Продолжение частичных операций и полигоны над вполне 0-простыми полугруппами тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат наук Петриков Александр Олегович

• Петриков Александр Олегович
• кандидат наук
• 2018

Оглавление диссертации кандидат наук Петриков Александр Олегович

{0}, •)

1.4 Частичная полугруппа ненулевых матриц над полем

2 Непродолжаемые частичные полугруппы

2.1 Поиск непродолжаемых частичных полугрупп

2.2 Минимальные непродолжаемые полугруппы

3 Специальные вопросы теории полигонов

3.1 Продолжение частичных операций в полигонах

3.2 Строение полигонов над вполне простыми и вполне 0-простыми полугруппами

3.3 Инъективность и проективность полигонов над вполне простой полугруппой

3.4 Инъективность и проективность полигонов над вполне 0-простой полугруппой

Заключение

Литература

93

Введение

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Продолжение частичных операций и полигоны над вполне 0-простыми полугруппами»

Общая характеристика работы

Актуальность исследования.

Операции, определённые не для всех набор аргументов, или частичные операции, рассматривались следующими специалистами [6, 7, 8, 12, 21]. Причина интереса данных авторов в данном вопросе заключается в том, что частичные операции достаточно распространены, а также являются обобщением обычных операций. В монографии Ляпина Е. С. и Евсеева А. Е. [9] даётся подробное изложение теории частичных операций.

В данной работе мы будем искать ответ на вопрос, можно ли продолжить частичную операцию до полной. При этом некоторые определённые свойства должны остаться неизменными, например, сохранение ассоциативности для полугруппы и аксиомы полигона - для полигонов.

Обобщения определения ассоциативности операции на частичные бинарные операции были введены В. В. Розеном в [12]. Нас будут интересовать только понятия сильной и слабой ассоциативности частичной операции. Сильно ассоциативная частичная бинарная операция — операция, для которой для любых элементов х, у, г выполняется: либо произведения (ху)г и х(уг) оба не определены, либо (ху)г = х(уг). Слабо ассоциативная частичная бинарная операция — операция, для которой для любых элементов х, у, г выполняется: либо хотя бы одно из произведений (ху)г и х(уг) не определено, либо (ху)г = х(уг). Из определений ясно, что если частичная операция является сильно ассоциативной, то она также слабо ассоциативна.

Напомним, что полугруппа [2] — это множество с ассоциативной операцией. Обобщим это понятие для частичной операции. Назовём частичной

полугруппой множество, на котором частичная бинарная операция ассоциативна в сильном смысле. Рассмотрим полугруппу с нулём, удалим из неё нули — несложно проверить, что мы получим частичную полугруппу.

Теперь перейдём к продолжению частичной операции до полной. Е. С. Ля-пин и А. Е. Евсеев [9, глава 1, параграф 6] выделили внутреннее и внешнее продолжение частичной операции. Внутренним продолжением операции • на множестве Р называется операция * на том же множестве, такая, что из существования произведения х • у для всех х, у € Р выполняется равенство х * у = х • у. Внешним продолжением операции • на множестве Р называется операция * на некотором множестве ( Э Р, такая, что из существования произведения х • у для всех х, у € Р выполняется равенство х * у = х • у.

Е.С. Ляпин в [7] даёт описание необходимых и достаточных условий внутренней продолжаемости полугруппы частичных преобразований с единицей.

Продолжить частичную полугруппу внешним образом можно следующим образом: добавить элемент к частичной полугруппе и объявить его нулём, все неопределенные произведения определить этим элементом. В диссертации будут рассматриваться продолжение частичной полугруппы внутренним образом с сохранением ассоциативности. Очевидно, что внутренне продолжаемая частичная полугруппа существует; например, частичная полугруппа на двухэлементном множестве, все произведения которой не определены. Ясно, что частичная ассоциативность в сильном смысле выполняется. Мы можем продолжить её несколькими способами с сохранением ассоциативности, например до полугруппы правых нулей. Возникает вопрос о существовании внутренне непродолжаемой частичной полугруппы. На этот вопрос был получен положительный ответ в [40, пример 2].

Также нас интересуют некоторые вопросы из теории полигонов. Полигоном [22] над полугруппой Б (или Б-полигоном) называется множество X, на котором действует полугруппа Б, то есть определено отображение X х Б ^ X, (х,в) ^ хв такое, что х(в£) = (хв)1 при всех х € X, в^ € Б.

Полигон X над полугруппой Б является унарной алгеброй, так как в качестве унарных операций на X можно брать элементы полугруппы. Кроме

того, полигон является алгебраической моделью автомата (см. [10]). При этом X — множество состояний автомата, а Б — полугруппа входных сигналов.

Полигон X над полугруппой Б называется унитарным, если в полугруппе Б есть единица е и хе = х для всех х Е X. Полигон X над полугруппой Б называется циклическим, если полигон порожден некоторым элементом х Е X, т.е. X = хБ. Полигон X над полугруппой Б называется сепарабельным, если для любых двух элементов х,у полигона X существует ненулевой элемент из полугруппы в Е Б \ {0} такой, что хв = ув.

Полигон X называется копроизведением попарно не пересекающихся под-полигонов X,; (г Е I), если X — их объединение, обозначается ЦX,;.

Отметим, что в диссертации произведение отображений будем осуществлять слева направо, то есть хав = в(а(х)) для некоторых отображений а и в и некоторого элемента х.

Полигон X над полугруппой Б называется инъективным, если для любого мономорфизма а : Р ^ Q полигонов Р и Q над полугруппой Б и любого гомоморфизма у : Р ^ X существует гомоморфизм ф : Q ^ X такой, что аф = у.

Полигон X над полугруппой Б называется проективным, если для любого эпиморфизма а : Р ^ Q полигонов Р и Q над полугруппой Б и любого гомоморфизма у : X ^ Q существует гомоморфизм ф : X ^ Р такой, что

фа = у.

Инъективной оболочкой полигона X над полугруппой Б называется минимальный инъективный полигон, содержащий X. Проективное накрытие полигона X — это проективный полигон Рх такой, что существует сюръек-тивный гомоморфизм в : Рх ^ X, но для любого подполигона Р С Рх, отличного от Рх, ограничение в | р не является сюръективным.

Частичным полигоном над полугруппой Б называется множество X, для которого произведения хв определены, возможно, не для всех х Е X, в Е Б, но аксиома полигона (хв)£ = х(в£) выполнена, если оба произведения существуют, либо оба произведения не существуют, где £ Е Б.

Полурешёткой Б называется частично упорядоченное множество, в кото-

ром для любых двух элементов х,у € Б определена точная нижняя грань. Отношение порядка задается следующим образом: х < у, тогда и только тогда, когда ху = ух = х.

Частичный полигон продолжается до полного, если после продолжения частичного отображения X х Б ^ X до полного аксиома полигона х(в£) = (хв)£ будет выполнена для всех х € X, в, £ € Б.

Гомологическая теория — важное направление общей алгебры, а в теории колец и модулей она занимает одно из центральных мест. Под большим влиянием теории колец и модулей создавалась гомологическая теория полугрупп и полигонов над ними. Целый спектр вопросов этой теории освещён в статье [13] и монографии [22].

Обзор основных результатов по исследованию теории полигонов был сделан в [3] И.Б. Кожуховым. Инъективности и проективности полигонов над полугруппами посвящены главы III и IV в уже упоминавшейся монографии [22]. Проективное накрытие, как и в случае модулей над кольцами, существует не у всякого полигона. Инъективные оболочки существуют для любого полигона над полугруппой; это доказал Бертьём в [18] без предположения о наличии в полугруппе единицы. Исбелл (см. [22, гл. III, теорема 17.26]) изучал полугруппы с единицей, над которыми все полигоны имеют проективные накрытия. В работах [20] и [24] Могаддаси описал инъективные сепарабельные полигоны и построил инъективные оболочки полигонов над полугруппой левых нулей. В работе [23] были построены инъективные оболочки полигонов над полурешётками групп. В [4] И.Б. Кожуховым и А.Р. Халиуллиной описаны инъективные и проективные полигоны над группами и полугруппами правых и полугруппами левых нулей, построены инъективные оболочки и проективные накрытия полигонов над этими полугруппами. При этом было убрано требование сепарабельности полигонов над полугруппой левых нулей, поставленное в [24]. В [11] Д.О. Птахов исследует примитивно нормальные и аддитивные аксиоматизируемые классы всех свободных, проективных сильно плоских полигонов над моноидом. В [26] Руэнтан исследует однородные полигоны над моноидом и их инъективные свойства. В [25] Могаддаси

и Махмуди описывают подпрямо неразложимые полигоны над полугруппой нулей, над полугруппой правых нулей и над строгой цепью полугруппы левых нулей. В [14] А.А. Степанова и Д.О. Птахов дают описание строения (Р, в)-, (Р, а)-, (Р, е)-стабильных левых полигонов А над счётным моноидом Б левых нулей.

Следует отметить, что основным средством для исследований в [4] послужило полученное в [17] описание полигонов над вполне простыми и вполне 0-простыми полугруппами.

Цель настоящей работы заключается в исследовании возможности продолжения частичных операций в специальных видах частичных полугрупп, а также о нахождении условий проективности и инъективности полигонов над вполне (0-)простыми полугруппами.

Методы исследования. В работе использованы методы алгебраической теории полугрупп, теории универсальных алгебр и теории полигонов.

Личный вклад автора. В диссертации изложены результаты, полученные как лично автором, так и совместно с другими авторами. В совместных работах автору принадлежит примерно 50% результатов.

Достоверность результатов данной диссертации определяется обоснованными теоретическими выкладками и строгими доказательствами, опирающимися на методы алгебраической теории полугрупп, теории универсальных алгебр и теории полигонов.

Научная новизна и положения, выносимые на защиту. В диссертации получены следующие новые результаты, которые выносятся на защиту:

• Получены необходимые и достаточные условия возможности продолжения частичной операции до полной в некоторых частичных полугруппах (ненулевых элементов вполне 0-простой полугруппы с конечным числом Н-классов, ненулевых вычетов и ненулевых (2 х 2)-матриц над полем).

• Построены примеры непродолжаемых частичных полугрупп. Найдена минимальная (по количеству элементов) непродолжаемая полугруппа.

• Отмечена связь продолжаемости операции с инъективностью универ-

сальной алгебры.

• Получено полное описание инъективных и проективных полигонов над вполне простыми и вполне 0-простыми полугруппами. Для произвольных полигонов над этими полугруппами построены инъективные оболочки и проективные накрытия.

Практическая и теоретическая значимость. Работа носит теоретический характер. Результаты, полученные в данной работе, могут быть использованы для дальнейшего изучения теории полигонов и частичных операций над частичными алгебрами.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на следующих научных конференциях:

1) на международном симпозиуме «Абелевы группы» (Москва, МПГУ, 2014), на международной научной конференции «Математика и информатика» (Москва, МПГУ, 2016);

2) на XII Международном семинаре «Дискретная математика и её приложения» (Москва, МГУ, 2016);

3) на международной конференции по алгебре, анализу и геометрии, посвященной юбилеям профессоров П.А. и А.П. Широковых (Казань, КФУ, 2016);

4) на XIV Международной конференции «Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения», посвященной 70-ти летию со дня рождения С.М. Воронина и Г.И. Архипова (Саратов, 2016);

5) на XVIII Международной конференции «Теоретические проблемы кибернетики» (Пенза, 2017);

6) на 5-ой Международной конференции «Современные информационные технологии в образовании и научных исследованиях» (Донецк, ДонНТУ, 2017).

Также результаты данной работы неоднократно докладывались и обсуждались на научно-исследовательском семинаре «Кольца, модули и матрицы» кафедры высшей алгебры МГУ им. М.В. Ломоносова.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 13 работ: ([28] - [40]), из них 4 статьи ([28] - [31]) в журналах из списка ВАК.

Структура и объём диссертации. Диссертация состоит из введения, 3 глав, разбитых на 10 параграфов, заключения и списка литературы. Текст диссертации изложен на 97 страницах. Список литературы содержит 40 наименований.

Краткое содержание диссертации

Во введении даётся обзор результатов по исследуемым проблемам и кратко формулируются основные результаты диссертации.

Первая глава диссертации посвящена изучению необходимых и достаточных условий продолжения некоторых типов частичных полугрупп.

Сильно ассоциативная частичная бинарная операция — операция, для которой для любых элементов х, у, г выполняется: либо произведения (ху)г и х(уг) оба не определены, либо (ху)г = х(уг). Слабо ассоциативная частичная бинарная операция — операция, для которой для любых элементов х, у, г выполняется: либо хотя бы одно из произведений (ху)г и х(уг) не определено, либо (ху)г = х(уг). Из определений ясно, что если частичная операция является сильно ассоциативной, то она также слабо ассоциативна.

Назовём частичной полугруппой множество с ассоциативной частичной бинарной операцией в сильном смысле. Рассмотрим полугруппу с нулём, удалим из неё нули — несложно проверить, что мы получим частичную полугруппу.

Теперь перейдём к продолжению частичной операции до полной. Е. С. Ля-пин и А. Е. Евсеев [9, глава 1, параграф 6] выделяют два типа продолжения частичной операции: внутреннее и внешнее продолжение. Внутренним продолжением операции • на множестве Р называется операция * на том же множестве, такая, что из существования произведения х • у для всех х, у € Р выполняется равенство х * у = х • у. Внешним продолжением операции • на множестве Р называется операция * на некотором множестве ( Э Р, такая, что из существования произведения х • у для всех х, у € Р выполняется равенство х * у = х • у.

Напомним определение некоторых типов полугрупп. Вполне простой полугруппой [2] называется полугруппа, не имеющая нетривиальных идеалов и содержащая примитивный идемпотент (т.е. минимальный относительно естественного порядка е < / ^ е/ = /е = е). Вполне 0-простая полугруппа [2] Б — это полугруппа с нулём, идеалами которой являются лишь {0} и Б, причём Б2 = {0}, имеющая минимальный ненулевой идемпотент.

Теорема Сушкевича - Риса заключает (см. [2, теорема 3.5]), что вполне 0-простые полугруппы являются рисовскими матричными полугруппами Б = М°(С, I, Л, Р) над группой с нулём С° с сэндвич-матрицей Р = ||рд;||ДЕЛ «Е/, где рд Е С°, причём в каждой строке и в каждом столбце матрицы Р присутствуют ненулевые элементы (см. [2]).

Предложение 1.3. Частичная операция на полугруппе М = М°(С, I, Л, Р) \ {0} может быть продолжена до полной.

Приведем способ продолжения частичной полугруппы М°(С, I, Л, Р) \ {0}. Для этого получим новую сэндвич-матрицу Р заменой всех нулевых элементов сэндвич-матрицы Р единицей е; можно было заменить и любыми другими элементами из группы С. Положим, X * У = X/3У для X, У Е М. Тогда в силу ассоциативности умножения матриц (X * У) * ^ = ^РУ)РZ = XJP(УJPZ) = X * (У * Z) для любых матриц X, У, Z Е М. Не существовавшие в М произведения примут ненулевые значения, остальные останутся неизменными. Следовательно, частичная полугруппа М°(С, I, Л, Р) \ {0} может быть продолжена внутренним образом.

Данный способ, описанный в предложении 1.3, продолжения частичной операции частичной полугруппы М°(С, I, Л, Р)\{0} назовём стандартным.

Так как в стандартном продолжении можно было заменить все нулевые элементы сэндвич-матрицы произвольным элементом из группы С, то очевидно, что стандартных продолжений может быть более одного. Любое продолжение частичной полугруппы М°(С, I, Л,Р) \ {0}, полученное другим образом, назовём нестандартным.

Если полугруппа Б не содержит единицу, то добавим к ней единицу Б и {1}, иначе оставим полугруппу неизменной. Назовём полученную полугруппу полугруппой Б1.

Напомним определения отношений Грина %, £, Ъ, Н, Я на полугруппе Б: % = {(а,6)|аБ1 = ЬБ1}, £ = {(а,Ь)|Б1а = Б1Ь}, Н = % П £, Ъ = % V £, Я = {(а,6)|Б 1аБ1 = Б1ЬБ1}.

Приведём достаточное условие стандартного продолжения частичной операции полугруппы ненулевых элементов вполне 0-простой полугруппы

М°(С,/, Л,Р) \{0}.

Лемма 1.4. Пусть * — продолжение частичной операции • на полугруппе Ы = М°(С,/, Л, Р) \ {0}, (Ы, *) — вполне простая полугруппа, и %-, £-классы полугрупп (Ы, •) и (Ы, *) совпадают. Тогда операция * является стандартным продолжением.

Пусть Б = М°(С,/,Л,Р) — вполне 0-простая полугруппа. Тогда Яг = {(#)гЛ|# € С, Л € Л}, Ьл = {(#)гЛ|# € С, г € /} - ненулевые К- и ^-классы.

Приведём теорему, показывающую, что при продолжении частичной операции К- и £-классы могут лишь объединяться.

Теорема 1.6. Пусть Б = М°(С, /, Л, Р), Ы = Б \ {0}, * — ассоциативное продолжение частичной операции • на полугруппе (Ы, •). Тогда К-классы полугруппы (Ы, *) являются объединениями %-классов полугруппы (Ы, •). Причём для любых %-классов Я и Я' полугруппы (Ы, *), если Я = и Яг,

Я' = и Яг, где Яг — К-классы полугруппы (Ы, •), тогда можно постро-

г€1[

ить взаимно однозначное соответствие между множествами 1\ и . Для Н-классов Грина выполняется аналогичное утверждение.

При продолжении операции на М°(С, /, Л, Р) \ {0} до полной новая полугруппа будет простой, хотя необязательно вполне простой.

Предложение 1.7. Пусть Ы = М°(С,/, Л, Р) \ {0}.

Для любого ассоциативного продолжения * частичной операции • полугруппы (Ы, •) полугруппа (Ы, *) проста.

Рассмотрим Б = М°(С, /, Л, Р) с конечными множествами / и Л, а группа С может быть бесконечной. Обозначим т = |/1, п = |Л|, тогда сэндвич-матрица Р — (п х т)-матрица. Для некоторого разбиения множеств / и Л:

/ = и /7, Л = и ^ матрица Р имеет разбиение на подматрицы Р7^ =

7€Г ¿еД

1|РлгУл€^5 . Разбиение назовём нетривиальным, если существует подматрица в разбиении размера, отличного от 1 х 1.

Следующее предложение 1.9 даёт необходимое условие нестандартного продолжения на М°(С, /, Л, Р) \ {0}.

Предложение 1.9. Пусть множества I и Л частичной полугруппы М = М°(С, I, Л,Р) \ {0} конечны, * — нестандартное продолжение частичной операции • до полной ассоциативной. Тогда существует нетривиальное разбиение сэндвич-матрицы Р на подматрицы одного размера, содержащие не более одного ненулевого элемента.

Рассмотрим частичную полугруппу ненулевых вычетов. Для полугруппы ), как нетрудно проверить, Я-классы образуют решётку, изоморфную решётке делителей числа п. Если п чётно, то одноэлементный минимальный ненулевой Я-класс — это J (|).

Приведём необходимое и достаточное условие продолжаемости операции в частичной полугруппе Б = (Ъп \ {0}, ); данная теорема даёт полный ответ на вопрос продолжаемости данной полугруппы.

Теорема 1.12. Частичную мультипликативную полугруппу вычетов Б = (^п\ {0}, •) можно продолжить до полной тогда и только тогда, когда выполняется одно из условий:

(1) п чётно;

(2) п является степенью некоторого простого числа.

Перейдём к полугруппам матриц. Пусть Б — множество ненулевых матриц размера 2 х 2 над полем Р (т.е. (2 х 2)-матриц ранга 1 или 2). Б — частичная полугруппа относительно обычного матричного умножения. Возникает вопрос, можно ли продолжить частичную полугруппу Б до полной с сохранением ассоциативности. Это возможно только для двухэлементного поля. Будем рассматривать (2 х 2)-матрицы как линейные операторы а : Р2 ^ Р2,

/а

(х, у) ^ (х, у) • . Ядро и образ определяются обычным образом:

кег а = {V Е Р2|-иа = 0}, т а = Р2а.

Теорема 1.13. Частичную полугруппу Б ненулевых (2 х 2)-матриц над полем Р можно продолжить до полной тогда и только тогда, когда поле Р двухэлементное.

Вторая глава диссертации посвящена поиску непродолжаемых частичных полугрупп.

В данной главе ставится цель найти непродолжаемую внутренним полугрупповым образом частичную полугруппу с минимальным количеством элементов. Для этого была написана компьютерная программа, благодаря которой было сделано несколько утверждений:

Предложение 2.2. При п < 4 все частичные полугруппы на п-элементном множестве могут быть продолжены до полных внутренним образом.

Предложение 2.3. Частичная полугруппа на 5-элементном множестве, приведенная таблицей Кэли (см. таблицу 2.2), не продолжается до полной.

1 2 3 4 5

1 - - - 1 1

2 - - - 1 3

3 - - - 3 3

4 3 3 3 4 4

5 1 1 1 5 5

Таблица 2.2: Таблица Кэли частичной непродолжаемой полугруппы на 5-элементном множестве.

Следующее предложение говорит о единственности с точностью до изоморфизма и антиизоморфизма минимальной частичной полугруппы.

Предложение 2.4. Частичная полугруппа из предложения 2.3 — единственная с точностью до изоморфизма и антиизоморфизма непродолжаемая частичная полугруппа на 5-элементном множестве.

Предложение 2.5. Пусть Б — непродолжаемая частичная полугруппа на п-элементном множестве. Тогда при присоединении единицы к полугруппе Б непродолжаемость полученной полугруппы не сохранится.

Третья глава диссертации посвящена некоторым специальным вопросам теории полигонов. Рассматриваются частичные полигоны над полурешётка-

ми, приводятся некоторые условия продолжаемости частичных полигонов над полурешётками, а также рассматриваются полигоны над вполне простыми и вполне 0-простыми полугруппами М(С, I, Л, Р) и М°(С, I, Л, Р).

Частичные полигоны изучались Т.В. Апраксиной и М.Ю. Максимовским в [1].

Замечание 3.1 ([1]). Полигон над полурешёткой (даже частичный) является частично упорядоченным множеством с отношением порядка х < у тогда и только тогда, когда х Е у Б1.

Приведём условие продолжаемости частичного полигона, полученное ими.

Теорема 3.2 ([1, Теорема 11]). Пусть X — упорядоченное множество, являющееся частичным полигоном над полурешёткой Б. Если каждая компонента связности имеет наименьший элемент, то частичный полигон X продолжается до полного полигона.

Теперь приведём некоторые условия продолжаемости частичных полигонов до полных.

Теорема 3.3. Пусть X — частичный полигон над полурешёткой Б. Если существует элемент х° Е X такой, что х°Б С {х°}, то полигон X продолжается до полного.

Из теоремы 3.3 можно вывести 3 следствия.

Следствие 3.4. Если в частичном упорядоченном множестве (X, <) существует минимальный элемент, то частичный полигон X продолжается до полного.

Следствие 3.5. Если в (X, <) нет бесконечных убывающих цепей, то частичный полигон X продолжается до полного.

Следствие 3.6. Если X — конечное множество, то частичный полигон X продолжается до полного.

Теорема 3.7. Если в полурешётке Б нет бесконечных убывающих цепей элементов, то и в любом полигоне над Б также нет бесконечных убывающих цепей элементов.

Используя теорему 3.7, можно получить ещё одно достаточное условие продолжаемости частичного полигона над полурешёткой до полного.

Теорема 3.8. Если в полурешётке Б нет бесконечных убывающих цепей элементов, то любой частичный полигон над Б продолжается до полного.

В следующей теореме мы находим необходимое условие того, чтобы любой полигон над полурешёткой продолжался до полного.

Теорема 3.9. Если любой частичный полигон над полурешёткой Б продолжается до полного, то в полурешётке Б не существует бесконечных убывающих ограниченных снизу цепей элементов.

Понятия частичной полугруппы и частичного полигона над полугруппой могут быть существенно обобщены до понятия частичной универсальной алгебры, удовлетворяющей некоторому тождеству (или совокупности тождеств). В случае частичных полугрупп — это тождество ассоциативности, а в случае полигонов над полугруппой Б — совокупность тождеств х(й£) = (жй)£ для й, £ Е Б.

Приведём некоторые определения для частичных универсальных алгебр. Понятие сигнатуры вводится так же, как и для полных алгебр; изменение в том, что операции частичные. А именно, сигнатура — совокупность символов алгебраических операций. Для каждого символа должна быть указана арность операции, которую он будет представлять. Пусть А — частичная универсальная алгебра некоторой сигнатуры Пусть м(ж1,..., хп), ^(ж^... , хп) — термы, записанные в сигнатуре Будем говорить, что в алгебре А выполняется тождество м(ж1,..., хп) = ..., хп), если для любых элементов а1,..., ап Е А: либо м(а1,..., ап) и ..., хп) оба не существуют, либо оба существуют, и выполняется равенство и(а1,..., ап) = ... , хп).

Понятие гомоморфизма в случае частичных алгебр выглядит следующим образом. Пусть А и В — частичные алгебры одной сигнатуры 2. Отображение ^ : А ^ В (обычное, не частичное) называется гомоморфизмом частичных алгебр, если для любой частичной п-арной операции / из сигнатуры 2 и любых элементов а1,..., ап Е А из существования /(а1,..., ап) следует су-

шествование y(f(ai,..., an)), и равенство y(f(ai,..., an)) = f (y(ai),..., y(an)) выполняется. То есть, можно сказать, что гомоморфизм частичных алгебр сохраняет операции на тех наборах, на которых эти операции определены.

Инъективность частичной универсальной алгебры определяется так же, как в случае обычных алгебр.

Частичная алгебра A называется инъективной, если для любых алгебр P и Q, мономорфизма а : P ^ Q и гомоморфизма у : P ^ X существует гомоморфизм ^ : Q ^ X такой, что диаграмма 3.3 коммутативна.

P—— Q X

Рис. 3.3: Инъективная алгебра

Теорема 3.10. Если частичная алгебра инъективна и удовлетворяет некоторой совокупности тождеств, то все частичные операции этой алгебры продолжаются до полных с сохранением этой совокупности.

Следствие 3.11. Любой частичный инъективный полигон над полугруппой может быть продолжен до полного.

Таким образом, инъективность частичных полигонов даёт, наряду с вышеперечисленными, ещё одно достаточное условие продолжаемости частичных полигонов.

Дальнейшая часть главы 3 посвящена инъективности и проективности полигонов над вполне простыми и вполне 0-простыми полугруппами. Для дальнейшего нам понадобится полученное в [17] описание полигонов над вполне простой полугруппой M(G, I, Л, P) и полигонов с нулём над вполне 0-простой полугруппой M0(G, I, Л, P).

Любой циклический полигон над группой G имеет следующий вид: G/H, где H — подгруппа группы G, не обязательно нормальная, а G/H — множество правых смежных классов Hg. Умножение на полигоне задаётся следующим образом: Hg • g' = Hgg'.

Полигоны над вполне простыми полугруппами были описаны в теореме 5 из [17].

Теорема 3.12 ([17, теорема 5]). Пусть Б = М(С,1, Л,Р) — вполне простая полугруппа, X — множество, Ц = Ц(С/Н7) (С — группа, (Н7)7еГ

7ЕГ

— семейство её подгрупп). Пусть для каждого г Е I задано отображение п : X ^ Ц, а для каждого Л Е Л — отображение кд : Ц ^ X, дкдп = д • рдг при д Е Ц, г Е I, Л Е Л. Положим, х • (д)«д = (хпг • #)кд для всех х Е X. Тогда X будет являться полигоном над полугруппой Б, и наоборот, всякий полигон над Б изоморфен полигону, построенному таким способом.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Петриков Александр Олегович, 2018 год

Литература

[1] Апраксина Т. В., Максимовский М. Ю. Полигоны и частичные полигоны над полурешётками. // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. Т. 12, вып. 1. 2012. С. 3-7.

[2] Клиффорд А., Престон Г. Алгебраическая теория полугрупп: в 2-х томах. — М.: Мир. — 1972. — Т. 1. — 286 С.

[3] Кожухов И. Б. Некоторые вопросы теории полигонов над полугруппами. // Сборник материалов VII Международной научно-технической конференции «Информатика, управляющие системы, математическое и компьютерное моделирование». ДонНТУ. Донецк, 2016. — С. 62-68.

[4] Кожухов И. Б., Халиуллина А. Р. Инъективность и проективность полигонов над сингулярными полугруппами. // Электронные информационные системы. № 2 (2). 2014. С. 45-56.

[5] Кожухов И. Б., Халиуллина А. Р. О решётке конгруэнций полигонов над прямоугольными связками. // Труды IX Международной конференции «Дискретные модели в теории управляющих систем». Москва и Подмосковье, 2015. — С. 103-105.

[6] Ляпин Е. С. Внутреннее полугрупповое продолжение некоторых полугрупповых амальгам. // Изв. вузов. Матем. № 11. 1993. С. 20-26.

[7] Ляпин Е. С. О внутреннем продолжении частичных действий до полных ассоциативных. // Изв. вузов. Матем. № 7. 1982. С. 40-44.

[8] Ляпин Е. С. О возможности полугруппового продолжения частичного группоида. // Изв. вузов. Матем. № 12. 1989. С. 68-70.

[9] Ляпин Е. С., Евсеев А. Е. Частичные алгебраические действия. — Санкт-Петербург: Образование. — 1991. — 163 С.

[10] Плоткин Б. И., Гринглаз Л. Я., Гварамия А. А. Элементы алгебраической теории автоматов. — М.: «Высшая школа». — 1994. — 191 С.

[11] Птахов Д. О. Примитивная нормальность и аддитивность свободных, проективных и сильно плоских полигонов. // Алгебра и логика. Т. 53, № 5. 2014. C. 614-624.

[12] Розен В. В. Частичные операции в упорядоченных множествах. — Саратов: Изд-во Сарат. ун-та. — 1973. — 123 С.

[13] Скорняков Л. А. Гомологическая классификация моноидов. // Сиб. мат. журн. Т. 10, № 5. 1969. С. 1139-1143.

[14] Степанова А. А., Птахов Д. О. P-стабильные полигоны. // Алгебра и логика. Т. 56, № 4. 2017. С. 486-505.

[15] Халиуллина А. Р. Конгруэнции полигонов над полугруппами правых нулей. // Чебышевский сборник. Т. 13, № 3 (47). 2013. С. 142-146.

[16] Халиуллина А. Р. Условия модулярности решётки конгруэнций полигона над полугруппой правых и левых нулей. // Дальневост. матем. журнал. Т. 15, № 1. 2015. С. 102-120.

[17] AvdeyevA. Yu., Kozhukhov I. B. Acts over completely 0-simple semigroups. // Acta Cybernetica. Vol. 14, no. 4. 2000. P. 523-531.

[18] Berthiaume P. The injective envelope of S-sets. // Canad. Math. Bull. V. 10, no. 2. 1967. P. 261-273.

[19] Cayley A. On the Theory of Groups. // American Journal of Mathematics. Vol. 11, no. 2. 1889. P. 139-157.

[20] Ebrahimi M., Mahmoudi M., Moghaddasi Gh. Injective hulls of acts over left zero semigroups. // Semigroup Forum. Vol. 75, no. 1. 2007. P. 212-220.

[21] GoralcikP., Koubek V. On completing partial groupoids to semigroups. // Int. J. Algebra Comput. Vol. 16, no. 3. 2006. P. 551-562.

[22] Kilp M., Knauer U., Mikhalev A. V Monoids, acts and categories. W. de Gruyter. - 2000. - 529 P.

[23] Kim J. P., Park Y. S. Injective hulls of S-systems over a Clifford semigroup. // Semigroup Forum. Vol. 43, no. 1. 1991. P. 19-24.

[24] Moghaddasi Gh. On injective and subdirectly irreducible S-acts over left zero semigroups. // Turk J. Math. V. 36. 2012. P. 359-365.

[25] Moghaddasi Gh., Mahmoudi M. Subdirectly irreducible acts over some semigroups. // Bulletin of the Iranian Mathematical Society. V. 43, no. 6. 2017. P. 1913-1924.

[26] Roueentan M., Sedaghatjoo M. On uniform acts over semigroups. // Semigroup Forum. 20.10.2017. P 1-15.

[27] The GAP Group. URL: http://www.gap-system.org (дата обращения: 14.08.2016).

Работы автора по теме диссертации

[28] Кожухов И. Б., Петриков А. О. Инъективные и проективные полигоны над вполне 0-простой полугруппой. // Чебышевский сб. Т. 17, № 4 (60). 2016. С. 65-78.

[29] Кожухов И. Б., Петриков А. О. Проективные и инъективные полигоны над вполне простыми полугруппами. // Фунд. и приклад. матем. Т. 21, № 1. 2016. С. 123-133.

[30] Петриков А. О. Минимальная непродолжаемая частичная полугруппа. // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. Т. 17, № 1. 2017. С. 31-39.

[31] Петриков А. О. Продолжение частичной полугрупповой операции. // Математические заметки СВФУ. Т. 24, № 2. 2017. С. 30-45.

[32] Кожухов И. Б., Петриков А. О. Инъективность и проективность полигонов над вполне простыми подгруппами. // Материалы XII Международного семинара «Дискретная математика и ее приложения». МГУ. Москва, 2016. — С. 201-204.

[33] Кожухов И. Б., Петриков А. О. Инъективность и проективность полигонов над прямоугольными связками. // Иссл. по алгебре, теории чисел, функц. анализу и смежн. вопросам. Межвуз. сб. научн. трудов. Вып. 8. Саратов, 2016. — С. 126-127.

[34] Кожухов И. Б., Петриков А. О. Подпрямо неразложимые полигоны над прямоугольными группами. // Материалы конференции XVIII Межд. конф «Теоретич. проблемы кибернетики». Пенза, 2017. — С. 120-122.

[35] Кожухов И. Б., Петриков А. О. Подпрямо неразложимые полигоны над прямоугольными группами. // Электронные информационные системы. № 2. 2017. С. 101-109.

[36] Кожухов И. Б., Петриков А. О. Продолжаемость операции умножения в полугруппе ненулевых вычетов. // Материалы межд. конф. по алгебре, анализу и геометрии, посв. юбилеям проф. П. А. и А. П. Широковым. КФУ. Казань, 2016. — С. 209-210.

[37] Кожухов И. Б., Петриков А. О. Проективные полигоны над прямоугольными связками. // Материалы межд. научн. конф. «Математика и информатика». МПГУ. Москва, 2016. — С. 51-53.

[38] Коробов М. С., Петриков А. О. Продолжение частичной операции в универсальных алгебрах. // Материалы конференции 5-я Межд. конф. «Соврем. инф. технологии в образовании и научн. исследованиях». ДонНТУ. Донецк, 2018. — С. 79-83.

[39] Петриков А. О. Частичные полугруппы и отношения Грина. // Материалы международного симпозиума «Абелевы группы». МПГУ Москва, 2014 — С. 62-63.

[40] Петриков А. О. Частичные полугруппы и отношения Грина. // Электронные информационные системы. № 3 (3). 2014. С. 65-72.