Задача Вентцеля и ее обобщения тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, доктор физико-математических наук Назаров, Александр Ильич

• Назаров, Александр Ильич
• доктор физико-математических наук
• 2004

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Назаров, Александр Ильич

Введение

1 Задача Вентцеля для уравнения Лапласа и Гельмгольца

1.1 Постановка задачи. Теоремы единственности.

1.2 Свойства повторных потенциалов

1.3 Сведение задач Вентцеля к интегральным уравнениям и их исследование . . . . :.

1.4 Некоторые обобщения.

2 Квазилинейная двухфазная задача Вентцеля

2.1 Постановка задачи. Формулировка теорем существования

2.2 Локальные оценки максимума Александровского типа для решения линейной двухфазной задачи Вентцеля.

2.3 Разрешимость линейной двухфазной задачи Вентцеля.

2.4 Гельдеровские оценки.

2.4.1 Оценки неотрицательных решений двухфазной задачи Вентцеля вблизи пленки.

2.4.2 Оценка константы Гельдера для решения квазилинейной двухфазной задачи.

2.4.3 Оценка константы Гельдера с большим показателем для решения линейного уравнения

2.5 Оценка градиента решения квазилинейной двухфазной задачи Вентцеля.

2.6 Разрешимость квазилинейной двухфазной задачи Вентцеля

3 Квазилинейная задача Дирихле в областях с гладкими замкнутыми ребрами произвольной коразмерности

3.1 Постановка задачи.

3.2 Вспомогательные оценки интегральных операторов.

3.2.1 Оценки в пространствах (а).

3.2.2 Оценки в пространствах -£s,r,(a).

3.3 Оценки решения задач Дирихле и Неймана для уравнения теплопроводности в клине.

3.3.1 Оценки решения задачи Дирихле.

3.3.2 Оценки решения задачи Неймана при т > 2.

3.3.3 Оценки решения задачи Неймана в двугранном угле

3.3.4 Задачи в полупространстве.

3.4 Локальные оценки максимума Александровского типа через весовые нормы правой части

3.4.1 Вспомогательные леммы о линейных операторах.

3.4.2 Условные оценки в весовых пространствах.

3.4.3 Вывод основной оценки.

3.4.4 Оценки в анизотропных пространствах.

3.5 Разрешимость линейной параболической задачи.

3.6 Гёльдеровские оценки решения квазилинейной задачи.

3.7 Оценки градиента решения.

3.8 Оценки решения в окрестности ребра.

3.9 Доказательство теоремы существования.

4 Квазилинейная двухфазная задача Вентцеля в трансверсаль-ном случае

4.1 Постановка задачи.

4.2 Вспомогательная задача Дирихле в весовых пространствах

4.2.1 Постановка задачи.

4.2.2 Оценки максимума.

4.2.3 Гельдеровские оценки.

4.2.4 Оценки градиента на границе.

4.2.5 Оценки градиента вблизи границы.

4.2.6 Разрешимость линейной и квазилинейной задач Дирихле

4.3 Разрешимость линейной эллиптической задачи.

4.4 Разрешимость квазилинейной эллиптической задачи.

5 Задача Вентцеля для полностью нелинейных эллиптических уравнений

5.1 Постановка задачи.

5.2 Оценки градиента решения.

5.3 Оценки вторых производных.

5.4 Разрешимость нелинейной задачи Вентцеля.

6 Вырожденная задача Вентцеля для квазилинейных эллиптических уравнений

6.1 Постановка задачи.

6.2 Гельдеровские оценки.

6.3 Оценки градиента решения.

6.4 Оценки вторых производных.

6.5 Разрешимость вырожденной задачи Вентцеля.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Задача Вентцеля и ее обобщения»

Разрешимость краевых задач для квазилинейных уравнений с частными производными недивергеного вида, а также для полностью нелинейных уравнений, интенсивно изучается в последние 25 лет. Такие задачи для эллиптических и параболических уравнений второго порядка описывают, в частности, стационарные и нестационарные процессы диффузии.

К настоящему времени получены достаточно полные результаты, касающиеся разрешимости в гладких областях задачи Дирихле, а также задачи с наклонной производной (описывающей диффузию в области с отражением от границы). Обзор этих результатов, а также обширную библиографию можно найти, например, в работах [ЛУ4], [LiT] и в монографиях [ГТ], [Li2].

В 1959 году А.Д. Вентцель [В] ввел (для эллиптических уравнений) новый класс граничных условий, задаваемых интегро-дифференциальными операторами второго порядка (см. также [IW], [W]). С вероятностной точки зрения, условия Вентцеля представляют собой наиболее общие краевые условия, включающие как частные случаи условия Дирихле, Неймана, условие с наклонной производной и смешанные условия. Отметим также, что задачи с условиями Вентцелевского типа возникают во многих областях науки и техники. Среди них задачи гидродинамики, электродинамики и теории упругости, инженерные задачи нефтедобычи и некоторые вопросы финансовой математики (см. [CM], [Kol], [Ко2], [Le], [МНП], [NPi], [SV], [Sh]5 [Ш, Гл.УШ]).

В диссертации изучается задача Вентцеля для эллиптических и параболических уравнений второго порядка. При этом рассматривается класс граничных условий, содержащих производные второго порядка по касательным переменным, но не содержащих интегрального члена. Отметим, что линейные задачи с интегральными членами в граничных условиях изучались A.JI. Скубачевским и его учениками (см. [ГС] и цитированную там литературу).

С точки зрения теории диффузионных процессов, рассмотренные задачи описывают процесс, включающий диффузию вдоль границы и отражение от границы. Такая ситуация возникает, когда граница области покрыта тонким слоем ("пленкой") из материала, имеющего высокую проводимость.

В первой главе диссертации изучается задача Вентцеля для уравнений Лапласа и Гельмгольца

Аи + к2и = 0 в П, , ч 0.1 Au-a-^ + /3k2u = f на £ здесь Е = 5Г2 £ С2, к ^ 0; в случае внешней области на и накладываются стандартные условия на бесконечности).

Поскольку для задачи (0.1) легко получаются коэрцитивные оценки в пространствах Гельдера (см., например, [Кр2, §5.5]), то разрешимость этой задачи для гельдеровых / следует из общей эллиптической теории. Желание получить классическое решение при непрерывных граничных данных приводит к идее использования интегральных уравнений теории потенциала. Для этого вводится понятие повторных потенциалов простого и двойного слоя

V&jbW = VkSx) = J ~ У) dZy, s v f 8 = »*,"(«) = J - у) dSy, s где Gk(x) - фундаментальное решение оператора — (A+k2), удовлетворяющее условию излучения на бесконечности.

В §1.1 дается постановка внутренней и внешней задач Вентцеля и доказываются теоремы единственности для них, а также выводятся необходимые условия разрешимости.

В §1.2 изучаются свойства повторных потенциалов.

Лемма 1.2.1. Пусть Е Е С2. Если ц £ С(Е); то повторный потенциал имеет правильную внутреннюю и внешнюю нормальную производную, причем

-WL\ 1

-g^j (х) = ~ф) + (вг,е»)(х), x € е, i,e где &i>e - операторы со слабой особенностью на Е.

Теорема 1.2.4. Пусть Е £ С2, (i 6 С(Е). ТЬгЭа повторный потенциал имеет вторую правильную внутреннюю и внешнюю нормальную производную, причем х) = + (ё« M)(s), ® 6 S, х / i,e где 6f\ &i2) - операторы со слабой особенностью.

В качестве следствия доказывается теорема, усиливающая классический результат A.M. Ляпунова.

Теорема 1.2.2. Пусть Е £ С2. Потенциал двойного слоя Wq имеет правильную нормальную производную тогда и только тогда, когда существует функция is £ С(Е), такая, что fi = Vq |s.

В §1.3 внешняя и внутренняя задачи Вентцеля сводятся к интегральным уравнениям, после чего доказываются теоремы об их разрешимости, аналогичные теоремам о разрешимости задач Дирихле и Неймана.

Теорема 1.3.3. Если к2 не принадлежит спектру внутренней задачи Вентцеля (Vi), то решение задачи (Vi) существует и единственно для любой / еС(Е).

Если к2 принадлежит спектру задачи (Vi), и {vp}; р = 1,. .,£ - соответствующие решения однородной задачи, то задача (Vi) разрешима тогда и только тогда, когда выполнены условия fs fvp dE = 0; р = 1,., £.

В обоих случаях решение задачи (Vi) представимо в виде повторного потенциала с непрерывной плотностью.

Теорема 1.3.4. Решение внешней задачи Вентцеля (Ve) существует и единственно для любой f G С(£), за исключением случая п = 2, к — 0. В этом случае задача (Ve) разрешима тогда и только тогда, когда выполнено условие fs f dH = 0.

В §1.4 результаты §1.2 обобщаются на случай повторных потенциалов произвольного порядка.

Теорема 1.4.1. Пусть I € N, £ G С1 при четном I, £ G С1+£ при нечетном I, г £]0,1[, и fx Е С(£). Тогда повторный потенциал простого слоя порядка I имеет на £ правильную нормальную производную порядка I, причем ' lV^ \ г) = (±1)! • ^ + (в&)(х), х € Е, i,e где в- g - компактные операторы в С(Е).

Теорема 1.4.1 позволяет использовать повторные потенциалы при решении краевых задач для уравнений Лапласа и Гельмгольца, в которых старший член оператора в граничном условии имеет вид ^. Такие краевые условия встречаются, например, в задачах акустики.

В главах 2 и 4 изучается квазилинейная двухфазная задача Вентцеля для эллиптических и параболических уравнений. Такая задача описывает ситуацию, когда пленка £ разделяет область О на две части. Условие на пленке при этом задается квазилинейным уравнением второго порядка (соответственно эллиптическим или параболическим) по касательным переменным. Главные члены граничного оператора, как и в однофазной задаче, описывают диффузию вдоль пленки, а члены первого порядка образуют оператор "скачка" поперек пленки ди

Zu = 6S)[ 1](ж, % D*u + п(х) • £limo — {х + е • п(ж); t)) — ди

Ье,[2] (х, t, и, D*u + п(ж) • lim^ + £ • п(ж); £)) здесь и далее р* обозначает проекцию вектора р на касательную плоскость к Е) и описывают взаимодействие пленки с подобластями и Л

Во второй главе разбирается случай Е П дП — 0. Следует отметить, что в случае бад = 0 (т.е. когда пленка не взаимодействует с внешней областью ПИ), можно сначала найти решение однофазной задачи Вентцеля в fiW, а затем решить задачу Дирихле в (Л используя в качестве граничного условия на Е след функции, полученной на первом этапе. Точно так же любая однофазная задача Вентцеля в может быть рассмотрена как двухфазная, если ввести фиктивную область и положить Ъщ2] = 0. В связи с этим в главе 2 изложение ведется только для двухфазной задачи.

Исследование однофазной задачи Вентцеля для эллиптических уравнений общего вида было начато в работах N.S. Trudinger'a и его ученика Y.Luo. В работах [Lol], [Lo2], [LoTl] была доказана классическая разрешимость этой задачи при условии линейного роста функции, задающей граничный оператор, по компонентам Du. Соответствующие результаты для параболических уравнений, а также разрешимость задачи в пространствах Соболева, были получены в работах Д.Е. Апушкинской и автора [An], [АН1], [АН2], [AN3]. Для решений из соболевских пространств функции, входящие в уравнение, могут содержать также особенности по независимым переменным, суммируемые в достаточно высокой степени. Эти результаты вошли в кандидатскую диссертацию Д.Е. Апушкинской.

Заметим, что результаты главы 2 даже для однофазной задачи сильнее упомянутых выше, поскольку граничное условие может иметь квадратичный рост по касательным компонентам Du. Двухфазная задача Вентцеля ранее не рассматривалась.

В §2.1 дается постановка параболической двухфазной задачи Вентцеля и формулируются теоремы существования в пространствах Соболева и Гельде-ра.

В цилиндре Q = Пх]0,Т[ рассмотрим начально-краевую задачу dtu — t, и, Du)DiDjU + ащ(х, t, и, Du) = 0 в QM, h = 1,2, 0 на Ет = 2х]0,Т[, u\ffQ = 0. (0.2)

Будем предполагать, что уравнения в (0.2) равномерно параболические, т.е. (а|м) и (а^) ~ симметричные матрицы, и неравенства

ИП ^ a'K-^t^.P'WiC, f 1П ,

АО) (ВО) г/ = const > 0) справедливы при всех значениях аргументов и при всех £ £ Кп.

Предположим также, что функции ащ, as удовлетворяют неравенствам а[Л](я, t, z,p)\ < + Ь[Л](я, t)|p| + Ф[/1](я, £), (Al)

Bl) где /I = const ^ 0.

Далее, коэффициенты а1щ, aQ имеют первые соболевские производные по х, z, р, и выполнены следующие неравенства: dp da%(x,t, z,p*) dp* i + bl' [A],

A2-B2)

1 + bl' где введено обозначение с) = р • ^ +

Наконец, функции &Е,[/ф входящие в определение оператора Л, имеют пер вые соболевские производные по р, и выполнены следующие неравенства: dbEj[h]{x,t,z,p) п(ж) < ЬеОМ); t)\p\ + ФЕ(я, t).

JO) (Jl)

Теорема 2.1.1. Пусть п < q < оо, и выполнены следующие условия: i) Е и dQ - поверхности класса Wq+2, Е Г) дП = 0; ii) выполнены условия (АО), (Al), (А2), (В0); (Bl), (В2), (JO), (J1); in) b[h]) фм, ф[а1 g lq+2{qw), ьх, фф? € vдет); iv) функции a>[h](',z,p) непрерывны по (z,p) как элементы пространства Lq+2(Q^), « функции a%(-,z,p*), bs>[h](-,z,p) непрерывны по {z,-p) как элементы пространства Lg+i(Er).

Тогда задача (0.2) имеет решение и е v£2(q) = и ди) п <;\(ег) п с(й).

Теорема 2.1.2. Пусть выполнены следующие условия: i) Е и dQ - поверхности класса С2+7, 7 е]0,1[, Е П dfi = 0; ii) выполнены условия (АО), (А2), (ВО), (В2), (J0), а также следующие структурные ограничения:

А1')

Mx,t,z,p*)\ + (В1')

J1') ш) Ф[А1 <Е lq+2(qw), Ф? G lq+1(zt); iv) функции агщ, ащ, а^, а^, Ъ^щ удовлетворяют условию Гельдера с показателем 7 по переменным х, z, р и с показателем 7/2 по переменной t; v) выполнены условия согласования: a[h](x, 0,0,0) = аЕ(х, 0,0,0), х€ Е; а[2](х, 0,0,0) = 0, хе дП.

Тогда задача (0.2) имеет решение и €

Отметим, что структурные условия теорем 2.1.1 и 2.1.2 являются естественными и соответствуют структурным условиям, накладываемым в теоремах о разрешимости задачи Дирихле (см. [ЛУ4]).

§2.2 посвящен получению локальных оценок максимума Александровского типа для решений линейной двухфазной задачи Вентцеля в невырожденном и вырожденном случаях. Такие оценки являются фундаментом для получения всех априорных оценок, необходимых для доказательства теорем существования решения краевых задач для уравнений недивергентной структуры. Для получения этих оценок проводится тонкий анализ отображения Лежандра, порожденного выпукло-монотонной оболочкой решения.

В §2.3 получена глобальная оценка максимума решения линейной двухфазной задачи Вентцеля. Далее в случае Е Г) д£1 = 0 устанавливаются коэрцитивные оценки решений этой задачи в пространствах Соболева и Гельдера и доказываются теоремы существования.

Пусть С^ - линейные равномерно параболические операторы в Q^:

Пусть В - линейный равномерно параболический оператор на пленке Еу:

Пусть, наконец, J - оператор "скачка" на Еу: ди ди

Ju ЕЕ ЬЕ)[ф, t) • Дто —(я + е • п(ж); t) - bEi[2](x, t)' £Hm — (х + £ • n(:r); t),

ЬвдОМ)

Теорема 2.3.4. 1. Пусть п < q < оо? Е и дО, - поверхности класса W"22; Е П дО, = 0. Пусть

6h]u ее dtu - aj^rc, t)D{DjU + b\h](x, t)DiU + c^{x, t)u,

Bu = dtu - a%{x, t)D*D*u + b^x, t)D*u + cs(z, t)u,

4 = 4 ИГ I2 ^ 4&Q < I2 e Rn. j ^ равномерно по t £ [О, Т],

И, b\h], № £ Lq+2(Ql% /Е, bl СЕ, Ье,[Л] G WEr). Тогда начально-краевая задача l% = fW в QW, А = /М в Qfl

0.3)

Bw + Ju = /s на Ег, = 0, имеет единственное решение и £ Vg+2(Q).

2. Пусть Е и д£1 - поверхности класса С2+1, 7 б]0,1[, Е П д£1 = 0. Пусть коэффициенты и правые части уравнений (0.3) принадлежат C7(QM) и соответственно.

Если вдобавок выполнены условия согласования

Ю = /Е на Е х {0}, /[2] = 0 на дПх{0}, то начально-краевая задача (0.3) имеет единственное решение и £ CE+7(Q).

В §2.4 получены гельдеровские оценки для решений квазилинейной двухфазной задачи. При этом применяется классический метод Н.В. Крылова - М.В. Сафонова ([КС]; см. также [ЛУЗ], где этот метод распространен на уравнения с суммируемыми особенностями). Однако для двухфазной задачи Вентцеля пришлось сконструировать новые барьерные функции (Леммы 2.4.1 и 2.4.2). В п.2.4.3 получены также вспомогательные локальные оценки констант Гельдера с повышенным показателем для решений линейных уравнений, используемые в следующем параграфе.

В §2.5 устанавливаются оценки градиента решения квазилинейной двухфазной задачи. Ключевую роль здесь играет следующая техническая лемма.

Лемма 2.5.1. Пусть непрерывная функция ср : [0;#| —» удовлетворяет условию где а - положительная константа, а Т - возрастающая функция своих аргументов.

Тогда существует положительная константа ро ^ R, зависящая только от а и свойств функции Т, такая, что ip(p) < Pq01 при любых р ^ ро.

В Теореме 2.5.2 оценка сводится к Лемме 2.5.1 методом масштабирования с использованием известных результатов О.А. Ладыженской - Н.Н. Уральцевой о внутренних оценках градиента (см. [ЛУ4]), а также теоремы о продолжении функций из анизотропных гельдеровских классов ([АН1, лемма 6.1]). После получения этой оценки уравнение на пленке можно считать полностью автономным, и оценка гельдеровской нормы Du в Q^ получается стандартным способом.

В §2.6 получены глобальные оценки максимума для решения квазилинейной двухфазной задачи, после чего Теоремы 2.1.1 и 2.1.2 доказываются по стандартной схеме применением теоремы Лерэ - Шаудера.

В Приложение А вынесены результаты для эллиптических уравнений, соответствующие теоремам из §§2.1-2.6. При этом обсуждаются лишь теоремы, имеющие существенные отличия от параболических. В частности, следующая теорема дает достаточные условия единственности решения линейной задачи.

Теорема А.6. Пусть Е е и выполнены условия < ИП2 < 48% < "11Л2 е ir, b\h]eLn(nW), 6jbeL„i(E), о, ж е Е, c[h] ^ 0 в се (ж) ^ со на Е, с0 = const > 0.

Тогда однородная задача

-ctfc{x)DiD3u + b\h](x)DiU + S(x)u = 0 в Ф, -о?1(х)ВЩи + b\*(x)D?u + cz(x)u + Ju = 0 на Е, имеет в U fi^) П W^1(E) П C(Q) только тривиальное решение.

В главе 3 рассматривается задача Дирихле для квазилинейных эллиптических и параболических уравнений в областях с гладкими замкнутыми ребрами произвольной коразмерности. Хотя эта задача является модельной по отношению к задаче, изучаемой в главе 4, но она представляет также значительный самостоятельный интерес.

В отличие от гладких областей, в которых, как уже упоминалось, эта задача хорошо изучена, почти все публикации, посвященные задачам в областях с особенностями, касаются исключительно линейных уравнений. Для квазилинейных недивергентных уравнений в эллиптическом случае ранее были известны лишь результаты М.В. Борсука ([Бо1], [Бо2]), который рассматривал только коническую особенность. Результаты главы 3 являются новыми даже в этом случае, ибо структурные условия, налагаемые здесь на члены младших порядков, как будет указано ниже, менее ограничительны, чем соответствующие условия из [Бо2].

Примерно в то же время, что и результаты главы 3, были опубликованы работы М.И. Плеши (ученика М.В. Борсука) [Пл1]-[ПлЗ], который рассмотрел эллиптическую задачу в области с ребром коразмерности 2 (особенность типа двугранного угла). Следует отметить, что наши результаты о разрешимости сильнее результатов Плеши, ибо его оценки, как и оценки Борсука, основаны на обычном принципе максимума А.Д. Александрова, который в случае ребра применим, только если угол при ребре "достаточно острый" (см. Замечание С.З). Кроме того, наши структурные условия на члены младших порядков и здесь менее ограничительны, чем соответствующие условия из [Пл1]-[ПлЗ].

В §3.1 дается постановка задачи Дирихле для квазилинейной параболической задачи и формулируется теорема существования решения в пространствах Кондратьева.

Предположим, что на <ЭГ2 выделено (■п — т)-мерное подмногообразие без края S ("ребро"), такое, что в окрестности каждой точки я0 G S область П диффеоморфна "острому" клину

JCm(G) С Kmfi, в < (0.4) причем в можно выбрать не зависящим от х°.

Если ттг = п, то S будет не ребром, а конической точкой. При этом клин Km(G) вырождается в конус Km(G). Этот случай не исключается из рассмотрения.

Обозначим через d(x) расстояние от точки х до ребра S и введем шкалу весовых пространств LS)(a)(Q) с нормой

IHU(a),e = (Ф)ГН3,q

2 1

Введем также пространства Кондратьева Ws'^(Q) с нормой

Mk;(a)(Q) = + 1\D(Du)IU°),Q + IIй • (d(X))~2\\\s,(a),Q

В цилиндре Q рассмотрим начально-краевую задачу dtu — аг\х, t, и, Dn)DiDjU + a(x, t, u, Du) = 0, u\ffQ = 0. (0.5) 4

Определим 0(9, v) как решение уравнения ctg(S) = v • ctg(0), 0€]O,|[, (0.6) где p - константа эллиптичности из (АО), а 9 - параметр из (0.4).

Пусть Л(т, 9) - первое собственное число задачи Дирихле для оператора Бельтрами на сферической "шапочке" = Kmg-fl Sm:

-Av = Av в v\dGd = 0.

Обозначим через ш положительный корень уравнения и2 + (т - 2)ш - А = 0 л заметим, что из условия 9 < тг/2 вытекает ш > 1) и положим

I п-т q = max < n, ш —

Теорема 3.1.1. Пусть выполнены следующие условия: ^ 10 ГП п + 2 ае]2- — и) Ш € W2q+Ua); iii) функции a^(x,t, z,p) и a(x,t,z,p) удовлетворяют условиям (АО), (А1),

А2); iv) b, ф е bq+2,(a)(Q); Фх е L,1+2j(ai)(Q); a1+ < 1 v) функции al^(x,t,z,p) непрерывны по t; vi) функция a(-,z,p) непрерывна по (z,p) как элемент пространства Ц+2 ,(a){Q)

Тогда задача (0.5) имеет решение и £ Q).

Заметим, что если линейная теория эллиптических задач в областях с ребрами построена в достаточной общности для всех пространств, которые обычно используются при изучении квазилинейных уравнений (Hk, Lp, С7; см., например, монографию [НП] и статьи [МП1], [МП2], [MR]), то соответствующая параболическая теория еще далека от завершения. Наиболее разработана теория для гильбертовых пространств (можно отметить, например, серию работ [КМ1], [КМ2], [Кз1], [Кз2], в которых рассмотрены задачи в областях с коническими точками). Что касается пространств Lp и Гельдера, то лишь в работах В.А. Солонникова [Со2] и [So3] были получены коэрцитивные оценки решений задач Дирихле и Неймана для уравнения теплопроводности в двугранном угле. В связи с этим два параграфа главы 3 посвящены выводу коэрцитивных оценок в анизотропных весовых пространствах для решения задач Дирихле и Неймана для уравнения теплопроводности в клине с ребром произвольной коразмерности (при этом не предполагается, что клин fc>m(G) - острый).

В §3.2 получены оценки некоторых интегральных операторов в пространствах Ь5)Г)(а) и Ls,r,(a)' При этом использована стандартная интерполяционная техника и некоторые идеи из работы [So3].

В §3.3 доказываются следующие теоремы:

Теорема 3.3.1. Пусть Ах> - первое собственное число задачи Дирихле для оператора Бельтрами в области G:

-AU = AVU в G, U\gG = 0.

Обозначим сох> положительный корень уравнения ш2 + (т - 2) • и - Ар = 0.

Пусть s, г € ]1,+оо[, а показатель а удовлетворяет неравенствам т т

2---cuj) < а <т---hш-р. s s

Тогда для решения задачи Дирихле для уравнения теплопроводности в клине fcm{G) выполнены оценки адкг,(а) + \\D(Du)\\sMa) + ||и • М-2|Цг,(а) < С \\Д3,г,{а),

I\М\7,г,(а) + + IIй ' \X'\~2\\7,r,(a) < С 11/1 £г,(а)

Теорема 3.3.2. Пусть А// - первое ненулевое собственное число задачи Неймана для оператора Бельтрами в области G: dU

AU = A^U в G, 0. дв дп

Обозначим шм положительный корень уравнения и? + (т - 2) • и - Ам = 0.

Пусть 5, г G ]1,+оо[, а показатель а удовлетворяет неравенствам п т . r m т 2---ппщамл 2[ < а < т--. s s

Тогда для решения задачи Неймана для уравнения теплопроводности в клине JCm(G) выполнены оценки

ИЭДкг» + \\D(Du) ||5)Г)(а) < С ||/||в>г>(а), ИЭД1^(а) + \\D{Du)||~>(в) < С ||/||~ i(e).

Ключевым в доказательстве является такое наблюдение:

Теорема 3.3.4. Пусть ft = ft' х ft", ft' С Жт, ft" С Епт.

Пусть Q'd{x', г/'£) - функция Грина задачи Дирихле для оператора теплопроводности в области ft', a Q^ix", у", t) - функция Грина задачи Дирихле для оператора теплопроводности в области ft".

Тогда функция Грина задачи Дирихле для оператора теплопроводности в области ft задается формулой

Qv(x, у, t) = G'v{x\ у• G'i{x\ у\ t).

Аналогично, функции Грина задач Неймана для операторов теплопроводности в областях ft, ft' и ft" связаны формулой дЯ{х, у, i) = Q'M{x\ у', t) • ^(я", j/",*).

С помощью этой теоремы и известных оценок В.А. Козлова для функции Грина краевых задач в конусе ([Кз1]) доказательство Теоремы 3.3.1 сводится к оценкам, полученным в предыдущем параграфе. Для доказательства Теоремы 3.3.2 при т > 2 предварительно выделяется и оценивается отдельно оператор, порождаемый главным членом асимптотики функции Грина. При т = 2 этот метод не проходит, поэтому доказательство здесь использует оценки функции Грина в двугранном угле, полученные В.А. Солонниковым ([Со2]). В п.3.3.4 получены весовые коэрцитивные оценки в полупространстве (формально это соответствует т = 1).

Как уже упоминалось, фундаментом априорных оценок, необходимых для доказательства теорем существования решения краевых задач для недивергентных квазилинейных уравнений, служат оценки максимума Александровского типа. Однако если граница области содержит ребро, то, как следует из линейной теории, "правильными" пространствами для правой части уравнения являются весовые пространства Ls^ay Локальные оценки максимума решения через нормы правой части в этих пространствах устанавливаются в §3.4. Такие оценки позволяют более точно учесть геометрию области, что видно из сравнения наших результатов (для эллиптических уравнений) с результатами М.И. Плеши.

Принципиальная схема получения таких оценок была разработана автором в [Н] на основе идеи "условных" оценок, предложенной Н.В. Крыловым ([Kpl]). Сначала доказываются "условные" оценки в крайних пространствах шкалы, затем с помощью интерполяции получаются "условные" оценки во всей шкале, и, наконец, вспомогательная функция *В оценивается через себя саму, что позволяет свести "условные" оценки к "безусловным". Таким образом получается следующая теорема:

Теорема 3.4.6. Пусть £7 С JCm^(R) (условие в < 7г/2 не накладывается), п ^ qo ^ оо; п ^ qi < оо. Пусть С - линейный равномерно параболический оператор в Q

Си = dtu - aij(x, t)DiDjU + Ъ\х, t)DiU с константой параболичности v. Если Ъг £ Lqi+1^ n±i.)(Q); то для всех функций и Е W2,1 Л nn±i\(Q)> шаких, чгпо и\я,а ^ 0, выполнена оценка

70 + Ы1 gQ+l) П где Л зависит только от п, т, и, q\, R и ||b||gi, n+i^u.

Далее, если НЬЩ^д < jfe то для всех функций и G WgJ|1)(1 n+1)(Q), таких, что u\g,Q ^ 0, выполнена оценка

40 и < iv35(n, m, v, q0) • R"0+1 • ||(>Сп)+||50)(а0))Ли.

В п.3.4.4 получены аналогичные оценки через нормы правой части в анизотропных весовых пространствах и £s,r,(a) •

Заметим, что, в отличие от пространств Ь5)Г, широко используемых для изучения параболических задач в областях с гладкими границами (см., например, [МС]), анизотропные пространства Ь3уГ, в которых функция суммируется сначала по t, а потом по х, до сих пор не применялись, во всяком случае, коэрцитивных оценок в этой шкале в литературе найти не удалось. По-видимому, это связано с тем, что задачи для параболических уравнений принято рассматривать как динамические системы, что возможно лишь в шкале LSfr, и вторая шкала просто не попала в поле зрения исследователей как "неестественная". Однако оценки тепловых потенциалов в этой шкале получаются так же, как и в первой (Лемма 3.3.3). Важно отметить, что при оценке максимума Александровского типа через анизотропные нормы правой части всегда используется более сильная из двух норм, и шкала is,r,(a) (ПРИ s < г) возникает естественным образом.

В §3.5 доказывается теорема существования для линейной задачи в пространствах Кондратьева, а также выводится глобальная оценка максимума решения. При этом условие остроты клина JCm(G) не накладывается.

В §3.6 получены гельдеровские оценки для решений квазилинейной задачи (также без условия остроты клина JCm(G)). Для этого конструируется новая барьерная функция (Лемма 3.6.1), после чего сшиваются оценки в окрестности ребра с известными оценками из [ЛУЗ].

В §3.7 выводится локальная оценка гёльдеровской нормы градиента решения в окрестности ребра. Острота клина JCm(G) по-прежнему не предполагается, однако требуется выполнение оценки

0. (0.7)

Вывод оценки использует хорошо известную идею масштабирования (так называемый метод слоев Кондратьева) и локальные оценки градиента решений в гладких областях ([ЛУ4], [ЛУ5]).

В §3.8 устанавливается оценка (0.7) в предположении, что /Ст - острый клин. Для этого строится специальная барьерная функция (Лемма 3.8.1), а затем применяется итерационный метод, предложенный О.А. Ладыженской и Н.Н. Уральцевой ([ЛУ5]) для оценки градиента решения на границе области.

В §3.9 получены глобальные оценки максимума для решения квазилинейной задачи, после чего Теорема 3.1.1 доказывается по стандартной схеме.

В Приложении В собраны результаты, касающиеся априорных оценок и теорем существования решения задачи (0.5) в анизотропных пространствах Кондратьева. Поскольку все основные идеи доказательств в этом случае сохраняются, то приведены только формулировки и краткие указания к доказательствам.

В Приложении С формулируются результаты для стационарной задачи, аналогичной задаче (0.5). При этом обсуждаются лишь теоремы, имеющие существенные отличия от параболических. Как отмечается в Замечании С.З, в случае конической точки (га = п) при | > 2 — ш можно получить все априорные оценки через обычные (невесовые) нормы функций 6, Ф, Ф1. Именно это было сделано в работах [Бо1], [Бо2]. При этом накладывалось условие Ь, Ф б Loo,(1-е)) более ограничительное, чем условие (v) Теоремы С.6.

В четвертой главе изучается квазилинейная двухфазная задача Вентцеля в случае, когда пленка Е и внешняя граница д£1 пересекаются трансверсаль-но. Это означает, что части области и ПИ имеют на границе ребро. Поскольку естественными функциональными пространствами для задач в областях с ребрами являются пространства Кондратьева, то уравнение на пленке также следует решать в весовых пространствах с весом, равным некоторой степени расстояния во внутренней метрике пленки от точки до ребра.

В §4.1 дается постановка эллиптической двухфазной задачи и формулируется теорема существования решения в составных пространствах Кондратьева.

Предположим, что <S = Е П dfl есть (п — 2)-мерное подмногообразие без края, причем в окрестности каждой точки х° £ S касательные плоскости к Е и к dfi пересекаются под углом 2$(я°), и 7г/2 — < 9 < 7г/2.

Обозначим d(x) расстояние от точки х до подмногообразия S, a d(x) -расстояние во внутренней метрике многообразия Е от точки х £ S до подмногообразия S. Введем следующие шкалы пространств:

Lgj(a)(n) - весовые пространства с нормой ||| • |||q)(a),n, где v>lq,{a),n = II {d{x)fu\\9|П;

- множество функций в Q, имеющих конечную полунорму аналогично, И^(а)(Е) ~ множество функций на £, имеющих конечную полунорму \lD*(D*u)lq^a)^.

Отметим, что полунормы l\D(Du)\lq^a)^ и \\D*(D*u)l\q^a)tY, являются нормами, если и обращаются в нуль на 0Q и <5, соответственно. Введем еще пространство

0) = {и € И&в)(ПМ U ПИ) П W^.^S) П С(П): tt|№ = о} . где 3 обозначает стационарный оператор "скачка".

N /N

Определим в = в{6,у) как решение уравнения (0.6), где и - константа эллиптичности из (АО), а в - параметр трансверсальности, и положим

Рассмотрим двухфазную эллиптическую задачу ajijOc, и, Du)DiDjU + а[1](я, и, Du) = 0 в a^'j (я, Dv)DiDjU + ащ {х, и, Du) = 0 в П^, аг£(х,и, D*u)D*DjU +и, D*u) = 0 на Е, и\дп = 0,

0.8) q = шах

Теорема 4.1.1. Пусть выполнены следующие условия: i) fc^coo, max{-i,2-f-^}<a<l-^; ii) dQ,WeWl(a) при h = 1,2; n . iii) для всех возможных решений vfi € т ^ [0,1], семейства задач г т(—агщ(х, и, Dn)DiDjU + ащ(х, и, Du))~

1 — г) Aw = 0 в < т(-а%{х, и, D*u)D*D*u + аф, и, D*u) +

- (1 - т)Аи = 0 на Е, и\дП = О, \ 1 справедлива оценка ^ Мо/ iv) при \z\ ^ Мо выполнены условия1 (АО), (Al), (А2), (ВО), (Bl), (В2), (JO), (J1); v) Ъ[}ф фИ <= h = 1,2; Ье, Ф2 е Lelf(ee0(E); vi) Ф^ € L,b(ai)(i#]), Л = 1,2, Ф? е 41|(aift0(E); ai+ < 1 vii) функции CL[h\{'->z,p), h = 1,2, непрерывны no (z,p) как элементы пространств Lg)(a)(Q^), а функции Ье,[л](-,ziP)> h = 1,2, « a^(-,z,p*) непрерывны no (z,p) как элементы пространства .

Тогда задача (0.8) имеет решение и £ ^^(fi).

В §4.2 изучается разрешимость вспомогательной задачи Дирихле в весовых пространствах, которая используется затем для решения уравнения на Е. Результаты этого параграфа в основном соответствуют результатам о разрешимости в обычных пространствах Соболева (см. [ЛУ4]). Для получения априорных оценок используется новая версия принципа максимума Александрова (п.4.2.2), разработанный в [АН2] метод получения оценок градиента для уравнений с "составной" правой частью и младшими коэффициентами (п.4.2.4), а также метод масштабирования (п.4.2.5).

§4.3 посвящен разрешимости линейной двухфазной задачи. Ключевую роль здесь играет лемма о продолжении функций из весовых пространств.

1 Все функции, входящие в эти условия, не зависят от переменной t.

Лемма 4.3.1. Пусть 1 - J - > 0, и дП^ Е VV£(a), h = 1,2. Тогда существует оператор продолжения такой, что причем константа Сщ зависит только от q, а и от свойств

Пусть С^ - линейные равномерно эллиптические операторы в £"2^, В -линейный равномерно эллиптический оператор на пленке Е:

С[% = -tfh]{x)DiDjU + b\h](x) DiU, Ей = —a^(x)D*D*u + Ъ^хЩи. a J - оператор "скачка"2 на Е.

Теорема 4.3.3. Пусть q и в - константы, введенные выше. Пусть выполнены условия (i)-(ii) Теоремы 4-1-1-Предположим еще, что

Е С(ПЛ), /W, \b[h]\ Е L9i(a)(fiM), h = 1,2, а%1 Е С(Е), /2, |bE|, bEj[i], Ъщ2] G L9it(a9/)(E). Тогда задача

C^u = f[h] в fiW, Л = 1,2, /Згг + = /е на Е, = О, однозначно разрешима в npocmpancmeeV2 ^{Q), при условии, что соответствующая однородная задача имеет только тривиальное решение.

Единственность решения однородной задачи установлена в Теореме 4.3.4 при дополнительном условии локальной ограниченности коэффициентов Ьщ,

2 Коэффициенты не зависят от переменной t.

ЬгЕ, Ъщщ- Вопрос о возможности замены этого условия на естественное условие (4.3.24) в общем случае остается открытым.

В §4.4 на основе полученных ранее оценок решений модельных задач выводятся априорные оценки градиента решения и доказывается Теорема 4.1.1.

В Приложении D рассмотрена соответствующая параболическая задача. Большинство утверждений здесь доказываются вполне аналогично стационарным аналогам, поэтому для них даются только краткие пояснения. Подробно доказывается лишь анизотропная лемма о продолжении.

Лемма D.5 (4.3.1'). Пусть показатели q, q, г, г, а и а удовлетворяют условиям п 2 л п—1 2

1-----> 0; 1------ - а, > 0; q г q г п п-122 , . q ^ g, г ^ г, {а - а)+ <---— + - - q ^ г, (0.9) q q г г и пусть G W2>(a), h = 1,2.

Тогда существует оператор продолжения такой, что где константы Сщ определяются q, q, г, г, а, а и свойствами дО,^.

Если последнее неравенство в (0.9) заменить на г ^ q, то справедливо утверждение, получающееся заменой пространств W на W.

В главе 5 рассматривается полностью нелинейная задача Вентцеля для эллиптических уравнений

F(x,u,Du,D2u) = 0 в П, К ' ' ; (0.10) Gi(x, и, D*u, (D*)2u) + G2(x, и, Du) = 0 на дП.

В §5.1 дается постановка задачи и формулируется теорема существования.

Будем предполагать, что уравнения в (0.10) равномерно эллиптические, т.е. неравенства (dF{x'dz;p'r)z,t\ < f^i2 vf s в», (fo) (dGl{Xgrf'r,)(',(') < "1l«f Vf 6 M"-1, (GO/1) v = const > 0) выполнены при всех значениях аргументов.

Далее, функции F и G\ подчинены Бернштейновским условиям роста (здесь /1 и 7Г - некоторые положительные константы)

F{x,z,p,r)\ < ц ■ (1 + Н2 + |г|), |Gi(rc,z,p*y)| < тг • (1 + |pf + |г*|),

F1-G1/1) вогнуты по вторым производным: и удовлетворяют естественным структурным ограничениям на первые и вторые производные.

Аналогично, функция 6?2 подчинена условиям д°2^р) . n(ar) ^ 0, |G2(z, z,p)\^ тг • (1 + И), р /d2G V (G0/2-G2/2) и удовлетворяет естественным структурным ограничениям на первые и вторые производные.

Как известно, при доказательстве разрешимости полностью нелинейных уравнений условие (F2) в общем случае опустить нельзя. Вопрос о необходимости условия выпуклости функции G2 по нормальной компоненте Du пока остается открытым.

Теорема 5.1.1. Пусть выполнены следующие условия: i) Ш £ Wq, п < q < оо; ii) F G x Ж x Mn x Sn), Gx G И^гос(Ш x R x M""1 x S71"1), C2 6 Wljoc№ xlx Rn); iii) для всех возможных решений G r G [0,1], семейства задач tF(x,u,Du,D2u) + (1-t)Au = 0 в Q, т[-С!(х,и,В*и, (D*)2u) + G2(x,u, Du)) + (1 -т)(-Аи + и) = 0 на dQ, справедлива оценка ^ Mq; iv) при \z\ < M0 выполнены условия (F0)-(F3), (G0/1,2)-(G3/1,2). Тогда задача (0.10) имеет решение и G

В §5.2 получены оценки градиента решения. При этом для вывода вспомогательных оценок (Леммы 5.2.1 и 5.2.2) применяется модификация методов [LiT] и [ЛУ1, Гл.VI]. В частности, при выводе гельдеровских оценок потребовалось ввести дополнительную барьерную функцию для подавления членов, содержащих еще не оцененную нормальную производную. Далее, как и в Теореме 2.5.2, используется метод масштабирования и Лемма 2.5.1.

В §5.3 установлены приграничные оценки вторых производных решения. При этом используется модификация идеи [Т], а также граничные оценки градиента из [АН2].

В §5.4 доказывается Теорема 5.1.1, а также обсуждаются условия на F, G\ и G2, при которых выполнено условие (iii).

В последней, шестой главе исследуется вырожденная задача Вентцеля для квазилинейных эллиптических уравнений. В §6.1 дается постановка задачи и формулируется теорема существования. Рассмотрим краевую задачу ад = -aij(х, и, Du)DiDjU + а{х, и, Du) = 0 в П, (0.11)

Щи] = Q(x) [-<4m(z, и, D*u)D*sD*mu + аф, и, D*u) 6s(rc, и, Du) = 0 на дО.

Мы считаем, что граничное уравнение в (0.11) является равномерно вырождающимся условием Вентцеля, т.е. функция в допускает полное вырождение, в то время как оператор в квадратных скобках равномерно эллиптичен по касательным переменным. С точки зрения теории диффузионных процессов, такая задача описывает ситуацию, когда толщина пленки может обращаться в нуль на некотором подмножестве dfl.

Отметим, что в работах [Lo2], [LoT2] предлагалось рассматривать другие типы вырождения граничных условий. Однако доказательство гельдеровости решения в [Lo2] и вывод оценок градиента в [LoT2] содержат существенные пробелы. Подчеркнем, что наша техника отличается от [Lo2], [LoT2].

Предположим, что

0^0, 0 е wl(dQ). Ст)

Пусть (а13') и (а|Р) - симметричные матрицы, удовлетворяющие условиям3 (АО), (ВО). Пусть выполнены Бернштейновские условия роста а(я, Z,p)I < ц. (1 + И2), |аЕ(®, z,p*)\ < тг. (1 + И2). (А1-В1)

Предположим, кроме того, что член представляет собой производную по некасательному к дО, векторному полю, т.е. дь^р) • п.{х) > х; MX, z,p)\< х-1 • (1 + М) (BO'-Bi') здесь х = const > 0).

Наконец, все функции, входящие в уравнения (0.11), имеют вторые обобщенные производные по своим аргументам и удовлетворяют некоторым естественным структурным ограничениям.

Теорема 6.1.1. Пусть выполнены следующие условия: i) дй Е Wq, п < q < оо;

3 Функции, входящие в эти условия, не зависят от переменной t. ii) для всех возможных решений и^ G V^(<9f2) задач т£М - (1 - т)Аи = 0 в П, r г ~ те 0;1 т*В[и] + (1-т)(-Аи + и) = 0 ш дП, справедлива оценка ||i4[T]||n ^ Mq; iii) выполнены условия (АО), (Al), (А2), (Т), (ВО), (Bl), (В2); iv) в условии (А2) Ф Е Ln(Q).

Тогда задача (0.11) имеет хотя бы одно решение и Е С2(Г2).

В §6.2 получены приграничные гельдеровские оценки решений. При этом на функцию Э накладывается лишь условие липшицевости. Сначала устанавливается оценка неотрицательного решения в окрестности точки вырождения граничного условия (Лемма 6.2.1), далее (Теорема 6.2.3) эта оценка сшивается с известными оценками для невырожденной задачи. Отметим, что аналогичным путем можно получить гельдеровскую оценку для решений параболической равномерно вырождающейся задачи Вентцеля.

В §6.3 получены оценки градиента решения при условии \/0 б W^dQ,). Отметим, что метод, примененный в главах 2 и 5, не применим в случае вырожденного граничного условия. В связи с этим для оценки максимума модуля касательного градиента (Теоремы 6.3.1 и 6.3.1') применяется модификация метода [LiT]. Для получения гельдеровской оценки касательного градиента (Теоремы 6.3.2 и 6.3.2') модифицируется метод [ЛУ1, Гл.VI]. Именно, аналогично §5.2, вводятся дополнительные барьерные функции для подавления членов, содержащих еще не оцененную нормальную производную, и сшиваются оценки вблизи и вдали от точек вырождения граничного условия. После этого оценка полного градиента следует из результатов G. Lieberman'a ([Lil]). Отметим также, что аналогичным способом можно получить оценку градиента решения полностью нелинейной задачи.

В отличие от невырожденной квазилинейной задачи, при наличии вырождения требуются еще оценки вторых производных, которые выводятся в

§6.4. Идея этого вывода похожа на доказательства из §5.3, но, с одной стороны, линейность задачи по вторым производным дает возможность получить двустороннюю оценку (6.4.16), а с другой - здесь вновь приходится сшивать оценки около точек вырождения с оценками для невырожденной задачи.

Наконец, в §6.5 доказывается Теорема 6.1.1, а также обсуждаются условия на функции, входящие в (0.11), при которых выполнено условие (ii).

Результаты работы докладывались на международном семинаре "Days of Diffraction" (СПб, 1998), на международных конференциях по дифференциальным и функционально-дифференциальным уравнениям (Москва, 1999 и 2002), на международном симпозиуме, посвященном 150-летию со дня рождения С.В. Ковалевской (СПб, 2000), на школе-семинаре EVEQ-2000 (Прага), на III Европейском Математическом Конгрессе (Барселона, 2000), на международных конференциях "Differential Equations and Related Topics", посвященных И.Г. Петровскому (Москва, 2001 и 2004), на международной конференции EQUADIFF-2001 (Прага), на XIV Всероссийской математической школе "Понтрягинские чтения" (Воронеж, 2003), на международной конференции "Nonlinear Partial Differential Equations" (Алушта, 2003). Кроме того, результаты неоднократно докладывались на семинаре имени В.И. Смирнова (ПОМИ РАН; руководители - О.А. Ладыженская, М.Ш. Бирман и Н.Н. Уральцева) и на семинаре по нелинейным дифференциальным уравнениям (МГУ; руководители - Е.М. Ландис и В.А. Кондратьев).

Основное содержание диссертации отражено в работах [1-17].

В начале каждой главы приводится отдельный список обозначений. Параграфы имеют двойную, а пункты - тройную нумерацию. Формулы и теоремы имеют тройную нумерацию, сквозную в пределах параграфа. При ссылке на формулу или теорему из той же главы даются две последние цифры ее номера, при ссылке на другую главу - полный номер.