Оценки погрешностей регуляризующих алгоритмов для неустойчивых задач тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Рудакова, Татьяна Николаевна

• Рудакова, Татьяна Николаевна
• кандидат физико-математических наук
• 1998

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Рудакова, Татьяна Николаевна

Содержание

ВВЕДЕНИЕ

1 КЛАССИФИКАЦИЯ МЕТОДОВ РЕШЕНИЯ НЕКОРРЕКТНЫХ ЗАДАЧ С НЕИНЪЕКТИВНЫМ ОПЕРАТОРОМ

1.1 Классификация некорректных задач и понятие оптимального метода

1.2 Понятие регуляризующего семейства операторов. Основные допущения

1.3 Оценка погрешности оптимального метода решения некорректных задач с инъективным оператором

1.4 Оценка погрешности регуляризации при условии не-инъективности оператора

2 ИССЛЕДОВАНИЕ НА ОПТИМАЛЬНОСТЬ МЕТОДОВ РЕГУЛЯРИЗАЦИИ ДЛЯ ЗАДАЧ С НЕИНЪЕКТИВНЫМ ОПЕРАТОРОМ

2.1 Постановка задачи

2.2 Вычисление квазиоптимального параметра регуляризации

2.3 Оценка погрешности метода регуляризации Тихонова при условии неинъективности оператора

2.4 Модифицированный метод А.Н.Тихонова

2.5 Оптимальность по порядку в случае степенной функции д(Х)

2.6 Оптимальность по порядку в случае экспоненциальной функции д(А)

3 ТОЧНОСТЬ ОПТИМАЛЬНЫХ ПО ПОРЯДКУ МЕТОДОВ ПРИ ДОПОЛНИТЕЛЬНЫХ ОГРАНИЧЕНИЯХ НА ПОГРЕШНОСТЬ ОПЕРАТОРА

3.1 Постановка задачи

3.2 Определение оптимального линейного алгоритма

3.3 Вычисление функции 07^(5,/г, г)

3.4 Построение линейного оптимального по порядку алгоритма

3.5 Оптимальность по порядку метода М.М.Лаврентьева

ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Оценки погрешностей регуляризующих алгоритмов для неустойчивых задач»

ВВЕДЕНИЕ

1. Большое число задач математической физики, возникающих в практических приложениях, не являются корректно поставленными по Адамару [102,103], то есть не удовлетворяют трем требованиям корректности: существование решения, его единственность и непрерывная зависимость от исходных данных. Следствием этого является непригодность для их решения таких традиционных методов как обращение оператора, метод наименьших квадратов [104,105 и др.].

Теория специальных устойчивых методов решения некорректно поставленных задач - регуляризующих алгоритмов - создана в основополагающих трудах академиков А.Н.Тихонова, М.М.Лаврентьева, чл.-корр. В.К.Иванова и развита далее в работах В.Я.Арсенина, А.Б.Бакушинского, А.Л.Бухгейма, Г.М.Вайникко, Ф.П.Васильева, В.В.Васина, В.А.Винокурова, Ю.Л.Гапоненко,

A.В.Гончарского, В.Б.Гласко, А.И. Гребенщикова, А.М.Денисова,

B.И.Дмитриева, П.Н.Заикина, В.В.Иванова, А.С.Ильинского, Т.И.Королюк, А.С.Леонова, О.А.Лисковца, В.А Морозова,

A.И.Прилепко, В.Г.Романова, А.Г.Свешникова, В.Н.Страхова,

B.П.Тананы, А.М.Федотова, А.В.Чечкина, А.Г.Яголы и других математиков.

На сегодняшний день накоплен огромный теоретический и практический материал, значительная часть которого отражена в

монографиях М.М.Лаврентьева [39], А.Н.Тихонова и В.Я.Арсенина [84], Р.Латтерса и Ж.Л.Лионса [38],В.А.Морозова [52], В.К.Иванова, В.В.Васина и В.П.Тананы [36], Лаврентьева М.М., Романова В.Г. и Шишатского С.П. [42], А.О.Лисковца [44], В.П.Тананы [61], А.Б.Бакушинского и А.В.Гончарского [5], В.В.Васина и А.Л. Агеева [12], что является несомненным признаком известной зрелости соответствующего раздела математики.

В теории некорректно поставленных задач можно выделить три главных направления исследований.

I. Регуляризуемостъ задачи, то есть исследование вопроса о существовании хотя бы одного регуляризующего алгоритма. Важность вопроса определяется тем, что далеко не все задачи ре-гуляризуемы. Например, уравнение

Аи = /, Ае(и ^Г)

даже в случае линейного непрерывного оператора А и линейного нормированного пространства нерегуляризуемо, если £/-несепарабельно, а ^-сепарабельно. [13] Общая постановка этого вопроса и проблем, связанных с ним, принадлежит В.А.Винокурову [13, 14, 16, 17].

II. Построение специальных методов решения некорректных задач (регуляризующих алгоритмов) для класса регуляризуемых задач - второе глобальное направление исследований.

Наибольший интерес среди некорректно поставленных задач представляют задачи, не удовлетворяющие третьему условию корректности по Адамару, то есть задачи неустойчивые. В предположении существования единственного решения в таких задачах эта проблема достаточно хорошо исследована. В настоящее время разработано много различных регуляризующих алгоритмов, обзор ко-

торых дан, например, в перечисленных выше монографиях.

Начало изучения проблемы в предположении неединственности решения положено в 1963 году в работе В.К.Иванова [30], в которой введено понятие (3 - устойчивости множеств приближенных ре-

о "Г"| и

шении. В дальнейшем с использованием этого и аналогичных ему понятий проблема II находилась в центре внимания исследователей. Здесь помимо работ В.К.Иванова [31,32,36] могут быть названы работы В.В.Васина [9,10], О.А.Лисковца [45,46,47,44], В.А.Морозова [52], В.П.Тананы [61,62, 64,67,71] и других.

Построенные специальные методы (регуляризующие алгоритмы) весьма эффективно применяются для решения многих прикладных задач астрофизики, вычислительной томографии, геофизики, математического проектирования, медицины, оптимального управления системами, оптимального планирования, оптики и спектроскопии физики колебаний и т.д.

Особенно широкое практического применение получили тихоновские регуляризующие алгоритмы, основанные на минимизации сглаживающего функционала Тихонова [85 - 99] со специальным выбором параметра регуляризации.

Однако наличие регуляризующего алгоритма не всегда позволяет строить решения с заданной точностью. Потому в работе [28] В.К.Иванов наряду с задачей построения устойчивых приближений к точному решению выдвигает не менее важную задачу оценки их погрешностей, решение которой влечет, в свою очередь, возможность классифицировать известные методы. Среди всех методов приближенного решения наибольший интерес представляют методы, имеющие наименьшую погрешность (оптимальные) на некотором классе решений или в некотором смысле близкие к ним [1,3, 4, 6 - 8,11, 14 -15,18,19,23, 24,33,34,36,44, 52 - 55,59,64 - 73, 100,106].

III. Исследование методов на оптимальность - третье фундаментальное направление исследований в теории некорректных задач.

При сравнительном анализе методов возникает необходимость получения точных (или точных по порядку) оценок оптимальных методов, позволяющих судить о максимально возможной гарантированной точности приближенного решения задачи. Исследованию таких оценок для неустойчивых задач с точно заданным оператором посвящены, например, работы [24,25,29,52,59, 60,69].

В последнее время в связи с запросами геофизики и теоретической физики возникла необходимость в исследовании уравнений с приближенно заданным оператором. В вопросах постановки задач приближенного решения уравнений с ошибкой в операторе и разработки методов решения таких задач следует отметить работы [20 -22,36,49, 64 - 66],

Ввиду повышенных требований, предъявляемых к детальности описания реальных объектов в указанных задачах, связанных с необходимостью более точного описания пластов с богатым содержанием полезного компонента, учетом балансовых руд и подсчетом запасов полезных ископаемых, определением "тонкой структуры" спектров в обратных задачах физики твердого тела [43,37] и т.д., встала проблема оптимальности получаемых приближеных решений и оценки их отклонения от точного решения.

Исследованию оптимальности методов решения некорректных задач посвящены работы [24,36,50,51, 58 - 60, 65 - 70,73]

Для получения оценок точности оптимальных методов (имеющих наименьшую погешность) вводились различные оценочные функции, основной из которых является модуль непрерывности обратного оператора. Эти оценки хороши только при условии инъ-

ективности оператора, входящего в уравнение. Для неинъективного оператора модуль непрерывности обратного оператора не является бесконечно малой функцией [44,61]. Поэтому формальный перенос результатов исследования оценок точности оптимальных методов для задач с единственным решением на случай неединственного решения приводит к тому, что все имеющиеся методы оказываются оптимальными на классе задач с неинъективным оператором, а оценки их погрешностей не сходятся к нулю.

Лисковец О.А.пытался преодолеть эту трудность [44], введением понятия модуля /3 - непрерывности, в рамках классического подхода к определению количественной характеристики точности метода.

Однако исследования Тананы В.П. и Янченко С.И. [83,103] показали, что модуль (3 - непрерывности стремится к нулю тогда и только тогда, когда оператор, входящий в уравнение конечномерен. Поэтому проблема поиска оптимальных методов решения задач с неединственным решением фактически осталась открытой.

Ивановым В.К. [31] было дано определение нормального решения и доказана сходимость регуляризованных решений к нормальному. В классе равномерной регуляризации эта сходимость является равномерной. Попытка оценить ее заставила пересмотреть некоторые понятия, в частности, определение количественной характеристики точности метода.

Так Танана В.П. в в работе [70], посвященной вопросам регуляризации линейных вырожденных операторных уравнений, предложил смотреть на эту проблему в новой постановке, требующей перехода к фиксированному точному оператору в определении количественной характеристики точности метода построения приближенных решений к нормальному.

Такое определение впервые было использовано Васиным В.В.[36] для исследования на оптимальность методов регуляризации для задач с единственным решением, где оно было эквивалентно классическому определению, введенному Тананой В.П. в [66]. В классе операторных уравнений первого рода с возмущенным оператором в предположении неинъективности точного оператора такой подход имеет принципиально новое содержание. Он был развит в работах [70,73].

Глава 2 настоящей диссертации продолжает развитие этой теории. Здесь исследуются на оптимальность некоторые регуляризую-щие алгоритмы для линейного операторного уравнения I рода

Аи = / (0.1)

в сепарабельном гильбертовом пространстве Н.

Во второй главе оператор А предполагается линейным самосопряженным неинъективным оператором. Предполагается, что множество точных решений уравнения (0.1) имеет непустое пересечение с образом шара радиуса г при линейном непрерывном инъективном отображении В. Известно, что на ортогональном дополнении к ядру А оператор В = д(А).

Приближение к нормальному решению (решению с минимальной нормой) уравнения (0.1) строится методом регуляризации А.Н.Тихонова.

Для случая степенной функции д получены точные по порядку оценки погрешности метода, доказывающие его неоптимальность по порядку.

В пункте 2.4 доказывается оптимальность по порядку модифицированного метода А.Н.Тихонова в случаях, если функция д степенного и экспоненциального вида.

Первая глава диссертации носит вспомогательный характер.

Здесь приводятся известные понятия и факты, которые используются в дальнейшем, что позволяет читать диссертацию без обращения к первоисточникам.

В главе 3 рассматриваются задачи с инъективным оператором. К настоящему времени теория оптимизации методов решения операторных уравнений при условии единственности решения разработана достаточно хорошо.

Равномерные оценки погрешности решения, получаемые при использовании регуляризующих алгоритмов ( даже оптимальных в своем классе) в ряде случаев оказываются слишком грубыми. Использование регуляризующих алгоритмов приводит к заглаживанию, то есть стиранию "тонкой" структуры решения, определение которой требуется в ряде некорректных задач физики твердого тела [37,43].

Одним из способов преодоления этой трудности является повышение точности методов за счет привлечения дополнительной информации либо о решении, либо об исходных данных задачи [12]. Такой дополнительной информацией может стать, например, условие коммутируемости операторов — А и А [61].

Во многих задачах, возникающих в различных разделах математической физики в качестве исходной информации имеются асимптотические условия.

Например, при решении интегрального уравнения типа свертки

¡ппК{х-у)и(х)йх = !{у), и{х), !{у)ес\пп\

где правая часть f(yy) и ядро К(х — у), являющееся непрерывной, абсолютно интегрируемой и четной функцией, заданы приближенно, может быть известно, что, во-первых, погрешность задания ядра является функцией самого ядра, во-вторых, характер асимптотики

Фурье-преобразования ядра [84, стр.184].

Введение дополнительной априорной информации приводит к новой постановке задачи, а, следовательно, к новому пониманию оптимального метода решения задачи.

В главе 3 получены точные по порядку оценки погрешности оптимального по порядку метода, доказана оптимальность метода М.М.Лаврентьева [39] и метода проекционной регуляризации [35].

Полученные оценки показывают, как учет асимптотических условий наряду с условием коммутируемости операторов, позволяет значительно повысить точность регуляризующих алгоритмов.

Для получения сформулированных в диссертации результатов используются различные методы теории функций и функционального анализа, спектральная теория линейных операторов в гильбертовом пространстве.

Основные результаты диссертации являются новыми, они опубликованы в [56,57,74-82]. В работах [74-82] В.П.Танане принадлежит постановка задач и идейная сторона, диссретанту - реализация этих идей.

В заключение автор выражает глубокую признательность своему научному руководителю профессору, доктору физико - математических наук В.П.Танане за постоянную помощь и внимание в работе, а также кандидатам физико-математических наук Л.Д.Менихесу, М.А.Реканту и С.А.Рогожину за плодотворное обсуждение результатов диссертации.

На протяжении всей работы используются следующие понятия и обозначения:

11 Н

(u,v)

рг(х,Х)

(U^F)

V{A) К{А) Е А*

КегА Sp{A)

f(x) = 0(д(х))

f(x) ~ д(х)

вещественная прямая гильбертово пространство скалярное произведение элементов и Е Н и v G Н

ортогональная проекция элементата х на пространство X пространство линейных непрерывных операторов, наделенное равномерной операторной топологией область определения оператора А множество значений оператора А тождественный оператор сопряженный к А оператор ядро оператора А, то есть КегА = {и G Т>(А) : Аи = 0} спектр оператораА

вещественнозначныё функции / и д определены на множестве X С 71 f(x) = 0(д{х)) при х —s- 0, то есть существует постоянная С, что неравенство \f(x)\ < С\д(х)\) выполнено в некоторой окрестности точки х = 0 f(x) = 0(д(х)) & д(х) = 0(f(x))

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Рудакова, Татьяна Николаевна, 1998 год

ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА

1. Арестов В.В. О наилучшем приближении операторов дифференцирования // Мат. заметки, 1967, I, вып.2, с.149-154.

2. Бакушинский А.Б. Один общий прием построения регуляризую-щих алгоритмов для линейного некорректного уравнения в гильбертовом пространстве // Журн. вычислит, мат. и мат. физ., 1967, т.7, 3, с. 672-677.

3. Бакушинский А.Б. Некоторые вопросы теории регуляризующих алгоритмов // Вычислительные методы и программирование. Вып. 12. - М.: Изд-во МГУ, 1969, с.56-79.

4. Бакушинский А.Б. Замечания о выборе параметра регуляризации по критерию квазиоптимальности и отношения // Журн. вычислит, мат. и мат. физ., 1984, т. 24, 8, с.1258 - 1259. .

5. Бакушинский А.Б., Гончарский A.B. Некорректные задачи. Численные методы и приложения // М.: Изд-во Моск.ун-та, 1989, 199 с.

6. Вайникко Г.М. Методы решения линейных некорректно поставленных задач в гильбертовых пространствах. // Тарту: ТГУ, 1982, 110 с.

7. Вайникко Г.М. Об одном классе методов регуляризации при наличии априорной информации о решении // Учен. зап. Тартуск. ун-та, 1984, Вып. 672, с. 3-9.

8. Вайникко Г.М. Оценки погрешности методов регуляризации для нормально разрешимых задач // Журн. вычислит, мат. и мат. физ., 1985, т.25, 10, с.1443-1456.

9. Васин В.В. О связи некоторых вариационных методов приближенного решения некорректных задач // Мат. заметки., 1970, т.7, N3, с.265-272.

10. Васин В.В. О ¡3- сходимости проекционного метода для нелинейных операторных уравнений // Журн. вычисл. мат. и мат. физ., 1972, т.12, N2, с.492-496.

11. Васин В.В. Оптимальные методы вычисления значений неограниченных операторов // Институт кибернетики АН УСССР, Киев, 1977, 17 с.

12. Васин В.В., Агеев А.Л. Некорректные задачи с априорной информацией // Рос.АН, Урал, отд-ние, Ин-т матаматикм и механики. - Екатеринбург: Наука. Урал. изд. фирма, 1993 , 261 с.

13. Винокуров В.А. Об одном необходимом условии регуляризуемо-сти по Тихонову // Докл. АН СССР, 1970, 195, N3, с.530-531.

14. Винокуров В.А. Общие свойства погрешности приближенного решения линейных функциональных уравнений // Журн. вычислит. мат. и мат. физ., 1971, т.II, N1, с. 22-28.

15. Винокуров В.А. Свойства функционала погрешности Д(/, R, 6, х) при фиксированном 8 как функции х.// Журн. вычислит, мат. и мат. физ., 1975, т.15, N4, с. 815-829.

16. Винокуров В.А., Менихес Л.Д. Необходимое и достаточное условие линейной регуляризуемости. // Докл. АН СССР, 1976, т.229, N6, с.1292-1294.

17. Винокуров В.А., Петунии Ю.И., Пличко А.Н. Измеримость и регуляризуемость отображений, обратных к непрерывным линейным операторам // Мат.заметки, 1973, т.26, N4, с. 583-593.

18. Гилязов С.Ф. О регуляризуюгцих алгоритмах, основанныхна методе сопряженных градиентов // Журн. вычислит, мат. и мат. физ., 1986, т.26, 1, с. 15-22.

19. Гилязов С.Ф., Морозов В.А. Оптимальная регуляризация некорректных нормально разрешимых операторных уравнений // Журн. вычислит, мат. и мат. физ., 1986, т.26, 1, с.15-22.

20. Гончарский A.B., Леонов A.C., Ягола А.Г. Об одном регуляри-зующем алгоритме для некорректно поставленных задач с приближенно заданным оператором // Журнал вычислит, мат. и мат. физ., 1972, 12, N6, с. 1592-1594.

21. Гончарский A.B., Леонов A.C., Ягола А.Г. Обобщенный принцип невязки // Журнал вычислит, мат. и мат. физ., 1973, 13, N2, с. 294-302.

22. Гончарский A.B., Леонов A.C., Ягола А.Г. О регуляризации некорректно поставленных задач с приближенно заданным оператором // Журнал вычислит, мат. и мат. физ., 1974, 14, N4, с. 1022-1027.

23. Данилин А.П. Об оптимальных по порядку оценках конечномерных аппроксимаций решений некорректных задач // Журн. вычислит, мат. и мат. физ., 1985, т.25, 8, с.1123-1130.

24. Иванов В.В. Об оптимальных по точности алгоритмах приближенного решения операторных уравнений I рода // Журн. вычислит. мат. и мат. физ., 1975, т.15, 1, с.3-11.

25. Иванов В.В. Об оптимальных по точности алгоритмах численного решения некорректно поставленных задач на ЭВМ //В кн.: Методы решения некорректно поставленных задач и их применение. Труды Всесоюз. школы молодых ученых (Ростов-Великий, 9-18 октября 1973 г.). М., Изд-во МГУ, 1974, с.16-20.

26. Иванов В.В., Кудринский В.Ю. Приближенное решение линейных операторных уравнений в гильбертовом пространстве методом наименьших квадратов. 1,11. // Журн. вычислит.мат. и мат. физ., 1966, 6, N5, с.831-841; 1967, 7, N3, с.475-496.

27. Иванов В.К. О линейных некорректных задачах. // Докл. АН СССР, 1962, 145, N2, с.270-272.

28. Иванов В.К. О равномерной регуляризации неустойчивых задач.// Сиб.мат.журн., 1966, 7, N3, с.546-558.

29. Иванов В.К., Королюк Т.И. Об оценке погрешностей при решении некорректно поставленных задач // Журн. вычислит, мат. и мат. физ., 1985, т.25, 8, с.30-41.

30. Иванов В.К. О некорректно поставленных задачах // Мат.сборник, 1963, т.61, N2, с.211-223.

31. Иванов В.К. Линейные неустойчивые задачи с многозначными операторами // Сиб. мат. журн., 1970, т.11, N5, с.1009-1016.

32. Иванов В.К. О решении операторных уравнений, не удовлетворяющих условиям корректности // Тр. Мат. ин-та АН СССР, 1971, т.112, с.232-240.

33. Иванов В.К. Об оценке погрешностей при решении операторных уравнений первого рода //В кн.: Вопросы точности и эффективности вычислительных алгоритмов. Труды симпозиума, кн.2. Киев, Ин-т кибернетики АН УССР, 1969, с.102-116.

34. Иванов В.К. Об оценке устойчивости при решении некорректных задач //В кн.: Методы решения некорректных задач и их применение. М.: Изд-во МГу, 1974, с.16-20. (Труды Всесоюзной школы молодых ученых. Ростов-Великий, 9-18 октября 1973г.)

35. Иванов В.К. О применении метода Пикара к решению интегральных уравнений первого рода // ВиОпэ^РоШекп. 1аз1., 1968, У.14, N3/4, р.71-78.

36. Иванов В.К., Васин В.В., Танана В.П. Теория линейных некорректных задач и ее приложения // М., "Наука", 1978,206 с.

37. Коршунов В.А., Танана В.П. Определение фотонной плотности состояний по тернодинамическим функциям кристалла / / Докл. АН СССР, 1976, т.231, N4, с. 845-848.

38. Латтес Р., Лионе Ж.Л. Метод квазиобращения и его приложения // М., "Мир", 1970.

39. Лаврентьев М.М. О некоторых некорректных задачах математической физики // Новосибирск: Изд-во СО АН СССР, 1962, с.92.

40. Лаврентьев М.М. О постановке некоторых некорректных задачах математической физики //В кн.: Некоторые вопросы вычислительной и прикладной математики. Новосибирск, Наука, 1966, с.258-276.

41. Лаврентьев М.М. Условно-корректные задачи для дифференциальных уравнений // Новосибирск, НГУ, 1973.

42. Лаврентьев М.М., Романов В.Г., Шишатский С.П. // Некорректные задачи математической физики и анализа.- М.: Наука, 1980.

43. Лившиц Л.М. Об определении энергетического спектра бозе-системы по ее теплоемкости // ЖЭТФ, 1954, 26, вып.5, с.551-556.

44. Лисковец O.A. Вариационные методы решения неустойчивых задач // Минск: Наука и техника, 1981, 343 с.

45. Лисковец O.A. Некорректные задачи с замкнутым необратимым оператором // Дифференц. уравн., 1967, т.З, N4, с.636-646.

46. Лисковец O.A. Регуляризация уравнений с замкнутым линейным оператором // Дифференц. уравн., 1970, т.1, N7, с.1273-1278.

47. Лисковец O.A. Метод регуляризация для нелинейных задач с замкнутым оператором // Сиб. Мат. жури., 1971, т.12, N6, с.1311-1317.

48. Люстерник Л.А., Соболев В.И. Элементы функционального анализа // М.: Наука, 1965, 520 с.

49. Морозов В. А. О регуляризующих семействах операторов //В кн.: Вычислительные методы и программирование. М: Изд-во МГУ, 1967, вып.8, с.63-93.

50. Морозов В.А. Об оптимальности критерия невязки в задаче вычисления значений неограниченных операторов // Журн. вы-числ. мат. и мат. физ., 1971, 11, N 4, с.1019-1024.

51. Морозов В.А. Об принципе оптимальности невязки при приближенном решении уравнений с нелинейными операторами // Журн. вычисл. мат. и мат. физ., 1974, 14, N 4, с.819-827.

52. Морозов В.А. Регулярные методы решения некорректно поставленных задач // М: Изд-во МГУ, 1974, 360 с.

53. Морозов В.А., Гилязов С.Ф. Оптимальная регуляризация некорректных нормально разрешимых операторных уравнений // М: Изд-во МГУ, 1982, с.11-18.

54. . Рекант М.А. Об одном классе методов решения линейных некорректных задач в гильбертовом пространстве // Изв. вузов. Математика, 1980, 11, с. 77-79.

55. Рогожин С.А. Исследование методов решения вырожденных операторных уравнений // Дис. ... канд физ.-мат. наук. - Свердловск, 1987, 97с.

56. Рудакова Т.Н. Оптимальный по порядку метод решения задач с неединственным решением //В кн.: Алгоритмический анализ некорректных задач: Тез.докл. Всерос. науч. конф., 2-6 февраля 1998 г. Екатеринбург: УрГУ, 1998, 318 с.

57. Рудакова Т.Н. Оптимальный по порядку метод решения задач с неединственным решением //В кн.: Современные проблемы

математики накануне третьего тысячелетия: Тез.докл. конф. в рамках форума "Наука, культура и образование России накануне третьего тысячелетия". Челябинск: ЧГПУ. Изд-во "Факел", 1997, 38 с.

58. Стечкин С.Б. Наилучшее приближение линейных операторов // Мат.заметки, 1967, 1, N2, с.137-148.

59. Страхов В.Н. О построении оптимальных по порядку приближенных решений линейных условно-корректных задач // Дифферент уравн., 1973, Т.9, 10, с.1862-1874.

60. Страхов В.Н. О решении линейных некорректных задач в гильбертовом пространстве. // Дифференц. уравн., 1970, Т.6, N8, с.1490-1495.

61. Танана В.П. Методы решения операторных уравнений // М.: Наука, 1981.

62. Танана В.П. О /^-устойчивости проекционных методов при решении операторных уравнений первого рода с нелинейным оператором // Мат.зап. Урал, ун-та, 1975, т.9, тетр.2, с. 132-138.

63. Танана В.П. О методе квазирешений и решения задачи оптимального управления нагревом и построение оптимальных алгоритмов для некорректных задач с возмущенным оператором // Труды ин-та мат. и мех. УНЦ АН СССР, 1975, вып.17, Методы решения условно-корректных задач, с.39-52.

64. Танана В.П. О решении операторных уравнений первого рода с многозначными операторами и их приложение // Изв. вузов. Математика, 1977, N7, с. 87-93.

65. Танана В.П. Об оптимальных алгоритмах для операторных уравнений первого рода с возмущенным оператором // Мат.сб., 1977, 146, N10, с. 314-333.

66. Танана В.П. Об одном оптимальном алгоритме для операторных уравнений первого рода с возмущенным оператором. // Докл. АН СССР, 1975, 226, N6, с. 1279-1282.

67. Танана В.П. Об оптимальности методов регуляризации линейных операторных уравнений с приближенно заданным оператором при условии неединственности решения // Докл. АН СССР, 1985, т. 283, 5, с. 1092-1095.

68. Танана В.П. Об оптимальности методов решения нелинейных неустойчивых задач. // Докл. АН СССР, 1975, 220, N5, с. 10351037.

69. Танана В.П. Об оптимальности нелинейных методов при решении линейных устойчивых задач. //В кн.: Оптимизация вычислительных методов. Труды Ин-та кибернетики АН УССР, Киев, Ин-т кибернетики АН УССР, 1974, с.52-57.

70. Танана В.П. Об оптимизации методов регуляризации при решении вырожденных операторных уравнений // Изв. вузов. Математика, 1985, 9, с. 20-21.

71. Танана В.П. Оптимальная по порядку регуляризация линейных операторных уравнений при условии неединственности решения // Докл. АН СССР, 1983, т. 269, 1, с. 37-38.

72. Танана В.П. Оптимальные методы решения некорректны задач

с дополнительной информацией и приложение их к решению задачи 7-картажа скважин // Исслед. по функц. анализу. Свердловск, УрГУ, 1978, с.101-121.

73. Танана В.П., Рекант М.Я., Янченко С.И. Оптимизация методов решения операторных уравнений // Свердловск: Изд-во Урал, ун-та, 1987, 200 с.

74. Танана В.П., Рудакова Т.Н. Исследование на оптимальность метода регуляризации для задач с неинъективным оператором // Вестник Челябинского университета. Серия Математика, механика, вып.1 - Челябинск, ЧелГу, 1991, с.105-108.

75. Танана В.П., Рудакова Т.Н. Исследование на оптимальность метода регуляризации для задач с неинъективным оператором // МВ и ССО. Челяб. ун-т. Челябинск, 1991, Деп. в ВИНИТИ 25.02.91, N 877-В91.

76. Танана В.П., Рудакова Т.Н. Об оптимальности методов решения некорректных задач при дополнительных ограничениях на погрешность оператора // МВ и ССО. Челяб. ун-т. Челябинск, 1991, Деп. в ВИНИТИ 02.01.91, N 6-В91.

77. Танана В.П., Рудакова Т.Н. Об оценке погрешности метода регуляризации некорректно поставленных задач с неинъективным оператором // Некорректно поставленные задачи в естественных науках. Тезисы докладов международной конференции ( 19-25 августа 1991 г., г. Москва), ИПМ им.Келдыша АН СССР, 1991, с.253.

78. Танана В.П., Рудакова Т.Н. Об оценке погрешности оптимального метода решения некорректных задач в гильбертовых пространствах при дополнительных ограничениях на погрешность

оператора //В кн.: XVI Всесоюзная школа по теории операторов в функциональных пространствах: Тезисы докладов - Нижний Новгород, 1991, 261 с.

79. Танана В.П., Рудакова Т.Н. Об оценке погрешности оптимального метода решения некорректных задач в гильбертовых пространствах при дополнительных ограничениях на погрешность оператора // Вестник Челябинского университета. Серия Математика, механика, вып.1 -Челябинск, ЧелГу, 1991, с. 108-112,

80. Танана В.П., Рудакова Т.Н. Оценка погрешности оптимального метода решения некорректных задач в гильбертовых пространствах при дополнительных ограничениях на погрешность оператора // Тез. докл. Всесоюз. конф., г.Бишкек, 10-12 сент. 1991 г., Бишкек: Илим, 1991, с.105.

81. Тапапа V.P., Rudakova T.N. The estimation of the error of the regularization method for ill-posed problems with noninjective operator // Ill-posed problem in natural sciences: Proceedings of the International Conference. Utrecht: VSP / Moscow: TVP Sei Publ., 1991, p.184-191.

82. Танана В.П., Рудакова Т.Н. Оптимальность метода регуляризации для задач с неединственным решением // MB и ССО. Челяб. ун-т. Челябинск, 1997. 9 с. Деп. в ВИНИТИ 13.02.97, N472-B97.

83. Танана В.П., Янченко С.И. О модуле ß - непрерывности оператора, обратного к невзаимнооднозначному // Урал. гос. ун-т. -Свердловск, 1984, 23 е., Деп. в ВИНИТИ 01.09.83, N 4959-83.

84. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач // М.: Наука, 1979.

85. Тихонов А.Н. Гласко В.Б. О приближенном решении интегральных уравнений Фредгольма I рода.// Журн.вычисл.матем. и ма-тем.физ., 1964, т.4, N3, с. 564-571.

86. Тихонов А.Н., Гончарский А.В., Степанов В.В., Ягола А.Г. Ре-гуляризуюгцие алгоритмы и априорная информация // М.; Наука, 1983.

87. Тихонов А.Н., Дмитриев В.И. О методах решения обратной задачи теории антенн //В кн.: Вычислительные методы и программирование.- М.: Изд-во Моск.ун-та, 1969, вып.12.

88. Тихонов А.Н. О решении некорректно поставленных задач и методе регуляризации //Докл. АН СССР, 1963, 151, т.З, с.501-504.

89. Тихонов А.Н. О регуляризации некорректно поставленных задач //Докл. АН СССР, 1963, т.153, N1, с.49-52.

90. Тихонов А.Н. О решении нелинейных интегральных уравнений // Докл. АН СССР, 1964, т.156, N6, с.1296-1299.

91. Тихонов А.Н. О нелинейных уравнениях первого рода // Докл. АН СССР, 1965, т.161, N5, с.1023-1026.

92. Тихонов А.Н. О некорректных задачах линейной алгебры и устойчивых методах их решения // Докл. АН СССР, 1965, т.163, N3, с.591-594.

93. Тихонов А.Н. О методах регуляризации задач оптимального управления // Докл. АН СССР, 1965, т.162, N4, с.763-765.

94. Тихонов А.Н. О некорректных задачах оптимального планирования и устойчивых методах их решения // Докл. АН СССР, 1965, т.164, N3, с.507-510.

95. Тихонов А.H. Об устойчивости алгоритмов для решения вырожденных систем линейных алгебраических уравнений // Журн. вычисл.матем. и матем.физ., 1965, т.5, N4, с. 718-722.

96. Тихонов А.Н. О некорректных задачах оптимального планирования // Журн.вычисл.матем. и матем.физ., 1966, т.6, N1, с. 81-89.

97. Тихонов А.Н. Об устойчивости задачи оптимизации функционалов // Журн. вычисл. матем. и матем. физ., 1966, т.6, N4, с. 631-634.

98. Тихонов А.Н. О приближенных системах линейных алгебраических уравнений // Журн. вычисл.матем. и матем.физ., 1980, т.20, N6, с. 1371-1383.

99. Тихонов А.Н. О задачах с неточно заданной исходной информацией // Докл. АН СССР, 1985, т.280, N3, с.559-562.

100. Янченко С.И. Об оптимизации методов решения линейных уравнений I рода с неинъективным оператором // Урал. гос. ун-т. -Свердловск, 1985, 42 е., Деп. в ВИНИТИ 02.01.86, 41-В.

101. Янченко С.И. Оптимизация методов решения вырожденных операторных уравнений // Автореферат ... канд. физ.-мат. наук. Урал. гос. ун-т., Свердловск, 1986.

102. Hadamard J. Le problème de Cauchy et les equations aux derivees partielles leneaires hyperboliques // Paris: Herman, 1932.

103. Hadamard J. Sur les problèmes aux derivees partielles et leur signification physique //Bull. Univ. Princeton, 1902, 13.

104. Gauss G.F. Theoria motus corporum coelestium in sectionibus conicis solem ambientium // Hamburgi,1809.

105. Legendre A.M. Novelles methodes poor la determination des orbites des cometes // Paris: Courcier, 1806.

106. Melkman A.A., Micchelli C.A. Optimal Estimation of Linear Operators in Hilbert Spaces from Inaccurate Data // SIAM J. Numer. Anal., 1979, V.16, 1, P.87-105.