Теоретико-модельные свойства группоидов с условиями абелевости и нормальности тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат физико-математических наук Трикашная, Наталия Вячеславовна

• Трикашная, Наталия Вячеславовна
• кандидат физико-математических наук
• 2011

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Трикашная, Наталия Вячеславовна

Содержание

Введение

1 Предварительные сведения

1.1 Сведения из универсальной алгебры

1.2 Сведения из теории моделей

2 Группоиды с абелевыми и гамильтоновыми теориями

2.1 Абе левы и гамильтоновы группоиды с единицей и квазигруппы

2.2 Абелевы, сильно абелевы и гамильтоновы полугруппы

3 Абелевы и гамильтоновы многообразия группоидов

3.1 Абелевы и гамильтоновы многообразия полугрупп

3.2 Абелевы и гамильтоновы многообразия группоидов с единицей

и квазигрупп

4 Группоиды с примитивно нормальными и аддитивными теориями

4.1 Полугруппы с примитивно нормальными и аддитивными теориями

4.2 Группоиды с единицей и квазигруппы с примитивно нормальными и аддитивными теориями

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Теоретико-модельные свойства группоидов с условиями абелевости и нормальности»

Введение

Тема диссертации относится к теоретико-модельной алгебре. Предметом исследования являются группоиды, а именно, полугруппы, группоиды с единицей и квазигруппы. С помощью современного арсенала теории моделей и методов универсальной алгебры изучаются такие свойства этих группоидов, как абелевость, гамильтоновость, примитивная нормальность и аддитивность.

Понятие абелевости для алгебр было введено R. McKenzie [30] как обобщение понятия абелевой группы. Легко понять, что группа является абелевой алгеброй тогда и только тогда, когда она коммутативна. Также нетрудно показать, что унарные алгебры и модули являются абелевыми алгебрами. Абелевы алгебры изучались в работах Н. Werner, W. Lampe, D. Hobby, R. McKenzie, M. Valeriot, R. Freese, C. Herrman, J. Shapiro и др. (см.[47, 29, 18, 19, 40, 21, 24, 37]). Абелевы алгебры сыграли важную роль в развитии теории коммутаторов [21], в исследованиях, связанных с функционально полными алгебрами [47]. Абелевы группоиды исследовались в работах W. Taylor, R. McKenzie, R. Warne, E.B. Овчинниковой (см. [39, 31, 43, 44, 45, 6]). В [6] E.B. Овчинниковой приводится описание абелевых группоидов (А,-), для которых |Л-Л|<3. В [31] R. McKenzie дается характеризация конечных абелевых полугрупп. R. Warne в [43, 44] приводит полное описание структуры абелевых полугрупп, в частности, описывает полу простые, квазирегулярные, периодические абелевы полугруппы.

Понятие сильной абелевости появилось в работе R. McKenzie [32] при

описании конечных алгебр с определенным типом решеткок конгруэнций. Примером сильно абелевых алгебр являются унарные алгебры. Результаты R. McKenzie, связанные с понятиями абелевой и сильно абелевой алгебры, явились толчком для развития теории ручных конгруэнций, являющейся основным инструментом исследования конечных алгебр.

Понятие гамильтоновости для алгебр было введено В. Csakany [20] и К. Shoda [38]. Оно является обобщением понятия гамильтоновой группы. Гамильтоновы алгебры изучались в работах R. McKenzie, Е. Kiss, М. Valeri-ote, J. Garcia (см.[26, 27, 33, 22]). В работе [26] Е. Kiss и М. Valeriote показали, что если декартов квадрат алгебры гамильтонов, то сама алгебра абелева.

В данной работе описаны абелевы, сильно абелевы и гамильтоновы конечные квазигруппы и группоиды с единицей. Охарактеризованы абелевы полугруппы с условием минимальности всех односторонних главных идеалов, сильно абелевы полугруппы и гамильтоновы полугруппы с условием абелевости.

Абелевы, сильно абелевы и гамильтоновы многообразия алгебр изучались в работах таких математиков, как D. Hobby, R. McKenzie, Е. Kiss, М. Valeriot, L. Klukovits (см.[18, 33, 35, 34, 25, 26, 27, 42, 23, 28]). В [27] Е. Kiss и М. Valeriot показали, что если конечная алгебра порождает сильно абелевое многообразие, то она гамильтонова. В [26] эти же авторы доказали, что если многообразие гамильтоново, то оно абелево. В [40] М. Valeriot показал, что если конечная простая алгебра абелева, то она гамильтонова. В [26] Е. Kiss и М. Valeriot показали, что для локально конечного многообразия свойства абелевости и гамильтоновости эквивалентны.

Нами дана характеризация конечных квазигрупп, группоидов с единицей и полугрупп, порождающих абелевы, сильно абелевы и гамильтоновы многообразия.

Примитивно нормальные и аддитивные теории изучались Е.А. Палютиным в [7, 36]. Эти теории являются обобщением теории модулей. Как и теория модулей, данные теории допускают элиминацию кванторов до примитивных формул. В аддитивных теориях, являющихся по определению примитивно нормальными, на факторах любых примитивных копий по некоторой примитивной эквивалентности можно определить с помощью примитивной формулы изоморфные абелевы группы. Это свойство аддитивных теорий обобщает известное свойство модулей: в любом модуле примитивные копии являются классами смежности некоторой абелевой группы.

В данной работе описаны квазигруппы, группоиды с единицей и полугруппы с примитивно нормальными и аддитивными теориями.

В работе получены следующие основные результаты:

- описаны абелевы группоиды с единицей, абелевы конечные квазигруппы и абелевы полугруппы с условием минимальности всех односторонних главных идеалов (теоремы 2.1, 2.8, 2.18);

- дана характеризация гамильтоновых группоидов с единицей и полугрупп при условии абелевости этих алгебр; доказано, что конечная абелева квазигруппа является гамильтоновой алгеброй, (теоремы 2.5, 2.23, 2.11);

- описаны полугруппы, группоиды с единицей и квазигруппы,

порождающие абелевы, сильно абелевы и гамильтоновы многообразия (теоремы 3.1, 3.2, 3.3, 3.6, следствия 3.4, 3.7);

- дана характеризация полугрупп, группоидов с единицей и квазигрупп с примитивно нормальными и аддитивными теориями (теоремы 4.2, 4.5, 4.6, 4.7)

Результаты диссертации являются новыми и носят теоретический характер. Они могут быть использованы в теоретико-модельной алгебре, в универсальной алгебре, при чтении спецкурсов по теории моделей и универсальной алгебре, написании учебных пособий и монографий.

Результаты диссертации излагались автором на семинарах Института математики СО РАН (г. Новосибирск), Института прикладной математики ДВО РАН (г. Владивосток), Дальневосточного федерального университета, а также на следующих международных конференциях и школах-семинарах: Российская школа-семинар "Синтаксис и семантика логических систем" (Владивосток, 2008), Международная конференция "Мальцевские чтения" (Новосибирск, 2009), Международная конференция "Мальцевские чтения" (Новосибирск, 2010), Российская школа-семинар "Синтаксис и семантика логических систем" (Иркутск, 2010), Международный алгебраический симпозиум (Москва, 2010), Международная конференция "Мальцевские чтения" (Новосибирск, 2011), Дальневосточная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых по теоретической и прикладной математике (Владивосток, 2011).

Основные результаты по теме диссертации опубликованы в работах [9, И, 12, 16].

Перейдем к более подробному изложению содержания диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав и библиографии.

В первой главе приводятся необходимые для дальнейшего сведения из универсальной алгебры и теории моделей.

В первом параграфе второй главы дается описание абелевых, сильно абелевых и гамильтоновых квазигрупп и группоидов с единицей.

Алгебра называется абелевой, если для любой полиномиальной операции ¿(ж, у\,..., уп) и любых элементов и, V, с\,..., сп, ¿1,..., дп алгебры из равенства ..., сп) = ..., дп) следует

¿(/и, С1,..., сп) = ¿(г>, (¿1,..., йп). Алгебра называется сильно абелевой, если для любой полиномиальной операции ¿(ж, г/1,..., уп) и любых элементов а, 6, е, с\,..., сп, ¿1,... , йп алгебры из равенства ¿(а, ..., сп) = ¿(6, ¿1,..., следует ¿(е, С1,..., сп) = ¿(е, ¿1,..., в,п). Алгебра называется гамилътоновой, если любая ее подалгебра является классом некоторой конгруэнции алгебры.

Теорема 2.1. Пусть (А;-) - группоид с единицей. Группоид {А; •) является абелевой алгеброй тогда и только тогда, когда (Л; •) -коммутативная полугруппа, такая что для любых а,Ь Е А уравнение а ■ х = Ь имеет не более одного решения в (А] ■).

Утверждение 2.3. Группоид с единицей (Л, •} сильно абелев тогда и только тогда, когда |Л| = 1.

Теорема 2.5. Пусть (Л; •} - абелев группоид с единицей. Группоид (Л; •) является гамильтоновой алгеброй тогда и только тогда, когда (Л; •) - периодическая абелева группа.

Пусть {А\ •) - квазигруппа, а Е А. Введем обозначения (см. [1]):

Ra(x) = x-a, La(x) = a-x, х + у = R~l(x) ■ L~l{y).

Ясно, что Ra{x) и Ьа(х) - перестановки множества А, (А; +) -квазигруппа с нейтральным элементом а-а и равенства ra(x) +а = R~х(х), la(x) + a, = L~l(x) определяют перестановки га(х) и 1а(х) множества А.

Теорема 2.8. Пусть {А; •) - конечная квазигруппа, а Е А. Квазигруппа (А; •) является абелевой алгеброй тогда и только тогда, когда

(1) [А] +) - абелева группа,

(2) перестановки га(х) и 1а(х) являются автоморфизмами (Л; +). Утверждение 2.9. Квазигруппа (А, •) сильно абелева тогда и только

тогда, когда \А\ = 1.

Теорема 2.11. Любая конечная абелева квазигруппа является гамильтоновой алгеброй.

Во втором параграфе второй главы изучаются абелевы, сильно абелевы и гамильтоновы полугруппы с условием минимальности всех односторонних главных идеалов. В работах Warne R.J. [43, 44] описаны абелевы полугруппы. Для доказательства теорем 2.21 и 2.23, дающих характеризацию сильно абелевых и гамильтоновых полугрупп, достаточно описать абелевы полугруппы с условием минимальности всех односторонних

главных идеалов.

Полугруппа (А; ■) называется прямоугольной связкой полугрупп, если существует семейство {Ai\ | i £ I, \ £ А}, являющееся разбиением множества А, причем (Дд;-) - подполугруппы полугруппы (А;-) и для любых г £ /, А,/2 € Л выполняется включение А{\ • А^^ С Ащ . Полугруппа (А; •) называется раздуванием полугруппы (В; •}, если существует разбиение {Ха | а £ В} множества А такое, что а £ Ха и ху = аЪ для любых а,Ь Е В,х £ Ха,у £ Хь. Полугруппа [А]-) называется периодической, если для любого а £ А существуют п,т £ и,п > т, такие что ап — ат .

Теорема 2.18. Пусть все односторонние главные идеалы полугруппы (Л, •} минимальны. Тогда полугруппа (А, •) является абелевой алгеброй в том и только в том случае, когда (А, •) - раздувание прямоугольной связки абелевых групп и произведение идемпотентов из А является идемпотентом из А.

Теорема 2.21. Полугруппа (А, •} является сильно абелевой алгеброй тогда и только тогда, когда (А, •) - раздувание прямоугольной связки идемпотентов.

Теорема 2.23. Абелева полугруппа (А, •) является гамильтоновой алгеброй тогда и только тогда, когда (А, •) - раздувание прямоугольной связки периодических абелевых групп и произведение идемпотентов из А является идемпотентом из А.

В первом параграфе третьей главы описываются полугруппы, порождающие абелевы, сильно абелевы и гамильтоновы многообразия.

Многообразие называется абелевым (сильно абелевым, гамильтоновым), если все алгебры этого класса абелевы (сильно абелевы, гамильтоновы).

Обозначим через У {А) многообразие, порожденное группоидом (.А, •).

Теорема 3.1. Пусть (Л, •} - полугруппа. Следующие условия эквивалентны:

(1) многообразие У (А) абелево;

(2) многообразие У (А) гамильтоново;

(3) полугруппа (А,-) - раздувание прямоугольной связки абелевых групп конечного периода и произведение идемпотентов из А является идемпотентом из А.

Теорема 3.2. Пусть (А, •) - полугруппа. Многообразие У {А) сильно абелево тогда и только тогда, когда (А,-) - раздувание прямоугольной связки идемпотентов.

Во втором параграфе третьей главы дается характеризация группоидов с единицей и квазигрупп, порождающих абелевы, сильно абелевы и гамильтоновы многообразия.

Теорема 3.3. Пусть (Л, •) - группоид с единицей. Следующие условия эквивалентны:

(1) многообразие У (А) абелево;

(2) многообразие У {А) гамильтоново;

(3) группоид (Л,-) является абелевой группой конечного периода.

Следствие 3.4. Пусть (Л, •} - группоид с единицей. Многообразие

У (А) сильно абелево тогда и только тогда, когда |А| = 1.

Теорема 3.6. Пусть {А, •) - конечная квазигруппа. Следующие условия эквивалентны:

(1) многообразие У {А) абелево;

(2) многообразие У (А) гамильтоново;

(3) квазигруппа (А, •) является абелевой алгеброй;

(4) {А] +) - абелева группа и перестановки га{х) и 1а{х) являются автоморфизмами (А\ +}.

Следствие 3.7. Пусть {А, •) - квазигруппа. Многообразие У(А) сильно абелево тогда и только тогда, когда \А\ = 1.

В четвертой главе дается описание полугрупп, группоидов с единицей и квазигрупп с примитивно нормальными и аддитивными теориями.

В первом параграфе четвертой главы описываютс полугруппы с примитивно нормальными и аддитивными теориями.

Пусть Т - полная теория языка Ь. Зафиксируем некоторую достаточно большую и достаточно насыщенную модель С теории Т, которая называется монстр-моделью, так как предполагается, что все рассматриваемые модели теории Т являются ее элементарными подмоделями. Все элементы, кортежи элементов и множества будут браться из монстр-модели С. Пусть в = (з1,...,зп) - кортеж элементов или переменных, А - некоторое множество. Через ¿(в) обозначим длину кортежа 5, т.е. 1(в) = п. Если Ф(х,у) - формула языка Ь, А - модель теории Т, а - кортеж элементов из А и 1{а) = 1(у), то через Ф(Л, а) будем обозначать множество {Ь \ А \= Ф(6, а)}.

Формула вида

3:л...За;п(ФоЛ...ЛФ*),

где Фг (г < к) — атомарные формулы, называется примитивной.

Пусть Ф(х,у) - примитивная формула языка L , а - кортеж элементов и 1(a) = 1(у). Множество вида Ф(С, а) называется примитивным множеством. Если Ъ - кортеж элементов и 1(b) = 1(у), то множества Ф(С, а) и Ф(С,Ь) называются примитивными копиями.

Эквивалентность а на некотором множестве X п-ок элементов из С, определенная в С с помощью некоторой примитивной формулы Ф(х\,х2), называется примитивной эквивалентностью. Область определения X такой эквивалентности а определяется в С примитивной формулой Ф(х,х) и обозначается через dom(a). Если a G X, то через а/а будем обозначать класс эквивалентности а с представителем а.

Теория Т называется примитивно нормальной, если для любых примитивных копий X, У выполнено X = Y или X П Y = 0 .

Алгебру Л назовем примитивно нормальной, если теория Th(A) примитивно нормальна.

Теорема 4.2. Пусть (А, •) - полугруппа. Следующие условия эквивалентны:

(1) полугруппа (А, •} примитивно нормальна;

(2) полугруппа (А, •} является абелевой алгеброй и все односторонние главные идеалы полугруппы минимальны;

(3) полугруппа (А.-) является раздуванием прямоугольной связки абелевых групп и произведение идемпотентов из А является

идемпотентом из А.

Множество X называется А -примитивным, если существует такое семейство $ примитивных множеств, что

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Трикашная, Наталия Вячеславовна, 2011 год

Список литературы

[1] Белоусов В.Д. Основы теории квазигрупп и луп // М.: Наука. 1967.

[2] Ершов Ю.Л., Палютин Е.А. Математическая логика // М.: Наука. 1987.

[3] Кейслер Г., Чен Ч. Теория моделей // М.: Мир. 1977.

[4] Клиффорд А., Престон Г. Алгебраическая теория полугрупп // М.: Мир. 1972.

[5] Мальцев А.И. Алгебраические системы // М.: Наука. 1970.

[6] Овчинникова Е.В. Об абелевых группоидах с образами малой мощности // Алгебра и теория моделей. Сборник статей. НГТУ. 2005. С.125-131.

[7] Палютин Е.А. Примитивно связные теории // Алгебра и логика. 2000. Т.39. №2, С.145-169.

[8] Степанова A.A. Категоричные и полные хорновы теории группоидов: Дис. ... канд. физ.-мат. наук // ДВГУ. Владивосток. 1987.

[9] Степанова A.A., Трикашная Н.В. Абелевы и гамильтоновы группоиды // М.: Фундаментальная и прикладная математика, 2009, Т. 15. №7. С. 165-177.

[10] Степанова A.A., Трпкашная H.B. Сильно абелевы группоиды // Материалы международной конференции "Мальцевские чтения". Институт математики СО РАН. Новосибирск. 2009.

[11] Степанова A.A., Трикашная Н.В. Абелевы и гамильтоновы многообразия группоидов // Новосибирск: Алгебра и логика. 2011. Т.50. №3. С. 388-398.

[12] Степанова A.A., Трикашная Н.В. Об абелевых полугруппах // Algebra and Model Theory. Collection of papers. Edited by A.G. Pinus, K.N. Pono-marev, S.V. Sudoplatov, and E.I. Timoshenko. Novosibirsk State Technical University. 2011. P.75-81.

[13] Степанова A.A., Трикашная Н.В. Абелевы полугруппы // Российская школа-семинар "Синтаксис и семантика логических систем". Тезисы докладов. Владивосток: Изд-во Дальнаука. 2008. С.22.

[14] Трикашная Н.В. Абелевы и гамильтоновы многообразия некоторых группоидов // Материалы международной конференции "Мальцевские чтения" / Институт математики СО РАН, Новосибирск. 2010.

[15] Трикашная Н.В. Полугруппы с примитивно нормальными теориями // Российская школа-семинар "Синтаксис и семантика логических систем". Тезисы докладов. Иркутск. 2010. С. 126.

[16] Трикашная Н.В. Группоиды с примитивно нормальными и аддитивными теориями // Новосибирск: Вестник НГУ. Серия: Математика, механика, информатика. 2011. Т.11. вып.4. С.68-77.

[17] Трикашная Н.В. Группоиды с примитивно нормальными теориями // Материалы международной конференции "Мальцевские чтения" / Институт математики СО РАН, Новосибирск. 2011.

[18] Хобби Д., Макензи Р. Строение конечных алгебр // М.: Мир. 1993.

[19] Berman J., McKenzie R. Clones satisfying the term condition // Discrete Math. 1984. V.52. №1. P.7-29.

[20] Csakany B. Abelian properties of primitive classes of universal algebras // Acta. Sci. Math. Szeged. 1964. №25. P.202-208.

[21] Freese R., McKenzie R. Commutator theory for congruence modular varieties // Volume 125 of London Mathematical Society Note Series. Cambridge University Press. 1987.

[22] Garcia J. The congruence extension property for algebraic semigroups // Semigroup Forum. 1991. №43. P.l-18.

[23] Hart В., Valeriot M. A structure theorem for strongly abelian varieties with few models // Accepted by the JSL. 1990.

[24] Herrman C. Affine algebras in congruence modular varieties // Acta. Sci. Math. 1979. №41. P.119-125.

[25] Kiss E. Each Hamiltonian variety has the congruence extension property // Algebra Universalis. 1981. №12. P.395-398.

[26] Kiss E., Valeriote M. Abelian algebras and the Hamiltonian property //J. Pure Appl. Algebra. 1993. V.87. №1. P.37-49.

[27] Kiss E., Valeriote M. Strongly abelian varieties and the Hamiltonian property // Canad. J. Math. 1991. V.43. №2. P.l-16.

[28] Klukovits L. Hamiltonian varieties of universal algebras // Acta. Sci. Math. 1975. №37. P.ll-15.

[29] Lampe D., Freese R. and Taylor W. Congruence lattices of algebras of fixed similarity type // I. Pacific Journal of Math. 1979. №82. P.59-68.

[30] McKenzie R. On minimal, locally finite varieties with permuting congruence relaion // Berkeley Manuscript. 1976.

[31] McKenzie R. The Number of Non-isomorphic Models in Quasi-varieties of Semigroups // Algebra Universalis. 1983. №16. P. 195-203.

[32] McKenzie R. Finite forbidden latties //In Universal Algebra and Lattice Theory. Volume 1004 of Springer Lectures Notes. Springer-Verlag. 1983.

[33] McKenzie R. Congruence extencion, Hamiltonian and Abelian properties in locally finite varieties // Algebra Universalis. 1991. №28. P.589-603.

[34] McKenzie R., Valeriot M. The Structure of Decidable Locally Finite varieties // Birkhauser Boston. 1989.

[35] McKenzie R., McNulty G., Taylor W. Algebras, Lattice, Varieties // The Wadsworth and Brooks. Cole Mathematical Series. 1987. V.l.

[36] Palyutin E. A. Additive theory // Proceedings of Logic Colloquium'98 (Lecture Notes in Logic, 13). ASL. Massachusetts. 2000. P.352-356.

[37] Shapiro J. Finite algebras with Abelian properties // Algebra Universalis. 1988. №25. P.334-364.

[38] Shoda K. Zur theorie der algebraischen erweiterungen // Osaka Math. Journal. 1952. №4. P. 133-143.

[39] Taylor W. Some Application of the Term Condition // Algebra Universalis. 1994. №31. P.113-123.

[40] Valeriot M. Finite simple Abelian algebras are strictly simple // Proc. of the Amer. Math. Soc. 1990. №108. P.49-57.

[41] Valeriot M. On Decidable Locally Finite Varieties // PhD thesis. University of California. Berkeley. 1986.

[42] Valeriot M., Willard R. The isomorphism problem for strongly Abelian varieties // preprint. 1989.

[43] Warne R.J. Semigroups obeying the term conditions // Algebra Universalis. 1994. №31. P.113-123.

[44] Warne R.J. Semigroups and Inflations // Semigroup Forum. 1997. V.54. P.271-277.

[45] Warne R.J. On the structure of TC semigroups // Semigroups. Algebraic Theory and Applications to Formal Languages and Codes. World Scientific. 1993. P.300-310.

[46] Warne R.J. TC semigroups and related semigroups // Workshop on Semigroups, Formal Languages and Combinatorics on Words. Kyoto. Japan. August. 1992.

[47] Werner H. Congruences on products of algebras and functionally complete algebras // Algebra Universalis. 1974. №4. P.99-105.