Делимые полигоны с примитивно нормальными и стабильными теориями тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат наук Красицкая Анастасия Игоревна

• Красицкая Анастасия Игоревна
• кандидат наук
• 2021

Оглавление диссертации кандидат наук Красицкая Анастасия Игоревна

5-полигонов

1.3 Примитивная связность класса делимых 5-полигонов

2 Стабильность класса делимых 5-полигонов

2.1 Предварительные сведения • • <

2.2 Стабильность

5

2.4 ¡¡-стабильность класса делимых 5-полигонов

3 Р-стабильность некоторых классов 5-полигонов

3.1 Предварительные сведен зд.я « « <

3.2 (Р, 1) -стабильность некоторых классов 5-полигонов

3.3 (Р, й) -, (Р, а) -, (Р, е) -стабильность некоторых классов

Заключение

Список литературы

Введение

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Делимые полигоны с примитивно нормальными и стабильными теориями»

Общая характеристика работы

Постановка задачи и актуальность темы диссертации.

Тема диссертационной работы относится к теоретико-модельной алгебре. Предметом исследования являются некоторые классы полигонов, при этом акцент делается на классы делимых полигонов. С помощью классических методов теории моделей, среди которых теория стабильности, различные теоретико-модельные конструкции, изучаются такие свойства этих классов, как примитивная нормальность, примитивная связность, стабильность и Р-стабильность.

Полигоны над моноидами, т.е. множества, на которых действуют моноиды, встречаются в разных разделах математики и ее приложений. Например, всякая универсальная алгебра является полигоном над моноидом своих эндоморфизмов; всякий моноид является полигоном над собой. Полигонам посвящен ы работы [6,7,24]. Следует отметить, что полигон над моноидом является унарной алгеброй, так как умножение на элементы моноида можно рассматривать как унарные операции. Обратное тоже верно: любая унарная алгебра является полигоном над свободным моноидом с сигнатурными операциями в качестве свободных порождающих этого моноида. В частности, унар можно рассматривать как полигон над циклическим моноидом. В этом смысле работы, посвященные теоретико-модельным свойствам унаров, относятся к работам по теории моделей полигонов. Это работы A.A. Иванова [4], А.Н. Ряскина [16] и других.

В теории полигонов большое число исследований посвящено делимым полигонам, которые обобщают делимые группы. Делимым

5-полигоном называется полигон над моноидом S (S-полигон) s^удовлетворяющий условию cA = A для любого сократимого справа элемента c Е S. Понятие делимого S-полигона было введено Э. Феллером и Р. Гантос в работе [22]. Делимые расширения S -полигонов впервые были рассмотрены В. Гоулд в [23]. В этой же работе получена характеризация

S

Понятие нормальной теории было введено независимо А. Пиллай-ем и в неявной форме Е.А. Палютиным. При этом А. Пиллай исходил из нормальности теории любого модуля, а Е.А. Палютин — из нормальности произвольной стабильной хорновой теории. Примитивно связные теории являются по определению примитивно нормальными теориями. Эти теории достаточно близки к теории модулей. Вопросы примитив-

S -полигонов, свободных, проективных,

S

Пановой [17-19], Д.О. Птахова [14]. Вопросам примитивной связности посвящены работы A.A. Степановой [17,20]. В [17] дается характеризация SS

S

митивно нормальной теорией. В диссертации вопросы примитивной нормальности и примитивной связности рассмотрены для класса делимых S

Понятие стабильной теории было введено С. Шелахом и явилось обобщением понятия тотально тр^нсцбндбнтнои теории введенно го М. Морли. Для классов регулярных, проективных, сильно плоских S-полигонов вопросы стабильности, суперстабильности, и-стабильности рассмотрены в работах Т.Г. Мустафина [1,9,10], B.C. Богомолова [1],

A.B. Михалева [2, 8], E.B. Овчинниковой [8], A.A. Степановой [2, 8],

B. Гоулд [2]. В работе Т.Г. Мустафина [9] доказано, что теория любого S-полигона стабильна (суперстабильна) тогда и только тог^дЭ;ког^дЭ; S

В диссертации рассмотрены вопросы стабильности, суперстабильности, ш -стабильности д^ля класса делимых S

Понятие Р-стабильности является частным случаем обобщенной стабильности полных теорий [11]. Абелевы группы с Р рий описаны в работе Е.А. Палютина [12]. В [15] М.А. Русалеев дает полное описание (Р, 1)-стабильных теорий в терминах определимой интерпретируемости в теории языка одноместных предикатов. В ра-

S "полигоны с (Р, 1) -стабильной теорией. Кроме того, доказано, что (P,s)-7(P,a)-7 (Р, e) -стабильность SS

S

Р-стабильностью некоторых классов S-полигонов. В частности, получе-

S над которым классы свободных, проективных,

S Р

Цели и задачи данной работы заключаются в изучении строения моноидов с точки зрения теоретико-модельных свойств класса дели-S

S

Р

Методы исследования. В работе используются классические методы теории моделей такие, как теория стабильности, различные теоретико-модельные конструкции, а также методы теории

5

Новизна и научная значимость работы. Результаты диссертации являются новыми и носят теоретический характер. Они могут быть

5

при чтении спецкурсов по теории моделей, написании учебных пособий и монографий.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Исследованы моноиды, над которыми класс делимых

5

55 5

5

группа. Результаты опубликованы в [25].

5

5-полигона стабильна, суперстабильна, ¡-стабильна. В частности«I дока

5

5

5

5 ¡ тогда и только тогд^а^ т^ссзг^л^.а*

5

5

ликованы в [26].

Р

классов 5-полигонов. Доказано, что классы 5-ЛаЬ всех 5-полигонов, Т 5 5

V всех проективных 5-полигонов, 5-Огу всех делимых 5-полигонов

(P, 1)-стабильны только в том случае, когда S — одноэлементный моноид. Описаны моноиды, над которыми класс R всех регулярных полигонов (P, 1)-стабилен. Показано, что классы S- Act всех S-полигонов, S-Div всех д^елизугых S-полпгонов (P, s)-, (P, a)-, (P, e) -стабильны в

S

коммутативных моноидов, для которых класс R всех регулярных полигонов (P, s)-, (P, a)-, (P, e)-стабилен. Результаты опубликованы в [27].

Апробация работы. Результаты диссертации излагались автором на семинаре «Алгебра и логика» Института им. C.J1. Соболева СО РАН (г. Новосибирск), семинаре «Теория моделей» имени Е.А. Палюти-на Института им. C.J1. Соболева СО РАН (г. Новосибирск), а также на международных конференциях «Мальцевские чтения» (г. Новосибирск, 2017-2020), Региональных научно-практических конференциях студентов, аспирантов и молодых ученых по естественным наукам (г. Владивосток, 2017-2019), Научно-практических конференциях на английском языке студентов, магистрантов и аспирантов Школы естественных наук ДВФУ (г. Владивосток, 2017, 2018).

Публикации. Результаты автора по теме диссертации опубликованы в работах [25-35]. Работы [25-27] опубликованы в изданиях, которые входят в перечень ВАК российских рецензируемых научных журналов, в которых дол^нкны быть опубликованы основные результаты диссертаций на соискание ученых степеней доктора и кандидата наук, а так же индексируемых в наукометрических системах (SCOPUS и т.д.). Работы [25,27,29] написаны в неразрывном сотрудничестве со A.A. Степановой.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения,

трех глав, заключения и списка литературы. Компьютерный набор выполнен с использованием пакета КЩХ. Общий объем диссбрт^ци и 58 ст р сьн и ц • Библиография включает 35 наименований.

Содержание диссертации

Во введении приводится обзор основных результатов научных работ отечественных и зарубежных авторов, связанных с темой диссертации, и кратко приводятся основные результаты диссертации.

В первой главе дается описание моноидов, над которыми класс делимых S-полигонов примитивно нормален или примитивно связен.

Под левым S -полигоном sA (или просто S -полигоном) понимается алгебраическая система (A; Ls) языка Ls = {fi^|s Е S} такая, что fs(ft(a)) = fst (a) и f1(a) = a для любых a Е A, s,t Е S. Аналогично определяется понятие правого S-полигона. Подсистема sB S-полигона sA называется подполигоном полигона sA. В этом случае используем обозначение sB С sA. Для любого s Е S унарную операцию fs Е Ls на A будем обозначать через s. Класс всех S-полигонов обозначим через S-Act.

Элемент c Е S называется сократимым справа, если из равенства ac = bc следует равенство a = b дл. я любых a,b Е S. Делимый — это S-полигон sA, удовлетворяющий условию cA = A

c Е S BCGX Д^бЛИЗУГЫХ

обозначим через S-Div . S

жество {Sa | a Е S} линейно (вполне) упорядочено относительно ^ .

Формула вида

3xi •••^xn (Фо Л •••Л Ф^),

где Ф^ ,i < k, — атомарные формулы, называется примитивной.

Пусть Ф(х,у) — примитивная формула языка L, a — кортеж элементов и \a\ = \y\. Множество вида Ф(С,a) называется примитивным. Если b — кортеж элементов и \b\ = \y\, то множества Ф(С, a) и Ф(С ,b) называются примитивными копиями.

Эквивалентность а на некотором множестве X n-ок элементов СС Ф(х1,Х2), называется примитивной эквивалентностью. Область определения X такой эквивалентности а определяется в С примитивной формулой Ф(х, x), и ^^^^^^^^ется через dom(a). Если a Е X, то через a/а будем обозначать класс эквивалентности а с представителем a а а

ментны.

Теория T называется примитивно нормальной, если для любых примитивных копий X, Y выполнено X = Y или X П Y = 0. Класс структур K языка L называется примитивно нормальным, если теория Th(A) примитивно нормальна для любой структуры A класса K

T

нормальна и любые обобщенно примитивные копии либо примитивно

KL

ется примитивно связным, если теория Th(A) примитивно связна для

A класса K

Для моноидов, над которыми класс делимых S-полигонов прими-

тивно нормален, был получен следующий результат:

S

S Div S Act

S

Также было получено описание моноидов, над которыми класс де-S

S

S Div S Act

S

Во второй главе исследуются моноиды, над которыми теория S ш -стабильна.

Теория T И cL3 Ы В 9i6T СЯ стабильной в мощности к или к -стабильной, если IS(X)| < к для любой модели A теории T и любого X С A мощности к,. Если теория T к -стабильна для некоторого бесконечного к, то T И cL3 Ы В йбТСЯ T к —стабильна ДЛЯ ВС6Х

к > 2IT1, то T И cL3 Ы В 9i6T СЯ T ЯВЛЯ6ТСЯ

T И 9i3 Ы В 9i6T СЯ нестабильной.

Пусть K — класс S-полигонов. Моноид S И 9i3 Ы В Bj6T СЯ K -стабилизатором (K-суперстабилизатором, K-ш-стабилизатором), если Th(sA) стабильна (суперстабильна, ш -стабильна) д [ля любого S-полигонa sA Е K. Если K = S-Act, то K-стабилизатор (K-суперстабилизтор, K-ш-стабилизатор) будем называть стабилизатором (суперстабилизатором, ш -стабилизатором).

S

на (суперстабильна) тогда и только тог^дЭ)когдЭ; 5 — линейно (вполне) упорядоченный моноид:

Теорема 2.6 Для моноида 5 следующие условия эквивалентны:

(1) 5 является 5 - Ръу -стабилизатором;

(2) 5 является стабилизатором; 5

5

(1) 5 является 5 - Ръу -суперстабилизатором; 5 5

5

5 -полигонов ш -стабильна тогда и только тогдЭ;«, когдЭ;

5

5

5

условия эквивалентны:

(1) 5 является 5 - Ръу -ш -стабилизатором;

(2) 5 является ш -стабилизатором;

5

5

В третьей главе рассматриваются вопросы, связанные с Р-

5

класса дели-

5

5

5

над которым классы свободных, проективных, 5 Р

Пусть Т — теория языка Ь, С монстр-модель, т.е. насыщенная в достаточно Т

Т(X) = {ф(а) | а Е X,С \= ф(а),ф(а) — формула языка Ь},

язык Ьр получается из я зыка Ь добавлением нового одноместного предикатного символа Р, А — некоторое множество предложений языка ЬР .Теория Т н аз ы в ает ся Рд -стабильной в мощности X, если для любого множества X в теории Т мощноети ^ X множество

Тд(Х) = Т(X) и {Р(а) I а Е X} и А

имеет не более X пополнений в языке (L(X ))р .Теория Т н аз ы в ае т ся Рд Рд

ности X.

Т н аз ы в ае т ся^ (Р, в) -стабильной, если она является Рд-А, Р

функциональными символами языка Ь. Теория Т ^^^^ается (Р, а) -

Рд А,

Р

алгебраически замкнутым множеством, т.е. содержит все конечные мно-

СЬ Р. Т н аз ы в ае т ся^ (Р, е) -стабильной.,

Рд А,

Р

ной подсистемой. Класс К алгебраических систем языка Ь называется (Р, 1)— ((Р, в)-, (Р, а)-, (Р, е)—) стабильным, если теория ТН(Л) (Р, 1)— ((Р, в)-, (Р, а)-, (Р, е)) стабильна для любого А Е К. Алгебраи-

ческая система А языка Ь называется (Р, 1)— ((Р,в)-7(Р7а)-7(Р7е)-) стабильной, если ТН(Л) (Р, 1)— ((Р, в)-7 (Р, а)-7 (Р, е) -) стабильна.

Результаты третьей главы относятся помимо класса делимых

5

5 5

X С Г) в классе 5-ЛаЬ называется 5-полигон 5Г такой, что для любого 5-полигона 5Л и отображения в : X — Л сущвствубт единс х1 Н1з1и гомоморфизм в 5 Г — 5Л такой, что вь = в, где I : X — Г — это вложение. Класс 5 -полигонов обозначим через Т.

Проективным 5-полигоном 5Р называется такой 5-полигон, что для любой ди агр ам м ы 5

5Р

в

5 N.

где ф — эпиморфизм, сущвст в уст существует гомоморфизм ф :5 Р —^5 М такой, что диаграмма

5Р

У \в

5 М^з N

коммутативна.

Если Л5 — правый 5-полпгон и 5В — левый 5-полнгон, то тензорное произведение Л5 и 5В , обозначаемое через Л5 В , это фактормножество множества Л х В относительно эквивалентности, порожденной множеством {((ав7Ь), (а,вЬ)) | а Е Л,Ь Е В, в Е 5}. Для а Е Л и Ь Е В класс эквивалентности с предетавптелем (а, Ь) будем обозна-

чать через a 0 b. Отображение — 0 B является функтором из категории Act S S

ким S-полигоном называется S-полигон sB такой, что функтор — 0 B сохраняет универсальные квадраты. Обозначим класс всех сильно плоских S-полигонов через SF.

Пусть sA S-полигон. Элемент a Е A Н 9i3 Ы В Т СЯ act-регулярным., если существует гомоморфизм ф : sSa —у sS такой, что ф(a)a = a. Регулярным S-полигоном называется S-полигон, все элементы которого act-регулярны.

Теорема 3.13 Пусть класс KS копроизведений и существуют S-полигон sA Е K и e2 = e Е S, такие что s Se С s A. Если класс K (P, 1) -стабильным, то полигон

s Se

Из теоремы 3.13 получаем следующее следствие: Следствие 3.14 Пусть

класс

KS

тельно копроизведений и существует S-полигон sA Е K, такой что s S С sA. Класс: K

(P, 1) -стабильным

ТОГДдь И Т0ЛЫ£0 ТОГДдь •

когда |S| = 1.

Так как классы S-Act7 F 7 SF 7 P 7 S-Div замкнуты относительно копроизведений и содержат S-полнгон sA Е K 7 такой что sS С sA, то из следствия 3.14 получаем

Следствие 3.15 Пусть K — один из классов: S-Act, F, SF, P, S - Div . Класс K

(P, 1) -стабильным

ТОГД^с^ И ТОЛЬ 1СО ТОГД^с^ш

| S| = 1

S

Следствие 3.16 Пусть R = 0. Класс: R (P, 1)-стабилен тогда и

только тогда, когда |Se| = 1 для любо го e = e2 £ R, где R — регулярный центр моноида S.

Для (P, e) -стабильности получен следующий результат:

Теорема 3.17 Пусть класс К S -полигонов замкнут относительно копроизведений и склеек и существуют S -полигон sA £ Кие2 = e £ S, такие что sSe С sA. Если класс K (P,e) -стабильным, то

Ste = Se для любого t £ S.

Основываясь

на теореме 3.17, получаем

Следствие 3.18 Пусть класс KS

SS s A £ К, такой что s S С s A. Для моноида S следующие условия экви-

j5 3íi/j (ish тны •

1) класс К (P,s) -стабилен;

2) класс К (P, a) -стабилен;

3) класс К (P,e) -стабилен;

S

Так как классы S-Act и S-Div замкнуты относительно копроизведений и склеек и содержат S-полпгон sA £ К, такой что sS С sA, то из следствия 3.18 получаем

К S Act S Div

S

1) класс К (P,s) -стабилен;

К (P, a)

К ( P, e )

S

S 15

Теорема 3.21 Пусть класс ^ аксиоматизируем и удовлетворяет условию формульной определимости изоморфных орбит. Для моноида 5

1) класс ^ (Р, в) -стабилен;

2) класс ^ (Р, а) -стабилен;

3) класс ^ (Р,е) -стабилен;

4) 51е = 5е для любого идемпотента е Е Я, где Я — регулярный центр моноида .

Следствие 3.22 Пусть — коммутативный моноид. Для моноида следующие условия эквивалентны:

1) класс ^ (Р, в) -стабилен;

2) класс ^ (Р, а) -стабилен;

3) класс ^ (Р,е) -стабилен;

4) 51е = 5е для любого идемпотента е Е Я, где Я — регулярный центр моноида .

В заключении приводятся основные результаты диссертации.

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю, д.ф.-м.н., доценту Степановой Алене Андреевне за постоянное внимание к работе и всестороннюю поддержку.

1 Примитивная нормальность и

примитивная связность класса делимых 5-полигонов

В данной главе исследуются моноиды, над которыми класс дели-5

55 5

рядоченный моноид (теорема 1.10), примитивно связен тогда и только 5

1.1 Предварительные сведения

Приведем некоторые необходимые в дальнейшем определения и

5

мулировать результаты исследования в этой и последующих главах (см. [24], [2], [8]).

Пусть 5 — моноид, 1 — единица 5. Моноид 5 называется линейно (вполне) упорядоченным, если множество {5а | а Е 5} линейно (вполне) упорядочено относительно • Говорят, что элемент с Е 5 сократим справа, если из равенства ас = Ьс следует равенство а = Ь для любых а,Ь Е 5. Элемент в Е 5 обратим справа, если существует элемент £ Е 5, такой что в£ = 1.

Под левым 5 -полигоном #А (или просто 5 -полигоном) понимается алгебраическая система (А; Ьз) языка Ьв = Е 5} такая, что /в(Л(а)) = /вг(а) и /\(а) = а для любых а Е А, Е 5. Аналогично определяется понятие правого 5-полигона. Подсистема #В 5-полигона

sA называется подполигоном полигона sA. В этом случае используем обозначение sB С sA. Для любого s Е S унарную операцию fs Е Ls на A будем обозначать через s. Класс всех S-полигонов обозначим через S-Act.

Замечание 1.1. Если t — обратимый справа элемент моноида S и sA S-полигон, то tA = A.

SA

р на A, такое что из (a, a') Е р следует (sa, sa') Ер любых a, a' Е A, s Е S. Вместo (a, a') Е р часто будем использовать запись apa . Наименьшая относительно С конгруэнция на S-полигоне sA, содержащая множество X С A х A, называется конгруэнцией S -полигона sA, порожденной множеством X. Копроизведением S-полигонов SAi, i Е I, называется их д^изтьюнктнос объединение; копроизведение S-полигонов sAi ,i Е I, ^^^^^^^^ется через |J sAi.

iЕI

Теорема 1.2. [24] Пусть SA S -полигон, X С A х A и р = p(X). Для любых a,b Е A соотношение a рЬ имеет место в том и только том случае, если либо a = b, либо существуют p\,... ,pn,q\,... ,qn Е A, s\,..., sn Е S, такие что (pi,qi) Е X или (qi,pi) Е X для любых i, 1 < i < n, и

a = sipi, siqi = s2p2, ■■■ , snqn = b. c Е S

ac = bc a = b я любых a, b Е S

S-полигон — это S-полигон sA, удовлетворяющий условию cA = A

c Е S в с ex д^елизутых

S-полигонов обозначим через S-Div .

Отображение в : А ^ В, такое что в(ва) = вв(а) для любых а А, в 5 п сьз ы в 9)6т ся 5А 5-полигон В. Свободным (с множеством свободных образующих X в 5- АсЬ) 5-полигоном называется 5-полигон Г, такой что для любого 5-полигона А и отображения в : X ^ А существует единстН1з1 гомоморфизм в : Г ^ А, такой что ¿в = в, где I : X ^ Г — это вложение.

Через Т обозначим множество всех сократимых справа, но необратимых справа элементов 5. Пусть зА 5-полигон,

X = {(£,а) Е Т х А I а не делится на £},

5Г(X) — свободный 5-полигон с множеством свободных образующих

X,

Н = {(г(г,а),а)1(г,а) Е X, а Е А} С (Г(X) Ц А) х (Г(X) Ц А),

р(Н) — конгруэнция 5-полигон а 5 (Г (X) У А), порожденная множеством Н, 5и(Т, А) = 5(Г(X) Ц А)/р(Н). Заметим, что существует б с т б ственное вложение п : 5А ^ 5и(Т, А), поэтому элементы а Е А можно отождествлять с п(а).

Введем обозначения: 5А0 = 5А 5Ai =5 и(Т,А—\) для г Е М,

Б(А) = Ai.

Предложение 1.3. [24] Если ар(Н)Ь для некоторых а,Ь Е А, то

а=Ь

Положим 5 А0 = 5 А, 5 А' =5 и (T,Ai-l) г Е N В (А) = У А'.

'Еш

Теорема 1.4. [24] 5-полигон 5Б ( А) является делимым 5 -полигоном.

Делимым расширением 5-полигона 5А Н сЬЗ Ы В йбТСЯ 5 5 В(А).

с^у л (здт^у то тпц теорема является непосредственным следствием теоремы 1.4.

Теорема 1.5. Для любого 5-полигона 5А существует, делимый 5 -полиго н 5 В (А), такой ч то 5 А С 5 В (А).

Приводимые ниже сведения из теории моделей можно найти в [5], [3]. Для алгебраической системы А языка Ь и а\,... ,ап Е А вместо а = (а\,..., ап) Е Ап будем писать а Е А; длину кортежей а = (а\,..., ап) и Х = (х\,..., хп), где Х\,... ,хп — переменные, будем обозначать через а и 1x1 соответственно, т.е. а = п и 1x1 = п. Пусть Т — полная теория языка Ь. Пусть в,1 — кортежи элементов или переменных. Тогда У в — множество, состоящее из элементов кортежа в. Вмест о в ^ У в пише м в Е в; вместо У в ^У £ — прос то в и в; вместо У в П Р|в — прос то в П в. Зафиксируем некоторую достаточно большую и насыщенную модель С теории Т, она называется монстр-моделыо,

Т

ся ее элементарными подмоделями. Считаем, что все элементы, кортежи

С

Ф(Х,у) — формула языка Ь А Т а

ментов из А и а = |у| , то положим Ф(А, а) = {Ь | А = Ф(Ь, а)}.

Класс К структур называется аксиоматизируемым, если существуют язык Ь и множество предложений ^ языка Ь, такие что для

А

А Е К ^^ (язык А равен Ь и А = Ф для всех Ф Е Z).

Формула вида

3x! •••Bxn (Фо Л •••Л Фк),

где Ф^ ,i < k, — атомарные формулы, называется примитивной.

Пусть Ф(х,у) — примитивная формула языка L, а — кортеж элементов и \a\ = \у\. Множество вида Ф(С,a) называется примитивным. Если b — кортеж элементов и \Ь\ = \у\, то множества Ф(С, а) и Ф(С ,b) называются примитивными копиями.

Эквивалентность а на некотором множестве X n-ок элементов СС Ф(х1,х2)} называется примитивной эквивалентностью. Область определения X такой эквивалентности а определяется в С примитивной формулой Ф(х, х), и обозначается через dom (а). Если а Е X, то через а/а будем обозначать масс эквивалентности а с представителем a а а

ментны.

Теория T называется примитивно нормальной, если для любых примитивных копий X, Y выполнено X = Y или X П Y = 0. Класс структур K языка L называется примитивно нормальным, если теория Th(A) примитивно нормальна для любой структуры A класса K

Теорема 1.6. [17] Класс S-Act всех S-полигонов является примитивно нормальным тогда и только тогда, когда S — линейно упорядоченный моноид.

X н ä3 ы в ä6t ся А -примитивным, если существует се-

S

X = f]{Y \ Y Е S}.

Эквивалентность а называется А -примитивной, если существует множество E примитивных эквивалентностей, такое что

а = П{в I в е E}.

Классы X и Y одной А-примитивной эквивалентности а называются А-примитивными копиями. Множество вида X = X*/а = {а/а | а е X*}, где X* — А-примитивное множество, а — примитивная эквивалентность и X* С dom (а), называется обобщенно примитивным, при этом X* — основа, а а — образующая эквивалентность обобщенно

X

{а} а А

множества являются обобщенно примитивными. Обобщенно примитивные множества Xi, X2 называются обобщенно примитивными копиями, если у них есть общая образующая эквивалентность, а их основы X*,X%

А

Формула Ф(Х,у, z), Ixl = ly|, называется (Х,у) -рефлексивной, если T b VxVyVz(Ф(Х, у, z) ^ (3zФ(Х, x, z) A 3zФ(у, у, z))).

Пусть обобщенно примитивные множества Xo и X1 являются обоб-

а

Xo X1

ная (Х,у) -рефлексивная формула Ф(Х,у, с) (с параметрами с), такая что

для любых ao е X* и bo е X* существу ют а1 е X* и b1 е X*, такие что в C истинны Ф(а0,Ь 1,е) и Ф(а 1,b0,z);

(b) для любого а е X* множество Ф(а, C,z) не содержит X* и верно b /а С ф(а, C, z) для любого b е Ф(а, C, z);

(с) для любого Ь Е XI множество Ф(С,Ь, с) не содержит X0 и верно а/а С Ф(С, Ь, с) для любого а Е Ф(С, Ь , с).

Теория Т называется примитивно связной, если она примитивно нормальна и любые обобщенно примитивные копии либо примитивно связаны, либо обе одноэлементны. Класс структур К языка Ь называется примитивно связным, если теория ТН(Л) примитивно связна для любой структуры Л класса К.

Теорема 1.7. [17] Класс Б-АсЬ всех Б -полигонов является примитивно связным тогда и только тогда, когда Б — группа.

1.2 Примитивная нормальность класса делимых Б-полигонов

Пусть 5А Б-полигон. Напомним, что через Т обозначается множество всех сократимых справа, но необратимых справа элементов Б,

X = {(Ь,а) Е Т х А | а не делится на

5Г(X) — свободный Б-полигон с множеством свободных образующих

X,

Н = {(г(г,а),а)1(г,а) Е X, а Е А} С (Г(X) Ц А) х (Г(X) Ц А),

р(Н) — конгруэнция Б-полигона 5(Г(X) У А), порожденная множеством Н, 5и(Т, А) = 5(Г(X) □ А)/р(Н).

Лемма 1.8. Пусть 5А Б-полигон, а Е А, и Е Б, (Ь,с) Е X, а Е Бй, й = и(г, с)/р(Н) Е и (Т, А). Тогда а Е Бс.

Доказательство. Пусть условия леммы выполняются и а = тй., где т Е Б. В силу ар(Н)ти(1,с) и теоремы 1.2 существуют

x0, ...,xn, y0, ...,yn G A У F (X ), s0, ...,sn G S, такие что

ru(t, c) = вохо, a = snyn, sy = s+x+i,

причем (xi,yi) G H или (yi,xi) G H (0 < i < n). Так как ru(t,c) G F (X ), то x0 G F (X ). Так как (x0,y0) G H, то y0 G A. Следовательно, s0y0 G A, т.е. s0y0p(H )a. По предложению 1.3 s0y0 = a.

Поскольку (x0,y0) G H, то x0 = s(s, y0) для некоторого s G T, где (s,y0) G X. Тогда ru(t,c) = s0s(s,y0). Так как S-полигон F(X) свободный, то (t,c) = (s,y0), т.е. y0 = c. Следовательно, a = s0c G Sc.

Лемма 1.9. Пусть SA S-полигон, a,b G A, d G D(A)\A, a,b G Sd. Тогда a,b G Sc для некоторого c G A.

Доказательство. Пусть a,b G A, d G D(A)\A, a,b G Sd d G Ak для некоторого k > 0. Обозначим d через ck. Индукцией по i < k покажем, что a,b G Sck-{ для некотор ого c— G A— ■ Пусть i <k, a,b G Sck-i, ck-{ G Ak-{ = U(T,A—i+i)) и c— G Ak-(i+i) ■ Тогда ck-{ = u(t, ck-({+i))/p(Hk-i), где t G T ,u G S,c—i+i) G A—i+i) и ck-(i+1) не делится на t. В силу a,b G Sck-i, c— = u(t, ck-(i+i))/p(H-) и леммы 1.8 имеет место a,b G Sck-(i+i). Следовательно, a,b G Sc0 для некоторого c0 G A.

S

(!) класс S-Div примитивно нормален; S Act

S

Доказательство. Утверждение (2) ^ (1) очевидно. Утверждение (2) ^ (3) следует из теоремы 1.6.

Докажем (1) ^ (3). Пусть Б-Огу — примитивно нормальный

Б

ным, т.е. существуют в,Ь Е Б, такие что БЬ С Бв и Б в С БЬ. Пусть 5Бi (1 < г < 4) — попарно непересекающиеся копии Б-полигона 5Б, ai

4

— копия элемента а Е Б в Б^ в — конгруэнция Б-полигона У 5Бi,

i=l

порожденная множеством {(11,13), (Ь2,Ь4), (в17 в2)} . Через 5А обозначим

4

полигон у 5 Б ¡/в. Пусть

i=1

Ф(х, у) ^ Зи(ви = х Л Ьи = у).

То ГДТ^

5О(А) = Ф(зз/вм/в) л Ф(в1/вм/в) л Ф(в1/вм/в).

Теория ТН(5А) примитивно нормальная, поэтому

5 О(А) =Ф(вз/вМ/в).

Тогда существует а Е О (А), такой ч то ва = в3/в и Ьа = Ь4/в. Понятно, что а Е О (А) \ А. Следовательно в3/в,Ь4/в Е Ба. По лемме 1.9, в3/в,Ь4/в Е Бс для некоторого с Е А. Противоречие.

1.3 Примитивная связность класса делимых Б

Пусть 5А Б-полигон, Ь Е Б. Определим на Б-полигоне 5А примитивную эквивалентность а^ следующим образом:

а а^ Ь ^^ Ьа = ЬЬ.

Лемма 1.11. Пусть класс Б-Огу примитивно связен. Если 5А Е Б — От, то а^ является нулевой примитивной эквивалентностью на Б-полиго не 5 А для любого Ь Е Б.

Доказательство. Пусть класс Б-Огу примитивно связен, Т — теория класса Б-Огу, 5А Е Б-Огу, Ь Е Б и для некоторого а Е А класс а/а^ неодноэлементен. Через 5А1 и 5А2 обозначим копии Б-полигона 5 А, через а1 Е А1 и а2 Е А2 обозначим копии эле мента а Е А. Заметим, что 5В = 5А1 и 5А2 Е Б-Огу. В силу примитивной связности класса Б- Огу существует примитивная формула Ф(х,у,с), где с Е В, примитивно связывающая примитивные копии а1/ав и а2/ав. Положим

Ф(х, у, с) ^ БиФ(х, у, с, и).

5А1 5А2 Б 5В

формуле Ф(х,у,с,и) нет подформул, эквивалентных формулам вида

к—1

тх = в0у0 Л Д тгуг = в+у+ Л Ткук = ву,

¡=0

где у-1 Е с и и (0 < г < к). Тогда

Ф(х,у, с, и) = Ф1(х, с, у) Л Ф2(у, с, причем у П & = 0. Это означает, что в теории Т

Ф(х, у, с) = БсФ1(х, с, у) Л Б&Ф2(у, с,

Следовательно,

5В = БуФ1 (хо,с, у) Л Б&Ф2(уо,с,&)

для любых х0 Е а1/ав, у0 Е а2/ав, что противоречит определению

Б Огу

Лемма 1.12. Пусть класс S - Div примитивно связен. Если SЛ S-полигон, t Е Sua Е Л, то Sta = Sa.

Доказательство. Пусть класс 5-Огу примитивно связен, 5А — 5-полигон, £ Е 5 и а Е А. Через 5а1 и 5а2 обозначим непересекающиеся копии 5-полигона 5а 7 ва1 и ва2 — копии элемента ва Е 5а для любого в Е 5, 5В = (55а1 и^ 5а2)/в, где конгруэнция в порождается парой (£а1, £а2). Так как В С Б (В), в 5-полигоне 5 Б (В) имеет место равенство £а1/в = £а2/в . По лемме 1.11 а\/в = а2/в. Следовательно, а Е 5Ьа, т.е. 5Ьа = 5а.

Лемма 1.13. Если 5£ = 5 для любого £ Е 5, то 5 — группа.

Доказательство. Пусть 5£ = 5 дл я любых £ € 5 и Так

как 5г = 5, то 1 = г'г для некоторого г' Е 5. В силу 5г' = 5 верно 1 = г''г' для некоторого г'' Е 5. Значит, г = г''(г'г) = г''1 = г'', и 1 = гг', т.е. г' = г-1. Таким образом, 5 — группа.

5

(!) класс 5-Бт примитивно связен;

(2) класс 5 -АсЬ примитивно связен; 5

Доказательство. Утверждение (2) ^ (1) очевидно. "«¡у1'" т в б р)е н и б (1) ^ (3) следует из лемм 1.12, 1.13. Утверждение (3) ^ (2) вытекает из теоремы 1.7.

2 Стабильность класса делимых Б-полигонов

Б

делимого Б-полигона стабильна, суперстабильна, и -стабильна. В част-

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Красицкая Анастасия Игоревна, 2021 год

Список литературы

[1] Богомолов, B.C., Мустафин Т.Г. Описание коммутативных моноидов, все полигоны над которыми и -стабильны. Алгебра и логика, 28(4): 371-381, 1989.

[2] Гоулд, В., Михалев, A.B., Палютин, Е.А., Степанова A.A. Теоретико -модельные свойства свободных, проективных и плоских S -полигонов. Фуид. прикл. матем., 14(7): 63-110, 2008.

[3] Ершов, Ю.Л., Палютин, Е.А. Математическая логика. Фи:шит-лит. 2011.

[4] Иванов, А.И. Полные теории унаров. Алгебра и логика, 23(1): 4873, 1984.

[5] Кейслер, Г., Чен., Ч. Теория моделей. Мир, 1977.

[6] Комарницький, М.Я. Елементи meopii натвгруп та полъгонъв. Курс лекцт. JlbBiB, 2011.

[7] Кожухов, И.Б., Михалев, A.B. Полигоны над полугруппами. Фундаментальная и прикладная математика, 23(2): 81-140, 2020.

[8] Михалев, A.B., Овчинникова, Е.В., Палютин, Е.А., Степанова, A.A. Теоретико-модельные свойства регулярных полигонов. Фундаментальная и прикладная математика, 10(4): 107—157, 2004.

[9] Мустафин, Т.Г. О стабильностной теории полигонов. Теория моделей и ее применение, 8:92-108, 1988.

[10] Мустафин, Т.Г. К описанию моноидов, над которыми все полигоны имеют ш -стабильную теорию. Алгебра и логика, 29(6): 675-695, 1990.

[11] Палютин, Е.А. E*-стабильные теории. Алгебра и логика, 42(2): 194-210, 2003.

[12] Палютин, Е.А. Р-стабильные абелевы группы. Алгебра и логика, 52(5): 606-631, 2013.

[13] Птахов, Д.О. Полигоны с (Р, 1)-стабильной теорией. Алгебра и логика, 56(6): 712-720, 2017.

[14] Птахов, Д.О. Примитивная нормальность и аддитивность свободных, проективных и сильно плоских полигонов. Алгебра и логика, 53(5): 614-624, 2014.

[15] Русалеев, М.А. Характеризация (Р, 1)-стабильных теорий. Алгебра и логика, 46(2): 346-359, 2007.

[16] Ряскин, А.Н. Структура моделей полных теорий унаров: Аворефе-р clt ди с • ... канд. физико-математических наук: 01.01.06. Новосибирск, 1989.

[17] Степанова, A.A. Примитивно связные и аддитивные теории полигонов. Алгебра и логика, 45(3): 300-313, 2006.

[18] Степанова, A.A. Полигоны с примитивно нормальными и аддитивными теориями. Алгебра и логика, 47(4): 491-508, 2008.

[19] Степанова, A.A., Батурин, Г.И. Регулярные полигоны с примитивно нормальными и антиаддитивными теориями. Фундамент, и прикл. матем., 17(1): 223-232, 2012.

[20] Степанова, A.A. Регулярные полигоны с примитивно связными теориями. Сибирский математический журнал, 55(3): 666-671, 2014.

[21] Степанова, A.A., Птахов, Д.О. Р-стабильные полигоны. Алгебра и логика, 56(4): 486-505, 2017.

[22] Feller, E.H., Gantos, R.L. Indecomposable and injective S-systems with zero. Math. Nachr., 41: 37-48, 1969.

[23] Gould, V.A.R. Divisible S-systems and R-modules. Proc. Edinburgh Math. Soc., 30(2): 187-200, 1987.

[24] Kilp, M., Knauer, U., Mikhalev, A.V. Monoids, Acts and Categories. Walter De Gruyter, 2000.

Список работ автора по теме исследования

[25] Красицкая, А.И., Степанова, А.А., Примитивная нормальность и примитивная связность класса делимых полигонов. Алгебра и логика, 58(5): 650-658, 2019.

[26] Krasitskaya, A.I. Stability of the class of divisible S-acts. Сибирские электронные математические известия, 17: 726-731, 2020.

[27] Красицкая, А.П., Степанова, А.А., Р стабильность некоторых классов S-полигонов. Сибирский математический журнал, 62(2): 441-449, 2021.

[28] Красицкая, А.И. Полные классы делимых полигонов. Материалы региональной научно-практической конференции студентов, аспирантов и молодых ученых по естественным наукам, 257-258. Владивосток : Дальневост. федерал, ун-т, 2017.

[29] Krasitskaya, A.I., Stepanova, A.A., Gorodetskaya, Ye.Ya. Complete classes of divisible S-acts. The J^th Annual Student Scientific Conference in English, Vladivostok, 3-15 May 2017: conference proceedings, 28. Vladivostok: Far Eastern Federal University, 2017.

[30] Красицкая, А.П. Примитивная нормальность класса делимых полигонов. Международная конференция «Мальцевские чтения», 150. Новосибирск, 2017.

[31] Красицкая, А.И. Стабильность класса делимых полигонов. Материалы региональной научно-практической конференции студен-

тов, аспирантов и молодых ученых по естественным наукам, 222-223. Владивосток : Дальневост. федерал, ун-т, 2018.

[32] Krasitskaya, A.I. Monoids with stable theories of divisible S-acts. The 5th Annual Student Scientific Conference in English, Vladivostok, 21 - 24 May 2018: conference proceedings, 104-105. Vladivostok: Far Eastern Federal University, 2018.

[33] Красицкая, А.И. Стабильность и суперстабильность класса делимых полигонов. Международная конференция «Мальцевские чтения», 197. Новосибирск, 2018.

[34] Красицкая, А.И. (РД)-стабильность класса делимых полигонов. Материалы региональной научно-практической конференции студентов, аспирантов и молодых ученых по естественным наукам, 253-254. Владивосток : Дальневост. федерал, ун-т, 2019.

[35] Красицкая, А.И. Р-стабильность класса делимых полигонов. Международная конференция «Мальцевские чтения», 189. Новосибирск, 2019.