Математическое моделирование и устойчивость капиллярно-гравитационных волн в слоях жидкости со свободной границей тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Андронов, Артем Николаевич

• Андронов, Артем Николаевич
• кандидат физико-математических наук
• 2010

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Андронов, Артем Николаевич

Введение

Глава 1. Существование и асимптотика семейств разветвляющихся решений задач о капиллярно-гравитационных волнах в пространственном слое флотирующей (без флотации) жидкости

1.1. Задача о капиллярно-гравитационных волнах в слое жидкости, занимающей полупространство

1.2. Высокие вырождения линеаризованного оператора

1.3. Задача о капиллярно-гравитационных волнах в слое жидкости конечной глубины.

Глава 2. Существование и асимптотика семейств разветвляющихся решений задач о поверхностных волнах на горизонтальной границе раздела двух жидкостей.

2.1. Задача о поверхностных волнах на горизонтальной границе раздела двух жидкостей, когда нижняя жидкость занимает полупространство

2.2. Высокие вырождения линеаризованного оператора

2.3. Капиллярно-гравитационные волны на границе раздела двух жидкостей конечной глубины

Глава 3. Решения, инвариантные относительно подгрупп допускаемой группы симметрии.

3.1. Группа симметрии прямоугольника.

3.2. Группа симметрии квадрата

Глава 4. Редуцированная устойчивость разветвляющихся семейств решений задач о капиллярно-гравитационных волнах

4.1. Критерии устойчивости решений задачи о поверхностных волнах в пространственном слое флотирующей (без флотации) жидкости

4.2. Устойчивость решений задачи о поверхностных волнах на границе раздела двух жидкостей

4.3. Устойчивость решений задачи о капиллярно-гравитационных волнах на поверхности цилиндра

4.3.1. Задача на поверхности слоя жидкости на бесконечном цилиндре

4.3.2. Задача о волнах на границе раздела двух жидкостей на бесконечном цилиндре

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математическое моделирование и устойчивость капиллярно-гравитационных волн в слоях жидкости со свободной границей»

Теория ветвления решений нелинейных уравнений, становление и развитие которой началось в конце XIX - начале XX столетия в трудах A.M. Ляпунова [1], А. Пуанкаре [2] и Э. Шмидта [3], находит новые многочисленные, иногда удивительные своей неожиданностью приложения в задачах естественнонаучных дисциплин: гидродинамики, теории упругости, математической биологии (в частности, теории нейронных сетей [4]), теории колебаний динамических систем. Наиболее полный обзор прикладных задач, исследованных методами теории ветвления и бифуркаций, содержится в трудах конференции "Bifurcation theory and its applications in scientific disciplines"[5]. Основатели теории A.M. Ляпунов и А. Пуанкаре занимались известной задачей теории фигур равновесия вращающейся жидкости (теория фигур небесных тел). Работы Э. Шмидта содержали исследования по теории линейных и нелинейных интегральных уравнений. Уже в первых их результатах было показано, что задачи ветвления решений нелинейных уравнений сводятся к исследованию эквивалентных уравнений разветвления (УР) — конечномерных систем неявных функций. Различные варианты сведения нелинейной задачи к УР стали называть (асимптотическим) методом Ляпунова-Шмидта. Последующее развитие теории ветвления содержится в работах А.И. Некрасова [6, 7] об установившихся волнах на поверхности тяжелой жидкости, Н.Е. Кочина [8, 9] о волнах на поверхности раздела двух жидкостей конечной глубины (в которых рассматривались плоские задачи), Л. Лихтенштейна [10] и H.H. Назарова [11, 12] в теории нелинейных интегральных и интегро-дифференциальных уравнений. Метод неопределенных коэффициентов непосредственного построения решений нелинейных уравнений в виде рядов по дробным степеням малого параметра стали называть впоследствии методом Некрасова-Назарова. Дж. Кронин [13, 14] применила теорию степени отображения к вопросу о существовании разветвляющихся решений. В абстрактной постановке, т.е. для нелинейных функциональных уравнений в банаховых пространствах топологические и вариационные методы теории ветвления были предложены в работах М.М. Вайнберга [15], М.А. Красносельского [16], Дж. Кро-нин [17]. Эти результаты не были конструктивными. По плану чл.-корр. АН СССР JI.A. Люстерника предпочтение должно быть уделено аналитическим методам, развивавшимся в работах В.А. Треногина [18, 19]. Отметим здесь обзорную работу М.М. Вайнберга, В.А. Треногина [20] и их монографию [21], где четко разделены части, написанные каждым автором. Вслед за ней выходит монография коллектива авторов во главе с М.А. Красносельским [22] с акцентом на приближенные методы в нелинейном анализе. Укажем более поздние монографии: Ю.А. Кузнецов [23], H. Kielhôfer [24], R. Temam [25], Z. Mei [26], S. Wiggins [27], T. Ma, S. Wang [28]. Особо отметим фундаментальный пятитомный труд Е. Zeidler "Нелинейный функциональный анализ и его приложения" [29].

УР в одномерном ветвлении может быть полностью исследовано методом диаграммы Ньютона [21], позволяющим представить решения УР и первоначальной нелинейной задачи в виде ряда по определенным целым или дробным степеням малого параметра. В многомерном ветвлении можно применять разложение УР по однородным формам. Впервые метод диаграммы Ньютона был применен к одномерному случаю и в системах неявных функций в двух работах W.D. McMillan [30]. Эти работы остались незамеченными и впоследствии первенство в применении метода диаграммы Ньютона было отдано L.M. Graves [31] и А.Э. Стапану [32]. В многомерном ветвлении полное исследование УР может быть выполнено методом многогранника Ньютона, развитого в работах Брюно [33] и диссертации А. Солеева [34].

К задачам многомерного ветвления применялся также предложенный впервые А. Пуанкаре [2], а затем в краткой заметке в "УМН В.А. Треногиным и М.М. Вайнбергом кронекеровскнй метод исключения [К теории ветвления нелинейных уравнений. УМН, 1963, т. 18, №5, с.223-224]. Однако при его применении возникают существенные трудности практического характера. Вообще в многомерном ветвлении наиболее эффективным оказалось сочетание аналитических, топологических (степень отображения, теория вращения векторных полей) и теоретико-групповых методов, позволяющих исследовать вопросы существования и построения асимптотики семейств решений, зависящих от свободных параметров, а также методов регуляризации построения решений [35, 36]. Отметим также популярную в задачах теории ветвления методику применения теории особенностей гладких отображений, развиваемую в работах В.И. Арнольда [37], М. Голубицкого и Дж. Шеффера [38, 39], берущую начало от исследований Р. Тома [40].

Перейдем к освещению роли теории ветвления и бифуркаций в прикладных задачах математического моделирования и места симметрийной теории бифуркаций в теоретико-групповом моделировании.

К настоящему времени трудно дать обзор различных приложений стационарной и динамической теории бифуркаций (ветвления). Отметим здесь первые конференции по прикладным задачам: труды конференции (семинара) по теории ветвления и нелинейным задачам на собственные значения, организованного Дж.Б. Келлером и Э.Л. Рейссом (Теория ветвления и нелинейные задачи на собственные значения. J.B. Keller, S.T. Antman - Eds. Bifurcation theory and nonlinear eigenvalue problems. 1969. Русский перевод: Мир, Москва, 1974), содержат приложения теории бифуркации к различным задачам теории упругости и пластичности, гидродинамики, математической и теоретической физики. В 700-страничных трудах конференции [5] имеются самые различные приложения теории ветвления, даже в метеорологии и медицине механизм возникновения шизофрении). Отметим также более поздние конференции: Contemporary Mathematics v. 56: Multiparameter Bifurcation theory. Proceedings of a Summer Research Conference held July 14-20, 1985, Martin Golubitsky and John M. Guckenheimer, Editors, AMS; Oscillation, Bifurcation and Chaos, Proceedings of the 1986 Annual Seminar held July 13-25, 1986, Canadian Math. Soc. v.8, F.V. Atkinson, W.F. Langford and A.B. Mingarelli (Editors) и серию конференций ECMI по прикладной математике.

Прикладные задачи, связанные с действием законов сохранения, обладают групповой симметрией (инвариантностью, эквивариантностью) [41]. В случае действия интранзитивной группы преобразований задача построения многопараметрических семейств малых решений нелинейных уравнений значительно упрощается. Первые результаты применения групповой симметрии в задачах теории ветвления были получены В.И. Юдовичем [42] с многочисленными приложениями руководимого им коллектива Ростовского-на-Дону университета к различным задачам гидродинамики [43],[44], [45], в частности, к задачам о свободной конвекции в жидкости.

Теория ветвления в условиях групповой симметрии была развита после первых работ В.И. Юдовича в работах Б.В. Логинова и В.А. Треногипа [46],[47]. Далее в общих ситуациях стационарного и динамического ветвления были доказаны [48],[49],[50] теоремы о наследовании уравнением разветвления групповой симметрии нелинейного уравнения - одно из многочисленных применений пропагандируемого в школе проф. В.А. Треногина "принципа конечномерности", - послужившие основой построения общего вида УР по допускаемой группе симметрии. На этой основе была исследована задача о кристаллизации жидкого фазового состояния с простой кубической решеткой в статистической теории кристалла [51],[52],[48] и случай четырехмерного вырождения в задаче о капиллярно-гравитационных волнах (КГВ) в слое жидкости над ровным дном [53],[54], а также определены возможности редукции УР в вариационном случае с помощью полной системы функционально независимых инвариантов.

Однако наиболее полное и эффективное решение задачи о построении УР по допускаемой им группе стало возможным только на основе применения методов Л.В. Овсянникова [55],[56] группового анализа дифференциальных уравнений. Они открыли существенно новый подход в теории ветвления и, в частности, в задачах с нарушением симметрии стационарного [57] и динамического [58],[59], [60] ветвления. Как и положено в математическом моделировании, допускаемая уравнением разветвления группа обуславливает вполне определенный его вид. В различных конкретных задачах он один и тот же, меняются только числовые значения коэффициентов. Работа [57] была первым применением методов группового анализа в симметрийной теории бифуркаций, конкретно к задаче о кристаллизации жидкого фазового состояния в статистической теории кристалла в случае высоких вырождений линеаризованного оператора. В диссертации О.В. Макеева [61] и в предшествовавших работах [62-64] методы группового анализа для построения и исследования уравнения разветвления на основе теоремы о наследовании были применены к задаче о кристаллизации с симметриями старших кристаллических классов кристаллографических групп с определением подгрупповой структуры разветвляющихся решений согласно "Программе подмодели" академика Л.В. Овсянникова. Результаты о симметрии подгрупп были установлены также в работах [65, 66] для бифуркации Пуанкаре-Андронова-Хопфа (динамического ветвления) для разветвляющихся решений с симметриями плоских и пространственных кристаллографических групп с простой кубической решеткой.

Примерно до 80-х годов развитие теории ветвления, в частности, в условиях групповой симметрии (эквивариантной теории ветвления) на Западе и в Союзе шло с опережением советских математиков. В 80-х годах это направление на Западе и Востоке развивается по-разному. На Западе были опубликованы фундаментальные работы М. Голубицкого, Д. Шеффера и И. Стюарта [67] (не содержащие никаких ссылок на советские работы и даже на работы В.И. Юдовича) и А. Ван-дер-Бауведе [68]. Основным инструментом в этих работах явилась теория особенностей дифференцируемых отображений. Эти книги содержат различные приложения эквивариантной теории ветвления к задачам математической физики. С этих же позиций написана книга

69]. Восходящие к Каччопполи вариационные методы в теории бифуркаций в удачном сочетании с теорией особенностей дифференцируемых отображений разрабатываются в Воронежской школе Ю.Г. Борисовича, Ю.И. Сапронова

70] нелинейного функционального анализа.

К бифуркационным задачам с нарушением симметрии относятся задачи о капиллярно-гравитационных волнах в слоях жидкости, восходящие к знаменитым работам А.И. Некрасова, Т. Леви-Чивита [71] и Д. Стройка [72]. А.И. Некрасов, используя теорию конформных отображений, приводит плоскую задачу о гравитационных волнах в слое жидкости над ровным дном к эквивалентному нелинейному интегральному уравнению, которое решает далее методом неопределенных коэффициентов (Некрасова-Назарова) при разложении решений по целым или дробным степеням малого параметра. В работах [71] и [72] были использованы принципиально другие методы. Технически более сложная задача о капиллярно-гравитационных волнах на границе раздела двух жидкостей была исследована Н.Е. Кочиным [8]. Обзор дальнейших результатов по теории поверхностных волн и, в частности, результатов академика H.H. Моисеева и A.M. Тер-Крикорова содержится в [73]. В работах Я.И. Секерж-Зеньковича задача о капиллярно-гравитационных волнах

74] исследована методами теории конформных отображений. Существенно более трудная задача о пространственных гравитационных волнах, основанная на ветвлении от собственного значения внутри непрерывного спектра, решена П.И. Плотниковым [75]. Коллективная монография под редакцией Л.В. Овсянникова [76] содержит обзор работ по волновым движениям жидкости, выполненным в Институте Гидродинамики СО РАН. Сотрудничество Института Гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН и Университета ВАТ (Великобритания) интенсифицируется с начала нашего века. Здесь следует отметить ряд совместных работ, выполненных П.И. Плотниковым и Дж.Ф. Толандом.

Ряд задач теории капиллярно-гравитационных волн в слоях жидкости рассмотрен в работах Б.В. Логинова и его аспирантов. Это работы [53],[54],[77],[78] о капиллярно-гравитационных волнах в слое жидкости над ровным дном, в особенности в случаях высокого вырождения, [79],[80],[81],[82],[83] о капиллярно-гравитационных волнах в пространственном слое флотирующей жидкости, [84],[85] о капиллярных волнах на границе раздела двух жидкостей конечной глубины, [86],[87] о капиллярно-гравитационных волнах на поверхности бесконечного цилиндра, [88],[89] о ветвлении и устойчивости периодических решений в задаче определения свободной поверхности магнитной жидкости (последовавшая за работой Твомбли [90]), в которой на поверхности покоящейся магнитной жидкости возникала ячеистая структура под воздействием магнитного поля.

Отметим ряд работ об установившихся волнах конечной амплитуды на поверхности флотирующей жидкости, выполненных коллективом кафедры математики физического факультета МГУ [91],[92]. В 2007 г. этой группой была опубликована монография [93] по многим прикладным задачам динамической теории ветвления с вырожденным оператором при производной, содержащая, в частности, задачи о поверхностных волнах.

Большой цикл работ о поверхностных волнах в пленках жидкости (например, [94]) опубликован сотрудниками института теплофизики СО РАН.

В.В. Пухначевым [95] было дано доказательство существования капиллярно-гравитационных волн в плоской задаче о пленке жидкости, стекающей по вертикальной стенке.

Монография Н. Okamoto и М. Shöji [96] по теории гравитационных и капиллярно-гравитационных волн в слоях жидкости содержит обзор достижений японских математиков. Сюда же следует отнести работы Т. Iguchi [97], N. Tanaka и A. Tani [98]. Однако в этих работах не применялись теоретико-групповые методы теории ветвления. Обзор работ W. Craig и M.D. Groves по пространственным капиллярно-гравитационным волнам и, в частности, уединенным волнам, приведен в выпуске журнала GAMM Mitteilungen 30(1) 2007, посвященном нелинейным волнам, и здесь также не используются теоретико-групповые методы теории ветвления. В динамических задачах, описывающих течения жидкости, имеются работы румынских математиков, в которых начинают применяться теоретико-групповые методы, например [99]. Основной результат здесь — бифуркационная теорема Андронова-Хопфа с Zfc-симметрией в задаче со свободной границей для течений вязкой несжимаемой жидкости в открытом трехмерном прямоугольном канале с учетом поверхностного натяжения.

Отметим ряд интересных задач со свободной границей, возникающих в теории плазмы и модели роста опухоли, в которых используются вариационные методы. Такие задачи рассмотрены в монографии Фридмана [100].

Приведем небольшой список работ в этом направлении [101-104]. Отметим, что основополагающей работой здесь следует считать опубликованную в 1970 г. статью И.И. Данилюка [105].

Переходя к описанию содержания выполненной работы, отметим еще раз ее характерную черту — принадлежность теоретико-групповому моделированию. Используемые здесь методы — групповой анализ дифференциальных уравнений С. Ли - Л.В. Освянникова — основанные на построении общего вида УР по допускаемой группе симметрии, теории инвариантов и инвариантных многообразий. Вид уравнения разветвления, характер ветвления и редуцированная устойчивость семейств решений не зависят от физического содержания модели, могут изменяться только коэффициенты системы разветвления. Естественно, что устойчивость семейства решений понимается относительно возмущений, обладающих той же симметрией. Если же решение неустойчиво относительно таких возмущений, то оно неустойчиво вообще.

В §1 первой главы изложены результаты, полученные соискателем для задачи о капиллярно-гравитационных волнах в пространственном слое флотирующей (без флотации) жидкости, занимающей полупространство в случае размерности линеаризованного оператора п = Агт N(13) = 4. Выписана асимптотика разветвляющися решений. В §2 исследуются высокие вырождения линеаризованного оператора. В §3 приводятся результаты С.А. Карповой (Гришиной) в задаче о капиллярно-гравитационных волнах в пространственном слое флотирующей (без флотации) жидкости конечной глубины. Устойчивость соответствующих решений исследована в §4.3.

В §1 второй главы соискателем решается задача о поверхностных волнах на границе раздела двух несмешивающихся жидкостей, нижняя из которых занимает полупространство. Выписана асимптотика разветвляющихся решений в случае четырехмерного вырождения линеаризованного оператора. §2 содержит исследование высоких вырождений. В §3 приводятся результаты Е.В. Трофимова в задаче о поверхностных волнах на границе раздела двух жидкостей конечной глубины. Устойчивость соответствующих решений исследована в §4.4.

Третья глава посвящена построению решений, инвариантных относительно подгрупп, последовательно для рассмотренных задач предыдущих пунктов. Это соответствует содержанию "Программы подмодели" Л.В. Овсянникова.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Андронов, Артем Николаевич

Заключение

1. Методами теоретико-группового моделирования в задаче о капиллярно-гравитационных волнах в пространственном слое глубокой флотирующей (без флотации) жидкости в случаях высоких вырождений линеаризованного оператора вычислена асимптотика семейств разветвляющихся решений, определена их подгрупповая структура.

2. Теми же методами исследована задача о капиллярно-гравитационных волнах на границе раздела двух жидкостей, нижняя из которых занимает полупространство. Построена асимптотика семейств разветвляющихся решений в случае высоких вырождений линеаризованного оператора и определена подгрупповая структура разветвляющихся решений.

3. Методами A.M. Ляпунова исследована редуцированная устойчивость разветвляющихся семейств решений в указанных двух задачах.

4. В исследованных ранее задачах о капиллярно-гравитационных волнах в слоях жидкости конечной глубины методами A.M. Ляпунова исследована устойчивость семейств разветвляющихся решений.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Андронов, Артем Николаевич, 2010 год

1. А. М. Ляпунов. Собрание сочинений, Т.4. — Москва: Изд-во АН СССР, 1959.

2. А. Пуанкаре. Избранные труды, Т.1 // Новые методы небесной механики. Москва: Изд-во АН СССР, 1971. - 771 с.

3. Е. Schmidt Theorie linearen und nichtlinearen Integralgleichungen. Teil 3. Uber die Auflösungen der nichtlinearen Integralgleichungen und die Verzweigung ihrer Losungen // Math. Ann. — 1908. — Vol. 65. Pp. 370-399.

4. Franc C. Hoppensteadt, Eugene M. Izhikevich. Weakly connected neural networks. — New York: Springer-Verlag, 1997.

5. Bifurcation theory and its applications in scientific disciplines (O.Gurel Editor) // Annais of the New York Academy of Sciences. — 1979. — Vol. 316. — 685 pp.

6. А.И. Некрасов. О волнах установившегося вида // Изв. Ивановского политехнического института. — 1922. — Т. 6. — С. 155-171.

7. А.И. Некрасов. Точная теория волн установившегося вида на поверхности тяжелой жидкости. — Москва: Изд-во АН СССР, 1951. — 96 с.

8. Н.Е. Кочин. Определение точного вида волн конечной амплитуды на поверхности раздела двух жидкостей конечной глубины // Тр. Всерос. Съезда математиков, Москва, 1928. — С. 266-269.

9. N.E. Köchin. Détermination rigoureuse des ondes permanentes d'ampleur finie ä la surface de séparation de deux liquides de profondeur finie // Math. Ann. 1928. - Vol. 98. - Pp. 582-615.

10. L. Lichtenstein. Vorlesungen liber einige Klassen nichtlinearer Integralgleichungen und Integrodifferentialgleichungen nebst Anwendungen. — Berlin, 1931.

11. H.H. Назаров. Нелинейные интегральные уравнения типа Гаммерштей-на // Труды Средне-Азиатского университета, серия V-a, мат, 1941, вып. 33. С. 1-79.

12. Н.Н. Назаров. Точки ветвления решений нелинейных интегральных уравнений // Труды Института Матем. АН УзССР, 1948, вып. 4. — С. 59-65.

13. J. Cronin. Analytic functional mappings // Ann. Math. — 1973. — Vol. 58, no. 1. Pp. 175-181.

14. J. Cronin. Branch points of solutions of equations in Banach space // Trans. Amer. Math. Soc. 1950. - Vol. 69. - Pp. 208-231.

15. M.M. Вайпберг. Вариационные методы исследования нелинейных операторов. Москва: ГИТТЛ, 1956. - 344 с.

16. Н.А. Красносельский. Топологические методы в теории нелинейных интегральных уравнений. — Москва: Гостехиздат, 1956. —- 392 с.

17. J. Cronin. Fixed points and topological degree in nonlinear analysis // Math. Surveys. — Vol. 11. —Amer. Math. Soc., Providence: R.I., 1964.

18. B.A. Треногин. Разветвление решений нелинейных уравнений в банаховом пространстве // УМН. 1958. - Т. 13, № 4(82). - С. 197-203.

19. В.А. Треногин. Уравнение разветвления и диаграмма Ньютона // ДАН. — 1960. — Т. 131, №5.

20. М.М. Вайнберг, В.А. Треногин. Методы Ляпунова и Шмидта в теории нелинейных уравнений и их дальнейшее развитие // УМН.— 1962.— Т. 17, № 2(104).-С. 13-75.

21. М.М. Вайнберг, В.А. Треногин. Теория ветвления решений нелинейных уравнений. — Москва: Наука, 1969. — 527 с.

22. М.А. Красносельский, Г.М. Вайникко, П.П. Забрейко и др. Приближенное решение операторных уравнений. — Москва: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1969. — 456 с.

23. Yu.A. Kuznetsov. Elements of Applied Bifurcation theory. — New York: Springer-Verlag, 1995.

24. H. Kielhöfer. Bifurcation theory: an introduction with applications to PDEs. — New York: Springer-Verlag, 2004.

25. Roger Temam. Infinite-Dimensional Dynamical Systems in Mechanics and Physics. — New York: Springer-Verlag, 1997.

26. Zhen Mei Numerical Bifurcation Analysis for Reaction-Diffusion Equations. — Berlin: Springer-Verlag, 2000.

27. Stephen Wiggins. Introduction to Applied Nonlinear Dynamical Systems and Chaos. — New York: Springer-Verlag, 2003.

28. Shouhong Wang Tian Ma. Bifurcation theory and applications. — New York: World Scientific series on Nonlinear Science, Series A, vol. 53, 2005.

29. E. Zeidler. Nonlinear functional analysis and its applications. — New York: Springer-Verlag, 1985-1990. Vol. I-V.

30. W.D. McMillan. A method for determination the solutions of a system of analytical functions in the neighborhood of a branch point // Math. Ann. — 1912. Vol. 72. - Pp. 180-202.

31. L.M. Graves. Remarks on singular points of functional operators // Trans. Amer. Math. Soc. 1955. - Vol. 79, no. 1. - Pp. 150-157.

32. А.Э. Стапан. Разветвление решений линейных интегральных уравнений // Ученые записки Рижского пед. института. — 1957. — Т. 4. — С. 31-43.

33. А.Д. Брюно. Локальный метод нелинейного анализа дифференциальных уравнений. — Москва: Наука, 1979.

34. А. Солеев. Разрешение особенностей алгебраических и дифференциальных уравнений и многогранники Ньютона // Автореф. дис. . доктора физ.-мат. наук. — Москва: 1995.

35. Н.А. Сидоров. Общие'вопросы регуляризации в задачах теорий ветвления. — Иркутск: Иркутский университет, 1982. — 320 с.

36. N. Sidorov, В. Loginov, A. Sinitsyn, М. Falaleeu. Lyapunov-Schmidt Methods in Nonlinear Analysis and Applications. — Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 2002.

37. В.И. Арнольд, A.H. Варченко, C.M. Гусейн-Заде. Особенности дифференцируемых отображений. — Москва: МЦНМО, 2004. — 672 с.

38. М. Golubitsky, David G. Schaeffer. Singularities and Groups in Bifurcation Theory. — New York: Springer-Verlag, 1985. — Vol. l.

39. M. Golubitsky, I. Stewart, David G. Schaeffer. Singularities and Groups in Bifurcation Theory. — New York: Springer-Verlag, 1986. — Vol. 2.

40. R. Thom. Les singularités des applications différentiables // Ann. Inst. Fourier (Grenoble). Vol. 6. - 1955/56. - Pp. 43-87.

41. H.X. Ибрагимов. Группы Ли в некоторых вопросах математической физики. — Новосибирск: НГУ, 1972.

42. В.И. Юдович. Свободная конвекция и ветвление // ПММ.— 1967.— Т. 31, № 1,- С. 101-111.

43. В.И. Юдович. О возникновении конвекции в слое жидкости со свободной границей // Изв. АН СССР МЖГ. 1968. - № 4. - С. 23-28.

44. С.Р. Овчинникова, В. И. Юдович. Расчет вторичного стационарного течения между вращающимися цилиндрами // ПММ.— 1968.— Т. 32, № 5. С. 858-868.

45. Г. К. Тер-Григоръянц. Об устойчивости стационарных двоякопериодиче-ских конвекционных потоков в слое // Изв. Северо-Кавказского научного центра высшей школы. Естественные науки. — 1973. — № 4,-С. 79-83.

46. Б.В. Логинов, В.А. Треногин. О применении непрерывных групп в теории ветвления // Доклады АН СССР. 1971. - Т. 197, № 1. - С. 36-39.

47. Б.В. Логинов, В.А. Треногин. Об использовании групповых свойств для определения многопараметрических семейств решений нелинейных уравнений // Матем. сборник. — 1971.- Т. 85, № 3. С. 440-454.

48. В.В. Логинов. Теория ветвления решений нелинейных уравнений в условиях групповой инвариантности. — Ташкент: Фан, 1985. — 184 с.

49. Б. В. Логинов, В. А. Треногин. Идеи групповой инвариантности в теорииветвления // V Казахстанская межвуз. конференция по математике и механике. Тез. докладов. Ч. 1. Алма-Ата. — 1974.— С. 206-208.

50. Б.В. Логинов, В.А. Треногин. Об использовании групповой инвариантности в теории ветвления // Диф. уравнения. — 1975.— Т. 11, № 8.— С. 1518-1521.

51. Б.В. Логинов. Применение теории ветвления с групповой инвариантностью при построении периодических решений задачи о фазовых переходах в статистической теории кристалла // УМН. — 1981. — Т. 36, № 4. — С. 209-210.

52. Б.В. Логинов. Периодические решения трехмерной задачи о волнах над ровным дном // Динамика сплошной среды. — 1979. — Т. 42. — С. 3-22.

53. Б. В. Логинов. Построение периодических решений трехмерной задачи о волнах над ровным дном // Доклады АН СССР. — 1979. — Т. 247, № 2. — С. 324-328.

54. Л.В. Освянников. Групповой анализ дифференциальных уравнений.— Москва: Наука, 1978. — 400 с.

55. Л. В. Освянников. Лекции по теории групповых свойств дифференциальных уравнений. — Новосибирск: Изд-во НГУ, 1966. — 131 с.

56. В.В. Логинов, X.P. Рахматова, H.H. Юлдашев. О построении уравнения разветвления по его группе симметрии (кристаллографические группы) // Уравнения смешанного типа и задачи со свободной границей. — Ташкент: 1987. С. 183-195.

57. В. V. Loginov. Determinatipn of the branching equation by its group symmetry Andronov-Hopf bifurcation // Nonl. Anal, TMA. — 1997. — Vol. 28, no. 12.- Pp. 2033-2047.

58. В. V. Loginov. General approach to the cycle birth bifurcation under group invariance conditions // Izv. Akad. Nauk UzSSR. Ser. Fiz.-Mat. Nauk. — 1990.- no. 6.- Pp. 16-18.

59. В. V. Loginov. Group analysis methods for construction and investigation of the bifurcation equation // Applications of Math. — 1992. — Vol. 37, no. 4. — Pp. 241-248.

60. O.B. Макеев. Подгрупповая структура разветвляющихся стационарных и периодических решений дифференциальных уравнений в банаховых пространствах // Автореф. дис. . канд. физ.-мат. наук. — Ульяновск: 2007.

61. Б. В. Логинов, О. В. Макеев. Уравнения разветвления с симметрией кристаллографических груп // ДАН. 2007. - Т. 412, № 3. - С. 62-68.

62. О. В. Макеев. Уравнения разветвления с симметрией симморфных кристаллографических груп // Труды СВМО.— 2006.— Т. 8, № 2.— С. 138-151.

63. O.B. Макеев. Бифуркация Андроиова-Хопфа с симметрией квадратной и гексагональной решеток // Труды СВМО.-- 2005.— Т. 7, № 1.— С. 215-223.

64. О.В. Макеев. Комплекс программ построения и исследования общего уравнения разветвления по допускаемой группе симметрии // Труды СВМО. 2005. - Т. 9, № 1. - С. 194-200.

65. A.M. Stuart. Singular free boundary value problems and local bifurcation theory // SI AM J. Appl Math. 1989. - Vol. 49, no. 1. - Pp. 72-85.

66. A. Vanderbauwhede. Local bifurcation and symmetry // Res. Notes Math. — Vol. 75. Boston: Pitman, 1982.

67. P. Chossat, G. Iooss. The Couette-Taylor problem. — Berlin: Springer, 1994.

68. B.M. Даринский, Ю.И. Сапронов, С.И. Царев. Бифуркация экстремалей фредгольмовых функционалов // Функциональный анализ, СМФН. — 2004. Т. 12. - С. 3-140. .

69. Т. Levi-Civüa. Determination rigoureuse des ondes permanentes d'ampleur finie // Math. Ann. 1925. - Vol. 93. - Pp. 264-324.

70. D. Struik. Determination rigoureuse des ondes irrotationelles périodiques // Math. Ann. 1926. - Vol. 95. - Pp. 595-634.

71. H.H. Моисеев. Некоторые вопросы гидродинамики поверхностных волн // Механика СССР за 50 лет. — Т. 2. — Москва: Наука, 1970. — 880 с.

72. Я.И. Секерж-Зенъкович. Об установившихся капиллярно-гравитационных волнах конечной амплитуды на поверхности жидкости конечнойглубины // Механика сплошной среды и родственные проблемы анализа. — Москва: Наука, 1972. — С. 445-458.

73. П. И. Плотников. Разрешимость задачи о пространственных гравитационных волнах на поверхности идеальной жидкости // Доклады АН СССР. 1980. - Т. 251, № 3. - С. 591-594.

74. Л.В. Освянников, Н.И. Макаренко, В.И. Налимов, др. Нелинейные проблемы теории поверхностных и внутренних волн. — Новосибирск: Наука, 1985.- 318 с.

75. В. V. Loginov, А. О. Kuznetsov. Capillary-gravity waves over a flat surface // Eur. J. Mech., В/Fluids. — 1996.-Vol. 15, no. 2.- Pp. 259-280.

76. B.V. Loginov, S.A. Karpova, V.A. Trenogin. Bifurcation, symmetry and parameter continuation in some problems about capillary-gravity waves // Progress in Industrial Mathematicsa at ECMI-96 / Ed. by B. Teubner. — Stuttgart: 1997. Pp. 432-439.

77. B.B. Логинов, С.А. Карпова. Вычисление периодических решений задачи о капиллярно-гравитационных волнах в пространственном слое флотирующей жидкости // Вестник Самарского университета. — 1997. — Т. 6, № 4. С. 69-80.

78. Б.В. Логинов, С.А. Карпова. Ветвление и симметрия в задаче о капиллярно-гравитационных волнах на поверхности флотирующей жидкости // Тез. докл. конф. "Симметрия в естествознании". 23-29.08.1998.— Красноярск. — С. 86-87.

79. С. А. Гришина. Ветвление и симметрия в задаче о капиллярно-гравитационных волнах на поверхности флотирующей жидкости // Автореф. дис. . канд. физ.-мат. наук. — Ульяновск: 1999.

80. Б.В. Логинов. Бифуркация и симметрия в задачах о капиллярно-гравитационных волнах // Сибирский ¿математический журнал. — 2001. — Т. 42, № 4. С. 868-887.

81. Б. В. Логинов, Е.В. Трофимов. Вычисление капиллярно-гравитационных волн на поверхности раздела двух жидкостей конечной глубины // Дифференциальные уравнения математической физики и их применение. Ташкент: 1989. - С. 57-66.

82. Е.В. Трофимов. Ветвление решений нелинейной задачи о поверхностных волнах на границе раздела двух жидкостей // Автореф. дис. . канд. физ.-мат. наук. — Ташкент: 1993.

83. Б. В. Логинов, Т. Эргашбаев. Многомерное ветвление и задачи о капиллярно-гравитационных волнах на поверхности цилиндра // Вопросы вычислительной и прикладной математики. — Ташкент: 1993. — С. 89-100.

84. Т. Эргашбаев. О ветвлении решений нелинейных уравнений с групповой симметрией на многообразиях // Автореф. дис. . канд. физ.-мат. наук. — Ташкент: 1991.

85. Ф.Д. Абдуллаева. Ветвление и устойчивость периодических решений задачи определения свободной поверхности магнитной жидкости // Автореф. дис. . канд. физ.-мат. наук. — Ташкент: 1993.— 18 с.

86. Ф.Д. Абдуллаева, А.О. Кузнецов, Б. В. Логинов. Определение порядка вырождения задачи о свободной поверхности ферромагнитной жидкости в магнитном поле // Тез. докл. 28 НТК УлГПИ. — Ульяновск: 1994.— С. 58 59.

87. Е.Е. Twombley, J. W. Thomas. Bifurcation instability of the free surface of a ferrofluid // SIAM J. Math. Anal. 1983. - Vol. 14, no. 4. - Pp. 736-767.

88. C.A. Габов. О существовании установившихся волн конечной амплитуды на поверхности флотирующей жидкости // ЖВМиМФ. — 1988. — Т. 28, № 10. С. 1507-1519.

89. С.А. Габов, А.Г. Свешников. Математические задачи динамики флотирующей жидкости // Итоги науки и техники. Математический анализ. — Т. 28. Москва: ВИНИТИ, 1990. - С. 3-86.

90. А.Г. Свешников, А.Б. Алъшин, М.О. Корпусов, Ю.Д. Плетнер. Линейные и нелинейные уравнения соболевского типа. — Москва: ФИЗМАТ-ЛИТ, 2007. 736 с.

91. П.И. Гешев, Б. С. Ездин. Расчет профиля скорости и формы волны на стекающей пленке жидкости // Гидродинамика и тепломассообмен течений жидкости со свободной поверхностью. Сб. науч. тр. — Новосибирск: 1985. С. 49-57.

92. В.В. Пухначев. К теории катящихся волн // ПМТФ. — 1975.— Т. 5.— С. 47-58.

93. H. Okamoto, M. Shoji. The Mathematical Theory of Permanent Progressive Water-Waves. — World Scientific, 2001.- 228 pp.

94. Т. Iguchi. On the irrotational flow of incompressible ideal fluid in a circular domain with free surface // Publ. Res. Inst. Math. Sci. — 1998. — Vol. 34, no. 6. Pp. 525-565.

95. T. Iguchi, N. Tanaka, A. Tani. On a free boundary problem for an incompressible ideal fluid in two space dimensions // Adv. Math. Sci. Appl.— 1999. Vol. 9. - Pp. 415-472.

96. S. Bodea. The Motion of a Fluid in an Open Channel // Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa CI. Sci. 2006. - Vol. 5, no. 5. - Pp. 77-105.

97. А. Фридман. Вариационные принципы и задачи со свободными границами. — Москва: Наука, 1990. — 535 с.

98. R.K. Alexander, В.A. Fleishmann. Perturbation and bifurcation in a free BVP // J. DEq. 1982. - Vol. 45, no. 1. - Pp. 34-52.

99. J. Sijbrand. Bifurcation analysis for a class of problems with a free boundary // NA. 1975. - Vol. 3, no. 6. - Pp. 723-753.

100. R. Temam. A Nonlinear BVP: the shape at equilibrium of a confined plasma // ARMA. 1975. - Vol. 60. - Pp. 51-73.

101. A.M. Stuart. Singular free BVP and local bifurcation theory // SIAM J. — 1983. Vol. 49, no. 1. - Pp. 72-85.

102. И.И. Данилюк. Об одном классе нелинейных задач со свободной границей // Математическая физика. Респ. межвузовский сборник, вып. 7. — Киев: Наукова думка, 1970.— С. 65-85.

103. В. V. Loginov, Yu.B. Rusak. Generalized Jordan structure in the problem of the stability of bifurcating solutions // Nonlinear analysis. TMA. — 1991. — Vol. 17, no. 3. Pp. 219-231.

104. В. А. Треногин. Функциональный анализ. — Москва: Наука, 1980. — 495 с.

105. Н.Х. Ибрагимов. Группы преобразований в математической физике. — Москва: Наука, 1983. — 280 с.

106. M.G. Агранович. Эллиптические операторы на замкнутых многообразиях // Современные проблемы математики. Фундаментальные направления.-- 1990. Т. 63. - С. 5-129.

107. М.А. Наймарк. Линейные дифференциальные операторы. — Москва: Наука, 1969.

108. А.Н. Андронов. Асимптотика разветвляющихся решений в случае четырехмерного вырождения оператора в задаче о капиллярно-гравитационных волнах на поверхности глубокой жидкости // Труды СВМО. — 2007. Т. 9, № 2. - С. 9-14.

109. А.Н. Андронов. О порядках вырождения линеаризованного оператора в задаче о капиллярно-гравитационных волнах на поверхности глубокой жидкости // Труды математического центра им. Н.И. Лобачевского. —2007. Т. 36. - С. 16-18.

110. А.Н. Андронов, Б.В. Логинов. Капиллярно-гравитационные волны на поверхности глубокой жидкости // Задачи со свободными границами: теория, эксперимент и приложения: тез. докл. 3-й Всерос. конф. —2008.-С. 11.

111. A.N. Andronov, L.R. Kim-Tyan, B.V. Loginov. Bifurcation and stability in the problem on capillary-gravity on a surface of floating deep fluid layer // ROMAI J. 2008. - Vol. 4(2). - Pp. 7-28.

112. А.Н. Андронов. Об устойчивости разветвляющихся семейств решений задачи о капиллярно-гравитационных волнах в глубоком пространственном слое флотирующей жидкости // Вестник Самарского государственного университета. — 2009. — Т. 2(68). — С. 10-26.