Теоретико-модельные свойства класса инъективных полигонов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат наук Ефремов Евгений Леонидович

• Ефремов Евгений Леонидович
• кандидат наук
• 2021

Оглавление диссертации кандидат наук Ефремов Евгений Леонидович

2.3 Примеры

3 Полнота и стабильность

3.1 Полнота, модельная полнота и категоричность классов инъективных и слабо инъективных полигонов

3.2 Стабильность классов инъективных и слабо инъективных полигонов

3.3 Суперстабильность классов инъективных и слабо инъективных полигонов

4 Примитивная нормальность и примитивная связность

4.1 Примитивная нормальность класса инъективных полигонов

4.2 Примитивная связность класса инъективных полигонов

Заключение

Список литературы

Введение

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Теоретико-модельные свойства класса инъективных полигонов»

Общая характеристика работы

Постановка задачи и актуальность темы диссертации.

Тема диссертации относится к теоретико-модельной алгебре. Предметом исследования являются классы инъективных и слабо инъективных полигонов. С помощью современного арсенала теории моделей, включающего теорию категоричности, различные теоретико-модельные конструкции, изучаются такие свойства этих классов, как аксиоматизируемость, полнота, модельная полнота, стабильность, примитивная нормальность и примитивная связность.

Под левым S -полигоном SА над моноидом S, или просто полигоном, понимается множество А, на котором S действует слева, причём S

носится к фундаментальным понятиям в теории представлений, алгебраической теории динамических систем и др. Большое количество работ по теории полигонов посвящено гомологической классификации полигонов, а именно, характеризации моноидов с помощью категорных свойств полигонов, таких, например, как проективность, инъективность, плоскостность. Это работы Л.А. Скорнякова [12], М. Kilp [4], U. Knauer, A.B. Михалёва [29] и др. Вопросы, связанные со свойством регулярности полигонов, рассмотрены такими математиками, как М. Kilp [28], A.B. Михалёв [30], и. Knauer [28, 30], L.H. Tran [38] и др.

Полигон над моноидом определяется аналогично модулю над кольцом. Поэтому теория полигонов развивается под большим влиянием теории модулей. Аналогично понятию инъективного модуля определяется

понятие инъективного полигона. Ипъективпые полигоны впервые были рассмотрены P. Berthiaume в [24]. В теории модулей условие ипъективпо-сти правого Л-модуля M эквивалентно следующему условию (*): для любого правого идеала I С R любой гомоморфизм р : IR ^ MR продолжается до гомоморфизма р : Rr ^ MR (критерий Бэра [2]). Для полигонов аналог критерия Бэра не имеет места. Полигоны, для которых выполняется аналог условия (*), называются слабо инъективными. V. Gould в [27] рассматривает бесконечную последовательность различ-пых «инъективностей», а именно, для каждого кардинала а > 1 полигон sA над моноидом S называется а -инъективным, если для пего выполняется аналог условия (*), в котором правые идеалы заменяются на правые идеалы, мощность порождающего множества которых меньше а. Главно слабо пнъектпвные полигоны (для которых а = 2) и конечно порождённо слабо инъективные полигоны (для которых а = ш) впервые были рассмотрены в работе J. Luedeman, F. McMorris, S.-K. Sim [31]. Понятие главно слабо инъективного (конечно порождённо слабо инъективного) полигона является аналогом понятия p-инъективного (конечно инъективного) модуля.

Одной из стандартных задач теории моделей полигонов является задача описания моноидов, над которыми некоторый класс полигонов обладал бы свойством Р, где под Р понимается аксиоматизируемость, полнота, стабильность, примитивная нормальность, примитивная связность и др.

Вопросы аксиоматизируемости, полноты, модельной полноты, категоричности для класса регулярных полигонов рассмотрены в работах Е.В. Овчинниковой [7], A.A. Степановой [14]. Для классов плоских, про-

активных и свободных полигонов такое описание получено в работах S. Bulman-Fleming, V. Gould [25, 26], A.A. Степановой [16]. A.A. Степановой в [15] доказано, что для коммутативного счётного моноида или счётной группы S аксиоматизируемость класса инъективных полигонов над S эквивалентна конечной порождённое™ S. В этой же работе показано, что не существует нетривиального коммутативного моноида или группы, класс инъективных полигонов над которым полон, модель-но полон или категоричен. В диссертации продолжаются упомянутые исследования для классов слабо инъективных полигонов.

Одним из центральных направлений в теории моделей является теория стабильности, в основу которой легли идеи, методы и результаты работы М. Morley [32]. Понятие стабильной теории было введено S. Shelah в [37]. Вопросы стабильности, суперстабильности и ш-стабильности теории полигонов рассмотрены Т.Г. Мустафиным [6, 33], В. Poizat [33], A.A. Степановой [17]. В частности, доказано, что теория любого поли-SS — линейно (вполне) упорядоченный моноид (вполне упорядоченный моноид). A.A. Степановой рассматривались стабильные, суперстабильные и ш-стабильные классы регулярных [19, 22] и плоских [18] полигонов. В диссертации изучаются вопросы стабильности и суперстабильности для классов инъективных и слабо инъективных полигонов.

В [34] A. Pillay ввёл понятие нормальной теории. Однако в более ранней работе Палютина Е.А. [8] это понятие использовалось в неявном виде, а именно, была доказана нормальность любой стабильной полной хор-повой теории. Понятие слабой нормальности теории, введённое А. Pillay в [35], является более широким, чем понятие нормальности, но более уз-

ким, чем стабильность. C.B. Судоплатовым в [23] показано, что не существует формульных критериев для нормальности или слабой нормальности теорий, подобных стабильности. Основной пример нормальных теорий — теория любого модуля, являющаяся примитивно нормальной теорией. История понятия примитивной нормальности теории восходит к применению теории классификации в универсальной алгебре [36]. Вопросам примитивной нормальности классов всех полигонов, свободных, проективных, сильно плоских полигонов посвящены работы A.A. Степановой [20, 21], Д.О. Птахова [11]. A.A. Степановой в [21] рассмотрены вопросы примитивной связности класса всех полигонов. В данной работе изучаются моноиды с примитивно нормальными и примитивно связными классами инъективных полигонов.

Цели и задачи данной работы заключаются в изучении строения моноидов с точки зрения теоретико-модельных свойств классов инъективных и слабо инъективных полигонов над ними. Исследуются такие свойства этих классов, как аксиоматизируемость, полнота, модельная полнота, категоричность, стабильность, суперстабильность, примитивная нормальность, примитивная связность.

Методы исследования. В работе используются классические методы теории моделей, такие как теорема компактности, теория категоричности, теория стабильности, различные теоретико-модельные конструкции (например, ультрапроизведения), а также методы теории полигонов.

Новизна и научная значимость работы. Результаты диссертации являются новыми и носят теоретический характер. Они могут быть использованы в теоретико-модельной алгебре, в теории полигонов, при чтении спецкурсов по теории моделей, написании учебных пособий и мо-

нографий.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Получено описание счётных моноидов, над которыми класс слабо инъективных (конечно порождённо слабо инъективных, главно слабо инъективных) полигонов аксиоматизируем. Приведены примеры моноидов с аксиоматизируемыми и не аксиоматизируемыми классами слабо инъективных (конечно порождённо слабо инъективных, главно слабо инъективных) полигонов над ними. Результаты опубликованы в [39].

2. Получено описание моноидов, над которыми класс главно слабо инъективных полигонов полон, модельно полон, категоричен, стабилен и суперстабилен. Приведены примеры моноидов S, для которых классы инъективных, слабо инъективных, конечно порождённо слабо инъективных полигонов полны (модельно полны, категоричны) только в том случае, когда S тривиален. Дана характеризация конечных моноидов со стабильными (суперстабильными) классами инъективных, слабо инъективных, конечно порождённо слабо инъективных полигонов. Результаты опубликованы в [40].

3. Доказано, что класс всех инъективных полигонов примитивно нормален. Для реверсивного справа моноида S показано, что класс всех инъективных полигонов над S примитивно связен тогда и только тогда, когда S — группа. Приведено необходимое условие примитивной связности класса инъективных полигонов. Результаты опубликованы в [41].

Апробация работы. Результаты диссертации излагались автором на семинарах Института математики им. С.Л. Соболева СО РАН (г. Новосибирск), Института прикладной математики ДВО РАН (г. Влили во-

сток), Дальневосточного федерального университета (г. Владивосток), а также на международных конференциях «Мальцевские чтения» (г. Новосибирск, 2016-2018), Региональных научно-практических конференциях студентов, аспирантов и молодых учёных по естественным наукам (г. Владивосток, 2016-2018).

Публикации. Результаты автора по теме диссертации опубликованы в работах [39-46]. Работы [39-41] опубликованы в изданиях, входящих в перечень ВАК российских рецензируемых научных журналов, в которых должны быть опубликованы основные результаты диссертаций на соискание учёных степеней доктора и кандидата наук, а также индексируемых в наукометрических системах (SCOPUS и т.д.). Работа [39] написана в неразрывном сотрудничестве со Степановой A.A.

Структура и объём работы. Диссертация состоит из введения, четырёх глав, заключения и списка литературы. Все утверждения занумерованы двойками индексов, из которых первый является номером главы, второй — номером утверждения в данной главе. Компьютерный набор выполнен с использованием пакета BTßjX. Общий объём диссертации 75 страниц. Библиография включает в себя 46 наименований.

Содержание диссертации

Во введении приводится постановка задачи, обосновывается актуальность темы исследования, даётся обзор результатов по исследуемым проблемам и кратко формулируются основные результаты диссертации.

В первой главе даются определения из теории полигонов, теории моделей и универсальной алгебры, а также формулируются факты, ис-

пользуемые при доказательстве полученных результатов. При формулировке утверждений будем пользоваться следующими обозначениями: Б— класс всех инъективных полигонов над моноидом Б, Б-Л¥1гу — класс всех слабо инъективных полигонов над моноидом

Б,

Б-ЕСЛ¥1гу — класс всех конечно порождённо слабо инъективных полигонов над моноидом Б,

Б-Л¥1гу — класс всех главно слабо инъективных полигонов над моноидом Б.

Вторая глава диссертации посвящена описанию моноидов, над которыми классы слабо инъективных, конечно порождённо слабо инъективных и главно слабо инъективных полигонов аксиоматизируемы. Через 0^, где 5 = (в1,...вп) Е Б (и Е ш), обозначим конгруэнцию

п

| (£к ,гт^ | £8к = ГЗт, к,т Е {1, . . . , и}} полигона 5 5(п) = |_| 5 Бi , гд6 5 Бi

¿=1

— копия полигона 5 Б, ri Е — копия элем ента г Е Б (г Е {1,...,и}).

Теорема 1. Пусть Б — счетный моноид. Класс Б аксиома-

тизируем тогда и только тогда, когда для любого и Е ш и для любого 5 Е Бп конгруэнц ия 0^ пол,иго на 5 Б(п) конечно порождена.

Из доказательства теоремы 1 следует, что если класс слабо инъективных полигонов аксиоматизируем, то для любого и Е ш и для любого 5 Е Бп конгруэнция 0д полигона 5Б(п) конечно порождена, т.е. имеет место

Замечание 1. Пусть Б — счетный моноид. Если, класс Б -\VInj аксиоматизируем, то класс Б -РС аксиоматизируем.

Пусть в € Б. Конгруэнцию в8 полигона #Б= ^Б можно отождествить с множеством {^,т) € Б2 | £в = тв} . Доказательство следующего следствия полностью повторяет доказательство теоремы 1, если положить п = 1.

ББ тизируем тогда и только тогда, когда для любого в € Б конгруэнция в8 полигона sБ конечно порождена.

Из теоремы 1 и следствия 1 следует

ББ Б

Моноид Б называется регулярным, если для любого в € Б существует ^ € Б такой, что в = в£в.

ББ

сиоматизируем.

Б

конечно порождены. Для класса слабо инъективных полигонов получен следующий результат:

ББ зируем тогда и только тогда, когда для любого п € ш и для любого 5 € Бп конгруэнц ия пол,иго на s Б(п) конечно порождена, и Б нё-теров слева моноид.

Глава завершается примерами моноидов с аксиоматизируемыми и не аксиоматизируемыми классами слабо инъективных полигонов над ними.

В третьей главе рассматриваются моноиды, над которыми классы инъективных и слабо инъективных полигонов полны, модельно полны, категоричны.

Следующее замечание очевидно.

Замечание 3. Для моноида S имеют, место следующие импликации: S -PWInj полон, (модельно полон, категоричен)

S

S S

S

S S S

сти;

Ш s = {1}.

Моноид S называется реверсивным справа, если Ss П St = 0 для любых s,t G S.

S

условия эквиваленты,:

S S S

S S S

Б Б Б

бесконечной мощности;

(4) Б = {1} .

Б

условия эквиваленты:

Б Б Б

Б Б Б

Б Б Б

бесконечной мощности;

(4) Б = {1} .

Для моноида Б через Т обозначим множ ество {в Е Б | Б в = Б}.

Теорема 5. Пусть класс ^полон и для любого в Е Б \ Т существует г Е Б такой, что г = 1 и гв = в. Тогда Б = {1} .

Из теоремы 5 получаем следующие результаты.

Следствие 4. Если, Б — регулярный моноид, Т — группа, и, класс Б -

| Б| = 1

Теорема 6. Если, Б ^ конечный моноид и класс Б-1щ Б-

| Б| = 1

В этой же главе рассмотрены вопросы стабильности и суперстабильности классов инъективных и слабо инъективных полигонов.

Полигон 5А называется линейно упорядоченным, если множество {Ба | а Е А} линейно упорядочено относительно включения. Моноид Б называется линейно упорядоченным, если 5Б — линейно упорядоченный полигон.

Пусть X — класс полигонов. Моноид Б называется X-стабилизатором (X-суперстабилизатором), еели ТЬ^Л) стабильна (суперстабильна) для любого полигона sЛ € X. Если X — класс всех полигонов над моноидом Б, то X-стабилизатор (X-суперстабилизатор) Б

Б

Б

ББ Б

Б

(среди левых неглавных идеалов) левый неглавный идеал Я существует и конечен, множество {в € Б и {в} | Д тв = т} конечно, где под

тек

sБ и {в} понимается инзективная оболочка полигона с;(Би {в}). Тогда, моноид Б не является Б -1щ- (Б - Б УУТщ-) стабилизато-

ром,.

Следствие 5. Если, Б ^ конечный моноид, являющийся, Б-1щ- (Б-Б

моноид.

Б

эквивалентны: Б

Б Б Б Б

Б

Утверждение 2. Если, моноид Б является Б-1щ- Б-

Б

несравнимых левых идеалов.

Б

эквивалентны: Б

Б Б Б Б

Б

Будем говорить, что полигон 5А удовлетворяет условию обрыва, возрастающей цепи подполигонов, если для любых подполигонов 5Ai (г Е ш

Ао С А1 С А2 С ..., существует такой к Е ш, что

Ак = Ак+1 = ....

Утверждение 3. Пусть К0 — класс полигонов, обладающий следующим свойством: для любого полигона 5А существует пол,игон 5В Е К0 такой, что 5А С 5В. Пусть Б — К0 -суперстабилизатор, 5А — полигон, а Е А. Тогда поли гон 5 Ба удовлетворяет условию обрыва возрастающей цепи циклических подполигонов. Пусть Б — %0-суперстабилизатор, 5 А — полигон, а Е А. Тогда поли гон 5 Ба удовлетворяет условию обрыва, возрастающей цепи циклических подполигонов.

Следствие 6. Если, моноид Б является Б-1щ- ('Б-^/гу-, Б-

Б

обрыва, возрастающей цепи главных левых идеалов.

Следствие 7. Если моноид S является S -PWInj-суперстабилизатором, то S — вполне упорядоченный моноид.

S

S

SS

S

Заметим, что эквивалентности условий (1) и (3) в теоремах 7-10 были доказаны Т.Г. Мустафиным в [6].

В четвёртой главе изучаются моноиды, над которыми класс всех инъективных полигонов примитивно нормален и примитивно связен. Пусть T — полная теория языка L. Зафиксируем некоторую достаточно большую и достаточно насыщенную модель M = (M; L) теории T.

Если Ф(Х, у) — формула яз ыка L, й Е M, 1(й) = /(у), то через Ф(М, й) будем обозначать множество \b Е M | M N Ф(Ь,й)} .

Формула Зж(Ф0 Л ... Л Фк), где Ф^ (i ^ к) атомарные формулы языка L, называется примитивной. Пусть Ф(Х,у) — примитивная формула языка L, а Е M, 1(й) = l(у). Множество вида Ф(М, й) называется примитивным. Если b Е M и l(b) = l(y), то множества Ф(М,й) и Ф(М, b) называются примитивными копиям,и.

Теория T называется примитивно нормальной, если X = Y или X П Y = 0 для любых примитивных копий X и Y. Класс K алгеб-

L

теорпя Th(B) примитивно нормальна для любой B Е K.

S

Эквивалентность а на некотором множестве X n-ок элементов из

Ш, определённая в Ш с помощью некоторой примитивной формулы Ф(х,у), называется примитивной эквивалентностью. Область определения X такой эквивалентности а определяется в Ш примитивной формулой Ф(Х, х) и обозначается через йота. Если а € X, то через а/а будем обозначать класс эквивалентности а с представителем а.

Множество X называется А-примитивным, если существует такое семейство Р примитивных множеств, что

X = [){У | у € Р}.

аА

множество Е примитивных эквивалентностей, что

а = П{в I в € Е}.

Классы X и У одной А-примитивной эквивалентности а называются А-примитивными копиям,и. Множество вида X = X*/а = {а/а | а € X*}, где X* — А-примитивное множество, а — примитивная эквивалентность и выполнено X* С йот(а), называется обобщенно примитивным множеством (о.п. множеством). При этом X* называ-а

X. Отождествляя одноэлементное множество {а} с элемент ом а, бу-

А

о.п. множествами. О.п. множества X,У называются о.п. копиями, если у них есть общая образующая эквивалентность, а их основы X*,У* А

Формула Ф(х,у,5), 1(х) = 1(у), называется (х, у) -рефлексивной, если

Т Ь УхУуУг(Ф(х, у, 5) ^ (35Ф(х, х, 5) Л 35Ф(у, у, 5))).

Пусть о.п. множества X0 и X являются о.п. копиями и а -~их образующая эквивалентность. Говорят, что X0 примитивно связано с X 1, если существует примитивная (х, y) -рефлексивная формула Ф(х,у,с) (с параметрами с) такая, что

(а) для любых а0 G XQ и b0 G Xf существуют такие а1 G XQ и b 1 G XI, что в M истинны Ф(а0,Ь 1,с) и Ф(а1,b0,o);

(б) для любого а G Xq множество Ф(а, M, с) не содержнт Xf и b/а С Ф(а, M, с) для любого b G Ф(а, а, с);

(в) для любого b G Xf множество Ф(М, b, с) не содержит XQ и а/а С Ф(М, b, с) для любого а G Ф(М, b, с).

Теория T называется примитивно связной, если она примитивно нормальна и любые о.п. копии либо примитивно связаны, либо обе одноэлементны. Класс алгебраических систем K язык а L называется примитивно связным, если теория Th(B) примитивно связна для любой B G K.

Ниже приводится ряд результатов, в которых описаны моноиды с примитивно связным классом инъективных полигонов над ними.

SS

S

SS

S

SS

S

ный моноид.

S

SS

S

S

ный подполигон полигона SS не конечно порождён.

SS

S

В заключении приводятся основные результаты диссертации. Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю, д.ф.-м.н., доценту Степановой Алёне Андреевне за постоянное внимание к работе.

1 Предварительные сведения

1.1 Сведения из универсальной алгебры и теории моделей

Приводимые ниже сведения из теории моделей и универсальной алгебры можно найти в [1, 3, 9, 10, 13].

Пусть А = (А; Ь) — алгебраическая систем а языка Ь. Кортежи элементов (а1,..., ап) из А и перемениых (х1,..., хп) будем обозначать соответственно через а и х, длину кортежа V — через /(V), г-ж элемент кортежа V — через г>(г). Вместо а Е Ап будем писать а Е А. Конгруэнция алгебры А = (А; Ь) языка Ь (т.е. алгебраической си-Ь

ние эквивалентности в на А такое, что для любой п-местной операции Г Е Ь и любых а,Ь Е А из (а(г),Ь(г)) Е в для всех г (1 ^ г ^ п) следует (Г(а), Г(Ь)) Е в. Вместо записи (а,Ь) Е в часто будем использовать авЬ

Говорят, что конгруэнция в алгебры А = (А; Ь) порождается множеством В С А2, тел и в — наименьшая относительно включения конгруэнция алгебры А, содержащая множество В. Конгруэнция в алгебры

А называется конечно порождённой, если существует конечное подмно-

А2 в

Предложение 1.1 (Лемма Мальцева). [10] Пусть р(Х) — наименьшая конгруэнция, алгебры А = (А; Ь) 7 содержащая X С А2 . Тогда, для любых а,Ь Е А имеет место ар(Х)Ь в том и только том случае, когда существуют т > 1, элементы (!]_,..., (т, ([,..., ('т, с1,... , сто Е А,

¡(ёг) = 1(ё'г) = 1(х), 1(сг) = ¡(у) (1 ^ % ^ т), и термы Ь\(х,у),... ,Ьт(х,у), (х,у),...,г'т(х,у) языка Ь такие, что {ё',ё') € X или {ё',ёг) € X для любых %, 1 ^ % ^ т, и

а = Ь\(ё\, С1), и(ё',С') = и+1((1'+1,С'+1) (1 < % < т),гт(ё!т,ст) = Ь.

Пусть X — класс алгебраических систем языка Ь. Класс X называется аксиоматизируемым, если существует такое множество предложений 2 языка Ь, что для любой алгебраической системы А языка Ь

А € X ^^ А N Ф для всех Ф € 2.

Алгебраические системы А и В языка Ь называются элементарно эквивалентными (обозначение: А = В), если для любого предложения ФЬ

А N Ф ^^ В N Ф.

Подсистема А алгебраической системы В языка Ь называется элементарной (обозначение: А ^ В), если для любой формулы Ф(х1,..., хп) языка Ь и любых Ь1,... ,Ьп € В

А N Ф(Ь1,...,Ьп) ^ В N Ф(Ь1,...,Ьп).

Заметим, что если А ^ В , то А = В .

Будем говорить, что класс X алгебраических систем замкнут относительно элементарной эквивалентности (ультрапроизведений), если алгебраическая система, элементарно эквивалентная алгебраической системе из класса X (являющаяся ультрапроизведением алгебраических систем из класса X), принадлежит X.

Предложение 1.2 (критерий аксиоматизируемости). [1] Класс К алЬ

гда, когда он замкнут относительно элементарной эквивалентности и ультрапроизведений.

Через обозначим класс бесконечных алгебраических систем

класса К языка Ь. Класс К называется полным (модельно полным), если теория ТЬ(КТО) бесконечных алгебраических систем этого класса полна (модельно полна).

Класс К называется категоричным, в мощности к, если все алгебраические системы класса К мощности к изоморфны.

Предложение 1.3. [1] Если, класс К алгебраических систем языка Ь категоричен в некоторой бесконечной мощности, то класс К полон.

Множество формул Г языка Ь называется совместным, если существует модель этого множества. Если каждое конечное подмножество ГГ

Предложение 1.4 (теорема компактности). [1] Каждое локально сов-

ГЬ

Множество всех полных п-типов над непротиворечивой теорией Т будем обозначать через Бп(Т). Пусть А — алгебраическая система языка Ь, X С А, а Е А. Типом элемента а над множеством X называется множество tp(a,X) = {Ф(х) | Ах N Ф(а)}. Через Sn(X) обозначим Бп(ТН(Ах)). Вместо 51 (X) будем писать Б(X).

Пусть а — кардинал. Алгебраическая система А = (А; 2) называется а -насыщенной, если для каждого подмножества X С А мощности,

меньшей а, обогащение (А, а)а€х РеализУет кажДый тип Г^) сигнатуры 2 и{са | а Е X} , который совместен с теорией алгебраической системы (А,а)а€х-

Предложение 1.5. [3] Пусть |2| ^ а и ш ^ |А| ^ 2а. Тогда существует а+ -насыщенное элементарное расширение В алгебраической системы А язык а Ь мощное ти 2а.

Пусть Ф(х, у) — формула языка Ь, А = (А; 2), Ь Е А, /(У) = /(Ь). Через Ф(А,Ь) обозначим множество {а Е А | А N Ф(а,Ь)}. Через ЗкхФ(х,у) обозначим формулу, означающую, что существует ровно к элементов х таких, что Ф(х,у).

Теория Т называется стабильной в мощности к или к -стабильной, если |Б(X)| ^ к для любой модели А теории Т и любого X С А мощности к. Если теория Т к-стабильна для неко-

к Т Т

к-стабильна для всех к ^ 2'т', то Т называется суперстабильной. Если ТТ

Т

тогда, когда существует формула Ф(х,у) от 2п переменных, модель А теори и Т и Е Ап, г Е ш, такие, что для любых г, ], г = ] ,

г < з ^^ А N Ф(аг,а^).

ТЬ

точно большую и достаточно насыщенную модель М = (М; Ь) теории Т. Есл и Ф(х, у) — формула яз ыка Ь, а Е М, /(а) = /(у), то через Ф(М, а) обозначим множество \ Ь Е М | М N Ф(Ь, а)} .

Формула Зх(Ф0 Л ... Л Фк), где Фг (% ^ к) — атомарные формулы языка Ь, называется примитивно и. Пусть Ф(х,у) — примитивная формула языка Ь, а € М, ¡(а) = I(у). Множество вида Ф(М, а) называется примитивным,. Если Ь € М и ¡(Ь) = I(у), то множества Ф(М, а) и Ф(М, Ь) называются примитивными копиям,и.

Теория Т называется примитивно нормальной, если X = У или X П У = 0 для любых примитивных копий X и У. Класс X алгеб-

Ь

теория ТЬ(В) примитивно нормальна для любой В € X.

Эквивалентность а на некотором множестве X п-ок элементов из М, определённая в М с помощью некоторой примитивной формулы Ф(х,у), называется примитивной эквивалентностью. Область определения X такой эквивалентности а определяется в М примитивной формулой Ф(х,х) и обозначается через ёота. Если а € X, то через а/а будем обозначать класс эквивалентности а с представителем а.

Множество X называется А-примитивным, если существует такое семейство Р примитивных множеств, что

X = П(У I У € Р}.

аА

множество Е примитивных эквивалентностей, что

а = П(в I в € Е}.

Классы X и У одной А-примитивной эквивалентности а называются А-примитивными копиям,и. Множество вида X = X*/а = {а/а | а € X*}, где X* — А-примитивное множество, а — примитивная эквивалентность и выполнено X* С ёот(а), называется обобщенно при-

митивным множеством (о.п. множеством). При этом X* называ-а

X. Отождествляя одноэлементное множество {а} с элемент ом а, бу-

А

о.п. множествами. О.п. множества X,У называются о.п. копиями, если у них есть общая образующая эквивалентность, а их основы X*,У* А

Формула Ф(х,у,5), ¡(х) = ¡(у), называется (х,у) -рефлексивной, если

Т Ь УхУуУг(Ф(х, у, 5) ^ (35Ф(5, х, 5) Л 35Ф(у, у, 5))).

Пусть о.п. множества X0 и Xl являются о.п. копиями и а — их образующая эквивалентность. Говорят, что X0 примитивно связано с X1, если существует примитивная (х, у) -рефлексивная формула Ф(х,у ,5) (с параметрами с) такая, что

(а) для любых а0 € X,* и Ь0 € X* существуют такие а1 € X,* и Ь1 € X*, что в М нстпнны Ф(а0,Ь1,е) и Ф(а1,Ь0,е);

(б) для любого а € X* множество Ф(а, М, 5) не содержит X* и Ь/а С Ф(а, М, 5) для любого Ь € Ф(а, а, 5);

(в) для любого Ь € X* множест во Ф(М, Ь, 5) те содерж ит X(* и а/а С Ф(М, Ь, 5) для любого а € Ф(М, Ь, 5).

Т

нормальна и любые о.п. копии либо примитивно связаны, либо обе одноэлементны. Класс алгебраических систем X язык а Ь называется примитивно связным, если теория ТН(В) примитивно связна для любой В е X.

1.2 Сведения из теории полигонов и теории моделей полигонов

Приведённые ниже сведения можно найти в [6, 21, 29].

Всюду ниже Б будет обозначать моноид, 1 — единицу Б. Моноид Б называется линейно (вполне) упорядоченным, если множество {Бв | в Е Б} линейно (вполне) упорядочено относительно включения.

Моноид Б называется регулярным, если для любого в Е Б существует Ь Е Б такой, что в = вЬв. Моноид Б называется реверсивным справа, если Б в П БЬ = 0 для люб ых в,Ь Е Б. Моноид Б называется нете-ровым, слева, если все его левые идеалы конечно порождены. Нетрудно

Б

любой возрастающей цепи

/о С 11 с ... с /п С 1п+1 С ...

его левых идеалов существует п Е ш такой, что /п = /п+к для любого к Е ш, т.е. любая возрастающая цепь его левых идеалов обрывается.

Замечание 1.1. Моноид 5 является группой тогда и только тогда, когда Бг = Б для любого г Е Б.

Алгебраическая система (А; в)языка Ьв = {в | в Е Б} называет-ББ если в1(в2а) = (в1в2)а и 1а = а для любых в1,в2 Е Б, а Е А. Полигон (А; в)5бВ будем обозначать через вА. Все рассматриваемые в работе полигоны являются левыми Б-полигонами. Подси стема в В полиго па в А называется подполигоном полигона вА. Под копроизведением полигонов

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Ефремов Евгений Леонидович, 2021 год

Список литературы

[1] Ершов, Ю. Л., Палютин, Е. А. Математическая логика. Наука, 2011.

[2] Каш, Ф. Модули и кольца. Мир, 1981.

[3] Кейслер, Г., Чэн, Ч. Ч. Теория моделей. Мир, 1977.

[4] Кильи, М. К гомологической классификации моноидов. Сив. машем. журн., 13(3): 578-586, 1972.

[5] Мальцев, А. И. Алгебраические системы. Наука, 1970.

[6] Мустафин, Т. Г. О стабильностной теории полигонов. Теория моделей и ее применение, 8: 92-108, 1988.

[7] Овчинникова, Е. В. Полные классы регулярных полигонов с конечным числом идемпотентов. Сив. машем, журн., 36(2): 381-384, 1995.

[8] Палютин, Е. А. Категоричные хорновы классы. I. Алгебра и логика, 19(5): 582-614, 1980.

[9] Палютин, Е. А. Спектр и структура моделей полных теорий, Справочная книга по математической логике, часть I. Теория моделей, 320-387. Наука, 1982.

[10] Пинус, А. Г. Производные структуры универсальных алгебр. Изд-во НГТУ, 2007.

[11] Птахов, Д. О. Примитивная нормальность и аддитивность свободных, проективных и сильно плоских полигонов. Алгебра и логика, 53(5): 614-624, 2014.

[12] Скорняков, Л. А. О гомологической классификации моноидов. Сиб. матем. жури., 10(5): 1139-1143, 1969.

[13] Скорняков, Л. А. Элементы алгебры. Наука, 1980.

[14] Степанова, А. А. Аксиоматизируемость и модельная полнота класса регулярных полигонов. Сиб. матем. журн., 35(1): 181-193, 1994.

[15] Степанова, А. А. Аксиоматизируемость и полнота класса инъектив-ных полигонов над коммутативным моноидом и над группой. Сибирский математический журнал, 56(3): 650-662, 2015.

[16] Степанова, А. А. Аксиоматизируемость и полнота некоторых классов ¿"-полигонов. Алгебра и логика, 30(5): 583-594, 1991.

[17] Степанова, А. А. Моноиды, все полигоны над которыми ш-стабильны (доказательство гипотезы Мустафина-Пуаза). Алгебра и логика, 41(2): 223-227, 2002.

[18] Степанова, А. А. Моноиды со стабильными плоскими полигонами. Вестник НГУ, серия: математика, информатика, механика^ 2(2): 64-77, 2002.

[19] Степанова, А. А. Моноиды со стабильными теориями регулярных полигонов. Алгебра и логика, 40(4): 430-457, 2001.

[20] Степанова, А. А. Полигоны с примитивно нормальными и аддитивными теориями. Алгебра и логика, 47(4): 491-508, 2008.

[21] Степанова, А. А. Примитивно связные и аддитивные теории полигонов. Алгебра и логика, 45(3): 300-313, 2006.

[22] Степанова, А. А. Стабильность класса регулярных полигонов. Исследования в теории алгебраических систем. Межвузовский сборник научных трудое, 95-102. Караганда: изд-во КарГУ, 1995.

[23] Судоплатов, С. В. Базируемость стабильных теорий и свойства счетных моделей с мощными типами: дис. ... канд. физико-математических наук: 01.01.06. Новосибирск, 1990.

[24] Berthiaume, P. The injective envelope of S-sets. Bull. Amer. Math. Soc., 10: 261-273, 1967.

[25] Bulman-Fleming, S., Gould, V. Axiomatisability of weakly flat, flat and projective acts. Communications in Algebra, 30: 5575-5593, 2002.

[26] Gould, V. Axiomatisability problems for S-systems. J. London Math. Soc., 35: 193-201, 1987.

[27] Gould, V. The characterization of monoids by properties of their s-systems. Semigroup Forum, 32: 251-265, 1985.

[28] Kilp, M., Knauer, U. Characterization of monoids by properties of regular acts. J. of Pure and Applied Algebra, 35(2): 193-201, 1987.

[29] Kilp, M., Knauer, U., Mikhalev, A. V. Monoids, acts and categories. De Gruyter, 2000.

[30] Kilp, M., Knauer, U., Mikhalev, A. V. Wreath products of acts over monoids: I. regular and inverse acts. J. of Pure and Applied Algebra, 51: 251-260, 1988.

[31] Luedeman, J., McMorris, F.. Sim, S.-K. Semigroups for which every totally irreducible S-system is injective. Comment. Math. Univ. Carolinae, 19: 27-35, 1978.

[32] Morley, M. Categoricity in power. Trans. Amer. Math. Soc., 114(2): 514-538, 1965.

[33] Mustafin, T. G., Poizat, B. Polygones. Math. Log. Quart., 41: 93-110, 1995.

[34] Pillay, A. Countable models of stable theories. Proc. Amer. Math. Soc., 89(4): 666-672, 1983.

[35] Pillay, A. Stable theories, pseudoplanes and the number of countable models. Annals of Pure and Applied Logic, 43(2): 147-160, 1989.

[36] Shelah, S. Classification theory and the number of non-isomorphic models. Stud. Logic Found. Math., 92, 1978.

[37] Shelah, S. Stable theories. Isr. J. Math., 7(3) :187-202, 1969.

[38] Tran, L. H. Characterization of monoid by regular acts. Period. Math. Hungary 16: 273-279, 1985.

Список работ автора по теме исследования

[39] Ефремов, Е. Л., Степанова, А. А. Аксиоматизируемость класса слабо инъективных полигонов. Сиб. матем. журн., 58(4): 785-795, 2017.

[40] Ефремов, Е. Л. Полнота и стабильность класса инъективных полигонов. Алгебра и логика, 59(1): 48-65, 2020.

[41] Ефремов, Е. Л. Примитивная нормальность и примитивная связность класса инъективных полигонов. Алгебра и логика, 59(2): 155— 168, 2020.

[42] Ефремов, Е. Л. Аксиоматизируемость класса главно слабо инъективных полигонов. Материалы региональной научно-практической конференции студентов, аспирантов и молодых учёных по естественным наукам,, 201-203. Владивосток: Дальневост. федерал, унт, 2016.

[43] Ефремов, Е. Л. Полнота класса слабо инъективных полигонов. Международная конференция «Мальцевские чтения», 183. Новосибирск, 2016.

[44] Ефремов, Е. Л. Полнота класса слабо инъективных полигонов. Материалы региональной научно-практической конференции студентов, аспирантов и молодых учёных по ест,ест,венным, наукам^ 247248. Владивосток: Дальневост. федерал, ун-т, 2017.

[45] Ефремов, Е. Л. Стабильность класса главно слабо инъективных

полигонов. Международная конференция «Мальцевские чтения», 148. Новосибирск, 2017.

[46] Ефремов, Е. Л. Стабильность класса инъективных полигонов. Материалы региональной научно-практической конференции студентов, аспирантов и молодых учёных по ест,ест,венным, наукам^ 218— 219. Владивосток: Дальневост. федерал, ун-т, 2018.