравнений.

Подходами к решению в данной работе являются, в частности, доказательство новых формул для мер некомпактности операторов, нахождение условий, при которых операторы будут уплотняющими, применение обобщения теоремы Шаудера о неподвижной точке.

Как правило, теоремы проиллюстрированы на примерах.

Научная новизна и практическая ценность работы. Все результаты диссертации, за исключением нулевой главы, являются новыми. Работа носит теоретический характер.

Работа посвящена как традиционным задачам теории мер некомпактности, а именно: получению формул для вычисления мер некомпактности, исследованию их свойств, а также установлению соотношений между различными мерами некомпактности, так и не традиционным.

Например, равенство двух мер некомпактности было использовано в работе для получения необходимых и достаточных условий компактности по мере.

Далее, в работах ряда математиков К.Дж.Амика (C.J.Amick), В.Д.Еванса (W.D.Evans), Д.Дж.Харриса (D.J.Harris) исследование пространств Соболева на областях с так называемым обобщенным гребнем (generalised ridged domains) сводилось к исследованию пространств функций на интервале.

В настоящей работе, не пользуясь понятием обобщенного гребня, довольно сложным для применения, устанавливается связь более ши-

—•о v

рокого класса областей, включающего вышеозначенный, с интервалом для оценки степени некомпактности оператора вложения пространств Соболева в пространства Лебега.

Кроме того, было ослаблено предположение о компактности в одном результате Ю.А.Дубинского, обобщающего результат Ж.-Л.Лионса.

В качестве приложения этого результата получены необходимые и достаточные условия справедливости известного неравенства Эрлинга - Ниренберга в случае, когда на границу области не налагаются условия гладкости и, следовательно, не предполагается оператор вложения

пространств Соболева в пространства Лебега вполне непрерывным.

В работе был получен аналог неравенства Эрлинга - Ниренберга, верный как для компактных, так и некомпактных операторов вложения; показано также, что для доказательства разрешимости задачи Неймана, в некоторых случаях, не нужно требовать справедливость неравенства Эрлинга - Ниренберга для всех е > 0. Достаточно, чтобы характеристика степени некомпактности оператора вложения пространств Соболева в пространства Лебега была меньше заданной величины.

Таким образом, было получено обобщение ряда результатов В.Г.Мазьи и, более того, найдено принципиально новое приложение мер некомпактности к исследованию дифференциальных уравнений.

Кроме того, в работе получили развитие, ставшие уже традиционными, методы исследования существования решения дифференциальных уравнений с помощью мер некомпактности.

Так в работе были доказаны утверждения о существовании и продолжимости решения типа Каратеодори и обобщенного решения для задачи Коши дифференциального уравнения с разрывной правой частью, обобщающие результат Б.Н.Садовского для уравнения с непрерывной правой частью. Помимо этого, в отличие от аналогичных результатов А.Ф. Филиппова и А.А.Толстоногова, в работе на правую часть дифференциального уравнения налагаются определенные требования не в области, а в конусном отрезке, что позволяет, во-первых, получить результаты, отличные от результатов вышеупомянутых авторов, во-вторых, распространить применение обобщения теоремы Шаудера на операторы, разрывные на всей области определения.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на 2-м Российско-японском семинаре " Интегральные уравнения в задачах математической физики" (ВЦ ДВО РАН, Хабаровск, 1993), на Тихоокеанской международной конференции "Математическое моделирование и криптография" (Владивосток, 1995), на второй международной конференции "Математика, компьютер, образование" (Москва-Пущино, 1995), на втором международном конгрессе по нелинейному анализу (Афины, Греция, 1996), на 4-м симпозиуме по математическому анализу и его приложениям (Аранджело-вас - Белград, Югославия, 1997), в дальневосточной математической школе-семинаре им. академика Е.В.Золотова (Владивосток, 1997), на научном семинаре академика Ю.Г.Решетняка, институт матема-

тики СО РАН (Новосибирск, 1997), на научном семинаре академиков С.М.Никольского и Л.Д.Кудрявцева, математический институт им. В.А.Стеклова (Москва, 1997), на научном семинаре проф. В.Д.Степанова по функциональному анализу, ХГТУ, Хабаровск, на научном семинаре чл.-корр. Н.В.Кузнецова, институт прикладной математики ДВНЦ РАН и на научном семинаре проф. А.Г.Зарубина по дифференциальным уравнениям, ХГТУ, Хабаровск.

Публикации. Всего по теме диссертации опубликовано 36 работ. В диссертацию включены результаты из работ [107 -133].

Структура и объем работы Работа изложена на 234 страницах, список литературы содержит 133 наименования. Она состоит из введения, нулевой главы вспомогательного характера и трех глав, содержащих новые результаты.

Содержание работы

В первой главе собраны новые результаты, связанные с тремя мерами некомпактности и, ß и х подмножеств таких пространств функций, как Лебега, Лоренца, Орлича, Бохнера, Соболева, которые найдут свои приложения в главах, посвященных теории операторов и исследованию дифференциальных уравнений. Среди мер некомпактности ключевую роль играет мера и, поскольку оценки и формулы для других мер некомпактности, во многих случаях, выводятся из соотношений, полученных между v и этими мерами некомпактности.

Пусть Q - некоторое подмножество 7Zn, на <т - алгебре подмножеств которого определена неотрицательная cr-аддитивная мера

Всюду будем предполагать, что fi(Q) < оо, а через Pjj будем обозначать оператор умножения на характеристическую функцию множества D СО.

Обозначим через v(U) = ve(U) меру неравностепенной абсолютной непрерывности норм элементов подмножества U правильного пространства Е, полагая

uE(U)= Km SUP||PDU|U-

ß(D)-> 0 ueU

Характеристика, подобная v (для подмножеств пространства Лебега), впервые введена в [98] автором настоящей работы и независимо Юргеном Аппелем (Jürgen Appell) [54].

Напомним, что мерой некомпактности Хаусдорфа Xe{U) множества U называется инфимум всех е > 0, при которых U имеет в Е конечную б-сеть.

Целью раздела 1.1 является нахождение класса правильных пространств, в которых равенство двух мер некомпактности произвольного ограниченного подмножества необходимо и достаточно для компактности по мере этого подмножества.

Такой класс пространств определяется следующим образом.

Определение 1.1.1. Мы будем говорить, что правильное пространство Е обладает свойством (N), если для любых последовательностей измеримых множеств {П„} (0„ С О) и функций {«„} из равенства

Jim \\ип\\Е = Jim \\Рппип\\Е < оо

следует равенство

fe ||^)\OnWn|U = 0.

Приведены примеры, показывающие, что в правильных пространствах норма может обладать свойством Фату и, следовательно, свойством Рисса-Фишера, но в то же время вести себя по-разному относительно свойства (N).

Получен новый критерий компактности по мере.

Теорема 1.1.3. Пусть U - ограниченное подмножество правильного пространства Е со свойством (N). Тогда U компактно по мере, если и только если Хе{У) = ve{Y) Для каждого V С U.

Теорема 1.1.3 является обобщением теоремы 1.1.2.

Теорема 1.1.2. Пусть U ~ ограниченное подмножество Lp(i),//). Тогда U компактно по мере, если и только если

XLp(Q,ß)(y) =

для каждого V С U.

В частности, в разделе 1.1 для меры некомпактности v обобщен результат автора настоящей работы из [98, 104] с пространств Lp на произвольные правильные пространства.

Теорема 1.1.1. Пусть U - произвольное ограниченное подмножество правильного пространства Е. Тогда

XE(U) > uE{U)

и

XE(U) = ve{U),

если U компактно по мере.

Раздел 1.2 посвящен мере некомпактности /3 подмножеств пространств Lp.

Пусть Е - банахово пространство, a U - ограниченное подмножество Е. Мерой некомпактности /3e(U) = (3(U) множества U называется супремум тех г > 0, для которых в U существует бесконечная последовательность {г/„}, такая, что

IK - Urn II > г

для всех пф т.

Мера некомпактности (3 впервые, по-видимому, рассматривается в работах JI.C. Гольденштейна, И.Ц. Гохберга, А.С.Маркуса [14,15]. Исследованию этой меры некомпактности посвящены работы таких авторов как Ж. X. Уилле (J.H. Wells ), Л.Р.Уильямс (L.R. Williams) [96], В.Истратеску (V. Istràtescu) [74], Ж. Данеш (J.Danes) [61] и др. В частности, автором настоящей работы в [97, 98] были доказаны свойства алгебраической полуаддитивности и инвариантности (3 относительно перехода к выпуклой оболочке, важные для приложений (см., например, обзор Б.Н.Садовского, [2, с. 43]). В 1982 г. также автором настоящей работы в [97, 98] была доказана пропорциональность мер некомпактности (3 и % в пространствах 1р при 1 < р < оо и независимо в 1988 г. испанским математиком Т, Домингезем Бенавидесом (T. Dominguez Benavides) [66].

В разделе 1.2 преследуется традиционная для теории мер некомпактности цель, а именно: оценить меру некомпактности (3 некоторых подмножеств Lp.

В частности, здесь приводится точное значение для меры некомпактности (3 единичного шара В, полученное автором еще в 1982 г. [98], а также в 1989 г. [107] другими рассуждениями (данный результат не был включен в кандидатскую диссертацию). Этот же результат был получен независимо испанскими математиками в 1991 г. Т.,Dominguez Benavides и J.M.Ayerbe [67].

Теорема 1.2.1. При 1 < р < оо

По аналогии с разделом 1.3 получены оценки меры некомпактности /3 подмножеств пространств Лоренца.

Теорема 1.3.1. Пусть 17 - ограниченное множество в

(1 < р < оо). Тогда

Следствие 1.3.1. Пусть В(в,1) - единичный шар А1/р(0,//). Тогда /За1/р(п,ц)(В(9, 1)) = 2 для всех 1 < р < оо. Теорема 1.3.2. Пусть

исвЬжМ(в,г)пвА1/рМ(в,1).

Тогда

/3*^(0,) (10 < тах(2'Л,21-1*).

В разделе 1.4 исследуется мера некомпактности подмножеств пространств функций, интегрируемых по Бохнеру.

Пусть (О, Т) - ограниченный интервал на вещественной оси, Е -банахово пространство. Пусть Ьр(0,Т;Е) (1 < р < оо) обозначает множество всех измеримых по Бохнеру функций и : (О,Т) —> Е, для которых

о

Обозначим через II множество функций из Ьр(0, Г; Е), допускающее для любого б > 0 аппроксимацию множеством

и(Щй : ад = £ Ь(й)кД. (6,-(й) € Е)} ¿=1

по метрике Хаусдорфа, т.е. для почти всех £ 6 (О, Т), постоянных к\ > 0 и Т > 0, не зависящих от е и конечного натурального числа /£, зависящего от е, имеем

Теорема 1.4.1. Пусть и - ограниченное в Ьр(0,Т;Е) множество функций, допускающее для каждого е > 0 аппроксимацию множеством ие. Тогда

т

Рьр(о,т;Е)(и) < (} ррЕтт)1/р.

о

В разделе 1.5 впервые предпринята попытка связать теорию мер некомпактности с теорией емкости. Пусть

В(и,Т) = {х £П:\и{х)\>Т},

а р,1 — сар(Р,0,) означает р, /-емкость для некоторого компакта ^ С О относительно П. Положим

(Р о\ _ ! если р,1 - сар(Г,П) > 0;

- ^ если _ сар^п) = о.

Для и £ V С Со°(0) и Т > 0 введем обозначения:

иеУ 1

Теорема 1.5.1. Пусть 1 < р < оо,

Тогда

"р,1,мА3) < И!р,м(зд(5)-

Теорема 1.5.2. Пусть / = 1и1<р<оо. Тогда

где с(р) = рР/(р — 1)р_1 при р > 1 и с(р) = 1 при р — 1.

В двух последних разделах первой главы изучается мера некомпактности ограниченных подмножеств пространств Соболева в различных пространствах функций.

Теорема 1.6.1. Пусть р, - сг-аддитивная мера, определенная на одной сг-алгебре подмножеств О, что и п-мерная мера Лебега тп, причем ¿¿(О) < оо и гап(0) < сю. Пусть р абсолютно непрерывна относительно тп.

Тогда любое ограниченное подмножество ¿1,р(0) для некоторого 1 < р < оо компактно по мере /¿.

Теорема 1.6.2. Пусть 1 < р < оо. Пусть Е - правильное пространство /I- измеримых функций на области О С Лп с < оо. Пусть, кроме того, оператор вложения

I: Ь1'Р{П) -ч- Е

ограничен.

Тогда для любого множества, ограниченного в Ь1,р(0,), справедливо равенство

Xe(U)= Hm sup p(D)-> 0 u€u

Пусть S(Sl'p) обозначает для нормированного пространства единичную сферу, т.е.

s(sl>p) = {ие S1* : IMIsi, = 1}.

Теорема 1.6.3. Пусть Е - правильное пространство //-измеримых функций на области Г2 С Т1п с fi(il) < оо. Пусть выполнены предположения теоремы 1.6.2. Тогда для

1 ,1 о 1,р о 1 ,р

S ,р Е w , L }

имеет место равенство

XsW)) = Jm sup ||o||B/||«||s.„

lt(D)-> 0 ueUo

кроме того,

Xe/c{S(L1'p)) = lim sup \\u\\e/\\u\\li,p»

u€Ud

Теорема 1.7.1. Пусть 1 < p < oo. Тогда существует постоянная к > 0, такая, что

к

ßbp(v)(U) < (l + kpy/p ßw^)(U)

для любого ограниченого множества U С W1,P(Q). Теорема 1.7.2. Пусть оператор вложения

/ : Ll,p{ß)lC Lq(Ü)/C

ограничен при 1 < р, q < оо.

Тогда для любого ограниченного подмножества U С L1,p(ü) справедливо неравенство

ßLqinyc(U) < XLM/c(S(L^))ßL,m(U).

Вторая глава посвящена приложению мер некомпактности к теории операторов.

В этой главе собраны все новые результаты автора по исследованию операторов, связанному с мерами некомпактности.

Из результатов первой главы в разделе 2.1 выводятся утверждения, касающиеся характеристики степени некомпактности оператора вложения пространств Соболева в различные пространства функций.

В разделе 2.2, также как и в работах [52] и [71], исследование пространств Соболева на областях сводится к исследованию пространств функций на интервале.

В отличие от [52] и [71], в настоящей работе не используется понятие обобщенного гребня, довольно сложное для применения.

В разделе 2.2 устанавливается связь более широкого класса пространств Соболева, включающего пространства Соболева на области с обобщенным гребнем (generalised ridged domain), c. пространством функций на интервале.

В частности, известная константа Макенхаупта рассматривается как мера некомпактности специальных Соболевских вложений.

Для а < с < d < b положим N(c,d) Ш sup {[p.(d~) - ß(r)]1/q(¡{dß/dtr^dtf-1^}.

c<r<d Jc

Также как в [37, с. 42] величина Лг(с, d) и подразумевается под константой Макенхаупта.

Теорема 2.2.1. Пусть выполнено одно из условий:

1) 1 < р = q < оо , п > 1;

2) 1<гг<р<д<оо;

3) п > I, р < п, I < р < q < пр/(п - р).

И пусть, кроме того, область О удовлетворяет предположениям:

1. Для некоторого интервала

J=(a,b)

существует сюръективное равномерно локально липшицево отображение

т : Ü J,

т.е. для каждого х £ Ü найдется окрестность V(x), такая, что справедливо

|ф) - т(у)| < *у\х - у\ для всех у EV(x), причем Q\Üs удовлетворяет условию конуса, где

2. Пусть fi(t) = mn{x е О : т(х) G (М)} и пусть существует отображение

М : L1,P(Q) п С1^) удовлетворяющее неравенству:

\\(Mu)[\\L4J;dfl) < p\\Vu\\Lp(Q).

3. Пусть для оператора

TF = F(t(X)), 15

действующего из L1,p'q(J; d/i) в L1,p(О),

lim sup

uesnc

(u-TMu) |Ui(n)=0.

Тогда для

/ : Ll,p(ü)/C —> Lq(ü)/C

имеем

l/7lim JV(c,ft) < ||/||W < pql/q{q/{q-l))(p~1)/pHmJV(c, 6).

c—c—

В частности, оператор вложения I\ : —> Lq(Q) компактен,

если и только если

lim N(c,b) = 0.

с—>6

Предлагается метод построения областей, удовлетворяющих предположениям теоремы 2.2.1, кроме того, теорема проиллюстрирована на примерах.

В разделе 2.3, также как в [2, с. 11], рассматривается мера неравностепенной непрерывности множества

<7СС([0,1];£),

т.е. величина

&c([o,i]-,e)(U) = lim sup w(u,s),

ueu

где

и

s) = max ||и - uT\\c{[0,m

, . _ ( и^ + г), если 0 < Ь < 1 — т; \и(1), если 1 — г < £ < 1.

В разделе 2.3 доказана теорема, обобщающая теорему Ю. Аппеля, с пространства С(0,1) скалярных непрерывных функций на пространство С([0,1];Я).

Теорема 2.3.1. Пусть оператор суперпозиции = f(s,u(s))

действует в С([0,1]; Е), где Е - банахово пространство и пусть функция /(«, и) равномерно непрерывна по « относительно и £ ВГ(Е). Тогда следующие условия эквивалентны: 1) Функция /(,§, и) удовлетворяет условию Липшица

где ги = тах(||и||я, (¡г'Ця) и д порождает оператор суперпозиции

2) Оператор суперпозиции ^ удовлетворяет условию Липшица

\\Fui - Рщ\\с([0,1]-,е) < к(г)\\щ - «2||с([0д];1?)

для всех «1, щ €Е Д. (С ([О,1]; Е)).

3) Оператор суперпозиции Г удовлетворяет неравенству

астУ,Е)(Ри) - Чг)ас([о,1]-,е)(и) для всех и С Вг(С([0,1]; Е)).

4) ^ удовлетворяет условию Дарбо

на всех ограниченных множествах II из Вг(С'([0,1]; Е)).

В разделе 2.4 выделяется класс уплотняющих операторах в пространствах суммируемых функций.

Теорема 2.4.1.1. Пусть А - линейный оператор, действующий из в ¿оо(О,//) (1 < р < оо). Тогда, рассматривая А как

оператор из Ьр(0,,ц) в будем иметь

Приводится пример оператора А, удовлетворяющего условиям последней теоремы, а также соотношениям

11/(5,и) - \Е < д(з,т)\\и - у\\Е,

С?: Вг(С(0,1)) ->ВА(р)(С(0,1)).

Хс([оде)(№) < Чг)Хс(№-,е)(и)

1И11(/?)

из которых следует, что оператор может быть уплотняющим относительно ¡3 и неуплотняющим относительно

Заметим еще раз, что существование примеров таких операторов, в какой-то степени, объясняет необходимость рассмотрения различных мер некомпактности.

Теорема 2.4.2.1. Пусть А - линейный оператор, действующий из Л]/р(0,//) (1 < р < оо) в Ьоо(П,//). Тогда, рассматривая А как оператор из ¡л) в 1^(1},будем иметь

ыт < ( если 1 < р < 2,

" " " 1 2-1/р|И||л1/р(ад_л1/?(о^), если 2 < р < оо.

В разделе 2.5 преследуется цель записать достаточные условия Ф+-операторов через верхнюю /3-норму оператора вложения.

Кратко напомним, что Ф+-оператор - это оператор, наделенный двумя свойствами фредгольмова оператора, а именно: размерность ядра конечна и образ оператора замкнут.

Теорема 2.5.1. Пусть Е, Е и С - банаховы пространства и пусть вложение I : Е -> Е непрерывно. Пусть А : Е —> С? - ограниченный линейный оператор. Если А - Ф+-оператор, то существует постоянная с > 0, такая, что имеет место неравенство

+ (2-5.2)

для каждого и Е Е. Обратно, если неравенство (2.5.2) выполняется и

||/||(Я < I

где - верхняя /3-норма /, то А - Ф+-оператор.

Теорема 2.5.2. Пусть А - линейный непрерывный оператор, действующий из Я в Я, где Н - гильбертово пространство. Пусть £ - банахово пространство и пусть для некоторых постоянных сз > О, А > 0 выполнено неравенство:

1М1 я < с3(< Ащи >н + А|М|с) для всех и Е Н. Пусть

Л1Г < 1

где 1\ : Н —> С - оператор вложения. Тогда А - Ф+ -оператор.

В разделе 2.6 изучаются условия, эквивалентные одному неравенству, рассматриваемому в линейном случае Ж.-Л. Лионсом [34, с. 71], а в нелинейном - Ю.А.Дубинским [34, с. 154]. Получен также критерий компактности для оператора, вообще говоря, нелинейного, действующего в пространстве Бохнера.

Пусть Е0, Е, Е\ - три банаховых пространства, причем

Ео С Е С Е\

и вложение Ео в Е, вообще говоря, некомпактно.

На некотором множестве ^ С Ео определим функцию М : ^ —> и величины:

тШ) = зир м(у), т(и) = МММ.

ьеи

Обозначим для всех к > О

М(у) < к}. (2.6.1)

Определение 2.6.1. Множество (7 С 5 назовем М-ограниченным, если для него справедливы неравенство

т(и) < ос.

Определение 2.6.2. Будем говорить, что множество II С ^ обладает М-свойством, если оно М-ограничено и для него справедливо неравенство

т(Ц) >0.

Определение 2.6.3. Оператор А : ^ —»■ Е назовем М-ограниченным, если любое М-ограниченное множество II С ^ переводится оператором А в ограниченное подмножество пространства Е.

Теорема 2.6.1. Для М-ограниченного оператора А следующие условия равносильны:

1. Если последовательности {ип}, {г;„} обладают М-свойством и, кроме того,

„Цщ, 1к-^|к = °>

то также

Цщ ||Аип - Ауп\\е = 0.

п—юо " "

2. Для любого множества II, обладающего М-свойством, для каждого е > 0 найдется постоянная се, такая, что

\\Аи - Ау\\е < е(М{и) + М(у)) + се\\и - у\\Е1 (2.6.2)

для всех и, V из V.

Теорема 2.6.2. Пусть задан М-ограниченный оператор А : ^ -» Е. Пусть для каждого е > 0 найдется постоянная се, такая, что неравенство (2.6.2) справедливо для всех и, V из Тогда для всех е > 0 найдется постоянная с£, такая, что для каждого множества II С 3 имеет место неравенство

(3Е(Аи) < 2ет(11) + СервАи). (2.6.5)

Следствие 2.6.3. Пусть для всех е > 0 найдется постоянная се, такая, что для каждого II С ^ имеет место неравенство (2.6.5). Тогда, если II С 3 является М-ограниченным и относительно компактным в Е\, то АЛ также относительно компактно в Е.

Теорема 2.6.3. Пусть А - оператор вложения из в Е, 3 = Ео, М- норма в Ео и любое множество 17, ограниченное в Ео и относительно компактное в Е\, также относительно компактно в Е. Тогда выполнено неравенство (2.6.2) для всех и и V.

Теорема 2.6А (критерий компактности). Пусть для оператора А и Э справедливо неравенство (2.6.2) для всех и и г>. Пусть, кроме того, для всех к > 0 множество определенное равенством (2.6.1), относительно компактно в Е\, Пусть Р - множество функций

т т

{!/(*) : V : (0,Г) /< си / < с2},

о о

где 1 < ро < оо, 1 < р\ < оо и сх, сч - некоторые постоянные. Тогда для оператора А, определенного равенством

(Аь)Ц) =

для всех функций v на (О, Т) со значениями в множество

ÄF = {Äv :v £ F}

является относительно компактным подмножеством в LPo(0,T; Е).

В разделе 2.6 получены необходимые и достаточные условия справедливости неравенства Эрлинга - Ниренберга.

Завершают вторую главу критерии компактности различного рода. Теорема 2.7.1. Пусть G - банахово пространство, Е - правильное пространство со свойством (N), А : G —> Е - линейный ограниченный оператор. Тогда А компактен по мере /х, тогда и только тогда, когда

pe(AV) = xe(AV)

для каждого V С S(G).

При доказательстве следующей теоремы используется теорема

2.7.1.

Теорема 2.7.2. Пусть G - произвольное нормированное пространство, Е - правильное пространство со свойством (N). Пусть А - ограниченный оператор, действующий из G в Е.

Пусть существует последовательность /¿-измеримых подмножеств {On} (йп С Q), такая,что

Jim р(П\Пп) = О

и оператор Pq„A : G Е компактен для каждого п. Тогда А компактен по мере ¿г. Если А ~ линейный оператор, то

IHI(X) = IHIU

Теорема 2.8.1. Пусть 1 < р < оо. Тогда следующие три условия эквивалентны:

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Ерзакова, Нина Александровна, 1998 год

Литература

1. Уплотняющие операторы / P.P. Ахмеров, М.И.Каменский, А.С.Потапов, Б.Н.Садовский.-Итоги науки и техники / ВИНИТИ. Математический анализ. М., 1980. Т.18. С.185-250.

2. Меры некомпактности и уплотняющие операторы / P.P. Ахмеров, М.И.Каменский, А.С.Потапов, Б.Н.Садовский, А.Е.Родкина. Новосибирск: Наука, 1986. 265 с.

3. Бахтин И.А. О существовании общих неподвижных точек для коммутативных совокупностей нелинейных операторов// Функциональный анализ и его приложения, 1970. Т. 4. No 1. С. 86-87.

4. Березанский Ю.М. Разложение по собственным функциям самосопряженных операторов. Киев: Изд-во "Наукова думка", 1965. 798 с.

5. Бережной Е.И.Упаковки единичной сферы пространств Лоренца и Марцинкевича. - В кн.: Качественные и приближенные методы исследования операторных уравнений. Ярославль. 1984. С. 24-28.

6. Бирман М.Ш. и др. Функциональный анализ / в серии "Справочная математическая библиотека" / М.:Наука, 1972.-544 с.

7. Бондаренко В.А. О существовании универсальной меры некомпактности .-В кн.: Проблемы математического анализа сложных систем. Воронеж. 1968. Вып. 2. С. 18-21.

8. Борисович Ю.Г., Сапронов Ю.Л. К топологической теории уплотняющих операторов//Докл. АН СССР. 1968. Т. 183. No 1. С.18-20.

9. Борисович Ю.Г., Сапронов Ю.И. К топологической теории компактно сужаемых операторов - В кн.:Труды семинара по функциональному анализу. Воронеж. 1969. Вып. 12. С. 43-68.

10. Вайникко Г.М., Садовский Б.Н. О вращении уплотняющих векторных полей - В кн.: Проблемы математического анализа сложных систем. Воронеж: Изд-во Воронежского гос. ун-та, 1968. Вып. 2. С. 84-88.

11. Водопьянов С.К., Гольдштейн В.М., Решетняк Ю.Г. О геометрических свойствах функций с первыми обобщенными производными //Успехи мат. наук. 1979. Т. 34. No 1(205). С.17-65.

12. Водопьянов С.К. Квазиэллиптическая Ьр-теория потенциала и ее приложения// Докл. АН СССР. 1988. Т. 298. No 4. С.780-784.

13. Гаевский X., Грегер К., Захариас К. Нелинейные операторные уравнения: Пер. с нем. М.: Мир, 1978. 366 с.

14. Гольденштейн JI.C., Гохберг И.Ц., Маркус A.C. Исследование некоторых свойств линейных ограниченных операторов в связи с их q-нормой//Учен.зап./Кишин.ун-т. 1957. Вып. 29. С. 29-36.

15. Гольденштейн JI.C., Маркус A.C. О мере некомпактности ограниченных множеств и линейных операторов .- В кн. :Исследо-вание по алгебре и математическому анализу. Кишинев. 1965. С.45-54.

16. Гохберг И.Ц., Крейн М.Г. Основные положения о дефектных числах, корневых числах и индексах линейных операторов// Успехи мат. наук. 1957. Т.74. No 2. С. 43-118.

17. Данфорд Н., Шварц Дж.Т. Линейные операторы 1: Пер. с англ. М.: Наука, 1962. 895 с.

18. Забрейко П.П. Идеальные пространства функций, 1// Вестник Яросл. ун-та. 1974. Вып. 8. С. 12-52.

19. Забрейко П.П., Ледовская И.Б. Теоремы существования для уравнений в банаховом пространстве и принцип усреднения.- В кн.: Проблемы математического анализа сложных систем. Воронеж. 1968. Вып. 3. С. 122-136.

20. Забрейко П.П., Обрадович П. К теории банаховых пространств в ектор - функций / / Труды семинара по функц. анализу. Воронеж. 1968. С. 12-21.

21. Калмыков A.A. Условия (к,х) -ограниченности интегральных операторов в пространствах непрерывных и ограниченных на бесконечном промежутке функций. Пермь, 1977. 16 с. Деп. в ВИНИТИ 28.03.77, No 1194-77.

22. Калмыков A.A. Проективные меры некомпактности и проек-тивно уплотняющие операторы. Пермь, 1977. 31 с. Деп. в ВИНИТИ 26.04.77, No 1674-77.

23. Каменский М.И., Обуховский В.В. Об операторе сдвига по траекториям полулинейных управляемых систем// Дифференц. уравнения. 1996. Т.32. No 6. С. 747-754.

24. Климов B.C. Емкости множеств и теоремы вложения для идеальных пространств// Докл. АН РАН. 1995. Т. 341. No 5. С. 588-589.

25. Колмогоров А.Н., Фомин C.B. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1976. 544 с.

26. Красносельский М.А., Рутицкий Я.Б. Выпуклые функции и пространства Орлича. М.: Физматгиз, 1958. 543 с.

27. Красносельский М.А., Забрейко П.П., Пустыльник Е.И. и др. Интегральные операторы в пространствах суммируемых функций. М.: Наука, 1966. 499 с.

28. Красносельский М.А., Забрейко П.П., Геометрические методы нелинейного анализа . М.: Наука, 1975. 512 с.

29. Куратовский К. Топология. В 2-х т.-М.: Мир. 1966.- Т.1.-594 с.

30. Курбатов В.Г. О фредгольмовости разностного оператора .- Воронеж, 1980. 20 с. Деп. в ВИНИТИ 29.01.81, No 378-81.

31. Курбатов В.Г. Мера некомпактности Хаусдорфа в L°° . В кн.: Приближенные методы исследования дифференциальных уравнений и их приложения. Куйбышев. 1982. С. 95-98.

32. Куфнер А., Фучик С. Нелинейные дифференциальные уравнения: Пер. с англ. М.: Наука, 1988. 304 с.

33. Ладыженская O.A. Краевые задачи математической физики. Ленинград : Наука, 1973. 408 с.

34. Лионе Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач: Пер. с франц. М.: Мир, 1972. 587 с.

35. Лионе Ж.-Л., Мадженес Э. Неоднородные граничные задачи и их приложения: Пер. с франц. М.: Мир, 1971. 371 с.

36. Лялькина Г.Б. Условия \-уплотняемости оператора Уры-сона в пространствах Си Lp .-В кн.: Функционально-дифференциальные уравнения и краевые задачи математической физики. Пермь. 1978. С.166-168.

37. Мазья В.Г. Пространства С.Л. Соболева. Л.: Изд-во Ленинградского университета, 1985. 415 с.

38. Мисюркеев И.В., Лялькина Г.Б. Исследование одного класса нелинейных интегральных уравнений топологическими методами .Учен. зап./Перм. ун-т. 1973. No 271. С. 20-25.

39. Подгаев А.Г. Компактность некоторых нелинейных множеств// Докл. АН СССР, 1985. Т. 285. No 5. С.1064-1066.

40. Потапов A.C. О мере некомпактности некоторых множеств - В кн.: Функциональный анализ и его приложения. Воронеж. 1973. Вып. 1. С. 23-27.

41. Садовский Б.Н. Об одном принципе неподвижной точки// Функциональный анализ и его приложения. 1967. T.l. No 2. С. 74-76.

42. Садовский Б.Н. О мерах некомпактности и уплотняющих операторах - В кн.: Проблемы математического анализа сложных систем. Воронеж. 1968. Вып. 2. С. 89-119.

43. Садовский Б.Н. Предельно-компактные и уплотняющие операторы/ /Успехи мат. наук. 1972. Т.27. No 1. С.81-146.

44. Седаев A.A. Структура некоторых линейных операторов.- Математические исследования/Кишинев. 1970. Т. 5. Вып. 1. С. 166-175.

45. Толстоногов A.A. Дифференциальные включения в банаховом пространстве. Новосибирск: Наука, 1986. 453 с.

46. Степанов В.Д., Едмундс Д.Е. О мере некомпактности и аппроксимативных числах одного класса интегральных операторов Вольтерра// Докл. АН РАН. 1993. Т. 47. No 3. С. 618-623.

47. Треногин В.А. Функциональный анализ. М.: Наука, 1980. 496 с.

48. Файнштейн А.С., Шульман B.C. Устойчивость индекса короткого Фредголъмова комплекса банаховых пространств относительно возмущений, малых по мере некомпактности-В кн.¡Спектральная теория операторов. Баку. 1982. Вып. 4. С. 189-198.

49. Филиппов А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью// Матем. сб. I960. Т. 51. No 1. С. 99-128.

50. Филиппов А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью . М.: Наука, 1985. 272 с.

51. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Мир, 1970. 720 с.

52. Amick C.J /.Some remarks on Rellich's theorem and Poincare inequality// J.London Math. Soc. 1978. Vol. 18. No 2. P. 81-93.

53. Appell J. Implicit functions, nonlinear integral equations, and the measure of noncompactness of the superposition operator// J. math, anal and appl. 1981. Vol. 83. No 1. P. 251-263.

54. Appell J., E. De Pascale E.: Su alcuni parametri connessi con la misura di noncompatezza di Hausdorff in spazi di funzioni misurabili// Boll. Unione Mat. Ital. 1984. Vol.3-B. P. 497-515.

55. Appell J.:Misure di noncompattezza in spaszi idealif/ Rend. Sci.Ist. Lomb. 1985. Vol.119. P.157-174.

56. Appell J. and P.P. Zabrejko Nonlinear Superposition Operators. Cambridge University Press, 1990. -453 p.

57. Banas J., Goebel K. Measure of noncompactness in Banach spaces New York, Basel: Dekku, ins., 1981. 453 p.

58. Bennet C., Sharpley R. Interpolation of Operators.San Diego: Academic Press Inc., 1988.-453 p.

59. Bossan G. Some rermarks on a measure of noncompactness in probabilistic metric spaces / / Bull. math. Soc. sci. math. RSR. 1976(1977). Vol. 20. No 1-2. P. 41-44.

60. Conti G., Obukhovskii V., Zecca P. On the topological structure of the solution set for a semilinear functional-differential inclusion in a Banach space// Topology in nonlinear analysis. Banach Cent. Pub!. 1996. Vol. 35. P. 159-169.

61. Danes J. Fixed point theorems, Nemyckii and Unison operators and continuity of nonlinear mappings// Comment. Math. Univ. Carol. 1970. Vol. 11. No 3. P. 481-500.

62. Danes J. On the Istrátescu's measure of noncompactness// Bull. Math. Soc. Sci. Math. RSR. 1972(1974). Vol. 16. No 4. P. 403-406.

63. Danes J. On densifying and related mappings and their application in nonlinear functional analysis//Schriftenr. Zentralinst. Math, und Mech. 1974 Vol.20. P. 15-56.

64. Darbo G. Punti uniti in transformazioni a codomino non compatto// Rend. Sem. Math. univ. Padova, Pt. 1. 1955. Vol.24. P. 84-92.

65. Domínguez Benavides T. Some properties of the set and ball measures of non-compactness and applications// J. London Math. Soc. 1986. Vol.34. No 2. P. 120-128.

66. Dominguez Benavides T. Sets-Contractions and Ball-Contractions in some classes of spaces// J. Math. Anal. Appl. 1988. Vol.136. P. 131-140.

67. Dominguez Benavides T., Ayerbe J.M.Set-Contractions and Ball-Contractions in W-Spaces// J. Math. Anal. Appl. 1991. Vol. 159. P. 500-506.

68. De Blasi F.S. On a property of the unit Sphere in a Banach space// Bull. math. Soc. Sci. Math. RSR. 1977. Vol. 21. No 3-4. P.259-262.

69. Eisenfeld J., Laksmikantham V. On a measure of noncovexity and applications//Yokohama math. j. 1976. Vol. 24. No 1-2. P. 133-140.

70. Edmunds D.E., Stepanov V.D. On the Singular Numbers of Certain Volterra Integral Operators// J.Functional Analysis. 1995. Vol.134. No 1. P.222-246.

71. Evans W.D., Harris D.J. Sobolev embedding for generalised ridged domains// Proc. London Math. Soc. 1987. Vol.54. No 3. P.141-175.

72. Furi M., Vignoli A. On a property of the unit sphere in a linear normed space// Bull. Acad. Polon. sci. Ser. math., astron et phys. 1970.

Vol. 18. No 6. P. 333-334.

73. Grothendieck A. Produits tensoriels topologiques et espaces nucléaires -Mem. Amer. Math. Soc. 16. 1955.

74. Istràtescu V. On a measure of noncompactness.- Bull. math. Soc. sci. math. RSR. 1972 (1973).T. 16. No 2. P. 195-197.

75. Jones G. S. A functional approach to fixed point analysis of noncom-pact operators//Math. sist. theory. 1973. Vol. 6. No 4. P. 375382.

76. Jovanovic I., Rakocevic V. Multipliers of mixed-norm sequence spaces and measures of noncompactness// Publ. de L' Inst. Math. 1994. Vol. 56(70). P. 61-68.

77. Juberg R.K. Measure of non-compactness and interpolation of compactness for a class of integral transformations//Duke math. j. 1974. Vol. 41. No 3. P. 511-525.

78. Juberg R.K. The measure of noncompactness in Lp for a class of integral operation// Indiana uni v. math, j.1974. Vol. 23. No 10. P. 925-936.

79. Kamenskii M.I., Nistri P., Obukhovskii V.V. and Zecca P. Optimal Feedback Control for a Semilinear Evolution Equation// J. of optimization theory and applications. 1994. Vol. 82. No. 3. P. 503-517.

80. Kamenskii M.I., Obukhovskii V.V. Condensing multioperators and periodic solutions of parabolic functional-differential inclusions in Ba-nach spaces//Nonlinear Anal.: Theory, Meth. and Appl. 1993. Vol. 20. No 7. P. 781-792.

81. Kuratowski C. Suz les espaces complets //Fund. math. 1930. Vol. 15. P. 301-309.

82. Lebow A., Schechter M. Semigroups of operators and measure of non-compactness/ / J. funct. anal. 1971. Vol. 7. No 1. P. 1-26.

83. Nirenberg L. On elliptic pattial differential equation// Ann. Scuola Norm. Sup. Risa. 1959. Vol. 13. No 3. P. 115-162.

84. Nistri P., Obukhovskii V.V., Zecca P. On the solvability of systems of inclusions involving noncompact operators// Trans. Amer. Math. Soc. 1994. Vol. 342. No. 2. P. 543-562.

85. Nussbaum R.D. The fixed point index and asymptotic fixed point theorem k-set-contractions.-Bull. Amer. math. Soc. 1969. V. 75, No 3. P. 490-495.

86. Nussbaum R.D. Spectral mappings theorems and perturbation theorems for Browder's essential spectrum// Trans. Amer. math. Soc. 1970. Vol. 150. No 2. P. 445-455.

87. Nussbaum R.D. The radius of essential spectrum// Duce math. j. 1970. Vol. 37. No 3. P. 473-478.

88. Nussbaum R.D. The fixed point index for local condensing maps// Ann.mat.pura ed appl. 1971. Vol.89. P. 217-258.

89. Otahal A. Measure of nocompactness of subsets of Lebesgue spaces// Casopic. Pëst. mat. 1978. Vol.103. P.67-72.

90. Peetre J. Another approach to elliptic boundary value problems // Comm. Pure Appl. Math. 1961. Vol. 14. P. 711-731.

91. Petryshyn W.V. Remarks on condensing and k-set-contractive mappings// J. Math. Anal. Appl. 1972. Vol 39. P. 717-741.

92. Rakocevic V. Semi-Browder operators and perturbations// Studia Math. 1997. Vol. 122. No 2. P. 131-137.

93. Rossi A.M., Sambuceti P. Sulla compatezza negli spaci 1/ .Genova: Pubbl.ist. mat. univ. 1978. No 258. -21p.

94. Stuart C.A. The measure of non-compactness of some linear integral operations// Proc. Roy. Soc. Edinburg.1973. Vol. A 71. No 2. P.167-179.

95. Szufla S. On the structure of solutions sets of differential and integral equations in Banach spaces// Ann. pol. math. 1977. Vol. 34. No.2. P.165-177.

96. Wells, J. H., Williams, L.R. Embeddings and extensions in Analysis. Berlin:Springer Verlag. 1975. 573p.

97. Ерзакова H.A. Об одной мере некомпактности. В кн.: Приближенные методы исследования дифференциальных уравнений и их приложения. Куйбышев, 1982. С. 58-61.

98. Ерзакова H.A. О свойствах меры некомпактности ß. Воронеж, 1982. 28 с. Деп. в ВИНИТИ 30.11.82, No 6132-82.

99. Ерзакова H.A. О мере некомпактности ß линейных операторов в пространствах суммируемых функций. Воронеж, 1982. 15 с. Деп. в ВИНИТИ 25.11.82, No 6133-82.

100. Ерзакова H.A. О свойствах мер некомпактности в банаховых пространствах// Школа по теории операторов в функциональных пространствах: Тез. докл. Минск, 1982. С. 54.

101. Ерзакова H.A. О внутренней мере некомпактности Хаусдорфа. В кн.: Теория операторов в функциональных пространствах. Воронеж, 1983. С.37-44.

102. Ерзакова H.A. Об уплотняющих операторах в пространствах Ьр. Воронеж, 1983. 25 с. Деп. в ВИНИТИ 05.05.83, No 2850-83.

103. Ерзакова H.A. уплотняющие операторы в пространствах суммируемых функций// Всесоюзная школа по теории функций, посвященная 100-летию со дня рождения академика Н.И.Лузина: Тез. докл. Кемерово, 1983. С.43.

104. Ерзакова H.A. О мерах некомпактности в банаховых пространствах: Дис.... канд. физ.-мат. наук. Воронеж, 1983. 100 с.

105. Ерзакова H.A. Потенциал и мера некомпактности. В кн.:Динамика неоднородных систем. Материалы семинара ВИНИ системных исследований. М., 1983. С.242-243.

106. Ерзакова H.A. О степени некомпактности оператора Гаммер-штейна. Новосибирск, 1986. 10 с.Деп. в ВИНИТИ 26.03.86, No 2050-В.86.

107. Ерзакова Н.А. О некотором классе уплотняющих операторов в пространстве суммируемых функций. В кн.: Прикладной численный анализ и математическое моделирование. Владивосток, 1989. С. 65-72.

108. Ерзакова Н.А. О разрешимости задачи Коши. Хабаровск, 1990. 7 с. Деп. в ВИНИТИ 17.07.90, No 3994-В90.

109. Ерзакова Н.А. О мерах некомпактности и уплотняющих операторах в пространствах Лоренца. Препринт. Владивосток, 1990.

110. Yerzakova N.A. Non-linear superposition operators on space C([0,1], E). Report/ Inst. Appl. Math. FEB RAS. Khabarovsk, 1991.

111. Ерзакова Н.А. О нелинейном операторе суперпозиции в пространстве непрерывных функций. Хабаровск, 1992. 10 с. Деп. в ВИНИТИ 08.01.92, No 67-В92.

112. Ерзакова Н.А. О мерах некомпактности оператора вложения пространств Wlp в Lq. Хабаровск, 1992. 10 с. Деп. в ВИНИТИ 30.09.92, No 2876-В92.

113. Ерзакова Н.А. О существовании и продолжимости решений дифференциального уравнения с разрывной правой частью// Дифференциальные уравнения. 1992. Т.28. No 6. С. 1078-1080.

114. Ерзакова Н.А. Критерии компактности оператора вложения пространств Соболева// Сб. науч. тр. НИИ КТ. Хабаровск,

1993. Вып. 1. С. 103-109.

115. Yerzakova N.A. Measures of noncompactness in applications. Proc. Intern. Congr. Assoc."Women-Mathematicians" Moscow-Pushchino

1994, Vol. 2. Volgograd: Gos. Univ. 1994. P. 29-32.

116. Ерзакова Н.А. Некоторые приложения мер некомпактности к уравнениям математической физики// Сб. науч. тр. НИИ КТ по математике. Хабаровск, 1994. Вып. 1. С.38-49.

117. Yerzakova N.A. Non-linear Superposition Operators on Space C([0,1],E)// Math. An. Appl. 1994. Vol.181. No 2. P. 385-391.

118. Yerzakova N.A. The measure of noncompactness of Sobolev embed-dings// Integr. Equat. Oper. Th. 1994. Vol.19. No 3. P.349-359.

119. Yerzakova N.A. Measure of Noncornpactness in Applications// Proc. Intern. Conf. AMCA-95: Thes. report. Novosibirsk, 1995. P. 356.

120. Yerzakova N.A. On measures of поп-compactness in regular spaces// Proc. Pacific Intern. Conf. "Mathematical Modeling and Cryptography": Thes. report. Vladivostok, 1995. P.98.

121. Ерзакова H.A. О мерах некомпактности и их приложениях к разрешимости задачи Неймана// Международная конф. "Математика. Компьютер. Образование": Тез. докл. М., 1995. С. 80.

122. Ерзакова Н.А. О разрешимости краевых задач математической физики .-В кн.:Труды второй международной конференции "Математика, компьютер, образование". Москва-Пущино. 1995. Вып. 1. С.83-91.

123. Ерзакова Н.А. Приложение мер некомпактности к задачам физики и функционального анализа// Международная конф. "Математика, компьютер, образование"// Тез. докл. Дубна, 1996. С.45.

124. Yerzakova N.A. On Measures of Non-compactness in Regular Spaces // Zeitschr. Anal. Anw. 1996. Vol.15. No 2. P. 299-307.

125. Yerzakova N.A. Compactness criteria for embeddings of function spaces.Khabarovsk: Inc. Appl. Math. FEB RAS. Preprint 1996. No 4. P.l-14.

126. Ерзакова Н.А. Меры некомпактности и их приложения к теории дифференциальных уравнений // Международный семинар "Дифференциальные уравнения и их приложения": Тез. докл. Самара, 1996. 4.2. С.57.

127. Ерзакова Н.А. О мере некомпактности оператора вложения для одного класса пространств Соболева// Дальневосточный математический сборник. Владивосток: Дальнаука.1996. Вып.2. С. 81-85.

128. Ерзакова Н.А. О мерах некомпактности в правильных пространствах/ / Сб. науч. тр. НИИ КТ по математике. Хабаровск, 1997. Вып.2. С. 37-50.

129. Yerzakova N. A. On operators in Bochner space// 4 th Symposium on mathematical analysis: Thes. report. Arandjelovas-Belgrade, 1997. P. 24-25.

130. Ерзакова H.A. Компактность no мере и мера некомпактности// Сиб. мат. журн. 1997. Т.38. No 5. С. 1071-1073.

131. Yerzakova N.A. On measures of поп-compactness and applications to embeddings// Nonlinear Analysis, Theory, Methods and Applications. 1997. Vol.30. No 1. P. 535-540.

132. Ерзакова H.A. Константа Макенхаупта и мера некомпактности оператора вложения пространств Соболева// Известия ВУЗов. Математика. 1998. Т. 432. No 5.

133. Ерзакова Н.А. Исследование операторов и операторных уравнений, связанное с мерами некомпактности // Третий сибирский конгресс по прикладной и индустриальной математике, посвященный памяти С.Л.Соболева: Тез. докл. Новосибирск, 1998. С.70.