Полигоны с примитивно-нормальными и Ρ-стабильными теориями тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат наук Птахов, Денис Олегович

• Птахов, Денис Олегович
• кандидат наук
• 2018

Оглавление диссертации кандидат наук Птахов, Денис Олегович

Оглавление

Введение

Глава 1. Свободные, проективные и сильно плоские полигоны с примитивно нормальными и аддитивными теориями

1.1. Предварительные сведения

1.2. Примитивная нормальность свободных, проективных и сильно плоских полигонов

1.3. Аддитивность свободных, проективных и сильно плоских полигонов

Глава 2. Полигоны с Р -стабильными теориями

2.1. Предварительные сведения

2.2. Полигоны с (Р, 1) -стабильными теориями

2.3. Полигоны с (Р, в) -, (Р, а) - и (Р, е) -стабильными теориями

Глава 3. Полигоны с Р-стабильными теориями над моноидами правых и левых нулей

3.1. Полигоны с Р-стабильными теориями над моноидами левых нулей

3.2. Полигоны с Р -стабильными теориями над моноидами правых нулей

Заключение

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Полигоны с примитивно-нормальными и Ρ-стабильными теориями»

Введение

Постановка задачи и актуальность темы диссертации.

Тема диссертации относится к теоретико-модельной алгебре. Предметом исследования являются некоторые классы полигонов. Под левым S -полигоном sA над моноидом S или просто полигоном понимается множество А, на котором определено действие элементов из S, причем единица действует на А тождественно. Понятие полигона относится к фундаментальным в таких областях, как теория представлений, алгебраическая теория динамических систем и др. Большое количество работ по теории полигонов посвящено гомологической классификации полигонов, а именно, характеризации моноидов с помощью категорных свойств полигонов, таких как проективность, инъективность, плоскость. Это работы Л.А.Скорнякова [10], М.Кильпа [4], [19], У.Кнауэра [19] , А.В.Михалева [19] и др. Вопросы, связанные со свойством регулярности полигонов, рассмотрены такими математиками, как М.Кильп [20], У.Кнауэр [20], [21], А.В.Михалев [21], Л.Х.Трэн [28] и др. На полигон над моноидом можно смотреть как на обобщение понятия модуля над кольцом. Именно поэтому многие задачи в теорию моделей полигонов пришли из теории моделей модулей. Одной из стандартных задач теории моделей модулей является задача описания колец, над которыми некоторый класс модулей обладал бы свойством Р, где под Р может пониматься аксиоматизируемость, или полнота, или стабильность и др.

В работах В. Гоулд [18], [17], С.Балмэн-Флеминг [17], A.A. Степановой [11] дается характеризация моноидов S таких, что классы слабо плоских, плоских, сильно плоских, проективных и свободных полигонов аксиоматизируемы. В работе A.A. Степановой [11] изучаются моноиды, над которыми аксиоматизируемые классы сильно плоских, проективных и свободных полигонов полны, модельно полны, категоричны. В работах Т.Г. Мустафина [6], A.A. Степановой [12] рассматриваются вопросы стабильности классов сильно плоских, проективных и свободных полигонов.

Аддитивные и примитивно связные теории являются обобщением

теории модулей. Как и теория модулей над кольцом данные теории допускают элиминацию кванторов до примитивных формул (см. [7], [23]). Класс аддитивных теорий содержится в классе примитивно связных теорий. В отличии от примитивно связных теорий, в аддитивных теориях на факторах любых примитивных копий по некоторой примитивной эквивалентности можно определить с помощью примитивной формулы изоморфные абелевы группы. Это свойство аддитивных теорий обобщает известное свойство модулей: в любом модуле примитивные копии являются классами смежности некоторой абелевой группы. Аддитивные и примитивно связные теории являются по определению примитивно нормальными теориями.

Полигоны с примитивно нормальной и аддитивной теорией изучаются в работе A.A. Степановой [14]. В работе [13] того же автора исследуются моноиды, над которыми класс всех полигонов примитивно нормален, примитивно связен или аддитивен. В работе [15] изучаются моноиды, над которыми аксиоматизируемый класс регулярных полигонов примитивно связен. Таким образом, представляет интерес описание моноидов, классы сильно плоских, проективных и свободных полигонов над которыми примитивно нормальны, аддитивны, примитивно связны.

Одним из объектов изучения теоретико-модельной алгебры является классификация элементарных теорий. Одним из способов получения этой классификации является классификация по количеству типов в этих теориях (т.е. совместных с теорией множеств формул со свободными переменными и с фиксированным множеством параметров, являющихся элементами модели данной теории). Исследования в этом направлении начались с работ Р. Вота [29], К. Рыль-Нардзевского [24] и М. Морли [22]. М. Морли глубоко исследовал тотально трансцендентные теории, т.е. теории, в которых имеется лишь счетное число типов над любым счетным множеством параметров. В дальнейшем понятие тотально трансцендентной теории было обобщено С.Шелахом до понятия стабильной теории [25] - теории, в которой для некоторой бесконечной мощности к мощность множества полных 1-типов над множеством параметров мощности к не

превосходит этой мощности к.

Далее эта область исследований, которую называют теорией стабильности, развивалась в нескольких направлениях. Одно из направлений — изучение подклассов стабильных теорий, обладающих теми или иными интересными свойствами. С другой стороны, развиваются направления, целью которых является обобщить понятие стабильности, сохраняя при этом те или иные полезные свойства и методы исследования.

Интересное обобщение понятия стабильности было предложено Т.Г. Мустафпным [5], которое было в последствии уточнено до понятия Е* -стабильности Е.А. Палютиным [8]. Так же Е.А. Палютин доказал для этого уточнения теорему об определимости типов, обобщающую как определимость типов для стабильных теорий, полученную С. Шелахом [26], так и результат Т.Нурмагамбетова и Б.Пуаза для теории пар. Понятие Е* -стабильности представляет собой новую шкалу стабильности, основным параметром которой является некоторое отображение типов полной теории в типы другой теории. Частным случаем Е* -стабильности является Р -стабильность.

Основное содержание диссертации.

В данной работе исследуются моноиды 51, над которыми аксиоматизируемый класс всех свободных, проективных или сильно плоских полигонов является примитивно нормальным, а также доказывается, что ни для какого моноида Б указанные аксиоматизируемые классы не являются аддитивными.

Рассматриваются полигоны с (Р, 1) -стабильной теорией. Доказывается критерий (Р, 1) -стабильности полигона. В качестве следствия, при условии, что Б - группа доказывается, что полигон является (Р, 1) -стабильным тогда и только тогда, когда $ - конечная группа. Показывается, что класс всех полигонов над моноидом $ является (Р, 1) -стабильным тогда и только тогда, когда $ - одноэлементный моноид. Приводятся критерии (Р, 1) -стабильности полигонов над моноидами правых и левых нулей.

Изучаются вопросы (Р, в) -, (Р, а) - и (Р, е) -стабильности полиго-

нов. Доказывается, что (Р, s) -, (Р, а) - и (Р, е) -стабильность класса всех полигонов над моноидом S эквивалентна тому, что S - группа. Кроме того, дается описание строения (Р, s) -, (Р, а) - и (Р, е) -стабильных полигонов sA над счетным моноидом S левых нулей и, при условии неразличимости множества А \ SA, над моноидом правых нулей.

Цели и задачи данной работы заключаются в изучении строения моноидов с точки зрения теоретико-модельных свойств классов полигонов над ними, в частности, классов свободных, проективных, сильно плоских полигонов; исследование таких свойств этих классов, как примитивная нормальность, аддитивность, Р -стабильность.

Методы исследования. В работе используются классические методы теории моделей такие, как теорема компактности, теория категоричности, а также методы теории полигонов.

Новизна и научная значимость работы. Результаты диссертации являются новыми и носят теоретический характер. Они могут быть использованы в теоретико-модельной алгебре, в теории полигонов, при чтении спецкурсов по теории моделей, написании учебных пособий и монографий.

Апробация работы. Результаты диссертации излагались автором на семинарах Института математики СО РАН (г. Новосибирск), Института прикладной математики ДВО РАН (г. Владивосток), Дальневосточного федерального университета (г. Владивосток), а также на следующих конференциях: международной конференции "Мальцевские чтения" (г. Новосибирск, 2012, 2015), региональной научно-практической конференции студентов, аспирантов и молодых учёных по естественным наукам (г. Владивосток, 2013, 2015).

Публикации. Результаты автора по теме диссертации опубликованы в работах [30-38], при этом работы [30, 31, 35] опубликованы в издании, которое входит в перечень ВАК российских рецензируемых научных журналов, в которых должны быть опубликованы основные результаты диссертаций на соискание учёных степеней доктора и кандидата наук, а так же индексируемом в наукометрических системах (SCOPUS и т.д.). Ра-

боты [31, 32] написаны в неразрывном сотрудничестве со Степановой A.A.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трёх глав и списка литературы. Все утверждения занумерованы двойками индексов, из которых первый является номером главы, второй -номером утверждения в данной главе. Компьютерный набор выполнен с использованием пакета I^-T^X. Общий объем диссертации 59 страниц. Библиография включает в себя 42 наименование.

Содержание работы

Первая глава работы посвящена исследованию свойств примитивной нормальности и аддитивности на классах свободных, проективных и сильно-плоских полигонов. В первом параграфе первой главы приведены некоторые определения, а так же известные факты, которые будут использоваться для формулировки и доказательства основных результатов.

Свободным полигоном над множеством X называется полигон такой, что для любого полигона 5Л и отображения в : X —>• А существует единственный »^-морфизм в : Р —>• А, для которого гв = в, где % : X —>• Р - вложение. Через Тг обозначается класс всех свободных полигонов. Известно, что полигон ^Р является свободным тогда и только тогда, когда он изоморфен копроизведению полигонов вида 5б'.

Проективным полигоном называется полигон $Р такой, что для любых полигонов и ^М и 5 -морфизмов (р : N —>• М, ф : Р —>• М, где (р - сюръекция, существует »^-морфизм % : Р —>• N такой, что Ф = Ф ° Х- Через V обозначается класс всех проективных полигонов. Известно, что полигон ^Р является проективным тогда и только тогда, когда он изоморфен копроизведению полигонов вида ^е, где е - идем-потент моноида Б.

Сильно плоским полигоном называется полигон вВ такой, что функтор — (8) б В сохраняет универсальные квадраты. Через БТ7 обозначается класс всех сильно плоских полигонов. Стенстрём сформулировал условия (Р) и (Е), которые вместе эквивалентны сильной плоскости полигона.

Предложение 1.1 Полигон 5В является сильно плоским тогда и только тогда, когда удовлетворяет условиям (Р) и (Е):

(Р): если х,у <Е В ы 6 5 такие, что вх = то существуют элементы г Е В и з', Е такие, что х = в'г, у = Ь'г и ее' = И';

(Е): если х <Е В и Е б" такие, что вх = то существуют г Е В и в' Е $ такие, что х = в'г и ее' = Ьв'.

Пусть С - достаточно насыщенная модель полной теории Т языка L, элементарно содержащая все рассматриваемые модели теории Т. Формула вида

где Ф^ - атомарные формулы (0 < г < к), называется примитивной формулой. Множество Ф(С, а) называется примитивным, где a G С. Множества Ф(С, а) и Ф(С, 6) называются примитивными копиями, где a,b € С и \а\ = |6|. Теория Т называется примитивно нормальной, если X = Y или X П У = 0 для любых примитивных копий X, У. Аксиоматизируемый класс К структур языка L называется примитивно нормальным, если теория этого класса примитивно нормальна.

Эквивалентность а на некотором множестве X п -ок элементов из С, определенная в С с помощью некоторой примитивной формулы Ф(ж1,ж2), называется примитивной эквивалентностью. Множество X называется А -примитивным, если оно является пересечением примитивных множеств. Эквивалентность а называется А-примитивной, если она является пересечением примитивных эквивалентностей. Классы X и Y одной А -примитивной эквивалентности а называются А -примитивными копиями. Множество вида X = X*/а = {а/а \ о, G X*}, где X* - А -примитивное множество, а - примитивная эквивалентность и выполнено X* С dom(o¿), называется обобщенно примитивным множеством, при этом X* называется основой, а а называется образующей эквивалентностью. Обобщенно примитивные множества Х\, Х2 называются обобщенно примитивными копиями, если у них есть общая образующая эквивалентность, а их основы Х£,Х% являются Д-примитивными копиями.

Пусть обобщенно примитивные множества Х\ и Х2 являются обобщенно примитивными копиями и а - их образующая эквивалентность. Говорят, что Х\ аддитивно связано с Х2, если существуют примитивные формулы z, й), Ф(ж, у, d) (с параметрами d), примитивная эквивалентность ¡3 и кортежи элементов 62 такие, что

(a) («П(Х*)2)С/?,ге{1,2};

(b) для любого г £ {1,2} формула Ф(x,y,z,bi) задает в С на X*/(3 абелеву группу причем эта группа нетривиальна, если множество Х\ или Х2 более, чем одноэлементно;

(c) формула 4?(x,y,d) задает изоморфизм групп, определенных в

(Ъ).

Теория Т называется аддитивной, если она примитивно нормальна и любые обобщенно примитивные копии аддитивно связаны. Аксиоматизируемый класс структур К языка L называется аддитивным, если теория этого класса аддитивна.

Во втором параграфе первой главы исследуются моноиды S, над которыми аксиоматизируемый класс всех свободных, проективных или сильно плоских полигонов является примитивно нормальным.

Всюду в данном параграфе класс /С - один из классов: "Р, Tr1 SJ7.

Теорема 1.2 Пусть класс /С - один из классов: V^Tt^ST и /С аксиоматизируемый. Тогда следующие условия эквивалентны:

1) класс /С примитивно нормален;

2) полигон sS примитивно нормален;

3) для любых попарно непересекающихся множеств индексов любых Si,tj,rl,r1,ai,a2,a>3 <Е S (i <Е I,j <Е J,k <Е К), если

sS |= Д SiO,i = SiO,2 А Д tjO,2 = tja3 А Д Д т\а,т = r\am,

iei jeJ keKm£{ 1,2,3}

то существует b G S такой, что

sS |= Д Sid3 = Sib А Д tjb=tjdi А Д rib = rib;

iei jeJ ke к

4) любые примитивные эквивалентности а и (3, определенные на

S, перестановочны, т.е. а о f3 = (3 о а.

В третьем параграфе первой главы доказывается, что классы V^J-r^SJ- не являются аддитивными ни для какого моноида S.

Теорема 1.3 Если аксиоматизируемый класс полигонов аддитивен,

то все полигоны этого класса являются связными

Следствие 1.4 Если аксиоматизируемый примитивно нормальный класс полигонов замкнут относительно копроизведений, то не является аддитивным классом.

Поскольку классы Р, Тг, ЭТ замкнуты относительно копроизведений, то имеет место следующее утверждение.

Следствие 1.5 Пусть /С - один из классов Р, Тг, БТ. Не существует моноида такого, что класс /С является аксиоматизируемым и аддитивным.

Во второй главе изучаются свойства Р -стабильности полигонов. Первый параграф второй главы содержит необходимые сведения для формулировки и доказательства дальнейших результатов.

Пусть Т - теория языка Ь. Через Ь(Х) будем обозначать язык, который получается из языка Ь добавлением множества X в качестве множества новых констант. Через Т(Х) будем обозначать следующее множество формул языка Ь(Х) :

{(р{а) | а Е X, С |= (р(а), — формула языка Ь].

Ясно, что Т(Х) будет полной теорией языка Ь(Х).

Пусть язык Ьр получается из языка Ь добавлением нового одноместного предикатного символа Р, А — некоторое множество предложений языка Ьр. Теория Т называется Рд -стабильной в мощности Л, если для любого множества X в теории Т мощности ^ Л множество

ТА{Х) = Т{Х) и {Р{а) | а Е X} и А (1)

имеет не более Л пополнений в языке (Ь(Х))р. Теория Т называется Рд -стабильной, если Т является Рд -стабильной в некоторой бесконечной мощности Л. Структура А языка Ь называется Рд -стабильной, если теория ТН(А) является Рд -стабильной. Класс структур языка Ь называется Рд -стабильным, если каждая структура этого класса является Рд -стабильной. Ниже приведем важные случаи Рд -стабильности.

1) Теория Т называется (Р, 1) -стабильной, если она является Рд -стабильной для А = 0.

2) Теория Т называется (Р, s) -стабильной, если она является Рд -стабильной для множества А, состоящего из предложений, выражающих замкнутость предиката Р относительно функций, определимых функциональными символами языка L.

3) Теория Т называется (Р, а) -стабильной, если она является Рд -стабильной для множества А, состоящего из предложений, выражающих тот факт, что предикат Р является алгебраически замкнутым множеством, т.е. содержит все конечные множества, определимые в структуре С формулами языка L с параметрами из предиката Р.

4) Теория Т называется (Р, е) -стабильной, если она является Рд -стабильной для множества А, состоящего из предложений, выражающих тот факт, что предикат Р является элементарной подсистемой.

Во втором параграфе второй главы доказывается критерий (Р, 1) -стабильности полигонов.

Теорема 2.1 Полигон sA является (Р, 1) -стабильным тогда и только тогда, когда для любого t G S множество

tA\{a G А | ta = a} U {а G А | ta = а Л 3b(tb = а Л b ф- а)}

конечно.

Следствие 2.2 Пусть sA = |_| sAi, |/| > 2, где sAi - компонен-

Ш

ты связности полигона sA. Полигон sA является (Р, 1) -стабильным тогда и только тогда, когда для любого г G / полигоны sAi являются (Р, 1) -стабильными и для любого t G S

|{i G / | За G Ai{ta ф- а)}| < и.

Следствие 2.3 Пусть S - группа. Полигон sS является (Р, 1) -стабильным тогда и только тогда, когда S - конечная группа.

Следствие 2.4 Класс S — Act является (Р, 1) -стабильным тогда и только тогда, когда l^l = 1.

Во третьем параграфе второй главы исследуются полигоны с (Р, s) -

, (Р, а) - и (Р, е) -стабильными теориями.

Теорема 2.5 Для моноида Б следующие условия эквивалентны:

1) класс Б — ЛсЬ всех полигонов (Р, в)-стабилен;

2) класс Б — есегг полигонов (Р, а) -стабилен;

3) класс Б — есегг полигонов (Р, е) -стабилен;

4) Б - группа.

В первом параграфе третьей главы исследуются свойства Р -стабильности полигонов над моноидами левых нулей.

Моноид называется моноидом левых нулей, если для любых а, Ъ Е 51 выполняется а • Ь = а.

Следствие 3.1 Пусть Б - моноид левых нулей. Полигон ^Л ле-ляется (Р, 1) -стабильным тогда и только тогда, когда число неодноэлементных компонент связности полигона ^Л конечно.

Через Б обозначим полугруппу Б \ {1}. Для полигона ^Л = У^/а ^Лг, где 51 Л^ - компонента связности полигона ^Л (г Е Р4) , введем обозначения:

I? = {ге1А Ш > ш}, = {г е \ I?) I 0 < \ 5А,\ < и},

Теорема 3.2 Пусть Б - счетный моноид левых нулей. Полигон 5Л является (Р, з) -стабильным тогда и только тогда, когда

1) \1£1М£\<и;

2) существует ггеш такой, что |Л^| < п для любого г Е ;

3) для любого о, Е Пге/А ^ существуют т Е а;, £ подмножества «То,..., <7т множества I^ такие, что = ^и.. .и«7т и Ька{]) = а{]) для любых к, 0 < к < т и j Е Jk^

Теорема 3.3 Пусть Б - счетный моноид левых нулей. Следующие условия эквивалентны:

1) полигон 51 Л является (Р, е) -стабильным;

2) полигон 51 Л является (Р, а) -стабильным;

Ю \Ii~l < ^ м существует п <Е и такой, что |Л^| < п для любого

г е /2Л и Р1.

Так же в этом параграфе приводится пример (Р, в) -стабильного полигона над моноидом левых нулей, который не является (Р, 1) -стабильным.

Во втором параграфе третьей главы исследуются свойства Р -стабильности полигонов над моноидами правых нулей.

Моноид Б называется моноидом правых нулей, если для любых а, Ъ Е Б выполняется а • Ъ = Ь.

Пусть ^ Л - полигон над моноидом правых нулей. Обозначим Уд = {у Е Л | ву = у для всех 5 Е 51}, Ха = Л \ Уд.

Утверждение 3.4. Пусть Б - моноид правых нулей. Полигон ^Л является (Р, 1) -стабильным тогда и только тогда, когда для любого £ Е Б выполняется \ £ • Уд | < ш .

Пусть Л - структура языка Р, X - подмножество множества Л, строго линейно упорядоченное отношением <, которое может быть одним их принадлежащих языку Ь отношений, а может и не быть им. Множество элементов X называется неразличимым в Л (по отношению к упорядочению < ), если Л({хо,..., хп}) = А({уо, • • •, Уп}) Для всех п и для любых последовательностей х\ < ... < хп и у\ < ... < уп из множества X.

Теорема 3.5 Пусть ^Л - полигон над моноидом правых нулей и множество Ха неразличимо в ^Л. Следующие условия эквивалентны:

1) полигон 51 Л является (Р, 1) -стабильным;

2) полигон 51 Л является (Р, в) -стабильным;

3) \ЬХа\ < и для любого £ Е

Теорема 3.6 Пусть ^Л - полигон над моноидом правых нулей, множество Ха неразличимо в ^Л. Тогда полигон ^Л является (Р, а) -стабильным.

1 Свободные, проективные и сильно плоские полигоны с примитивно нормальными и аддитивными теориями

В данной главе исследуются моноиды S, над которыми аксиоматизируемый класс всех свободных, проективных и сильно плоских полигонов является примитивно нормальным. Доказывается, что ни для какого моноида S классы свободных, проективных и сильно плоских полигонов не являются аддитивными.

1.1 Предварительные сведения

Напомним необходимые в дальнейшем сведения из теории полигонов, которые можно найти в [19].

Пусть S - моноид, А / 0 - множество. Левым полигоном sA над моноидом S или просто полигоном называется структура языка Ls = {t | t £ S} с носителем А, причем для любых s,t £ S,a £ А выполняется:

1) s(ta) = (st)a;

2) еа = а,

где е - единица моноида S. Два элемента а, b полигона sA называются связанными, если существуют со,..., сп £ A, sо, • • • sn_i, ¿i,... tn £ S такие, что

о\ = Со, SÍCÍ = сп = 6,

где 0 < i < п — 1. Максимальный по включению подполигон полигона, в котором любые два элемента являются связанными, называется компонентой связности полигона. Копроизведением Ц^е/ sAí полигонов sAí называется их дизъюнктное объединение. Через S — Act обозначается класс всех полигонов над моноидом S. Пусть sA - полигон, В С А,Ь £ A,t £ S. Введем обозначения: t~xB = {а £ А \ ta £ B},t~1b =

Конгруэнцией Риса подполигона полигона ^Л называется конгруэнция следующего вида: рв = {(а, о) | а Е Л} и {(&, с) | Ь, с Е Л}

Пусть ^Л, ^Р - полигоны. Отображение 0 : А —>• В называется Б -морфизмом, если в (в а) = ев (а) для любых о, Е Л, 5 Е Б. Полигон называется свободным над множеством X, если для любого полигона 51 Л и отображения в : X А существует единственный Б -морфизм в : Р —>• Л такой, что гв = где г : X —>• Р есть вложение, т.е. коммутативна следующая диаграмма:

/

* / -

I > 0 ^Л

Через .7-У обозначим класс всех свободных полигонов.

Предложение 1.1. [1] Полигон ^Р является свободным над множеством X тогда и только тогда, когда ^Р = |_1ж<ех где -копия полигона .

Проективным полигоном называется полигон ^Р такой, что для любых полигонов и зМ и Б -морфизмов (р : N —>• М, ф : Р —>■ М, где <£> - сюръекция, существует 51-морфизм % : Р —>• ТУ такой, что Ф = Ф ° т-е- коммутативна следующая диаграмма:

5

/

X / /

> У

Р

4>

Через Р обозначим класс всех проективных полигонов.

Предложение 1.2. [1] Полигон ^Р является проективным тогда и только тогда, когда ^Р = Ц^ вБе,^ где I ф 0, е^ - идемпотент моноида Б для всех г Е I.

Пусть ^Л и ^Р полигоны, # - конгруэнция на полигоне ^Л х ^Р, порожденная всевозможными парами вида ((ва, 6), (а, зб)), где а Е Л, Ь Е

6 5. Тензорным произведением политопов зА и зВ называется полигон ,дЛ <£) зВ = (5Л х $В)/6. Класс конгруэнции 0 с представителем (а, Ъ) обозначается через о, <%) Ь. Сильно плоским полигоном называется полигон зЯ такой, что функтор — <%> б Я сохраняет универсальные квадраты, т.е. если коммутативная диаграмма следующего вида:

sN

Ф

<р

v

s

В

«2

I

+ sP

V

является универсальным квадратом, то диаграмма

/

ч>

sN®sQ

Ф'

s

В

s

Q

s A (g) SQ

sP®sQ

так же является универсальным квадратом, где ip'(n <%i q) = ip(n) (g q, ф'(п (g) q) = ф(п) (g) q, i[(a q) = ii(a) (g) q, i'2(b ® q) = ¿2(6) <8> q для всех q <E Q,n N,a <E A,b <E В. Через SJ7 обозначим класс всех сильно плоских полигонов. Существенный вклад в развитие теории плоских полигонов внес Стенстрём, сформулировавший условия, в настоящее время известные как условия (Р) и (Е), которые вместе эквивалентны сильной плоскости полигона.

Предложение 1.3. [27] Полигон бВ является сильно плоским тогда и только тогда, когда вВ удовлетворяет условиям (Р) и (Е):

(Р): если х,у <Е В и Е б" такие, что вх = то существуют элементы г Е В и з', Е такие, что х = в'г, у = Ь'г и ее' = И';

(Е): если х Е В и Е б" такие, что вх = то существуют г Е В и в' £ в такие, что х = в'г и ее' = Ьв'.

Напомним необходимые в дальнейшем сведения из теории моделей, которые можно найти в [14].

Пусть С - насыщенная модель полной теории Т языка L. элементарно содержащая все рассматриваемые модели теории Т. Все элементы, кортежи элементов и множества берутся из модели С. Кортежи элементов (ai,..., ап) и кортежи переменных (х\,..., хп) обозначаются, соответственно, через а и х. Вместо а Е Ап будем использовать запись а Е А, где А С С. Пусть s - кортеж элементов. Через |s| обозначим длину кортежа s, через s(i) - i -й элемент кортежа s. Если Ф(х,у) - формула языка L, \х\ = п, ЛСС, а - кортеж элементов, причем |а| = \у\, то через Ф(А, а) обозначается множество {b Е А | С \= Ф(Ъ,а)}. Через Qx$(х,у) обозначается формула Q\X\... Qnxn${x, у), где Qí Е {V, 3} для всех г Е {1,..., п}. Формула вида

Зж(Ф0А---АФй),

где Ф^ - атомарные формулы (0 < г < к), называется примитивной формулой. Пусть Ф(х,у) - примитивная формула языка L, а - кортеж элементов, причем \а\ = \у\. Множество Ф(С,а) называется примитивным. Если b - кортеж элементов и \Ь\ = \у\, то множества Ф(С,а) и Ф(С,Ь) называются примитивными копиями.

Теория Т называется примитивно нормальной, если X = Y или X П Y = 0 для любых примитивных копий X, Y. Аксиоматизируемый класс К структур языка L называется примитивно нормальным, если теория этого класса примитивно нормальна.

Эквивалентность а на некотором множестве X п -ок элементов из С, определенная в С с помощью некоторой примитивной формулы Ф(ж1,ж2), называется примитивной эквивалентностью. Область определения X такой эквивалентности а определяется в С примитивной формулой Ф(х,х), и обозначается через doma. Если a Е X, то через а/а будем обозначать класс эквивалентности а с представителем а.

Множество X называется А-примитивным, если существует такое семейство S примитивных множеств, что

х = I Y е Я 18

Эквивалентность а называется А-примитивной, если существует такое множество Е примитивных эквивалентностей, что

а = Г> I Р е Е}.

Классы X и У одной А -примитивной эквивалентности а называются А-примитивными копиями. Множество вида X = X*/а = {а/а \ а £ X*}, где X* - А-примитивное множество, а - примитивная эквивалентность и выполнено X* С с1от(а), называется обобщенно примитивным множеством, при этом X* называется основой, а а называется образующей эквивалентностью. Обобщенно примитивные множества Х\, называются обобщенном примитивными копиями, если у них есть общая образующая эквивалентность, а их основы Х^, являются А -примитивными копиями.

Пусть обобщенно примитивные множества Х\ и Х2 являются обобщенно примитивными копиями и а - их образующая эквивалентность. Говорят, что Х\ аддитивно связано с Х2, если существуют примитивные формулы Ф(х,у,г,й), Ф(ж, у, б) (с параметрами б), примитивная эквивалентность ¡3 и кортежи элементов 61, 62 такие, что

Заключение диссертации по теме «Математическая логика, алгебра и теория чисел», Птахов, Денис Олегович

4 Заключение

В работе доказано, что примитивная нормальность классов всех свободных, проективных или сильно плоских полигонов над моноидом Б эквивалентна примитивной нормальности полигона • Доказано, что в аксиоматизируемом, аддитивном классе полигонов все полигоны являются связными. Отсюда непосредственно следует, что аксиоматизируемые классы всех свободных, проективных и сильно плоских полигонов не являются аддитивными ни для какого моноида Б .

В работе дано алгебраическое описание полигонов с (Р, 1) -стабильной теорией. В качестве следствия для группы Б доказано, что полигон является (Р, 1) -стабильным только, если Б - конечная группа. Показано, что класс всех полигонов над моноидом Б не является (Р, 1) -стабильным для нетривиального моноида Б . Доказывано, что (Р, в) -, (Р, а) - и (Р, е) -стабильность класса всех полигонов над моноидом Б эквивалентна тому, что Б - группа. Полученные результаты применены для описания строения полигонов с (Р, 1)-, (Р, в) -, (Р, а) - и (Р, е) -стабильными теориями над моноидами правых и левых нулей.

В дальнейшем представляют интерес исследования строения моноидов, над которыми классы свободных, проективных и сильно плоских полигонов обладают свойствами примитивной связности и Р -стабильности.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Птахов, Денис Олегович, 2018 год

Список литературы

[1] Гоулд В., Михалев A.B., Палютин Е.А., Степанова A.A. Теоретико-модельные свойства свободных, проективных и плоских S -полигонов // Фунд. прикл. матем. 2008. Т. 14. №7. С.63-110.

[2] Ершов Ю.Л., Палютин Е.А. Математческаая логика // Физматлит. М. 2011. 6-е изд.

[3] Кейслер Г., Чен Ч Теория моделей // Мир. М. 1977.

[4] Кильп М. К гомологической классификации моноидов // Сиб. мат. журн. 1972. Т.13. т. С.578-586.

[5] Мустафин Т.Г. Новые понятия стабильности теорий // Труды советско-французского коллоквиума по теории моделей. Караганда. 1990. С.112-125.

[6] Мустафин Т.Г. О стабильностной теории полигонов // Теория моделей и ее применение.- Новосибирск: Наука. Сиб. отд-е, - (Тр.АН СССР. Сиб.отд-е. Ин-т математики; Т.8) 1988. Т.8. С. 92-108.

[7] Палютин Е.А. Примитивно связные теории // Алгебра и логика. 2000. Т.39. №2. С.145-169.

[8] Палютин Е. А. Е* -стабильные теори // Алгебра и логика. 2003. Т.42. №2. С.194-210.

[9] Русалеев М.А. Характеризация (Р, 1) -стабильных теорий // Алгебра и логика. 2007. Т.52. №5. С.606-631.

[10] Скорняков Л.А. О гомологической классификации моноидов // Сиб. мат. журн. 1969. Т.10. №5. С.1139-1143.

[11] Степанова A.A. Аксиоматизируемость и полнота некоторых классов S-полигонов // Алгебра и логика. 1991. Т.З. №5. С.583-594.

[12] Степанова А.А. Моноиды со стабильными плоскими полигонами // Вестник НГУ, серия: математика, информатика, механика. 2002. Т.2. вып. 2. С. 64-77.

[13] Степанова А.А. Примитивно связные и аддитивные теории полигонов // Алгебра и логика. 2006. Т.45. №3. С.300-313.

[14] Степанова А.А. Полигоны с примитивно нормальными и аддитивными теориями // Алгебра и логика. 2008. Т.47. №4. С.491-508.

[15] Степанова А.А. Регулярные полигоны с примитивно связными теориями // Сибирский математический журнал. 2014. Т.55, Ш 3. С. 666-671.

[16] Халиуллина А.Р. Условия модулярности решетки конгруэнций полигона над полугруппой правых и левых нулей / / Дальневосточный математический журнал. 2015. Т. 15, № 1. С. 102-120.

[17] Вulman-Fleming S., Gould V. Axiomatisability of weakly flat, flat and projective S-acts // Preprint.

[18] Gould V. Axiomatisability problems for S -systems //J. London Math. Soc. 1987. V.35. №2. P.193-201.

[19] Kilp M., Knauer U., Mikhalev A.V. Monoids, acts and categories.// Walter de Gruyter. Berlin. 2000.

[20] Kilp M., Knauer U. Characterization of monoids by properties of regular acts // J. of Pure and Applied Alg. 1987. V.2. №35. P.193-201.

[21] Knauer U., Mihalev A.V. Wreath products of acts over monoids: I. Regular and inverse acts // J. of Pure and Applied Algebra. 1988. V.51. P.251-260.

[22] Morley M.B. Categoricity in power // Trans. A.M.S. 1965. V.114 P.514-538.

[23] Palyutin E.A. Additive theory // Proceedings of Logic Colloquium'98 (Lecture Notes in Logic, 13), ASL, Massachusetts. 2000. P.352-356.

[24] Ryll-Nardzewski C. On the Categoricity in Power ^ Ho // Bull. Acad. Pol. Sci. Ser. Math. Astr. Phys. 1959. V.7 P.545-548.

[25] Shelah S. Stable theories // Israel J. Math. 1969. V.7 P.187-202.

[26] Shelah S. Classification theory and the number of non-isomorphic models // Amsterdam: North-Holland. 1978.

[27] Stenstrom B. Flatness and localization over monoids // Math. Nachr. 1971. V. 48 P.315-334

[28] Tran L.H. Characterization of monoid by regular acts // Period. Math. Hungar. 1985. V.16. P.273-279.

[29] Vaught R. L. Models of complete theories // Bull. Amer. Math. Soc. 1963. V.69 P.299-313.

Список работ автора по теме исследования

[30] Птахов Д. О. Полигоны с (Р, 1) -стабильной теорией // Алгебра и логика. 2017. Т.56. №6. С.712-720.

[31] Птахов Д. О., Степанова A.A. Р -стабильные полигоны // Алгебра и логика. 2017. Т.56. №4. С.486-505.

[32] Птахов Д. О., Степанова A.A. (Р, s) - и (Р, е) -стабильные полигоны // Международная конференция "Мальцевские чтения". Новосибирск. 2015. С. 198.

[33] Птахов Д. О. Полигоны с (Р, 1)-стабильной теорией // Международная конференция "Мальцевские чтения". Новосибирск. 2015. С.196.

[34] Птахов Д. О. Полигоны над моноидами правых нулей с (Р, 1)-стабильной теорией / / Материалы региональной научно-практической конференции студентов, аспирантов и молодых учёных по естественным наукам. Владивосток. 2015. С.160.

[35] Птахов Д. О. Примитивная нормальность и аддитивность свободных, проективных и сильно плоских полигонов // Алгебра и логика. 2014. Т.53. №5. С.614-624.

[36] Птахов Д. О. Полигоны с (Р, 1) -стабильной теорией // Материалы региональной научно-практической конференции студентов, аспирантов и молодых учёных по естественным наукам. Владивосток. 2013. С.147.

[37] Птахов Д. О. Об аддитивности некоторых классов полигонов // Международная конференция "Мальцевские чтения". Новосибирск. 2012. С.145.

[38] Птахов Д. О. Примитивная нормальность сильно плоских полигонов // Синтаксис и семантика логических систем. Иркутск. 2012. С.102 103.

Другие публикации работ автора

[39] Птахов Д.О., Степанова A.A. Решетки конгруэнций полигонов // Дальневосточный математический журнал. 2013. Т. 13. №1. С. 107115.

[40] Птахов Д. О. Решетки конгруэнций полигонов // Международная конференция "Мальцевские чтения". Новосибирск. 2011. С.88.

[41] Птахов Д. О. Решетки конгруэнций несвязных полигонов // Вторая Дальневосточная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых по теоретической и прикладной математике: материалы конференции. Владивосток. 2010. С. 19.

[42] Птахов Д. О. Решетки слабых конгруэнций унарных алгебр // Материалы III российской школы-семинара Синтаксис и семантика логических систем. Иркутск. 2010. С.83-85.