Принцип невязки и его применение к численному моделированию некоторых обратных задач математической физики тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Япарова, Наталья Михайловна

• Япарова, Наталья Михайловна
• кандидат физико-математических наук
• 2007

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Япарова, Наталья Михайловна

Введение

Глава 1. Основные понятия теории условно - корректных задач

1.1 Постановка задачи.

1.2. Основные понятия.

1.3. Строение классов корректности для линейных операторных уравнений

1.4. Понятие оптимальности и оптимальности по порядку для методов решения условно -корректных задач.

1.5. Класс корректности для линейных операторных уравнений

Глава 2. Исследование методов регуляризации Тихонова при различных подходах к выбору параметра регуляризации.

Метод невязки.

2.1 Метод регуляризации Тихонова нулевого порядка.

2.2 Исследование точности метода регуляризации Тихонова нулевого порядка на различных классах корректности.

2.3 Общий метод регуляризации Тихонова

2.4 Построение модифицированного метода невязки.

2.6 Оценка погрешности модифицированного метода невязки

Глава 3. Метод проекционной регуляризации с выбором параметра по принципу невязки.

3.1 Построение и свойства регуляризующего семейства операторов

3.2 Оценка погрешности метода проекционной регуляризации

Глава 4. Обратная задача восстановления энергетического спектра бозе-системы по ее теплоемкости.

4.1 Постановка задачи о восстановлении фононных спектров

4.2 Исследование асимптотического поведения функции ядра

4.3 Строение класса корректности для задачи восстановления фононных спектров

4.4 Оценка погрешности приближенного решения

4.5 Применение принципа невязки при восстановлении энергетического спектра бозе-системы по ее теплоемкости

4.6 Конечномерная аппроксимация для задачи восстановления фононного спектра.

4.7 Численная реализация задачи восстановления фононного спектра.

Глава 5. Численное моделирование обратных граничных задач тепломассообмена

5.1 Обратная задача тепловой диагностики ракетных двигателей

5.2 Обратная задача непрерывной разливки стали.

5.3 Численное решение обобщенной обратной задачи методом проекционной регуляризации.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Принцип невязки и его применение к численному моделированию некоторых обратных задач математической физики»

Многие задачи математической физики, возникающие в практических приложениях, не являются корректно поставленными по Адамару [ИЗ], [114], то есть не удовлетворяют условиям корректности: существования, единственности решения и непрерывной зависимости полученных решений от исходных данных. Следствием этого является то, что традиционные численные методы оказываются неприемлимыми для решения подобного класса задач. Такие задачи получили название некорректно поставленных.

Впервые практическая ценность таких задач была замечена А.Н. Тихоновым в работе [98]. Кроме того, в данной работе была отмечена важность правильной постановки некорректных задач как для их дальнейшего исследования, так и для их решения, требующего создания новых методов.

Основы теории некорректных задач были заложены в трудах А.Н. Тихонова [99]-[102], М.М. Лаврентьева [55]-[58] , В.К. Иванова [37]-[44]. Дальнейшее развитие теории некорректно поставленных задач связано с работами этих выдающихся математиков , а также с работами их учеников и последователей: В.Я. Арсенина, A.J1. Агеева, А.Б. Бакушинского, A.JI. Бухгейма, Г.М. Вайникко, Ф.П. Васильева, В.В. Васина, В.А. Винокурова, Ю.Л. Гапоненко, А.В. Гончарского, В.Б. Гласко, A.M. Денисова, В.И. Дмитриева, А.С. Ильинского, А.С. Леонова, О.А. Лис-ковца, И.В. Мельниковой, Л.Д. Менихеса, В.А. Морозова, А.И. Прилепко, В.Г. Романова, В.Н. Страхова, С.Б. Стечкина, В.П. Тананы, A.M. Федотова, Г.В. Хромовой, А.В. Чечкина, А.Г. Яголы и многих других математиков [1]-[33], [Зб]-[49], [51j-[59j, [61]-[63], [65j-[71j, [73], [78]-[104], [106]-[112], [115]-[119].

К настоящему времени теория некорректно поставленных задач выделилась в отдельную область математики. Результаты исследований в данной области имеют широкий круг приложений в современных естественных науках и технике.

Накопленный значительный теоретический и практический материал частично отражен в известных монографиях М.М. Лаврентьева [55],

A.Н. Тихонова и В.Я. Арсенина [101], В.К. Иванова, В.В. Васина и

B.П. Тананы [45], В.В. Васина и A.JI. Агеева [23], В.А. Морозова [70], М.М. Лаврентьева, В.Г. Романова и С.П. Шишатского [57], В.К. Иванова, И.В. Мельниковой и А.И. Филинкова [48], О.А. Лисковца [63], В.П. Тананы, М.А. Реканта, С.И. Янченко [89], А.В. Бакушинского А.В. Гончарского [8], A.M. Федотова [106], А.Н. Тихонова, А.С. Леонова, А.Г. Яголы [104], а также в работах многих других математиков [1]-[34], [36]-[49], [51]-[63], [65]-[71], [73], [78]-[104], [106]-[119]. современной теории некорректно поставленных задач можно выделить три основных направления:

I. Исследование регуляризуемости задачи. В этой области решается проблема существования хотя бы одного регуляризующего семейства операторов.

В работе Винокурова [26] было замечено, что не для всех некорректных задач можно построить регуляризующие алгоритмы.

Например, уравнение

Au = f, Ae(U -> F) для линейного, инъективного, непрерывного оператора А, действующего из несепарабельного банахова пространства U в сепарабелыюе банахово пространство F будет нерегуляризуемым.

Общая проблематика этого направления связана с исследованиями В.А. Винокурова [26], [27], Л.Д. Менихеса [28] и др. математиков.

Параллельно с решением вопроса о принципиальной возможности решения конкретной задачи, то есть её регуляризуемости, встает вопрос о выборе метода решения, наиболее подходящего для данной задачи. Круг этих вопросов относится ко второму направлению теории некорректных задач.

И. Построение специальных методов решения для класса регуляри-зуемых задач. В основу этого направления было положено решение конкретных задач математической физики.

Основополагающие работы в этом направлении принадлежат А.Н. Тихонову [99] - [104], В.К. Иванову [37] - [45], М.М. Лаврентьеву [55] - [57]. В этих работах были сформулированы основные принципы регуляризации и предложены некоторые методы, исследование которых продолжается по настоящее время.

Одним из основных вопросов при построении метода регуляризации является вопрос о выборе параметра регуляризации. Решение этого вопроса В.К. Ивановым [40], В.А. Морозовым [68] и Philips D.L. [119] привело к созданию принципа невязки для метода регуляризации А.Н.

Тихонова. Применение этого принципа сыграло большую роль в развитии теории некорректных задач.

Бакушинский А.Б. в работе [4] предложил общий прием построения регуляризующих алгоритмов. Начиная с этой работы, в теории некорректных задач появилась некоторая неопределенность, заключающаяся в том, что для одной и той же задачи имелось несколько методов решения.

Это привело к тому, что дальнейшие исследования в теории некорректных задач были связаны с созданием количественных характеристик для оценки эффективности тех или иных методов. Подобные характеристики легли в основу сравнения методов решения.

В работе В.К. Иванова [41] появились исследования по равномерной регуляризации на некоторых классах решений, которые позволили получить оценки погрешности различных методов регуляризации. Это, дало возможность классифицировать имеющиеся методы и выделить среди них те, которые имеют наименьшую погрешность на некотором классе решений, то есть дать определение оптимальных, а также оптимальных по порядку методов.

Построению и исследованию оптимальных методов решения операторных уравнений первого рода в гильбертовых пространствах посвящены работы В.Н. Страхова [78], Melkman A., Micchelli С. [115], Г.М. Вайникко [9]- [И] , A.JI. Агеева [1] [2], В.П. Тананы [83] и других математиков.

Для операторов дифференцирования в банаховых пространствах построением и исследованием оптимальных методов решения занимались С.Б. Стечкин [79], В.В. Васин [16], [22], и другие.

Полученные результаты позволили покончить с неопределенностью в теории некорректных задач и привели к исследованиям, связанным с построением оптимальных и оптимальных по порядку методов, в которых приняли участие многие математики.

Практическая реализация основных методов невозможна без использования компьютерных технологий. С численной реализацией методов решения некорректных задач связано третье направление в рамках которого исследуются вопросы замены исходной задачи некоторым конечномерным аналогом.

III. Конечномерная аппроксимация регуляризующих алгоритмов.

При реализации основных методов решения некорректных задач таких, как метод регуляризации А.Н, Тихонова, метод М.М. Лаврентьева, метод квазирешений В.К. Иванова, метод невязки требуется замена исходной бесконечномерной задачи её конечномерным аналогом. При этом указанная замена не должна испортить сходимости регуляризованных решений к точному. Исследованию этого вопроса посвящено большое число работ, среди которых отметим [19]-[22],[21]-[22], [31]-[32], [45], [85], [87]-[88], [99]-[100], [115]-[116].

Настоящая работа принадлежит ко второму направлению. В ней исследованы на точность методы регуляризации, использующие принцип невязки и построены оптимальные по порядку методы. Эти методы были использованы при решении некоторых обратных задач математической физики [60].

Особое отличие построенных в работе методов от известных заключается в том, что они не используют явно априорную информацию о классе корректности задачи и в то же время оказываются оптимальными по порядку при достаточно общих предположениях об этом классе. Этот факт является важным ввиду того, что при решении задач с априорной информацией класс корректности может быть известен приближенно, что будет ухудшать точность полученных решений.

Впервые такие методы для классов корректности степенного типа были построены в работах И.В.Емелина и М.А.Красносельского [109] и Г.М.Вайникко [10]. Заметим, что все эти методы являются нелинейными.

В настоящей работе эти результаты распространены на произвольный класс корректности Мг, определяемый непрерывной и строго возрастающей функцией G(a), удовлетворяющие условию G(0) = 0. Это оказывается очень важным при использовании данного метода при решении широкого класса задач и, в частности, обратной задачи физики твердого тела.

Диссертационная работа состоит из введения, пяти глав и библиографии, насчитывающей 119 наименований.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Япарова, Наталья Михайловна, 2007 год

1. Агеев A.J1. Об одном свойстве оператора, обратного к замкнутому.// В кн.: Исследования по функциональному анализу. Свердловск: Изд-во Уральского ун-та, 1978, с.3-5.

2. Агеев A.JI. К вопросу о построении оптимального метода решения линейного уравнения 1 рода.// Изв. Вузов. Математика. 1983, №3, с.61-68.

3. Алифанов О.М. Экстремальные методы решения некорректных задач.// М.: Наука, 1988, 170с.

4. Бакушинский А.Б. Один общий прием построения регуляризиру-ющих алгоритмов для линейного некорректного уравнения в гильбертовом пространстве. //Журн.вычис.мат. и мат. физ., 1967, т.7, №3, с. 672-677.

5. Бакушинский А.Б. Оптимальные и квазиоптимальные методы решения линейных задач, порожденные регуляризующими алгоритмами. // Изв. Вузов. Математика. 1978, №11, с.6-10.

6. Бакушинский А.Б. Принцип невязки в случае возмущенного оператора для общих регуляризующих алгоритмов. // Журн.вычис.мат. и мат. физ., 1983, т.22, №4, с. 989-993.

7. Бакушинский А.Б. Замечание о выборе параметра регуляризации. // Журн.вычис.мат. и мат. физ., 1984, т.24, №8, с. 1253-1259.

8. Бакушинский А.Б., Гончарский А.В. Некорректные задачи. Численные методы и приложения.// М.: Из-во Моск. Ун-та, 1989,199с.

9. Вайникко Г.М. Методы решения линейных некорректно поставленных задач в гильбертовых пространствах.// Тару, ТГУ, 1982,110с.

10. Вайникко Г.М., Веретенников А.Ю. Итерационные процедуры в некорректных задачах.// Тару, ТГУ, 1982, 110с.

11. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач.// М.: Наука, 1981, 400с.

12. Васин В.В. Регуляризация нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных.// Диффереиц. уравн., 1968, т.4, №12, с.2268-2274.

13. Васин В.В. Регуляризация задачи численного дифференцирования. // Матем. зап. Уральск, ун-та, 1969, т. 7, 2, с. 29-33.

14. Васин В.В. О связи некоторых вариационных методов приближенного решения некорректных задач.// Мат. замет., 1970, т.7, в.З, с.265-272.

15. Васин В.В. Об устойчивом вычислении производной в пространстве Со(—оо; +оо)// Журн. вычислит, мат. и мат. физ., 1973, т.13, №6, с.1383-1389.

16. Васин В.В. Оптимальные методы вычисления значений неограниченных операторов.// Институт кибернетики АН УССР, Киев, 1977, 17с.

17. Васин В.В. Дискретная сходимость и конечномерная аппроксимация регуляризующих алгоритмов.// Журн. вычислит, мат. и мат. физ., 1979, т.19, М, с.11-21.

18. Васин В.В. Общая схема дискретизации регуляризующих алгоритмов в банаховых пространствах// Докл. АН СССР, 1981, т. 256, №2, с. 271-276.

19. Васин В.В. Методы итеративной регуляризации для некорректных задач// Изв. Вузов. Математика. 1995, №11, с.402.

20. Васин В.В. Устойчивая аппроксимация негладких решений некорректно поставленных задач // Докл. РАН, 2005, т. 402, №5, с. 1-4.

21. Васин В.В., Агеев A.JI. Некорректные задачи с апириорной информацией./ / УрО РАН, Ин-т математики и механики. Екатеринбург: Наука, 1993, 261с.

22. Васин В.В., Танана В.П. Приближенное решение операторных уравнений первого рода //Матем. зап. Уральск, ун-та, 1968, т. 6, 2, с. 27-37.

23. Васин В.В., Танана В.П., Необходимые и достаточные условия сходимости проекционных методов линейных неустойчивых задач.// Докл. АН СССР, 1974, т. 215, №5, с. 1032-1034.

24. Винокуров В.А. Об одном необходимом условии регуляризуемости по Тихонову.// Докл. АН СССР, 1970, т. 195, №3, с. 530-531.

25. Винокуров В.А., Петунии Ю.И., Пличко А.Н. Измеримость и ре-гуляризуемость отображений, обратных к непрерывным линейным операторам.// Мат. заметки, 1973, т.26, № 4 с.583-593.

26. Винокуров В.А., Менихес Л.Д. Необходимые и достаточные условия линейной регуляризуемости.// Докл. АН СССР, 1976, т. 229, №6, с.1292-1294.

27. Гончарский А.В., Леонов А.С., Ягола А.Г. Об одном регуляризу-ющем алгоритме для некорректно поставленных задач с приближенно заданным оператором.// Журн. вычислит, мат. и мат. физ., 1972, т.12, №6, с.1592-1594.

28. Гончарский А.В., Леонов А.С., Ягола А.Г. Обобщенный принцип невязки.// Журн. вычислит, мат. и мат. физ., 1973, т.13, №2, с.294-302.

29. Гончарский А.В., Леонов А.С., Ягола А.Г. О регуляризации некорректно поставленных задач с приближенно заданным оператором.// Журн. вычислит, мат. и мат. физ., 1974, т. 14, №4, с.1022-1027.

30. Данилин А.Р. Об оптимальных по порядку оценках конечномерных аппроксимаций решений некорректных задач.//Журн. вычислит, мат. и мат. физ., 1985, т.25, №8, с.1123-1130.

31. Данилин А.Р. Необходимые и достаточные условия сходимости конечномерных аппроксимаций метода невязки //Журн. вычислит, мат. и мат. физ., 1982, т.22, №4, с.824-839.

32. Домбровская И.Н., Иванов В.К. К теории некоторых линейных уравнений в абстрактных пространствах.// Сиб. матем. журн., 1965, т.6, №, с.499-508.

33. Дистель Д. Геометрия банаховых пространств //Киев: Вища школа, 1980.

34. Емелин И.В., Красносельский М.А. К теории некорректных задач //Докл. АН СССР, 1979, т. 244, № 4, с. 805-808.

35. Иванов В.К. О линейных некорректных задачах //Докл. АН СССР,1962, т. 145, № 2, с. 270-272.

36. Иванов В.К. О некорректно поставленных задачах //Мат. сборник,1963, т. 61, №2, с.211-223.

37. Иванов В.К. Об одном типе некорректных линейных уравнений в векторных топологических пространствах //Сиб. матем. журн., 1965, т. 6, № 4, с. 832-839.

38. Иванов В.К. О приближенном решении операторных уравнений первого рода //Журн. выч. матем. и мат. физики, 1966, т. 6, № 6, с. 1089-1094.

39. Иванов В.К. О равномерной регуляризации неустойчивых задач //Сиб. матем. журн., 1966, т. 7, № 3, с. 546-558.

40. Иванов В.К. О применении метода Пикара к решению интегральных уравнений первого рода. // Bui.Inst/ Politehc. Iasi., 1968, v.14, № 3/4, p.71-78.

41. Иванов В.К. Линейные неустойчивые задачи с многозначными операторами // Сиб. мат. журнал, 1970, т.И, №5, с.1009-1016.

42. Иванов В.К. О величине параметра регуляризации в некорректно поставленных задачах управления // Дифференц. уравн., 1974, т.Ю, №12, с.2279-2285.

43. Иванов В.К., Васин В.В., Танана В.П. Теория линейных некорректных задач и ее приложения //М.: Наука, 1978, 208 с.

44. Иванов В.К., Королюк Т.И. Об оценке погрешности при решении некорректных задач //Журн. вычисл. матем. и матем. физ., 1969, т. 9, № 1, с. 30-41.

45. Иванов В.К., Коршунов В.А., Решетова Т.Н., Танана В.П. О возможности определния энергетического спектра бозе системы по термодинамическим функциям.//Докл. АН СССР, 1976, т. 228, N 1, с. 19-22.

46. Иванов В.К., Мельникова И.В., Филинков А.И. Дифференциально-операторные уравнения и некорректные задачи.//М.: Наука, 1995, 176с.

47. Иверонова В.И., Тихонов А.Н., Заикин П.Н., Звягина А.П. Определение фононного спектра кристалла по теплоемкости //ФТТ, 1966, т. 8, N 12, с. 3459-3462.

48. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа //М.: Наука, 1972, 496 с.

49. Коршунов В.А., Танана В.П. Определение фононной плотности состояний по термодинамическим функциям кристалла //Докл. АН СССР, 1976, т. 231, N 4, с. 845-848.

50. Коршунов В.А., Танана В.П. Определение фононной плотности состояний по термодинамическим функциям кристалла (германий) //ФТТ, 1976, т. 18, N 3, с. 654-657.

51. Коршунов В.А., Танана В.П. Определение фононной плотности состояний по термодинамическим функциям кристалла. Благородные металлы //Физ. метал, и металловед., 1976, т. 42, N 3, с. 455463.

52. Коршунов В.А., Танана В.П. Определение плотности состояний по термодинамическим функциям //Физ. метал, и металловед., 1979, т. 48, N 5, с. 908-915.

53. Лаврентьев М.М. О некоторых некорректных задачах математической физики //Новосибирск: СО АН СССР, 1962, 92 с.

54. Лаврентьев М.М. Условно-корректные задачи для дифференциальных уравнений //Новосибирск: НГУ, 1973, 71 с.

55. Лаврентьев М.М.,Романов В.Г,Шишатский С.П. Некорректные задачи математической физики и анализа.//М.: Наука, 1980, 280 с.

56. Лаврентьев М.М., Савельев Л.Я. Теория операторов и некорректные задачи //Новосибирск: Ин-т математики СО РАН, 1999, 702 с.

57. Латтес Р., Лионе Ж.Л. Метод квазиобращения и его приложения //М.: Мир, 1970,336с.

58. Лифшиц И.М. Об определении энергетического спектра бозе -системы по ее теплоемкости // ЖЭТФ, 1954, т. 26, № 5, с. 551-556.

59. Лисковец О.А. Некорректные задачи с замкнутым необратимым оператором.//Дифференц. уравн., 1967, т.З, №4, с.636-646.

60. Лисковец О.А. Некорректные задачи и устойчивость квазирешений.// Сиб. Мат. журнал, 1969, т.Ю, №2, с.373-385.

61. Лисковец О.А. Вариационные методы решения неустойчивых задач.// Минск.: Наука итехника, 1981, 343с.

62. Люстерник Л.А., Соболев В.И., Элементы функционального ана-лиза.//М.: Наука, 1965, 520с.

63. Менихес Л.Д., Танана В.П. Конечномерная аппроксимация в методе М.М. Лаврентьева //Сиб. журн. вычисл. матем., 1998, т. 1, № 1, с. 416-423.

64. Менихес Л.Д., Танана В.П. О критерии сходимости аппроксимаций метода регуляризации в Я-пространствах // Докл. РАН, 1999, т. 263, № 5, с. 599-601.

65. Менихес Л.Д., Танана В.П. О критерии сходимости аппроксимаций метода регуляризации // Сиб. матем. журн., 1999, т. 40, № 1, с. 130— 141.

66. Морозов В.А. О регуляризации некорректно поставленных задач и выборе параметра регуляризации// Журн. вычислит, мат. и мат. физ., 1966, т.6, М, с.170-175.

67. Морозов В.А. Об оптимальности критерия невязки в задаче вычисления значений неограниченных операторов// Журн. вычислит. мат. и мат. физ., 1971, т.И, №4, с.1019-1024.

68. Морозов В.А. Регулярные методы решения некорректно поставленных задач// М.:Изд-во МГУ, 1974, 360с.

69. Морозов В.А., Гилязов С.Ф. Оптимальная регуляризация некорректных нормально разрешимых операторных уравнений. // М.:Изд-во МГУ, 1982, 270с.

70. Привалов И.И. Введение в теорию функций комплексного перемен-ного//М.:444с.

71. Рекант М.А. Об одном классе методов решения линейных некорректных задач в гильбертовом пространстве.//Изв. Вузов. Математика. 1980, №11, с.77-79.

72. Рогожин С.А., Танана В.П. Оптимальный по порядку метод решения вырожденных операторных уравнений.// Изв. Вузов. Математика, 1988, № 5, с.86-88.

73. Рудин У. Функциональный анализ //М.: Мир, 1975, 448 с.

74. Соболев C.JI. Некоторые применения функционального анализа в математической физике// М.: Наука, 1988, 336с.

75. Соболев С.Jl. Избранные вопросы теории функциональных пространств и обобщенных функций// М.: Наука, 1989, 254с.

76. Страхов В.Н. О решении линейных некорректных задач в гильбертовом пространстве //Дифференц. уравн., 1970, т. 6, N 8, с. 1490— 1495.

77. Стечкин С.Б. Наилучшее приближение линейных операторов.// Мат. заметки, 1967, т.1. №2, с. 137-148.

78. Танана В.П. Об оптимальных алгоритмах для операторных уравнений первого рода с возмущенным оператором//Мат. сб., 1977, т.146, №10, с.314-333.

79. Танана В.П. Об одном проекционно-итеративном алгоритме для операторных уравнений первого рода с возмущенным оператором// Докл. АН СССР, 1975, т.224, №5, с. 1028-1029.

80. Танана В.П. Об оптимальных алгоритмах для операторных уравнений первого рода с возмущенным оператором //Матем. сб., 1977, т. 146, N 10, с. 314-333.

81. Танана В.П. Методы решения операторных уравнений //М.: Наука, 1981, 180 с.

82. Танана В.П. Об оптимальности методов регуляризации линейных операторных уравнений с приближенно заданным оператором при условии неединственности решения //Докл. АН СССР, 1985, т. 283, К0- 5, с. 1092-1095.

83. Танана В.П. О новом подходе к оценке погрешности методов решения некорректно поставленных задач //Сиб. журн. инд. матем., 2002, т. 5, № 4, с. 150-163.

84. Танана В.П. Об оптимальности по порядку метода проекционной регуляризации. //Сиб. журн. инд. матем., 2004, т. 7, № 7, с. 117132.

85. Танана В.П., Данилин А.Р. Об оптимальности регуляризующих алгоритмов при решении некорректных задач //Дифференц. уравн., 1976, т. 7, с. 1323-1326.

86. Танана В.П., Данилин А.Р. Необходимые и достаточные условия сходимости конечномерных аппроксимаций регуляризованных решений// Докл. АН СССР, 1982, т.264, №5, с. 1094-1096.

87. Танана В.П., Рекант М.А., Янченко С.И. Оптимизация методов решения операторных уравнений. //Свердловск: Уральск, ун-т, 1987, 200 с.

88. Танана В.П., Рекант М.А. Об оптимизации методов решения вырожденных операторных уравнений первого рода. //Докл. АН СССР, 1988, т. 298, № 1, с. 49-52.

89. Танана В.П., Рудакова Т.Н. Исследование на оптимальность метода регуляризации для задач с неинъективным оператором.// MB и ССО. ЧелГУ, Челябинск, 1991,14с.Деп. в ВИНИТИ 25.02.91 №887-В91.

90. Танана В.П., Севастьянов Я.М. Об оптимальных методах решения линейных уравнений первого рода с приближенно заданным оператором //Сиб. журн. вычисл. матем., 2003, т. 6, № 2, с. 205-208.

91. Танана В.П. Об оптимальном методе решения одной обратной задачи Стефана. // Сиб. журн. инд. матем., 2005, т. 8, № 4, с. 124-130.

92. Танана В.П., Япарова Н.М. Об оптимальности конечномерных аппроксимаций регуляризованных решений.//Изв.ЧНЦ. 2003, в.1, с.1-5.

93. Танана В.П., Япарова Н.М. Об оптимальности метода невязки. //Вест. Чел ГУ, 2003, сер.З, №1, с.174-188.

94. Танана В.П., Япарова Н.М. Об оптимальности метода невязки на некоторых классах равномерной регуляризации. //Вест.ЮУрГУ, 2003, №6, с.38-44.

95. Танана В.П., Япарова Н.М. Об оптимальном по порядку методе решения условно-корректных задач. //Сиб. журн. вычисл. матем., 2006, т.9, т, с.353-368.

96. Тихонов А.Н. Об устойчивости обратных задач //Докл. АН СССР, 1943, т. 39, № 5, с. 195-198.

97. Тихонов А.Н. О регуляризации некорректно поставленных задач //Докл. АН СССР, 1963, т. 153, N 1, с. 49-52.

98. Тихонов А.Н. О решении некорректно поставленных задач и методе регуляризации// Докл. АН СССР, 1963, т.151, №3, с.501-504.

99. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных за-дач//М.: Наука, 1979

100. Тихонов А.Н., Гласко В.Б. О приближенном решении интегральных уравнений Фредгольма I рода // Журн. вычислит, мат. и мат. физ., 1964, т.4, №, с.564-571.

101. Тихонов А.Н., Гончарский А.В., Степанов В.В., Ягола А.Г. Регуля-ризующие алгоритмы и априорная информация// М.: Наука, 1983

102. Тихонов А.Н., Леонов А.С., Ягола А.Г. Нелинейные некорректные задачи// М.: Наука, 1995, 311 с.

103. Уиттекер Е.Т., Ватсон Г.Н. Курс современного анализа// Пер. с англ. М.:Наука,1978. 468с.

104. Федотов A.M. Линейные некорректные задачи со случайными ошибками в данных// Новосибирск: Наука, 1982, 190с.

105. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления.// М.:Наука, 1969, с.451

106. Фридман А. Уравнения с частными производными параболического типа. //ML: Мир, 1968, 479с.

107. Хромова Г.В. О регуляризации интегральных уравнений первого рода с ядром Грина // Изв. Вузов. Математика. 1972, №8, с.94-104.

108. Хромова Г.В. Об оценках погрешности приближенных решений уравнений первого рода. // Докл. РАН, 2001, т. 263, № 5, с. 599601.

109. Чечкин A.B. Математическая информатика//М.: Наука, 1991,412с.

110. Franclin J.N. On Tikhonov's method for ill-posed problems// Math. Comput, 1974, vol. 28, №128, p.889-907.

111. Hadamar J. Le problem de Cauchy et les equations aux derivees partielles leneaires hyperboliques//Paris:Herman, 1932.

112. Hadamar J. Sur les problems aux derivees partielles et leur signification physique // Bull.Univ.Princeton, 1902, 13.

113. Melkman A., Miccelli C. Optimal Estimation of Linear Operators in Hilbert Spaces from Inaccurate Data // SIAM J. Num. Anal., 1979, vol.16, №1 p.87-105.

114. Menikhes L.D., Tanana V.P. A convergense for approximation in the regularization mehtod and Tikhonov regularization method of n-th order. // Jornal of Inverse and Ill-posed Problems, 1998, vol.6, №3 p.241-262.

115. Tanana V.P. A criterion of convergense of approximation . // Jornal of Inverse and Ill-posed Problems, 1997, vol.5, №2 p.1-12.

116. Tanana V.P. Method for solution of nonlinear equation.// Utreht, The Netherland, 1997, 241 p.

117. Philips D.L. A techique for the numerical solution of certain integral equations of the first kind. //J. Assoc Comput.Mact., 1962, vol 9, №1, p.84-97.