Наилучшие оценки в методах аппроксимации производных функции, заданной с погрешностью тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.07, кандидат физико-математических наук Скорик, Георгий Григорьевич

• Скорик, Георгий Григорьевич
• кандидат физико-математических наук
• 2006

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Скорик, Георгий Григорьевич

Введение

Глава I Предварительные сведения

§1. Усредняющие ядра интегральных операторов и их свойства

§2. Оценка нормы оператора свёртки.

§3. Дробные производные и их свойства.

§4. Оптимальные методы и их связь с задачей Стечкина

Глава II Устойчивая аппроксимация производной т-то порядка на основе метода средних функций

§1. Оценка погрешности в С(—оо,оо).

1.1. Оценка погрешности метода сверху

1.2. Исследование точности мажорантной оценки.

1.3. Проблема оптимальности метода.

§2. Оценки в пространствах суммируемых функций

2.1. Постановка задачи.

2.2. Оценка погрешности метода сверху

2.3. Исследование точности мажорантной оценки.

2.4. Оптимальность по порядку.

§3. Вычисление смешанной производной в пространстве С(К2)

§4. Аппроксимация производных функции, заданной на отрезке

Глава III Устойчивая аппроксимация дробной производной

§1. Метод средних функций.

§2. Вариационный метод регуляризации.

Глава IV Численные эксперименты

§1. Некоторые примеры использования метода средних функций для численного дифференцирования.

§2. Использование дробной производной в методе Тихонова для регуляризации уравнений Фредгольма первого рода

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Наилучшие оценки в методах аппроксимации производных функции, заданной с погрешностью»

Во многих областях науки и техники возникают некорректно поставленные задачи. Эти задачи обычно формулируются в виде операторных уравнений 1-го рода или в виде задачи вычисления значений неограниченного оператора. Напомним соответствующие определения корректности и регуляризирующего алгоритма для задачи вычисления некоторого неограниченного линейного оператора Т,

Ту = х, (В.1) действующего на паре нормированных пространств У, X (см. [21]).

Определение В.1. Задача (В.1) называется корректной по Адама-ру, если выполнены условия:

1. 2)(Т) = У, т.е. область определения оператора Т есть всё пространство У;

2. Т — однозначный оператор (каждому у соответствует единственный элемент х = Ту);

3. оператор Т непрерывен (ограничен).

Определение В.2. Задача (В.1) называется некорректно поставленной, если нарушено по крайней мере одно из условий 1-3.

Обычно идёт речь о нарушении условий 1,3.

Определение В.З. Семейство операторов {Д?}, У ->• X, называется регуляризующим семейством операторов для задачи (В.1), если для любого у Е Т>(Т) имеет место сходимость

Нтвир \\Rsys — Ту\\ = 0. (В.2)

У5,

Семейство {Л^}, У —»■ X называют также регуляризующим алгоритмом (РА).

Заметим, что часто сначала строится семейство {Да}, зависящее ог некоторого параметра регуляризации а, а затем при подходящей связи конструируется РА.

Возможность конструирования эффективных методов решения некорректно поставленных задач (регуляризующих алгоритмов), было показано в работах М.М. Лаврентьева, А.Н. Тихонова, В.К. Иванова. Результаты исследования этих авторов и их учеников изложены в [21], [23], [41], [42].

В настоящей работе изучается задача численного дифференцирования зашумлённой функции, т.е. задача приближённого вычисления т-й производной (для целого и дробного т)

1Ш 3 ^ = *(()■ (Е-3) например, на паре пространств X = У = С[а, Ь] или Ьр[а, Ь], в условиях, когда функция у задана своим ¿-приближением уз, ||у — ^ 5. Как известно [21], эта задача является некорректно поставленной. Нетрудно показать, что на любой разумной паре функциональных нормированных пространств У, X, задача вычисления производной (В.З) по приближённым данным уй, является некорректной (оператор Т неограничен), если нормированная топология X не слабее топологии У. Поэтому для построения устойчивого приближённого решения задачи (В.З) необходимо привлечение идей регуляризации и методов некорректно поставленных задач.

В связи с рассмотрением задачи дифференцирования (В.З), возникают следующие проблемы: а) построение регуляризующего алгоритма при заданном параметре m и паре функциональных пространств Y, Х\ б) оценка погрешности метода R = Rs в точке или на заданном классе М при фиксированном уровне погрешности S

7S{T; R\ М) = sup {\\Rys - Ту\\: у еМ,\\у- у6\\ ^ 5}, (В.4) причём в качестве М обычно используют множество м; = {у: y{m+n) G С, Цу^ИсО}, либо

Мп {у: У^еь,, ||y<m+n)||if ^ р}, где п — натуральное число; в) исследование оптимальности метода R, т.е. сравнение величины 7 как функции 6, с погрешностью оптимального метода

В.5) где В(У —> X) — пространство линейных ограниченных операторов из У в X] г) построение на основе РА численно реализуемых алгоритмов и проведение вычислительных экспериментов.

Все эти вопросы рассматриваются в диссертационной работе для задачи (В.З) на функциональных пространствах Ьр[а, Ь), С[а, Ь], причём, как для целочисленного, так и для дробного дифференцирования в смысле Римана-Лиувилля и Маршо (см главу I, §3).

Заметим, что задача численного дифференцирования зашумлённой функции часто возникает во многих прикладных задачах, поэтому исследование сформулированных выше проблем представляет несомненный интерес, как с теоретической, так и с практической точек зрения.

С задачей (В.5) тесно связана задача Стечкина об оптимальной аппроксимации на классе М неограниченного оператора Т ограниченными

Ем(Т;М)= т| 8ир||Яу-Ту|| (В.6)

Оказывается, что при некоторых условиях согласовании параметров 6 и ./V, из решения одной задачи можно построить решение другой (см., например, [10], [4]).

Задача Стечкина хорошо исследована и во многих случаях найдены экстремальные операторы, на которых достигается нижняя грань (В.б). Эти операторы можно использовать при консгруировании оптимальных регуляризаторов, в частности, задачи (В.З). В данной работе задача Стечкина не исследуется.

Проблемой численного дифференцирования зашумлённой функции и родственной ей задачей Стечкина занимались многие исследователи, что нашло отражение в многочисленных публикациях. Задача восстановления производных зашумлённой функции рассмотрена в [7], [8], [12], [16] ,[17], [18], [19], [24], [25], [26], [43], [45], [47], [48] и многих других.

В некоторых работах ограничиваются построением конкретного РА [16], [17], [24]. В [18], [19], [26] доказывается сходимость приближённого решения к точному. В других статьях устанавливаются мажорантные оценки погрешности метода и доказывается их оптимальность по иоряд-ку [19], [7], [8],[25], [48],[43].

Оценки погрешности методов регуляризации и модулей непрерывности для операторов дифференцирования на отрезке получены в работах [22], [44].

Задаче Стечкина посвящены рабогы [36], [2], [3], [5], [6], [13], [15], [38], [39]. Подробный обзор см. в [4].

В [36] приведены наилучшие формулы численного дифференцирования для пространств X = У = С[0, оо) при 1 ^ т < 3, т + п = 3.

В [2] даётся решение задачи Стечкина и найдено точное значение Е^ в пространстве С{—оо, оо) для т+п = 4, бив пространстве Ь\{—оо, оо) для т + п = 2, 3, 4, 5.

Проблема существования решения задачи Стечкина для различных значений т, п в пространствах С и Ьр рассматривается в [3] на прямой и в [14] на прямой и полупрямой.

В [13] исследуется неравенство Колмогорова для общего случая. Вы-иисано условие для конечности константы в неравенстве Колмогорова.

В [15] задача Стечкина решена для пространств X = ¿2[0,оо) и У = С[0,оо) при всех 0 ^ ш, п, М = {у: \\у\\ь2 ^ р}- Найден наилучший приближающий оператор.

В [39] решена задача Стечкина для пространств X = ¿2(-оо,оо) и У = С(-оо,оо) при всех 0 ^ т, п, М = {у: \\у\\ь2 ^ р}- Найден наилучший приближающий оператор.

Задача Стечкина для оператора дробного дифференцирования, действующего на полупрямой, рассматривалась в [46].

Обзор по задаче Стечкина для неограниченных операторов и, в частности, для операторов дифференцирования в пространствах С и Ьр, можно найти в [1].

Конечно, более трудной задачей является получение точных (неулуч-шаемых) оценок погрешности, а также построение оптимальных на классах или в точке алгоритмов.

Определение В.4. Метод (оператор) Щ: У -»■ X называется оптимальным на классе М для задачи (В.1); если он реализует нижнюю грань в (В.5), т.е. его погрешность совпадает с величиной

Будем называть Щ оптимальным регуляризатором.

Определение В.5. Оператор Щ называется оптимальным по порядку, если для некоторой константы выполняется неравенство

7¡(Т; Д; М)

-щщ * 0 < (в'7) где С? = 1 соответствует оптимальному алгоритму.

Известны немногочисленные случаи конструктивного построения оптимальных методов для задачи дифференцирования (В.З) на классах равномерной регуляризации

М™'п = {у: у^еС(-оо,оо), Ыт+п)\\с < р], например, при значениях параметров т = 1, п = 1,2; т = 2, п = 1, [35], (см. подробности в §4 главы I).

Эти результаты могут быть получены как на основе известных оценок снизу [10] оптимальной погрешности через модуль непрерывности

П5(Т; М)>ы5(Т,М), и использовании неравенства Адамара-Колмогорова иЛс ^ кмг-ть, так и на основе связи задач (В.5), (В.6) и результатов, полученных для задачи Стечкина [35], [4].

Упомянутые выше оптимальные регуляризаторы являются конечно-разностными, следовательно, вполне конструктивными.

К сожалению, при тп+п^ 4 экстремальные операторы в задаче Стеч-кина являются уже бесконечно-разностными, что не позволяет говорить о конструктивности регуляризаторов, построенных на их основе.

Значительная часть диссертационной работы посвящена исследованию регуляризующего алгоритма для задачи (В.З) на основе метода средних функций

ЯМ()= / ^'^юМФ. (В 8) с гладкими усредняющими ядрами в). Этот метод был предложен в работе [8] для ш = 1, п = 1 и в частном случае были получены мажорантные оценки на классе. В работе [48] с аналогичных позиций был рассмотрен другой частный случай для т = 1, п = 2. В [45] рассматриваются интегральные операторы с полиномиальными финитными ядрами, в частности для регуляризации задачи (В.З) для т, п ^ 1 и для дробных производных (точнее, для решения уравнения Абеля); получены оптимальные по порядку оценки сверху и снизу для погрешности метода.

В диссертации существенно усиливаются и обобщаются эти результаты. При этом исследуется случай не только целочисленного, но и дробного дифференцирования. Более того, для некоторых троек {X, У, М}, получено точное значение величины погрешности л на классе. Кроме того, изучается задача построения оптимального регуляризатора в каждой точке конечного огрезка [а, Ь], что уточняет результаты работы [22], относящиеся к оптимальным на классе методам численного дифференцирования в пространстве С[а,Ь] при т = 1, п = 1.

Перейдём к более подробному изложению результатов настоящей работы.

В первой главе даётся материал, необходимый для изложения основных результатов диссертации. Приводятся определения и свойства усредняющих ядер, с помощью которых конструируются регуляризую-щие алгоритмы в задаче численного дифференцирования. Вводится понятие дробной производной и излагается примыкающий к этому соответствующий материал. Формулируется задача Стечкина об аппроксимации неограниченного оператора ограниченными и устанавливается её связь с задачей об оптимальном регуляризаторе (задачей Страхова, [37]).

Во второй главе исследован мегод средних функций с ядрами вида для регуляризации задачи (В.З).

В первом параграфе в пространстве С(—оо, оо) точно вычислена величина погрешности метода 75 для произвольных тип, при подходящей связи между а и 5 с р показана его оптимальность по порядку. Дан отрицательный ответ на вопрос о возможности построения оптимального регуляризатора для случая т = 1,п = 1 на основе метода средних функций с гладкими ядрами б) = саш((Ь — з)/а), и указан способ построения регуляризатора, сколь угодно близкого к оптимальному.

Во втором параграфе для пространств Ьр{—оо,оо) найдена оценка сверху величины погрешности метода 75 для всевозможных тип. Показана оптимальность по порядку найденной оценки. При определённом выборе пространств доказано, что эта оценка является точной.

В третьем параграфе рассмотрен метод средних функций для случая функции двух переменных и найдена оценка величины 7,5 для смешанной производной.

В четвёртом параграфе построен регуляризатор на основе метода средних функций для задачи численного дифференцирования функции, заданной на отрезке. Найдена величина 75 для пространства С[а, 6] при связи п = т + 1.

В третьей главе исследован случай дробной производной. Для всей числовой оси применялся метод средних функций, а для отрезка — метод Тихонова.

В четвёртой главе приведены примеры реализации метода средних функций для случая одной переменной, а также приведены результаты, полученные методом Тихонова с регуляризатором на основе дробной производной для одномерных и двумерных интегральных уравнений Фредгольма первого рода.

Основные результаты данной диссертации опубликованы в [30], [31], [33], а также в тезисах [28], [29] и [32].

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Скорик, Георгий Григорьевич, 2006 год

1. Арестов В.В. Приближение неограниченых операторов ограниченными и родственные экстремальные задачи // Успехи мат. наук. -1996. - Т. 51, вып. 6. - С. 89-124.

2. Арестов В.В. О наилучшем приближении операторов дифференцирования // Матем. заметки. 1967. - Т. 1, № 2. - С. 149-154.

3. Арестов В.В. О наилучшем равномерном приближении операторов дифференцирования // Матем. заметки. 1969. - Т. 5, № 3. - С. 273284.

4. Арестов В.В., Габушин В.Н. Наилучшее приближение неограниченых операторов ограниченными // Изв. вузов. Матем. 1995. - № 11. - С. 44-46.

5. Бердышев В.И. Наилучшее приближение в Ь0, оо) оператора дифференцирования // Матем. заметки. 1971. - Т. 9, № 5. - С. 477-481.

6. Буслаев А.П. О приближении оператора дифференцирования // Матем. заметки. 1981. - Т. 25, № 5. - С. 731-742.

7. Васин В.В. Регуляризация задачи численного дифференцирования // Матем. зап. Уральский ун-т. 1969. - Т. 7, № 2. - С. 29-33.

8. Васин В.В. Об устойчивом вычислении производной в пространстве С(-оо, оо) // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1973. - Т. 13, № 6.- С. 1383-1389.

9. Васин В.В. Оптимальные методы вычисления значений неограниченных операторов. Киев: Ин-т кибернетики АН УССР, 1977, препринт 77-59 - 17 с.

10. Васин В.В. Методы решения неустойчивых задач. Свердловск: Ур-Гу, 1989. - 94 с.

11. Васин В.В. Аппроксимация негладких решений линейных некорректных задач // Сборник трудов Ин-та матем. и механ. «Динамические системы: моделирование, оптимизация и управление» 2006.- Т. 12, № 1. С. 64-77.

12. Габушин В.Н. Оптимальные методы вычисления значений оператора Их, если х задано с погрешностью. Дифференцирование функций, определённых с ошибкой // Тр. МИАН СССР. 1980. - Т. 145.- С. 63-78.

13. Габушин В.Н. Неравенства для норм функции и её производных в метриках Ьр// Матем. заметки. 1967. - Т. 1, № 3. - С. 291-298.

14. Габушин В.Н. О наилучшем приближении оператора дифференцирования в метрике Ьр // Матем. заметки. 1972. - Т. 12, № 5. -С. 531-538.

15. Габушин В.Н. О наилучшем приближении оператора дифференцирования на полупрямой // Матем. заметки. 1969. - Т. 6, № 5. -С. 573-582.

16. Грабарь Л.П. Применение полиномов Чебышева, ортонормирован-ных на системе равноотстящих точек, для численного дифференцирования //Ж. вычисл. мат. и мат. физ. 1967. - Т. 7, № 6. -С. 1375-1379.

17. Демидович В.Б. Восстановление функции и её производных по экспериментальной информации //В кн.: Вычисл. методы и программирование. М.: Изд-во МГУ, 1967. - вып. 8. - С. 96-102.

18. Долгополова Т.Ф., Иванов В.К. О численном дифференцировании // Ж. вычисл. мат. и мат. физ. 1966. - Т. 6, № 3. - С. 570-576.

19. Долгополова Т.Ф. Конечномерная регуляризация при численном диффенецировании периодических функций // Матем. записки Урал, ун-та. 1970. - Т. 7, тетр. 4. - С. 27-33.

20. Зигмунд А. Тригонометрические ряды. М.: «Мир», 1965.

21. Иванов В.К., Васин В.В., Танана В.П. Теория линейных некорректных задач и её приложения. М.: Наука, 1978. - 206 с.

22. Колпакова Э.В., Колпаков В.И. Восстановление математических объектов по неполно заданной информации. Саратов: Сарат. гос. техн. ун-т, 1995. - 136 с.

23. Лаврентьев М.М. О некоторых некорректных задачах математической физики. Новосибирск: Изд-во СО АН СССР, 1962. - 91 с.

24. Морозов В.А. О задаче дифференцирования и некоторых алгоритмах приближения экспериментальной информации //В сб.: Вычислит. методы и программирование. М.: Изд-во МГУ, 1970. - Т. 14 -С. 46-62.

25. Рамм А.Г. О численном дифференцировании // Изв. вузов. Математика. 1968. - № 11. - С. 131-134.

26. Савёлова Т.И. Об устойчивом дифференцировании функций //Ж. вычисл. мат. и мат. физ. 1980. - Т. 20, № 2. - С. 501-505.

27. Самко С.Г., Килбас A.A., Маричев О.И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения Минск: Наука и техника, 1987. - 688 с.

28. Скорик Г.Г. К вопросу об оптимальности метода средних функций в задаче дифференцирования // Алгоритмический анализ некорректных задач: Тез. докл. Всерос. науч. конф. 2-6 фев. 1998 г. Екатеринбург, 1998. - С. 237-238.

29. Скорик Г.Г. Об оптимальных в точке методах аппроксимации производных зашумленной функции // Алгоритмический анализ неустойчивых задач: Тез. докл. Всерос. конф. 2-6 фев. 2004 г. Екатеринбург, 2004. - С. 67-68.

30. Скорик Г.Г. К вопросу о точной оценке погрешности метода средних функций в задаче дифференцирования // Изв. Урал. гос. ун-та. -2004. № 30. - С. 138-156.

31. Скорик Г.Г. О наилучшей оценке погрешности метода усредняющих ядер в задаче дифференцирования зашумлённой функции // Изв. вузов. Математика. 2004. - № 3. - С. 76-80.

32. Скорик Г.Г. Об оптимальности метода средних функций в задаче численного дифференцирования // Проблемы теоретической и прикладной математики: Труды 37-й Регион, молодеж. конф. 30 янв. -3 фев. 2006 г. Екатеринбург, 2006. - С. 146-150.

33. Скорик Г.Г. Оценка погрешности метода средних функций в задаче численного дифференцирования зашумленной функции // Изв. вузов. Математика. 2006. - № 2. - С. 35-41.

34. Соболев С.Jl. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. Новосибирск: изд-во СО АН СССР, 1962.- 255 с.

35. Стечкин С.Б. Наиучшее приближение линейных операторов // Ма-тем. заметки. 1967. - Т. 1, № 2. - С. 137-148.

36. Стечкин С.Б. Неравенства между нормами производных произвольной функции // Acta Sei. Math. 1965. - Т. 26, № 3-4. - С. 225-230.

37. Страхов В.Н. Теория приюлиженного решения линейных некорро-ектных задач в гильбертовом пространстве и ее использование в разведочной геофизике // Изв. АН СССР. Физика земли. 1969. - № 8.- С. 50-53; № 9. С. 64-96.

38. Субботин Ю.Н., Тайков JI.B. Наилучшее приближение оператора дифференцирования в пространстве ¿2 // Матем. заметки. 1968.- Т. 3, № 2. С. 257-264.

39. Тайков JI.B. Неравенства типа Колмогорова и наилучшие формулы численного дифференцирования // Матем. заметки. 1968. - Т. 4, № 2. - С. 233-238.

40. Тимошин O.A. Наилучшее приближение оператора второй смешанной производной в метриках L и С на плоскости // Матем. заметки.- 1984. Т. 36, № 3. - С. 369-375.

41. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач.- М: Наука, 1974. 224 с.

42. Тихонов А.Н., Морозов В.А. Методы регуляризации некорректно поставленных задач // Сер. Вычислительные методы и программирование. М. :Изд-во МГУ, 1981. - Вып. 35. - С. 3-34.

43. Хромова Г.В. О дифференцировании функций, заданных с погрешностью // Диф. уравнения и теория функций. Саратов- Изд-во Сарат. ун-та, 1984. - Вып. 6. - С. 53-58.

44. Хромова Г.В. О модулях непрерывности неограниченных операторов // Изв. вузов. Математика. 2006. - № 9. - С. 71-78.

45. Шишкова Е.В. Интегральные операторы с полиномиальными финитными ядрами и их применение в некорректно поставленных задачах // Дисс. . канд. физ.-матем. наук. Саратов, 2006.

46. Arestov V.V. Inequalites for fractional derivatives on the half-line // Approxim. Theory.- Warsaw: PWN-Pol. Sci. Publ, 1979. V. 4. - P. 1934.

47. Cullum J. Numerical differention and regularization // SIAM J. Numer. Anal. 1971. - V. 8, № 2. - P. 254-265.

48. Groetch C.W. Optimal order of accuracy in Vasin's Method for differentiation of noisy functions //J. Optimiz. Theory. Appl. 1992. -V. 74, № 2. - P. 373-378.