Алгебраическая геометрия над коммутативными полугруппами тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат физико-математических наук Шевляков, Артем Николаевич

• Шевляков, Артем Николаевич
• кандидат физико-математических наук
• 2010

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Шевляков, Артем Николаевич

Введение

0 Предварительные сведения

0.1 Предварительные сведения из теории полугрупп.

0.2 Предварительные сведения из теории моделей.

0.3 Предварительные сведения из универсальной алгебраической геометрии.

1 Описание координатных моноидов для коммутативного моноида с сокращениями

1.1 Координатные моноиды над аддитивным моноидом натуральных чисел в языке без констант.

1.2 Геометрическая эквивалентность коммутативных моноидов с сокращениями.

1 3 Описание неприводимых координатных моноидов над моноидом натуральных чисел в языке с константами

1.4 Разложение приводимого множества над Л/" в объединение неприводимых компонент.

1.5 Описание координатных £-моноидов над Л/", аксиоматизация квазимногообразия Qvar(AT).

1.6 Вычисление радикала вырожденного уравнения над N

2 Идемпотентные коммутативные полугруппы на службе у алгебраической геометрии

2.1 Несовпадение классов N.N', Q,U в многообразии коммутативных идемпотентных ^-полугрупп.

2.2 Решения проблемы вложения координатной полугруппы в конечное произведение логически неприводимых полугрупп

Класс нётеровых по уравнению £-полугрупп не аксиоматизируем.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Алгебраическая геометрия над коммутативными полугруппами»

Алгебраическая геометрия — это одна из классических математических дисциплин, изучающая решения систем алгебраических уравнений над полем. Решения систем алгебраических уравнений изначально искались-, во-множестве вещественных чисел, а затем и комплексных чисел. Оказалось, что многие из полученных результатов использовали лишь алгебраическую замкнутость поля комплексных чисел, и поэтому естественным образом были перенесены на случай произвольного алгебраически замкнутого поля. Более того, в первой половине ХХ-го века в работах А. Вейля, О. Зарисского, Б. Ван дер Вардена, Э. Нётер была развита алгебраическая геометрия над произвольным полем.

Переход от алгебраической геометрии над полем комплексных чисел к алгебраически замкнутому полю, а затем и к произвольному полю был обусловлен существованием общих принципов, верных при решение - систем алгебраических уравнений над произвольным полем. Таким образом, история развития алгебраической геометрии над полем позволяет сформулировать следующую проблему: существуют ли общие принципы решения систем уравнений, верные не только для любого ноля, но и для произвольной алгебраической системы языка без предикатов?

Решение данной проблемы составляет основное содержание универсальной алгебраической геометрии, новой математической дисциплины! Алгебраическая геометрия над произвольной алгебраической системой Л занимается изучением свойств элементов И., задаваемых системами уравнений.

Изучение универсальной алгебраической геометрии (алгебраической геометрии над над алгебраическими системами) было начато в работах

Б.И. Плоткина [23, 24] (для многообразий алгебр), Г. Баумслага,

A.Г. Мясникова, В.Н. Ремесленникова [2] и А.Г. Мясникова,

B.Н. Ремесленникова [22] (для групп). Данные работы являются попытками теоретически осмыслить результаты, полученные ранее при решении некоторых классов уравнений над конкретными алгебрами и группами (например, уравнения над свободной группой ранее изучались в работах Р. Линдона [18], К. Аппеля [1], А.И. Мальцева [20], Г.С. Маканина [19], A.A. Разборова [25, 26], Р.И. Григорчука и П.Ф. Курчанова [11]).

За последние годы накоплен достаточно богатый материал об алгебраических геометриях над различными алгебраическими системами. К настоящему времени многие задачи и проблемы алгебраической геометрии были решены в следующих классах групп и алгебр

• метабелевы группы: В.Н. Ремесленников [30], В.Н. Ремесленников, Р. Штёр [27, 28], В.Н. Ремесленников, Н.С. Романовский [31], В.Н. Ремесленников, Е.И. Тимошенко [32];

• разрешимые группы: Н.С. Романовский [33];

• алгебры Ли: Э.Ю. Даниярова, И.В. Казачков, В.Н. Ремесленников [3, 4], Э.Ю. Даниярова [8], Э.Ю. Даниярова, В.Н. Ремесленников [9], В.Н. Ремесленников, Р. Штёр [29]

• свободная группа: А.Г. Мясников, О. Харлампович [13, 14, 15], 3. Села [34]

Отдельно следует сказать об алгебраической геометрии над свободной группой. Её развитие в первую очередь было вызвано попытками решить проблему Тарского об элементарной эквивалентности свободных некоммутативных групп конечных рангов. Работа над её решением велась многие годы и многими специалистами. Завершающие результаты были получены в работах А.Г. Мясникова, О. Харлампович и 3. Селы, указанных выше. Последние работы не только положительно решают проблему Тарского, но и содержат описание координатных групп алгебраических множеств над свободной группой и это описание дано на языке свободных конструкций.

Естественно, что после построения алгебраической геометрии над свободной группой была сделана попытка описать координатные алгебры над свободным моноидом. В настоящее время данная проблема, несмотря на работу многих специалистов, далека до окончательного решения. В качестве одной из причин её сложности укажем1 на один из результатов данной диссертации, утверждающий, чю алгебраическая геометрия даже над однопорождённым бесконечным моноидом достаточна сложна.

В алгебраической геометрии над алгебраическими системами есть ряд общих принципов, которые не зависят от свойств конкретной алгебраической системы. В связи с тем, что стало появляться много работ над различными группами и алгебрами, возникла необходимость в изложении общих основ алгебраической геометрии над алгебраическими системами. В этом направлении работает коллектив математиков, состоящий-из Э Ю. Данияровой, А.Г. Мясникова и В.Н. Ремесленникова, которым уже подготовлено три статьи [5, 6, 7] по данной теме

В данных работах были доказаны так называемые Объединяющие теоремы, позволяющие изучать координатные алгебры с семи разных точек зрения. Там же были сформулированы несколько проблем, решению которых посвящена вторая часть данной диссертации.

Статьи [5, 6, 7] по универсальной алгебраической геометрии объясняют общие принципы, верные для любой алгебраической системы. Но в то же время решение классификационных задач для конкретной алгебраической по-прежнему остаются интересным и требующим решения.

В частности, в первой главе настоящей диссертации, следуя идеям работ [5, 6, 7], изучается алгебраическая геометрия над однопорождённым бесконечным моноидом (наиболее естественное представление этого объекта — натуральные числа N с операцией сложения) и описываются все координатные моноиды.

Дополняя множество натуральных чисел до множества целых, мы г получаем абелеву группу. Проблема описания координатных групп над группой Ъ была решена в работе [22], где была доказано, что любая координатная группа над Ъ изоморфна и наоборот- все декартовы степени Ъп являются координатными группами алгебраических множеств над Z. Заметим также, что на самом деле в [22] были описаны координатные группы алгебраических множеств над любой абелевой группой.

К сожалению, в многообразии моноидов нет хороших структурных результатов (таких как теорема о разложении конечно порождённой абелевой группы в прямую сумму циклических групп), и поэтому не существует 'универсального метода, позволяющего по заданному коммутативному моноиду М описать все координатные моноиды алгебраических множеств над М. Более того, даже для моноида N натуральных чисел множество всех координатных моноидов достаточно сложно и, как доказано в диссертации, не исчерпывается декартовыми степенями

Многие свои понятия и подходы универсальная алгебраическая геометрия берёт из классической алгебраической геометрии над полем. Например, заимствованными понятиями являются алгебраическое множество и координатная алгебра — аналог понятия координатного кольца в классическом случае. На случай произвольной алгебраической системы обобщаются и некоторые результаты из алгебраической геометрии над полем (например, теорема о дуальной эквивалентности категории алгебраических множеств и координатных алгебр). Однако другие результаты (и их большинство) на случай произвольной алгебраической системы не переносятся. Это ставит перед исследователем задачу по поиску контрпримеров, не допускающих такое обобщение.

Кончено, построение таких примеров облегчается тем, что в качестве алгебраической системы Л мы можем брать произвольную модель произвольного языка без предикатов и доказывать, что алгебраическая геометрия" над ней не допускает переноса результатов с алгебраической геометрии над полем. Но большую ценность контрпример будет иметь, если найденная алгебра Л будет принадлежать стандартному многообразию алгебр (например, А будет группой).

Конечно порождённые кольца многочленов над полями являются нётеровыми Этот факт в классической алгебраической геометрии над полем к играет решающую роль, так как аффинное пространство кп оказывается нётеровыми топологическим пространством (с топологией Зарисского). Произвольная алгебраическая система с таким свойством называется нётеровой по уравнениям.

Во, второй главе настоящей диссертации в многообразии коммутативных идемпотентных полугрупп в языке со счётным множеством констант и решается ряд проблем, поставленный в работах [С, 7|, и связанный с понятием нётеровости по уравнениям.

Помимо построения примеров, показывающих переносимость некоторых результатов с алгебраической проблемы над полем, в универсальной алгебраической геометрии рассматриваются и чисто теоретико-модельные проблемы. Например: является ли класс всех нётеровых по уравнениям алгебраических систем языка С аксиоматизируемым В нашей диссертации даётся отрицательный ответ на этот вопрос.

Основные цели данной работы: описать координатные моноиды над коммутативным моноидом с сокращениями, доказать критерий неприводимости для алгебраических множеств Решить проблемы, поставленные в универсальной алгебраической геометрии, связанными с понятием нётеровости по уравнениям и его обобщениями.

В качестве методов исследования использовались методы линейной алгебры, теории моделей, универсальной алгебраической геометрии.

Перечислим основные результаты в порядке появления их в работе.

1. Описаны координатные моноиды над аддитивным моноидом натуральных чисел Л/о в языке (+,0). Изучены моноиды универсально и геометрически эквивалентные Л/о

2. 'Описаны неприводимые координатные моноиды над аддитивным моноидом натуральных чисел N в языке {+, 0,1, 2 .). Предложен метод разложения приводимых алгебраических множеств над Л/* в объединение неприводимых компонент Дана удовлетворительная аксиоматизация универсального замыкания ис1(Л/).

3. Найдены необходимые и достаточные условия для того, чтобы произвольный моноид Л4 являлся координатным для некоторого непустого алгебраического множества над Л/". Дана удовлетворительная аксиоматизация квазимногообразия С^уаг(Л/") с помощью квазитождеств простейшего вида Получены структурные результаты о координатных моноидах алгебраических множеств над

ЛЛ

4. Построены примеры коммутативных идемпотентных полугрупп в счётом языке С = {■, со-ci, ci.), показывающие несовпадение свойств нётеровости по уравнениям и различных видов компактности (классов N, N', Q, U).

Все цели исследования были достигнуты, а именно: была создана алгебраическая геометрия над аддитивным моноидом натуральных чисел (в стандартном и в языке с константами); построены примеры коммутативных идемпотентных полугрупп в языке с счётным числом констант, . решающие проблемы, поставленные в работах [6, 7]; доказана неаксиоматизируемость класса нётеровых по уравнениям коммутативных идемпотентных полугрупп в языке С.

Результаты диссертации были доложены на Омском алгебраическом семинаре (2008-2010), международных математических конференциях к

Мальцевские чтения" (Новосибирск, 2008-2010), "Geometric and Asymptotic Group Theory with Applications" (USA, Hoboken, 2009) и международных семинарах "Makanin-Razborov Algorithm" (Italy, Alagna, 2008), "Новые алгебро-логические методы решения систем уравнений в алгебраических системах" (Омск, 2009).

Результаты диссертации опубликованы в работах [35, 36, 37]. Работа [35] выполнена совместно с П.В. Морарем при равном вкладе соавторов.

Диссертация изложена на ста пяти страницах, содержит введение, главу с предварительными сведениями, две главы с полученными результатами и список литературы. Главы разбиты на параграфы, список литературы содержит 37 наименований.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Шевляков, Артем Николаевич, 2010 год

1. К. Appel. One-variable equations in free groups // Proc. Amer. Math. Soc., 19, pp. 912-918, 1968.

2. G. Baumslag, A. Myasnikov, V. Remeslennikov. Algebraic geometry over groups I; Algebraic sets and Ideal Theory // J. Algebra, 219, pp. 16-79. 1999.

3. E. Daniyarova, I. Kazachkov, V. Remeslennikov. Algebraic Geometry over Free Metabelian Lie Algebra I: U-Algebras and Universal Classes // J. of Math. Sci., 135(5), pp. 3292-3310, 2006, arXiv:0710.3871vl math.AG],

4. E. Daniyarova, I. Kazachkov, V. Remeslennikov. Algebraic Geometry over Free Metabelian Lie Algebra II: Finite Field Case // J. of Math. Sci., 135(5), pp. 3311—3326, 2006, arXiv:0710.3872 math.AG].

5. E. Daniyarova, A. Miasnikov, V. Remeslennikov. Unification theorems in algebraic geometry // Algebra and Discrete Math., 1, pp. 80-112, 2008, arXiv:0808.2522vl math.AG],

6. E. Daniyarova, A. Miasnikov, V. Remeslennikov. Algebraic geometry over algebraic structures II: Foundations // 2010, arXiv:1002.3562vl math. AG],

7. E. Daniyarova, A. Miasnikov, V. Remeslennikov. Algebraic geometry over algebraic structures III: equationally Noetherian property and compactness // Southeast Asian Bulletin of Mathematics, submitted, 2010, arXiv: 1002.4243 math.AG],

8. Э.Ю. Даниярова. Алгебраическая геометрия над свободными метабелевыми алгебрами Ли III: Q-алгебры и координатные алгебры алгебраических множеств // препринт, Омск, ОмГУ, С. 1-130, 2005.

9. Э.Ю. Даниярова, В.Н. Ремесленников. Ограниченная алгебраическая геометрия над свободной алгеброй Ли // Алгебра и логика 44(3), С. 269-304, 2005.

10. Ф.Р Гантмахер. Теория матриц, ФИЗМАТЛИТ, 560с, 2010.

11. R.I Gngorchuk, P.F. Kurchanov. On quadratic equations in free groups // Contemp. Math., 131(1), pp 159-171, 1992.

12. P. Grillet. Commutative semigroups, Springer, 456p, 2001.

13. O. Kharlampovich, A. Myasnikov. Irreducible affine varieties over free group I: Irreducibility of quadiatic equations and Nullstellensatz // J. Algebra, 200(2), pp. 472-516, 1998.

14. O. Kharlampovich, A. Myasnikov. Irreducible affine varieties over free group II: Systems in trangular quasi-quadratic form and description of residually free groups // J. Algebra, 200(2), pp. 517—570, 1998.

15. О Kharlampovich, A. Myasnikov. Algebraic geometry over free groups. Lifting solutions into generic points // Contemp. Math., 378, pp. 213318, 2005.

16. M. Kotov. Equationally Noetherian Property and Close Properties, Southeast Asian Bulletin of Mathematics // submitted, 2010.

17. M.M. Ковалёв. Целочисленное программирование // УРСС, 192с, 2003'.

18. R. Lyndon. Groups with parametric exponents // Trans. Amer. Math. Soc., 96, pp. 518-533, 1960.

19. Г.С. Маканин. Уравнения в свободной группе // Изв. АН СССР, сер. мат., 46(6) С. 1199-1273, 1982.

20. А.И. Мальцев. Об уравнении х,у] — [а. Ь] в свободной группе // Алгебра и Логика, 1 С. 45-50, 1962.

21. D. Marker. Model Theory: an Introduction // Springer, 340p, 2000.

22. A. Myasnikov, V. Remeslennikov. Algebraic geometry over groups II: logical foundations // J. Algebra, 234, pp. 225-276, 2000.

23. B. Plotkin. Varieties of algebras and algebraic varieties. Categories of algebraic varieties// Siberian Advances in Math., 7(2), pp. 64-97 (1997).

24. B. Plotkin. Algebras with the same (algebraic) geometry // Proc. Steklov Inst. Math., 242 C. 165-196, 2003.

25. A.A. Разборов. О системах уравнений в свободной группе // Изв. АН СССР, сер. мат., 48(4), С. 779-832, 1982.

26. A. Razborov. On systems of equations in a free groups // Combinatorial and geometric group theory, Cambridge University Press, pp. 269-283, 1995.

27. V. Remeslennikov, R. Stohr. On algebraic sets over metabelian groups // J. Group Theory, 8, pp. 491-513, 2005.

28. B.H. Ремесленников. Размерность алгебраических множеств над свободной метабелевой группой // Фундам. и прикл. мат., 7, С. 873885; 2000.

29. В.Н. Ремесленников, Н.С. Романовский. О неприводимых множествах в метабелевых группах // Алгебра и логика, 44(5), С. 601-621, 2005.

30. В.Н. Ремесленников, Е.И. Тимошенко. О топологических размерностях п-групп // Сиб. мат. журн., 47 №2 (2006), 415-431; translation in Sib. Math. J., 47 №2, С. 341-354, 2006.

31. Н.С. Романовский. Нётеровость по уравнениям жёстких разрешимых групп // Алгебра и Логика, 48(2), С. 258-279, 2009.

32. Z. Sela. Diophantine geometry over groups VI: The elementary theory of a free group// GAFA, 16, pp. 707—730, 2006.Работы автора по теме диссертации

33. P. Morar, A. Shevliakov. Algebraic Geometry over the Additive Monoid of Natural Numbers: Systems of Coefficient Free Equations // Combinatorial and Geometric Group Theory: Dortmund and Carleton Conferences, pp. 261-278, 2010.

34. A. Shevlyakov. Algebraic geometry over the additive monoid of natural numbers: The classifcation of coordinate monoids // Groups, Complexity and Cryptology, 2(1), pp. 91-111, 2010.

35. А.П. Шевляков. Алгебраическая геометрия над моноидом натуральных чисел. Неприводимые алгебраические множества // Труды Института математики и механики УрО РАН, 16(4), С. 258-269, 2010.

36. A. Shevlyakov. Classes qw- and uw-compact and equationally Noetherian commutative semigroups ate pairwise distinct. Тезисы конф. "Новые алгебро-логические методы решения систем уравнений в алгебраических системах С. 21, Омск, 16-22 авг. 2009.