Разработка и применение межатомных потенциалов для моделирования структуры и свойств металлического ядерного топлива тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.07, кандидат наук Смирнова, Дарья Евгеньевна

• Смирнова, Дарья Евгеньевна
• кандидат наук
• 2014

Оглавление диссертации кандидат наук Смирнова, Дарья Евгеньевна

Оглавление

Список обозначений

Введение

1 Обзор литературы

1.1 Ядерные топливные материалы на основе урана

1.2 Радиационное повреждение ядерного топлива

1.3 Методы моделирования ядерного топлива

1.4 Методика построения квантовых моделей

1.5 Метод молекулярной динамики

1.6 Модели межатомных потенциалов

1.7 Межатомные потенциалы для описания урана и его соединений

2 ЕАМ-потенциал для описания урана в экстремальных состояниях

2.1 Анализ экспериментальных данных для урана

2.2 Развитие ЕАМ для учета высокотемпературных эффектов в уране

2.3 Методика учета данных ударных адиабат при разработке потенциала

2.4 Применение построенного потенциала для расчета свойств урана

3 ЕАМ-потенциал для моделирования чистого урана в трех фазах

3.1 Методика конструирования потенциала по данным ab initio расчетов

3.2 Моделирование структуры и упругих свойств кристаллических фаз урана

3.3 Моделирование теплового расширения a-U

3.4 Расчет фазовой диаграммы урана

3.5 Расчет функций распределения атомов по углам связи в y-U и расплаве

3.6 Вычисление параметра Грюнайзена для U при Т = 300-5000 К

3.7 Оценка энергии образования точечных дефектов в а-И и у-17

3.8 Моделирование диффузии точечных дефектов в у-и

4 ЕАМ-потенциал для моделирования сплавов Ц-Мо с ксеноном

4.1 Подготовка эталонных данных для построения потенциала

4.2 Оптимизация потенциала для системы Ц-Мо-Хе

4.3 Анализ потенциальных функций для Ц-Мо-Хе:

сравнение с потенциалами для II, Мо и Хе

4.4 Моделирование свойств урана

4.5 Моделирование свойств молибдена

4.6 Моделирование свойств ксенона

4.7 Моделирование бинарных соединений системы II-Мо: сплавов 11-Мо, и2Мо и а-и-Мо

4.8 Образование точечных дефектов в у-И

4.9 Свойства точечных дефектов в сплавах И-Мо

5 АОР-потенциал для моделирования системы Ц-Мо

5.1 Оптимизация потенциала АБР И-Мо

5.2 Моделирование свойств II, Мо и системы И-Мо

5.3 Моделирование поведения точечных дефектов в у-и и сплавах И-Мо

Заключение

Литература

Список обозначений

U — уран

Мо — молибден

мае. % — массовые проценты

Т — температура

ЕАМ — embedded-atom model, модель погруженного атома

ADP — angular-dependent potential, потенциал с угловой зависимостью

Гц, г — межатомное расстояние

Рр(гу) — функция эффективной электронной плотности в модели погруженного атома

р7 — средняя электронная плотность, наведенная на г-й атом окружающими его атомами

[X — векторы, описывающие зависимость ADP-потенциала от угла между атомами и (г) — парные функции, определяющие в ADP-потснциалс векторы и "к — тензорные величины, описывающие зависимость потенциала в ADP-форме от угла между атомами

w{г) — парные функции, определяющие в ADP-потенциале тензоры X ТФП - теория функционала плотности

VASP — the vienna ab initio simulation package, код для выполнения квантово-механических расчетов в рамках ТФП.

LDA — local-density approximation, приближение локальной плотности

GGA — generalized gradient approximation, приближение обобщенного градиента

vac - вакансия

SIA - self-interstitial atom, собственное междоузлие

DgIA — коэффициенты диффузии атомов типа а за счет наличия в системе вакансии или междоузлия

Itself — коэффициент самодиффузии атомов типа a

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Разработка и применение межатомных потенциалов для моделирования структуры и свойств металлического ядерного топлива»

Введение

Диссертация посвящена построению атомистических моделей, позволяющих исследовать и прогнозировать изменения структуры и свойств ядерных топливных материалов на основе урана. На примере чистого урана, сплавов урана с молибденом (и-Мо), а также системы 11-Мо с учетом ксенона была развита методика разработки межатомных потенциалов. Проведена верификация построенных потенциалов путем расчета большого числа структурных и термодинамических характеристик и, Мо и Хе и компонентов системы И-Мо. Показано, что полученные потенциалы позволяют моделировать уран и сплавы И-Мо в широком диапазоне давлений и температур. Также потенциалы могут быть привелены для исследования свойств ксенона и его поведения в и, Мо и сплавах И-Мо. Выполнено моделирование диффузии точечных дефектов в И и сплавах И-Мо.

Интерес к бинарным сплавам И-Мо вызван тем, что они рассматриваются сейчас в качестве кандидатов для применения в реакторах на быстрых нейтронах. Сплавы, содержащие от 7 до 12 мае. % молибдена, отличаются высокими показателями плотности, теплопроводности, а также прочностью [1,2]. Перечисленные характеристики говорят о перспективности применения сплавов 11-Мо в качестве ядерного топлива для реакторов нового поколения. Однако для достоверной оценки эффективности их использования необходима как можно более полная информация о большом наборе механических и теилофизических свойств топлива, а также о возможной эволюции структуры.

При исследовании изменений характеристик ядерного топлива в ходе его эксплуатации и в аварийных условиях необходимо принимать во внимание диффузию в материале его компонентов и продуктов деления. Перераспределение компонентов материала может приводить к образованию кластеров дефектов, пузырей инертных газов, преципитатов и различного рода выделений. Это, в свою очередь, ведет к локальному изменению теилофизических и прочностных свойств материала, что

отрицательно сказывается на работоспособности топливного элемента. Во всех перечисленных процессах важную роль играют точечные дефекты и кластеры из них: они обеспечивают пути диффузии атомов и являются местами размещения продуктов деления. Выявление механизмов образования и диффузии дефектов в твердом теле является одной из важнейших задач при изучении прочностных свойств [3-6]. Также полное описание динамики дефектов необходимо для моделирования процессов возникновения и распространения радиационных повреждений в материале.

В настоящей работе изучение характеристик топлива выполняется с помощью методов атомистического моделирования. Приведено описание процесса конструирования потенциалов, показана верификация атомистических моделей топлива по данным о структуре и теплофизическим свойствам, а также выполнен анализ результатов исследования диффузии точечных дефектов в уране и сплавах 11-Мо.

Актуальность работы. Изучение характеристик топливных материалов, применяющихся в ядерных реакторах, представляет собой важную научно-техническую задачу. В условиях эксплуатации структура топлива изменяется вследствие накопления радиационных повреждений и продуктов деления. Полное описание данных процессов возможно только при знании атомистических механизмов эволюции дефектов в твердом теле. На данный момент не предложено законченной схемы описания радиационных дефектов как в чистом II, так и в ядерном топливе на его основе (включая сплавы 11-Мо). Это связано со сложностью постановки эксперимента, а также с тем, что зачастую экспериментальные данные не дают информации о свойствах отдельных типов дефектов. Разработка инструмента, который предоставлял бы возможность предсказывать и анализировать эволюцию структуры топлива, является одной из ключевых задач в области радиационного материаловедения. Важнейшим из подобных инструментов является молекулярно-динамическое (МД) моделирование. Принципиальным условием успешного использования метода МД является наличие адекватных потенциалов межатомного взаимодействия. Обзор научной литературы показал, что на момент начала работы не были предложены потенциалы, способные описывать как чистый уран в различных фазах, так и бинарную систему 11-Мо в широком диапазоне давлений и температур. Данный факт препятствовал применению методов атомистического моделирования для указанных веществ. Таким образом, актуальность работы обусловлена необходимостью развития методики создания межатомных потенциалов для урансодержащих сплавов с целью прогнозирования процессов, происходящих в ядерном топливе.

Цель работы.

Целыо данной работы явилась разработка методики описания структуры и свойств чистого урана и сплавов U-Mo (в том числе, с учетом ксенона) на атомистическом уровне. Для достижения поставленной цели в работе решены следующие задачи.

1) Создание межатомных потенциалов для моделирования структуры и свойств чистого U в различных фазах (a-U, y-U, расплав), а также фазовых переходов.

2) Разработка потенциалов межатомного взаимодействия, позволяющих исследовать свойства бинарной системы U-Mo и взаимодействие ее компонентов с ксеноном.

3) Исследование диффузии точечных дефектов в U и сплавах U-Mo.

Научная новизна работы. Разработан набор новых межатомных потенциалов,

позволяющих выполнять моделирование структуры и свойств чистого U и сплавов U-Mo (с учетом Хе) в широком диапазоне давлений и температур. Проведена верификация построенных моделей по термодинамическим и механическим свойствам, а также но энергиям образования и миграции дефектов.

К моменту выхода публикаций по результатам данной работы другие межатомные потенциалы для U и системы U-Mo не были представлены в литературе. Потенциалы, предложенные для чистого урана другими исследовательскими группами, были опубликованы позднее.

Определены коэффициенты диффузии и энергии образования точечных дефектов в y-U и сплавах U-Mo (на примере сплава U-9 мас.% Мо). Вычисленные величины могут служить входными данными при построении кинетических моделей эволюции структуры топливных элементов. Расчеты коэффициентов диффузии выполнены при нормальном давлении в интервале температур 900-1400 К для y-U и G0Q-1100 К для сплава U-9Mo. Энергии образования вакансии и межузельного атома оценены при нормальном давлении для температур Т = 0 (a-U, y-U) и 900 К (y-U, сплав U-9Mo). На основании полученных данных сделан вывод о реализации межузельного механизма самодиффузии в y-U и сплавах U-Mo.

Практическая ценность работы. Разработанные потенциалы, позволяющие исследовать изменение свойств и характеристики дефектов в рамках атомистических моделей материала, учитывающих различные аспекты его структуры, могут быть применены для моделирования поведения урана и сплавов U-Mo в широком диапазоне давлений и температур (в том числе в неравновесных состояниях, образующихся иод действием радиационного облучения).

Построенные потенциалы являются одним из способов связи между ab initio мо-

делями материала и представлениями, применяющимися в моделях более высокого уровня размерности (например, в кинетических уравнениях для анализа старения топлива), позволяют реализовать многомасштабный подход к исследованию эволюции радиационных повреждений в топливных элементах на основе U и сплавов U-Mo в условиях эксплуатации и могут быть использованы в следующих научных организациях: Российский федеральный ядерный центр - ВНИИТФ, ИБРАЭ РАН.

Основные положения, выносимые на защиту.

1. Разработанный и верифицированный потенциал для описания y-U и расплава урана в условиях высоких температур и больших степеней сжатия.

2. Разработанный и верифицированный потенциал для описания урана в трех фазах (a-U, y-U, расплав).

3. Разработанные и верифицированные потенциалы для моделирования структуры и свойств сплавов U-Mo, в том числе, с учетом ксенона.

4. Выявленные закономерности поведения точечных дефектов в чистом U и сплавах U-Mo.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались на следующих конференциях: Дни Науки студентов МИСиС (2009, 2010); "Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук" (2010-2012, МФТИ); "Физико-химия и технология неорганических материалов" (2011, ИМЕТ РАН); IX Курчатовская молодежная научная школа (2011, НИЦ Курчатовский институт); Научная сессия НИЯУ МИФИ (2012, 2013); Конференция-конкурс молодых физиков (2012, ФИ им. П.II. Лебедева РАН); "XI Забабахинские научные чтеиия" (2012, Снежинск); International Conference on Multiscale Materials Modeling (MMM-2012, Singapore, 2012); Nuclear Materials Conference (NuMat-2012, 2012, Japan); "Проблемы физики ультракоротких процессов в сильнонеравновесных средах" (2012, Новый Афон); "International Conference on Equations of State for Matter", "International Conference on Interactions of Intense Energy Fluxes with Matter" (2012, 2013, п. Эльбрус); Научная конференция молодых ученых и специалистов (2013, Дубна); XXV IUPAP Conference on Computational Physics (CCP-2013, 2013, Москва).

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в 9 работах, включая 5 статей в отечественных и зарубежных рецензируемых журналах, входящих в перечень ВАК РФ.

1. Белащенко Д. К., Смирнова Д. Е., Островский О. PI. Молекулярно-динамическое моделирование тенлофизических свойств жидкого урана // Теплофизика высоких

температур, 2010, т. 49, № 3, с.363-375.

2. Белащснко Д. К., Смирнова Д. Е. Молекулярно-динамическое моделирование жидких металлов при высоких давлениях. Жидкий калий // Журнал физической химии, 2011, т. 85, j\2 11, с.1-9.

3. Смирнова Д. Е.} Стариков С. В., Стегайлов В. В. Новый межатомный потенциал для расчета механических и термодинамических свойств урана в широком диапазоне давлений и температур // Физика металлов и металловедение, 2012, т. 113, № 2, с.115-124.

4. Smirnova D. Е., Starikov S. V., Stegailov V. V. Interatomic potential for uranium in a wide range of pressure and temperature // Journal of Physics: Condensed Matter, 2012, v. 24, № 1, p.015702.

5. Smirnova D. E., Kuksin A. Yu., Starikov S. V., Stegailov V. V., Insepov Z., Rest J., Yacout A. M. A ternary EAM interatomic potential for U—Mo alloys with xenon // Modelling and Simulation in Materials Science and Engineering, 2013, v.21, № 3, p.035011.

6. Smirnova D. E., Starikov S. V. Atomistic simulation of the properties of uranium under extreme conditions: calculations of the heat capacity and melting line // Physics of Extreme State of Matter, Chernogolovka, 2011, p. 118-121.

7. Smirnova D., Insepov Z., Rest J., Yacout A. M., Starikov S., Kuxin A., Stegailov V., Norman G. Developing a New Interatomic Potential for U-Mo-Xe by Using an Ab Initio Force-Matching Method // Preprint ANL/MCS-P1928-0911, September 2011 (Argonne National Laboratory) - 15 pp.

8. Смирнова Д. E. Разработка потенциалов межатомного взаимодействия для моделирования структуры и свойств урансодержащих ядерных топлив //В сб.: Труды Всероссийского молодежного конкурса научно-исследовательских работ по фундаментальной и прикладной физике, ч. 1, М., МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2012, с. 85-91.

9. Смирнов а Д. Е., Норман Г. Э. Разработка новых межатомных потенциалов для моделирования структуры и свойств урансодержащих ядерных топлив //В сб.: Труды конференции-конкурса молодых физиков под ред. Н.В. Калачева и М.Б. Шапочкина. М., ФИ им. П. Н. Лебедева РАН, 2012, т. 18, № 1, с. П8.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав, выводов и библиографии. Работа изложена на 118 страницах, содержит 40 рисунков, 17 таблиц и список цитируемой литературы из 133 наименований.

Глава 1

Обзор литературы

1.1 Ядерные топливные материалы на основе урана

Чистый уран - металл, элемент периодический таблицы, принадлежащий к группе актинидов (порядковый номер 92, атомная масса - 238,039 а.е.м.) Применение в качестве ядерного топлива уран получил из-за наличия долгоживущего радиоактивного изотопа 11-235, который при взаимодействии с нейтроном может делиться с выделением большого количества энергии и образованием вторичных нейтронов, что позволяет поддерживать цепную реакцию деления.

Известно, что при атмосферном давлении в чистом уране, в зависимости от температуры, стабильной может быть одна из четырех фаз: низкотемпературная орто-ромбическая фаза (а-11), тетрагональная фаза ((3-11), ОЦК фаза (у-11) и жидкость. Кристаллическая структура а-11 схематично изображена на рисунке 1.1. Эта фаза отличается низкой пластичностью и хрупкостью [4] . При нулевом давлении и температуре 935 К а-и переходит в |3-11, которая существует в очень узком интервале давлений и температур. При 1045 К происходит превращение |3-11 в у-и, и далее при 1406 К у-И плавится. Наибольший практический интерес при исследовании ядерных топливных материалов представляют кристаллические модификации а-11 и у-11, а также расплав урана, поэтому дальнейшее обсуждение будет касаться свойств этих фаз.

Следует отметить, что при изготовлении топливных элементов применяется не чистый уран, а его сплавы и соединения, обладающие лучшими показателями радиационной стойкости и прочности. Так, в последнее время, в связи с развитием технологии высокотемпературных реакторов на быстрых нейтронах, большое вни-

а/~Ь

Рис. 1.1. Кристаллическая структура орторомбической а-фазы урана, а, Ь, с, у -параметры, определяющие кристаллическую решетку. Четыре атома, выделенные утолщённым черным контуром, задают базис структуры.

мание уделяется топливным композициям с высокой теплопроводностью и прочностью. Известно, что такие характеристики можно получить путем легирования чистого металлического у-и молибденом, ниобием или цирконием [4]. Введение в у-уран достаточного количества (более 10 атомных процентов) одного из указанных элементов позволяет стабилизировать структуру ОЦК у-11 при комнатной температуре. Полученные таким образом сплавы у-фазы обладают повышенной коррозионной и радиационной стойкостью [7]. Кроме того, добавление Мо, или Ъс приводит к понижению коэффициента теплового расширения материала (по сравнению с чистым у-ураном) и повышению температуры плавления, так как легирующие элементы более тугоплавки [8-11]. Технологически эти изменения очень важны, так как уменьшают вероятность плавления или разрушения топлива непосредственно в ходе эксплуатации.

Как показывают экспериментальные исследования, сплавы урана с молибденом обладают подходящими характеристиками для того, чтобы претендовать на роль перспективных топливных материалов для ядерных реакторов на быстрых нейтронах (как промышленных, так и исследовательских [12]).

Легирование чистого у-11 молибденом (в количестве 5-20 мас.%, что составляет примерно 10-40 ат.%) позволяет получить плотный твердый раствор у-Ц-Мо с ОЦК структурой, которая сохраняется в устойчивом метастабильном состоянии в интервале температур от 300 до ~ 900 К [1,7,12-15]). С дальнейшим ростом температуры структура у-Ц-Мо переходит в область стабильности (согласно фазовой диаграмме на рисунке 1.2).

X 1300

800 -

у(и-Мо) У-и

1)2Мо + а-и

1049

300 -—,-,-г

60 70 80 90 100

Содержание урана, атомньи X

Содержание урана, весовые %

50 60 70 80 90

Содержание урана, весовые Ч

1800-

1(распла>11-Мо)

Рис. 1.2. Фазовая диаграмма системы уран-молибден. Слева приведена диаграмма в полном виде, справа показана область существования топливных сплавов у-фазы (ограничена содержанием молибдена в 30 ат. %). Отмечены основные фазы, существующие в системе, и температуры фазовых превращений.

Результаты теоретического исследования стабильности твердых растворов на основе у-фазы, образованной с помощью разных легирующих элементов (11-Мо и И-2т), приведенные в [16], указывают на то, что структура у-11-Мо оказывается более устойчивой. При этом перераспределение компонентов в 11-Мо оказывается ниже, а плотность урана - выше, чем в И-ХЬ и Ц-ХЬ^г [17]. К преимуществам 11-Мо можно отнести также и то, что что у-11-Мо остается стабильной вплоть до плавления, в отличие от \J-Zr, который претерпевает ряд фазовых переходов в интервале температур, существенном при исследовании процессов, происходящих в ядерном реакторе.

1.2 Радиационное повреждение ядерного топлива

В условиях эксплуатации структура топлива может изменяться вследствие накопления в материале образующихся радиационных дефектов и продуктов деления. Если энергия летящего осколка деления достаточно велика, его столкновение с атомом материала может привести к смещению атома из положения равновесия в кристаллической решетке. При этом узел кристаллической решетки становится пустым, а занимавший его атом смещается в межузельное положение. Другими

словами, образуется пара первичных дефектов, включающая вакансию и атом в положении междоузлия. Выбитый атом материала может, при наличии достаточной кинетической энергии, продолжить движение, что вызовет дальнейшие смещение окружающих атомов из положений равновесия в узлах решетки и приведет к образованию каскада смещений. В результате микроструктура облученного топлива претерпевает изменения из-за накопления большого количества точечных дефектов в кристаллической решетке. С течением времени дефекты могут перемещаться в материале и взаимодействовать между собой: например, образовывать кластеры или приводить к возникновению пористости. Кроме того, при взаимодействии дефектов различных типов может происходить их рекомбинация. Также структура материала может изменяться вследствие диффузии продуктов распада - инертных газов, ионы которых также могут образовывать в кристаллической решетке топлива кластеры и упорядоченные структуры. Подобные явления наблюдались для ксенона в молибдене [18] и в сплаве 11-7 мас.%Мо [19]. Вследствие описанных повреждений, касающихся как всего материала, так и его локальных областей, изменяются и физические, и механические свойства топлива.

Правильное описание перечисленных процессов, связанных с радиационным повреждением, возможно только при знании атомистических механизмов эволюции дефектов в топливе. На данный момент не предложено законченной схемы описания эволюции радиационных дефектов как в чистом уране, так и в ядерном топливе на его основе (включая сплавы Ц-Мо). Существует весьма ограниченное число работ, посвященных особенностям образования дефектов и диффузии в фазах урана [20-25] и и-Мо [26-29].

При рассмотрении механизмов радиационных повреждений в сплавах 11-Мо следует учитывать и тот факт, что в условии низких температур (до 855 К) в метаста-бильной фазе у-И-Мо может происходить фазовый переход первого рода с образованием слоистой структуры из твердого раствора Мо в а-И и соединения Т^Мо [17]. В экспериментальной работе [30] отмечается, что на стабильность у-фазы может влиять как количество молибдена в сплаве, так и технология закаливания. Механизмы распада на данный момент окончательно не прояснены.

1.3 Методы моделирования ядерного топлива

Опираясь на приведенный выше обзор свойств ядерных топливных материалов, можно заключить, что в их описании присутствуют явления, требующие дальнейшего исследования. Для получения новых данных о характеристиках топлива могут применяться как экпериментальные методики, так и различные теоретические подходы, позволяющие изучать явления радиационного повреждения и связанной с ним эволюции структуры топлива на разных масштабах, такие как:

1) Квантовые модели, основанные на теории функционала электронной плотности в рамках формализма Кона-Шэма (КШ-ТФП). Из-за высоких вычислительных затрат 1 подробных ab initio расчетов допустимые размеры моделей оказываются сильно ограничены. Так, ab initio МД-расчет в рамках ТФП возможен для моделей до 102 атомов на временах порядка Ю-11 с. В радиационном материаловедении такие расчеты привлекаются для определения энергий образования или миграции дефектов, определения наиболее выгодной конфигурации дефектов в материале, расчета энергетических барьеров перехода из одной конфигурацию в другую.

2) Классические модели, основанных на представлении потенциальной энергии системы как некоторой заданной функции от координат частиц. Характерные масштабы моделей (до 104-107 атомов на временах до Ю-7 с) делают возможным изучение таких явлений, как фазовые переходы, диффузия дефектов и продуктов деления в топливе, эволюция радиационных каскадов и т.д.

Из приведенных выше примеров следует, что возможность применения различных моделей ограничивается интервалом времен и размеров, доступных для изучения. В настоящее время в материаловедении наблюдается тенденция к объединению расчетов, выполняющихся на разных масштабах. Связав между собой данные, полученные с помощью различных методов, можно получить так называемую "многомасштабную модель" изучаемого вещества [31,32]. При этом результаты расчетов, проведенных на одном уровне размерности, могут служить входными параметрами (или данными) при переходе на другой уровень масштаба. Так, например, связь масштабов классических и квантовых моделей может быть выполнена через потенциал межатомного взаимодействия.

1 Например, типичный одиночный расчет электронной структуры для сис!емы из 128 атомов урана требует порядка 500 минут на двух узлах (16 ядер) кластера МВС-ЮОК МСЦ РАН.

1.4 Методика построения квантовых моделей

В данной работе иод квантовыми моделями подразумеваются модели, основанные на теории функционала плотности (ТФП) в рамках формализма Кона-Шэма.

Основы теории функционала плотности (далее - ТФП) были заложены в работах Хоэнберга и Кона 1960 гг.: было доказано, что вместо решения задачи определения волновой функции основного состояния для системы, содержащей N электронов, можно перейти к определению электронной плотности основого состояния [33]. При этом число неременных, от которых зависит функция, сокращается. При рассмотрении системы электронов методами ТФП совокупность взаимодействующих частиц заменяется совокупностью фиктивных частиц, не взаимодействующих между собой. Электронная плотность для такой системы выражается как сумма квадратов волновых функций отдельных электронов, а их взаимодействие задается через так называемый "обменно-корреляционный потенциал", полученный из обменно-корреляционного функционала полной электронной плотности Ехс. Движение ионов и электронов в системе рассматривается в адиабатическом приближении (приближение Борна-Оппенгеймера), в рамках которого можно разделить движение ионов и электронов и считать, что медленно движущиеся ядра образуют электростатическое иоле, в котором движутся электроны, обладающие большей скоростью. Вывод является следствием того, что электроны значительно легче ядер, из чего можно заключить, что скорость движения ядер мала по отношению к скорости движения электронов. В результате описанных преобразований можно получить набор одно-электронных уравнений Шредингера:

V2 +Veff(r) ~ В,)ф,-(Г) = 0, (1.1)

п(г) = £К-(г) I2, (1.2)

3 = 1

veff(r) = v(r) + J J^r^r' + vxc{r). (1.3)

Здесь vef j (r) — эффективный потенциал невзаимодействующих частиц, г и г' - положения электронов, cpj(r) - обозначение орбитали Кона-Шэма, sj - соответствующая

энергия, n(r) - электронная плотность, N - число собственных состояний, w(r) -внешний потенциал, vxc - обменно-корреляционный потенциал.

Совокупность самосогласованных уравнений (1.1) - (1.3) представляет собой уравнения Кона-Шэма. Для выполнения ab initio расчетов в настоящей работе применялась реализация методов КШ-ТФП в программном пакете VASP [34] (версия 4.6). Пакет VASP позволяет проводить вычисления в рамках ТФП на основе базиса присоединенных плоских волн с использованием нсевдопотенциала. Следует пояснить отдельные моменты, связанные напрямую с выполнением расчетов в рамках метода КШ-ТФП:

1. Для обменно-корреляционного функционала Ехс не существует точной формулировки, поэтому обычно его определяют с помощью приближений [33]. Простейший вариант - приближение локальной плотности (local density approximation - LDA). В этом варианте плотность обменно-корреляционной энергии в заданной точке зависит только от значения электронной плотности в этой точке. При этом зависимость может быть задана в различной функциональной форме. Также обменно-корреляционный функционал может быть определен в приближении обобщенного градиента (generalized gradient approximation - GGA). Такой вариант позволяет учитывать влияние локального градиента электронной плотности на величину энергии. Можно сказать, что сейчас эти два класса функционалов - GGA и LDA являются стандартными, так как большинство ab initio расчетов в области материаловедения выполняется с их помощью.

В рамках настоящей работы требовалось выбрать оптимальное приближение для рассмотрения урана и его сплавов. Ранее оба типа функционалов исиользвались для расчета свойств актинидов. Так, в работе [35] показано, что при расчете равновесного объема элементов Th, Pa, U, Np и Ри с помощью методов ТФП приближение LDA дает заниженный результат, но сравнению с опытами (для урана - примерно на 10%). В то же время для данных, рассчитанных с помощью GGA-функционала, отклонение от опыта составляет всего несколько процентов (для урана - около 2%). Исходя из этого для рассмотрения урана и его сплавов в настоящей работе использовалось GGA приближение.

Следует также отметить, что для обменно-корреляционного функционала в рамках приближения GGA существует несколько функциональных форм. В данном случае функционал был выбран в виде PW-91, предложенном в работе [36|. Ранее в научной литературе было показано, что GGA PW-91 может быть применен для

рассмотрения чистого урана [37] и его соединений (например, U-N [38]), так как обеспечивает хорошее согласие с экспериментом по структуре и упругим модулям кристаллических фаз указанных веществ.

2. Расчеты, представленные в настоящей работе, были выполнены с использованием псевдоиотенциала. С его номощыо описывается взаимодействие между валентными электронами и ионным остовом, состоящим из ядра и приближенных к нему электронов. Использование псевдоиотенциала становится возможным в предположении, что электроны ионного остова крепко связаны с ядром. Тогда в расчете можно принять, что внутренние электроны остаются "замороженными", в то время, как валентные электроны могут свободно взаимодействовать. Для описания электронной структуры урана был выбран псевдопотенциал присоединенных плоских волн (PAW - projector-augmented waves), предложенный в работе [34] и ориентированный на применение в программном пакете VASP. Описанный псевдопотенциал был получен на основании данных о полноэлектронной структуре атома урана и применялся для расчетов свойств a-U в [37].

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Смирнова, Дарья Евгеньевна, 2014 год

Литература

[1] Sinha V., Hegde P., Prasad G., Dey G., Kamath H. Phase transformation of metastable cubic y-phase in UMo alloys // J. of Alloys and Сотр..— 2010.— Vol. 506, no. 1,— Pp. 253-262.

[2] Baranov V., Nechaev V., Produvalov В., Shornikov D. Interaction of uranium-molybdenum fuel with an aluminium matrix with deep burnup // Atomic Energy. — 2010. - Vol. 108. — Pp. 349-356.

[3] Chernov V. M., Romanov V. A., Krutskikh A. O. Atomic mechanisms and energetics of thermally activated processes of helium redistribution in vanadium // J. of Nucl. Mater..- 1999,- Vol. 271-272,- Pp. 274-279.

[4] Годип Ю., Тенищев А., Новиков В., под редакцией Калина Б.А. Физическое материаловедение, Т. 6, часть 2. — Москва: МИФИ, 2008.— С. 604.

[5] Wirth В. D. Materials science. How does radiation damage materials? // Science (New York, N. Y.J. - 2007. - Vol. 318, no. 5852. - Pp. 923-4.

[6] Bai X.-M., Voter A. F., Hoagland R. G., Nastasi M., Uberuaga B. P. Efficient annealing of radiation damage near grain boundaries via interstitial emission. // Science (New York, N. Y.J. - 2010. - Vol. 327, no. 5973. — Pp. 1631-4.

[7] Vatulin A., Morozov A., Suprun V., Petrov Y. I., Trifonov Y. I. High-density U-Mo fuel for research reactors // Metal Science and Heat Treatment. — 2004. — Vol. 46, no. 11-12.-P. 484.

[8] Hofman G. L.. Walters L. C., Bauer T. H. Metallic fast reactor fuels // Progress in Nuclear Energy. — 1997. — Vol. 31, no. 1-2. — Pp. 83-110.

[9] Meyer M. Low-temperature irradiation behavior of uranium-molybdenum alloy dispersion fuel // J. of Nucl. Mater..— 2002, — Vol. 304, no. 2-3. — Pp. 221-236.

[10] Kim Y. S., Hofman G., Yacout A. Migration of minor actinides and lanthanides in fast reactor metallic fuel // J. of Nucl. Mater.. — 2009.— Vol. 392, no. 2,— Pp. 164-170.

[11] Carmack W. J., Porter D. L., Chang Y. I., Hayes S. L., Meyer M. K., Burkes D. E., Lee C. B. et al. Metallic fuels for advanced reactors // J. of Nucl. Mater.. — 2009.- Vol. 392, no. 2,- Pp. 139-150.

[12] Kim Y. Comprehensive nuclear materials, volume 3: Advanced Fuels/Fuel Cladding/Nuclear Fuel Performance Modeling and Simulation / Ed. by R. J. Konings. - Elsevier Ltd., 2012. — Pp. 391-422.

[13] Burkes D., Prabhakaran R., Hartmann T., Juc J.-F., Rice F. Properties of du-10wt.%mo alloys subjected to various post-rolling heat treatments // Nuclear engineering and design.— 2010.— Vol. 240. — Pp. 1332-1339.

[14] Burkes D., Wachs D., Keiser IX, Okuniewski M., Jue J.-F., Rice F., Prabhakaran R. INL/CON-09-15633 preprint: Update on Fresh Fuel Characterization of U-Mo Alloys: Tech. rep.: 2009.

[15] Ozaltun H., Herman Shen M.-H., Medvedev P. Assessement of residual stress on ulOmo alloy based monolithic mini-plates during hot isostatic pressing // J. of Nucl. Mater..- 2011.- Vol. 419.- Pp. 76-84.

[16] Landa A., Soderlind P., Turchi P. Density-functional study of U-Mo and U-Zr alloys // J. of Nucl. Mater..— 2011.- Vol. 414,- Pp. 132-137.

[17] Hilton B. A. ANL review of oxidation rates of DOE spent nuclear fuel: part 1: metallic fuel: Tech. rep.: 2000.

[18] Evans J. Observations of a regular void array in high purity molybdenum irradiated with 2 meV nitrogen ions // Nature. — 1971. — Vol. 229. — Pp. 403-404.

[19] Gan J., Keiser J., Wachs D., Robinson A., Miller B., Allen T. Transition electron microscopy characterization of irradiated U-7Mo/Al-2Si dispersion fuel // J. of Nucl. Mater.. — 2010. — Vol. 396. - P. 234.

[20] Adda Y., Kirianenko A. Etude de l'autodiffusion de l'uranium en phase a // J. of Nucl. Mater. - 1962. - Vol. 6, no. 1. - Pp. 130 - 134.

[21] Adda Y., Kirianenko A., Mairy C. Etude de l'autodiffusion de l'uranium en phase p // J. of Nucl. Mater. - 1959. - Vol. 1, no. 3. - Pp. 300 - 301.

[22] Adda Y., Kirianenko A. Etude de l'autodiffusion de l'uranium en phase y // J. of Nucl. Mater. - 1959. - Vol. 1, no. 2. - Pp. 120 - 126.

[23] RothmanS. J., Lloyd L. Y., Harkness A. L. // Trans. Met. Soc. AIME.— I960.— Vol. 218, no. 8.- P. 605.

[24] Смирнов E. A., Смирнов К. E. Диффузионные процессы в ОЦК-фазах актинидов: Препринт МИФИ-013092:1992.

[25] Matter H., Winter J., Triftshauser W. Investigation of vacancy formation and phase transformations in uranium by positron annihilation // J. of Nucl. Mater.. — 1980. - Vol. 88. - Pp. 273-278.

[26] Adda Y., Kirianenko A. Abaissement des coefficients d'autodiffusion de l'uranium en phase y par des additions de molybdene, de zirconium ou de niobium // J. of Nucl. Mater. - 1962. - Vol. 6, no. 1. — Pp. 135 - 136.

[27] Федоров Г. Б., Смирнов E. А. Диффузия в реакторных материалах. — Москва: Атомиздат, 1978. — С. 160.

[28] Liu Y., Yu D., Du Y., Sheng G., Long Z., Wang J., Zhang L. Atomic mobilities, diffusivities and their kinetic implications for U-X (X = Ti, Nb and Mo) bcc alloys // Calphad. - 2012. - Vol. 37. — P. 49.

[29] Huang К., Keiser D. D., Sohn Y. Interdiffusion, Intrinsic Diffusion, Atomic Mobility, and Vacancy Wind Effect in y(bcc) Uranium-Molybdenum Alloy // Metallurgical and Materials Transactions A. — 2013. — Vol. 44, no. 2. — P. 738.

[30] Kim-Ngan N.-T., Tkach I., Maskovd S., Gonçalves A. P., Havela L. Study of decomposition and stabilization of splat-cooled cubic y-phase U-Mo alloys // J. of Alloys and Сотр.. - 2013. - Vol. 580,- Pp. 223-231.

[31] Veshchunov M., Dubourg R., Ozrin V., Shestak V., Tarasova V. Mechanistic modelling of urania fuel evolution and fission product migration during irradiation and heating // J. of Nucl. Mater.. - 2007. — Vol. 362, no. 2-3. — Pp. 327-336.

[32] Rest J., Kim Y., Hofman G., Meyer M., Hayes S. U-Mo Fuels Handbook (Argonne National Laboratory, ANL-09/31): Tech. rep.: 2009.

[33] Кон В. Нобелевская лекция по химии - 1998: электронная структура вещества - волновые функции и функционал плотности // Успехи физических наук. — 2002,- Т. 172, № 3,- С. 336-348.

[34] Kresse G. Efficient iterative schemes for ab initio total-energy calculations using a plane-wave basis set // Physical Review B. — 1996. — Vol. 54, no. 16. — P. 11169.

[35] Wills M., Eriksson 0. Actinide ground-state properties, theoretical predictions // Los Alamos Science. — 2000. — Vol. 26. — Pp. 128-151.

[36] Perdew J. P., Chevary J. A., Vosko S. H., Jackson K. A., Pederson M. R.. Singh D. J., Fiolhais C. Atoms, molecules, solids, and surfaces: Applications of the generalized gradient approximation for exchange and correlation // Phys. Rev. B. - 1992. - Vol. 46, no. 11. - Pp. 6671-6687.

[37] Taylor C. Evaluation of first-principles techniques for obtaining materials parameters of a-uranium and the (001) a-uranium surface // Phys. Rev. B.— 2008. - Vol. 77, no. 9. - P. 094119.

[38] Kotomin A., Grimes R. W., Mastrikov Y., Ashley N. J. Atomic scale DFT simulations of point defects in uranium nitride // J. Phys.: Condens. Matter.— 2007. - Vol. 19. — Pp. 106208-106217.

[39] Martin R. M. Electronic structure. Basic Theory and Practical Methods. — Cambridge univcrcity press, 2004. — P. 624.

[40] Blöchl P. E., Jepsen O., Andersen О. K. Improved tetrahedron method for brillouin-zone integrations // Phys. Rev. B. — 1994. — Vol. 49. — Pp. 16223-16233.

[41] Monkhorst H. J., Pack J. D. Special points for brillouin-zone integrations // Phys. Rev. B. — 1976. - Vol. 13.-Pp. 5188-5192.

[42] Kresse G., Marsman M., Furthmuller J. VASP the GUIDE. — Faculty of Physics, Universität Wien, 2009. — P. 162.

[43] Plimpton S. Fast parallel algorithms for short-range molecular dynamics // J. Сотр. Phys. - 1995. - Vol. 117. - P. 1.

[44] Verlet L. Computer "Experiments" on Classical Fluids. I. Thermodynamical Properties of Lennard-Jones Molecules. // Phys. Rev. — 1967. — Vol. 159. — P. 98.

[45] Frenkel D., Smit B. Understanding Molecular Simulation, Second Edition: From Algorithms to Applications (Computational Science Series, Vol 1).— Academic Press, a Division of Harcort, Inc., 2002. — P. 638.

[46] Белащенко Д. К. Компьютерное моделирование жидких и аморфных веществ: научное издание. — Москва: МИСиС, 2005. — С. 408.

[47] Sulmann G. Quantum Simulations of Complex Many-Body Systems: From Theory to Algorithms // Julich: NIC. - 2002. - Vol. 10. - Pp. 211-254.

[48] Berendsen H. J. C., Postma J. P. M., van Gunsteren W. F., DiNola A., Haak J. R. Molecular dynamics with coupling to an external bath // J. Chew,. Phys. — 2002. — Vol. 81, no. 8,- Pp. 3684-3677.

[49] Field M. J. A Practical Introduction to the Simulation of Molecular Systems. — Cambridge univercity press, 2007. — P. 339.

[50] Daw M., Baskes M. Embedded-atom method: Derivation and application to impurities, surfaces, and other defects in metals // Phys. Rev. B. — Jun 1984. — Vol. 29, no. 12,- Pp. 6443-6453.

[51] Ackland G., Sutton A., Vitek V. Twenty five years of finnis-sinclair potentials // Phil. Mag. - 2009. - Vol. 89. - Pp. 3111-3116.

[52] Норман Г. Э., Стегайлов В. В. Стохастическая теория метода классической молекулярной динамики // Математическое моделирование. — 2012. — Vol. 24. - Pp. 3-44.

[53] Ionov G. V., Sapozhnikov F. A., Dremov V. V., Preston D. L., Zocher M. A. The generalized embedded atom model of interatomic interaction and its application to a-Pu 11 J. ofNucl. Mater. — 2013. — Vol. 435, no. 1-3. — P. 10.

[54] Zhou L. G., Huang H. Response embedded atom method of interatomic potentials 11 Phys. Rev. B. - 2013. - Vol. 87. - P. 045431.

[55] Koci L., Belonoshko A. B., Ahuja R. Molecular dynamics study of liquid iron under high pressure and high temperature // Phys. Rev. B.— 2006.— Vol. 73.— P. 224113.

[56] Schopf D., Brommer P., Frigan B., Trebin H.-R. Embedded atom method potentials for Al-Pd-Mn phases // Phys. Rev. B. — 2012. — Vol. 85.- P. 054201.

[57] Mishin Y., Mehl M., Papaconstantopoulos D. Phase stability in the Fe-Ni system: Investigation by first-principles calculations and atomistic simulations // Acta Materialia. - 2005. - Vol. 53, no. 15. - Pp. 4029-4041.

[58] Singh C., Warner D. Mechanisms of Guinier-Preston zone hardening in the athermal limit // Acta Materialia. — 2010. — Vol. 58, no. 17. — Pp. 5797-5805.

[59] Li R.-S., He B., Zhang Q.-H. Atomistic Model of Uranium // Chinese Journal of Chemical Physics. - 2011. - Vol. 24, no. 4. — Pp. 405-411.

[60] Pascuet M., Bonny G.. Fernández J. Many-body interatomic U and Al-U potentials // J. of Nucl. Mater. - 2012. — Vol. 424, no. 1-3.- Pp. 158-163.

[61] Li Y, Shan T.-R., Liang T., Sinnott S. B., Phillpot S. R. Classical interatomic potential for orthorhombic uranium. // J. of Phys.: Cond. Mat.. — 2012. — Vol. 24, no. 23. — P. 235403.

[62] Beeler B., Deo C., Baskes M., Okunewski M. Atomistic properties of y uranium / / Journal of physics: Condensed matter. — 2012. — Vol. 24.— P. 075401.

[63] Govers K., Lemehov S., Hou M., Verwerft M. Comparison of interatomic potentials for U02. Part I: Static calculations // J. of Nucl. Mater. — 2007. —Vol. 366, no. 12,- Pp. 161-177.

[64] Potashnikov S., Boyarchenkov A., Nekrasov K., Kupryazhkin A. High-precision molecular dynamics simulation of UO2-PUO2: Pair potentials comparison in U02 // J. of Nucl Mater. - 2011. - Vol. 419, no. 1-3. - Pp. 217-225.

[65] Chartier A., Van Brutzel L. Modeling of point defects and rare gas incorporation in uranium mono-carbide // Nuclear Instruments and Methods in Physics Research Section B: Beam Interactions with Materials and Atoms.— 2007.— Vol. 255, no. 1,- Pp. 146-150.

[66] Kurosaki К., Yano К., Yamada К., Uno M., Yamanaka S. A molecular dynamics study of the thermal conductivity of uranium mononitride // J. of Alloys and Сотр..- 2000.- Vol. 311, no. 2,- P. 305.

[67] Kurosaki K., Yano K., Yamada K., Uno M., Yamanaka S. A molecular dynamics study of the heat capacity of uranium mononitride //J. of Alloys and Сотр..— 2000. - Vol. 297, no. 1-2. - Pp. 1-4.

[68] Dai Y., Lu C., Ren Q., Lu L., Li J., Liu B. A long-range U-Nb potential for the calculation of some chemical and physical properties of the U-Nb system // J. of Nucl. Mater. - 2012. - Vol. 427, no. 1-3. - Pp. 239-244.

[69] Moore A., Beeler В., Baskes M., Okuniewski M., Deo C. Atomistic Ordering in Body Centered Cubic Uranium-Zirconium Alloy // Mater. Res. Soc. Symp. Proc. — 2013.- Vol. 1514,- Pp. 27-35.

[70] Gathers G. Dynamic methods for investigating thermophysical properties of matter at very high temperatures and pressures // Rep. prog. phys. — 1986. — Vol. 49, no. 4. - P. 341.

[71] Фокин Л. P. Изобара плотности жидкого урана // Межведомственный семинар "Теплофизика 2007", Онинск, ФЭИ. — 2007. - С. 123.

[72] Гурвич Л. В., Вейц И. В., Медведев В. А. Термодинамические свойства индивидуальных веществ. Т.4. Книга 1-2.— Москва:Наука., 1982.— С. 560.

[73] Wittenberg L. A model for liquid uranium and plutonium with implications on the adjacent solid phases. Plutonium 1975 and other actinides. Ed. H. Blank and R. binder. Proc 5th Int. Conf. on Plutonium and other actinides. Baden Baden. 10-13 Sept. 1975. North-Holland Publ. - 1976. - Pp. 71-82.

[74] Текучее В. Акустическое исследование свойств электронных расплавов. — РПК Политехник: Волгоград, 2005. — С. 207.

[75] Marsh-Berkeley S. LASL Shock Hugoniot Data. — Univ. California Press, 1979.— P. 672.

[76] Жарков В. H., Калинин В. А. Уравнения состояния твердых тел при высоких давлениях и температурах, — Москва: Наука, 1968.— С. 215.

[77] van Thiel M. Compendium of Shock Wave Data. Livermore: Lawrence Livermore Laboratory Report UCRL-50108: Tech. rep.: 1977.

[78] Yoo C.-S., Cynn H., Soderlind P. Phase diagram of uranium at high pressures and temperatures // Phys. Rev. B.— 1998. —Vol. 57, no. 17. — Pp. 10359-10362.

[79] Morris J., Wang C., Ho K., Chan C. Melting line of aluminium from simulations of coexisting phases 11 Phys. Rev. B.— 1994,- Vol. 49, no. 5. — Pp. 3109-3115.

[80] Belonoshko A. Molecular dynamics of MgSi03 perovskite at high pressures: Equation of state, structure, and melting transition // Geochimica et Cosmochimica Acta. — 1994. - Vol. 58, no. 19. — Pp. 4039-4047.

[81] Starikov S., Insepov Z., Rest J., Kuksin A. Y., Norman G., Stegailov V., Yanilkin A. Radiation-induced damage and evolution of defects in Mo // Phys. Rev. B.— 2011.-Vol. 84, no. 10.-P. 104109.

[82] Ofte D. Viscosities of the Liquid Uranium Gold and Lead //J. Nucl. Mater. — 1967.-Vol. 22.-P. 28.

[83] Ercolessi F., Adams J. B. Interatomic Potentials from First-Principles Calculations: The Force-Matching Method // Europhysics Letters (EPL).— 1994,- Vol. 26, no. 8.- Pp. 583-588.

[84] Barrett C. S., Mueller M. H., Hitterm,an R. L. Crystal structure variations in alpha uranium at low temperatures // Phys. Rev. — 1963. — Vol. 129, no. 2. — P. 625.

[85] Yoo C.-S., Cynn H., Soderlind P. Phase diagram of uranium at high pressures and temperatures // Phys. Rev. B. — 1998. - Vol. 57, no. 17. — P. 10359.

[86] Brommer P., Gahler F. Potfit: effective potentials from ab initio data // Modelling Simulation Mater. Sci. Eng. — 2007. — Vol. 15. — P. 295.

[87] Fellinger M. R., Park H., Wilkins J. W. Force-matched embedded-atom method potential for niobium // Phys. Rev. B.— 2010. — Vol. 81, no. 14, — P. 144119.

[88] Soderlind P. First-principles elastic and structural properties of uranium metal // Phys. Rev. B. - 2002. - Vol. 66, no. 8. - P. 085113.

[89] Kaptay G., Csicsovszki G., Yafhmaee M. Estimation of the absolute values of cohesion energies of pure metals // Materials' World.— 2001. http: //material world .fw.hu.

[90] Akella J., Smith G. S., Grover R., Wu Y., Martin S. Static EOS of uranium to 100 GPa pressure // High. Pres. Res. - 1990. - Vol. 2, no. 5 6. - Pp. 295-302.

[91] Le Bihan T., Heathman S., Idiri M. // Phys. Rev. B.— 2003.— Vol. 67.— P. 134102.

[92] Zhao Y., Zhang J., Brown D., Korzekwa D., Hixson R., Wang L. Equations of state and phase transformation of depleted uranium DU-238 by high pressure-temperature diffraction studies // Physical Review B. — 2007. — Vol. 75, no. 17. — P. 174104.

[93] Blanter M., Glazkov V., Somenkov V. Anisotropy of thermal vibrations and polymorphic transformations in lanthanum and uranium // Phys. Stat. Sol. (b).— 1967,-Vol. 246, no. 5.-Pp. 1044-1049.

[94] Hood R. Q., Yang L., Moriarty J. A. Quantum molecular dynamics simulations of uranium at high pressure and temperature // Phys. Rev. B. — 2008. — Vol. 78, no. 2,- P. 024116.

[95] McGraw-Hill D. G. // American Institute of Physics Handbook, 3rd ed., San Francisco. — 1972.

[96] Boivineau M., Aries l, Vermeulen J., Thevenin T. High-pressure thermophysical properties of solid and liquid uranium. // Physica B.— 1993. — Vol. 190, no. 1. — Pp. 31-39.

[97] Beeler B., Good B., Rashkeev S., Deo C., Baskes M., Okuniewski M. First principles calculations for defects in U. // J. of Phys.: Cond. Mat..— 2010.— Vol. 22, no. 50,- Pp. 505703.

[98] Xiang S., Huang H., Hsiung L. Quantum mechanical calculations of uranium phases and niobium defects in y-uranium // J. ofNucl. Mater.. — 2008. — Vol. 375, no. 1,- Pp. 113-119.

[99] Pascuet M. /., Fernández J., Monti A. M. Many body interatomic interaction for uranium // Proceedings of international conference "Multiscale modeling of microstructure evolution in materials". / Ed. by A. El-Azab.— 2008.— P. 489.

[100] Mepep X. Диффузия в твердых телах. — Долгопрудный: Издатльский дом "Интеллект", 2011,- С. 535.

[101] Mendelev М. I., Bokstein В. S. Molecular dynamics study of selfdiffusion in Zr // Phil. Mag. - 2010. - Vol. 90, no. 5. - P. 637.

[102] Mendelev M. I., Mishin Y. Molecular dynamics study of self-diffusion in bcc Fe // Phys. Rev. В.- Oct 2009.- Vol. 80.- P. 144111.

[103] Belashchenko D. K. Electron contribution to energy of alkali metals in the scheme of an embedded atom model // High Temperature. — 2012,— Vol. 50, no. 3.— Pp. 331-339.

[104] Brommer P., Gähler F. Effective potentials for quasicrystals from ab-initio data // Philosophical Magazine. — 2006. — Vol. 86, no. 6-8. — Pp. 753-758.

[105] Li J., Bürsten В. E., Liang В., Andrews L. Noble gas-actinide compounds: complexation of the CuO molecule by Ar, Kr, and Xe atoms in noble gas matrices // Science. — 2002. — Vol. 295.- P. 2242.

[106] Johnson R. A. Alloy models with the embedded-atom method // Phys. Rev. B.— Jun 1989. - Vol. 39. - Pp. 12554-12559.

[107] Williams P., Mishin Y., Hamilton J. An embedded-atom potential for the Cu-Ag system // Modelling Simul. Mater. Sei. Eng. — 2006. — Vol. 14, — Pp. 817-833.

[108] Belonoshko А. В., LeBacq O., Ahuja R., Johansson B. Molecular dynamics study of phase transitions in Xe // J. of Chem. Phys.. — 2002.— Vol. 117, no. 15.— P. 7233.

[109] Akella J., Smith G. S., Grover R., Wu Y., Martin S. Static EOS of uranium to 100 GPa pressure // High Pressure Research. — 1990. — Vol. 2, no. 5-6. — Pp. 295-302.

[110] Finnis M., Sinclair J. A simple n-body potential for transition metals // Phil. Mag. A. - 1984. - Vol. 50. - P. 45.

[111] Derlet P., Nguyen-Manh D., Dudarev S. Multiscale modeling of crowdion and vacancy defects in body centered cubic transition metals // Phys. Rev. B. — 2007. - Vol. 76. - P. 054107.

[112] Edwards J., Speiser R., Johnston H. High Temperature Structure and Thermal Expansion of Some Metals as Determined by X-Ray Diffraction Data. I. Platinum, Tantalum, Niobium, and Molybdenum //J. App. Phys.— 1951.— Vol. 22,— P. 424.

[113] Errandonea D., Sehwager B., Ditz R., Gessmann C., Boehler R., Ross M. Systematics of transition-metal melting // Phys. Rev. B.— 2001.— Vol. 63, no. 13. —P. 132104.

[114] Landolt-Borstein Numerical Data and Functional Relationships in Science and Technology, Group III, vol. 25, Atomic Defects in Metals / Ed. by H. Ullmaier. — Springer-Verlag, Berlin, 1991.

[115] Nguyen-Manh D., Horsfield A., Dudarev S. Self-interstitial atom defects in bcc transition metals: Groiip-specific trends // Phys. Rev. B.— 2006.— Vol. 73.— P. 020101.

[116] Han S., Zepeda-Ruiz L., Aekland G., Car R., Srolovitz D. Self-interstitials in vanadium and molybdenum // Phys. Rev. B. - 2002. - Vol. 66.- P. 220101(R).

[117] Zisman A., Alexandrov I., Stishov S. X-ray study of equations of state of solid xenon and caesium iodide at pressures up to 50 GPa // Phys. Rev. B. — 1985. — Vol. 32, no. 1,- Pp. 484-487.

[118] Cynn H., Yoo C., Baer B., Iota-Herbei V., MeMahan a., Nicol M., Carlson S. Martensitic fcc-to-hcp Transformation Observed in Xenon at High Pressure // Phys. Rev. Letters.- 2001,- Vol. 86, no. 20. - Pp. 4552-4555.

[119] Errandonea D., Sehwager B.; Boehler R., Ross M. Phase behavior of krypton and xenon to 50 GPa // Phys. Rev. B. - 2002. - Vol. 65, no. 21. - Pp. 1-6.

[120] Boehler R., Santamaría-Perez D., Errandonea D., Mezouar M. Melting, density, and anisotropy of iron at core conditions: new x-ray measurements to 150 gigapascal // Journal of Physics: Conference Series.— 2008.— Vol. 121.— P. 022018.

[121] Vegard L. Die konstitution der mischkristalle und die raumfiillung der atome // Zeitschrift fur Physik. — 1921. — Vol. 5. - Pp. 17-26.

[122] Dwight A. The uranium-molybdenum equilibrium diagram below 900 C // J. of Nucl. Mater.. - 1960. - Vol. 2. - P. 81.

[123] Sinha V., Prasad G., Hegde P., Dey G., Kamath H. Effect of molybdenum addition on metastability of cubic y-uranium // J. of Alloys and Comp.. — 2010. — Vol. 491.-Pp. 753-760.

[124] Tkach I., Kim-Ngan N.-T. II., Maskovâ S., Dzevenko M., Havela L., Warren A., Stitt. C., Scott., T. Characterization of cubic c-phase uranium molybdenum alloys synthesized by ultrafast cooling // J. of Alloys and Comp. — 2012. — Vol. 534. — Pp. 101-109.

[125] Bridge J., Schwartz C., Vaughan D. X-Ray Diffraction Determination of the Coefficient of Expansion of Alpha-Uranium // Trans. AIME. — 1956. — Vol. 206. — Pp. 160-166.

[126] McGeary R. "Development and properties of uranium-based alloys resistant to corrosion in high-temperature water", SAEC Report WAPD-127-part 1: 1955.

[127] Burkes D. E., Papesch C. A., Maddison A. P., Hartmann T., Rice F. J. Thermo-physical properties of DU-10 wt.% Mo alloys // J. of Nucl. Mater..— 2010.— Vol. 403.- Pp. 160-166.

[128] Klein J. Uranium and its Alloys, in Nuclear Reactor Fuel Elements, metallurgical fabrication. — Interscience Publishers, Inc., New York, 1962. — P. 81.

1129] Burkes D., Prabhakaran R., Jue J.-F., Rice F. Mechanical properties of dU-xMo alloys with x = 7 to 12 weight percent // Metallurgical and materials transactions A. - 2009. - Vol. 40. - Pp. 1069-1079.

[130] Nomine A., Bedere D., Miannay D. Physical Metallurgy of Uranium Alloys // Proc. 3rd Army Materials Technical Conf. / Ed. by J. Burke, D. Colling, A. Gorum, J. Greenspan. - Vail, CO, 1974. - Pp. 657-699.

[131] Waldron M., Burnett R., Pugh S. AERE-M/B-2554: Tech. rep.: 1958.

[132] Kutty T., Dash S., Banerjee J., Kaity S., Kumar A., Basak C. Thermophysical properties of U2Mo intermetallic // J. of Nucl. Mater..— 2012,— Vol. 420,— Pp. 193-197.

[133] Halteman E. The crystal structure of U2Mo // Acta Cryst. — 1957. - Vol. 10. — Pp. 166-169.