Поиск новых соединений, изучение их стабильности и свойств с использованием современных методов компьютерного дизайна материалов. тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.07, кандидат наук Круглов Иван Александрович

• Круглов Иван Александрович
• кандидат наук
• 2018

Оглавление диссертации кандидат наук Круглов Иван Александрович

1.3 Введение в машинное обучение

1.3.1 Основные понятия машинного обучения

1.3.2 Некоторые методы построения регрессии

2 Поиск новых материалов

2.1 Введение

2.2 Метод расчета

2.3 Построение фазовой диаграммы и изучение свойств в системе сера-водород ,

2.4 Построение фазовой диаграммы и изучение свойств в системе железо-водород

2.5 Построение фазовой диаграммы и изучение свойств в системе уран-водород ,

2.6 Исследование фазы высокого давления сульфида бора

3 Разработка межатомных потенциалов на основе машинного обучения

3.1 Введение

3.2 Потенциал межатомного взаимодействия для глобальной оптимизации , , , ,

3.2.1 Описание межатомного потенциала

3.2.2 Основные результаты

3.3 Потенциал на основе машинного обучения для предсказания межатомных сил

3.3.1 Описание межатомного потенциала

3.3.2 Параметризация и точность воспроизведения сил

3,3,3 Расчет термодинамических величин и фазовых переходов в алюминии 78 3,4 Потенциал на основе машинного обучения для предсказания энергий и межатомных сил

3.4.1 Описание межатомного потенциала

3.4.2 Поиск стабильных структур урана и параметризация потенциала

3.4.3 Расчет свободной энергии и построение фазовой диаграммы урана

Заключение

Список использованных сокращений

Список литературы

98

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Поиск новых соединений, изучение их стабильности и свойств с использованием современных методов компьютерного дизайна материалов.»

Введение

Актуальность проблемы и степень ее разработанности. В настоящее время задача поиска новых материалов не теряет своей актуальности, В термин «поиск новых материалов» вкладывается определение кристаллической структуры материала по его химическому составу, изучение его области стабильности и различных свойств. Решение такой задачи может позволить обнаружить новые сверхпроводники, термоэлектрики, магниты и т.д.

Существует несколько различных подходов к поиску новых материалов, и в данной работе мы остановимся на теоретических методах. Одним из наиболее точных и распространенных является эволюционный алгоритм ЩРЕХ [1-3]. Он позволяет предсказать для данного химического состава стабильную кристаллическую структуру (решает задачу глобальной оптимизации), ЩРЕХ основан на эволюционном подходе и квантово-механичееких расчетах, соответственно, расчеты ограничены числом атомов в системе и нулевой температурой.

Зачастую теоретические и экспериментальные методы используются независимо друг от друга, но есть и исключения. Так, в 2014 году с помощью иЯРЕХ было предсказано, что газообразный при нормальных условиях И2Б при давлении выше 100 ГПа перейдет в металлический И3Б, а при повышении давления станет сверхпроводником с критической температурой (Тс) в диапазоне от 191 до 204 К при 200 ГПа [4]. Вскоре после этой работы И3Б был успешно синтезирован в алмазной наковальне, экспериментальное значение Тс составило 203 К [5], что хорошо согласуется с теорией и на данный момент является рекордом в области высокотемпературной сверхпроводимости. Было показано, что помимо И3Б стабильными под давлением могут оказаться фазы И3Б2, И2Б3, И4Б3, ИБ2, И5Б2 и некоторые другие [6-8], Открытие Из Б побудило исследователей к подробному изучению гидридов под давлением, и таким образом были предсказаны новые соединения УИю, ЬаИю [9, 10], ГвИ5 [11] и многие другие. На текущий момент интерес представляет изучение фазовых диаграмм гидридов под давлением, а также поиск новых соединений с целью понижения давления синтеза и повышения Тс.

Как было сказано выше, скорость расчета квантово-механичееких методов (например, теория функционала плотности) ограничена размером системы и нулевыми температурами, Но существуют соединения (например, бор), в элементарную ячейку которого входит до сотни атомов. Также для систем, состоящих из большого числа атомов, появляется возможность расчета термодинамических свойств и в конечном итоге свободной энергии. Это позволит строить фазовые диаграммы при конечных температурах. Анализ поведения систем из большого числа атомов возможен в процессе молекулярной динамики, где зачастую движение атомов рассчитывается из классических потенциалов (например, метод погруженного атома [12]), Их недостаток заключается в гораздо более низкой точности расчета по сравнению с ТФП, а также узкой областью применения. Было показано, что межатомные потенциалы, основанные на алгоритмах машинного обучения, имеют высокую точность, сравнимую с квантово-механическими методами, и скорость, сравнимую с классическими потенциалами [13-15], В настоящее время они получают все большее применение в методах предсказания стабильной структуры и свойств материала при данных условиях, К сожалению, многие потенциалы, основанные на алгоритмах машинного обучения, недоступны к использованию; также применялись они для решения конкретных задач, из которых не следовала возможность расчета термодинамических свойств, В настоящий момент огромный интерес представляет задача конструирования новых потенциалов на основе машинного обучения, а также их применения для построения фазовых диаграмм при конечных температурах. Цели работы:

1, Предсказать кристаллическую структуру и исследовать физические свойства новых материалов под давлением с использованием эволюционного алгоритма ГЯКРХ.

2, Разработать методы построения Р-Т фазовых диаграмм с помощью потенциалов межатомного взаимодействия на основе алгоритмов машинного обучения.

Для достижения поставленных целей были поставлены следующие задачи:

1, Построить фазовую диаграмму в координатах состав-давление для гидридов серы, железа и урана; исследовать структуру новых фаз и их свойства,

2, Определить структуру и свойства экспериментально синтезированной фазы высокого давления сульфида бора,

3, Разработать межатомный потенциал на основе алгоритмов машинного обучения, сравнить точность воспроизведения с его помощью сил и энергий с классическими потенциалами.

4, С помощью разработанного потенциала рассчитать энтропию и температуру плавления алюминия и сравнить с экспериментальными данными, а также построить Р-Т фазовую диаграмму урана до 15000 К и 800 ГПа,

Научная новизна работы заключается в том, что:

1, Впервые с помощью эволюционного алгоритма иЯРЕХ обнаружены новые соединения и построены фазовые диаграммы для гидридов серы, железа и урана; существование соединений иН5-8 подтверждено экспериментально,

2, Впервые с помощью эволюционного алгоритма иЯРЕХ предсказана кристаллическая структура фазы высокого давления сульфида бора, а также рассчитаны ее электронные свойства,

3, Построен межатомный потенциал взаимодействия на основе линейной регрессии, точность которого выше, чем у ранее опубликованных классических потенциалов, С помощью разработанного потенциала рассчитана температура плавления алюминия и построена фазовая диаграмма урана.

Теоретическая и практическая значимость работы. Полученные фазовые диаграммы для гидридов серы, железа и урана позволяют определить путь перехода от стабильных при нормальных условиях соединений к полигидридам, образующимся под давлением, таким образом указать условия для их экспериментального синтеза. Разнообразие в электронных свойствах в фазах сульфида бора может позволить использовать данный материал в различных областях электроники.

Разработанные межатомные потенциалы на основе алгоритмов машинного обучения продемонстрировали точность воспроизведения сил и энергий гораздо более высокую, чем обычно используемые классические потенциалы. Нами было показано, что с использованием потенциалов на основе машинного обучения появляется возможность построения фазовых диаграмм в координатах давление-температура. Они позволяют оценить условия стабильности тех или иных материалов.

Методы исследования. Поиск стабильных соединений проводился с помощью эволюционного алгоритма I ЯРКХ. Расчет энергий в ходе глобальной оптимизации проводился с помощью теории функционала плотности, реализованной в программном пакете УАБР [16, 17], Для построения фазовых диаграмм в координатах состав-давление, а также для межатомных потенциалов на основе алгоритмов машинного обучения разрабатывались соб-

етвенные программы, Молекулярпо-динамические расчеты, расчет температуры плавления и свободной энергии проводились в программном пакете LAMMPS [18]. Положения, выносимые на защиту:

1, Новые соединения и фазовые диаграммы в координатах состав-давление для гидридов серы, железа и урана, показывающие области стабильности потенциальных высокотемпературных сверхпроводников на их основе,

2, Новая фаза высокого давления сульфида бора, в которой при повышении до 50 ГПа происходит фазовый переход полупроводник-металл,

3, Межатомные потенциалы на основе алгоритмов машинного обучения, с помощью которых были рассчитаны термодинамические свойства алюминия и построена фазовая диаграмма урана до 15000 К и 800 ГПа,

Степень достоверности полученных результатов. Обнаруженные нами фазы гидридов серы, железа и урана находятся в согласии с экспериментальными данными. Теоретически обнаруженная фаза высокого давления сульфида бора также совпадает с экспериментально полученной структурой. Рассчитанные с помощью разработанных потенциалов фононные спектры и температура плавления для алюминия лежат в согласии с экспериментальными данными.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на конференциях: "XII научно-техническая конференция ВНИИА-2018" (Москва, Россия, 2018), " 24th Congress and General Assembly of the International Union of Crystallography" (Хайдарабад, Индия, 2017), "3rd Kazan Summer School on Chemoinformaties" (Казань, Россия, 2017), "Неорганические соединения и функциональные материалы К 'К\ 1-2017" (Новосибирск, Россия, 2017), "XI научно-техническая конференция ВНИИА-2018" (Москва, Россия, 2017), "15th USPEX workshop" (Пуатье, Франция, 2017), "European High Pressure Research Group Meeting (EHPRG-2016)" (Байройт, Германия, 2016), "Зй международный технологический форум: Инновации, Технологии, Производство", (Рыбинск, Россия, 2016), "58я научная конференция МФТИ" (Долгопрудный, 2015), "1st International Conference on Computational Design and Structure of Materials (CDSM 2015)", (Шеньян, Китай, 2015),

Публикации, Результаты диссертации опубликованы в 6 статьях в реферируемых иностранных научных журналах, а также в тезисах докладов российских и международных конференций.

Личное участие соискателя в получении результатов, изложенных в диссертации. Лично автором был:

1, разработан метод для построения фазовых диаграмм в координатах состав-давление;

2, с помощью разработанного метода построены фазовые диаграммы для гидридов серы, железа и урана;

3, для вновь обнаруженных фаз проведен анализ их кристаллической структуры и свойств, а также проведено сравнение полученных данных с экспериментальными;

4, предсказана структура экспериментально синтезированной фазы высокого давления сульфида бора, а также изучены ее электронные свойства;

5, разработано несколько потенциалов межатомного взаимодействия на основе алгоритмов машинного обучения, которые могут применяться для решения задач глобальной оптимизации и проведения молекулярно-динамических расчетов.

При непосредственном участии были рассчитаны термодинамические свойства алюминия с использованием разработанных потенциалов, а также рассчитаны свободные энергии известных фаз урана и построена его фазовая диаграмма в Р-Т координатах.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка сокращений и библиографии. Общий объем диссертации 112 страниц, включая 57 рисунков. Библиография включает 174 наименования.

Глшзв Обзор

1.1 Метод глобальной оптимизации иЯРЕХ

Задача поиска стабильных кристаллических структур, основываясь только на химическом составе, всегда была очень важна и одновременно трудна для исследователей: 25 лет назад ответ на то, можно ли предсказать кристаллическую структуру материала был "Нет" [19]. Действительно, даже для системы, состоящей из 10-20 атомов, способов перестановок этих атомов (и таким образом полного перебора структур) будет порядка 1010-1020, Даже если время расчета энергии одной структуры составит несколько секунд, то такой перебор абсолютно невозможен,

В данном разделе будет описан метод, позволяющий решать задачу предсказания стабильной кристаллической структуры материала. Эта задача сводится к поиску глобального минимума на очень зашумленном ландшафте в многоразмерном пространстве (поверхность потенциальной энергии). Обычно поверхность потенциальной энергии представляет из себя чрезвычайно сложный ландшафт (Рис, 1,1), состоящий из большого числа локальных минимумов разделенных высокими барьерами. Но для химиков, зачастую, смысл имеют лишь несколько точек на данном ландшафте,

В настоящее время невозможно в каждой точке исследовать такое пространство по нескольким причинам: неизвестна точная форма поверхности потенциальной энергии, количество вычислительных ресурсов недостаточно для изучения даже известной части пространства, Что мы можем сделать - это вычислить свободную энергию структуры при заданных координатах (структурные параметры, такие как позиции атомов) и отрелаксировать систему (минимизировать межатомные силы) в ближайший локальный минимум. Задача поиска глобального минимума на поверхности потенциальной энергии сводится к задаче мини-

Рис, 1,1: Пример поверхности потенциальной энергии

мизации, За последние десятилетия было развито огромное множество методов, пытающихся решить эту задачу, К ним относятся случайный поиск 120, 21|, имитация отжига |22|, мета-динамика 1231, эволюционный поиск |1-3| и другие. Некоторые из этих методов зависят от решаемой проблемы, и их успех основан па граничных условиях и симметриях проблемы. Но некоторые подходы являются общими и могут быть применены к предсказанию кристаллической структуры. Один из них - это эволюционный алгоритм, который является достаточно общей и очень мощной техникой.

Необходимо отметить, что пи один из доступных методов не может решить общую проблему оптимизации или доказать, что найденное решение в общем случае является глобальным минимумом. Все алгоритмы могут найти решение за достаточно короткий промежуток времени без гарантии того, что это решение самое лучшее или, но крайней мере, близко к нему. Но опыт использования таких методов подсказывает, что зачастую полученное решение достаточно хорошее и действительно является глобальным минимумом. Эволюционные алгоритмы не исключение. Они были использованы во многих областях и показали отличные результаты |24|,

Название подхода - эволюционный - показывает, что он использует механизмы биологической эволюции: репродукция, мутация, рекомбинация и селекция. Объекты в поколении -это кандидаты в решения оптимизационной задачи. Поколение эволюционирует при повтор-пом применении выше указанных механизмов, и некоторая функция определяет сколько из объектов выживают. Более подробно алгоритм представлен па Рис, 1.2.

В случае поиска стабильной структуры, схема работы эволюционного алгоритма вы-

Рис. 1.2: Алгоритм работы эволюционного метода ЩРЕХ

глядит следующим образом:

1. Выбор модели однозначного соответствия между точками в пространстве поиска и числовым вектором, описывающим их.

2. Создание первого поколения, то есть случайного набора структур.

3. Расчет функции приспособленности структуры, которую предполагается оптимизировать. В случае поиска самой стабильной структуры - это ее энергия. Также эта функция может быть каким-либо свойством, например, твердость.

4. Выбор лучших структур по минимуму их функции приспособленности, из которых алгоритм создает новые структуры, применяя различные операторы. Таким образом создается новое поколение структур.

5. Расчет функции новых структур, создание нового поколения из лучших структур.

6. Повторение предыдущего пункта пока не будет достигнут критерий остановки.

Выбор операторов, которые создают новые структуры в поколении, значительно влияет на работу самого эволюционного алгоритма. Далее будут представлены примеры операторов,

используемых в иБРЕХ, Наследственность. В двух структурах случайным образом выбирается вектор элементарной ячейки и точка на нем. Через эту точку проходит плоскость, параллельная оставшимся векторам. Далее новая структура получается путем совмещения исходных структур вдоль получившейся плоскости. Мутация решетки. К векторам элементарной ячейки применяется случайно созданная матрица деформаций (при этом координаты атомов сохраняются). Перестановки. Если в изучаемой системе несколько типов атомов, то появляется возможность поменять типы у двух случайно выбранных атомов (в расчете с постоянным составом) и изменить тип на другой у случайно выбранного атома (в расчете с переменным составом). Мутация вдоль мягких мод. Мягкие моды рассчитываются из оценочной динамической матрицы. Далее атомы смещаются вдоль собственного вектора наиболее мягкой моды колебаний. Помимо описанных выше операторов, существуют и другие, соответствующие расчетам для молекулярных кристаллов, белков и других систем.

Одним из преимуществ эволюционного подхода является то, что в правильно построенном алгоритме качество решений в каждом новом поколении по крайней мере не хуже, чем в предыдущем. Можно просто сохранять лучшее решение или какое-то количество лучших решений, если никто из отпрысков не лучше, чем эти решения. Одна из особенностей эволюционного алгоритма, которая очень полезна для предсказания кристаллической структуры, заключается в его возможности поиска метаетабильных фаз - локальные минимумы в ландшафте энергий, которые находятся на достаточном расстоянии от глобального минимума, Так как расчет зачастую проходит при нулевой температуре, то такие структуры могут оказаться стабильными при ее повышении,

В текущей реализации программа иЯРЕХ включает в себя не только эволюционный алгоритм для поиска, а также случайный поиск, метадинамику, методы для поиска путей фазовых переходов (\ '(' X К В). Расчет может проводиться как для объемных материалов, так и для поверхностей, и кластеров. Также поиск стабильной структуры осуществляется для молекулярных кристаллов и их сокристаллов.

Важно отметить, что поиск стабильной кристаллической структуры может проводиться для материалов с переменным химическим составом. Данный метод позволяет в одном расчете определить составы всех стабильных фаз какого-либо материала. На этом пункте стоит остановиться подробнее, так как он часто применялся в данной работе. Нельзя напрямую сравнивать энергию двух структур с разными составами. Для этого необходимо разработать новую функцию приспособленности, которая будет говорить о стабильности той или иной структуры. Любая структура является стабильной, если ее энтальпия ниже, чем сумма энтальпий компонент, из которых она образуется. Для примера рассмотрим модельную

систему AB Энтальпию образования структуры AxBy можно рассчитать используя формулу x++y(H(AxBy) — yH(A) — xH(B)), Если энергия образования какой-либо структуры ниже, чем сумма энтальпий структур, из которых она образована, то такая структура считается стабильной. Зная энтальпию образования каждой структуры, можно построить термодипа-

AB

представлен на Рис. 1.3. Из него видно, что структуры с составами AB и AB4 являются стабильными.

Рис. 1.3: Пример термодинамической выпуклой оболочки.

Зная стабильные структуры при данном давлении, появляется возможность строить фазовые диаграммы в координатах состав-давление с помощью ОРЕХ, Дня этого необходимо провести несколько расчетов с некоторым шагом но давлению (обычно 50-100 ГПа), Дня структур, стабильных при каждом расчете, а также дня экспериментально известных необходимо рассчитать энтальпии с гораздо меньшим шагом и построить термодинамические выпуклые оболочки. Таким образом, будет известно какие структуры при каком давлении являются стабильными. Зная их, можно построить фазовую диаграмму, пример которой представлен на Рис, 1,4, Из нее видно, что, например, при давлении 10 ГПа стабильной является только структура ЛБ, но при 20 ГПа - в равновесии могут находиться обе фазы АВ и ЛВ4,

В ходе эволюционного поиска рассчитывается функция, которая используется дня оценки "качества" структуры, В случае поиска самой стабильной кристаллической струк-

Рис. 1.4: Пример фазовой диаграммы в координатах состав-давление.

туры этой функцией является энергия. Одним из наиболее точных и общих методов для расчета энергии является теория функционала плотности, которая относится к квантово-механическим моделям. В следующей части и пойдет речь об этом методе.

1.2 Основы теории функционала плотности

1.2.1 Приближение Борна-Оппенгеймера

В разделе 1,1 обсуждались методы глобальной оптимизации кристаллической структуры, Каждый из методов основан на локальной оптимизации, то есть расчете энергии структуры и минимизации межатомных сил для конкретной геометрии атомов. Существует несколько методов для решения данной задачи, но в данной части мы остановимся на теории функционала электронной плотности (далее в тексте - ТФП), Для ее понимания далее будет кратко дано описание теории Хартри-Фока,

Все дальнейшие рассуждения будут проводиться в рамках приближения Борна-Оппенгеймера [25], Оно заключается в том, что так как масса электронов намного меньше массы ядер (и, соответственно, скорость больше), то их (электроны) можно рассматривать независимо для каждого данного распределения ядер атомов.

Для того, чтобы описать движение электронов, необходимо использовать уравнения квантовой механики. Из теории следует, что электроны нельзя рассматривать как независимый точки пространстве; их можно описать волновыми функциями Ф, которые постоянно взаимодействуют. Вероятность обнаружить электрон в данной точке равна Ф*(ж)Ф(ж), Волновая функция Ф может быть определена из уравнения Шредингера НФ = ЕФ, В общем случае гамильтониан Н состоит из кинетической и потенциальной частей для электронов и ионов (и их взаимодействия), то есть Н = Те + Тм + УМе + Умм + Не- Более подробно гамильтониан можно расписать следующим образом:

где индексы А, В относятся к ядрам, а %,] - к электронам, В случае приближения Борна-Оппенгеймера, член суммы Тм гораздо меныне Те, поэтому им можно пренебречь; Умм является константой, а, как известно, волновая функция не изменяется при добавлении константы к гамильтониану, поэтому этим членом тоже можно пренебречь. Таким образом, уравнение Шредингера разбивается на две части (электронную и ядерную):

* = - £ £ * - £ 4 ^ - £

г А А А,г

4пео глг

ZAe2

#еФе(г,Л) = Ее (Л )Фе(г, Я)

[Тм (Я) + Ее(Я)]Фм (Я) = Е (Я)Фм (Я)

(1.2) (1.3)

Первое уравнение решается для фиксированных координат ядер, и далее известное значение Ее (Я) подставляется во второе уравнение для разрешения полной энергии структуры Е(Д), Сложность заключается в том, что для каждого электрона переменными являются 3 координаты и спин. Таким образом, даже для системы, в которой есть 10 электронов, необходимо решать уравнение, зависящее от 40 переменных. Для того, чтобы решить такие уравнения, используются различные приближения. Прежде, чем мы перейдем к обсуждению приближений, необходимо наложить несколько (известных из физики) ограничений на электроны. Для электронов (и вообще фермионов) должен выполняться принцип антисимметрии, который означает, что Ф(г1, г2, Г3,...) = — Ф(г1, Дз, г2,...), а также принцип Паули (два фермиона не могут находиться в одинаковом квантовом состоянии). Волновая функция, удовлетворяющая этим ограничением, в простейшем случае может быть записана в виде детерминанта Слейтера, где в качестве матричных элементов записаны одноэлектронные функции (атомные орбитали).

Ф(г~1,г2,г3,...)

л/М

Х1(Д1) Х2(Д1) Хз(Д1) ••• Хм (г!) Х1(г2) Х2(г2) Хз(г2) ••• Хм (г2)

(1.4)

Х1(гМ) Х2(гМ) хз(гМ) ••• хм(гМ)

Действительно, если два электрона будут иметь одинаковые квантовые состояния, то две строчки будут равны друг другу, таким образом Ф(г~[, г2, Г3,...) = 0. Аналогично, если поменять координаты двух электронов местами, то детерминант изменит знак на противоположный.

В дальнейшем мы будет следовать приближениям о том, что атомная конфигурация может быть описана одним детерминантом Слейтера и минимум энергии соответствует определенному набору атомных орбиталей. Эти предположения легли в основу теории Хартри-Фока. С помощью этой теории самосогласованно (итерационно) удается решить уравнение Шредингера,

1

1.2.2 Теория функционала плотности

В теории функционала плотности (ТФП) происходит переход от описания системы с помощью волновой функции Ф(г1,г2,г3,...) к функции электронной плотности р(г). Основным преимуществом является то, что волновая функция зависит от 4М переменных (где N - число электронов), а функция плотности электронов - только от 3 (координаты). Сложностью

является то, что теперь необходимо переформулировать выше описанную теорию в рамках функции плотности электронов, Хоэнберг и Кон в 1964 году сформулировали две теоремы [26], из которых следует, что полная энергия системы единственным способом описывается функционалом (функция от функции) от электронной плотности; полная энергия имеет свой минимум, соответствующий энергии основного состояния (и также электронной плотности основного состояния). Основной проблемой в данной теории является то, что точный вид функционала не известен,

В рамках приближения Борна-Оппенгеймера, He = Te + VNe + Vee, и тогдa E[р] = T[р] + EeN [р] + Еее[р], Слагаемое EeN [р] можно представить как — a** f ПТТг)dr, которое отражает кулоновекое взаимодействие электронов с атомами. Аналогично, Е^р] = J[р] = И f p(rdrdr', и это слагаемое несет смысл кулоновского отталкивания. Сложность за-

2 J J r'_r \ ' "

ключается в описании кинетической энергии электронов. Кон и Шэм (Kohn и Sham) предложили следующую идею [27]: пусть изначально электроны будут "невзаимодействующими" в смысле теории Хартри-Фока (то есть один электрон чувствует только суммарное взаимодействие со всеми остальными электронами). Тогда оператор кинетической энергии Т[р] = TS [р] = N < — 1 V2| фг >, В таком случае энергия в случае ТФП записывается следующим образом:

где в слагаемое EXC [р] входят поправки, не учитываемые в теории Хартри-Фока, Это слагаемое называется обменно-корреляционной энергией (или обменно-корреляционный функционал), И вся дальнейшая суть ТФП заключается в выборе данного функционала для наиболее точного описания полной энергии EDFT,

Далее в тексте будут рассмотрены некоторые методы для описания обменно-корреляционного функционала.

Local Density Approximation (LDA), Данный функционал является одновременно одним из самых простых и наиболее распространенных подходов, В нем обменно-корреляционная энергия ехс представляется как энергия гомогенного электронного газа (или газа, у которого электронная плотность медленно меняется в пространстве). Тогда обменную энергию легко представить в виде:

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Круглов Иван Александрович, 2018 год

Литература

[1] Oganov Artem E, Glass Colin W. Crystal structure prediction using ab initio evolutionary techniques: Principles and applications //J. Chem, Phvs, 2006, T, 124, № 24, c, 244704,

[2] Oganov Artem E, Lvakhov Andriv O, Valle Mario, How Evolutionary Crystal Structure Prediction Works and Why? // Acc. Chem. Ees. 2011. T. 44, № 3. C. 227-237.

[3] New developments in evolutionary structure prediction algorithm USPEX / Andriv O Lvakhov, Artem E Oganov, Harold T Stokes [h ^p.] // Comput. Phvs. Commun. 2013. T. 184, № 4. C. 1172-1182.

[4] Pressure-induced metallization of dense (H2S)2H2 with high-Tc superconductivity / Defang Duan, Yunxian Liu, Fubo Tian [h ^p.] // Sci. Eep. 2014. T. 4.

[5] Conventional superconductivity at 203 kelvin at high pressures in the sulfur hydride system / AP Drozdov, MI Eremets, IA Trovan |n /ip.| // Nature. 2015. T. 525, № 7567. C. 73-76.

[6] Superconducting H5S2 phase in sulfur-hvdrogen system under high-pressure / Takahiro Ishikawa, Akitaka Nakanishi, Katsuva Shimizu [h ^p.] // Sci. Eep. 2016. T. 6.

[7] Dissociation products and structures of solid H2S at strong compression / Yinwei Li, Lin Wang, Hanvu Liu [h ^p.] // Phvs. Eev. B. 2016. T. 93, № 2. c. 020103.

[8] Possible "Magneli" phases and self-alloying in the superconducting sulfur hydride / Evosuke Akashi, Wataru Sano, Evotaro Arita [h ^p.] // Phvs. Eev Lett. 2016. T. 117, № 7. c. 075503.

[9] Potential high-Tc superconducting lanthanum and yttrium hydrides at high pressure / Hanvu Liu, Ivan I Naumov, Eoald Hoffmann [h ^p.] // Proc. Natl. Acad. Sci. 2017. T. 114, № 27. C. 6990-6995.

[10] Synthesis and Stability of Lanthanum Superhvdrides / Zaeharv M Geballe, Hanvu Liu, Ajav K Mishra [h aP.] // Angew. Chem. Int. Ed. 2018. T. 57, № 3. C. 688-692.

[11] Synthesis of FeH5: A layered structure with atomic hydrogen slabs / CM Pépin, G Geneste, A Dewaele [n /ip.| // Science. 2017. T. 357, № 6349. C. 382-385.

[12] Daw Murray S, Baskes Michael I. Embedded-atom method: Derivation and application to impurities, surfaces, and other defects in metals // Phvs, Rev. B. 1984. T. 29, № 12. c. 6443.

[13] Behler J. Representing potential energy surfaces by high-dimensional neural network potentials // J. Phvs. Condens. Matter. 2014. T. 26, № 18. c. 183001.

[14] Gaussian approximation potentials: The accuracy of quantum mechanics, without the electrons / Albert P Bartok, Mike C Payne, Risi Kondor [h ^p,] // Phvs. Rev. Lett. 2010. T. 104, № 13. c. 136403.

[15] Shapeev Alexander V. Moment Tensor Potentials: a class of systematically improvable interatomic potentials // Multiscale Model. Simul. 2016. T. 14, № 3. C. 1153-1173.

[16] Kresse Georg, Furthmiiller Jiirgen, Efficient iterative schemes for ab initio total-energy calculations using a plane-wave basis set // Phvs. Rev. B. 1996. T. 54, № 16. c. 11169.

[17] Kresse Georg, Hafner Jiirgen. Ab Initio Molecular Dynamics for Liquid Metals // Phvs. Rev. B. 1993. T. 47, № 1. C. 558-561.

[18] Plimpton Steve. Fast Parallel Algorithms for Short-Range Molecular Dynamics // J. Comput. Phvs. 1995. T. 117. C. 1-19.

[19] Gavezzotti Angelo. Are crystal structures predictable? // Acc. Chem. Res. 1994. T. 27, № 10. C. 309-314.

[20] Pickard Chris J., Needs R. J. High-Pressure Phases of Silane // Phvs. Rev. Lett. 2006. Jul. T. 97. c. 045504. URL: https://link.aps.org/doi/10.1103/PhvsRevLett.97.045504.

[21] Pickard Chris J, Needs R J. Ab initio random structure searching // J. Phvs. Condens. Matter. 2011. T. 23, № 5. c. 053201. URL: http://staeks.iop.org/0953-8981 23 i 5 a 053201.

[22] Kirkpatrick S,, Gelatt C. D,, Veeehi M. P. Optimization by Simulated Annealing // Science. 1983. T. 220, № 4598. C. 671-680. URL: http://science.sciencemag.org/content/220/4598/671.

[23] Laio Alessandro, Parrinello Michele. Escaping free-energy minima // Proc. Natl. Acad. Sci. 2002. T. 99, № 20. C. 12562-12566. URL: http://www.pnas.org/content/99/20/12562.

[24] An evolutionary algorithm for large traveling salesman problems / Huai-Kuang Tsai, Jinn-Moon Yang, Yuan-Fang Tsai [h ^p,] // IEEE Trans, Svst, Man, Cvbern, B Cvbern, 2004, Aug. T. 34, № 4. C. 1718-1729.

[25] M. Born, R. Oppenheimer. Zur Quantentheorie der Molekeln // Annalen der Phvsik. T. 389, № 20. C. 457-484. URL: https://onlinelibrary.wilev.eom/doi/abs/10.1002/andp.19273892002.

[26] Hohenberg P., Kohn W. Inhomogeneous Electron Gas // Phvs, Rev. 1964. Nov. T. 136. C. B864-B871. URL: https://link.aps.org/doi/10.1103/PhvsRev.136.B864.

[27] Kohn W,, Sham L. J. Self-Consistent Equations Including Exchange and Correlation Effects // Phvs. Rev. 1965. Nov. T. 140. C. A1133 A1138. URL: https://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRev.140.A1133.

[28] Vosko S. H,, Wilk L,, Nusair M. Accurate spin-dependent electron liquid correlation energies for local spin density calculations: a critical analysis // Can. J. Phvs. 1980. T. 58, № 8. C. 1200-1211.

[29] Perdew J. P., Zunger Alex. Self-interaction correction to density-functional approximations for many-electron systems // Phvs. Rev. B. 1981. May. T. 23. C. 5048-5079. URL: https://link.aps.org/doi/10.1103/PhvsRevB.23.5048.

[30] Cole Lee A., Perdew J. P. Calculated electron affinities of the elements // Phvs. Rev. A. 1982. Mar. T. 25. C. 1265-1271. URL: https://link.aps.org/doi/10.1103/PhvsRevA.25.1265.

[31] Perdew John P., Wang Yue. Accurate and simple analytic representation of the electron-gas correlation energy // Phvs. Rev. B. 1992. Jun. T. 45. C. 13244-13249. URL: https://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevB.45.13244.

[32] Perdew John P, Burke Kieron, Ernzerhof Matthias. Generalized gradient approximation made simple // Phvs. Rev. Lett. 1996. T. 77, № 18. c. 3865.

[33] Hevd Jochen, Scuseria Gustavo E, Ernzerhof Matthias. Hybrid functional based on a screened Coulomb potential // J. Chem. Phvs. 2003. T. 118, № 18. C. 8207-8215.

[34] Influence of the exchange screening parameter on the performance of screened hybrid functional / Aliaksandr V Krukau, Oleg A Vvdrov, Artur F Izmavlov [h ^p.] //J. Chem. Phvs. 2006. T. 125, № 22. c. 224106.

[35] Goldberg David E, Holland John H, Genetic algorithms and machine learning // Maeh, Learn. 1988. T. 3, № 2. C. 95-99.

[36] Jurafsky Daniel. Speech and language processing: An introduction to natural language processing // Computational linguistics, and speech recognition. 2000.

[37] Tesauro Gerald. Temporal difference learning and TD-Gammon // Commun. ACM. 1995. T. 38, № 3. C. 58-68.

[38] Li Zhenwei, Kermode James E, De Vita Alessandro. Molecular dynamics with on-the-flv machine learning of quantum-mechanical forces // Phvs, Rev. Lett. 2015. T. 114, № 9. c. 096405.

[39] Suvkens Johan AK, Vandewalle Joos. Least squares support vector machine classifiers // Neural Process. Lett. 1999. T. 9, № 3. C. 293-300.

[40] Gunn Steve E [h ^p.]. Support vector machines for classification and regression // ISIS technical report. 1998. T. 14.

[41] Bishop Christopher M. Pattern recognition and machine learning, springer, 2006.

[42] Hartigan John A, Wong Manchek A. Algorithm AS 136: A k-means clustering algorithm // Appl. Stat. 1979. C. 100-108.

[43] Moon Tood K. The expectation-maximization algorithm // IEEE Signal Process Mag. 1996. T. 13, № 6. C. 47-60.

[44] Markou Markos, Singh Sameer. Novelty detection: a review—part 1: statistical approaches // Signal Process. 2003. T. 83, № 12. C. 2481-2497.

[45] Sutton Richard S, Barto Andrew G. Reinforcement learning: An introduction. MIT press Cambridge, 1998. T. 1.

[46] Tesauro Gerald. TD-Gammon, a self-teaching backgammon program, achieves master-level play // Neural Comput. 1994. T. 6, № 2. C. 215-219.

[47] Abbeel Pieter, Ng Andrew Y. Apprenticeship learning via inverse reinforcement learning // Proceedings of the twenty-first international conference on Machine learning / ACM. 2004. c. 1.

[48] Metrics for measuring distances in configuration spaces / Ali Sadeghi, S Alireza Ghasemi, Bastian Schaefer [h aP.] // J. Chem. Phvs. 2013. T. 139, № 18. c. 184118.

[49] Learning to rank using gradient descent / Chris Burges, Tal Shaked, Erin Renshaw [h ^p.] // Proceedings of the 22nd international conference on Machine learning / ACM. 2005. C. 8996.

[50] Bottou Léon. Large-scale machine learning with stochastic gradient descent // Proceedings of COMPSTAT'2010. Springer, 2010. C. 177-186.

[51] Hornik Kurt, Stinchcombe Maxwell, White Halbert. Multilayer feedforward networks are universal approximators // Neural networks. 1989. T. 2, № 5. C. 359-366.

[52] MeCulloch Warren S, Pitts Walter. A logical calculus of the ideas immanent in nervous activity // Bull. Math. Biophvs. 1943. T. 5, № 4. C. 115-133.

[53] Accelerating the convergence of the back-propagation method / Thomas P Vogl, JK Mangis, AK Rigler [h ,np.] // Biol. Cvbern. 1988. T. 59, № 4-5. C. 257-263.

[54] Synthesis and neutron powder diffraction study of the superconductor HgBa2CaCu2O6+s before and after heat treatment / EV Antipov, J J Capponi, C Chaillout [h ^p.] // Phvsica C Supercond. 1993. T. 218, № 3-4. C. 348-355.

[55] Superconductivity up to 164 K in HgBa2Cam-lCumO2m+2+s (m= 1, 2, and 3) under quasihvdrostatie pressures / L Gao, YY Xue, F Chen [h ^p.] // Phvs. Rev. B. 1994. T. 50, № 6. c. 4260.

[56] Richardson CF, Ashcroft NW. High temperature superconductivity in metallic hydrogen: Electron-electron enhancements // Phvs Rev. Lett. 1997. T. 78, JVa 1. c. 118.

[57] Dias Ranga P, Silvera Isaac F. Observation of the Wigner-Huntington transition to metallic hydrogen // Science. 2017. T. 355, № 6326. C. 715-718.

[58] Ashcroft NW. Hydrogen dominant metallic alloys: high temperature superconductors? // Phvs. Rev. Lett. 2004. T. 92, № 18. c. 187002.

[59] Structure and superconductivity of hydrides at high pressures / Defang Duan, Yunxian Liu, Yanbin Ma [n ;ip.| // Nat. Sci. Rev. 2016. T. 4, № 1. C. 121-135.

[60] Crystal structure of the superconducting phase of sulfur hydride / Mari Einaga, Masafumi Sakata, Takahiro Ishikawa [h ^p.] // Nat. Phvs. 2016. T. 12, № 9. c. 835.

[61] High-pressure hydrogen sulfide from first principles: a strongly anharmonic phonon-mediated superconductor / Ion Errea, Matteo Calandra, Chris J Pickard [h ^p,] // Phvs, Rev, Lett, 2015. T. 114, № 15. c. 157004.

[62] Stevenson DJ. Hydrogen in the Earth's core // Nature. 1977. T. 268, № 5616. c. 130.

[63] Armbruster Marion H. The solubility of hydrogen at low pressure in iron, nickel and certain steels at 400 to 600 //J. Am. Chem. Soc. 1943. T. 65, № 6. C. 1043-1054.

[64] Da S il va JRG, Melellan Rex B. The solubility of hydrogen in super-pure-iron single crystals // Journal of the Less Common Metals. 1976. T. 50, № 1. C. 1-5.

[65] Bazhanova Zulfiva G, Oganov Artem R, Gianola Omar. Fe-C and Fe-H systems at pressures of the Earth's inner core // Physies-Uspekhi, 2012. T. 55, № 5. c. 489.

[66] New iron hydrides under high pressure / Charles M Pépin, Agnès Dewaele, Grégory Geneste [h . i.p.| // Phvs. Rev. Lett. 2014. T. 113, № 26. c. 265504.

[67] Superconductivity in FeH5 / Arnab Majumdar, S Tse John, Min Wu [h ^p.] // Phvs. Rev. B. 2017. T. 96, № 20. c. 201107.

[68] Hydrogen clathrate structures in rare earth hydrides at high pressures: Possible route to room-temperature superconductivity / Feng Peng, Ying Sun, Chris J Pickard [h ^p.] // Phvs. Rev. Lett. 2017. T. 119, № 10. c. 107001.

[69] Pvrophorie behaviour of uranium hydride and uranium powders / F Le Guvadee, X Génin, JP Bavle [n zip.| //J. Nucl. Mat. 2010. T. 396, № 2. C. 294-302.

[70] Kinetics of the reaction between water and uranium hydride prepared under conditions relevant to uranium storage / Robin Orr, Hugh Godfrey, Chris Broan [h ^p.] //J. Alloys Compd. 2017. T. 695. C. 3727-3735.

[71] Imoto Shosuke, Tanabe Tetsuro, Utsunomiva Kazuhiro. Separation of hydrogen isotopes with uranium hydride // Int. J. Hydrogen Energy. 1982. T. 7, № 7. C. 597-601.

[72] Driggs Frank H. Preparation of metal hydrides. 1931. US Patent 1,835,024.

[73] Burke Joseph E, Smith Cyril Stanley. The Formation of Uranium Hydride //J. Am. Chem. Soc. 1947. T. 69, № 10. C. 2500-2502.

[74] Mulford ENE, Ellinger FH, Zachariasen WH, A New Form of Uranium Hydride // J, Am, Chem. Soc. 1954. T. 76, № 1. C. 297-298.

[75] Eundle EE. The Structure of Uranium Hydride and Deuteride //J. Am. Chem. Soc. 1947. T. 69, № 7. C. 1719-1723.

[76] Eundle EE. The Hydrogen Positions in Uranium Hydride by Neutron Diffraction // J. Am. Chem. Soc. 1951. T. 73, № 9. C. 4172-4174.

[77] Experimental and theoretical evidence for the formation of several uranium hydride molecules / Philip F Souter, Gary P Kushto, Lester Andrews [h ^p.] // J. Am. Chem. Soc. 1997. T. 119, № 7. C. 1682-1687.

[78] Magnetic field-induced superconductivity in the ferromagnet UEhGe / F Lévv, I Sheikin, B Grenier [h Äp.] // Science. 2005. T. 309, № 5739. C. 1343-1346.

[79] Superconductivity on the border of itinerant-electron ferromagnetism in UGe 2 / SS Saxena, P Agarwal, K Ahilan [h Äp.] // Nature. 2000. T. 406, № 6796. C. 587-592.

[80] Coexistence of superconductivity and ferromagnetism in UEhGe / Dai Aoki, Andrew Huxley, Eric Eessouche [h Äp.] // Nature. 2001. T. 413, № 6856. C. 613-616.

[81] Aoki Dai, Flouquet Jacques. Ferromagnetism and superconductivity in uranium compounds // J. Phvs. Soc. Jpn. 2011. T. 81, № 1. c. 011003.

[82] High-pressure x-rav-absorption study of GaSe / J Pellieer-Porres, A Segura, Ch Ferrer [n zip.I // Phvs. Rev. B. 2002. T. 65, № 17. c. 174103.

[83] Kosobutskv Alexev V, Sarkisov S Yu, Brudnvi VN, Structural, elastic and electronic properties of GaSe under biaxial and uniaxial compressive stress // J. Phvs. Chem. Solids. 2013. T. 74, № 9. C. 1240-1248.

[84] Optical phonon modes in rhombohedral boron monosulfide under high pressure / Kirill A Cherednichenko, Petr S Sokolov, Aleksandr Kalinko [h ^p.] // J. Appl. Phvs. 2015. T. 117, № 18. c. 185904.

[85] High Pressure Synthesis of Binary B-S Compounds / T Sasaki, H Takizawa, K Uheda [h Ap.] // Phvs. Status Solidi B. 2001. T. 223, № 1. C. 29-33.

[86] Kresse Georg, Furthmüller Jürgen, Ab Initio Molecular-Dynamics Simulation of the Liquid-Metal-Amorphous-Semiconductor Transition in Germanium // Phvs, Rev, B, 1994, T. 49, № 20. c. 14251.

[87] Klimes Jiff, Bowler David R, Michaelides Angelos. Van der Waals density functional applied to solids // Phvs. Rev. B. 2011. T. 83, № 19. c. 195131.

[88] Uranium at high pressure from first principles / S Adak, H Nakotte, PF De Chatel [h ^p.] // Phvsiea B Condens. Matter. 2011. T. 406, № 17. C. 3342-3347.

[89] Synchrotron X-ray study of iron at high pressure and temperature / SK Saxena, LS Dubrovinskv, P Häggkvist [h Äp.] // Science. 1995. T. 269, № 5231. C. 1703-1704.

[90] Belonoshko Anatolv B, Ahuja Rajeev, Johansson Börje, Stability of the bodv-centred-cubic phase of iron in the Earth's inner core // Nature. 2003. T. 424, № 6952. c. 1032.

[91] The structure of iron in Earth's inner core / Shigehiko Tateno, Kei Hirose, Yasuo Ohishi [h Ap.] // Science. 2010. T. 330, № 6002. C. 359-361.

[92] Akahama Y, Kobavashi M, Kawamura H. Pressure-induced structural phase transition in sulfur at 83 GPa // Phvs. Rev. B. 1993. T. 48, № 10. c. 6862.

[93] Luo Huan, Greene Raymond G, Ruoff Arthur L. ß-Po phase of sulfur at 162 GPa: X-rav diffraction study to 212 GPa // Phvs. Rev. Lett. 1993. T. 71, № 18. c. 2943.

[94] Novel chain structures in group VI elements / Olga Degtvareva, Eugene Gregorvanz, Maddurv Somavazulu [n /ip.| // Nat. Mater. 2005. T. 4, № 2. C. 152-155.

[95] Pickard Chris J, Needs Richard J. Structure of phase III of solid hydrogen // Nature Phvs. 2007. T. 3, № 7. C. 473-476.

[96] Zhu Qiang, Oganov Artem R, Lvakhov Andriv O. Evolutionary metadynamies: a novel method to predict crystal structures // Crvst, Eng. Comm. 2012. T. 14, № 10. C. 35963601.

[97] Generalized evolutionary metadynamies for sampling the energy landscapes and its applications / Qiang Zhu, Artem R Oganov, Andriv O Lvakhov [h ^p.] // Phvs. Rev. B. 2015. T. 92, № 2. c. 024106.

[98] QUANTUM ESPRESSO: a modular and open-source software project for quantum simulations of materials / Paolo Giannozzi, Stefano Baroni, Nicola Bonini [h ^p,] //J. Phvs. Cond. Matt. 2009. T. 21, № 39. c. 395502.

[99] Phonons and related crystal properties from density-functional perturbation theory / Stefano Baroni, Stefano De Gironcoli, Andrea Dal Corso [h ^p.] // Rev. Mod. Phvs. 2001. T. 73, № 2. c. 515.

[100] Togo Atsushi, Tanaka Isao. First principles phonon calculations in materials science // Scr. Mater. 2015. T. 108. C. 1-5.

[101] Allen Ph B, Dynes RC. Transition temperature of strong-coupled superconductors reanalyzed // Phvs. Rev. B. 1975. T. 12, № 3. c. 905.

[102] Pressure-temperature phase diagram of solid hydrogen sulfide determined by Raman spectroscopy / H Shimizu, H Yamaguchi, S Sasaki [h ^p.] // Phvs. Rev. B. 1995. T. 51, № 14. c. 9391.

[103] The metallization and superconductivity of dense hydrogen sulfide / Yinwei Li, Jian Hao, Hanvu Liu [h ,np.] //J. Chem. Phvs. 2014. T. 140, № 17. c. 174712.

[104] Hydrogen sulfide at high pressure: Change in stoiehiometry / Alexander F Goneharov, Sergey S Lobanov, Ivan Kruglov [h ^p.] // Phvs. Rev. B. 2016. T. 93, № 17. c. 174105.

[105] First-principles study of the pressure and crystal-structure dependences of the superconducting transition temperature in compressed sulfur hydrides / Rvosuke Akashi, Mitsuaki Kawamura, Shinji Tsunevuki [h ^p.] // Phvs. Rev. B. 2015. T. 91, № 22. c. 224513.

[106] Superconductivity in the chalcogens up to multimegabar pressures / Eugene Gregorvanz, Viktor V Struzhkin, Russell J Hemlev [h ^p.] // Phvs. Rev. B. 2002. T. 65, № 6. c. 064504.

[107] Refined phase diagram of the HS system with high-Tc superconductivity / Ivan Kruglov, Rvosuke Akashi, Seiji Yoshikawa [h aP.] // Phvs. Rev. B. 2017. T. 96, № 22. c. 220101.

[108] High-temperature superconductivity of uranium hydrides at near-ambient conditions / Ivan A Kruglov, Alexander G Kvashnin, Alexander F Goneharov [h ^p.] // arXiv preprint arXiv:1708.05251. 2017.

[109] Veblen David R. Polvsomatism and polvsomatie series; a review and applications // Am. Mineral. 1991. T. 76, № 5-6. C. 801-826.

[110] Cort G, Taylor ED, Willis JO, Search for magnetism in hep e-Fe // J, Appl, Phvs, 1982, T. 53, № 3. C. 2064-2065.

[111] Superconductivity in the non-magnetic state of iron under pressure / Katsuva Shimizu, Tomohiro Kimura, Shigevuki Furomoto [h ^p.] // Nature. 2001. T. 412, № 6844. c. 316.

[112] Iron Superhvdrides FeH5 and FeH6: Stability, Electronic Properties, and Superconductivity / Alexander G. Kvashnin, Ivan A. Kruglov, Dmitrii V. Semenok [h Ap.] // J. Phvs. Chem. C. 2018. T. 122, № 8. C. 4731-4736.

[113] Behavior of aetinide dioxides under pressure: U02 and Th02 / M Idiri, T Le Bihan, S Heathman [h Äp.] // Phvs. Rev. B. 2004. T. 70, № 1. c. 014113.

[114] Boron monosulfide: Equation of state and pressure-induced phase transition / Kirill A Cherednichenko, Ivan A Kruglov, Artem R Oganov [h ^p.] //J. Appl. Phvs. 2018. T. 123, № 13. c. 135903.

[115] Sinnott Susan B, Brenner Donald W. Three decades of many-body potentials in materials research // MRS Bull. 2012. T. 37, № 05. C. 469-473.

[116] Mishin Y, Lozovoi AY. Angular-dependent interatomic potential for tantalum // Acta Mater. 2006. T. 54, № 19. C. 5013-5026.

[117] Lipidl4: the amber lipid force field / Callum J Dickson, Benjamin D Madej, Age A Skjevik [h Ap.] //J. Chem. Theory Comput. 2014. T. 10, № 2. C. 865-879.

[118] CHARMM general force field: A force field for drug-like molecules compatible with the CHARMM all-atom additive biological force fields / Kenno Vanommeslaeghe, Elizabeth Hatcher, Chavan Aeharva [h Äp.] //J. Comp. Chem. 2010. T. 31, № 4. C. 671-690.

[119] ReaxFF: a reactive force field for hydrocarbons / Adri CT Van Duin, Siddharth Dasgupta, Francois Lorant [h Äp.] // J. Phvs. Chem. A. 2001. T. 105, № 41. C. 9396-9409.

[120] Lorenz Sönke, Groß Axel, Seheffler Matthias. Representing high-dimensional potential-energy surfaces for reactions at surfaces by neural networks // Chem. Phvs. Lett. 2004. T. 395, № 4. C. 210-215.

[121] Neural network models of potential energy surfaces / Thomas B Blank, Steven D Brown, August W Calhoun [h Äp.] //J. Chem. Phvs. 1995. T. 103, № 10. C. 4129-4137.

[122] Behler Jörg, Parrinello Miehele, Generalized neural-network representation of high-dimensional potential-energy surfaces // Phvs, Rev, Lett, 2007, T, 98, № 14, c, 146401,

[123] Ab initio quality neural-network potential for sodium / Hagai Eshet, Rustam Z Khaliullin, Thomas D Kühne [h Äp.] // Phvs. Rev. B. 2010. T. 81, № 18. c. 184107.

[124] Microscopic Origins of the Anomalous Melting Behavior of Sodium under High Pressure / Hagai Eshet, Rustam Z Khaliullin, Thomas D Kühne [h ^p.] // Phvs. Rev. Lett. 2012. T. 108, № 11. c. 115701.

[125] Metadvnamies simulations of the high-pressure phases of silicon employing a high-dimensional neural network potential / Jörg Behler, Roman Martoiiäk, Davide Donadio [h Ap.] // Phvs. Rev. Lett. 2008. T. 100, № 18. c. 185501.

[126] Jose KV Jovan, Artrith Nongnuch, Behler Jörg. Construction of high-dimensional neural network potentials using environment-dependent atom pairs //J. Chem. Phvs. 2012. T. 136, № 19. c. 194111.

[127] Morawietz Tobias, Behler Jorg. A density-functional theory-based neural network potential for water clusters including van der Waals corrections //J. Phvs. Chem. A. 2013. T. 117, № 32. C. 7356-7366.

[128] Artrith Nongnuch, Morawietz Tobias, Behler Jörg. High-dimensional neural-network potentials for multicomponent systems: Application to zinc oxide // Phvs. Rev. B. 2011. T. 83, № 15. c. 153101.

[129] Szlachta Wojeieeh J, Bartök Albert P, Csänvi Gabor. Accuracy and transferability of Gaussian approximation potential models for tungsten // Phvs. Rev. B. 2014. T. 90, № 10. c. 104108.

[130] Machine-learning approach for one-and two-body corrections to density functional theory: Applications to molecular and condensed water / Albert P Bartök, Michael J Gillan, Frederick R Manbv [h Äp.] // Phvs. Rev. B. 2013. T. 88, № 5. c. 054104.

[131] Deringer Volker L,, Csänvi Gabor. Machine learning based interatomic potential for amorphous carbon // Phvs. Rev. B. 2017. Mar. T. 95. c. 094203. URL: https://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevB.95.094203.

[132] Deringer Volker L., Pickard Chris J,, Csányi Gábor, Data-Driven Learning of Total and Local Energies in Elemental Boron // Phvs. Rev. Lett. 2018. Apr. T. 120. c. 156001. URL: https://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevLett.120.156001.

[133] Spectral neighbor analysis method for automated generation of quantum-accurate interatomic potentials / Aidan P Thompson, Laura P Swiler, Christian R Trott [h ^p.] // J. Comp. Phvs. 2015. T. 285. C. 316-330.

[134] Podrvabinkin Evgenv V, Shapeev Alexander V. Active learning of linear interatomic potentials // arXiv preprint arXiv:1611.09346. 2016.

[135] Gubaev Konstantin, Podrvabinkin Evgenv V., Shapeev Alexander V. Machine learning of molecular properties: Locality and active learning //J. Chem. Phvs. 2018. T. 148, № 24. c. 241727.

[136] Accelerating crystal structure prediction by machine-learning interatomic potentials with active learning / Evgenv V. Podrvabinkin, Evgenv V. Tikhonov, Alexander V. Shapeev [h ,np.]. 2018.

[137] Big data meets quantum chemistry approximations: the A-machine learning approach / Raghunathan Ramakrishnan, Pavlo O Dral, Matthias Rupp [h ,np.] //J. Chem. Theory Comput. 2015. T. 11, № 5. C. 2087-2096.

[138] Botu V., Ramprasad R. Ab-initio Molecular Dynamics Acceleration Scheme with an Adaptive Machine Learning Framework // Int. J. Quantum Chem. 2014.

[139] Yao Kun, Herr John E, Parkhill John. The many-body expansion combined with neural networks //J. Chem. Phvs. 2017. T. 146, № 1. c. 014106.

[140] Behler Jorg. Perspective: Machine learning potentials for atomistic simulations //J. Chem. Phvs. 2016. T. 145, № 17. c. 170901.

[141] Mueller Tim, Kusne Aaron Gilad, Ramprasad Rampi. Machine learning in materials science: Recent progress and emerging applications // Rev. Comp. Ch. 2016. T. 29. c. 186.

[142] Dickey J. M,, Paskin A. Compute simulation of lattice dynamics of solids // Phvs. Rev. 1969. T. 188. C. 1407-1418.

[143] The self-consistent ab initio lattice dynamical method / Petros Souvatzis, Olle Eriksson, MI Katsnelson [h aP.] // Comp. Mat. Sci. 2009. T. 44, № 3. C. 888-894.

[144] Hellman Olle, Abrikosov IA, Simak SI, Lattice dynamics of anharmonie solids from first principles // Phvs. Rev. B. 2011. T. 84, № 18. c. 180301.

[145] Temperature dependent effective potential method for accurate free energy calculations of solids / Olle Hellman, Peter Steneteg, Igor A Abrikosov [h ^p.] // Phvs. Rev. B. 2013. T. 87, № 10. c. 104111.

[146] Straatsma TP, Berendsen HJC. Free energy of ionic hydration: Analysis of a thermodynamic integration technique to evaluate free energy differences by molecular dynamics simulations //J. Chem. Phvs. 1988. T. 89, № 9. C. 5876-5886.

[147] Straatsma TP, MeCammon JA. Multieonfiguration thermodynamic integration //J. Chem. Phvs. 1991. T. 95, № 2. C. 1175-1188.

[148] Mitchell Michael J, MeCammon J Andrew. Free energy difference calculations by thermodynamic integration: difficulties in obtaining a precise value //J. Comp. Mat. 1991. T. 12, № 2. C. 271-275.

[149] Hummer Gerhard. Fast-growth thermodynamic integration: Error and efficiency analysis // J. Chem. Phvs. 2001. T. 114, № 17. C. 7330-7337.

[150] Ewald P. Die Berechnung optischer und elektrostatischer Gitterpotentiale // Annalen der Physik. 1921. T. 369, № 3. C. 253-287.

[151] Dove Martin T. Introduction to Lattice Dynamics. Cambridge university press, 1993. T. 4.

[152] Gale Julian D, Röhl Andrew L. The general utility lattice program (GULP) // Mol. Sim. 2003. T. 29, № 5. C. 291-341.

[153] Valle Mario, Oganov Artem R. Crystal fingerprint space — a novel paradigm for studying crystal-structure sets // Acta Crvst, 2010. T. A66, № 3. C. 507-517.

[154] Oganov Artem R, Valle Mario. How to quantify energy landscapes of solids //J. Chem. Phvs. 2009. T. 130. c. 104504.

[155] The ReaxFF reactive force-field: development, applications and future directions / Thomas P Senftle, Sungwook Hong, Md Mahbubul Islam [h ^p.] // NPJ Comp. Mat. 2016. T. 2. c. 15011.

[156] Dolgirev Pavel E, Kruglov Ivan A, Oganov Artem R. Machine learning scheme for fast extraction of chemically interpretable interatomic potentials // AIP Adv. 2016, T, 6, № 8, c. 085318.

[157] et al. S. J. Plimpton. LAMMPS Molecular Dynamics Simulator, http://lammps.sandia.gov/. 2016. [Online; accessed 15-Januarv-2016],

[158] Liu Xiang-Yang, Ercolessi Furio, Adams James B. Aluminium interatomic potential from density functional theory calculations with improved stacking fault energy // Model. Simul. Mater. Sci. Eng. 2004. T. 12, № 4. c. 665. URL: http://staeks.iop.org/0965-0393 12 i la 007.

[159] Winev J M, Kubota Alison, Gupta Y M. A thermodynamic approach to determine accurate potentials for molecular dynamics simulations: thermoelastic response of aluminum // Model. Simul. Mater. Sci. Eng. 2009. T. 17, № 5. c. 055004. URL: http://staeks.iop.org/0965-0393 17 i 5 a 055001.

[160] Smirnova DE, Starikov SV, Stegailov VV, Interatomic potential for uranium in a wide range of pressures and temperatures // J. Phvs, Condens. Matter. 2011. T. 24, № 1. c. 015702.

[161] Smirnova DE, Kuksin A Yu, Starikov SV. Investigation of point defects diffusion in bcc uranium and U-Mo alloys // J. Nucl. Mater. 2015. T. 458. C. 304-311.

[162] A ternary EAM interatomic potential for U-Mo alloys with xenon / DE Smirnova, A Yu Kuksin, SV Starikov [h ^p.] // Model. Simul. Mater. Sci. Eng. 2013. T. 21, № 3. c. 035011.

[163] Migdal Kirill P, Pokatashkin Pavel A, Yanilkin Alexev V. Thermodynamic properties and phase transitions of 7 and liquid uranium: QMD and classical MD modeling // AIP Conference Proceedings. 2017. T. 1793, № 1. c. 070016.

[164] Phonons in aluminum at high temperatures studied by inelastic neutron scattering / M. Kresch, M. Lucas, O. Delaire [h ^p.] // Phvs. Rev. B. 2008. T. 77. c. 024301.

[165] Tang X., Li C. W,, Fultz B. Anharmonieity-indueed phonon broadening in aluminum at high temperatures // Phvs. Rev. B. 2010. T. 82. c. 184301.

[166] Entropy Driven Stabilization of Energetically Unstable Crystal Structures Explained from First Principles Theory / P. Souvatzis, O. Eriksson, M. I. Katsnelson [h ^p.] // Phvs. Rev. Lett. 2008. T. 100. c. 095901.

[167] S. Wang, G. Zhang, H. Liu [h ^p.] //J. Chem. Phvs. 2013. T. 138. c. 134101.

[168] Arsentev P.P., Koledov L.A. Metallic melts and their properties. Metallurgia, Moscow, 1976.

[169] Voeadlo L., Alfe D. Ab initio melting curve of the fee phase of aluminum // Phvs. Rev. B. 2002. T. 65. e. 214105.

[170] Energy-free machine learning force field for aluminum / Ivan Kruglov, Oleg Sergeev, Alexev Yanilkin [n ;ip.| // Sci. Rep. 2017. T. 7, № 1. c. 8512.

[171] Frenkel D,, Ladd A. J. C. New Monte Carlo method to compute the free energy of arbitrary solids. Application to the fee and hep phases of hard spheres // J. Chem. Phvs. 1984. T. 81, № 7. C. 3188-3193. URL: http://dx.doi.Org/10.1063/l.448024.

[172] Freitas Rodrigo, Asta Mark, de Koning Maurice. Nonequilibrium free-energy calculation of solids using LAMMPS // Comp. Mat. Sci. 2016. T. 112. C. 333-341.

[173] Ab initio melting curve of copper by the phase coexistence approach / L. Voeadlo, D. Alfe, G. D. Price [h ,np.] //J. Chem. Phvs. 2004. T. 120, № 6. C. 2872-2878.

[174] Alfe D, Price GD, Gillan MJ. Iron under Earth's core conditions: Liquid-state thermodynamics and high-pressure melting curve from ab initio calculations // Phvs. Rev. B. 2002. T. 65, № 16. c. 165118.