Исследование и оценки погрешности некоторых методов регуляризации линейных операторных уравнений и их приложения тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.07, кандидат наук Бредихина, Анна Борисовна

• Бредихина, Анна Борисовна
• кандидат наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат наук Бредихина, Анна Борисовна

Содержание

Введение

1 Модуль непрерывности обратного оператора и понятие метода

1.1 Модуль непрерывности и его свойства

1.2 Понятие метода решения условно-

корректной задачи

2 Методы Лаврентьева приближенного решения линейных операторных уравнений первого рода

2.1 Метод М.М. Лаврентьева с выбором параметра регуляризации по схеме

В.Н. Страхова

2.2 Оптимальный метод Лаврентьева решения уравнений

с приближенно заданными правой частью и оператором

3 Методы проекционной регуляризации приближенного решения линейных операторных уравнений

3.1 Метод проекционной регуляризации с выбором параметра регуляризации по схеме М.М. Лаврентьева

3.2 Метод проекционной регуляризации с выбором параметра регуляризации по схеме В. Н. Страхова

3.3 Метод проекционной регуляризации с выбором параметра регуляризации из принципа невязки

! ОЛ

4 Приложение численных методов Лаврентьева и проекционной регуляризации к решению некоторых об-

ратных задач математической физики

4.1 Решение обратной задачи Коши для уравнения теплопроводности методом проекционной регуляризации с выбором параметра по схемам М. М. Лаврентьева

и В. Н. Страхова

4.2 Определение пространства Соболева И7^ с показателем Р > 0

4.3 Задача Коши для уравнения Лапласа

4.4 Решение нелинейным методом проекционной регуляризации одной обратной задачи физики твердого тела

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Исследование и оценки погрешности некоторых методов регуляризации линейных операторных уравнений и их приложения»

Введение

Постановка задачи.

Диссертация посвящена изучению методов решения обратных задач, которые как правило являются некорректными. В различных областях науки и техники, целью большейства экспериментов является изучение свойств объектов или процессов либо принципиально недоступных для непосредственного наблюдения, либо связанных с очень большими затратами. В качестве примеров можно привести астрофизические эксперименты по изучению звезд, медицинские эксперименты, направленные на изучение внутренних органов человека, эксперименты по изучению внутреннего строения земли с целью поиска полезных ископаемых и многие другие. Характерной чертой возникающих при этом задач интерпретации результатов эксперимента является то, что исследователь должен сделать заключение о свойствах объекта или процесса по измеренным в результате эксперимента их косвенным проявлениям. Таким образом, речь идет о задачах, в которых требуется определить причины, если известны полученные в результате наблюдений следствия. Задачи такого типа естественно называть обратными. Решение подобных задач, состоящих в обращении причинно-следственных связей, как правило, связано с преодолением существенных трудностей, и успешный результат зависит как от количества и качества экспериментальной информации, так и совершенства методов ее обработки. Первый из указанных факторов представляет собой техническую

проблему, решаемую экспериментатором, в то время как второй -обработка результатов эксперимента - одна из обширных сфер приложения математических методов.

Решение обратных задач проводится в рамках некоторой математической модели исследуемого объекта или процесса и состоит в определении параметров математической модели по имеющейся экспериментальной информации.

Особо следует выделить класс обратных задач для уравнений в частных производных, поскольку эти уравнения наиболее часто употребляются для построения математических моделей самых разнообразных процессов.

Практически все обратные задачи могут быть сведены в общую абстактную формулировку. Обозначим через и неизвестную характеристику математической модели исследуемого объекта или процесса, а через А - оператор, ставящий в соответствие и величину /, которая наблюдается в результате эксперимента. Таким образом, обратная задача состоит в решении операторного уравнения

Аи = /. (0.1)

Важной особенностью обратных задач является то, что исходная информация в этих задачах известна приближенно. Это объясняется тем, что приборы, с помощью которых производятся наблюдения имеют определенный уровень погрешности.

История вопроса.

Впервые строгое определение некорректной задачи было сформулировано в начале двадцатого века французским математиком Жаком Адамаром [140, 139] в связи с анализом различных задач математической физики. Ж. Адамар сформулировал три условия, которым должна удовлетворять каждая задача, имеющая разумную физическую интерпретацию. Они известны как условия кор-

ректности по Адамару и выражают естественные требования к математической задаче, отображающей реальную действительность, которые состоят в том, что решение должно существовать, быть единственным и непрерывно зависеть от исходных данных. Для абстрактного уравнения (0.1) условия Адамара обычно формулируют в следующем виде:

1. Для любого элемента / 6 Е существует элемент и € и такой, что Аи = /, то есть область значений оператора Я(А) = Е, где и, F - метрические пространства (существование);

2. элементом / решение и определяется однозначно, то есть существует обратный оператор А (единственность решения);

3. имеет место непрерывная зависимость и от /, то есть обратный оператор А~1 непрерывен (устойчивость).

Если же при постановке задачи не выполняется хотя бы одно из этих условий, то такие задачи не являются корректно поставленными по Адамару. Такие задачи получили название некорректно поставленных и долгое время математики ими не интересовались, считая их непригодными для практики.

Впервые практическую ценность таких задач заметил А. Н. Тихонов в 1943 году в работе [114]. В этой работе, связанной с обоснованием метода подбора при интерпретации данных геофизических измерений, им была дана постановка условно-корректной (некорректной) задачи. Априори он полагал, что решение уравнения (0.1) существует, оно единствненно и принадлежит некоторому заданному множеству М пространства и (множеству корректности).

Интенсивное развитие теории некорректных задач началось с середины 50-х годов двадцатого столетия и было связано с работами Тихонова А.Н.[115, 116], Лаврентьева М.М.[63]-[67], Иванова В.К.

[48]—[50], [55], в которых были сформулированы основные принципы регуляризации и предложены некоторые методы их решения, исследование которых продолжается и в настоящее время.

Дальнейшее существенное развитие теории некорректных задач получила в работах А. Н. Тихонова, М. М. Лаврентьева, В. К. Иванова, а также их учеников и последователей В. Я. Арсенина, А. Л. Агеева, А. Б. Бакушинского, А. Л. Бухгейма, Г. М. Вайникко, Ф. П. Васильева, В. В. Васина, В. А. Винокурова, В. Б. Гласко, А. В. Гончарского, А. Р. Данилина, А. М. Денисова, Е. В. Захарова, В. Е. Дмитриева, С. И. Кабанихина, А. С. Леонова, O.A. Лисковца, И. В. Мельниковой, Л. Д. Менихеса, В. А. Морозова, А. И. Прилепко, В. Г. Романова, В. Н. Страхова, В. П. Тананы, А. М. Федотова, Г. В.Хромовой, А. В. Чечкина, А. Г. Яголы и многих других математиков [1]—[27], [28]—[40], [80], [85]—[89], [91], [93]-[97], [98]-[119], [124], [126]—[131] и [135] .

В работах по некорректным задачам можно выделить ряд направлений:

1. Теория регуляризуемости. Эта теория связана с проблемой существования метода решения той или иной задачи. Решение этой проблемы позволяет отсеять тот класс задач "абсолютно" некорректных, за решение которых бесполезно браться, кроме того, данные исследования позволяют для некоторых "трудных" задач предложить новые, нетрадиционные методы их решения и тем самым еще глубже проникнуть в тайны этого явления, называемого некорректностью. В известной работе В. А. Винокурова [28] было замечено, что далеко не все даже линейные задачи регуляризуемы, то есть решаемы.

2. Конечномерная аппроксимация регуляризуемых алгоритмов. Практическая реализация основных методов решения некор-

ректпых задач, таких как метод регуляризации Тихонова А. Н. [116], метод Лаврентьева М. М. [63], метод квазирешения Иванова В. К. [48] и метод невязки [50] невозможны без использования ЭВМ. Для этого требуется замена исходной (бесконечномерной) задачи некоторой конечномерной. При этом указанная замена не должна испортить сходимость регуляри-зованных решений к точному. Исследованию этого вопроса посвящено большое число работ. Среди этих работ отметим [1]. [20], [21], [22], [51], [87], [89], [104], [108], [109] и многие другие.

3. Построение эффективных методов решения некорректных задач. Основополагающие работы в этом направлении принадлежат Тихонову А. Н. [116], Лаврентьеву М. М. [63] и Иванову В. К. [48, 50]. В них были сформулированы основные принципы регуляризации и предложены некоторые методы, исследование которых продолжаются rio настоящее время. Затем Бакушин-ским А. Б. [8] был предложен один общий прием построения регуляризующих алгоритмов. Начиная с этой работы, в теории некорректных задач появилась некоторая неопределенность, которая заключалась в том, что для решения одной и той же задачи в арсенале имелось много методов для ее решения. Поэтому дальнейшие исследования в теории некорректных задач были связаны с созданием объективных количественных характеристик точности для методов регуляризации и на их основе сравнение методов. Здесь одним из основных являлся вопрос о выборе параметра регуляризации, решение которого Домбровскую И. Н. [43], Иванова В. К. [50] и Морозова В. А. [87] привело к созданию принципа невязки, сыгравшего большую роль в развитии теории некорректных задач. Затем в работах Иванова В. К. и других [51] появились исследования равномерной регуляризации на некоторых классах решений,

которые дали возможность оценить погрешность различных методов регуляризации. Это позволило определить оптимальный метод, как самый точный среди всех . Исследования, связанные с построением оптимального метода и оценки его погрешности в общем случае принадлежит Страхову В. Н. [98] и Ме1ктап А., МюАеШ С. [142]. На этом закончилась неопределенность в теории некорректных задач, и начались исследования, связанные с построением оптимальных и оптимальных по порядку методов, в которых приняли участие очень многие математики.

Настоящая диссертация относится к третьему направлению. Она посвящена разработке, обоснованию и получению оценок точности методов решения линейных некорректно поставленных задач. В ней уточнены оценки погрешности ранее известных методов, а в некоторых случаях получены точные оценки погрешности. Доказана оптимальность метода Лаврентьева при решении уравнений с ошибкой в операторе. Кроме того, обоснован нелинейный метод проекционной регуляризации и для него получены точные по порядку оценки погрешности. Этот метод позволяет более точно учитывать априорную информацию о решении и за счет этого получить более точные оценки погрешности. Например, при условии кусочной гладкости решения этот класс функций вкладывается в специально определенное локально выпуклое пространство и затем используя это пространство, приводятся оценки погрешности.

Все разработанные и исследованные в работе методы использованы при решении ряда обратных задач математической физики.

Поскольку особенностью некорректно поставленных задач является низкая точность полученных приближенных решений и в связи с этим их низкая информативность, то проблема повышения точности методов, а также уточнения оценок их погрешности ак-

туальна.

Краткое содержание и основные результаты

Работа состоит из введения, четырех глав и библиографии, насчитывающей 156 наименований.

Во введении дан краткий экскурс в историю вопроса, определяются задачи и цель исследования. Здесь же обосновывается актуальность темы диссертации.

В главе 1 приводятся основные понятия и определения, связанные с решением условно-корректных задач. В этом разделе дано понятие класса корректности, модуля непрерывности обратного оператора и метода решения условно-корректной задачи, определена количественная характеристика его точности на соответствующем классе. Кроме того, проведено полное исследование модуля непрерывности обратного оператора и предложены методы его оценки.

Универсального метода решения некорректных задач не существует. Выбор метода обусловлен априорной информацией об исходных данных и решении. В диссертации рассмотрены два класса методов решения некорректных задач: методы проекционной регуляризации [104] и методы М.М. Лаврентьева [63].

Фундаментальным для теории некорректных задач является понятие регуляризующего семейства операторов {Да}- Семейство операторов {Яа : а € (0,ао)} С _В[и,Е], где Б[и,Е] - пространство линейных ограниченных операторов, отображающих О в I, будем называть регуляризующим на множестве М С и, если для любого и 6 М КаАи —> и при а —> +0 [49].

Для определения метода в регуляризующем семействе операторов {Яа} параметр регуляризации а = а(6) или а = 5) выбирается по той или иной схеме. Наиболее известными являются: схема М.М. Лаврентьева, схема В.Н. Страхова и принцип невязки.

В настоящей работе па основе этих схем рассмотрен соответствующий класс методов, для которых получены точные и точные по порядку оценки погрешности.

Глава 2 целиком посвящена методу М.М. Лаврентьева. Результаты этой главы позволяют получить точные оценки погрешности в линейных методах проекционной регуляризации, изученных в следующей главе. В первом параграфе данной главы рассмотрен метод М.М. Лаврентьева с выбором параметра регуляризации по схеме В.Н. Страхова.

В работе [98] была доказана оптимальность метода М.М. Лаврентьева [66] при точно заданном операторе и специально выбранном параметре регуляризации, и получены точные оценки погрешности этого метода. Во втором параграфе данной главы этот результат обобщен на уравнения с приближенно заданным оператором [51] и существенно расширены границы применимости метода М.М. Лаврентьева. Обоснованный в работе метод, использован для решения обратной граничной задачи теплопереноса (см. главу 4).

В главе 3 рассмотрен метод проекционной регуляризации с различным выбором параметра регуляризации и получены точные по порядку оценки метода (первый и второй параграфы). Интересным представляется сравнение оценок, полученных в методе М.М. Лаврентьева и в методе проекционной регуляризации.

В третьем параграфе приведено обоснование метода проекционной регуляризации [55] с параметром регуляризации, выбранным из принципа невязки, названным в дальнейшем нелинейным методом проекционной регуляризации. Особенностью этого метода является то, что для получения приближенного решения он использует в качестве исходной информации лишь уровень погрешности 5 > О и кроме того параметр регуляризации в нем а = а(/§,5) зависит не только от 6, но и от

Далее в предположении, что точное решение операторного уравнения принадлежит классу корректности, получена точная по порядку оценка погрешности этого метода и доказана его оптимальность по порядку на этом классе.

Глава 4 посвящена решению задач математической физики. В первом параграфе методом проекционной регуляризации решена задача Коши для уравнения теплопроводности. Выбор параметра регуляризации осуществлялся по схемам М.М. Лаврентьева и В. Н. Страхова, а также сделано сравнение этих схем.

Во втором параграфе рассмотрены пространства Соболева И^ с показателем ¡3 > 0.

В третьем параграфе рассмотрено решение задачи Коши для уравнения Лапласа на плоскости нелинейным методом проекционной регуляризации.

В четвертом параграфе приведено решение задачи восстановления фононных спектров по термодинамическим функциям кристалла [76]. Для решения данной задачи также был использован метод проекционной регуляризации с параметром, выбранным из принципа невязки. Была получена оценка погрешности сверху при условии кусочной гладкости искомого решения.

В настоящее время обратные и некорректные задачи превратились в бурно развивающуюся отрасль науки. Теория обратных и некорректных задач активно применяется во многих областях науки и техники, например: аэрокосмических исследованиях, физике твердого тела, геофизике, медицине, экологии, экономике и др.

Глава 1

Модуль непрерывности обратного оператора и понятие метода

1.1 Модуль непрерывности и его свойства

Пусть 11,1 и V - банаховы пространства, А - инъективный линейный ограниченный оператор, отображающий пространство и вР и имеющий неограниченный обратный, В - линейный ограниченный оператор, отображающий пространство V в О, Мг = В8Г) где 5Г = {г. и 6 V, ||г>|| < г}, а Ыг = АМГ. Рассмотрим операторное уравнение

Аи = !\ ие\], / е¥. (1.1.1)

Определение 1.1.1. Множество Мг будем называть классом корректности для уравнения (1.1.1) , если сужение оператора А~г на множество ЛГГ равномерно непрерывно.

Лемма 1.1.1. Для того, чтобы множество Мг было классом корректности для уравнения (1.1.1) необходимо и достаточно, чтобы сужение оператора А"1 на множество Ыг было непрерывно в нуле.

Доказательство леммы 1.1.1. Необходимость очевидна.

Достаточность. Так как А^ непрерывно в нуле , то для любого £ > 0 найдется 5 > 0 такое, что для любого / Е Л^ и ||/|| < 5 следует, что

Р"7Н < \

Тогда для любых /1 и /2 Е таких, что ||/х — /2Ц < б следует,

что

-/2 е К, /1-/2

и

2

/1-/2

<Е 7УГ <(5

откуда

А

-1 (ь — /2

<

2'

а \\А~1Ь-А~1М<£.

Тем самым лемма доказана.

□

Теперь следуя [52] определим функции и\(т,г) и си(т,г) (т,г) = вир^Цщ - и21| : Щ,и2 е Мг, \\Aui - Аи2\\ < г|, (1.1.2)

и(т,г) = 5ггр{||гг|| : и е Мг, ||Аи|| < г}, (1.1.3)

где г > 0 и г > 0.

Лемма 1.1.2. Пусть функции ^(т, г) и си(т,г) определены формулами (1.1.2) и (1.1.3).

Тогда их связывает соотношение

(т, г) = и(т,2г).

Доказательство. См. [52]. □

Лемма 1.1.3. Пусть к > 0. Тогда справедливо равенство [150]

си(кт} кг) — к и(т,г).

Лемма 1.1.4. Если множество М\ = ВS\ является классом корректности для уравнения (1.1.1), то функция со(т,г) Е С([0,оо) х [0, оо)). См. [150].

Определение 1.1.2. Линейный ограниченный оператор Q, отображающий гильбертово пространство Н в себя называют изомет-ричным, если для любого и Е И

11<М = И-

Определение 1.1.3. Изометричный оператор Q называют унитарным, если множество его значений R(Q) совпадает с И.

Лемма 1.1.5. Если А-линейный ограниченный оператор, отображающий пространство И в себя, и множество его значений R(A) всюду плотно в Н, то для А имеет место полярное разложение

А = QA,

где Q-унитарный оператор, А*- сопряженный А, а А = у А*А. Доказательство леммы 1.1.5. приведено в [80] □

Пусть в дальнейшем U = F = V = Н, где Н - гильбертово пространство, а операторы А* А и В В* положительно определены. Тогда на основании леммы 1.1.5, для операторов A vi В имеют место полярные разложения А — QA и В = ВР , где Q и Р - унитарные операторы, А = VA*А, а В = л/жв7. Кроме того предположим, что спектр Sp(A) оператора А совпадает с отрезком [0, ||Л||], а

где G(a) строго возрастающая и непрерывная на отрезке [0, ||А||] функция такая, что G(0) = 0. Рассмотрим уравнение

rG(a)a = г; а € [0, |И||]. (1.1.4)

Из (1.1.4) следует, что если 0 < г < г6?(||А||)||.А||, то это уравнение имеет единственное решение

I),

где ф{х)~ функция обратная к С (а) ст. Из теоремы об обратной функции следует, что ф £ С [О, С(||Л||)||Л||] и ^(0) = 0. Таким образом

сг(т) ^ 0 при т —> 0. (1.1.5)

Обозначим через с<7(т, г) функцию, определяемую формулой

а;(т, г) = вирЩгхЦ : и £ Б \\Аи\\ <т}. (1.1.6)

Лемма 1.1.6. При сформулированных выше условиях справедливо равенство

о>(т, г) = г).

Доказательство леммы 1.1.6. Пусть и £ Мг и ||Аи|| < г. Тогда существует у £ Н , такое что и = Ву и ||г>|| < г. Так как В = ВР, то существует элемент У\ £ Н такой, что V = Ру\. Таким образом

и = Вуъ (1.1.7)

где ||г;11| < г.

Из того, что А = О, А следует, что

||Лк|| = \\Я~1Аи\\ < Цд-ЩЛ^Ц = \\Аи\\ < г. (1.1.8)

Из (1.1.7) и (1.1.8) следует, что

ш(т,г) < й(т,г). (1.1.9)

Теперь в другую сторону. Из того, что и £ В8Г следует существование элемента г; £ И такого, что ||г>|| < г, а и = Ву.

Так как \\Аи\\ < т, а А = С} 1А, то

\\Аи\\ = \\QAuW < ||<Э||ри|| = \\Аи\\ < т. (1.1.10)

Таким образом, из (1.1.10) следует, что

й(т,г) < ш(т,г). (1.1.11)

Из соотношений (1.1.9) и (1.1.11) следует утверждение леммы. □

Лемма 1.1.7. Если выполнены все условия на операторы А и В, сформулированные выше, а

т<г\\АВ1

то справедлива формула

и(т,г) = г С[а(т)], где решение уравнения (1.1.4)

Доказательство леммы 1.1.7. Пусть е - достаточно малое, положительное число, а <т(т) - решение уравнения (1.1.4). Тогда, выбрав натуральное число щ такое, что

г С [ст(т)] -г в

Щ - 1 , ' а(т)

п0

рассмотрим пространство Но, определяемое формулой

<£, (1.1.12)

Н0 = ЕЦт)Ш - Еп_^-(тЖ (1.1.13)

710 V /

где {Еа : 0 < а < ||А|| } - разложение единицы, порожденное оператором А [78, с. 336]. Пусть Мг = ~В 5Г) у0 € Н0 и

= т. (1.1.14)

Тогда из (1.1.14) следует, что

и0 = Ву0еМг. (1.1.15)

Так как щ £ Но , то на основании (1.1.12)—(1.1.14)

\\щ\\>гС[а(т)}-е. (1.1.16)

Ввиду того, что щ, Ащ £ И0) а функция С (а) строго возрастает, из (1.1.12) и (1.1.13) следует, что

\\Ачм>\\ < г в[а{т)]а(т) = т. (1.1.17)

Из (1.1.15) и (1.1.17) следует, что

1Ы| <й7(т,г), (1.1.18)

а из (1.1.16) и (1.1.18), что

й(т,г) > г С[ст(т)] — е.

Ввиду произвольности е будем иметь

ш(т,г) > г в[а(т)]. (1.1.19)

Теперь докажем неравенство в другую сторону.

Для этого представим пространство Ш в виде ортогональной суммы

М = Н1+И2, (1.1.20)

подпространств Их = Е^^Ш и Н2 = (Е — Е^^Ш. Из теоремы, доказанной в [78] на с. 336 следует, что подпространства Нх и Н2 инвариантны для операторов А и В. Из того, что щ £ Мг, а

Р«о|| < г, (1.1.21)

следует существование элемента ^ 6 И такого, что

< г (1.1.22)

и

и0 = Ву0. (1.1.23)

Используя (1.1.20), представим элемент г;о в виде ортогональной суммы

у0 = У1+ь 2, (1.1.24)

где Уг = рг(г;0,Нг), г = 1,2.

Пусть г\ = ||г>х||, а Г2 = Ц^Ц- Тогда из (1.1.22) и (1.1.24) следует, что

г\ + г1<г2. (1.1.25)

Из инвариантности пространств Нх и Нг для оператора В и (1.1.23) следует, что щ = щ + щ и

щ = ВУгеШг] г = 1,2. (1.1.26)

Из инвариантности подпространств Их и Н2 для оператора А будем иметь, что

АщеШг] г = 1,2. (1.1.27)

Из (1.1.21), (1.1.26) и (1.1.27) следует, что

\\Ащ\\ < ^т; г = 1,2. (1.1.28)

Так как (?(<т) строго возрастает, то из (1.1.26) следует, что

\\щ\\ < П ОЩт)], (1.1.29)

а из (1.1.28), что

1Ы1 < (1-1-30)

гсг(г)

Ввиду того, что

г2 С[а(т)]а(т) = ^т, (1.1.31)

из (1.1.30) и (1.1.31) следует, что

1Н1 <г2С[а(т)}- (1.1.32)

Из (1.1.25), (1.1.26), (1.1.29) и (1.1.32) следует, что

\\щ\\ < г С[а(т)\. (1.1.33)

Ввиду произвольности щ из (1.1.21) - (1.1.23) и (1.1.33) следует, что

й(т,г) < г С[сг(т)], (1.1.34)

а из (1.1.19) и (1.1.34), что

й(т,г)=гС[а(т)]. (1.1.35)

Из леммы 1.1.6 и (1.1.35) следует утверждение леммы. □

Лемма 1.1.8. При условиях на операторы А и В, сформулированных в лемме 1.1.7, множество Мг = ВБГ является классом корректности для уравнения (1.1.1).

Доказательство леммы 1.1.8. Так как С € С[0, ||А||], а на основании (1.1.5) а\(г) —> 0 при т —> 0, где 6X1(7") является решением уравнения

2 гв(а)а = г,

то

<2(^1 (т)) 0 ПРИ т (1.1.36)

Из (1.1.36) и леммы 1.1.7 следует, что

си(т, 2г) 0 при г 0. (1.1.37)

Из (1.1.37) и леммы 1.1.2 следует, что

(1.1.38) □

ыцг, г) —> 0 при г —> 0, а из (1.1.38) следует утверждение леммы.

1.2 Понятие метода решения условно-корректной задачи

Как и в предыдущем параграфе и, Е, и V - банаховы пространства, А - инъектпвный линейный ограниченный оператор, отображающий пространство и в Р и имеющий неограниченный обратный, В - линейный ограниченный оператор, отображающий V в и, Мг = В8Г.

Условно-корректную задачу приближенного решения уравнения (1.1.1) поставим следующим образом.

Предположим, что при / = /о существует точное решение щ уравнения (1.1.1), которое принадлежит множеству Мг, но точное значение правой части /о нам не известно, а вместо него даны некоторое приближение £¥ и уровень погрешности (5 > 0 такие, что

Требуется, используя исходные данные Мг, 6 задачи, определить приближенное решение щ уравнения (1.1.1) и оценить его уклонение от точного решения доопределение 1.2.1. Семейство операторов { Т$ : 0 < 5 < ¿о } будем называть методом приближенного решения уравнения (1.1.1) на множестве Мг, если для любого 5 Е (0,5о] оператор Т& непрерывно отображает пространство Е в Ш и —щ при 6 —> О равномерно на множестве Мг при условии, что ||/г — Ащ\\ <

Пусть Мг - класс корректности, а{Т^:0<5<5о} метод приближенного решения уравнения (1.1.1) на этом классе . Тогда для любого 5 Е (0, 60] введем количественную характеристику точности этого метода на множестве Мг.

А5[Т5] = 8ир{||и - Т5М :иеМг, \\Аи - /5\\ < 5}. (1.2.1)

Лемма 1.2.1. Пусть { Т§ : 0 < 5 < 5о }-метод приближенного решения уравнения (1.1.1), а со(6, г)-модуль непрерывности обратного оператора в нуле, определяемый формулой (1.1.3). Тогда справедлива оценка

А 5[Тб]>ш(5,г).

Доказательство леммы 1.2.1. Пусть е-достаточно малое положительное число. Тогда из (1.1.2) существуют элементы щ, и2 £ Мг такие, что

- и2\\ > и>1(26,г) - е, (1-2-2)

а

\\Ащ - Аи2\\ < 26. (1.2.3)

Если положить = (Аи1+Аи2)/2, то из (1.2.3) будет следовать, что

\\Аи1-75\\<6к\\Аи2-7д\\<5. (1.2.4)

Из (1.2.4) следует, что

тахЩ^ - Т67в\\, 11^2 - Тз75\|} > (1.2.5)

Из (1.2.2) и (1.2.5) следует, что

шах{||щ - Т6751 \\и2 - Т676\\} > 1^(26, г) - е, (1.2.6)

а из (1.2.1), что

А6[Т5) > тахЩщ - Т676\1 \\и2 - Т675\\}. (1-2.7)

Из леммы 1.1.2 и соотношений (1.2.6), (1.2.7) следует утверждение леммы. □

Обозначим через С[Е,и] множество всех операторов, непрерывно отображающих пространство РвО, а через величину, определяемую формулой

А°6рЬ = Ы{А6(Р) : РеС[Е,и]},

где

Ав[Р] = 8ир{||п - Pf¿\\ : и Е Мг, \Ц6 - Аи\\ < 6}.

и,/б

Определение 1.2.2. Метод { Т^ : 0 < 5 < } будем называть оптимальным на классе Мг, если для любого 5 Е (0, <5о]

А5[Т°рг] = А0*.

Определение 1.2.3. Метод { Т$ : 0 < 6 < ¿о } будем называть оптимальным по порядку на классе МГ: если существует число К > 1 такое, что для любого 5 Е (0,

А6[Т5} < К дf.

Из леммы 1.2.1 следует, что для любого 5 Е (0, <5о]

А°р1>и;(<5,г). (1.2.8)

Глава 2

Методы Лаврентьева приближенного решения линейных операторных уравнений первого рода

2.1 Метод М.М. Лаврентьева с выбором параметра регуляризации по схеме В.Н. Страхова

Этот метод заимствован из работы [63], и в его основу положена замена операторного уравнения первого рода (1.1.1) семейством операторных уравнений второго рода, зависящих от параметра а > 0. Используя при этом ту или иную схему выбора параметра регуляризации а, получим различные методы. Перейдем к изложению оптимального метода М.М. Лаврентьева.

Пусть и = Е = V = Н, где Н - гильбертово пространство, а операторы А*А и ВВ* положительно определены. Тогда на основании леммы 1.1.5 для операторов А и В имеют место полярные разложения А — ЦА и В = ВР, где Р и (5 - унитарные операторы, А = у/ А* А, а В = у/ В В*. Кроме того предположим, что спектр

Sp(A) оператора А совпадает с отрезком [0, ||^4||], а

B = G(A), (2.1.1)

где функция G(a) G С[О, ЦА^ПС^О, ЦАЦ), G(0) = 0 и для любого ае(0,||Л||) G'{a) > 0.

Предположим, что класс корректности Мг имеет вид

Mr = BSr, (2.1.2)

где Sr = {v : v G Ш, ||г>|| < г}.

Из лемм 1.1.6, 1.1.7 следует, что множество Мг, определяемое формулами (2.1.1) и (2.1.2), действительно является классом корректности для уравнения (1.1.1), а модуль непрерывности со(т,г) обратного оператора А 1 на множестве Nr = АМГ вычисляется по формуле

Цт,г)=гС[а(т)], т<г||Л||||Я||, (2.1.3)

где &{т) является решением уравнения

rG{o)o = T. (2.1.4)

Используя лемму 1.1.5 уравнение (1.1.1) можно заменить эквивалентным

Аи = д, (2.1.5)

где А = л/А*А, д = Q*f, а множество Мг, определено формулами (2.1.1) и (2.1.2).

Предположим, что при д — до G Ш существует точное решение щ уравнения (2.1.5), которое принадлежит множеству МГ) но точное значение правой части до нам не известно, а вместо него даны некоторое приближение д$ G Н и уровень погрешности ó > 0 такие, что ||gs - poli < б.

Требуется по исходным данным Мг,д§ и 5 определить приближенное решение щ уравнения (2.1.5) и оценить его уклонение от точного решения уравнения (2.1.5).

В другой постановке метод М.М. Лаврентьева был исследован в работах [132], [133].

В методе М. М. Лаврентьева [63] на с.14 используется регуляри-зующее семейство операторов {Ra : 0 < а < о;о}, действующих из Н в И и определяемых формулой

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Бредихина, Анна Борисовна, 2013 год

Список литературы

1. Агеев А.Л. Алгоритмы конечномерной аппроксимации стабилизирующих добавок // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1991. Т. 31. № 7. С. 943-952.

2. Агеев А.Л. Об одном свойстве оператора, обратного к замкнутому // Исследования по функциональному анализу. Свердловск: Изд-во Уральского ун-та. 1978. С.3-5.

3. Агеев А.Л. К вопросу о построении оптимального метода решения линейного уравнения 1 рода // Известия Вузов. Математика. 1983. №3. С.61-68.

4. Агеев А.Л. Регуляризация нелинейных операторных уравнений на классе разрывных функций // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1980. Т. 20. № 4. С. 516-531.

5. Алифанов О.М., Артюхин Е.А., Румянцев C.B. Экстремальные методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1988.

6. Арестов В.В. О наилучшем приближении операторов дифференцирования // Математические заметки. 1967. I. Вып. 2. С. 149-154.

7. Арсенин В.Я. О разрывных решениях уравнений первого рода // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1965. Т. 5. № 5. С. 922-926.

8. Бакушинский А.Б. Один общий прием построения регуляри-зующих алгоритмов для линейных некорректных уравнений в гильбертовом пространстве // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1967. Т. 7. № 3. С. 672-677.

9. Бакушинский А.Б. Оптимальные и квазиоптимальные методы решения линейных задач, порожденные регуляризующими алгоритмами // Известия Вузов. Математика. 1978. № 11. С. 6-10.

10. Бакушинский А.Б. Замечание о выборе параметра регуляризации // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1984. Т. 24. № 8. С. 1253-1259.

11. Бакушинский А.Б., Гончарский A.B. Некорректные задачи. Численные методы и приложения. М.: Изд-во МГУ, 1989. 199 с.

12. Вайникко Г.М. Методы решения линейных некорректно поставленных задач в гильбертовых пространствах. Тарту: ТГУ, 1982. 110 с.

13. Вайникко Г.М. Оценки погрешности метода последовательных приближений для некорректных задач // Автоматика и телемеханика. 1980. № 3. С. 84-92.

14. Вайникко Г.М. Оценки погрешности метода регуляризации для нормально разрешимых задач // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1985. Т. 25. № 10. С. 14431456.

15. Вайникко Г.М., Веретенников А.Ю. Итерационные процедуры в некорректных задачах. Тарту: ТГУ, 1982. 110 с.

16. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач. М.: Наука, 1981. 400 с.

17. Васин В.В. Регуляризация нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных // Дифференциальные уравнения. 1968. Т. 4. № 12. С. 2268-2274.

18. Васин В.В. О связи некоторых вариационных методов приближенного решения некорректных задач // Математические заметки. 1970. Т. 7. № 3. С. 265-372.

19. Васин В.В. Регуляризация задачи численного дифференцирования // Математические записки. 1969. Т. 7. № 2. С. 29-33.

20. Васин В.В. Общая схема дискретизации регуляризующих алгоритмов в банаховых пространствах // ДАН СССР. 1981. Т. 256. № 2. С. 271-275.

21. Васин В.В., Агеев А.Л. Некорректные задачи с априорной информацией . Екатеринбург: Наука, 1993. 261 с.

22. Васин В.В., Танана В.П. Необходимые и достаточные условия сходимости проекционных методов для линейных неустойчивых задач // ДАН СССР. 1974. Т. 215. № 5. С. 1032-1034.

23. Васин В.В. Оптимальные методы вычисления значений неограниченных операторов. Институт кибернетики АН УССР. Киев. 1977. 17 с.

24. Васин В.В. Дискретная сходимость и конечномерная аппроксимация регуляризующих алгоритмов // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1979. Т. 19. № 1. С. 11-21.

25. Васин B.B. Методы итеративной регуляризации для некорректных задач // Известия Вузов. Математика. 1995. № 11. С. 402.

26. Васин В.В. Устойчивая аппроксимация негладких решений некорректно поставленных задач // Докл. РАН. 2005. Т. 402. № 5. С. 1-4.

27. Васин В.В., Танана В.П. Приближенное решение операторных уравнений первого рода// Математические записки. 1968. Т. 6. № 4. С. 27-37.

28. Винокуров В.А. Об одном необходимом условии регуляризуе-мости по Тихонову // ДАН СССР. 1970. Т. 195. № 3. С. 530-531.

29. Винокуров В.А., Петунии Ю.И., Пличко А.Н. Измеримость и регуляризуемость отображений, обратных к непрерывным линейным операторам // Математические заметки. 1973. Т. 26. № 4. С. 583-593.

30. Винокуров В.А., Менихес Л.Д. Необходимые и достаточные условия линейной регуляризуемости // ДАН СССР. 1976. Т. 229. № 6. С. 1292-1294.

31. Гольдман Н.Л. Обратные задачи Стефана. Теория и методы решения. М. : Изд-во МГУ, 1999. 294 с.

32. Гончарский A.B., Леонов A.C., Ягола А.Г. Об одном регуля-ризуюгцем алгоритме для некорректно поставленных задач с приближенно заданным оператором // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1972. Т. 12. № 6. С. 1592-1596.

33. Гончарский A.B., Леонов A.C., Ягола А.Г. Обобщенный принцип невязки // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1973. Т. 13. № 2. С. 294-302.

34. Гончарский A.B., Леонов A.C., Ягола А.Г. О принципе невязки при решении иеоииейпых некорректных задач// ДАН СССР. 1974. Т. 241. № 3. С. 499-500.

35. Гончарский A.B., Леонов A.C., Ягола А.Г. Конечно-разностная аппроксимация линейных некорректных задач // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1974. Т. 14. № 1. С. 15-24.

36. Гончарский A.B., Леонов A.C., Ягола А.Г. О решении некорректно поставленных задач с приближенно заданным оператором // Сборник "Труды Всероссийской школы молодых ученых "Методы решения некорректных задач и их применение" (г. Ростов-Великий, 9-18 октября 1973 г.)". М.: Изд-во МГУ. 1974. С. 39-43.

37. Гончарский А В., Леонов A.C., Ягола А.Г. О регуляризуемо-сти некорректно поставленных задач с приближенно заданным оператором // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1974. Т. 14. № 4. С. 1022-1027.

38. Данилин А.Р. Об оптимальных по порядку оценках конечномерных аппроксимаций решений некорректных задач // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1985. Т. 25. № 8. С. 1123-1130.

39. Данилин А.Р. Необходимые и достаточные условия сходимости конечномерных аппроксимаций метода невязки // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1982. Т. 22. № 4. С. 824-839.

40. Денисов A.M. Введение в теорию обратных задач. М.: Изд-во МГУ, 1994. 208 с.

41. Денисов A.M. Метод решения уравнений 1-го рода в гильбертовом пространстве// ДАН СССР. 1984. Т.274, № 3. С. 528-530.

42. Диткин В.А., Прудников А.П. Интегральные преобразования и операционное исчисление. М.: Наука, 1961. 524 с.

43. Домбровская И.Н. О решении некорректных линейных уравнений в гильбертовом пространстве// Математические записки Уральск, ун-та. 1964. 4. Тетр.4. С. 36-40.

44. Домбровская И.Н. Об уравнениях первого порядка с замкнутым оператором// Известия Вузов. Математика. 1967. № 6. С. 39-42.

45. Домбровская И.Н., Иванов В.К. К теории некоторых линейных уравнений в абстрактных пространствах// Сибирский математический журнал. 1965. 6. №3. С. 499-508.

46. Емелин И. В., Красносельский М. А. К теории некорректных задач// ДАН СССР. 1979. Т.244, № 4. С. 805-808.

47. Зорич В.А. Математический анализ. Часть вторая. М.: Наука, 1984. 640 с.

48. Иванов В.К. О некорректно поставленных задачах // Математический сборник. 1963. Т. 61. № 2. С. 211-213.

49. Иванов В.К. О равномерной регуляризации неустойчивых задач // Сибирский математический журнал. 1966. Т. 7. № 3. С. 546-558.

50. Иванов В.К. О приближенном решении операторных уравнений первого рода // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1966. Т. 6. № 6. С. 1089-1094.

51. Иванов В.К., Васин В.В., Танана В.П. Теория линейных некорректных задач и ее приложения. М. : Наука, 1978. 208 с.

52. Иванов В.К., Королюк Т.И. Об оценке погрешности при решении линейных некорректно поставленных задач // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1969. Т. 9. № 1. С. 30-41.

53. Иванов В.К., Мельникова И.В., Филинков А.И. Дифференциально - операторные уравнения и некорректные задачи. М. : Физматлит, 1995. 176 с.

54. Иванов В.К. Линейные неустойчивые задачи с многозначными операторами // Сибирский математический журнал. 1970. Т. 11. № 5. С. 1009-1016.

55. Иванов В.К. О линейных некорректных задачах // ДАН СССР. 1962. Т. 145, Ш 2. С. 270-272.

56. Иванов В.К. О применении метода Пикара к решению интегральных уравнений первого рода// Bui. Inst. Politehn. Iasi. 1968. V 4, № 3 4. P. 71-78.

57. Иверонова В.И., Тихонов А.Н., Заикин П.Н., Звягина А.П. Определение фононного спектра кристаллов по теплоемкости // ФТТ. 1966. Вып. 12. С. 3459-3462.

58. Кабанихин С.И. О разрешимости обратных задач для дифференциальных уравнений//ДАН СССР. 1984. Т.277, №4. С. 788791.

59. Кабанихин С. И., Карчевский А. Л. Оптимизационный алгоритм решения задачи Коши для эллиптического уравнения// ДАН СССР. 1998. Т.359, №4. С. 445-447.

60. Кабанихин С.И. Обратные и некорректные задачи. Новосибирск : Сибирское научное издательство, 2009. 457 с.

61. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. М. : Наука, 1972. 496 с.

62. Крейн С.Г., Функциональный анализ. М.: Наука , 1972.

63. Лаврентьев М. М. О некоторых некорректных задачах математической физики. Новосибирск : Сибирское отделение АН СССР, 1962. 92 с.

64. Лаврентьев М.М. К вопросу об улучшении точности решения системы линейных уравнений // ДАН СССР. 1953. Т. 92. № 5. С. 885-886.

65. Лаврентьев М.М. О задаче Коши для уравнения Лапласа // ДАН СССР. 1955. Т. 102. № 2. С. 205-206.

66. Лаврентьев М.М. Об интегральных уравнениях первого рода // ДАН СССР. 1959. Т. 127. № 1. С. 31-33.

67. Лаврентьев М.М. Условно - корректные задачи для дифференциальных уравнений. - Новосибирск. : Изд - во НГУ, 1973. 71 с.

68. Лаврентьев М.М., Романов В.Г., Шишатский С.П. Некорректные задачи математической физики и анализа. М. : Наука, 1980. 288 с.

69. Лаврентьев М.М., Савельев Л.Я. Теория операторов и некорректные задачи. Новосибирск. : Издательство института математики, 1999. 702 с.

70. Латтес Р., Лионе Ж.Л. Метод квазиобращения и его приложения. М. : Мир, 1970. 224 с.

71. Леонов A.C. Решение некорректно поставленных обратных задач : Очерк теории, практические алгоритмы и демонстрация в МАТЛАБ. М. : Книжный дом "ЛИБРОКОМ 2010. 336 с.

72. Леонов A.C. Кусочно - равномерная регуляризация некорректных задач с разрывными решениями // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1982. Т. 22. № 3. С. 516-531.

73. Леонов A.C. Об Н-свойстве функционалов в пространствах Соболева // Математические заметки. 2005. № 77(3). С. 378-394.

74. Леонов A.C. О сходимости по полным вариациям регуляризую-щих алгоритмов решения некорректно поставленных задач // Журнал вычисльной математики и математической физики. 2007. № 47(5). С. 766-781.

75. Леонов A.C. Об устранении насыщения точности регуляризу-ющих алгоритмов // Сибирский журнал вычислительной математики. 2008. № 11(2). С. 167-186.

76. Лифшиц И.М. Об определении энергетического спектра бозе-системы по ее теплоемкости // ЖЭТФ. 1954. Т. 26. № 5. С. 551-556.

77. Лисковец O.A. Вариационные методы решения неустойчивых задач. Минск. : Наука и техника, 1981. 343 с.

78. Люстерник Л.А., Соболев В.И. Элементы функционального анализа. М. : Наука, 1965. 520 с.

79. Мартыненко Н.А., Пустыльников Л.М. Конечные интегральные преобразования и их применение к исследованию систем с распределенными параметрами. М. : Наука, 1986. 304с.

80. Менихес Л.Д., Танана В.П. Конечномерная аппроксимация в методе М.М. Лаврентьева // Сибирский журнал вычислительной математики. 1998. Т.1. № 1. С.56-66.

81. Менихес Л.Д. О регуляризуемости некоторых классов отображений, обратных к интегральным операторам // Математические заметки. 1999. Т. 65. № 2. С. 222-229.

82. Менихес Л.Д. Об одном достаточном условии регуляризуемости линейных обратных задач // Математические заметки. 2007. Т. 82. № 2. С. 242-247.

83. Михайлов В.П. Дифференциальные уравнения в частных производных. М. : Наука, 1976.

84. Михлин С.Г. Курс математической физики. М. : Наука, 1968. 576 с.

85. Морозов В.А. Линейные и нелинейные некорректные задачи // Математический анализ (Итоги науки и техники). 1973. Т. 11. С. 129-178.

86. Морозов В.А. Методы регуляризации неустойчивых задач. М. : Изд-во МГУ, 1987. 216 с.

87. Морозов В.А. О регуляризации некорректно поставленных задач и выборе параметра регуляризации // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1966. Т. 6. № 1. С. 170-175.

88. Морозов В.А. О регуляризации некоторых классов экстремальных задач // Вычислительные методы и программирование. М. : Изд-во МГУ, 1969. Вып. 12. С.24-37.

89. Морозов В.А. Регулярные методы решения некорректно поставленных задач // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1966. Т. 6. № 1. С. 170-175.

90. Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы. М.: Наука, 1969. 529 с.

91. Осипов Ю.С., Васильев Ф.П., Потапов М.М. Основы метода динамической регуляризации. М. : МГУ, 1999. 238 с.

92. Рудин У. Функциональный анализ / пер. с англ. В.Я. Лина. 2-е изд., испр. и доп. СПб. : Издательство "Лань 2005. 448 с.

93. Романов В.Г. Обратные задачи для дифференциальных уравнений. Новосибирск : НГУ, 1973.

94. Романов В.Г. Обратные задачи математической физики. М. : Наука, 1984.

95. Романов В.Г. Устойчивость в обратных задачах. М. : Научный мир, 2005.

96. Стечкин С.Б. Наилучшее приближение линейных операторов // Математические заметки. 1967. Т. 1. № 2. С. 137-148.

97. Стечкин С.Б., Субботин Ю.Н. Сплайны в вычислительной математике. М. : Наука, 1976.

98. Страхов В.Н. О решении линейных некорректных задач в гильбертовом пространстве // Дифференциальные уравнения. 1970. Т. 6. № 8. С. 1490-1495.

99. Страхов В.Н. Об алгоритмах приближенного решения линейных условно - корректныхзадач // ДАН СССР. 1972. Т.207. № 5. С. 1057-1059.

100. Страхов В.Н. О построении оптимальных по порядку приближенных решений линейных условно-корректных задач // Дифференциальные уравнения. 1973. Т. 9. № 10. С. 1862-1874.

101. Танана В.П. Об оптимальных алгоритмах для операторных уравнений первого рода с возмущенным оператором // Математический сборник. 1977. Т.146. № 10. С. 314-333.

102. Танана В.П. Об одном проекционно - итеративном алгоритме для операторных уравнений первого рода с возмущенным оператором// ДАН СССР. 1975. Т. 224. № 5, С. 1028-1029.

103. Танана В.П. Об оптимальности по порядку метода проекционной регуляризации при решении обратных задач // Сибирский журнал индустриальной математики. 2004. Т. 7. № 2. С. 117-132.

104. Танана В.П. Методы решения операторных уравнений. М. : Наука, 1981. 156 с.

105. Танана В.П. Об оптимальности методов регуляризации линейных операторных уравнений с приближенно заданным оператором при условии неединственности решения // ДАН СССР. 1985. Т. 238. № 5. С. 1092-1095.

106. Танана В.П. О новом подходе к оценке погрешности методов решения некорректно поставленных задач // Сибирский журнал индустриальной математики. 2002. Т. 5. № 4. С. 150-163.

107. Танана В.П. Об оценке погрешности метода решения одной обратной задачи для параболического уравнения // Сибирский

журнал вычислительной математики. 2010. Т. 13. № 4. С. 451— 465.

108. Танана В.П., Данилин А.Р. Об оптимальности регуляризую-щих алгоритмов при решении некорректных задач // Дифференциальные уравнения. 1976. Т. 12. № 7. С. 1323-1326.

109. Танана В.П., Данилин А.Р. Необходимые и достаточные условия сходимости конечномерных аппроксимаций регуляризо-ванпых решений // ДАН СССР. 1982. Т. 264. № 5. С. 1094-1096.

110. Танана В.П., Бояршиков В.В. О единственности решения обратной задачи определения фононных спектров кристалла // Свердловск, 1983. Деп. в ВИНИТИ. № 2780-83.

111. Танана В.П., Рекант М.А., Янченко С.И. Оптимизация методов решения операторных уравнений. Свердловск. : Уральск, ун-т, 1987.

112. Танана В.П. Об оптимальном по порядку методе решения одной обратной задачи для параболического уравнения // Докл. РАН. 2006, Т. 407, № 3, С. 316-318.

113. Танана В.П., Япарова Н.М. Об оптимальном по порядку методе решения условно-корректных задач // Сиб. журн. вычисл. математики. 2006. Т. 9, № 4. С. 154-168.

114. Тихонов А.Н. Об устойчивости обратных задач // ДАН СССР. 1943. Т. 39. № 5. С. 195-198.

115. Тихонов А.Н. О решении некорректно поставленных задач и методе регуляризации // ДАН СССР. 1963. Т. 151. № 3. С. 501-504.

116. Тихонов А.Н. О регуляризации некорректно поставленных задач // ДАН СССР. 1963. Т. 153. № 1. С. 49-52.

117. Тихонов А.Н., Арсении В.Я. Методы решения некорректно поставленных задач. М. : Наука, 1974. 223 с.

118. Тихонов А.Н., Леонов A.C., Ягола А.Г. Нелинейные некорректные задачи. М. : Наука, 1995. 311 с.

119. Тихонов А.Н., Гончаровский A.B., Степанов В.В., Ягола А.Г. Численные методы решения некорректно поставленных задач. М. : Наука, 1990. 232 с.

120. Тихонов А.Н., Самарский A.A. Уравнения математической физики. М. : Гостехиздат, 1953. 345 с.

121. Уиттекер Э.Т., Ватсон Дж.Н. Курс современного анализа. М.: Наука, 1978. Ч. 2. 468 с.

122. Фарлоу С. Уравнения с частными производными для научных работников и инженеров. М. : Мир, 1985. 384 с.

123. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. М. : Физматлит, 2006. Т. 2. 863 с.

124. Федотов A.M. Линейные некорректные задачи со случайными ошибками в данных. Новосибирск. : Наука, 1982. 190 с.

125. Фридман А. Уравнения с частными производными параболического типа. М. : Мир, 1968. 427 с.

126. Хромова Г.В. О регуляризации интегральных уравнений первого рода с ядром Грина// Известия Вузов. Математика. 1972. № 8. С. 94-104.

127. Хромова Г.В. О задаче восстановления функций, заданных с погрешностью // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1977. Т. 17. № 5. С. 1161-1171.

128. Хромова Г.В. Об одном способе построения методов регуляризации уравнений I рода// Журнал вычислительной математики и математической физики. 2000. Т. 40. № 7. С. 997-1002.

129. Хромова Г.В. Об оценках погрешности приближенных решений уравнений первого рода// Докл. РАН. 2001. Т. 378. № 5. С. 605-609.

130. Хромова Г.В. О тихоновской регуляризации в пространствах дифференцируемых функций// Журнал вычислительной математики и математической физики. 2004. Т. 44. № 4. С. 581— 585.

131. Хромова Г.В. О регуляризации одного класса интегральных уравнений I рода// Журнал вычислительной математики и математической физики. 2005. Т. 45. № 10. С. 1810-1817.

132. Хромова Г.В. О сходимости метода М.М. Лаврентьева// Журнал вычислительной математики и математической физики. 2009. Т. 49. № 6. С. 958-965.

133. Хромова Г.В. О выборе параметра регуляризации при решении уравнений I рода методом Лаврентьева// Сборник научных трудов. Механика. Математика. Саратов: Изд-во Саратовского ун-та. 2009. № 11. С. 92-94.

134. Чечкин А. В. Математическая информатика. М.: Наука, 1999. 412 с.

135. Ягола А.Г. Регуляризующие алгоритмы и априорная информация. М.: Наука, 1983.

136. Ягола А.Г. Численные методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1990.

137. Franklin J. N. On Tikhonov's method for ill-posed problems // Math. Comput. 1974. vol. 28. № 128. C. 889-907.

138. Gullum J. Numerical differentiation and regularization // SIAM J. Numer. anal. 1967. vol. 8. № 2.

139. Hadamar J. Le problem de Cauchy et les equations aux derives partielles lineaiies hyperboliques. Paris : Herman, 1932.

140. Hadamar J. Sur les problems aux derivees partielles et leur signification physique // Bull. Univ. Princeton. 1902. 13.

141. Ky Fan. Some geometric properties of the spheres in a normed linear space / Ky Fan, J. Gliksberg // - Duke Math. - 1958. - V. 25. - № 4. - P. 553-568.

142. Melkman A., Miccelli C. Optimal Estimation of Linear Operators in Hilbert Spaces from Inaccurate Data // SIAM J. Num. Anal. 1979. vol. 16. № 1. p. 87-105.

143. Menikhes L.D., Tanana V.P. A convergence criterion for approximations in the residual method in Banax spaces // Journal of Inverse and Ill-Posed Problems. 1997. Vol. 5. № 3. P. 255-264.

144. Menikhes L.D., Tanana V.P. A convergensc for approximation in the regularization method and Tikhonov regularization method of n-th order // Journal of Inverse and Ill-Posed Problems. 1998. Vol. 6. № 3. P. 241-262.

145. Miller K. Three circle therems in parcial differential equations and applications to improperly posed problems // Arch. Ration. Mech. Anal. 1964. Vol. 16. № 2. P. 126-154.

146. Phillips D. L. A technique for the numerical solution of certain integral equations of the first kind //J. Assoc. Comput. Mach. 1962. Vol. 9. № 1. P. 84-97.

147. Tanana V.P. A criterion of convergence of approximations // Journal of Inverse and Ill-Posed Problems. 1997. Vol. 5. № 2. P. 1-12.

148. Tanana V.P. Methods for solution of nonlinear operator equations // "VSP"Utrecht, The Netherland, 1997. 241 p.

149. Tanana V.P., Rudakova T.N. The optimum of the M.M. Lavrentev method// Journal of Inverse and Ill-Posed Problems. 2011. Vol. 18. P. 935-944.

150. Tanana V.P., Yaparova N.M. Estimation of accuracy of finite-dimensional methods of regularization// Journal of Inverse and Ill-Posed Problems. 2011. Vol. 19. P. 327-343.

151. Бредихина А.Б. Исследование оптимальности метода проек-ционнной регуляризации // Системы управления и информационные технологии. 2010. № 3(41). С. 70-72.

152. Бредихина А.Б. Об оптимальности метода М.М. Лаврентьева // Вестник ЮУрГУ. Серия "Математика.Механика.Физика ". 2011. Вып. 5. №32(249). С. 18-22.

153. Бредихина А.Б. Нелинейный метод проекционной регуляризации // Вестник ЮУрГУ. Серия "Математическое моделирование и программирование". 2011. Вып. 10. № 37(254). С. 4-11.

154. Танана В.П., Бредихина А.Б., Камалтдинова Т.С. Об оценке погрешности приближенного решения одной обратной задачи в классе кусочно-гладких функций // Труды Института Математики и Механики УрО РАН. 2012. Т. 18. № 1. С. 281-288.

155. Танана В.П., Бредихина А.Б. Об оптимальности одного обобщения метода М.М. Лаврентьева при решении уравнений с

ошибкой в операторе// Труды Института Математики и Механики УрО РАН. 2013. Т. 19. М. С. 258-263.

156. Бредихина А.Б. О наилучшем выборе параметра в методе проекционной регуляризации // Известия ЧНЦ УрО РАН. 2009. Вып. 2(44). URL: http://csc.ac.ru/ej/issue/ru.