Оценивание параметров моделей многосвязных линейных динамических систем разного порядка с помехами во входных и выходных сигналах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Козлов, Евгений Викторович

• Козлов, Евгений Викторович
• кандидат физико-математических наук
• 2011

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Козлов, Евгений Викторович

ВВЕДЕНИЕ.

1. ОБЗОР МЕТОДОВ ОЦЕНИВАНИЯ ПАРАМЕТРОВ ЛИНЕЙНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ С ПОМЕХАМИ ВО ВХОДНЫХ И ВЫХОДНЫХ СИГНАЛАХ.

1.1. Классификация методов оценивания параметров.

1.2. Структура модели с ошибками в переменных.

1.3. Задача оценивания динамических систем с ошибками в переменных.

1.4. Методы инструментальных переменных.

1.5. Компенсирующие смещение метода наименьших квадратов.

1.6. Схема Фриша.

1.7. Метод полных наименьших квадратов.

1.8. Методы ошибки предсказания и максимального правдоподобия.

1.9. Нелинейные методы оценивания параметров.

Выводы по главе 1.

2. ОЦЕНИВАНИЕ ПАРАМЕТРОВ МНОГОСВЯЗНОЙ ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ РАЗНОГО ПОРЯДКА С ОШИБКАМИ В ПЕРЕМЕННЫХ.

2.1. Оценивание параметров многосвязной линейной динамической системы разного порядка при наличии помех во входных и выходных сигналах.

2.2. Оценивание параметров многосвязной линейной динамической системы разного порядка при наличии помех в выходном сигнале.

2.3 Оценивание параметров многосвязной линейной динамической системы разного порядка при наличии автокоррелированных помех во входных и выходных сигналах.

Выводы по главе 2.

3. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ ОЦЕНИВАНИЯ ПАРАМЕТРОВ МНОГОСВЯЗНОЙ ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ С ОШИБКАМИ В ПЕРЕМЕННЫХ.

3.1. Численный метод оценивания параметров многосвязной линейной динамической системы при наличии помех во входных и выходных сигналах

3.2. Численный метод оценивания параметров многосвязной линейной динамической системы при наличии помех в выходном сигнале.

3.3 Численный метод оценивания параметров многосвязной линейной динамической системы при наличии локальных автокоррелированных помех во входных и выходных сигналах.

Выводы по главе 3.

4. ТЕСТИРОВАНИЕ ПОЛУЧЕННЫХ АЛГОРИТМОВ ОЦЕНИВАНИЯ.

4.1. Выбор среды программирования.

4.2. Тестирование алгоритма оценивания параметров с помехами во входных и выходных сигналах.

4.2.1. Исследование сходимости алгоритмов при различных отношениях "помеха-сигнал".

4.2.2. Исследование сходимости алгоритмов при различном объеме выборки, отношения "помеха-сигнал" сг, /<тг = 0.2, <т2 /егж = 0.2.

4.3. Тестирование алгоритма оценивания параметров с локальными автокоррелированными помехами во входных и выходных сигналах.

Выводы по главе 5.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Оценивание параметров моделей многосвязных линейных динамических систем разного порядка с помехами во входных и выходных сигналах»

Актуальность работы. Во второй половине XX в. значительно возросла роль науки об управлении в связи с установленными аналогиями в процессах управления целенаправленной деятельностью человеческого общества, живыми организмами и искусственными, созданными человеком машинами и механизмами. Появлению новых идей и методов управления способствовали: обобщения высокоэффективных принципов теории автоматического управления; возросшие технические возможности в связи с широким развитием вычислительной техники. В области управления возникла необходимость в новых принципах построения моделей, формализации результатов наблюдений. В связи с этим возникло одно из новых и важных направлений, связанное с построением модели на основании данных натурного эксперимента, полученных в условиях реального функционирования объекта по его входным и выходным переменным. Это направление известно в настоящее время как моделирование систем. В этом направлении были разработаны свои принципы, подходы и методы.

При изучении любых объектов (технических систем, процессов, явлений) основной задачей является построение их моделей. Как результат познания модель представляет собой отображение в той или иной форме свойств, закономерностей, физических и других характеристик, присущих исследуемому объекту. Характер модели определяется поставленными целями и может быть различным в зависимости от ее назначения. Модели разделяют на два основных класса: символические (словесные описания, схемы, чертежи, математические уравнения и т. д.) и вещественные (макеты, разного рода физические аналоги и электронные моделирующие устройства, имитирующие процессы в объектах).

При исследовании объектов, предназначенных для управления, применяют математические модели, входящие в класс символических и вещественных. К математическим моделям относится такое математическое описание, которое адекватно отражает как статические, так и динамические связи между входными и выходными переменными объекта. Математическая модель может быть получена и аналитически (закономерности протекающих в объекте процессов полностью известны), и по результатам экспериментального исследования входных и выходных переменных объекта без изучения его физической сущности. Последний подход особенно широко используется на практике, так как позволяет обойтись минимумом априорных сведений об объекте при построении его модели [1].

Математическое моделирование — это процесс установления соответствия данному реальному объекту некоторого математического объекта - математической модели.

В настоящее время математические модели используются очень часто, они дают: а) возможность быстро провести ряд экспериментов с целью поиска оптимального технологического режима или максимально достоверно широко в разных областях: ТАУ, статистике, медицине, геологии, метеорологии и др. Достоинства математического прогноза при минимальных затратах времени и материальных ресурсов. В практике эксплуатации на эти опыты ушли бы годы и десятилетия. б) возможность на модели задать условия эксплуатации, невозможные в реальности, для проверки оптимальных режимов. в) математическая модель по разработанным методикам (метод крутого восхождения, градиентный метод и др.) позволяет быстро найти оптимальные условия ведения технологического процесса. Математическая модель - чаще всего это или одно уравнение математической взаимосвязи выходного сигнала объекта (системы) с входным сигналом, или система уравнений взаимосвязи выходных сигналов с входными.

Задача оценивания формулируется следующим образом: по результатам наблюдений над входными и выходными переменными системы должна быть построена оптимальная в некотором смысле модель, т. е. формализованное представление этой системы. Отсюда видна преемственность между задачей оценивания и указанной общей схемой установления закономерностей по результатам наблюдений. Задача оценивания базируется на современной теории управления. Для ее решения используются современные вычислительные машины. Последние, обладая большим быстродействием и практически неограниченным объемом памяти, создают предпосылки для получения, передачи и обработки больших массивов наблюдений, которые необходимы для построения адекватных моделей реальных объектов.

В зависимости от априорной информации об объекте управления различают задачи оценивания в узком и широком смысле. Задача в узком смысле состоит в оценивании параметров и состояния системы по результатам наблюдений над входными и выходными переменными, полученными в условиях функционирования объекта. При этом известна структура системы и задан класс моделей, к которому данный объект относится. Априорная информация об объекте достаточно велика.

Априорная информация об объекте при оценивании в широком смысле отсутствует или очень бедная, поэтому приходится предварительно решать большое число дополнительных задач. К этим задачам относятся: выбор структуры системы и задание класса моделей, оценивание степени стационарности и линейности объекта и действующих переменных, оценивание степени и формы влияния входных переменных па выходные, выбор информативных переменных и др. К настоящему времени накоплен большой опыт решения задач оценивания в узком смысле. Методы же решения задач оценивания в широком смысле начали разрабатываться только в последние годы, и здесь результаты значительно скромнее, что в первую очередь можно объяснить чрезвычайной трудностью задачи [41].

Целью диссертационной работы является разработка новых математических методов оценивания моделей многосвязных линейных динамических систем разного порядка по входу и выходу при наличии помех во входных и выходных сигналах в условиях априорной неопределенности (отсутствие информации о законе распределения помех), численных методов для получения состоятельных оценок параметров моделей, а так же создание программного обеспечения на основании разработанных алгоритмов.

В соответствии с поставленной целью работы основными задачами исследований являются:

• обзор существующих методов оценивания параметров линейных динамических систем с помехами во входных и выходных сигналах, анализ их преимуществ и недостатков;

• доказательство строгой состоятельности оценок многосвязной линейной динамической системы разного порядка по входу и выходу (и ее частных случаев) с помехами во входных и выходных сигналах на основе введенного обобщенного метода наименьших квадратов;

• разработка численных методов на основе полученных критериев оценивания параметров;

• создание прикладного программного обеспечения на основе предложенных алгоритмов.

Методы исследования.

В работе были использованы:

• теория вероятностей, в том числе теория оценивания;

• математическая статистика;

• теория оптимизации;

• теория матриц,

• линейная алгебра;

• прикладное программирование.

Достоверность и обоснованность научных положений подтверждается соответствием результатов теоретических исследований, экспериментальным тестам.

Научная новизна. В диссертационной работе получены следующие результаты, характеризующиеся научной новизной:

• Разработаны методы параметрического оценивания моделей многосвязных линейных динамических систем разного порядка при наличии помех во входных и выходных сигналах.

• Доказана сильная состоятельность оценок параметров, получаемых с помощью разработанных методов оценивания многосвязных линейных динамических систем разного порядка по входу и выходу с помехами во входных и выходных сигналах (и ее частных случаев, при наличии локально автокоррелированных помех), на основе обобщенного метода наименьших квадратов;

• Разработаны численные методы оценивания многосвязных линейных динамических систем разного порядка по входу и выходу, которые сводятся к многократному решению систем линейных уравнений.

Практическая значимость. Расширен круг задач, при решении которых возможно применение алгоритмов оценивания на основе метода наименьших квадратов. Полученные в диссертации результаты (условия состоятельности) могут быть использованы при проектировании инженерных приложений. Разработано прикладное программное обеспечение, на основе разработанных алгоритмов параметрического оценивания многосвязных линейных динамических систем, позволяющее получать сильно состоятельные оценки параметров.

Реализация и внедрение результатов. Результаты разработки и исследования алгоритмов параметрического оценивания многосвязных линейных динамических систем, описываемых с помощью линейных разностных уравнений, внедрены в учебный процесс Самарской государственной академии путей сообщения на кафедре «Мехатроника в автоматизированных производствах». Использование полученных результатов способствует повышению эффективности учебного процесса.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Доказательство сильной состоятельности оценок, получаемых с помощью разработанных методов оценивания параметров многосвязной линейной динамической системы разного порядка по входу и выходу с помехами во входных и выходных сигналах типа мартингал разности на основе введенного обобщенного метода наименьших квадратов, так же при наличии локально автокоррелированных помех.

2. Численные методы оценивания параметров многосвязных линейных динамических систем разного порядка по входу и выходу при наличии помех во входном и выходном сигналах.

3. Разработка прикладного программного обеспечения на основе предложенных алгоритмов.

Апробация работы. Результаты основных положений диссертации доложены, обсуждены и утверждены на: 1) 15-й Международной конференции «Математика. Компьютер. Образование» (г. Дубна, январь 2008 г.). 2) XVI Международной конференции "Математика. Экономика. Образование" V международный симпозиум "Ряды Фурье и их приложения". Тезисы докладов (Ростов н/Д, 2008 г.). 3) 16-й Международной конференции «Математика. Экономика. Образование» (г. Новороссийск, июнь 2008 г.). 4) 8-й Международной научно-практической конференции «Информационно-вычислительные технологии и их приложения» (г. Пенза, июнь 2008 г.). 5) 7-й Российской конференции с международным участием «Новые информационные технологии в исследовании сложных структур» (г.

Томск, сентябрь 2008 г.) 6) Одиннадцатой международной научно-технической конференции "Моделирование, идентификация, синтез систем управления" (14-21 сентября 2008 г. Донецк). 7) 9-й Международной конференции по математическому моделированию (Украина, г. Феодосия, сентябрь 2008 г.) 8) 5-м Международном семинаре «Физико-математическое моделирование систем» (г. Воронеж, ноябрь 2008 г.). 9) 16-й Международной конференции «Математика. Компьютер. Образование» (г. Дубна, январь 2009 г.). 10) Международной Сибирской конференции «Siberian Conference on Control and Communications» (г. Томск, март 2009 г.). 11) 6-й Международной конференции «Математическое моделирование в образовании науке и производстве» (Приднестровье, г. Тирасполь, июнь 2009 г.) 12) Международной конференции "Информационные технологии и информационная безопасность в науке, технике и образовании" (Украина, г. Севастополь, сентябрь 2009 г.) 13) "Моделирование, идентификация, синтез систем управления" двенадцатая международная научно-техническая конференция (14-21 сентября 2008 г. Донецк). 14) 12-й международной конференции «Моделирование, идентификация, синтез систем управления» (Украина, г. Алушта, сентябрь 2009 г.) 15) International Conference on Automation, Control, and Information Technology (15-18 июня 2010 г. Новосибирск). 16) "Системный анализ и информационные технологии" Четвертая международная конференция (Абзаково 17-23 августа 2011 г.).

Публикации. Самостоятельно и в соавторстве по материалам диссертации опубликовано 22 печатные работы (в том числе 6 работ в изданиях, рекомендованными ВАК), получено 1 свидетельство об официальной регистрации программ для ЭВМ.

Объем и структура работы. Диссертационная работа состоит из введения, 4 глав, выводов по главам, заключения, библиографического списка использованной литературы и приложения. Объем работы: 117 страница основного машинописного текста, 45 рисунков, 3 таблицы.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Козлов, Евгений Викторович

Выводы по главе 5

1. Исследованы алгоритмы на основе нелинейного метода наименьших квадратов, которые дают состоятельные оценки параметров. Рассмотрен достаточно большой класс линейных многосвязных моделей при различных отношениях помех, различной выборки, различных классов помех (мартингал-разности, локальной автокорреляции), различных структурах.

2. Проведена сравнительная характеристика разработанных алгоритмов с методом наименьших квадратов и методом инструментальных переменных. Численные эксперименты показали, что разработанные алгоритмы имеют большую точность, по сравнению с известными методами.

3. Протестированы алгоритмы параметрического оценивания для случая локально автокоррелированных помех. Тестирование подтвердило, что при наличии оценок нескольких значений функций автоковариаций помех, могут быть получены оценки с высокой точностью.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Козлов, Евгений Викторович, 2011 год

1. ЛИТЕРАТУРЫ1 .Алексеев A.A., Имаев Д.Х., Кузьмин H.H., Яковлев В.Б. Теория управления. Санкт-Петербург Издательство СПбГЭТУ "ЛЭТИ" 1999.

2. Андерсон Т. Введение в многомерный статический анализ. М.: Физматгиз, 1963. - 500 с.

3. Ануфриев И.Е., Смирнов А.Б., Смирнова E.H.MATLÂB 7. БХВ-Петербург, 2005. - 1104 с.

4. Беллман Р. Введение в теорию матриц. — М.:Наука, 1989. — 376с.

5. Волныкин А.Н., Кацюба O.A. Идентификация многомерных по входу стационарных линейных динамических систем. // Известия Самарского научного центра Российской академии наук 2006-№4 -с. 1026-1033.

6. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1966. - 575 с.

7. Голуб Дж., Ван Лоун Ч. Матричные вычисления: Пер. с англ. — М.: Мир, 1999. — 548 с, ил. — ISBN 5-03-002406-9.

8. Деревицкий Д.П., Фрадков A.JI. Прикладная теория дискретных адаптивных систем управления. М.: Наука, 1991. -215 с.

9. Кацюба O.A. Теория идентификации стохастических динамических систем в условиях неопределенности: монография / O.A. Кацюба. — Самара: СамГУПС, 2008. 119 с.

10. Кацюба O.A., Волныкин А.Н. Идентификация многомерных по входу стационарных линейных динамических систем // Известия Самарского научного центра Российской академии наук. 2006. - С.1026-1033.

11. Кацюба O.A., Жданов А.И. О состоятельности оценок наименьших квадратов параметров линейных разностных уравнений при автокоррелированных помехах // Изв. АН УССР. Кибернетика. 1983. -№ 5. — С.102-107.

12. Кацюба O.A., Жданов А. И. Особенности применения МП К для оценивания линейных разностных операторов в задачах идентификации объектов управления // Автоматика и телемеханика -1979 №8 - с. 86-96.

13. Кацюба O.A., Козлов Е.В. Параметрическая идентификация многомерных по входу и выходу динамических систем при наличиипомех во входных и выходных сигналах. // Вестник Херсонского национального технического университета. Вып. 2(31). Херсон: ХНТУ, 2008.

14. Кацюба O.A., Козлов Е.В. Численный метод идентификации многосвязных линейных динамических систем при наличии помех во

15. XIII Международная конференция «Математика. Компьютер. Образование». Новороссийск, 29 мая 5 июня 2005 года.

16. Козлов Е.В. Оценивание параметров многосвязных линейных динамических систем при наличии помех в выходных сигналах. // Вестник Транспорта Поволжья №2 (22). Самара, СамГУПС, 2010, С. 66-71.

17. Козлов Е.В. Численный алгоритм оценивания параметров многосвязных линейных динамических систем при наличии помех в выходных сигналах в условиях априорной неопределенности // Вестник Транспорта Поволжья Самара, СамГУПС, 2011. №1(25) с.

18. Козлов Е.В. Иванов Д.В. Численный алгоритм оценивания параметров многосвязных динамических систем при наличии помех во входных и выходных сигналах // Вестник транспорта Поволжья, Самара, СамГУПС, 2010. №3(23) с.10-17.

19. Подкур М.Л., Подкур П.Н., Смоленцев Н.К Программирование в среде BorlandC++ Builder с математическими библиотеками MATLAB C/C++. М.: ДМК Пресс, 2006. - 496 с.

20. Хъюнт, Бриан P., Matlab R2007 с нуля: пер. с англ. / М.: Лучшие книги, 2008. - 352 с.

21. Цветков Э.И. Нестационарные случайные процессы и их анализ. М.: Энергия, 1973.-128 с.

22. Эйкхофф П. Основы идентификации систем управления. Пер. с англ. -М.: Мир, 1975. 683 с.42 .Aoki and P. C. Yue. On a priori error estimate of some identification methods. IEEE Transactions onAutomatic Control, AC-15:541-548, October 1970.

23. Beghelli, R.P. Guidorzi, and U. Soverini. The Frisch scheme in dynamic system identification. Automática, 26:171-176,1990.

24. Delopoulos A., Giannakis G.B.Consistent identification of stochastic linear systems with noisy input-output data. Automatica, Vol.-30(8), P. 1271-1294, August 1994.

25. Diversi, R. Guidorzi, and U. Soverini. A new criterion in EIV identificationthand filtering applications. In 13 IF AC Symposium on System Identification, Rotterdam, The Netherlands, August 27-29 2003.

26. Diversi R., Guidorzi R., Soverini E/.Frisch scheme-based algorithms for EIV identification. In Proc. 12th IEEE Mediterranean Conference on Control and Automation, Kusadasi, Turkey, June 2004.

27. Eising, N. Linssen, and H. Rietbergen. System identification from noisy measurements of inputs and outputs. Systemsand Control Letters, 2:348353, 1983.

28. Ekman. Identification of linear systems with errors in variables using separable nonlinear least squares. In 16th IFAC World Congress, Prague, Czech Republic, July 04-08 2005.

29. Ekman, M. Hong, and T. Sóderstróm. A separable nonlinear least squares approach for identification of linear systems with errors in variables. In 14th IFAC Symposium on System Identification, Newcastle, Australia, March 29-31 2006.

30. B. Feng and W. X. Zheng. Robust identification of stochastic linear systems with correlated noise. IEE Proceedings, Part D, 138(5):484-492, September 1991.

31. V. Fernando and H. Nicholson. Identification of linear systems with input and output noise: the Koopmans-Levin method. IEE Proceedings, Part D, 132(l):30-36, January 1985.

32. Frisch. Statistical confluence analysis by means of complete regression systems. Technical Report 5, University of Oslo, Economics Institute, Oslo, Norway, 1934.

33. Gamier, M. Gilson, and W. X. Zheng. A bias-eliminated least-squares method for continuous-time model identification of closed-loop systems. International Journal of Control, 71:38-48, 2000.

34. Gilson and P. Van den Hof. On the relation between a bias-eliminated least-squares (BELS) and an IV estimator in closed-loop identification. Automatica, 37:1593-1600, 2001.

35. J. Gleser. Estimation in a multivariable "errors in variables" regression model: large sample results. The Annals of Statistics, 9(l):24-44,1981.

36. Guidorzi. Invariants and canonical forms for systems structural and parametric identification. Automatica, 17(1):117-133, January 1981.

37. Guidorzi. Identification of multivariable processes in the Frisch scheme context. In MTNS 96, St Louis, USA, 1996.

38. Hong, 71 Sóderstróm, and W. X Zheng. Accuracy analysis of bias-eliminating least squares estimates for errors-in-variables identification. In 14th IF AC Symposium on System Identification, Newcastle, Australia, March 29-31 2006.

39. Ikenoue, S. Kanae, Z.-J. Yand and K. Wada. Identification of noisy input-output system using bias compensated least-squares method. In IF AC 16th World Congress, Prague, Czech Republic, July 2005.

40. J. Jia, M. Ikenoue, C. Z. Jin, and K. Wada. On bias compensated least squares method for noisy input output system identification. In Proc. of 40th

41. EE Conference on Decision and Control, pages 3332-3337, Orlando, Florida, USA, 2001.

42. Koopmans. J. Linear Regression Analysis of Economic Time Series. N. V. Haarlem, The Netherlands, 1937.

43. Kukush, I. Markovsky, and S. Van Huffel. Consistency of the structured total least squares estimator in a multivariate errors-in-variables model. Journal of Statistical Planning and Inference, 133:315-358,2005.

44. Levin. J. Estimation of a system pulse transfer function in the presence of noise. IEEE Transactions on Automatic Control, AC-9:229-235, July 1964.

45. Ljimg. System Identification Theory for the User, 2nd edition. Prentice Hall, Upper Saddle River, NJ, USA, 1999.

46. Ljtmg and T. Soderstrom. Theory and Practice of Recursive Identification. МГГ Press, Cambridge, MA, USA, 1983.

47. Pintelon and J. Schoukens. Personal communication. 2005.

48. Reierso, Confluence analysis by means of lag moments and other methods of confluence analysis. Econometrica, 9:1-24,1941.

49. Reiersol, Identifiability of a linear relation between variables which are subject to error. Econometrica, 18 (4):375-389, 1950.

50. Scherrer and M. Deistler. A structure theory for linear dynamic errors-in-variables models. SLAM Journal on Control and Optimization, 36(6):2148-2175, November1998.

51. Söder ström T. Identification of stochastic linear systems in presence of input noise. Automática, Vol.-17 P.713-725, 1981.

52. Söderström T. Discrete-time Stochastic Systems Estimation and Control, 2nd edition. Springer-Vela, London, UK, 2002.

53. Söderström T. Accuracy analysis of the Frisch estimates for identifying errors-in-variables systems. In 44th IEEECDC/ECC 2005, Seville, Spain, December 12-15 2005.

54. Söderström T. On computing the Cramer-Rao bound and covariance matrices for PEM estimates in linear state space models. In 14th IF AC Symposium on System Identification, Newcastle, Australia, March 29-31 2006.

55. Söderström T. and K. Mahata. On instrumental variable and total least squares approaches for identification of error-in-variables models. International Journal of Control, 75:709-718, April 2002.

56. Söderström T., Stoica P. Instrumental Variable Methods for System Identification. Springer-Verlag, Berlin, 1983.

57. Söderström and P. Stoica. System Identification. Prentice Hall International, Hemel Hempstead, UK, 1989.

58. Söderström, W. X. Zheng, and P. Stoica. Comments on 'On a least-squares-based algorithm for identification of stochastic linear systems'. IEEE Transactions on Signal Processing, 47:1395-1396, May 1999.

59. Soveriniand T. Söderström. Identification methods of dynamic systems in presence of input noise. In Proc. SYSID 2000, IF AC 12th Symposium on System Identification; Santa Barbara, California, June 21-23 2000.

60. Stoica, T. Söderström, and V. Simonyte. Study of a bias-free least squares parameter estimator. IEE Proc. Control Theory Appl., 142:1-6, 1995b.

61. Stoica P., Soderstrom T. Bias correction in least Squares identification // Int. J. Control. 1982. V. 35. № 3.

62. Union F. Recursive Estimator of the Solutions of Linear Equation Sequence//IEEE Trans. Aut. Control. 1984. V.AC -29. №2. P. 177-179.

63. Van Huff el and J. Vandewalle. Comparison of total least squares and instrumental variable methods for parameter estimation of transfer function models. International Journal of Control, 50:1039-1056, 1989.

64. Van Huffel and J. Vandewalle. The Total Least Squares Problem: Computation Aspects and Analysis. SIAM, Philadelphia, USA, 1991.

65. Wada, M. Eguchi, and S. Sagara Estimation of pulse transfer functions via bias-compensated least-squares method in the presence of input and output noise. System Sciences, 16(3):57-70, 1990.

66. X. Zheng. Transfer function estimation form noisy input and output data. International Journal of Adaptive Control and Signal Processing, 12:365380,1998.

67. X. Zheng. On least-squares identification of stochastic linear systems with noisy input-output data. International Journal of Adaptive Control and Signal Processing, 13:131-143,1999a.

68. X. Zheng. Parametric identification of noisy closed-loop linear systems. In Proc. 14th IF AC World Congress, Beijing, P.R. China, July 1999b.

69. X. Zheng. A bias correction method for identification of linear dynamic errors-in-variables models. IEEE Transactionson Automatic Control, 47(7): 1142-1147, July 2002.

70. X. Zheng and C. B. Feng. Unbiased parameter estimation of linear systems in presence of input and output noise. International Journal of Adaptive Control and Signal Processing, 3:231-251, 1989.

71. X. Zheng and C. B. Feng. Identification of a class of dynamic errors-in-variables models. International Journal of Adaptive Control and Signal Processing, 6:431—440,1992.