Краевые задачи для квазиголоморфного вектора тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Раенко, Елена Александровна

• Раенко, Елена Александровна
• кандидат физико-математических наук
• 2006

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Раенко, Елена Александровна

Введение

Глава 1. Об однозначной разрешимости задачи Дирихле для квазианалитического вектора.

§1. Вспомогательные сведения.

1°. Пространства типа Банаха, принцип неподвижной точки.

2°. Пространства С. Л. Соболева. Потенциальные и сингулярные операторы по области.

§2. Уравнения диффузии.

1°. Уравнения диффузии.

2°. Граничные задачи.

§3. Квазилинейная модель.

§4. Линейная задача.

1°. Постановка задачи.

2°. Однозначная разрешимость.

3°. Теорема устойчивости.

§5. Разрешимость и единственность решений квазилинейной задачи.

1°. Теорема существования.

2°. Теорема единственности.

§6. Однозначная разрешимость квазилинейной задачи Дирихле с квазидиагональными матрицами коэффициентов.

§7. Гидродинамическая интерпретация результатов.

1°. Перепое примесей фильтрационным потоком.

2°. Тепловая двухфазная фильтрация.

3°. Сжимаемая жидкость (газовая динамика).

4°. Нелинейная фильтрация.

Глава 2. Однозначная разрешимость задачи Дирихле с матрицами коэффициентов.

§1. Постановка задачи. Обзор результатов.

§2. Уравнения с треугольными матрицами.

1°. Разрешимость "треугольной " задачи.

2°. Теорема единственности.

§3. Уравнения с квазитреугольными матрицами.

§4. Неоднородные системы с ограниченными матрицами.

§5. Численная аппроксимация.

1°. Постановка задачи.

2°. Сеточные уравнения. Сходимость метода итераций.

3°. Численная реализация.

Глава 3. Гидродинамика тел со струями (схемы Щурыгина).

§1. Введение.

§2. Миоголистные многоугольники.

1°. Постановка задачи.

2°. Априорные оценки и локальная единственность решений.

§3. Смешанная краевая задача с параметрами.

§4. Схемы Шурыгина.

Г. Одна свободная граница.

2°. Несколько свободных границ.

3°. Теорема существования и единственности струйных течений.

Глава 4. О разрешимости краевых задач на римановых поверхностях.

§1. Вспомогательные сведения.

1°. Основные топологические понятия теории римановых поверхностей.

2°. Дифференциальные формы.

§2. О разрешимости краевой задачи сопряжения для нелинейного уравнения

Векуа на римановой поверхности.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Краевые задачи для квазиголоморфного вектора»

Общая характеристика работы

Актуальность проблемы. Процесс распространения тепла и массопереноса примесей гидродинамическими потоками жидкости в открытых каналах или в пористых средах описывается системами эллиптических уравнений, представленных в комплексной форме. Для таких систем построена теория граничной задачи Гильберта, в значительной мерс подобная известной теории для голоморфного вектора.

Диффузионные процессы можно описать абстрактным дифференциальным уравнением второго порядка для вектора tp= (<pi,. ,<рт) концентраций компонент примесей ifik, к = 1,?п—1, и температуры ipm потока смеси на плоскости переменных х, у (х = Xi, у = х2) : 2

L(P=J2 (AkWxixk + АкЧ>хк) + А = О, l,k=i где Аы и Ак матрицы (т х т) диффузионного и конвективного переноса, А — вектор скоростей химических реакций. Без нарушения общности областью определения решений <р можно считать круг К : \z\ < R, z = x+iy, а соответствующие граничные условия однородными.

Наиболее изученной является задача Дирихле ф\9К = 0 для линейного абстрактного уравнения второго порядка Lip = 0, коэффициенты которого зависят только от х, у.

Основным подходом к исследованию этой задачи Дирихле является представление ее решений с помощью какого - либо потенциала и тем самым редукция задачи к уравнению с вполне непрерывным оператором — уравнению Фредгольма [7 - 10]. Безусловная разрешимость задачи Дирихле, как правило, доказывается при очень жестких-ограничениях на коэффициенты оператора L (вплоть до их постоянства) или на размеры области \г\ < i?. <С 1. Достаточно подробный обзор этих работ можно найти у А. В. Бицадзе (1966) и К. Миранда (1957). Другой метод доказательства разрешимости задачи Дирихле на основе априорных оценок ее решений был предложен в работе О. А. Ладыженской и Ii. Н. Уральцевой (1973) применительно к квазилинейному уравнению с векторным оператором в главной части :

2 д2

Ьч>$ = У] Aik{x, у, <р) * + Ая(х, у, ip, <рх, 1ру) = 0, ,ч = Т~т, i,k=1 ÖXlC)Xk

Найдены условия безусловной разрешимое™ этой задачи. Аналогично случаю уравнения второго порядка Lu = 0 для вектора и = (и1., и2) = {и. ./ihm), где ufe = (tp\Xk, • • • j (Ртхк), к = 1, 2 векторы проекций потоков компонент i = 1,т на координатные оси, И. Н. Векуа (1988) была доказана фредгольмовская (нетеровская) разрешимость задачи Гильберта для линейных эллиптических систем уравнений первого порядка.

В. Н. Монаховым (1977) с помощью обобщенных потенциальных и сингулярных операторов Векуа была исследована разрешимость задачи Гильберта для квазианалитического вектора: iVw = w2- + Qlwz + Q2w2 = 0; Re[i,,kwfc(i)] - 0, |i| = 1, r/ll + IIQ2ll = «:o<i, полностью аналогично случаю голоморфного вектора (Qv = Q2 = 0), изученного И. Н. Векуа (1970), причем ее разрешимость установлена также для некоторой задачи Гильберта с разрывными коэффициентами в граничном условии.

При обтекании тел потоками жидкости с достаточно большими скоростями движения возникают струйные течения, когда поток отрывается с поверхности тела и в результате за телом образуется область постоянного давления (каверна), ограниченная неизвестными поверхностями (струями). Самой простой схемой обтекания тел с отрывом струй является схема Кирхгофа, теоретическое обоснование которой проведено в работах Ж. Лерэ (1935), М. А. Лаврентьева (1938), В. Ii. Монахова (1961).

При очень слабых ограничениях на форму обтекаемых препятствий В. Н. Монаховым (1968) были доказаны теоремы существования струйных течений по схемам Кирхгофа, Рябушинского, Эфроса, Лаврентьева, и др., а для ряда схем им были установлены также и теоремы единственности (Кирхгофа — 1968, Рябушинского 2000, Эфроса — 2003).

Используя идею Д. А. Эфроса, В. М. Шурыгин (1966) для описания топологически сложных гидродинамических течений предложи.;! моделировать дополнительные потоки жидкости (с заданными или искомыми границами), создаваемые струйными и воздухозаборными устройствами летательных аппаратов, помещением каждого из таких потоков на свой лист римановой поверхности. Такой метод, называемый нами кавитациоиной схемой Шурыгина, приводит к построению конформных отображений неоднолистных областей течения на канонические области (верхнюю полуплоскость, круг и т.д.)

Для искомого решения системы уравнений, отвечающей схеме Шурыгина, В. Н. Монаховым (1977) доказаны априорные оценки, которые обеспечивают его локальную единственность.

При описании потенциальных течений идеальной жидкости с несколькими свободными границами возникает необходимость рассмотрения смешанной краевой задачи, являющейся частным случаем изученной Ф.Д. Гаховым задачи Гильберта с разрывными коэффициентами для аналитической функции.

Впервые полное решение этой задачи независимо было построено М. В. Келдышем, Л.И. Седовым и А. Сеньорини. В. Н. Монаховым (1977) рассмотрена смешанная краевая задача с параметрами, доказаны ее однозначная разрешимость и эквивалентность задаче Дирихле для эллиптических уравнений (2001).

В гидродинамике (в частности, в так называемой схеме обтекания Эфроса) и теории фильтрации имеют приложения краевые задачи Векуа на римановьгх поверхностях. Линейная задача Векуа широко изучалась ранее (А. И. Викчантаев (1987), Juri L. Rodin (1987)). Ими была установлена нетеровость задачи и вычислен ее индекс.

В.Н. Монаховым и Е.В. Семенко (2003) была предложена корректная постановка линейной краевой задачи сопряжения аналитической функции и доказана ее однозначная разрешимость.

Цель работы. В диссертации доказывается однозначная разрешимость задачи Дирихле для квазилинейных эллиптических систем уравнений с матрицами Q\Q'2 близкими к диагональным, треугольным и квазидиагональным. Доказывается существование и единственность струйных течений, отвечающих схеме Шурыгина, а также разрешимость краевой задачи сопряжения для нелинейного уравнения Векуа на римановой поверхности.

Построен алгоритм численного решения краевой задачи Дирихле в случае, когда матрицы коэффициентов квазилинейной системы эллиптических уравнений близки к диагональным.Алгоритм реализован для случая, когда область решения является квадратом.

Методы исследования. Основным методом исследования однозначной разрешимости линейной задачи Дирихле является построение априорной оценки ее решен ия в предположении, что коэффициенты уравнения принадлежат пространству Ьр, р > 2. В квазилинейном случае разрешимость доказывается путем построения вполне непрерывного оператора задачи, к которому применим принцип Шаудера. а единственность - наложением условий слабой связанности уравнений системы.

Научная новизна. Все основные результаты, изложенные в диссертации являются новыми и подтверждены полными доказательствами.

Теоретическая и практическая значимость. В основном работа носит теоретический характер, ее результаты могут быть использованы при численном решении задач тепломассопереноса.

Публикации и апробации автора. Основные результаты диссертации опубликованы в 4 работах автора.

Материалы диссертации неоднократно докладывались на международных и российских конференциях: "Математические проблемы механики сплошных сред" (г. Новосибирск 1999, 2000, 2001 гг. ), "Математические методы в механике природных сред и экологии" (г. Барнаул 2002 г.).

Результаты диссертации доложены также на семинарах :

Института гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН "Математические проблемы механики сплошных сред" под руководством академика Монахова В. Н., чл.-корр. РАН Плотникова П. И. (2006), Института математики им. С. Л. Соболева СО РАН лаборатории теории функции под руководством д.ф.-м.н. профессора Асеева В. В. и д.ф.-м.н. профессора Сычева А. В. (2006), кафедры дифференциальных уравнений Новосибирского государственного университета "Теоретические и вычислительные проблемы задач .математической физики" под руководством д.ф.-м.н. профессора Бло-хина А. М. (2006).

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, разбитых на параграфы, заключения и списка литературы.

Заключение диссертации по теме «Математический анализ», Раенко, Елена Александровна

Основные результаты диссертации:

• доказана однозначная разрешимость задачи Дирихле для квазилинейных эллиптических систем уравнений с матрицами коэффициентов (21, близкими к диагональным, треугольным и квазидиагоиальным;

• доказано существование и единственность струйных течений, отвечающих схеме Шурыгина;

• доказана разрешимость краевой задачи сопряжения для нелинейного уравнения Векуа на римановой поверхности;

• численно решена краевая задача Дирихле для диагональных матриц коэффициентов в случае, когда область решения является квадратом.

Заключение

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Раенко, Елена Александровна, 2006 год

1. Рахматулин Х.А., Сагомонян А.Я., Бунимович А.Н., Зверев H.H. Газовая динамика. М.: Высшая школа, 1965.

2. Нигматулии Р.И. Динамика многофазных сред. М.: Наука, '1987. T.I.

3. Гиршфельдер Дж., Кертис У., Берд Р. Молекулярная теория газов и жидкостей. М.:Изд-во иностр.лит., 1961.

4. Самарский A.A., Галактионов В.А., Курдюмов С.П., Михайлов А.П. Режимы с обострением в задачах для квазилинейных параболических уравнений. М.: Наука, 1987.

5. Боярский Б.В. Теория обобщенного аналитического вектора //Ann. Pol. Math. 1966. V. 16. P. 281-320

6. Векуа И.Ii. Обобщенные аналитические функции. М. Наука, 1988.7| Бицадзе A.B. Краевые задачи для эллиптических уравнений второго порядка. М.: Наука, 1966.

7. Миранда К. Уравнения с частными производными эллиптического типа. М.: Изд-во иностр. лит., 1957.

8. Вишик М.И. О сильно эллиптических системах дифференциальных уравнений //Мат. сб. 29, "1961. Т.29, .№3. С.615-676.

9. Вольперт А.Н. Об индексе и нормальной разрешимости граничных задач для эллиптических систем дифференциальных уравнений на плоскости // Труды Моск. мат. о-ва.1961. Т.10. С.41-87.

10. Ладыженская O.A., Уральцева H.H. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. М.: Наука, 1973.

11. Антонцев C.Ii., Монахов В.Н. Краевые задачи с разрывными граничными условиями для квазилинейных эллиптических систем 2т (т > 1) уравнений первого порядка //Изв. СО АН СССР. Сер. техн. наук. 1967. Т.8, №2. С.65-73.

12. Монахов В.Н. Краевые задачи со свободными границами для эллиптических систем уравнений. Новосибирск: Наука, 1977.

13. Векуа Н.П. Системы сингулярных интегральных уравнений, М.: Наука, 1970.

14. Раенко Е.А. Об однозначной разрешимости задачи Дирихле для квазианалитического вектора // Динамика сплошной среды. 2000. Вып. 116. С. 90-97.

15. Раенко Е.А. Краевые задачи для квази-голоморфиого вектора // Динамика сплошной среды. 2000. Вып. 118. С. 65-70.

16. Вере JI. Математические вопросы дозвуковой и околозвуковой газовой динамики. М.: Изд-во иностр. лит., 1961.

17. Монахов B.Ii. Фильтрация жидкости со свободной границей в неидеальных пористых средах при нелинейном законе сопротивления // Докл. АН СССР. 1983. Т.268, №5. С. 1098-1101.

18. Монахов В.Н. Отображения многосвязных областей решениями нелинейных L-эллиптических систем уравнений // Докл. АН СССР 1975. Т.220, .№3. С.520-523.

19. Монахов В.Н. О принципе квазиконформного склеивания для нелинейных уравнений сильно эллиптических по М.А.Лаврентьеву // Докл. АН СССР 1981. Т.260, №5. С. 1070-1074.

20. Кучер H.A. Краевая задача Римана-Гильберта для одного класса нелинейных эллиптических систем на плоскости // Динамика сплошной среды. 1974. Вып. 18. С.239-242.

21. Монахов В.Н. Об одном вариационном методе решения задач гидродинамики со свободными границами // Сиб. мат. жури. 2000. Т.41, .№5. С.1106-1121.

22. Монахов В.Н. Нелинейные диффузионные процессы // Сиб. мат. журн. 2003. Т.44, .№5. С.1082-1097.

23. Монахов В.Н. Разрешимость стационарных задач тепловой двухфазной фильтрации //Мат. зам. ЯГУ. 1999. Т.6, вып. 1. С.46-53.

24. Монахов В.Н.,Губкина E.B. Корректность задачи о параметрах струйных течений идеальной жидкости //Докл.АН. 2003. Т.391, №5.С.595-597.

25. Шурыгин В.М. Аэродинамика тел со струями.Москва:Машиностроение, 1997.

26. Roclin Juri L. Generelized analitic functions on Riemann surfaces //Lect. Notes Math. 1987. V. 1288. p. 1-128.

27. Бикчантаев А. И. Дифференциальные краевые задачи для эллиптических систем первого порядка на римановых поверхностях // Дифференциальные уравнения, 1987. Т. 23. Вып. 10, С. 1725-1735.

28. Монахов В.Н.,Семенко Е.В. Краевые задачи и псевдодифференциальные операторы на римановых поверхностях, Физматлит, М., 2003, С. 415.

29. Монахов В.Н.,Раенко Е.А. Струйные течения по схемам Шурыгина //Докл.АН. 2006. Т.407, .№1. С. 1-3.

30. Раепко Е.А., Семенко Е.В. О разрешимости краевой задачи сопряжения для нелинейного уравнения Векуа на римановой поверхности //Докл.АН. 2006. Т. 409, .№3. С. 316-319.

31. Ашыралыев Ч., Монахов В.Н. Итерационный алгоритм решения двумерных сингулярных интегральных уравнений //Динамика сплошной среды. 1991. Вып. 101. С. 21-29.

32. Соболев С.Л. Введение в теорию кубатурных формул. М.: Наука, 1974.