Феноменологические модели потенциалов межатомных взаимодействий для расчета модулей жесткости третьего порядка тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.07, кандидат физико-математических наук Кукин, Олег Владимирович

• Кукин, Олег Владимирович
• кандидат физико-математических наук
• 2012

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Кукин, Олег Владимирович

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

1 Квантово-механические методы в твердом теле: феноменология или микроскопика? (Обзор)

1.1 Модели для вычисления модулей жесткости

1.2 Методы учета электронных корреляций

1.3 Методы ah initio в твердом теле

1.4 Связь квантово-механических моделей с «классическими» моделями потенциалов межатомных взаимодействий

2 Инвариантный вид функций потенциальных энергий, используемых при компьютерном моделировании свойств конденсированного состояния вещества

2.1 ЦРБИ, описывающий энергию неприводимых взаимодействий в тройках одинаковых атомов

2.2 Примеры инвариантной записи функций потенциальных энергий

3 Роль взаимодействий троек атомов в формировании эластических характеристик кубических кристаллов

3.1 Выражения модулей жесткости кубических кристаллов в моделях, учитывающих неприводимые взаимодействия в тройках атомов

3.2 Расчет модулей жесткости кубических кристаллов. Пример кристаллов со структурой А\

3.3 Расчет модулей жесткости кубических кристаллов. Пример кристаллов со структурой А2

3.4 Роль взаимодействий четвёрок атомов в формировании независимых модулей жёсткости высокого порядка

4. Два типа взаимодействий в тройках атомов и их влияние на температурную

зависимость модулей упругости

4.1 Фазовая диаграмма в пространстве феноменологических параметров модели Левдина

4.2 Фазовая диаграмма в модели с конкурирующими неприводимыми

взаимодействиями в тройках атомов

Основные результаты и выводы

СПИСОК ЦИТИРУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

Приложение 1

БЛАГОДАРНОСТИ

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Феноменологические модели потенциалов межатомных взаимодействий для расчета модулей жесткости третьего порядка»

ВВЕДЕНИЕ

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Фазовые переходы с понижением симметрии всегда сопровождаются деформациями элементарных ячеек кристалла. В общей деформации отдельных ячеек всегда можно выделить однородную составляющую, одинаковую для всех ячеек.1 Существует широкий набор фазовых переходов, при которых изменение симметрии полностью описывается включением в плотность вероятности распределения заряда слагаемых, имеющих симметрию, совпадающую с симметрией линейных комбинаций компонент тензора однородных деформаций иар. С точки зрения

теории фазовых переходов Ландау, компоненты параметра порядка, описывающие изменение симметрии при фазовых переходах в однородно деформированное состояние, пропорциональны этим линейным комбинациям компонент тензора иар. При таких фазовых переходах предполагается, что

неоднородная составляющая деформаций ячеек полностью отсутствует. Фазовые переходы, при которых изменение симметрии описывается параметром порядка, пропорциональным линейным комбинациям компонент тензора иар называются деформационными. Если деформационные переходы

происходят в диэлектриках, то их иногда называют сегнетоэластическими, если в металлах, то мартенситными . Общепринятый подход к построению феноменологической теории деформационных фазовых переходов [1] ничем не отличается от стандартной теории фазовых переходов Ландау [2].

В последние годы, однако, в результате анализа основ теории выявилось существенное отличие, которое состоит в том, что при деформационных

1 Для определённости, мы будем описывать однородные деформации в терминах тензора деформаций Альманси, который соответствует тому, что изменения межатомных расстояний выражаются через смещения концов векторов, соединяющих

атомы: иар =2 1 /^Лу /^^¡5 ) • Здесь Т]у - координаты атомов до деформации, а ^ - после.

2 В бытующей терминологии есть расхождения в определениях этих терминов. Мы приводим то определение, которого мы придерживаемся в этой работе.

переходах с изменением симметрии неравновесный потенциал является функцией не менее чем двух параметров порядка [3], один из которых не влияет на симметрию состояния.

Для практических приложений огромный интерес представляет знание численных значений и теория вычисления модулей жесткости разных порядков кристаллических материалов, перспективных для использования в устройствах микроэлектроники, движителях адоптивной оптики и в конструкциях, подвергающихся высоким механическим нагрузкам.

Проведённый нами анализ показал, что, несмотря на многочисленные публикации, в теории деформационных переходов открытым остаётся вопрос о связи коэффициентов плотности неравновесного потенциала с взаимодействиями между атомами, составляющими кристалл. Вопрос исключительно важный, с точки зрения теории эластических свойств, так как эти коэффициенты представляют собой модули жёсткости второго, третьего и более высоких порядков. К настоящему времени нет завершённой теории, позволяющей вычислять эластические свойства даже кристаллов элементов периодической системы. Об этом свидетельствуют многочисленные работы посвящённые таким вычислениям, которые приводят к существенно разнящимся результатам [4 - 21]. Существующая микроскопическая теория эластических свойств учитывает только парные взаимодействия между атомами или дополняет парные взаимодействия учетом взаимодействий, нелинейно зависящих от степеней феноменологически определённой электронной плотности в кристаллах. Как будет показано в работе, микроскопическая теория, оперирующая с эффективными многоцентровыми потенциалами межатомных взаимодействий, ограниченных условиями симметрии (далее коротко: феноменологическая теория) оказывается конкурентоспособной по сравнению с существующими микроскопическими теориями модулей жесткости, и позволяет уточнить существующую теорию

учётом зависимости потенциалов многочастичных взаимодействий от структуры кристаллов.

Таким образом, тему диссертации, посвященной разработке моделей потенциалов межатомных взаимодействий в рамках феноменологической теории, следует признать актуальной.

Разработка общих утверждений работы иллюстрируется на моделях учитывающих не более чем трехчастичные взаимодействия, то есть взаимодействия, между атомами внутри мысленно выделенных в кристалле кластеров, содержащих тройки атомов. Обобщение, учитывающее более крупные кластеры, громоздко, но очевидно.

Цель работы. Целью работы является установить роль трехчастичных взаимодействий в формировании нелинейных упругих свойств металлов.

Задачи, решаемые для достижения заданной цели:

1) найти общий вид зависимости трехчастичных взаимодействие от векторов, соединяющих центры равновесного расположения атомов в кристалле;

2) представить используемые в литературе модели потенциалов, учитывающих неприводимые взаимодействия в тройках атомов, в виде функций полиномов, образующих целый рациональный базис инвариантов (ЦРБИ) группы о(з)<Е> построенных на векторах и 7ц, соединяющих

атомы в тройке;

3) получить выражения модулей жесткости в моделях, учитывающих неприводимые взаимодействия в кластерах, состоящих из троек атомов;

4) вычислить значения решеточных сумм, определяющих вклады неприводимых взаимодействий в тройках атомов в модули упругости второго и третьего порядков;

5) определить численные значения феноменологических параметров моделей, предложенных в работе, по экспериментальным значениям модулей

6

упругости второго порядка металлов Си, Аи, А1 и Ре. По полученным значениям феноменологических параметров вычислить модули жесткости третьего порядка металлов Си, Аи, А1 и Ре;

6) построить фазовые диаграммы щелочно-галоидных кристаллов со структурой ЫаС1 в пространстве феноменологических параметров модели потенциала учитывающего трёхчастичные взаимодействия.

Научная значимость и новизна. В работе впервые:

- предложен точный, основанный на соображениях симметрии, метод учета неприводимых взаимодействий в кластерах, состоящих из п атомов;

- доказано, что для того, чтобы построенная нелинейная теории упругости кристаллов не противоречила точным соображениям симметрии, необходимо и достаточно феноменологически учитывать неприводимые взаимодействия между атомами в кластерах, состоящих из четверок атомов;

- приведено подробное описание метода расчета модулей упругости второго, третьего и четвертого порядков в моделях кристаллов Си, Аи, А1 и Бе, учитывающих все допустимые симметрией неприводимые взаимодействия в тройках атомов;

- предложена серия простых моделей, учитывающих допустимые симметрией неприводимые взаимодействия в парах и тройках атомов. Каждая из моделей содержит три феноменологических параметра. Отличительными особенностями предложенных моделей, от ранее обсуждавшихся в литературе, является учет собственной симметрии неприводимых взаимодействий в тройках атомов, а также малое число феноменологических параметров. Вычисленные в моделях модули жесткости третьего порядка металлов Си, Аи, А1 и Бе хорошо согласуются с экспериментом;

- использован метод построения фазовых диаграмм в пространстве феноменологических параметров моделей потенциалов межатомных взаимодействий. На фазовой диаграмме выделены области значений

феноменологических параметров, которые соответствуют физически допустимым, не противоречащим термодинамике, значениям модулей упругости второго порядка. Анализ фазовой диаграммы позволяет установить пределы применимости моделей для описания упругих свойств щелочно-галоидных кристаллов со структурой NaCl.

Научные положения, выносимые на защиту:

Общепринято считать, что потенциальную энергию конденсированного состояния вещества можно представить в виде суммы неприводимых энергий взаимодействия в кластерах, состоящих из двух, трех, четырех и т.д. атомов [4 -22]. Наша работа проведена в рамках этой гипотезы. В рамках этой гипотезы нам удалось доказать следующее.

1. Различные виды потенциальных энергий взаимодействия п одинаковых атомов, используемые при компьютерном моделировании свойств конденсированного состояния вещества, могут быть представлены в виде функций конечного числа полиномов (1к). Полиномы зависят от компонент векторов, соединяющих центры равновесного положения атомов. Сами полиномы образуют ЦРБИ группы симметрии 0(3)хР(п) , где 0(3) - группа вращений в трехмерном пространстве, а Р(п) - группа перестановок номеров п одинаковых атомов, образующих кластер.

2. Девять моделей для расчета значений модулей жесткости третьего порядка металлов. Вычисленные в рамках девяти предложенных моделей значения модулей жесткости третьего порядка металлов Cu, Аи, Al и a-Fe согласуются с экспериментально измеренными не хуже, чем значения, полученные ранее в различных квантово-механических моделях.

3. Для вычисления всех независимых значений модулей жесткости второго, третьего, четвёртого и более высоких порядков на основе моделей взаимодействующих атомов, в теорию необходимо и достаточно включить неприводимые взаимодействия в кластерах, содержащих четверки атомов.

4. Описание наблюдаемой температурной зависимости разности модулей

жесткости второго порядка: С12-С44, щелочно-галоидных кристаллов NaCl, КС1, KI и КВг, в рамках моделей, учитывающих неприводимые взаимодействия троек атомов, требует включения в модель конкурирующих сил притяжения и отталкивания. Общепринятая модель, основанная на учете Кулоновских взаимодействий ионов с перекрывающимися электронными оболочками, приводит к потере стабильности вещества вблизи температуры, при которой выполняется соотношение Коши.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из оглавления; введения; литературного обзора методов ab initio, применяемых для расчетов на атомном уровне макроскопических характеристик конденсированных сред; трех глав. Диссертация содержит 145 страниц текста, включая 5 рисунков, 8 таблиц, список цитируемой литературы из 135 наименований и одного приложения.

Публикации. По результатам исследований опубликовано 11 работ, из которых 5 в журналах, рекомендованных ВАК.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении обоснована актуальность работы, сформулированы цели исследования, а также положения, выносимые на защиту, научная новизна и практическая значимость работы, приведена структура работы и сведения о публикациях на тему диссертации.

Первая глава представляет собой обзор методов ab initio, применяемых для расчетов свойств многоатомных систем. Термином ab initio называют любые методы квантовой химии, основанные на решении квантово-механического уравнения Шредингера для многоэлектронных систем [22]. В основе расчетов ab initio лежит гамильтониан межатомных взаимодействий, явный вид которого подбирают на основе эмпирических соображений. Использование разных гамильтонианов при вычислении одних и тех же свойств одного и того же вещества приводит к существенно разнящимся результатам.

Во введении приведены примеры таких разногласий в результатах расчетов различными методами ab initio.

Другой особенностью всех методов ab initio, отмеченной во введении, является высокая требовательность к вычислительным ресурсам. В реальных расчетах приходится рассматривать объекты с очень ограниченным числом атомов [23 - 25]. При применении методов квантовой химии для расчёта свойств кристаллов обычно рассматривают объект, состоящий из нескольких элементарных ячеек, сгруппированных в одну элементарную «сверхячейку», симметрия которой совпадает с симметрией кристаллического класса [6, 26]. Однако этого оказывается зачастую недостаточно для моделирования свойств бесконечного кристалла.

В первом параграфе обсуждаются модели, применяемые для вычисления модулей жесткости второго и более высокого порядков. При вычислении модулей жёсткости наибольшую сложность вызывают две проблемы. Первая состоит в установлении характера взаимодействия между атомами кристалла. Твёрдо известно только то, что для построения теории механических свойств, результаты которой согласуются с точными результатами теории симметрии, используемые потенциалы межатомных взаимодействий непременно должны включать неприводимые3 потенциалы взаимодействия четвёрок атомов. В настоящее время не существует теории, позволяющей вычислять эластические свойства даже кристаллов элементов периодической системы. Об этом свидетельствуют многочисленные работы посвящённые таким вычислениям [4 -13], которые приводят к существенно разнящимся результатам [14-21].

Во втором параграфе обсуждаются различные методы учета электронных корреляций. Кратко рассмотрен метод Хартри-Фока, в котором учитываются обменные взаимодействия электронов и полностью не учитываются

неприводимое взаимодеиствие означает, что соответствующее слагаемое потенциала должно зависеть от координат четырёх частиц, и его нельзя было выразить через сумму слагаемых, каждое из которых зависит от координат меньшего числа атомов.

электронные корреляции. Метод Хартри-Фока явно или неявно используется в качестве нулевого приближения практически во всех методах ab initio, учитывающих электронные корреляции. Далее рассмотрен метод учета электронных корреляций, основанный на квантово-механической теории возмущений Меллера-Плессета. Обсуждается проблема сходимости рядов квантово-механической теории возмущений. Также рассмотрены методы конфигурационных взаимодействий.

Третий параграф содержит обсуждение квантово-механических методов, применяемых в физике конденсированного состояния вещества. Нами рассмотрены методы, основанные на теории функционала плотности. Основная идея теории функционала плотности заключается в том, что основное состояние многоатомной системы описывается не электронной волновой функцией Ч^../^), зависящей от 37V переменных (где N — число электронов в системе), а функцией распределения электронной плотности p(f), зависящей только от 3 пространственных переменных. Основные положения теории DFT были сформулированы в работах Коэнберга, Кона и Шэма [27, 28]. В основе теории DFT лежит понятие функционала Е\р(г)] электронной плотности р(г). Энергия основного состояния системы является минимумом функционала Е[р(г)], соответствующим истинному распределению функции электронной плотности р(г) в описываемой системе. Явный вид функционала Е[р(г)\ неизвестен и его подбирают исходя из эмпирических соображений. В качестве примеров, иллюстрирующих неоднозначность результатов, получаемых на основе методов ab initio, приводится несколько вариантов возможной аппроксимации различных слагаемых, входящих в функционал Е[р(г)]. Также в главе приводятся многочисленные ссылки на оригинальные работы, в которых проводится сравнение результатов расчета свойств одного и того же вещества, полученных с использованием различных ab initio моделей.

Еще одним типом моделей, обсуждаемых в третьем параграфе, являются полуэмпирические модели, основанные на методе погруженного атома. Полная

энергия кристалла в методе погруженного атома представляется в виде суммы энергий «погружения» атомов и суммы потенциальных энергий

Где индексы / и к нумеруют центры позиций атомов в кристаллической решетке.

Энергия погружения г атома [а-(?,■)] в свое равновесное положение в кристаллической решетке является однозначной функцией электронной плотности, созданной ближайшим окружением рассматриваемого атома. Явный вид и таюке неизвестен. Для аппроксимации ^[рД^)] и

используют сложные, трансцендентные, содержащие большое число феноменологических подгоночных параметров, функции межатомных расстояний \?1к\, \гп\ и, в некоторых случаях, углов между векторами % и гй,

соединяющими центры равновесного расположения атомов в решетке. Численные значения феноменологических параметров определяют из сравнения вычисленных и экспериментальных значений физических характеристик кристаллов, таких как: постоянные решетки, модули упругости второго и третьего порядков, энергия когезии, энергия образования вакансий, уравнение состояния, кривые дисперсии фононов и т.п. Применимость модели к описанию свойств конкретных кристаллов устанавливается на основании возможности подгонки значений феноменологических параметров к широкому набору экспериментальных данных.

В четвертом параграфе первой главы обсуждается ряд работ, в которых установлена связь квантово-механических методов с «классическими» методами, основанными на использовании эмпирических потенциалов межатомных взаимодействий. Известно, что для построения теории упругих свойств кристаллов, результаты которой согласуются с точными результатами теории симметрии, используемые потенциалы межатомных взаимодействий

взаимодействия пар атомов

(1)

непременно должны включать неприводимые потенциалы взаимодействия четвёрок атомов. С другой стороны, во всех квантово-механических моделях, одноэлектронный потенциал содержит слагаемые, нелинейным образом зависящие от объема (или электронной плотности). В работах [15, 20, 29] показано, что выражения модулей жесткости, полученные в моделях с нелинейной зависимостью от объема и в моделях, учитывающих неприводимые взаимодействия в кластерах, состоящих из трех, четырех и т.д. атомов, с феноменологической точки зрения эквивалентны.

Вторая глава посвящена инвариантному виду записи функций потенциальных энергий, используемых при компьютерном моделировании свойств конденсированного состояния вещества. Твёрдо известно, что для построения теории механических свойств, результаты которой согласуются с точными результатами теории симметрии, используемые потенциалы межатомных взаимодействий должны включать неприводимые потенциалы взаимодействия четвёрок атомов. Действительно, если теория учитывает только парные взаимодействия, то она приводит к выводу, что некоторые симметрийно независимые модули жесткости второго и более высоких порядков связаны между собой линейными соотношениями - так называемыми соотношениями Коши [30 - 35]. Если теория учитывает взаимодействия только в парах и тройках атомов, то в такой теории выполняются линейные соотношения между симметрийно независимыми модулями жесткости третьего порядка и аналогичные соотношения для модулей жесткости более высоких порядков [21, 36]. Неприводимые взаимодействия четвёрок атомов полностью нарушают локальную симметрию потенциала межатомных взаимодействий и приводят к результатам, согласующимся с точными результатами теории симметрии.

Вплоть до настоящего времени, «правильный» аналитический вид взаимодействий пар, троек и, тем более, четвёрок атомов не поддаётся вычислениям на основе более микроскопических моделей - моделей квантовой

механики. В связи с этим в качестве потенциалов таких взаимодействий достаточно произвольно, подбирают некоторые функции, параметры которых устанавливаются при сравнении результатов расчёта с экспериментом, например, путём компьютерного симулирования. Вариантов таких полуэмпирических потенциалов взаимодействия множество. Например, различного вида потенциалов взаимодействия троек атомов только в обзоре Егкос'а [37] - 38, и их количество ежегодно увеличивается. Тем не менее, оказалось возможным установить общий вид зависимости потенциальной энергии Е от векторов г^, соединяющих атомы, если представить полную

энергию в виде суммы неприводимых энергий кластеров Пк>Нт—) и воспользоваться симметрией энергий кластеров относительно изменения нумерации одинаковых атомов входящих в кластер. Здесь ТУ-число атомов в кластере, а каждый индекс, характеризующий вектора гц, представляет собой

номер атома. Возникает вопрос: как соотносятся между собой полуэмпирические энергии взаимодействия троек атомов, использованные в более ранних работах, например в [38 - 43], с инвариантной формой зависимости энергии троек взаимодействующих атомов от щ. Именно этот вопрос решается в данной работе.

В первом разделе на основе соображений симметрии установлен общий вид зависимости энергии взаимодействия атомов внутри троек одинаковых атомов, от векторов щ и гц, соединяющих атомы /, к и /. Энергия взаимодействий троек атомов одного сорта является функцией общего вида от полиномов, образующих ЦРБИ группы Р(3)®0(3). Здесь Р(з) - группа перестановок трех атомов; а 0(3) - группа трехмерных вращений в изотропном пространстве. ЦРБИ группы построенный на компонентах

векторов г^, гы и гц, состоит из девяти полиномов:

71 = 71 + ТЫ +?Н> 72 = 71к 7к1 + 7ШП1 + П1Пк >

т _-2-2 , -2-2 , -2-2

у3 ~г1кгк1+гк1гп +гиг1к>

и = (тщ Угыт) + (гит )(гппк) + (пт X

Ь = [(пкт)+(тпк)] ■+ [(пкгк!)+(гМги)]+г1 [{гцгц,)+(гктд\ 76 = 7Я?Ы7Н ' 77 = )(гыт)(гцпк ),

78 = Г ) + (П1Пк )] + f [(пкгк1) + (г^/% )] + f [(г/г-гг-к ) + (гк/гц )1

-2-2-2

Инварианты (2) описывают все допустимые симметрией виды зависимости базисных инвариантов от координат трёх векторов. Энергия взаимодействия троек одинаковых атомов при любых модельных предположениях может быть записана в виде функции полиномов (2). Во втором разделе приведены примеры инвариантной записи потенциалов межатомных взаимодействий, используемых в литературе [38- 43].

На основе результатов второй главы сформулировано первое научное положение.

В третьей главе обсуждается роль энергии неприводимых взаимодействий в кластерах, состоящих из троек атомов, в формировании модулей жесткости металлов с кубической кристаллической решеткой. В первом разделе установлен общий вид выражений модулей жесткости второго, третьего и четвертого порядков в моделях потенциалов межатомных взаимодействий, учитывающих все допустимые симметрией неприводимые взаимодействия в парах и тройках атомов. Вклады потенциальных энергий взаимодействия пар атомов в модули жесткости аналогичны по виду выражениям, полученным Борном в [30] для модулей жесткости второго порядка. Вклады взаимодействий троек атомов в модули жесткости имеют вид функций по решетке. Число этих функций всегда конечно и определяется конкретным видом потенциала межатомных взаимодействий. На основе полученных выражений показано, что неприводимые взаимодействия в тройках атомов нарушают соотношения Коши для модулей жесткости второго порядка и аналогичные соотношения для модулей жесткости третьего и четвертого

порядков. Однако межу модулями жесткости третьего и четвертого порядков выполняются дополнительные соотношения, которые могут быть записаны в виде:

С123 + 2с456 ~ ЗС144 = 0 (3)

С1123+2С1456 -Ql44-2С1244 = 0 (4)

Соотношения (3 - 4), как и соотношения Коши, являются дополнительными, так как не связанны ни с внешней, ни с внутренней симметрией модулей упругости, а являются следствием симметрии модели относительно операции отражения в плоскости расположения тройки атомов.

Во втором разделе предложена серия моделей потенциалов межатомных взаимодействий с тремя феноменологическими параметрами:

*/ = -YAjrf +1A2jrrkn + I Qjl-j* (5)

i^k i ¿к

Где Ay, A2j и Qj - феноменологические параметры; Ij,j=l,..,9 - инварианты из (2).

На основе серии моделей (5) подробно рассматривается метод вычисления модулей жесткости второго и третьего порядков. Возможности метода иллюстрируются на примере задачи вычисления модулей жесткости металлов Си, Аи, А1, обладающих структурой А\ и а - Fe со структурой А2. В работе проведено сравнение полученных в работе значения модулей упругости третьего порядка с аналогичными значениями, полученными ранее в моделях ah initio, и с низкотемпературными значениями, найденными по данным измерения скорости звука. Проведенное сравнение показывает, что предложенный в работе метод является конкурентоспособным по отношению к методам ab initio.

В четвертом разделе показано, что для возможности вычисления, на основе представлений о взаимодействии атомов, всех независимых модулей упругости второго, третьего, четвертого и более высоких порядков кристаллов,

необходимо и достаточно учитывать неприводимые взаимодействия в кластерах, состоящих из четверок атомов.

В заключении главы сформулированы два научных положения, выносимых на защиту.

Четвертая глава посвящена анализу моделей потенциалов межатомных взаимодействий, позволяющих описывать температурную зависимость модулей жесткости второго порядка щелочно-галоидных кристаллов со структурой ЫаС1. Температурная зависимость модулей упругости второго порядка щелочно-галоидных кристаллов ЫаС1, КС1, К1 и КВг характеризуется тем, что существует температура Т§, своя для каждого из соединений, при которой выполняется соотношение Коши [44]:

3(Т5) = Сххуу(7^)-Схуху(Тд)=Сп(Т3)~С44(Т3) = 0. Ниже этой температуры

величина д(Т < Т$) < 0, выше - 8{Т > Т§) > 0.

___и и

В первом разделе проведен критическии анализ теории температурной зависимости модулей жесткости второго порядка щелочно-галоидных кристаллов, разработанной 8МуаБ1ауа в [45]. Теория [45] основана на феноменологической модели Левдина, учитывающей неприводимые взаимодействия в тройках ионов. В диссертационной работе, с целью анализа пределов применимости модели, построена фазовая диаграмма в пространстве феноменологических параметров модели Левдина. На основе анализа фазовой диаграммы установлено, что термодинамический путь, описывающий наблюдаемую в кристаллах ЫаС1, КС1, К1 и КВг температурную зависимость 8(г), проходит через область феноменологических параметров, запрещенную термодинамикой.

Во втором разделе предложена феноменологическая модель потенциала межатомных взаимодействий, учитывающая два типа неприводимых взаимодействий в тройках атомов. Предложенная модель имеет вид:

гк

Ал

\

Г \

1 . О

-2 3 г2

Ггк 1к

6

J

Заключение диссертации по теме «Физика конденсированного состояния», Кукин, Олег Владимирович

Основные результаты и выводы

В диссертационной работе получены следующие основные результаты и выводы:

1. Найден общий вид зависимости энергии неприводимых взаимодействий в кластерах, состоящих из троек одинаковых атомов, от векторов 4, гы и г„, соединяющих центры равновесного расположения атомов в кристалле.

2. Показано, что энергия взаимодействия троек одинаковых атомов при любых модельных предположениях может быть записана в виде функции полиномов, образующих ЦРБИ группы симметрии р(з)®о(з), построенный на векторах 4, гк! и ?и.

3. Получены выражения модулей упругости второго, третьего и четвертого порядков в моделях, учитывающих неприводимые взаимодействия в тройках атомов, допустимые симметрией. Полученные выражения позволяют разделить задачу вычисления модулей упругости на два принципиально различных этапа. Первым этапом вычисляются решеточные суммы, зависящие только от структуры решетки. На втором этапе вычисляются значения феноменологических параметров модели.

4. Предложена серия из девяти феноменологических моделей, учитывающих неприводимые взаимодействия в парах и тройках атомов. Предложенные модели зависят только от трех феноменологических параметров. Вычисленные в моделях модули упругости третьего порядка кристаллов Си, Аи и А\ со структурой А\ и а - Fe со структурой А2 согласуются с низкотемпературными экспериментальными данными не хуже, чем значения полученные ранее в моделях ab initio.

5. Показано, что при вычислении модулей жесткости кристаллов со структурами А1 и А2, необходимо учитывать взаимодействия в тройках атомов,

107 как минимум в трех координационных сферах.

6. Найдены дополнительные соотношения симметрии между модулями упругости третьего, четвертого, пятого и шестого порядка, вычисленными в рамках любой модели, учитывающей неприводимые взаимодействия только в парах и тройках атомов. В кубических кристаллах дополнительные соотношения симметрии имеют вид тождеств:

Сш — 3С144 +2С456 г О,

1123 + 2С145б — ЛГП44 —2Ыт4 = О, С -1С -С +1С =0

11223 11244 12366 12456 — и'

12366 ~ ^14444 + 2С44456 — 2СЫт = 0 .

7. Доказано, что для возможности построения нелинейной теории упругости кристаллов на основе представлений о взаимодействии атомов^ не противоречащей точным соображениям симметрии, необходимо и достаточно учитывать неприводимые взаимодействия в кластерах, состоящих из четверок атомов.

8. Предложена модель потенциала межатомных взаимодействий, позволяющая, по крайней мере, на уровне качественного сравнения описывать наблюдаемую в щелочно-галоидных кристаллах №С1, КС1, К1 и КВг температурную зависимость модулей упругости второго порядка.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Кукин, Олег Владимирович, 2012 год

СПИСОК ЦИТИРУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Сахненко В.П. Деформационные фазовые переходы в кристаллах кубических классов. Деформации сдвига / В.П. Сахненко, В.М. Таланов // ФТТ. - 1980. - Т. 22(3). - С. 785 - 792.

2. Ландау Л.Д., Статистическая физика / Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц. - М.: Наука, 1964. - 491 с.

3. Гуфан А.Ю. Полносимметричный параметр порядка в феноменологической теории фазовых переходов. Сегнетоэластики // ЖЭТФ. -2007.-Т. 132(1).-С. 138- 149.

4. Thomas J.F., Jr. Pseudopotential calculation of the third-order elastic constants of copper and silver // Phys. Rev. B. - 1973. - V. 7(6). - P. 2385 - 2392.

5. Soma H. Calculation of third- and fourth-order elastic constants of copper / H. Soma, Y. J. Hiki // Phys. Soc. Jpn. - 1974. - V. 37. - P. 544 - 551.

6. Wang H. Ab initio calculations of second-, third-, and fourth-order elastic constants for single crystals / H. Wang, Mo Li. // Phys. Rev. B. - 2009. - V. 79. - P. 224102.

7. Barua B.P. Pseudopotential of gold fitted to elastic data / B.P. Barua, S.K. Sinha // J. Appl. Phys. - 1978. - V. 49. - P. 3967 - 3969.

8. Suzuki T. Second- and third-order elastic constants of aluminum and lead // Phys. Rev. B. - 1971. - V. 3. - P. 4007 - 4014.

9. Chantasiriwan S. Embedded-atom models of 12 cubic metals incorporating second- and third-order elastic-moduli data / S. Chantasiriwan, F. Milstein // Phys. Rev. B. - 1998. - V. 58(10). - P. 5996 - 6005.

10. Fellinger M.R. Force-matched embedded-atom method potential for niobium / M.R. Fellinger, H. Park, W. Wilkins // Phys. Rev. B. - 2010. - V. 81. - P. 144119.

11. Apostol F. Interatomic potential for the Al-Cu system / F. Apostol, Y. Mishin // Phys. Rev. B. - 2011. - V. 83. - P. 054116.

12. Hung L. Ductile processesat aluminium crack tips: comparison of orbitalfree density functional theory with classical potential predictions / L. Hung, E.A. Carter // Modelling Simul. Mater. Sci. Eng. - 2011. - V. 19. - P. 045002.

13. Sheng H.W. Highly optimized embedded-atom-method potentials for fourteen fee metals / H.W. Sheng, M.J. Kramer, A. Cadien, T. Fujita, M.W. Chen // Phys. Rev. B. - 2011. - V. 83.-P. 134118.

14. Methfessel M. Fast full-potential calculations with a converged basis of atom-centered linear muffin-tin orbitals. Structural and dynamic properties of silicon / M. Methfessel, C.O. Rodriguez, O.K. Andersen // Phys. Rev. B. - 1989. - V. 40(3). -P. 2009-2012.

15. Biswas R. New classical models for silicon structural energies / R. Biswas, D.R. Hamman // Phys. Rev. B. - 1987. - V. 36(12). - P. 6434 - 6445.

16. Chelikowsky J.R. Surface and thermodynamic interatomic force fiels for silicon clusters and bulk phases / J.R. Chelikowsky, J.C. Phillips // Phys. Rev. B. -1990.-V. 41. -P. 5735 -5745.

17. Mistriotis A.D. Model potential for silicon clusters and surfaces / A.D. Mistriotis, G.E. Froudakis, P. Vendras, N. Flytzanis // Phys. Rev. B. - 1993. - V. 47(16).-P. 10648- 10653.

18. Biswas R. Interatomic potentials for silicon structural energies / R. Biswas, D.R. Hamman // Phys. Rev. Lett. - 1985. - V. 55. - P. 2001 - 2004.

19. Chelikowsky J.R. Surface and thermodynamic interatomic force fields for silicon clusters and bulk phases / J.R. Chelikowsky, J.C. Phillips, M. Kamal, M. Strauss // Phys. Rev. Lett. - 1989. - V. 62. - P. 292 - 295.

20. Thijsse B.J. Relationship between the modified embedded-atom method and Stillinger-Weber potentials in calculating the structure of silicon // Phys. Rev. B. -2002. - V. 65.-P. 195207.

21. Гуфан А.Ю. Роль взаимодействий троек атомов в формировании эластических характеристик кристаллов /А.Ю. Гуфан, О.В. Кукин, Ю.М. Гуфан // Известия РАН. Серия физическая. - 2011. - Т. 75(5). - С. 699 - 703.

22. Каплан И.Г. Межмолекулярные взаимодействия / И.Г. Каплан, О.Б. Родимова // УФН. - 1978. - Т. 126(3). - С. 403 - 449.

23. Хартри Д.Р. Расчеты атомных структур. - Москва: Изд. ИЛ, - 1960. -

271 с.

24. Берсукер И.Б. Электронное строение и свойства координационных соединений. Введение в теорию. - Ленинградское отделение: Изд. «Химия», -1976. - 348 с.

25. Satitkovitchai К. Ab initio embedded cluster study of optical second-harmonic generation below the gap of a NiO(OOl) surface / K. Satitkovitchai, Y. Pavlyukh, W. Hubner // Phys. Rev. B. - 2003. - V. 67. - P. 165413.

26. Panse C. Polytypism of GaAs, InP, InS, and InSb: an ab initio study / C. Panse, D. Kriegner, F. Bechstedt // Phys. Rev. B. - 2011. - V. 84. - P. 075217.

27. Kohn W. Self-consistent equations including exchange and correlation effects / W. Kohn, L.J. Sham // Phys. Rev. A. - 1965. - V. 140(4). - P. 1133 - 1138.

28. Hohenberg P. Inhomogeneous electron gas / P. Hohenberg, W. Kohn // Phys. Rev. B. - 1964. - V. 136(3). - P. 864 871.

29. Baskes M.I. Application of the embedded-atom method to covalent materials: a semiempirical potential for Silicon // Phys. Rev. Lett. - 1987. - V. 59(23). - P. 2666 - 2669.

30. Борн M. Динамическая теория кристаллических решеток. / М. Борн, Хуань-Кунь. Москва: ИЛ. - 1958. - 450 с.

31. Гуфан Ю.М. Структурные фазовые переходы. - Москва: Наука. - 1982. -304 с.

32. Кукин О.В. Микроскопическая теория упругих постоянных второго, третьего и четвертого порядков. Пример щелочно-галоидных соединений со структурой CsCl // Известия РАН. Серия физическая. - 2006. - Т. 70. - С. 584 -587.

33. Кукин О.В. Микроскопическая теория констант жесткости второго и третьего порядка NaCl // Известия РАН. Серия физическая. - 2007. - Т. 71. - С. 222 -226.

34. Кукин О.В. Два типа трехчастичных взаимодействий и их влияние на температурную зависимость констант упругости / О.В. Кукин, И.А. Осипенко, А.Ю. Гуфан // Известия РАН. Серия физическая. - 2010. - Т. 74.(8). - С. 1104 -1107.

35. Гуфан А.Ю. Новый метод учета трехчастичных взаимодействий в теории модулей упругости / А.Ю. Гуфан, О.В, Кукин, Ю.М. Гуфан // Известия РАН. Серия физическая. - 2011. - Т. 75(9). - С. 1341 - 1348.

36. Гуфан А.Ю. Модели трехчастичных взаимодействий и теория нелинейных деформаций кристаллов / А.Ю. Гуфан, О.В. Кукин, Ю.М. Гуфан // ФТТ. -2011.-(в печати).

37. Erkoc S. Empirical many-body potential energy functions used in computer simulations of condensed matter properties // Phys. Rep. - 1997. - V. 278. - P. 81105; Erkoc S. Annual reviews of computational physics IX. - 2001. ISBN: 978-98102-4537-5. 981-02-4537-8. 332 p.

38. Baner R. Calculations of point-defect properties in copper, silver and gold based on three-body interactions / R.Baner, W. Maysenholder, A. Seeger // Phys. Lett. A. - 1982. - V. 90. - P. 55 - 58.

39. Pearson E. Computer modeling of Si and SiC surface process rebBant of crystal growth from the vapor / E. Pearson, T. Takai, T. Halicioglu, W.A. Tiller // J. Cryst. Growth. - 1984. - V. 70. - P. 33 - 40.

40. Takai T. A model potential function for carbon systems: clusters / T. Takai, C. Lee, T. Halicioglu, W.A. Tiller//J. Phys. Chem. - 1990. - V. 94. - P. 4480 - 4485.

41. Erkoc S. A New empirical many-body potential energy function: application to microclusters // Phys. Stat. Sol. B. - 1989. - V. 152. - P. 447 - 457.

42. Murrell J.N. Potential energy functions for atomic solids / J.N. Murrel, R.E. Mottram // Mol. Phys. - 1990. - V. 69. - P. 571 - 585.

43. Al-Derzi A.R. Potential energy functions for atomic solids. III. Fitting phonon frequencies and elastic constants of diamond structures / A.R. Al-Derzi, R.L. Johnston, J.N. Murrell, J.A. Rodrigues-Ruis // Mol. Phys. - 1991. - V. 73. - P. 265 -282.

44. Андерсон О. Физическая акустика Под ред. У. Мезона. - Москва: Мир, - 1968.-С. 61.

45. Shrivastava U.C. Temperature dependence of the elastic constants of alkali halides//Phys. Rev. B. - 1980. - V. 21(6). - P. 2602 - 2609.

46. Puri D.S. Many-body effects on the third-order elastic constants and pressure derivatives of the second-order-elastic constants of NaCl-structure alkali halides / D.S. Puri, M.P. Verma // Phys. Rev. B. - 1977. - V. 15(4). - P. 2337 - 2347.

47. Parr R.G. Molecular orbital calculations of the lower excited electronic levels of Benzene, configuration interaction included / R.G. Parr, D.P. Craig, I.G. Ross // Journal of Chemical Physics. - 1950. - V. 18(12). - P. 1561 - 1563.

48. Sham L.J. Exchange and correlation in the electron gas // Phys. Rev. B. -1973. - V. 7(10). - P. 4357 - 4363.

49. Puchin V.E. Electron correlation in the self-trapped hole and exiton in the NaCl crystal / V.E. Puchin, A.L. Shluger, N. Iton // Phys. Rev. B. - 1995. - V. 52(9). -P. 6254 - 6264.

50. Shluger A.L. Spectroscopy of low-coordinated surface sites: Theoretical study of MgO / A.L. Shluger, P.V. Sushko, L.N. Kantorovich // Phys. Rev. B. - 1999. -V. 59(3).-P. 2417-2430.

51. Matxain J.M. Electronic excitation energies of small Zn¡S¡ clusters / J.M. Matxain, A. Irigoras, J.E. Fowler, J.M. Ugalde // Phys. Rev. A. - 2000. - V. 63. - P. 013202.

52. Mazziotti D.A. Parametrization of the two-electron redused density matrix for its direct calculation without the many-electron wave function: Ganeralizations and applications // Phys. Rev. A. - 2010. - V. 81. - P. 062515.

53. Краско Г.JI. Об одном модельном псевдопотенциале / Г.Л. Краско, З.А. Гурский // Письма в ЖЭТФ. - 1969. - Т. 9. - С. 596 - 601.

54. Daw M.S. Semiempirical, quantum mechanical calculation of hydrogen embrittlement in metals /M.S. Daw, M.I. Baskes // Phys. Rev. Lett. - 1983. - V. 50(17).-P. 1285 - 1288.

55. Uddin J. Modified embedded atom method study of the mechanical properties of carbon nanotube reinforced nickel composites / J. Uddin, M.I. Baskes, S.G. Shrinivasan, T.R. Cundari, A.K. Wilson // Phys. Rev. B. - 2010. - V. 81. - P. 104103.

56. Максимов Е.Г. Расчеты физических свойств ионных кристаллов из первых принципов / Е.Г. Максимов, В.И. Зиненко, Н.Г. Замкова // УФН. - 2004. -Т. 174(11).-С. 1145 - 1170.

57. Zhou В. Transferable local Pseudopotential derived via inversion of yhe Kohn-Sham equations in a bulk environment / B. Zhou, Y.A. Wang, E.A. Carter // Phys. Rev. B. - 2004. - V. 69. - P. 125109.

58. Бровман Е.Г. Фононы в непереходных металлах / Е.Г. Бровман, Ю.М. Каган // УФН. - 1974. - Т. 112(3). - С. 369 - 426.

59. Харрисон У. Псевдопотенциалы в теории металлов. - Москва: Изд. «Мир», - 1968. - 366 с.

60. Duck W. Perturbation theory in multireference spaces / W. Duck, G.H.F. Diercksen // Phys. Rev. A. - 1992. - V. 46(1). - P. 95 - 104.

61. Abarenkov I.V. Electronic-structure multiconfiguration calculation of small cluster embedded in a local-density approximation host / I.V. Abarenkov, Y.L. Bulatov, R. Godby, V. Heine, M.C. Payne, P.V. Souchko, A.V. Titov, I.I. Tupitsyn // Phys. Rev. B. - 1997. - V. 56(4). - P. 1743 -1750.

62. Abarenkov I.V. Electronic structure of crystalline phosphorus pentoxide and the effect of an Ag impurity / I.V. Abarenkov, I.I. Tupitsyn, V.G. Kuznetsov, M.C. Payne // Phys. Rev. B. - 1999. - V. 60(11). - P. 7881 - 7885.

63. Lepkowsky S.P. Nonlinear elasticity in III-N compounds: Ab initio calculations / S.P. Lepkowsky, J.A. Majewski, G. Jurczak // Phys. Rev. B. - 2005. -V. 72.-P. 245201.

64. Slater J.C. The theory of complex spectra // Phys. Rev. - 1929. - V. 34. - P. 1293 - 1299.

65. Fock V. Approximate method for solution of quantum many body problem // Zeits. F. Physik. - 1930. - V. 61. - P. 126 - 133.

66. Moller C. Note on an approximation treatment for many-electron system / C. Moller, M.S. Plesset // Phys. Rev. - 1934. - V. 46. - P. 618 - 622.

67. Head-Gordon M. MP2 energy evaluation by direct methods / M. Head-Gordon, J.A. Pople, M.J. Frisch // Chemical Physics Letters. - 1988. - V. 153(6). - P. 503 - 506.

68. Pople J. A. Variational configuration interaction methods and comparison with perturbation theory / J. A. Pople, R. Seeger, R. Krishnan // International Journal of Quantum Chemistry S. - 1977. - V. 12(11). P. 149 - 163.

69. Pople J.A. Theoretical models incorporating electron correlation / J.A. Pople, J.S. Binkley, R. Seeger // International Journal of Quantum Chemistry S. -1976.-V. 10(10).-P. 1 - 19.

70. Krishnan R. Approximate fourth-order perturbation theory of the electron correlation energy / R. Krishnan, J.A. Pople // International Journal of Quantum Chemistry. - 1978. - V. 14(1). - P. 91 - 100.

71. Raghavachari K. Fifth order Moeller-Plesset perturbation theory: comparison of existing correlation methods and implementation of new methods correct to fifth order / K. Raghavachari, J.A. Pople, E.S. Replogle, M. Head-Gordon // The Journal of Physical Chemistry. - 1990. - V. 94(14). - P. 5579 - 5586.

72. Leininger M.L. Is Moller-Plesset perturbation theory a convergent ab initio method? / M.L. Leininger, W.D. Allen, H.F. Schaeferd, C.D. Sherrill // J. Chem. Phys. - 2000. - V. 112(21). - P. 9213 - 9222.

73. Kvaal S. Computing singularities of perturbation series / S. Kvaal, E. Jarlebring, W. Michiels // Phys. Rev. A. - 2011. - V. 83. - P. 032505.

74. Agren H., Olsen J., Jorgen H., Jensen A., Jorgensen P. Accurate static and dynamic polarizabilities of Li" / H. Agren, J. Olsen, H. Jorgen, A. Jensen, P. Jorgensen // Phys. Rev. A. - 1989. - V. 40(5). - P. 2265 - 2269.

75. Schaefer H.F. Electronic structure of atomic Boron / H.F. Schaefer, F.E. Harris // Phys. Rev. - 1968. - V. 167(1). - P. 67 - 73.

76. Paldus J. Correlation problems in atomic and molecular systems. IV. Extended coupled-pair many-electron theory and its application to the BH3 molecule / J. Paldus, J. Cizek, I. Shavit // Phys. Rev. A. - 1972. - V. 5(1). - P. 50 - 67.

77. Umucalilar R.O. Fractional quantum Hall states in the vicinity of Mott plateaus / R.O. Umucalilar, E.J. Mueller // Phys. Rev. A. - 2010. - V. 81. - P. 053628.

78. Hohenberg P. Inhomogeneous electron gas / P. Hohenberg, W. Kohn // Phys. Rev. B. - 1964. - V. 136(3). - P. 864 871.

79. Gillen R. Density functional theory screened-exchange approach for investigating electronical properties of grapheme-related materials / R. Gillen, J. Robertson // Phys. Rev. B. - 2010. - V. 82. - P. 125406.

80. Boehke L. Orthogonal polynomial representation of imaginary-time Green's functions / L. Boehke, H. Hafermann, M. Ferrero, F. Lechermann, O. Parcollet // Phys. Rev. B. - 2011. - V. 84. - P. 075145.

81. Thomas L.H. The calculation of atomic fields // Proc. Cambridge Phil. Soc. - 1927.-V. 23.-P. 542-548.

82. Ферми Э. Научные труды. Под редакцией Бруно Понтекорво -Москва: Наука, - 1971. - Т. 1. - С. 284 - 301.

83. Kohn W. Quantum density oscillations in an inhomogeneous electron gas / W. Kohn, L.J. Sham // Phys. Rev. A. - 1965. - V. 137(6). - P. 1697 - 1705.

84. Киржниц Д.А. Статистическая модель вещества / Д.А. Киржниц, Ю.Е. Лозовик, Г.В. Шпатаковская // УФН. - 1975. - Т. 117(1). - С. 1-47.

85. Dirac P.A.M. Note on exchange phenomena in the Thomas atom // Proc. Cambr. Phil. Soc. - 1930. - V. 26. - P. 376 - 385.

86. Slater J.C. A simplification of the Hartree-Fock method // Phys. Rev. -1951.-V. 81(3).-P. 385 - 391.

87. Gell-Mann M. Correlation energy of an electron gas at high density / M. Gell-Mann, K.A. Brueckner// Phys. Rev. B. - 1957. - V. 106(2). - P. 364 - 368.

88. Wigner E.P. Effects of the electron interaction on the energy levels of electron in metals // Trans. Faraday Soc. - 1934. - V. 34. - P. 678 - 685.

89. Nozieres P. Correlation energy of a free electron gas / P. Nozieres, D. Pines // Phys. Rev. - 1958. - V. 111(2). - P. 442 - 454.

90. Gaskell T. The collective treatment of a Fermi gas: II // Proc. Phys. Soc. (London). -1961.-V. 77.-P. 1182- 1192.

91. Ceperley J.C. Ground state of the fermion one-component plasma: A Monte-Carlo study in two and three dimention // Phys. Rev. B. - 1978. - V. 18(7). - P. 3126-3138.

92. Pham H.H. Finite-temperature elasticity of fee Al: Atomistic simulations and ultrasonic measurements / H.H. Pham, M.E. Williams, P. Mahaffey, M. Radovic, R. Arroyave, T. Cagin // Phys. Rev. B. - 2011. - V. 84. - P. 064101.

93. Arras E. Phase diagram, structure, and magnetic properties of the Ge-Mn system: A first-principles study / E. Arras, D. Caliste, T. Deutsch, F. Lancon, P. Pochet // Phys. Rev. B. - 2011. - V. 83. - P. 174103.

94. Li L. Phase diagram, structure, and electronic properties of (Gai_xZnx)(Ni_ xOx) solid solutions from DFT-based simulations / L. Li, J.T. Muckermann, M.S. Hybertsen, P.B. Allen // Phys. Rev. B. - 2011. - V. 83. - P. 134202.

95. Rosa A.L. First-principles calculations of the structural and electronic properties of clean GaN (0001) surfaces / A.L. Rosa, J. Neugebauer // Phys. Rev. B. -2006.-V. 73.-P. 205346.

96. Saubanere M. Electronic and magnetic properties of Co and Ni impurities in Cu wires: First-principles investigation of local moment formation in one

dimension / M. Saubanere, J.L. Ricardo-Chavez, G.M. Pastor // Phys. Rev. B. - 2010.

- V. 82. - P. 054436.

97. Colonna N. Structural and magnetic properties of CaFe2As2 and BaFe2As2 from first-principles density functional theory / N. Colonna, G. Profeta, A. Continenza, S. Massida // Phys. Rev. - 2011. - V. 83. - P. 094529.

98. Perdew J.P. Generalized gradient approximation made simple / J.P. Perdew, K. Burke, M. Ernzerhof// Phys. Rev. Lett. - 1996. - V. 77. - P. 3865 - 3868.

99. Perdew J.P. Restoring the density-gradient expansion for exchange in solids and surfaces / J.P. Perdew, A. Ruzsinszky, G.I. Csonka, O.A. Vydrov, G.E. Scuseria, L.A. Constantin, X. Zhou, K. Burke // Phys. Rev. Lett. - 2008. - V. 100. - P. 136406.

100. D'Anna V. Ionic layered BaFCl and Bai_xSrxFCl compounds: Physical-and chemical-pressure effects / V. D'Anna, L.M.L. Daku, H. Hagemann, F. Kubel // Phys. Rev. B. - 2010. - V. 82. - P. 024108.

101. Stott M.J. Quasiatoms: an approach to atoms in nonuniform electronic systems / M.J. Stott, E. Zaremba // Phys. Rev. B. - 1980. - V. 22(4). - P. 1564 - 1583.

102. Daw M.S. Embedded-atom method: derivation and application to impurities, surfaces, and other defects in metals / M.S. Daw, M.I. Baskes // Phys. Rev. B. - 1984. - V. 29(12). - P. 6443 - 6453.

103. Baskes M.I. Semiempirical modified embedded-atom potentials for silicon and germanium / M.I. Baskes, J.S. Nelson, A.F. Wright // Phys. Rev. B. -1989. - V. 40(9). - P. 6085 - 6100.

104. Baskes M.I. Atomistic model of gallium / M.I. Baskes, S.P. Chen, F.J. Cherne // Phys. Rev. B. - 2002. - V. 66. - P. 104107.

105. Byeong-Joo Lee Semiempirical atomic potentials for the fee metals Cu, Ag, Au, Ni, Pd, Pt, Al, and Pp based on first and second nearest-neighbor modified embedded-atom method / L. Byeong-Joo, S. Jae-Hyeok, M.I. Baskes // Phys. Rev. B.

- 2003. - V. 68.-P. 144112.

106. Kim Y.M. Modified embedded-atom method interatomic potentials for Ti and Zr / Y.M. Kim, L. Byeong-Joo, M.I. Baskes // Phys. Rev. B. - 2006. - V. 74. - P. 014101.

107. Baskes M.I. Pair potential for fee metals / M.I. Baskes, C.F. Melius // Phys. Rev. B. - 1979. - V. 20(8). - P. 3197 - 3204.

108. Stillinger F.H. Computer simulation of local order in condensed phases of silicon / F.H. Stillinger, T.A. Weber // Phys. Rev. B. - 1985. - V. 31(8). - P. 5262 -5271.

109. David G. Elastic properties of MgxTii_xB2(0<x<l) studied by first-principles calculations / G. David, J.S. William, P. Ravindra, P.K. Shashi, D. Dattatraya // Phys. Rev. B. - 2011. - V. 83. - P. 115122.

110. Jijun Zhao. First-principles calculations of second- and third-order elastic constants for single crystals of arbitrary symmetry / Z. Jijun, J.M. Winey, Y.M, Gupta // Phys. Rev. B. - 2007. - V. 75. - P. 094105.

111. Ландау Л.Д. Квантовая механика / Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц -Москва: Гос. Издат. Физ. - Мат. Лит., - 1963. - 702 с.

112. Жарков В.Н. Уравнения состояния твердых тел при высоких давлениях и температурах / В.Н. Жарков, В.А. Калинин - Москва: Наука, - 1968. -310с.

113. Гиршфельдер Дж. Молекулярная теория газов и жидкостей / Дж. Гиршфельдер, Ч. Кертисс, Р. Берд - Москва: Изд. «ИЛ», - 1961. - 929 с.

114. Гуфан Ю.М. Симметрийное вырождение статистических моделей сложных упорядочивающихся сплавов / Ю.М. Гуфан, И.Н. Мощенко // ФТТ. -1991.-Т. 33(4).-С. 1160-1171.

115. Ведяшкин А.В. О возможности описания сложных упорядоченных состояний приближенными методами. Трехподрешеточные магнетики в обменном приближении / А.В. Ведяшкин, Ю.М. Гуфан // ФТТ. - 1992. - Т. 34(3). -С. 714-723.

116. Джури Э. Инноры и устойчивость динамических систем. - Москва: Наука, - 1979. - 304 с.

117. Lim Т.С. The relationship between Lennard-Jones (12-6) and Morse potential functions // A: Phys. Sciences. - 2003. - V. 58(11). - P. 615-617.

118. Lim T.C. Approximate Relationships Between the Generalized Morse and the Extended-Rydberg Potential Energy Functions // A: Acta. Chim. Slov. - 2005. -V. 52.-P. 149- 152.

119. Hiki Y. Anharmonicity in noble metals; higher order elastic constants / Y. Hiki, A.V. Granato // Phys. Rev. - 1966. - V. 144(2). - P. 411 - 419.

120. Salama K. Third-order elastic constants of cooper at low temperature / K. Salama, G.A. Alers // Phys. Rev. - 1967. - V. 161(3). - P. 673 - 680.

121. Johal A.S. Reappraisal of experimental values of third-order elastic constants of some cubic semiconductors and metals /A.S. Johal, D.J. Dunstan // Phys. Rev. B. - 2006. - V. 73. - P. 024106.

122. Киттель Ч. Введение в физику твердого тела. - Москва: Наука, - 1978. -С. 149-171.

123. Landolt-Bornstein. Second and Higher Order Elastic Constants. - 1992. -V. 29A. New Series, Group III, edited by Every A.G. and McCurdy A.K. SpringerVerlag, Berlin.

124. Thomas J.F., Jr. Third-order elastic constants of aluminum // Phys. Rev. -1968.-V. 175(3).-P. 955-962.

125. Barrera G.D. Thermal Expansion and Third Order Elastic Constants of FCC Metals / G.D. Barrera, A. Batana // Сотр. Chem. - 1993. - V. 17(1). - P. 83 -90.

126. Сиротин Ю.И. Основы кристаллофизики / Ю.И. Сиротин, М.П. Шаскольская - Москва: Наука, - 1975. - С. 651-652.

127. Гуфан А.Ю. Инвариантный вид функций потенциальных энергий, используемых при компьютерном моделировании свойств конденсированного

состояния / А.Ю. Гуфан, О.В. Кукин, И.А. Осипенко // Известия РАН. Серия физическая. - 2011. - Т. 75(11). - (в печати).

128. Рейсленд Д. Физика фононов - Москва: Мир. - 1975. - 367 с.

129. Hollinger R.C. Higher order elastic constants of alkali halides / R.C. Hollinger, G.R. Barsch // J. Phys. Chem. Solids. - 1976. - V. 37. - P. 845 - 855.

130. Zucker I.J. Three-body forces and the third-order elastic constants of the rare gas crystals / I.J. Zucker, D. Paik // J. Phys. C: Solid State Phys. - 1979. - V. 12. -P. 771 - 782.

131. Холопов E.B. Проблемы сходимости кулоновских и мультипольных сумм в кристаллах // УФН. - 2004. - Т. 174(10). - С. 1033 - 1060.

132. Landolt-Bornstein. Numerical data and functional relationships in science and technology. - 1979. - V. 11. Group III, edited by Hellwege K.H., Hellwege A.M. Springer-Verlag, Berlin.

133. Rotter C.A. Ultrasonic equation of state of iron: I. Low pressure, room temperature / C.A. Rotter, C.S. Smith // Phys. Chem. Solids. - 1966. - V. 27. - P. 267 -276.

134. Lowdin P.O. On the non-orthogonality problem connected with the use of atomic wave functions in the theory of molecules and crystals // J. Chem. Phys. -1950.-V. 18.-P. 365 -375.

135. Puri D.S. Many-body effects on the third-order elastic constants and pressure derivatives of the second-order-elastic constants of NaCl-structure alkali halides / D.S. Puri, M.P. Verma // Solid St. Commun. - 1976. - V. 18. - P. 2337 -2347.