Применение нелокальных операторов для исследования обыкновенных дифференциальных уравнений тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Павлюков, Константин Владимирович

• Павлюков, Константин Владимирович
• кандидат физико-математических наук
• 1998

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Павлюков, Константин Владимирович

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ. 4 ГЛАВА 1. НЕЛОКАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ, ДОПУСКАМЫЕ

ОДУ ПЕРВОГО ПОРЯДКА

§ 1. Каноническая и ультраканоническая формы ЭНО

§ 2. ЭНО, допускаемые ОДУ 1-го порядка

§ 3. Примеры применения ЭНО для ОДУ. 33 § 4. Способ нахождения конечных нелокальных

преобразований

§5. Обсуждение результатов. 39 ГЛАВА 2. ИССЛЕДОВАНИЕ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ОДУ

ВТОРОГО ПОРЯДКА, ДОПУСКАЮЩЕГО ЭНО

§ 1. Необходимые определения и пояснения. 41 § 2. Некоторые частные случаи решения определяющей системы

(2.1.1) и обратной задачи

§ 3. Упрощение определяющей системы (2.1.1). 51 § 4. Построение алгоритма решения определяющей системы

(2.1.1) при 54 § 5. Группа эквивалентности и симметрии определяющей системы (2.1.1). 62 § 6. Обсуждение результатов. 69 ГЛАВА 3. ТЕОРЕМЫ О ФАКТОРИЗАЦИИ И СИНТЕЗ УРАВНЕНИЙ. 70 § 1. Необходимые определения. 70 § 2. Теоремы о факторизации. 71 § 3. Примеры синтеза уравнений с заданными свойствами. 77 § 4. Обсуждение результатов

ЗАКЛЮЧЕНИЕ. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ПРИЛОЖЕНИЕ 1. ПРИЛОЖЕНИЕ 2.

84 87 92

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Применение нелокальных операторов для исследования обыкновенных дифференциальных уравнений»

ВВЕДЕНИЕ

В данной работе представлены результаты поиска альтернативных методов исследования обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) для получения дополнительной (например, симметрийной) информации о решениях ОДУ и, в некоторых случаях, общего решения ОДУ в аналитическом виде. Здесь так же рассматривается вопрос о возможности сведения ОДУ к системе специального вида, синтеза ОДУ с заданными свойствами, а также изучается проблема решения обратной задачи для ОДУ 2-го порядка, допускающего ЭНО.

Проблема нахождения аналитического вида решений ОДУ возникла вместе с появлением ОДУ в математических теориях и приложениях. Поисками конструктивных методов точных решений занимались многие математики 18 и 19 веков. В начале 20 века задача о поиске аналитического вида решений ОДУ отступила на второй план, уступив место развивающимся качественным методам теории дифференциальных уравнений. Последующее появление ЭВМ позволило весьма эффективно использовать трудоёмкие численные алгоритмы. Успешная реализация численных методов повлекла дальнейший отход от классической постановки задачи. Тем не менее, примерно с середины нашего века стал возрождаться интерес к методам теории поиска решений дифференциальных уравнений в аналитическом виде (задача о нахождении аналитического вида решений ОДУ даже послужила толчком для возникновения и развития некоторых современных направлений математического анализа), в частности, к теории Ли, группам Ли-Беклунда. В настоящее время вновь стал актуальным вопрос об отыскании аналитического вида решений дифференциальных уравнений, причём интерес к решению именно этой проблемы возник среди широких кругов специалистов самого раз-

личного профиля из-за актуальности задач, появившихся в приложениях. Примерами таких важных задач могут являться: поиск нечисловой информации о решении (например, симметрии), поиск решений с определёнными априорными свойствами, построение модельных уравнений и решение обратных задач (задач моделирования) по известному классу решений.

Решение поставленных задач зачастую позволяет снизить трудоёмкость и энергоёмкость машинных алгоритмов. Сокращение времени машинного счёта может быть достигнуто путём максимального использования информации, заключённой в исходном уравнении, и путём выбора в качестве модельного такого уравнения, которое было бы структурно близко к исходному и интегрировалось бы в квадратурах.

Интерес к симметрийным методам исследования связан с тем, что симметрия присуща всем объектам и явлениям. Многообразие её форм даёт возможность применять симметрийный принцип в различных научных направлениях, в том числе и в теории дифференциальных уравнений. Использование симметрийного подхода позволяет получать качественно новую информацию о дифференциальных уравнениях.

Суммируя всё вышеизложенное, можно сказать, что рост потребностей ряда прикладных наук, а также необходимость поиска эффективных и экономичных алгоритмов для ЭВМ привели к возникновению нового класса задач теории ОДУ - задач группового анализа и групповой классификации.

Настоящая работа содержит результаты исследований в одной из наименее изученных областей современного группового анализа. Исторически так сложилось, что наиболее широкое применение в групповом анализе получили точечные однопараметрические группы Ли преобразований. Расширение понятия точечных однопараметрических групп

преобразований приводит к касательным или контактным группам преобразований. Возможность применения касательных симметрий для интегрирования ОДУ показана, например, в [29]. Использование касательных преобразований для интегрирования ОДУ первого порядка (также как и классический алгоритм группового анализа) является неэффективным.

В настоящее время успешно развивается теория групп преобразований Ли-Беклунда. Применение их к исследованию обыкновенных дифференциальных уравнений описано в [29, 30]. В частности, при помощи групп Ли-Беклунда (метод отображений) интегрируются некоторые классы ОДУ первого порядка, для которых классические методы интегрирования остаются бессильными.

Кроме точечных, касательных групп, групп Ли-Беклунда существует ещё класс преобразований, называемых нелокальными. В нелокальные преобразования входят, наряду с переменными из обычного продолженного пространства (х, у, у', у", ...) , нелокальные переменные, не представимые в виде конечных целых положительных степеней оператора полной производной В*(}>). Нелокальные переменные могут быть представлены бесконечными рядами по степеням Г)х (у), однако более удобно представление через интегральные переменные. В частности, в класс нелокальных входят преобразования, характеризуемые экспоненциальными нелокальными операторами.

Определение 1. Преобразование вида

У = /{х^у'У,...^,^ (х,у,у',...,у(к) )ск),

х = ф,у,у',у",.,у(к\!ь2 (лу,у',-,у(к) называется нелокальным преобразованием.

Поясним теперь, что будем понимать под экспоненциальным нелокальным оператором (ЭНО), но для этого необходимо сначала обратиться к основным определениям классического группового анализа.

Приведенные ниже основные обозначения и определения соответствуют принятым в [36]. Пусть X , Y, Z . П a Z банаховы пространства, А - интервал в R, симметричный относительно нуля, V с Z -открытое множество, банахово пространство.

Определение 2. Пусть Z = XxY и Х={х], Y= {у} , V с Z -открытое множество. Отображение h : V х А —> Z называется однопа-раметрическим семейством локальных преобразований пространства Z, если для каждого а е. А частное отображение

ha : V —> Z

является преобразованием открытого множества V. Отображение h при этом задаётся формулами вида:

x=f(x, у, а), у = g(x, у, а\

и обозначается как h (/, g).

Иными словами, отображение h, действующее в плоскости (X У) и зависящее от вещественного параметра а , называется однопарамет-рическим семейством локальных преобразований, если при любом значении параметра а отображение h является преобразованием плоскости (я, у).

Определение 3. Локальной однопараметрической группой Ли локальных (точечных) преобразований пространства Z называется такое однопараметрическое семейство локальных преобразований h : V X Л —> Z, которое обладает следующими свойствами:

1. Для любых х, у е V выполняется /

j=0~x> S\a=Q-y-

2. Для любых a, b, а + b е. А , х, у е V выполняется

Д/(Л У, а\ ё(х, у, а), Ь) =/(*, у,а + Ь), % (/(х, у, а), ^х, у, а), b)=g (х, у, а + Ь).

3. Если а е. А и /(х, у, а) = х , g (х, у, а)=у для всех х, у е V, то а = 0.

4. /г е Со0(Ух А).

В таком случае говорят [36], что отображение // задаёт группу.

Действие однопараметрической группы Ли точечных преобразований определяется согласно следующему общему определению действия группы на некотором множестве.

Пусть М - множество. Преобразованием множества М называется взаимно однозначное отображение М на М. Совокупность т(М) всех преобразований множества М образуют группу, в которой роль групповой операции играет композиция отображений, а роль „единицы" - тождественное преобразование. Группа т(М) называется группой преобразований множества М.

Пусть О - группа. Представлением группы О в т(М) называется групповой гомоморфизм п : О —> т(М). Это означает, что для каждого элемента gEG образ к есть преобразование множества М и для любых , g2^■G справедливо равенство

Образ ж (О) группы в есть подгруппа группы т(М), которая также называется представлением группы О в виде группы преобразований множества М.

Отображение (х, g) —> п произведения М х О в множество М называется действием группы О на множестве М.

Согласно [36], порождающее группу Ли отображение

И : Ух А —^

можно назвать также локальным действием аддитивной группы действительных чисел на пространстве X. При этом группа Ли может рассматриваться как представление /?(Д) с т(Ж), элементами которого являются локальные преобразования Иа : V —> Z пространства Ж.

Действие однопараметрических точечных групп Ли будут рассматриваться нами на многообразиях.

Определение 4. Пусть со : Н —> 7 - отображение класса Сж (Н),

взаимно однозначно отображающее Н на ш(Я). Образ О = со(Н) с / называется многообразием в пространстве /.

Определение 5. Пусть О - многообразие. Преобразованием многообразия П будем называть взаимно однозначное отображение П на П. Совокупность т(П) всех преобразований многообразия П образуют группу, называемую группой преобразований многообразия П.

Определение 6. Пусть к : ¥х А —> Z есть отображение, порождающее локальную однопараметрическую группу Ли точечных преобразований с касательным векторным полем (^(х,у), т|(где -

компонента этого вектора в X, а г\ - его компонента в Г. Рассматриваются значения дифференцируемого отображения Р : (х, у) —» К. Линейный дифференциальный оператор

X = Е>(х,у)дх+ц(х,у)ду,

действующий на отображение F по формуле

Хт = ^х,у)Рх+Ц{х,у)Ру,

называется инфинитезимальным оператором группы Ли точечных преобразований.

Если инфинитезимальный оператор считать определённым с точностью до произвольного числового множителя, то, по теореме Ли, су-

ществует взаимно однозначное соответствие между группами Ли и их операторами.

Определение 7. Рассматриваются отображения F : Z —> Н и предполагается, что группа Ли точечных преобразований действует на II тривиально (тождественное преобразование). Отображение F есть инвариант однопараметрической группы Ли точечных преобразований, порождённой отображением h (/, g): Fx А —> Z, если для любых (х, у, а) е. Z х А выполнено равенство

F{f{x, у, a), g(x, у, а)) = F(x, у).

Известно (например, [36]) следующее необходимое и достаточное условие.

Отображение F: Z —> Н класса С\{х, у) является инвариантом локальной однопараметрической группы Ли точечных преобразований с касательным векторным полем л(л%>0) если и только если для

любых допустимых х, у выполняется равенство

i(x,y)Fx+r](x,y)Fy=0.

Пусть размерность пространства II не превосходит размерности пространства Z. Для любого непрерывно дифференцируемого отображения 14/: Z —> Н вводится понятие ранга этого отображения на открытом множестве V с Z. С этой целью рассматривается производная у) , которая есть линейное отображение Z —► Н. Ранг матрицы

у)) этого линейного отображения называется рангом отображения ц/ в точке (х, у) . Говорят, что отображение цг имеет ранг на множестве V, если его ранг один и тот же во всех точках этого множества.

Как известно из дифференциальной геометрии, всякое отображение V—> Н класса Сл (V), имеющее ранг на V и такое, что i|/(x0, у0) =

0 для некоторой (х0, у0) е V, задаёт (локально, в окрестности точки (дсо, >>о)) некоторое многообразие как множество тех точек (х, у) е

V, для которых выполнено равенство 1|/(х, у) = 0. Это равенство называется уравнением многообразия Многообразие ¥ называется регулярно заданным многообразием, если ранг отображения ц/ на V равен размерности пространства И.

Определение 8. Многообразие ¥ инвариантно относительно группы Ли точечных преобразований, порождённой отображением к (/, g), если для любых х, у е , аеК будет

Ч; (А*, У, а), £(Л У, а)) = 0 .

Для многообразий, регулярно заданных уравнением .у) = 0, существует следующее необходимое и достаточное условие инвариантности.

Пусть Z - банахово пространство переменных (х, у) (то есть плоскость (х, у)). Многообразие ¥ с Z, регулярно заданное уравнением 1|/(л:, у) = 0, инвариантно относительно однопараметрической группы Ли точечных преобразований с касательным векторным полем (^(х, у), т](х, у)) , если и только если выполнено равенство

у) у* + т)(х, у) = 0 , где Е,(х,у)дх + г](х,у)ду - оператор группы, а знак заменяет слова

„на многообразии и означает, что равенство выполнено для х, у е 1Р.

Приведенные выше определения формируют своего рода язык, с помощью которого удобно рассматривать и изучать объекты группового анализа и, в частности, определять изложенные далее основные понятия.

Определение 9. Банахово пространство Уь, образованное производными до к-то порядка отображения и \ X —> У класса Сж (X), называется к-м продолжением пространства У с помощью X.

Пусть / = 1хГ. Пространство Zl = Z х ^ называется первым продолжением пространства ^ Продолжения высших порядков определяются индуктивно: Z* Z* _ ! х Ук (к = 2 , 3 , ...). Пространство 2ц называется к-м продолжением пространства Z. Так, в нашем, плоском случае, = (х,у,у',у", ..., >>(А)).

Определение 10. Каждое отображение и : X —> Г класса (X), действующее по формуле у = и (х), продолжается до отображения X —> Уи . Это продолжение осуществляется с помощью операторов дифференцирования дх и задаётся производными

действующими по формуле

уЮ=дх11(х) (к= 1,2,...).

Тем самым каждое отображение и : X —> У продолжается до

отображения и: X —» , где и - продолженное отображение, дейк к

ствующее по формуле

и{х) = (х, и (х), дхи{х), ..., дх (х)) (к = 0,1,2, ...).

В частности, и (х) = (х, и (х)) есть „нулевое продолжение" отображения

и : X —> У до отображения и: X —»Z.

На основе определения продолженного отображения вводятся определения продолженного преобразования, которое используется для определения понятия продолженной группы. Так как в данной работе действия продолженных групп не рассматриваются, а исследование посвящено операторам групп, то и нет смысла приводить здесь определение продолженной группы.

Определение 11. Пусть задана однопараметрическая группа Ли точечных преобразований с касательным векторным полем (£(*,у),

г)(д;,у)) и, соответственно, с инфинитезимальным оператором

X = Цх,у)дх+л\(х,у)д у.

Оператор продолженной к раз группы имеет вид

= % +11 ду +^ду, +^2ду„ + ... +£кду<»

где С,3 (5 = 1 , ..., к) - компоненты соответствующего касательного вектора (принадлежащего, кстати, пространству ) в продолженном пространстве Уь , и находятся эти компоненты по известным [28, 36] формулам продолжения координат инфинитезимального оператора. С помощью этих формул можно по известным и т| построить любое

продолжение оператора группы. Оператор X называется продолжен-

(к)

ным оператором или к-м продолжением оператора исходной (не продолженной) группы Ли.

Определение 12. Инварианты продолженной к раз однопарамет-рической группы Ли точечных преобразований называются дифференциальными инвариантами группы. Они представляют собой отображение Г: —>И. В рассматриваемом случае инвариант продолженной к раз однопараметрической группы Ли точечных преобразований, фактически зависящий от у^к\ называется дифференциальным инвариантом порядка к однопараметрической группы Ли точечных преобразований. В этом смысле инвариант группы Ли суть её дифференциальный инвариант нулевого порядка.

В силу упомянутого выше критерия инвариантности все дифференциальные инварианты группы Ли порядка не выше чем к являются решениями дифференциального уравнения

хтх,у,у\у", ... = о,

ск)

в котором X есть продолженный оператор.

(к)

В групповом анализе уравнения часто приходится рассматривать как некоторые дифференциальные многообразия, инвариантные относительно данного оператора (или, что тоже самое, группы), поэтому поясним, что называется дифференциальным инвариантным многообразием.

Определение 13. Если многообразие ? с/ь заданное с помощью некоторого отображения ц/: —>Н уравнением вида

1К*,у,у', ...,у(к)) - О,

является инвариантным многообразием продолженной к раз однопара-метрической группы Ли точечных преобразований, то ¥ называется также дифференциальным инвариантным многообразием.

Для целей группового анализа оказывается удобной и существенной трактовка дифференциального уравнения как многообразия в продолженном пространстве. Геометрический язык позволяет вполне естественно определить понятие инвариантности дифференциального уравнения относительно группы преобразований и использовать инфините-зимальный критерий инвариантности. По предложению С. Ли, говорят, что дифференциальное уравнение допускает группу (или оператор), если это уравнение есть инвариантное многообразие надлежаще продолженной группы. Одной из задач группового анализа является проблема отыскания и изучения совокупности всех однопараметрических групп Ли преобразований (не обязательно точечных), допускаемых данным дифференциальным уравнением. Эта задача даёт замечательный пример того, что при инфинитезимальном переходе (то есть при использовании оператора вместо самой группы) происходит линеаризация задачи. Условие инвариантности дифференциального уравнения приводит к сис-

теме линейных и однородных дифференциальных уравнений, в которых искомыми являются координаты допускаемого оператора, - системе определяющих уравнений. Здесь действует чёткий и хорошо апробированный алгоритм перехода от одного дифференциального уравнения к системе дифференциальных уравнений.

Определение 14. Пусть Z = XxY (то есть Z = (х, у)) и Zk - к-е продолжение пространства. Уравнение вида

е(|) = О

или, что то же самое s(х,у,у\ ... ) = 0, образованное с помощью

некоторого отображения с: Zk —> Zk, называется дифференциальным уравнением. В дальнейшем будем обозначать это уравнение символом Е.

С геометрической точки зрения приведенными выше уравнениями задаётся некоторое многообразие в продолженном пространстве Zk.

Предполагается, что отображение с принадлежит классу (Z), а многообразие Е задано регулярно.

Теперь можно дать определения понятий, используемых на протяжении всей работы.

Пусть даны множество - продолженное пространство Zk , его

подмножество - дифференциальное уравнение вида s(z) = 0 , рассмат-

к

риваемое как многообразие из Е е. Zk и преобразование Т <е т(М). Говорят, что уравнение Е инвариантно относительно Т, если Т(Е) = Е . Очевидно, что совокупность всех преобразований Т, относительно которых инвариантно данное подмножество Е, образует подгруппу группы r(Zk).

Определение 15.

A). Дифференциальное уравнение вида Е допускает преобразование к пространства Z, если многообразие Е с инвариантно относительного продолженного преобразования Ь пространства Z;í , а

к

само преобразование называется допускаемым уравнением Е.

Б). Если уравнение вида Е допускает любое преобразование некоторой однопараметрической группы Ли преобразований, то говорят, что Е допускает эту группу, а сама группа называется допускаемой уравнением Е.

B). Если уравнение вида Е допускает группу Ли, характеризуемую её оператором X, то говорят, что Е допускает оператор, а сам оператор называется допускаемым уравнением Е.

В этих терминах классическая задача группового анализа звучит следующим образом: найти все однопараметрические группы Ли локальных (точечных) преобразований пространства Z , допускаемые данным уравнением Е. Равносильная формулировка: найти все операторы X, допускаемые данным уравнением Е.

В дальнейшем (на протяжении всей работы) задача об отыскании всех групп Ли, допускаемых уравнением, рассматривается в предположении, что для отображения с, задающего многообразие Е уравнением г{г) = 0 , выполнено указанное выше условие. к

В этом случае критерий инвариантности многообразия относительно группы с оператором X выглядит так: уравнение Е = О

к

допускает однопараметрическую группу Ли локальных (точечных) преобразований с оператором X, если и только если выполнено условие инвариантности

ХШх,у,у',у",...УкЦЕ=0.

(А)

Решение задачи о нахождении всех допускаемых уравнением операторов состоит в том, что условие инвариантности рассматривается как уравнение относительно неизвестного векторного поля X. Структура этого уравнения зависит только от заданного уравнения Е и полностью определена алгоритмом его построения.

Процесс формирования условия инвариантности состоит из трёх

этапов.

1. Задаётся общий вид оператора X, то есть компонент вектора (£,, г|). При этом важно, что этот вектор является отображением 2 —► Z, то есть компоненты Н, , т| зависят только от переменных (х ,у)е1х У. После этого по формулам продолжения вычисляются координаты ...,

£ к продолженного оператора X .

(к)

2. Полученным оператором действуют на отображение е, которое обычно бывает задано с помощью аналитического выражения его координат через координаты вектора (х,у,у',у", ... ,у(к)). Так как

оператор X является скалярным дифференциальным оператором, то

(к)

им можно действовать на каждую из координат вектора е в отдельности. В результате получается новое отображение X [е]: Z¿ —» Хъ -1 ,

(к)

причём образ X [е(г) ] состоит из функций Zfc —> ZA:.1.

(*) к

3. Переход на многообразие Е . При переходе на многообразие Е выбирается такая координата вектора {у1, у", ... , у(кг) , что относительно неё уравнение Е может быть решено „алгебраически". Это требование всегда выполнимо в силу наложенного на е условия. В результате такой операции „зависимая" переменная будет выражена через ос-

тальные, „свободные" переменные - координаты вектора (у', у", ..., у(,с^). После этого полученное выражение подставляется в найденную

на этапе 2 функцию X ] и результат приравнивается нулю.

(к) к

4. Следующим этапом формирования условия инвариантности является этап расщепления полученного на предыдущем этапе уравнения относительно „свободных" координат вектора (у', у", ... , у^). С этой целью учитывается, что левая часть полученного уравнения является функцией независимых переменных х и у и их производных. Поэтому условие инвариантности расщепляется и порождает последовательность уравнений, которые будут называться определяющими уравнениями и рассматриваться как уравнения относительно искомого векторного поля (или оператора). Основное свойство определяющих уравнений вытекает из условия инвариантности: какова бы ни была группа Ли преобразований, допускаемая уравнением Е , её касательное векторное поле удовлетворяет определяющим уравнениям; обратно, каждое решение 7. —> Ж класса Ст (Ж) определяющих уравнений есть такое векторное поле, с которым соответствующая группа допускается уравнением Е.

Определяющие уравнения представляют собой систему дифференциальных уравнений для искомого векторного поля. В силу её происхождения эта система уравнений обладает рядом свойств, благодаря которым она становится самостоятельным объектом исследования.

Одно из её важных свойств заключается в том, что все её уравнения линейны и однородны относительно координат искомого оператора. Отсюда следует, что множество решений определяющих уравнений образует векторное пространство.

Теперь на основе определенного инфинитезимального оператора точечных преобразований можно ввести понятие ЭНО.

Определение 16. Рассмотрим оператор группы точечных преобразований X = Ъ{х,у)дх + г\(х,у)д . Умножим обе координаты этого

^[ехр|С(х,у,у', ... = ... ... ,

(то есть | С,ск - полный, в отличии от частного интеграла - по одной из переменных) и получим оператор вида

определить который можно точно также, как и оператор группы точечных преобразований. (При этом предполагается, что выражение под интегралом не представляет собой полный дифференциал.) Естественно, полученный оператор является (как и точечный) линейным дифференциальным, действующим на множестве отображений по формуле, аналогичной для точечного оператора. Отличие от точечного состоит в том, что действие этого оператора определено не на плоскости (лг, у) , а в продолженном пространстве (х,у,у',у", ... ,у(к)). Полученный оператор (1) называется экспоненциальным нелокальным оператором (ЭНО). Для него верны те же формулы продолжения, что и для точечного оператора. Основные определения, приведенные выше для точечных операторов, автоматически распространяются и на ЭНО. Величину |С,ск мы считаем нелокальной переменной в указанном выше смысле.

оператора на ехр^С,(х,у,у',у", ...,у^ )ск , где

(1)

Существенным отличием ЭНО от локальных операторов является то, что определяющая система не будет линейной, и в силу этого, её решения не образуют алгебру в общем случае.

Замечание. На самом деле под ЭНО следует понимать оператор

вида

X = ехр0С,(х,у,у', ... ,у{к))сЬ^{х,у,у\ ... )дх + ц(х,у,у\ ... ,

у™У>у],

ехр¡%х,у,у', ... = ...,у^ ^ехр|С(х,у,у... ,

у(к) уЬ

где

но в данной работе предпочтение в исследовании отдано ЭНО вида (1). Поэтому, не умаляя общности, везде под ЭНО будем понимать операторы вида (1).

Стоит отметить, что если рассматривать действие ЭНО на многообразии решений ОДУ у^ = Г(х,у,у', ... , где п < к , то все производные у по х порядка выше (п - 1) заменяются на соответствующие производные правой части уравнения Т7 по х . И поэтому подынтегральная функция £ в ЭНО может зависеть максимум от пред-

старшей производной у в уравнении, то есть . Всё, что касается

замены старших производных у в операторе с помощью правой части уравнения, относится и к координатам \ и г\ ЭНО общего вида.

Во введении приведены только основные определения, то есть определения понятий, используемых на протяжении всей работы. Частные определения вводятся по мере их появления в главах.

Актуальность темы. Чтобы перейти к обоснованию актуальности данного исследования, обрисуем вкратце задачи современного груп-

пового анализа и сложившуюся в нём ситуацию по проблеме эффективного применения ЭНО для ОДУ.

Задачи групповой классификации дифференциальных уравнений рассматривались ещё Софусом Ли (конец XIX века). Одним из впечатляющих достижений основоположника классического группового анализа явилось открытие, показавшее, что почти все известные частные методы интегрирования ОДУ, казавшиеся искусственными и лишёнными внутренней связи, могут быть выведены единообразно при помощи теории групп. Современный групповой анализ, так же как и классический, служит для описания свойств дифференциальных уравнений при помощи допускаемых групп преобразований. Он даёт практические методы понижения порядка или полного интегрирования ОДУ и построения отдельных классов точных решений линейных и нелинейных уравнений математической физики.

В настоящее время в математике и её приложениях широко используют аппарат группового анализа. Самыми распространёнными задачами современного группового анализа дифференциальных уравнений являются следующие четыре, приведенные в [12, 13].

1. Изучение действия допускаемой данным уравнением (системой уравнений) группы на дифференциальном многообразии решений данного уравнения. Иными словами, описание строения семейства всех решений, выделение определённых классов решений, отыскание которых, возможно, проще по сравнению с общим решением, производство решений из уже известных и т. д.

2. Отыскание наиболее широкой группы, допускаемой данным дифференциальным уравнением (системой дифференциальных уравнений).

3. Групповая классификация дифференциальных уравнений.

4. Преобразования данного дифференциального уравнения. Если известна допускаемая группа, то можно с её помощью найти такие преобразования, чтобы преобразованное уравнение имело по возможности наиболее простую и удобную структуру для отыскания конкретных решений.

Данная работа построена с учётом этих четырёх актуальных задач. В работе показано, какую информацию могут дать допускаемые уравнениями ЭНО в свете поставленных выше вопросов. На актуальность поставленной темы указывает и то, что с момента появления ЭНО в научной литературе им уделялось незаслуженно мало внимания, так как их эффективное применение ставилось под большое сомнение, и только сравнительно недавно появились работы с положительными выводами об использовании ЭНО для ОДУ.

В известной работе Н.Х.Ибрагимова „Опыт группового анализа" [31] на примере поясняется, в результате какой процедуры возникают ЭНО (Ибрагимов называет её „неправильным понижением порядка") и кратко обсуждаются их свойства. В монографии П.Олвера [37] имеются конструктивные идеи по использованию ЭНО для понижения порядка, интегрирования дифференциальных уравнений и ряд интересных, но спорных утверждений, некоторые из которых оказались неверными. Дальнейшее своё развитие теория ЭНО получила в работах В.Ф.Зайцева [16, 17, 20, 21, 22, 23].

Следует отметить, что Ибрагимов и Олвер нигде не отмечали возможности эффективного использования ЭНО в групповом анализе. Так, например, Ибрагимов [31] назвал неудачной попытку понижения порядка, приведшую к появлению ЭНО. Олвер же высказал опрометчивую идею о том, что с ЭНО можно обращаться так же, как и с точечны-

ми операторами. Дальнейшие работы В.Ф.Зайцева в этой области показали, что ЭНО можно весьма результативно применять для исследования ОДУ, которые не интегрируются классическими и известными симмет-рийными способами. Хотя в настоящее время теория ЭНО не создана, тем не менее, указана возможность (доказано несколько теорем) их эффективного использования для интегрирования ОДУ.

Говоря об актуальности изучения ЭНО, необходимо сказать о следующем очень важном моменте. Существуют уравнения, которые интегрируются, но под классификацию теории Ли не подпадают - это те классы уравнений, к которым не применимы классические способы интегрирования и способы интегрирования, прогнозируемые теорией Ли (групповым анализом). Техника поиска первых интегралов и симметрий более высокого порядка тоже не приводит к интегрированию таких уравнений.

В соответствии с общим симметрийным принципом интегрируемости [12, 13], эти уравнения должны обладать некоторыми неклассическими (не точечные Ли и не Ли-Беклунда) симметриями, содержащими информацию об интегрируемости данного уравнения или класса уравнений. И это делает актуальным исследование неклассических симметрий, например, нелокальных. К исследованию вопроса о применимости неклассических симметрий можно подойти, начав с исследования нелокальных операторов.

Всё вышеизложенное полностью согласуется с рядом фактов, выясненном при изучении отображений некоторых классов. Так, например, если отображение, порождённое преобразованием, понижает порядок уравнения, то некоторые симметрии в процессе этого могут „исчезнуть", так как старые переменные локально не представимы через новые. Исследование „скрытых" симметрий также приводит к понятию нелокаль-

ных симметрий [2, 31]. Иными словами, в случае „потери" симметрий на самом деле симметрия не теряется, а становится „скрытой" и в ряде случаев - неклассической. И актуальность изучения именно нелокальных симметрий состоит в возможности применения их к решению вопроса об интегрируемости конкретного ОДУ (или класса ОДУ), которое обладает нелокальной симметрией, и в то же время не обладает симметриями Ли или Ли-Беклунда.

Особый интерес вызывают нелинейные ОДУ, решение которых представимо через решение укороченного линейного или более простого нелинейного ОДУ. Попытки описания этого свойства на основе классических (локальных) симметрий потерпели неудачу. И, как оказалось, ответственными за это замечательное свойство оказались снова нелокальные симметрии.

Цели и задачи работы. Как уже говорилось, данное исследование проводилось в соответствии с задачами современного группового анализа. В связи с этим, целями работы являются следующие:

1. Определение связи между наличием допускаемого ЭНО и специальными свойствами уравнения, интегрируемостью, возможностью понижения порядка.

2. Изучение условий факторизации уравнений, допускающих ЭНО.

3. Проведение аналогии с теорией точечных операторов Ли.

Можно сказать, что целью работы является изучение возможностей конструктивного использования ЭНО для исследования ОДУ, а также построение алгоритмов их эффективного применения для получения информации об интегрируемости, симметриях уравнения. Кроме того, интерес представляет вопрос о том, как связаны между собой ЭНО, допускающее его уравнение и соответствующие конечные преобразова-

ния. Под этим и подразумевается аналогия с теорией точечных операторов Ли.

В настоящей работе поставлены следующие задачи:

1. Доказательство основных теорем о необходимых и достаточных условиях существования допускаемого ЭНО для ОДУ первого и высших порядков.

2. Разработка алгоритмов решения прямой (поиск допускаемого ЭНО для уравнений старших порядков) и обратной (поиск уравнения второго порядка, допускающего ЭНО) задач группового анализа.

3. Доказательство основных теорем о факторизации и синтез уравнений, обладающих специальными свойствами.

Резюмируя вышеизложенное, заметим, что в настоящее время в современном групповом анализе появился принципиальный интерес к нелокальным операторам, и возникла необходимость пересмотреть взгляды на сущность процедуры понижения порядка уравнения с помощью допускаемого оператора. Работа носит в основном поисковый, исследовательский характер, хотя некоторые результаты, особенно третьей главы (факторизация и синтез уравнений), могут быть использованы в разнообразных приложениях. Цели и задачи работы не предполагают построение развёрнутой теории ЭНО, как в случае точечных операторов, и поэтому многие вопросы, связанные с природой ЭНО, к сожалению, остались незатронутыми, т.к. основной акцент делался именно на использование ЭНО.

Апробация работы. Основные материалы данной работы докладывались и обсуждались:

- на семинарах по современному групповому анализу (Санкт-Петербург, 1995-1997);

- на ежегодных Герценовских чтениях, Санкт-Петербург, 1995-1997;

- на Первой международной научно-практической конференции „Дифференциальные уравнения и применения" (Санкт-Петербург, 1996);

- на заседании кафедры математического анализа РГПУ им. А.И.Герцена (Санкт-Петербург, 1997);

- на семинаре кафедры вычислительной математики Ростовского Гос. Ун-та, 1997.

По теме диссертации сделано пять докладов. Публикации. По теме диссертации имеется семь публикаций [21]-[23], [39]-[42]. В публикациях [21]-[23], сделанных в соавторстве, научному руководителю (соавтору) принадлежат постановки задач.

Заключение диссертации по теме «Дифференциальные уравнения», Павлюков, Константин Владимирович

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Результаты, полученные в настоящей работе, следует рассматривать как необходимые элементы строящейся теории ЭНО и их применения для ОДУ. В рассмотрении всех вопросов приоритетными направлениями являлись построение алгоритма решения обратной задачи группового анализа для ОДУ 2-го порядка, допускающего ЭНО, изучение условий факторизации ОДУ к системе специального вида, допускающих ЭНО.

Результаты, приведённые в главе 1, позволяют утверждать, что для любого ОДУ 1-го порядка можно найти допускаемый ЭНО. Здесь также показано, что допускаемый уравнением 1-го порядка ЭНО даёт информацию, может ли данное уравнение быть проинтегрировано известными нечисловыми методами. В конце главы подчёркивается особенность применения ЭНО: с ними нельзя обращаться, как с точечными, но в то же время их можно использовать для интегрирования ОДУ. В конце главы на основе допускаемых ЭНО получены конечные нелокальные преобразования с „нелокальностью" того же вида, что и в соответствующем операторе.

Результаты второй главы представляют собой способ рассмотрения определяющих систем с нелинейными уравнениями в частных производных высших порядков для решения обратных задач. В качестве примера рассмотрена определяющая система для ОДУ 2-го порядка, допускающего ЭНО. В данном случае сначала было найдено преобразование инвариантности, переводящее систему „в себя". В результате этого оказалось, что решение системы может идти лишь по одному из трёх путей в зависимости от вида координаты оператора Е, , причём вид определяющей системы в каждом из этих случаев существенно проще исходной, то есть первые шаги алгоритма решения определяющей системы состоят в её упрощении с помощью найденного преобразования инвариантности. После этого, благодаря особенностям системы, её рассмотрение удаётся свести к рассмотрению одного нелинейного уравнения с частными производными третьего порядка. Далее, для этого уравнения проводится групповой анализ - ищутся точечные операторы. Затем с помощью найденных групп делается автомодельная замена, в результате чего решение системы сводится к изучению ОДУ на порядок выше, чем максимальный порядок уравнений системы. Построенный алгоритм пригоден и для решения других систем, так как его три основные ступени - упрощение с помощью найденного инвариантного преобразования, сведение системы к одному уравнению (возможно, и к системе), которое преобразовывается в ОДУ с помощью автомодельной замены - выполнимы для большинства определяющих систем, встречающихся в групповом анализе.

Результаты третьей главы дают ещё один ответ на вопрос, как можно использовать ЭНО для ОДУ. Здесь вводится понятие факторизации уравнения, допускающего ЭНО, до системы специального вида и доказываются теоремы в которых говорится, как нужно осуществлять факторизацию. Теоремы сформулированы в виде необходимых и достаточных условий возможности факторизации уравнения, допускающего ЭНО. Показывается, что уравнения системы специального вида зависят от наличия производных высшего порядка в дифференциальном инварианте ЭНО. Теоремы о факторизации позволяют ещё и конструировать уравнения с заданными свойствами. Например, взяв в качестве одного из уравнений системы уравнение Ермакова, получаем итоговое уравнение достаточно сложного вида, обладающее при этом свойством уравнения Ермакова, допускающее

ЭНО всегда, а точечные симметрии лишь в редких случаях. При использовании теорем о факторизации весь вопрос упирается в поиск допускаемого ЭНО: чтобы факторизовать уравнение до системы специального вида, нужно знать допускаемый ЭНО; полученное из системы специального вида ОДУ допускает ЭНО, но найти этот оператор зачастую довольно сложно. Таким образом, проблема факторизации ОДУ тесно связана с проблемой решения обратной задачи.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Павлюков, Константин Владимирович, 1998 год

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Айне Э.Л. Обыкновенные дифференциальные уравнения. - Харьков, ОНТИ 1939.-719 с.

2. Ахатов И.Ш., Газизов Р.К, Ибрагимов Н.Х. Квазилокальные симметрю уравнений математической физики // Математическое моделирование. Не линейные уравнения математической физики. - М.: Наука, 1987 -70 с.

3. Ахатов И.Ш., Газизов Р.К, Ибрагимов Н.Х. Нелокальные симметрии. Эв ристический подход. „Современные проблемы математики. Новейшие дос тижения." Т. 34 (Итоги науки и техн. ВИНИТИ АН СССР). - М., 1989. - С 3-83.

4. Ахатов И.Ш., Газизов Р.К, Ибрагимов Н.Х. Основные типы инвариантны? уравнений одномерной газовой динамики. Препринт Ин. прикл. матем. им М.В.Келдыша АН СССР, 1988, № 49. - 20 с.

5. Байков В.А., Газизов Р.К, Ибрагимов Н.Х. Методы возмущений в групповом анализе. „Современные проблемы математики. Новейшие достижения." Т 34 (Итоги науки и техн. ВИНИТИ АН СССР). - М., 1989. - С. 85-147.

6. Байков В.А., Газизов Р.К, Ибрагимов Н.Х. Формальные симметрии и преобразования Беклунда. Препринт Ин. прикл. матем. им. М.В.Келдыша АН СССР, 1987, №226.-23 с.

7. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. - М.: Наука. Глав. ред. физ.-мат. лит., 1981. - 720 с.

8. Емельянова И.С. Проблема „симметрия - интегралы движения" в аналитической динамике. Монография. Н.Новгород. Изд-во ННГУ, 1992. - 171 с.

9. Ермаков В.П. Замена переменных, как способ разыскания интегрирующего множителя дифференциального уравнения и как средство для понижения

порядка системы дифференциальных уравнений. - Киев: Киевск. Унив. 1880-1881.

10. Еругин Н.П. Книга для чтения по общему курсу дифференциальных уравне ний: изд. 3-е, переработанное и дополненное. - Минск: Наука и техника 1979.-744 с.

11. Журавлёв В.Д., Климов Д.М. Прикладные методы в теории колебаний. - М. Наука, 1988. - 328 с.

12. Зайцев В.Ф. Введение в современный групповой анализ. Группы преобразований на плоскости. Учебное пособие к спецкурсу. 4.1. - СПб., 1996. - 40 с.

13. Зайцев В.Ф. Введение в современный групповой анализ. Уравнения первого порядка и допускаемые ими точечные группы. Учебное пособие в спецкурсу. 4.2. - СПб.,1996. - 40 с.

14. Зайцев В.Ф. Дискретно-групповой анализ обыкновенных дифференциальных уравнений // Дифференциальные уравнения, 1989, т.25, № 3, - С.379 -387.

15. Зайцев В.Ф. Дискретно-групповой анализ обыкновенных дифференциальных уравнений. - Л.: ЛГПИ, 1989. - 80 с.

16. Зайцев В.Ф. Нелокальные симметрии обыкновенных дифференциальных уравнений // Моделирование процессов управления и обработки информации. - М.-.МФТИ, 1994. - С.57-62.

17. Зайцев В.Ф. Обобщения и аналоги уравнения Ермакова // Моделирование процессов управления и обработки информации. - М., МФТИ, 1996, с. 170173.

18. Зайцев В.Ф. О Дискретно-групповом анализе обыкновенных дифференциальных уравнений // ДАН СССР, 1988, т.299, № 3. - С.542-545.

19. Зайцев В.Ф. Построение точной модели, обладающей некоторой точечной симметрией // Математическое моделирование, 1995, т.7, № 5. - С. 12-14.

20. Зайцев В.Ф., Ноздрунов В.В. О симметрийных исследованиях одной систе мы, описывающей динамику фазового перехода второго рода // Сборник на учных трудов. Т.5. - Орёл: ОрёлГПИ, 1994. - С.3-7.

21. Зайцев В.Ф., Павлюков К.В. К теории экспоненциальных нелокальных сим метрий дифференциальных уравнений // Сборник научных трудов. Т. 8. -Орёл: ОГТУ, 1996. - с. 38-43.

22. Зайцев В.Ф., Павлюков К.В. Нелокальные операторы и факторизация обыкновенных дифференциальных уравнений // Некоторые проблемы фундаментальной и прикладной математики, межведомственный сборник научны* трудов. - М.: МФТИ, 1997. - С. 64-72.

23. Зайцев В.Ф., Павлюков К.В. Теорема о факторизации и синтез дифференциальных уравнений./ Рос. гос. пед. ун-т им. А.И. Герцена, СПб., 1997 - 6с. -Рус. Деп. в ВИНИТИ. №3069 - В 97.

24. Зайцев В.Ф., Полянин А.Д. Справочник по дифференциальным уравнениям с частными производными: точные решения. - М.: Международная программа образования, 1996. - 496 с.

25. Зайцев В.Ф., Полянин А.Д. Справочник по нелинейным дифференциальным уравнениям: приложения в механике, точные решения. - М.: Наука, 1993. -464 с.

26. Зайцев В.Ф., Полянин А.Д. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям с частными производными: точные решения. - М.: Физ-матлит, 1995. - 560 с.

27. Зайцев В.Ф., Флегонтов А.В. Дискретно-групповые методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. - Л.: Изд-во ЛИИАН, 1991. -240 с.

28. Ибрагимов Н.Х. Азбука группового анализа. - М.: Знание, 1989. - 48 с.

29. Ибрагимов Н.Х. Групповой анализ обыкновенных дифференциальных ура внений и принцип инвариантности в математической физике // УМН РАН. 1992. - Т.47, вып.4 (286). - С. 83-144.

30. Ибрагимов Н.Х. Группы преобразований в математической физике. - М.: Наука, 1983.-280 с.

31. Ибрагимов Н.Х. Опыт группового анализа обыкновенных дифференциальных уравнений. - М.: Знание, 1991. - 48 с.

32. Камкэ Э. Справочник по дифференциальным уравнениям в частных производных первого порядка. - М.: Наука, 1966. - 260 с.

33. Камкэ Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям / Пер. с нем. Под ред. Н.Х.Розова: Изд. 5-е. - М.: Наука, 1976. - 576 с.

34. Куренский М.К. Дифференциальные уравнения, кн.1. - Л.: изд. Арт. Акад. РККА, 1933.-315 с.

35. Матвеев Н.М. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений: Изд. 3-е. - М.: Высшая школа, 1967. - 564 с.

36. Овсянников Л.В. Групповой анализ дифференциальных уравнений. - М.: Наука, 1978.-400 с.

37. Олвер П. Приложения групп Ли к дифференциальным уравнениям/Пер. с англ. Под ред. А.Б.Шабата. - М.: Мир., 1989. - 639 с.

38. Понтрягин Л.С. Непрерывные группы. - М.: Гостехиздат, 1954.

39. Павлюков К.В. Об алгоритме решения обратной задачи для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка, допускающего экспоненциальный нелокальный оператор./ Рос. гос. пед. ун-т им. А.И. Герцена, СПб., 1997 - 6с. - Рус. Деп. в ВИНИТИ. №3071 - В 97.

40. Павлюков К.В. Об инвариантном преобразовании определяющей системы // Тезисы 1-ой Международной научно-практической конференции „Дифференциальные уравнения и применения". - СПб.: СПбГТУ, 1996. - С. 163.

41. Пав люков К.В. Об упрощении определяющей системы для поиска экспоненциальных нелокальных операторов, допускаемых обыкновенными дифференциальными уравнениями второго порядка./ Рос. гос. пед. ун-т им. А.И. Герцена, СПб., 1997 - 4с. - Рус. Деп. в ВИНИТИ. №3070 - В 97.

42. Пав люков К.В. О симметриях определяющей системы для экспоненциального нелокального оператора, допускаемого обыкновенным дифференциальным уравнением второго порядка./ Рос. гос. пед. ун-т им. А.И. Герцена, СПб., 1997 - 4с. - Рус. Деп. в ВИНИТИ. №3068 - В 97.

43. Свинолупов С.И., Соколов В.В. Факторизация эволюционных уравнений // Успехи мат. наук. Т. 47 вып. 3 (285), 1992. С. 116-146.

44. Соколов В.В. Псевдосимметрия и дифференциальные подстановки // Функциональный анализ и его приложения, 1988, т. 22, вып. 2, с. 47-56.

45. Синцов Д.М. Интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений. - Харьков, 1913. - 388.

46. Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений. - М.: Гостехиздат, 1953. -468 с.

47. Чеботарёв Н.Г. Теория групп Ли. 1940. - 396 с.

48. Яковенко Г.Н. „Блуждающие" симметрии в уравнениях динамики // Проблемы математики в физико-технических и экономических задачах, межведомственный сборник. - М.: МФТИ, 1993. - С. 170-185.

49. Яковенко Г.Н. Групповые свойства динамических систем. Конечномерный случай/МФТИ. М., 1994. - 140 с.