Многомерные классы функций ограниченной вариации и их применение в теории рядов и интегралов Фурье тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, доктор физико-математических наук Бахвалов, Александр Николаевич

• Бахвалов, Александр Николаевич
• доктор физико-математических наук
• 2011

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Бахвалов, Александр Николаевич

Введение

Краткий обзор.

Основные определения.

Обзор предшествующих результатов.

Основные результаты.

Апробация.

1 Некоторые примеры функций из многомерных классов Ватермана

1.1 Простейшие свойства функций ограниченной А-вариации

1.2 «Диагональные» функции.

1.3 Другие конструкции функций

2 Непрерывность по Л-вариации функций многих переменных и вложения классов

2.1 Вложения классов АВУ и САУ

2.2 Сравнение разных определений непрерывности по вариации

2.3 Локальное поведение вариации.

2.4 Теоремы вложения для классов ограниченной неполной вариации

3 Сходимость рядов и интегралов Фурье функций ограниченной Л-вариации

3.1 Достаточные условия сходимости.

3.2 Примеры расходимости.

3.3 Оценки коэффициентов Фурье.

4 Неполные вариации и локализация рядов Фурье

4.1 Локализация рядов Фурье непрерывных функций

4.2 Ослабление условия непрерывности.

4.3 Существенность условия регулярности.

4.4 Локализация квазирегулярных прямоугольных сумм

5 Суммируемость рядов Фурье функций ограниченной А-вариации методами Чезаро

5.1 Достаточные условия суммируемости.

5.2 Примеры несуммируемости.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Многомерные классы функций ограниченной вариации и их применение в теории рядов и интегралов Фурье»

Краткий обзор

Работа посвящена исследованию многомерных классов функций ограниченной Л-вариации (классов Ватермана) и задачам сходимости тригонометрических рядов и интегралов Фурье функций многих вещественных переменных из таких классов.

В одномерном случае классической является теорема Жордана о сходимости тригонометрического ряда Фурье для функции ограниченной вариации. Впоследствии рядом авторов (в частности, Н. Винером, Л. Юнгом, Р. Салемом) были построены классы функций ограниченной обобщенной вариации, для которых доказаны аналоги этой теоремы.

В работе [48] Д. Ватерман определил в одномерном случае классы функций ограниченной Л-вариации, в частности, гармонической вариации, и доказал для последних аналог признака Жордана. Ва-терманом было установлено, что его признак не слабее предшествующих результатов такого типа. Другие классы функций ограниченной обобщенной вариации в одномерном случае рассматривали, в частности, Е. А. Севастьянов [26], 3. А. Чантурия [28] и в более общем виде — Е. И. Бережной [7, 8].

В двумерном случае Г. Харди [37] определил класс ВУ(Т2) функций ограниченной вариации и доказал сходимость по Прингсхейму ряда Фурье функции из этого класса в каждой точке. А. А. Саакян [22] ввел понятие гармонической вариации функции двух переменных. Он доказал, что для любой измеримой функции ограниченной гармонической вариации ее ряд Фурье сходится по Прингсхейму в каждой регулярной точке (х, у), и сходимость равномерна внутри любого открытого множества, на котором функция непрерывна. В двумерном случае рассматривались также другие классы ограниченной обобщенной вариации (Б. И. Голубов [10]-[12], Г. Ш. Бекаури [б]), другие виды сходимости рядов Фурье для классов Ватермана (М.И.Дьяченко [30, 15, 16, 17], А.Н. Бахвалов [3, 4]) и другое определение А-вариации (М. И. Дьяченко и Д. Ватерман [31]).

Наша работа посвящена как изучению свойств многомерных классов Ватермана самих по себе, так и применению этих классов к вопросам сходимости кратных рядов и интегралов Фурье.

Среди результатов о «внутренних» свойствах (главы 1 и 2) выделим, во-первых, построение примеров (семейств примеров) функций, попадающих в заданный класс ограниченной А-вариации и не попадающих в более узкие. Получен также критерий вложения многомерных классов Ватермана друг в друга. Во-вторых, введено и подробно изучено понятие непрерывности по А-вариации функций многих переменных.

Задачу о совпадении одномерных классов САУ([а, Ь]) и АВУ([а, 6]), поставленную Ватерманом [50], рассматривали Дж. Форан и Р. Флейс-снер [32], Саблин [23, 24]. Критерий их совпадения был установлен Ф. Прус-Вишнёвски [42] и состоит в том, что классы не совпадают, лишь если последовательность А растет достаточно медленно (неформально говоря, логарифмически). Результаты Драгошанского [13, 14] показывают, что уже в двумерном изотропном случае картина существенно отличается от одномерной, в частности, классы могут не совпадать для последовательностей, растущих степенным образом.

Наши результаты относятся к случаю произвольной размерности т ^ 2, как изотропному, так и анизотропному. В частности, полностью решена задача о совпадении в важном для вопросов суммируемости рядов Фурье случае, когда А-7 = {п^}. Оказалось, что для т ^ 3 упомянутое совпадение классов не имеет места ни при каких Изучены также вложения класса Ватермана в класс функций, непрерывных по вариации другого класса.

В-третьих, решена проблема локального поведения А-вариации. Как известно, если в точке £о функция ограниченной вариации непрерывна справа, то ее вариация по отрезку [жо;жо + Н] стремится к нулю при к -» +0. В работах [48, 49, 22, 23] при получении результатов о сходимости рядов Фурье доказывались аналоги этого свойства для некоторых классов Ватермана.

Автором [55] было впервые показано, что при т ^ 3 локальное стремление А-вариации к нулю в окрестности точки непрерывности может не иметь места, и обнаружено, что для таких случаев его можно гарантировать, если функция попадает в некоторый более узкий класс Ватермана. В работе получено общее решение этой проблемы в виде критерия для пары классов.

Перейдем теперь к результатам о сходимости и расходимости рядов и интегралов Фурье (главы 3 и 4).

Первые такие результаты для т ^ 3 были получены в работах А. И. Саблина [23, 24]. Они относились только к непрерывным функциям, а также содержали дополнительные условия на локальное поведение гармонической вариации, причем вопрос о существенности этих условий не был решен.

В диссертации найдены достаточные условия сходимости прямоугольных частичных сумм ряда Фурье и прямоугольных «частичных интегралов» для интеграла Фурье в точке непрерывности, а для непрерывных функций — и равномерной сходимости, в терминах гармонической вариации и ее локального поведения. Затем мы получаем неуси-ляемые условия сходимости в терминах принадлежности функции более узкому классу Ватермана, чем класс ограниченной гармонической вариации, как для равномерной сходимости ряда Фурье непрерывной функции, так и для сходимости в отдельной регулярной точке, если нет непрерывности функции всюду.

С другой стороны, мы строим примеры непрерывных функций из классов ограниченной А-вариации с расходящимся в точке рядом или интегралом Фурье. Эти теоремы показывают существенность условий на локальное поведение вариации и на класс в предыдущих результатах. В частности, для размерности то ^ 3 нельзя утверждать даже поточечную сходимость ряда Фурье произвольной непрерывной функции из класса НВУ{Тт).

Построенные при изучении рядов и интегралов Фурье методы позволили также получить другие новые результаты, а именно, о локализации рядов Фурье для классов ограниченной неполной А-вариации и о коэффициентах Фурье функций из классов Ватермана.

Другая группа результатов (глава 5) посвящена задаче о суммируемости рядов Фурье функций ограниченной А-вариации методами Чезаро отрицательного порядка. В одномерном случае эта задача была впервые рассмотрена Ватерманом. Нами получена теорема о суммируемости для общего случая, включающая в себя результат Ватермана при т = 1. При этом доказано, что, в отличие от одномерного случая, для размерности т ^ 2, условие непрерывности по соответствующей Л-вариации оказывается существенным для суммируемости и (в отличие от теоремы о сходимости) даже для локализации средних.

Основные определения

В работе мы будем придерживаться следующих соглашений. Рассматриваемые функции будут предполагаться измеримыми комплексно-значными, интеграл понимается в смысле Лебега. Там, где речь идет о ряде Фурье, функции будут считаться 27Г-периодическими по каждому переменному, если не оговорено противное. Такие функции будут рассматриваться на кубе Тщ, где Т = [—7Г, тг]. Промежутком в будем называть декартово произведение т невырожденных промежутков на прямой, т.е. параллелепипед ненулевого объема с ребрами, параллельными осям координат, который по каждой грани может быть как открытым, так и замкнутым. При этом будут использоваться

Для двух последовательностей {ап} и {Ьга} будем писать ап ~ Ъп, если существует конечный положительный предел отношения Iй- при п —> оо. Через [ж] будем обозначать наибольшее целое п ^ ж. Через ха будем обозначать характеристическую функцию множества А. Через С и С(-) обозначаются соответственно положительные постоянные и положительные величины, зависящие лишь от перечисленных в скобках аргументов, не обязательно одинаковые в различных случаях. Там, где необходимо указать, что такие постоянные или величины в нескольких формулах совпадают, они снабжаются индексом, например: Сч{х, Л) (нумерация, как правило, ведется в пределах доказательства). Знаком комплексного числа будем называть

В случае, когда размерность т пространства независимых переменных больше единицы, будут использоваться следующие обозначения. Элементы будут обозначаться жирным шрифтом, например, х = (ж1,., хт). Угловыми скобками будем обозначать скалярное прот обозначения / = Iі х • • • х I™ или I = 1к.

О, * = 0; \z\fz, г^О. изведение: х,у> = ^хкук. к=1

Вектор с целочисленными координатами для краткости будем называть номером.

Замечание 1. Во избежание путаницы между обозначениями для компоненты вектора и для степени числа мы будем придерживаться следующих соглашений.

1. Греческие буквы а и /3 будут использоваться только при рассмотрении методов суммирования Чезаро, и не будут использоваться для обозначения множеств. Поэтому в верхнем индексе они (а также содержащие их выражения) всегда будут обозначать возведение в степень.

2. Компоненты номера, т.е. элемента И1 (а также вектора а. или /3, задающего порядок метода Чезаро), будут обозначаться нижними индексами: к = кт), к* — (к., кПоэтому верхний индекс (число, латинская буква, о;, ¡3 или выражение) при буквах к, I, п обозначает возведение в степень.

Напомним определение кратного тригонометрического ряда Фурье и его прямоугольных частичных сумм.

Определение 1. Пусть /(х) — 27г-периодическая по каждому аргументу и интегрируемая по Лебегу на Тт. Ее рядом Фурье по тригонометрической системе называется ряд оо П1,.,пт=-оо где сп = сп(/) = сп^м) = i• • • ^ коэффициенты Фурье функции /.

Определение 2. Прямоугольной частичной суммой ряда Фурье называется х)=%1.Дт(/,х)= Е Е Спе'<П,Х>

Если Ni = • - • = Nm = N, то такая частичная сумма называется кубической и обозначается х).

Определение 3. Ряд Фурье функции / называется сходящимся по прямоугольникам (по Прингсхейму) в точке х, если существует lim Sn(/,x) miniVj-—>+оо з при независимом стремлении Nj к бесконечности.

Замечание 2. Далее при рассмотрении прямоугольных частичных сумм, мы будем для краткости говорить «при достаточно больших п», имея в виду «если mm;- rij > L, где L достаточно велико».

Определение 4. Ряд Фурье функции / называется сходящимся по кубам в точке х, если существует lim SN(f,x).

N—¥+oo

Если А С Zm, то частичную сумму m-кратного ряда Фурье

S(A)(M = £cn(/)ei(n'x) пеЛ можно представить в виде ^ J /(x + u)D(^)(u)du,

Tm где величина

2Г ' " п €А называется ядром Дирихле, соответствующим данной частичной сумме. В частности, прямоугольным частичным суммам соответствуют прямоугольные ядра Дирихле, которые имеют вид т

А* (и ) =

Л=1 то есть распадаются в произведение одномерных ядер Дирихле, которые выражаются формулой

Dn{x) = sin(n 42 sin |

Для интегрируемой на Мт функции т переменных рассмотрим ее преобразование Фурье

К) = IЛ-)^'»

Возникает следующая проблема: когда можно утверждать, что справедлива формула обращения

М = ЩЯг I # 7 (У

Уже в одномерном случае требование интегрируемости /(£) на Ж накладывает столь излишне ограничительные условия на функцию /, что интеграл в формуле обращения обычно понимают в смысле главного значения.

В случае функции многих переменных мы имеем еще больше свободы в интерпретации формулы (1). А именно, мы можем, например, понимать интеграл в ее правой части как предел интегралов по некоторой расширяющейся последовательности множеств в К™ (подробнее см. [1], введение, п.7).

Нас будет интересовать сходимость «прингсхеймовского типа» в (1). А именно, пусть А = (А1,., Ат), где А6 (0, +оо). Мы определяем частичные интегралы по прямоугольникам:

А1 Ат

А(Л*) = (2^Д/---/ (2)

А1 -Ат и изучаем их поведение при независимом стремлении Л-7 к +оо. Как хорошо известно, справедливо интегральное представление

6л(/,х) = ^//(х + 4)Ц^Л. О)

К"» 1

В работе изучается также задача о суммируемости рядов Фурье функций ограниченной Л-вариации методами Чезаро отрицательного порядка. Напомним соответствующие определения (см., например, [53, т.1, гл.З, §1]). В одномерном случае, пусть задано а > —1, а числа А% определяются из формулы (1 - *)—!, т.е. = (" + В--,•(« + "). п п! п=0

Тогда чезаровскими средними порядка а, или (С, а)-средними, для

Еоо к=о ^ называются величины п Ла к=О п

Как известно (см., например, [53, т.1, гл.З, (1.17)]), А" ~ па.

Если в качестве ряда выступает ряд Фурье интегрируемой на Т функции / в точке х, то эти величины будем обозначать через <7°(/, х). Как показано в [53, т.1, гл.З, §5], средние Чезаро ряда Фурье интегрируемой функции можно выразить формулой

7Г

Яп

71

7Г где = ^1 /(з + п к=о ядро метода [С, а), или ядро Чезаро.

Многомерные определения выглядят следующим образом (см., например, [18, ч.2, гл.2]). Пусть задан вектор а. = (0:1,., ат), где а^ > —1. Тогда прямоугольными средними Чезаро ряда Фурье порядка а называются величины тп \ 1 п / ттг

N¿=1 / к=0 / где ¿>к(/,х) — прямоугольные суммы ряда Фурье. Средние Чезаро можно также выразить через ядра Чезаро по формуле

1 С 171 х) = — у /(х + 1)Ц(4)

Мы рассматриваем сходимость таких средних в смысле Прингсхейма, т.е. при независимом стремлении щ к бесконечности. Ряд называется

С, а)-ограниченным, или, в многомерном случае, (С, а)-ограниченным в точке, если его чезаровские средние указанного порядка ограничены в этой точке. Если средние Чезаро равномерно ограничены на множестве, то ряд называется равномерно (С, а.)-ограниченным на этом множестве.

Следующее определение формализует многомерный аналог точки на отрезке, в которой у функции есть пределы слева и справа.

Определение 5. Точка хо называется регулярной точкой функции /(х), если существуют и конечны 2т пределов f(xl± 0,.,<±0) = lim f(xl±t\.,xZ±tm) t1 ,.,tm->+0 для всевозможных комбинаций знаков. Для регулярной точки хо обозначим -1

•Пх°) = ftä ± О,., äff ± 0).

Пусть Ö £ (0, oo)m, а £ 6 {—1,1}т. Будем обозначать через (х, х + т

С<5) промежуток Р, где Р = + 6^) при ^ — 1 И Р = [xJ —

3=1 т ж-7) при С-7 = —1- Через [х, х + £6) обозначим промежуток Р,

3=1 где Р = [х^, ж-7 + при (J' = 1 и Р = (х^ — при С? — —1.

Аналогичные обозначения будут использоваться и для других типов промежутков. В качестве нормы в возьмем ||5|| = тах|<Р|. о

Для промежутка Д С Rm через А обозначим его внутренность. Для промежутка Д С Шт и вектора х 6 Кш через х + Д будем обозначать сдвиг промежутка Д на вектор х.

Перейдем теперь к определению основного исследуемого понятия — классов функций ограниченной Л-вариации.

Для промежутка Д на прямой через £2(Д) обозначим множество всех конечных систем попарно непересекающихся интервалов {/n}^L=l таких, что 1п С Д. Чтобы не загромождать формулы, мы будем записывать такие системы просто как {/п}, а запись {1%} или {Ikk} будет означать систему вида выбранную на к-м ребре га-мерного промежутка.

Пусть 1к = (ак, Ьк). Рассмотрим функцию /(х) на Rm. При т = 1 положим /(Z1) = fib1) — /(а1); если для любой функции га — 1 переменных уже определено выражение /(I1 х • • • х /т-1), то для функции т переменных положим

71 х • • • х 1т) = /(71 х • • • х Г""1,6т) - /(I1 х • • • х 1т~1, ат). (5)

Величина /(I1 х • • • х 1т) называется смешанным приращением (симметрической разностью) функции / на I.

Другой способ определить эту величину — ввести операторы

Дх,„-(/) = /(х + 5е,-)-/(х) и положить = Аа)Ь1а1д О • • • о Да,Ьт—ат,т(/')•

Хорошо известно, что операторы ДХ)5).,-(/) при разных 7 коммутируют друг с другом, поэтому смешанное приращение симметрично относительно перестановок переменных, то есть, если ус — перестановка множества {1,., га} и д(х) = ., х^™)), то для любых интервалов Р выполняется равенство д{11 х • • • х 1т) = х . х /М™)).

Через обс(/, .Б) будем обозначать колебание функции / па множестве Е, то есть разность ее точной верхней и точной нижней граней на Е.

Пусть множество {1,., т} разбито на два непересекающихся множества £ и г, состоящих из р и т — р элементов соответственно (количество элементов конечного множества будем обозначать знаком модуля, например: |£| = р). Если х = (ж1,. ,хт), тб х^ — элемент т состоящий из компонент а;-7, з € Для параллелепипеда I = Р з=1 обозначим = Р.

Через жг) или /(жт, 1^) обозначим смешанное приращение / как функции аргументов х*, з Е на при фиксированных значениях хк, к Е г, то есть, если £ = {л,. Лр} и = (^Ч то аТ) = Аа^1-ал,л о • • • о

Определение 6. Неубывающая последовательность положительных чисел Л = {Агс}^ задает класс функций ограниченной А-вариоо ации (класс Ватермана), если X) Г" ^

71=1 "

Далее будем рассматривать только такие Л. Множество последовательностей, удовлетворяющих перечисленным условиям, будем обозначать через Ь, а подмножество последовательностей из Ь, которые к тому же неограниченно растут, — через Ьо. Для последовательности ЛеЬ введем обозначение

• т

Положим также Н = {те}^. Из определения класса Ь видно, что ЯеЬ.

Определение Т. Пусть Л1,., Лт — последовательности из Ь. (Л1,., Л™)-вариацией функции /(ж1,. ■ -, хт) относительно переменных (по переменным) х1,.,хт по промежутку (возможно, бесконечному) А = Д1 х • • • х Ат называется величина

1/(4 *•••>< 4™) I sup 1 \т

Пусть непустое множество £ С {1 ,.,т} состоит из элементов Л < • • • < Эр и г = {1,., т} \ Через

Vit(/; Д*} жг) = Vg(f; хТ, Д*) = Д*, хТ) обозначим (Л-71,., Л-7р)-вариацию / как функции переменных х^ — (ж-7'1,. ,ж-7р) по всем этим переменным, взятую по р-мерному промежутку Д* = Д71 х • • • х Д^р при фиксированных значениях хг остальных переменных (если т не пусто). Возникающие при этом промежут-р . f ки 13к[ будем для краткости записывать как Ih. i=i 31

Далее, (Л-71,., А^)-вариацией функции /(ж1,., хт) относительно переменных х£ по промеоюутку Д = Д1 х • • • х Дт называется величина

Д)=У^Л,Р(/;Д)= sup жтеДт

Определение 8. Величина называется (полной) (Л1,., Лш)-вариацией функции /(ж1,., хт) по промежутку А = А1 х • ■ ■ х Аш. Множество функций, для которых она конечна, называется классом ограниченной (Л1,., Ат)-вариации на А и обозначается через (Л1,., Am)BV(A). Если все последовательности АР совпадают и равны Л, то класс будем называть изотропным, и для краткости будем писать V^, Уд. и ABV(A) соответственно. Если же хотя бы две из последовательностей Л-7 различны, то класс будем называть анизотропным. Величину V# называют гармонической вариацией. Через или У^(/;жг, А^) будем обозначать полную (Л-71,., Л^)-вариацию / как функции переменных ж-71,., ж-7? по р-мерному промежутку Д^ = А-71 х • • • х А-7? при фиксированных значениях жт остальных переменных.

Замечание 3. Для упрощения записи мы будем всегда при рассмотрении вариационных сумм считать, что /(i|e, жт) = 0, если какое-то из чисел kj, j 6 превосходит число интервалов в соответствующем наборе.

Эти определения (иногда — не буквально в таком, а в эквивалентном виде) были введены в одномерном случае Д. Ватерманом [48], в двумерном - А. А. Саакяном [22], в многомерном — А. И. Саблиным [23, 24] и независимо В. Райтгрубером [43].

В работе [50] для функций одной переменной Ватерманом было введено также понятие непрерывности по Л-вариации.

Определение 9. Пусть Л € L. Скажем, что функция /(ж) из класса ЛBV([a,b]) непрерывна по А-вариации (/ Е CAV([a, &])), если для последовательностей Ап = {An+fc}^ выполнено lim VX (/; [а,Ь]) = 0.

В случае функций многих переменных, понятие непрерывности по Л-вариации было впервые предложено автором [55]. В двумерном случае такое определение одновременно рассматривалось О. С. Драгошан-ским [13, 14].

Определение 10. Пусть Л1,. ,Ат — последовательности из L. Функция / из класса (Л1,. :Am)BV(A) называется непрерывной по

Л1,Лш)-вариации на А, если для любого непустого множества = 0*1) • ■ ■) Зр} С {1,., т} и для любого ^ 6 £ выполнено (7)

Множество таких функций обозначим через С (А1,., Лт)У(Д).

Замечание 4. Из введенных определений 6 и 7 легко видеть, что величина У^ . . . (/'; Д) монотонно не возрастает с увеличением п.

Отметим, что есть и другие возможности перенести понятие непрерывности по А-вариации на многомерный случай. Их взаимосвязь изучается в §2.2.

Для одномерного случая нам понадобится также вспомогательное понятие А-вариации по произвольному множеству. Если Е С Д — некоторое множество, то через П(Д \ Е) обозначим множество тех систем из П(Д), для которых концы интервалов не попадают в Е.

Определение 11. Пусть А С I - промежуток, Е С Д, Л 6 Ь. Положим ,„/тч,

1/(Л)1

Тк}еП(А\Е)

Другие определения и обозначения будут вводиться по мере необходимости.

Обзор предшествующих результатов

Отметим некоторые результаты о классах функций ограниченной вариации, ограниченной обобщенной вариации и рядах Фурье функций из таких классов. Результаты, непосредственно связанные с содержанием нашей работы, будут лишь упомянуты здесь, подробнее о них будет сказано при обзоре результатов по главам.

Одномерный случай

Хорошо известно (см., .например, [2], гл.1, §39 или [53], т.1, гл.2, §8) следующее утверждение, называемое обычно признаком Жордана или признаком Дирихле — Жордана:

Теорема А. Пусть / € BV(T). Тогда в каждой точке х £ Т ряд Фурье f сходится к величине |(/(ж 4- 0) + f(x — 0)), и сходимость равномерна внутри каждого интервала непрерывности, то есть на любом компакте, содержащемся в этом интервале.

Поскольку, как нетрудно видеть, при любом гомеоморфизме % : Т —> Т вариация функции сохраняется, то класс функций ограниченной вариации обладает следующим свойством: если / G BV{Т), то для любого гомеоморфизма % ряд Фурье функции f о % сходится всюду, а если к тому же потребовать непрерывности 27Г-периодической функции / на К, то ряд Фурье функции / о % будет сходиться равномерно.

Впоследствии рядом авторов были найдены более широкие классы функций, обладающие этим свойством. В частности, Н. Винер [51] рассматривал классы функций ограниченной р-вариации, a JI. Юнг [52] и Р. Салем [44] - классы функций ограниченной Ф-вариации.

К. Гоффман и Д. Ватерман [35] поставили общую задачу описания класса UGW(Т) функций, ряды Фурье которых сходятся равномерно после любого гомеоморфизма отрезка Т, пробегаемого аргументом. В работе [48] Ватерман, как уже отмечалось, определил в одномерном случае классы функций ограниченной А-вариации.

Приведем для наглядности его определение (в одной из эквивалентных форм, см. [49]), являющееся частным случаем определения 8.

Определение 12. Пусть А 6 L и задан ограниченный промежуток Д Cl. Функция f(x) называется функцией ограниченной А-вариации на промежутке А (/ е A BV(A)), если конечна величина

Ы/;А)= sup

Un}€П(Д) S ДП которая в этом случае называется К-вариацией функции f по промежутку А. (Здесь N — число интервалов в данной системе, своё для каждой системы.)

Теорема В (Ватерман). Пусть f Е HBV{Т). Тогда в каждой точке х G Т ряд Фурье f сходится к величине \{f{x + 0) + f(x — 0)), и сходимость равномерна внутри каждого интервала непрерывности. Если HBViT) С ABV(T) есть собственное подмножество, то найдется непрерывная функция f € ABV(T), ряд Фурье которой расходится в точке.

Поскольку гармоническая вариация, так же как и любая Л-вариа-ция, инвариантна относительно гомеоморфизма отрезка, то отсюда, в частности, следует, что НВУ{Т) П С(Т) С Т).

При этом Ватерман доказал, что функция из произвольного класса АВУ(А), как и функция ограниченной вариации, не может иметь точек разрыва второго рода, т.е. все точки являются регулярными точками такой функции. С. Перлман [40] доказал, что любая функция на отрезке Д, имеющая пределы слева и справа в каждой точке, напротив, принадлежит классу АВУ(А) для некоторой последовательности А € Ь.

Ватерманом было установлено, что теорема В не слабее, чем результаты Юнга и Салема, а также другие предшествующие результаты такого типа. Вопрос об равенстве НВУ(Т) П С(Т) — [/(РИ^Т) оставался открытым до середины 1980-х годов, когда он был решен отрицательно Саакяном [21].

Отметим также такие классы функций, инвариантные относительно гомеоморфизма отрезка, как классы функций с заданной скоростью убывания кусочно-монотонных приближений (Е. А. Севастьянов [26]) и классы функций с заданным модулем изменения (3. А. Чантурия [28]). В терминах этих классов также устанавливались критерии сходимости рядов Фурье. Взаимосвязь различных классов рассматривалась в работах А.С.Белова [5] и М.Авдиспахича [29]. Обзор результатов, относящихся к поведению рядов Фурье при гомеоморфных заменах переменной, можно найти в монографии К. Гоффмана, Т. Нишиуры и Д. Ватермана [33].

Несколько позднее Е. И. Бережной [7, 8] предложил более общий подход, опирающийся на понятие симметричного пространства последовательностей. В [8] им было показано, что теорема Ватермана является в смысле этого подхода самым сильным из возможных признаков равномерной сходимости.

Свойства классов САУ{[а, 6]) в одномерном случае изучались в работах ряда авторов: Дж. Форана и Р. Флейсснера [32], А. И. Саблина [23, 24], Ф. Прус-Вишнёвски [42]. Подробнее об этих результатах будет сказано при обсуждении результатов §2.2.

Рядом авторов изучалось также (в одномерном случае) поведение коэффицентов Фурье функций из классов Ватермана. Отметим здесь работы М. Шрамма и Ватермана [45] и Саблина [24]. Многомерным результатам о коэффициентах Фурье посвящён §3.3 диссертации.

Задача о суммируемости рядов Фурье методами Чезаро отрицательного порядка для классов АВУ в одномерном случае рассматривалась в работах Ватермана [50] и Саблина [24], о чем будет подробнее сказано при обсуждении результатов пятой главы диссертации.

Случай двух и более переменных

В двумерном случае Г. Харди [37] определил класс функций ограниченной вариации следующим образом.

Определение 13. Скажем, что функция f{x,y) имеет ограниченную вариацию в смысле Харди на А = А1 х А2 (что / Е BV{А)), если

V(f-,A) = sup £|/Йх42)|+ Ц}6П(ДМ k sup Vx(f]yо, A1) + sup Vv(f;xo,A2) < со.

2/o 6 А2 хобД1

Здесь Vх(f; yo, A1) — обычная вариация / как функции от х на промежутке А1 при фиксированном значении у = уо, и аналогично понимается Vy(f\ ж0, А2).

В указанной работе Харди доказал сходимость по Прингсхейму ряда Фурье функции из BV(Т2) в каждой точке. Многомерный аналог этого утверждения получен в [39].

В работе [34] К. Гоффман и Д. Ватерман определили классы ограниченной А-вариации для функции двух и более переменных и доказали для этих классов в двумерном случае теоремы локализации прямоугольных частичных сумм (подробнее об этом см. ниже, теорема М). Их определение обобщает определение обычной двумерной вариации, принадлежащее Тонелли [46].

А. А. Саакян [22] дал другое определение А-вариации функции двух переменных, в котором на функцию накладывается условие, обобщающее условие Харди, более жесткое по сравнению с определением Гофф-мана и Ватермана и эквивалентное приведенному нами выше определению для классов в пространстве произвольной размерности. Он доказал следующий результат о рядах Фурье функции ограниченной гармонической вариации.

Теорема С. Пусть f - 2-к-периодическая по каждому переменному измеримая функция и / 6 HBV(Т2). Тогда в каждой регулярной точке (х, у) ряд Фурье /(ж, у) сходится по Прингсхейму к величине /*(х,у), и сходимость равномерна внутри любого открытого множества, на котором функция непрерывна.

Не для всякой функции ограниченной Л-вариации каждая точка является регулярной. Это следует из приведенного Саакяном примера функции

Для этой функции Ф.Устина [47] доказал, что частичные суммы ее ряда Фурье расходятся по Прингсхейму в точке (0, 0).

Вопрос о регулярности всех точек для функций из заданного класса Ватермана изучался рядом авторов, в первую очередь, М. И. Дьяченко, который в работе [30] доказал следующее утверждение.

Теорема Ю. Если А определяет класс ограниченной А-вариации, то следующие условия эквивалентны: Для любой функции / е АВУ(Т2) каждая точка Т2 является регулярной.

Для анизотропного класса (Л1, Л2)БУ(Т2) аналогичное утверждение доказала Г. Г. Кошелева [19].

Более того, позднее Дьяченко и Ватерман [31] показали, что в двумерных классах АВУ(А), для которых нарушено условие (11), содержатся всюду разрывные функции (в т.ч. всюду разрывные вместе со всеми им эквивалентными). В этих классах содержатся даже неизмеримые функции.

Для случая размерности, большей двух, первые результаты были получены А. И. Саблиным ([23], [24]). Мы приведем их при изложении основного содержания §3.1 и §3.2, где получено полное решение задачи об условии сходимости прямоугольных сумм ряда Фурье в терминах принадлежности функции классам Ватермана.

Наряду с проблемами сходимости прямоугольных частичных сумм Гоффман и Ватерман [34] и Саблин [23, 24] рассматривали вопрос локализации для кратных тригонометрических рядов в классах типа АВУ.

0 < у < X < 7Г в остальных точках Т2

Подробнее об этом будет сказано при обсуждении четвертой главы диссертации.

В ряде работ рассматривались также вопросы поведения кратных рядов Фурье для других многомерных обобщений понятия ограниченной вариации. Здесь можно отметить работы Б. И. Голубова [10]-[12], посвященные двумерным функциям ограниченной Ф-вариации, а также работу Г. Ш. Бекаури [6], где рассматривались многомерные обобщения классов Чантурия.

В случае функций двух переменных рядом авторов также изучались другие виды сходимости рядов и интегралов Фурье функций из классов Ватермана. Так, М. И. Дьяченко [30, 16] рассмотрел поведение сферических частичных сумм, т.е. сумм вида рядов Фурье функций из классов АВУ(Т2). В работах автора [3, 4] изучалось поведение треугольных частичных сумм двойного ряда Фурье, т.е сумм вида

М. И. Дьяченко [15, 17] изучал существенно более общие виды сходимости, названные им ^-сходимостью и и{К)-сходимостью.

Отметим также, что Дьяченко и Ватерман [31] исследовали другое обобщение понятия ограниченной А-вариации на двумерный случай, появившееся впервые в [43].

Определение 14. Пусть А = Д1 х А2 С I2 - промежуток, а А € Обозначим через Г2*(Д) совокупность всех конечных систем попарно непересекающихся открытых двумерных промежутков, вложенных в Д. Скажем, что / 6 А*ВУ(А), если /(ж0, •) € АВУ(А2) для некоторого хо е Д1, /(•, г/о) € АВУ(А1) для некоторого уо & А2 и х, у)) = £ стМУтхе*> гтх гпу т2+тг2^Д2 = Е СгпЛ1УтХ<?ПУ. тНтгКЛ'' вир {4}еП*(Л)

Дьяченко и Ватерман установили для таких классов теоремы о сходимости и расходимости двойных тригонометрических рядов по прямоугольникам.

Теорема Е. Пусть функция / принадлежит классу А*ВУ(Т2), где А = {1п("+1)}- Тогда прямоугольные частичные суммы ее ряда Фурье равномерно ограничены, и в каждой точке х сходятся к /* (х). Если же А = {Мп1п("+1)}, где t оо, то в классе А*ВУ(Т2) найдется функция, для которой квадратные частичные суммы в нуле не ограничены.

Классы А*ВУ обладают рядом достоинств, в частности, все принадлежащие этим классам функции измеримы, и каждая точка является регулярной точкой такой функции. В то же время, первая часть теоремы Е доказывается через вложение Л*БУ(Т2) С НВУ(Т2) для подходящей Л. Таким образом, поведение частичных сумм ряда Фурье лучше описывается через Л-вариацию в смысле определения 8, принятого нами за основное.

В двумерном изотропном (Л1 = Л2) случае понятие непрерывности по Л-вариации изучалось О. С. Драгошанским [13, 14]. Мы приведем его результаты при обсуждении §2.2 нашей работы, где получены существенно более общие теоремы для анизотропного случая и для размерности т ^ 3.

Основные результаты

Первая глава диссертации посвящена примерам (семействам примеров) функций, попадающих в заданный класс ограниченной Л-вариации и не попадающих в более узкие. Поскольку не известны эффективные методы вычисления Л-вариации даже для гладких функций, построение таких примеров оказывается достаточно сложной задачей.

В §1.1 собраны для удобства ссылок элементарные свойства классов ограниченной Л-вариации. Авторство этих свойств не всегда можно однозначно восстановить — некоторые из них в одних работах доказываются, а в других используются как очевидные.

В §1.2 приводится разработанная автором [55] конструкция функций специального вида, названных «диагональными».

Пусть т ^ 3 и взят ш-мерный промежуток А. Рассмотрим систему вложенных в А1 интервалов объединение которых не равно всему А1, и системы попарно непересекающихся интервалов # = 2,., т, где -О? = (а^, Щ) С Ад. Пусть также выбраны точки

Возьмем любые функции /¿(х) на

А1, удовлетворяющие условиям fj{t) = 0 при £ ^ а] и = О при £ ^ 6], а также такие произвольные функции Щф для д = 2,., га, равные нулю при £ < а^ и £ ^ Щ, что Щ(сз) = 1 Для всех 3 или — ~ 1 Для всех 3 (при данном д), и функции монотонны (возможно, не строго) на [аи на [с®, Назовем «диагональной» функцию на А, имеющую вид оо / т \

Дх) = ]Г Ш^П^*) • (8)

1 V /

Ясно, что носитель этой функции содержится в объединении замыканий попарно непересекающихся промежутков I)] х • • • х И™.

Нами доказывается принадлежность этих функций соответствующим классам Ватермана.

Теорема 1.2. Пусть т^Зи заданы последовательности Ар 6 Ь, р = 1,., га, причем оо оо.

2 \т к=1 Лк'--Лк

Тогда следующие условия эквивалентны: а) «Диагональная» функция /(х), определенная формулой (8), принадлежит классу (А1,., Ат)ВУ(А). б) При всех натуральных у выполнено fj € А1ВУ(А1), и величины

А1) ограничены в совокупности некоторым числом Со. При этом выполняется оценка оо ^

А) ^ Со . С(тп) . ]Г т к=1

Конструкция «диагональных» функций применяется в §§2.2, 3.2 и в других случаях, в частности, для построения примеров расходящихся рядов и интегралов Фурье.

В §1.3 строятся еще две общие конструкции и соответствующие им классы примеров функций. Эти конструкции используют некоторые идеи, применявшиеся О.С.Драгошанским в двумерном изотропном случае при доказательстве теоремы I.

Опуская технические детали, которые содержатся в тексте главы, можно описать эти конструкции следующим образом. т.

Пусть А = (££) А^ — замкнутый ограниченный промежуток, и на А-3 ¿=1 заданы последовательности непрерывных функций (£)}£?=1, удовлетворяющие следующим условиям: a) г£0О = 0 в концах промежутка А-7; b) существует такая постоянная С\, что тахд3- г]п — ттд:» г3п ^ С\\ c) существует такая постоянная С2, что |г£(ж) —г3п{у)\ ^ С^ж — Пусть также задана последовательность непрерывных на

А1 функций с неперекрывающимися носителями [ак, &&] С А1, обладающих следующим свойством: в некоторой точке Ск Е (ак, Ък) функция фг равна единице, а на отрезках с^] и [ск, Ьк] она не убывает и не возрастает соответственно.

Теорема 1.4. Пусть тп ^ 2, А С — ограниченный замкнутый промежуток, и заданы последовательности АР Е Ьо, 3 — 1,., тп, причем при каждом 3 выполнено условие где числа ¿з Е [0,1) удовлетворяют неравенству ^ ^ т — 1. Тогда для любой достаточно быстро растущей последовательности {Л^} функция непрерывна и принадлежит классу (Л1,., Ат)ВУ(А).

Теорема 1.5. Пусть А С К2 — ограниченный замкнутый промежуток, заданы последовательности А3 Е Ню, 3 = 1,2, причем существует такое <1 Е (0,1), что

Тогда для произвольной достаточно быстро растущей последовательности {Л^} функция непрерывна и принадлежит классу С"3(А1, Л2)У(А).

Замечание 5. Второе из условий (9) не может быть выполнено ни для какой последовательности Л1 Е Ь \ Ьо, так что вместо условия Л1 Е Ьо можно потребовать, чтобы Л1 Е Ь. т- 2^' тг

Э)

Эти конструкции применяются в §2.2 при построении примеров функций, для которых нарушено свойство непрерывности по вариации, для сравения свойств непрерывности по вариации и слабой непрерывности по вариации, а также в §5.2 для построения примеров функций с «плохим» поведением средних Чезаро.

Вторая глава посвящена изучению «внутренних» свойств классов.

В §2.1 рассматривается вопрос о вложении классов Ватермана друг в друга. Получено такое утверждение, включающее в качестве частного случая одномерный результат Перлмана и Ватермана [41]:

Теорема 2.1. Пусть заданы последовательности А7 € Ь и М-7 € Ъ, ] = 1,., т. Класс функций (М1,. Мт)ВУ(А) вложен в класс функций (А1,., Ат)ВУ(А) тоща и только тогда, когда при каждом р = 1,. ,т найдется такое число Ср, что при всех натуральных N выполнено неравенство

ЛР(*0 = ЕТр ^ сРмр(Ю = (10)

1Лп ^

При этом, если Ср = тах{Ср, 1}, то выполняется оценка

Л1,.,л»>(/; А) ^ Сх. СтУМ1^Мт(/-, А).

Изучены также вложения одного класса Ватермана в класс функций, непрерывных по вариации другого класса. Установлена

Теорема 2.2. (О структуре класса функций, непрерывных по А-вариации.) Для любых последовательностей Л-7 6 ] = 1,. ,тп, класс функций С [А1,., Лт)У(Д) совпадает со следующими двумя: (1) Объединение классов (М1,., Мт)ВУ{А) по всем таким послец? довательностям М-7 = е Ь, что — 4-0 при п —> оо.

Ап и) Объединение классов (М1,., Мт)ВУ(А) по всем таким по

АНп) следовательностям М3 — £ Ь, что ^ —>■ 0 при п —)■ оо. Если все Л-7 совпадают, то к тому же

САУ(А) = " и МВУ(А). 0

Замечание 6. Нетрудно видеть, что если Л^ Е ШДЬо для некоторого т.е. эта последовательность ограничена сверху, то любая функция из класса С^Л1,. ,Ат)У(А) не зависит от хК В частности, если все последовательности К? таковы, то класс состоит только из констант. Таким образом, дополнительное условие Л-7 Е Ьо в теореме 2.2 не приводит к исключению каких-либо содержательных случаев.

В §2.2 подробно изучается понятие непрерывности по Л-вариации.

Свойства классов СЛУ([а, &]) в одномерном случае рассматривались рядом авторов. В работе Форана и Флейсснера [32] был впервые построен пример последовательности А Е Ьо, для которой классы АВУ(А) и СЛУ(Д) не совпадают. В работах Саблина [23, 24] был установлен признак совпадения или несовпадения этих двух классов.

Теорема Е. Пусть последовательность Л 6 I такова, что существует А — Нш^оо Равенство АВУ(А) = САУ(А) имеет место тогда и только тогда, когда А < 1.

Необходимое и достаточное условие их совпадения или несовпадения было установлено Ф. Прус-Вишнёвски [42] и состоит в следующем.

Теорема О. Пусть А — промежуток в 1, а Л € Ь. Положим

Классы САУ(А) и АВУ(А) совпадают тогда и только тогда, когда А< 2.

В двумерном изотропном (Л1 = Л2) случае понятие непрерывности по Л-вариации, одновременно с автором, было введено Драгошан-ским [13, 14]. Им были установлены следующие результаты.

Теорема Н. Пусть последовательность А Е Ъ и число в, Е 1] таковы, что справедливы соотношения 00 1 „юо \п (л

Тогда двумерные классы АВУ и САУ совпадают.

Теорема I. Пусть последовательность Л е I, стремящаяся к бесконечности, и число (I Е [0,1) таковы, что справедливо соотношение

71-» 00 Ап и, кроме того выполнено одно из следующих условий: а) d ^0, En=o(l/An)1/d = А < оо; б)

Тогда, двумерные классы ABV и CAV не совпадают; точнее, существует непрерывная функция / Е ABV([0,1]2), равная нулю на границе этого квадрата, и обладающая тем свойством, что величины sup V£(/;[0,1U), VX1(/;[0,1]2) ае[0,1] в случае а) и величины

Ч1(/;[М2)> та/; [ОД]2) в случае б) не стремятся к нулю при п —> оо.

В частности, класс {nb}BV(Т2) удовлетворяет условиям теоремы Н при b Е 1) и условиям теоремы I при b Е (0,

Наши результаты относятся к случаю произвольной размерности, как изотропному, так и анизотропному. Для более тонкой классификации, мы рассматриваем несколько способов определить понятие непрерывности по Л-вариации в многомерном случае.

Здесь естественно взять четыре определения, получаемые из двух пар условий и совпадающие для функций одной переменной. Возьмем компоненту вариации

У^.Аур(/;Л)= sup vfh^Ajp(f;A*,xr). хт(=Ат

Определим следующие условия:

А) Для любого непустого £ = {ji,. ,jp} С {1,. , га} и для любого jk Е £ выполнено

Б) Для любого непустого £ = {ji,. ,jp} С {1,., m] выполнено limVi jp(f-,Ai,xT) = 0. n—>ОО Лп |-.Лп

1) Стремление к нулю в (А), (Б) происходит равномерно по хт Е Ат (при непустом г).

2) Стремление к нулю в (А), (Б) происходит для каждого хт 6 Дг (при непустом г).

В определении 10 нами была взята пара условий (А1).

Теорема 2.3. Для любого натурального т и любых А1,., Ат € Ьо определения (А1), (А2) и (Б1) эквивалентны.

Рассмотрим также более широкий (возможно, формально) класс:

Определение 15. Скажем, что функция /, принадлежащая классу (Л1,., Ат)ВУ(А) слабо непрерывна по А-вариации (обозначение: / е С^Л1,., Ат)У(А)): если для неё выполнена пара условий (Б2).

Конструкция «диагональных» функций (§1.2) позволяет установить следующее утверждение.

Теорема 2.4. Пусть тп ^ 3, Д — промежуток в Ет, а последовательности Л1,., Аш £ Ь таковы, что для некоторого р 6 {1,., тп} выполнено условие оо тп * k=1 <7=1 к Qt^P

Тогда в классе функций ограниченной (Л1,., Ат)-вариации найдется непрерывная функция, которая не принадлежит классу непрерывных по (А1,. , Лш)-вариации функций. Если к тому же Л1 G Lo, то в классе слабо непрерывных по (Л1,., Ат)-вариации функций найдется непрерывная функция, которая не принадлежит классу непрерывных по (Л1,., Ат)-вариации функций.

Замечание 7. При т = 2 пары последовательностей (Л1, Л2) с указанными в теореме свойствами не существует, так как условие (11) при тп = 2 противоречит определению класса L.

В свою очередь, конструкции, построенные в §1.3, позволяют построить другие примеры несовпадения классов.

Теорема 2.5. Пусть m ^ 2, А — промежуток в IRm. а последовательности А1,., Am € L таковы, что для каждого к € {1,., ш} выполнено условие \к lim ^ iC 2dk n—^oo при некотором (¡к Е (0,1), причем 1 с!>к ^ т — 1- Тогда класс слабо непрерывных по (Л1,., Ат)-вариации функций строго уже, чем весь класс функций ограниченной (Л1,., Ат)-вариации, причем существует непрерывная функция, принадлежащая последнему классу и не принадлежащая первому.

Теорема 2.6. Пусть т ^ 2, А — промежуток в Мт и заданы последовательности А3 £ ] = 1, .,т, причем существуют такие й € (0,1) и к,¿2 6 {1,., тп}, к ф 02, что

32 00 / \ 1/й

У 4 ] < 00. Л

Тогда в классе (Л1,., Ат) ВУ (А) найдется непрерывная функция, не попадающая в класс С (А1,., Ат)У(А), но слабо непрерывная по (Л1,., Лт) -вариации.

Затем результаты этого параграфа иллюстрируются на примере последовательностей вида А3 — {п

Следствие 2.1. Если т > 2, А — промежуток в К"2, и выбраны числа ^ Е [0,1), j = 1,., тп, где ^ 771 ~ то п^},., {пь-})ВУ{А) Ф С-({п61},., (пь-})У(Д).

Следствие 2.2. Если т > 2, А — промежуток в и выбраны числа Ь^ е (0,1); з — 1,. ,т, где либо не все Ь^ одинаковы, либо Ь\ = • • • = Ът = Ь > ¿т, то

С({п% ., (пь-})У(Д) ф С-({п61},., (пь-})У(Д).

В частности, если не все Ь^ одинаковы и их сумма не больше (га— 1), то все три класса попарно различны. Также они различны, если ¿1 =

Следствие 2.3. Если т ^ 2, Д — промежуток в М.т и выбраны числа € [0,1], .7 = 1,., тп, то равенство п61},., {пЬт})ВУ(А) = С({п^},., {пь-})У(Д) выполнено тогда и только тогда, когда т — 2 и Ь\ = Ь2 >

В §2.3 рассматривается проблема локального поведения вариации.

Как хорошо известно, для функции ограниченной вариации на отрезке справедливо следующее свойство: если в точке жо функция непрерывна справа, то ее вариация по отрезку [жо5 ^о + Щ стремится к нулю при И —> +0. Используя введенные выше определения, его можно переформулировать следующим образом: для функции ограниченной вариации ее вариация по промежутку (жо, Xo+h] стремится к нулю при h —» +0. В цитированных выше работах Д. Ватермана, А. А. Саакяна и А. И. Саблина при получении результатов о сходимости рядов Фурье доказывались аналогичные свойства для некоторых классов ограниченной А-вариации.

Автором [55, теорема 4] было впервые показано, что для некоторых классов Ватермана локальное стремление вариации к нулю в окрестности точки непрерывности может не иметь места (см. ниже следствие 2.4).

В той же работе было впервые отмечено, что для таких случаев локальное стремление вариации к нулю тем не менее можно гарантировать, если функция попадает в некоторый более узкий класс Ватермана.

Общее решение этой проблемы дают наши теоремы 2.8 и 2.9. Но вначале мы выделяем следующий частный результат, который был получен раньше ([55, теорема 2]) и доказывается существенно короче и нагляднее.

Теорема 2.7. Пусть А1,., Ат 6 L, Л — промежуток в Rm; ипустьо € С (А1,., Am)V(A). Тогда для любой регулярной точки х € А и для любого £ 6 {—1,1}ш справедливо д||-Н-0

Если к тому же /(х) непрерывна в окрестности компакта К, то lim VÄi \m(f: (х — S,x + <5)) = 0

РИ-Ж) Л-"Л " равномерно по х на К.

В следующей общей теореме, если при каждом р выполнено (12), то в силу теоремы 2.2 получается то же утверждение, что и выше в теореме 2.7.

Теорема 2.8. Пусть m ^ 1, последовательности Ар G L и Мр Е IL, р = 1,. :т, таковы, что для каждого р выполнено либо условие

Ш = ■0. (И) п->оо МР(п) либо пара условий

Ap{n) V^tt 1 оо т. ivvn) чФР

Тогда для любого промежутка А С Rm, для произвольной функции f о из класса (М1,., Mm)BV(A), любой ее регулярной точки х Е А и для каждого С Е {—1,1}т выполнено условие lim VAi Лт(/;(х,х + С^)) = 0.

Если к тому же f непрерывна в окрестности компакта К, то lim Vai \m(f: (х — S.X. + 8)) = 0. равномерно пох. E К.

Теорема 2.9. Пусть га ^ 2, последовательности Ар eh и Мр Е L, р = 1,., т, таковы, что для некоторого р нарушены условия (12) и (13). Тогда найдется непрерывная функция f, принадлежащая классу {М\ ., Mm)BV{[-1,1]т), для которой

Ит/Л1.1Л,(/;(0^Г)>0. о—

Отметим также непосредственно вытекающее из теорем 2.8 и 2.9 Следствие 2.4. Пусть последовательности Л1. Am Е L таковы, что для каждого р Е {1,., га} выполнено условие

ОО

ЕПх* = °° (14)

3= 1 кфр 3

Тогда для любого промежутка А С Кто, для произвольной функции о f из класса (Л1,., Am)BV(А), любой ее регулярной точки х Е А и для каждого С Е {—1,1}т выполнено условие lim yAii.iAm(/;(x)x + C^))-0. д||-Н-0

Если к тому же f непрерывна в окрестности компакта К, то lim VÄi \m(f:(x — ö,x + ö)) = 0. равномерно пох Е К. Если же для некоторого р условие (14) нарушено, то существует непрерывная функция / Е (Л1,., Ат)ВУ{А), для которой о—>+0

Второе из трех утверждений этого следствия ранее было получено Саблиным при доказательстве теоремы Л.

Заключительный §2.4 этой главы посвящен классам ограниченной неполной вариации. Такие классы находят применение в задаче о локализации частичных сумм рядов Фурье, о чем будет сказано ниже при обсуждении результатов главы 4.

Первый тип таких классов был введен в работе Гоффмана и Ва-термана [34] (т = 2), а позднее — Саблина [23, 24] (то ^ 3). В этом определении налагаются условия на все компоненты вариации, кроме вариации по всем переменным.

Для удобства обозначим при к Е {1,.,т} через к множество {1,., т} \ {А;}.

Определение 16. Пусть А1,., Ат Е Ь, а А — т-мерный промежуток. Скажем, что / Е (А1,. , Ат)ВУ(А), если она интегрируема по Лебегу на А, при каждом к = 1,2,., т функция

Рк(хк) = УАь(/;х\Ак) = УА^Лк-1Лк+1Лт(/;хк, Ак) т.е., согласно введенным выше обозначениям, полная А^-вариация / как функции (ш — 1) переменной при фиксированном хк) конечна п.в. на Ак и существуют такие функции Ук Е Ь(Ак), что фк{хк) I п.в. (15)

Замечание 8. В работах [34, 23, 24, 59, 60] в определении требовалось, чтобы сами функции фк) = УА1;хк, Ак) были интегрируемы, т.е. дополнительно требовалась их измеримость. Она имеет место, например, при условии непрерывности /, как это обосновано в лемме 4.1. В общем же случае для измеримой f функции (рк могут быть не измеримы. Пусть, например, Л 6 I — любая последовательность, Е — неизмеримое множество на интервале (0,1), а /(ж>2/) — 1 ПРИ х = у е Е и /(х,у) = 0 в остальных точках [0,1]2.

Тогда / измерима, поскольку она равна нулю п.в., а в то же время функция очевидно, не измерима.

Мы также выделим в классе (Л1,. ,Ат)ВУ(А) следующий подкласс.

Определение 17. Скажем, что / е (Л1,., Аш)ВоУ(А), если она интегрируема по Лебегу на А и при к = 1, 2,., тп выполнены условия т.е. полная вариация по (т — 1) переменной равномерно ограничена как функция от оставшейся переменной.

Мы будем использовать и еще один тип классов ограниченной А-вариации.

Определение 18. Пусть заданы последовательности А-7 6у — 1,.,т. Скажем, что функция / принадлежит (А1,., Ат)ВУ(А), если она измерима и конечны все величины У^(/;А), т.е. одномерные вариации по каждой переменной ограничены равномерно по всем значениям оставшихся (т — 1) переменной.

Из определений сразу следует, что при т ^ 2 справедливы включения причем при т — 2 первое включение превращается в равенство. Мы сравниваем условия на полную вариацию функции с условиями на одномерные компоненты вариации, и в качестве следствия получаем сравнение условий на (т — 1)-мерные компоненты вариации с условиями на одномерные компоненты вариации. Получены следующие результаты.

Теорема 2.10. Пусть т > 2, а € [— 1, тп — 1), и Хп = щ^щ• Тогда класс АВУ(А) не вкладывается в класс НВУ(А).

Теорема 2.11. Пусть т ^ 2, а > т — 1 и Хп = щ^рц • Тогда для любого промежутка А С Ет класс АВУ(А) вложен в класс НВУ(А). х е Е, х £ Е, вир УАк(/-,хк, Ак) < оо хкеАк

А1,., Ат)В0У(А) с (А1,., Ат)ВУ(А), (А1,., Ат)В0У(А) С (А1,., Ат)ВУ(А), (А1,., Ат)ВУ(А) с (А1,., Ат)В0У(А),

В случае т = 2 эти две теоремы являются частным случаем результатов Гогинавы и Саакяна [36].

Следствие 2.6. Пусть m > 3, а > -1 и An = in"(n+i) • ^огДа> есля а > т — 2, то для любого промежутка А С Мт класс ABV(A) вложен в класс HBqV(Л). Если же выполнено неравенство — 1 ^ a < m — 2, то класс ABV(A) не вложен в класс HBV(A).

Замечание 9. При а < — 1 последовательность {Ап} = {щ^щ} не попадает в класс L.

Третья глава содержит результаты о сходимости и расходимости рядов и интегралов Фурье для функций из классов ограниченной Л-вариации.

Первые результаты в этом направлении для функций трех и более переменных были получены Саблиным [23, 24].

Теорема J (Саблин). Пусть f(x) G HBV{Tm) — непрерывная 2тг-периодическая по каждому аргументу функция, и lim VH(f]I) = О diam У—» О равномерно по всем параллелепипедам I. Тогда ее ряд Фурье равномерно сходится к ней по Прингсхейму.

Если f(x) 6 (А1,., Am)BV(Tm) — непрерывная 2тт-периодическая по каждому аргументу функция, причем Xqk ^ к и для любого р € {1,., тп} справедливо условие

ОО 771

ЕП^ = со> <16> jfe=1 9=1 к ЧгР то ее ряд Фурье равномерно сходится к ней по Прингсхейму

Позднее в работе О. Г. Саргсяна [25] утверждалось без доказательства, что результат Саакяна (теорема С) верен для функций трех и более переменных. Однако, как следует из результатов §3.2 нашей диссертации, такое утверждение оказалось ошибочным — одной только принадлежности даже непрерывной функции классу ограниченной гармонической вариации на кубе Тт недостаточно для сходимости ее ряда Фурье в каждой точке. Поэтому встает вопрос, какие дополнительные условия следует на эту функцию наложить, и могут ли эти условия быть слабее, чем (16).

В §3.1 находятся достаточные условия сходимости в регулярной точке, а для непрерывных функций — и равномерной сходимости. Вначале доказывается теорема о сходимости интегралов Фурье. В одномерном случае из теоремы В и принципа равносходимости (см., например, [53], т. 2, гл. 16, п.1) следует

Теорема В'. Пусть f Е НВУ(Ж) П L(R). Тогда в каждой точке R интеграл Фурье f сходится в смысле главного значения к величине \{f{x + 0) + f(x — 0)), и сходимость равномерна на любом отрезке, лежащем внутри интервала непрерывности функции. Если HBV(Ж) С ABV(R) есть собственное подмножество, то найдется функция f Е Л1?У(М)пЬ(М), интеграл Фурье которой расходится в некоторой точке (в смысле главного значения).

В многомерном случае свойство равносходимости, вообще говоря, не выполняется (см., в частности, работу И.Л.Блошанского [9]), более того, сходимость интеграла Фурье может существенно зависеть от поведения функции в окрестности бесконечности. Поэтому вопрос о представимости функции интегралом Фурье представляет самостоятельный интерес. Наш основной результат состоит в следующем.

Теорема 3.1. Пусть f Е L(Rm) П HBV(Rm). Для заданных 6 > 0 и В > 5 и точки х Е Мт положим

ESiB{x) = {tGlm : 3j \xj - tj | ^ ЗА; \xk - tk\ ^ B}.

Тогда в каждой регулярной точке х Е Жш функции /, для которой выполнены два условия: lim £ W;(x,x + с*)) = о,

Ce{-i,i}m

Б) найдутся öo > 0 и В > öo, такие, что f Е CHV(A) для любого параллелепипеда А С имеет место равенство lim 6А(/,х) = /*(х).

А—»+оо

Здесь А —> +оо означает, что min Ä> —> +оо, то есть сходимость поj нимается в смысле Прингсхейма.

На основе этой теоремы мы получаем следующую теорему о рядах Фурье, которая обобщает первую часть теоремы J. Мы избавляемся от условия непрерывности, при этом, естественно, равномерная сходимость заменяется поточечной.

Теорема 3.3. Пусть / £ НВУ(Тт). Тогда в каждой регулярной точке х € Тт функции /, для которой ее ряд Фурье сходится по Прингсхейму к величине /*(х).

Затем мы применяем результаты §2.3, чтобы получить условия сходимости в терминах принадлежности функции более узкому классу. Полученные условия являются обобщением второй части теоремы ,1. Вместе с тем следует подчеркнуть их отличие. А.И.Саблин нашел условие на класс АВУ{Тт), гарантирующее «хорошее» локальное поведение Л-вариации, из чего делался вывод о «хорошем» локальном поведении гармонической вариации. Следствие 2.4 показывает, что на этом пути усилить вторую часть теоремы Л не получится.

Мы же приводим условия на класс АВУ(Тт), гарантирующие «хорошее» локальное поведение гармонической вариации, и эти условия оказываются качественно слабее.

Прежде всего, комбинируя первую часть теоремы Л и теорему 2.7, получаем такое утверждение.

Следствие 3.1. Пусть /(ж) 6 СНУ (Тт) — непрерывная 2и-периодическая по каждому аргументу функция. Тогда ее ряд Фурье равномерно сходится к ней по Прингсхейму на Тт.

Чтобы сравнить теорему Л и следствие 3.1, рассмотрим, что они дают для классов АВУ{Тш) при Ап = па. Такая последовательность удовлетворяет условию (16) при 0 < а ^ В то же время АВУ(Тт) С СНУ{Тт) для любого а Е (0,1) независимо от размерности по теореме 2.2. Таким образом, при т ^ 3 следствие 3.1 оказывается сильнее второй части теоремы Л, и чем выше размерность, тем более существенным оказывается это усиление.

Аналогично из теоремы 3.3 и теоремы 2.7 вытекает

Следствие 3.2. Пусть f Е СНУ (Тт). Тогда в каждой регулярной точке х Е Тт функции / ее ряд Фурье сходится по Прингсхейму к величине /*(х).

Сходный результат получается и для интегралов Фурье.

Нт

5|Н+0

17)

Се{-1Д}

Следствие 3.3. Пусть f <Е L(Rm) П CHV(Rm). Тогда в каждой регулярной точке х Е Rm функции f имеет место равенство lim 6А(/,х) = /*(х).

А-Я-оо

Отметим также, что для размерности m — 2 теорема Н позволяет формально ослабить условия в следствии 3.3.

Следствие 3.5. Пусть f е L(R2) П HBV(R2). Тогда в каждой регулярной точке хеЕ2 функции f имеет место равенство lim ©а(/,х) = /*(х).

А—>+оо

Более точные условия для рядов получаются, если вместо теоремы 2.7 применить теорему 2.8.

Теорема 3.4. Пусть rn ^ 2, последовательности Ар £ L, р = 1,. ,тп, таковы, что для каждого р выполнено либо условие in^+i) =

- hP(n) 4 ' п—^оо

У:п4 = оо. (19) либо пара условий

8Л А"(п) ч¥=р

Тогда для произвольной функции / из класса (Л1,., Ат)ВУ(Тт) и любой ее регулярной ТОЧКИ х ряд Фурье функции / сходится по Принг-схейму в точке х к величине /* (х). Если к тому же f непрерывна, то ее ряд Фурье сходится по Прингсхейму равномерно.

§3.2 посвящен построению примеров функций из классов ограниченной гармонической вариации с расходящимся в точке рядом или интегралом Фурье. Эти теоремы показывают существенность условий на локальное поведение вариации и на класс в результатах §3.1.

Теорема 3.5. Пусть тп ^ 3, а последовательности Л1,., Ат Е Ь таковы, что §лгЬр<-- (20)

Тогда в классе (Л1,., А1п)ВУ(Тт) существует непрерывная функция, ряд Фурье которой расходится по кубам в точке О = (0,., О).

В частности, условия этой теоремы выполнены, если 771 ^ 3 и Л; = Н при всех у. Таким образом, для размерности га ^ 3 нельзя заменить в следствии 3.2 класс СНУ(Тт) классом НВУ{Тт).

Теорема 3.5 показывает окончательность условий на класс в теореме 3.4. Действительно, если хотя бы для одного р нарушено первое из условий (19), то по теореме В найдется функция из одномерного класса АРВУ(Т), ряд Фурье которой расходится в точке. Если же первое из условий (19) выполнено при всех р, но хотя бы при одном р нарушено как условие (18), так и второе из условий (19), то применима теорема 3.5.

Аналогичный пример строится и для интегралов Фурье.

Теорема 3.6. Пусть тп ^ 3, а последовательности Л1,., Ат е Ь таковы, что 1п(п +1) „ ^Л 1 . . п1™а ' (21)

Тогда в классе (Л1,., Ат)ВУ(Ш.т) существует непрерывная функция /(х) € Ь(Шт), тождественно равная нулю вне (—7Г, 7г)т, такая, что величины 0) расходятся даже в смысле сходимости по кубам.

Но для интегралов строится и пример другого рода.

Теорема 3.7. Пусть т ^ 3, а последовательности А2,., Ат Е Ь удовлетворяют второму из условий (21). Тогда существует непрерывная функция /(х) из класса (Я, А2,., Ат)ВУ(Шт) П Ь(Жт), тождественно равная нулю на (—7Г, 7г)т, такая, что величины @а(/, 0) расходятся даже в смысле сходимости по кубам.

Таким образом, при т^Зв классе Ь(Кт) П Н ВУ (Мт) не выполняется свойство локализации для кратных интегралов Фурье, в то время как в классе НВУ(Тш) свойство локализации для рядов Фурье выполнено по теореме 3.3. При тп = 2 свойство локализации для кратных интегралов Фурье выполнено в силу следствия 3.5.

Отметим также, что построенные в теоремах 3.5 — 3.7 функции - контрпримеры слабо непрерывны по гармонической вариации (см. §2.2), то есть среди разных обобщений понятия непрерывности по вариации именно введенное и рассмотренное нами определение 10 оказывается полезным для изучения сходимости рядов Фурье.

Для наглядности посмотрим теперь, что дают результаты первых двух параграфов главы 3 для некоторых простых примеров последовательностей. Определим, гарантирует ли принадлежность измеримой 27г-периодической функции классу (Л1,., Ат)ВУ(Тт) сходимость её тригонометрического ряда Фурье по прямоугольникам в каждой регулярной точке.

Пусть вначале Л-7 = {п^}, где bj £ [0,1], у = 1,. , га. Здесь выделяется ряд подслучаев в зависимости от того, при скольких з 6 {1,., га} выполнено условие bj = 1, т.е. А-7 = Н.

• Если б, < 1 при каждом j, то соответствующий класс по теореме 2.2 вложен в класс функций, непрерывных по гармонической вариации, и по следствию 3.1 сходимость гарантируется.

• Если найдутся три различных з, при которых Ъ^ ~ 1, то такой класс будет удовлетворять условиям теоремы 3.5, и в нем существует непрерывная функция с расходящимся в точке рядом Фурье.

• Если Ьз < 1 при всех з, кроме одного, например, кроме з = 1, то результат будет зависеть от величины 5 = ^ф=2 ^з- Если 5^1, то мы оказываемся в условиях теоремы 3.4, и сходимость гарантируется, а если & > 1 — в условиях теоремы 3.5, и существует пример расходимости.

• Если = 1 при двух з, то гарантировать сходимость можно лишь в том случае, когда bj — 0 при остальных 3.

Для варианта, когда среди Л-7 есть две последовательности Н, интересен также пример, когда остальные последовательности растут логарифмически.

• Пусть для определенности Л1 = Л2 = Н, Л^ = {1п^(п + 1)} при з ^ 3. Тогда результат будет зависеть от величины 51* =

Если 5* ^ 1, то мы оказываемся в условиях теоремы 3.4, и сходимость гарантируется, а если 5"* > 1 — в условиях теоремы 3.5, и существует пример расходимости.

В перечисленных примерах теорема 3.4 использовалась для случаев, когда не более двух последовательностей удовлетворяют условиям (19), а для остальных выполнено (18). Следует отметить, что при сколь угодно большом т существуют такие наборы последовательностей для которых при каждом j выполнены условия (19), но не условия (18). Такие последовательности построены в теореме 1.1 (см. §1.1).

В заключительном параграфе третьей главы (§3.3) изучается поведение коэффициентов Фурье функций из многомерных классов Ватер-мана. В одномерном случае следует отметить такие ранее известные результаты.

Теорема К (Шрамм и Ватерман, [45, следствие из теоремы 1]). Для функции f из класса ABV{Т) при п ф 0 справедлива оценка

Ы/)| < Sggp. (22)

Замечание 10. Формально в [45] теорема К записана для веще-ственнозначных функций и для п > 0. Но, во-первых, она выводится из доказанной в той же работе оценки для модуля непрерывности в пространстве Li(T): если / £ ABV{Т) для некоторой Л 6 L, то — 0(A([|J)). Эта оценка (см., например, [53, т.1, гл.2, п.4]) влечет справедливость (22) и для п < 0. Во-вторых, в силу леммы 1.3 оценка верна и для комплекснозначных функций.

Кроме того, отметим, что хотя в [45] используется другое определение А-вариации, но в работе Ватермана [49] доказана его эквивалентность определению 12.

Теорема L (Саблин [24]). Пусть Л € L. Для любой функции f из класса CAV{Т) справедлива оценка \cn(f)\ = о(1/Л(п)) при п —> оо.

В многомерном случае, мы вначале доказываем оценки сверху.

Теорема 3.8. Пусть Л1, -. Am € L. Для любой функции f из класса (Л1,., Am)BV(Tm) ее тригонометрические коэффициенты Фурье при rij ф 0 удовлетворяют оценке fM< C(m)VA1.Д-С/;Г")

Следствие 3.6. Пусть Л1,. Лт 6 L, дана функция f из класса (А1,., Am)BV(Tm), множество {1,., т} разбито на две непустые части 7 и(. Если номер п таков, что rij = 0 тогда и только тогда, когда j 6 7, то тригонометрические коэффициенты Фурье функции f удовлетворяют оценке

Ы/)| < (24)

IljeiMK'l)

Следствие 3.7. Пусть Л1,. Лт 6 L, М1 е L, и пусть функция f принадлежит классу (М1, А2,., Am)BV(Tm), где v Л1 (АО л lim д п\ ЛД = 0.

Тогда ее тригонометрические коэффициенты Фурье при minj \rij\ —> со удовлетворяют оценке

В частности, если f 6 С (А1,., Лт)У(Тт); то для её коэффициентов Фурье выполнено условие (25).

Теорема 3.9. Пусть Л1,. Am е L и / G (Л1,., Am)BV(Tm), где последовательность

Л1 такова, что A1BV(T) = CA1Vr(T). Тогда для произвольных фиксированных П2,., nm ф 0 справедлива оценка 0 Ш <26> при щ —> оо.

Замечание: Оценки, аналогичные установленым выше, верны, очевидно, также для коэффициентов Фурье по системе произведений синусов и косинусов.

Затем в некоторых случаях несовпадения классов устанавливаются оценки снизу и показывается, что для всего большего класса нельзя поставить "о" вместо "О". Точнее, имеет место

Теорема 3.10. Пусть га ) 2 и заданы неограниченные последовательности Л7 G IL, j — 1 причем при каждом j выполнено условие п->оо \Зп где числа dj € [0,1) удовлетворяют неравенству Y^jLi dj ^ г/г — 1. Тогда в классе (Л1,., Am)BV(Tm) найдется непрерывная функция, синус-коэффициенты Фурье которой удовлетворяют условию

En bn,.,n(f) • А1(тг). Am(n) > 0. п—>00

Интересно сопоставить этот пример с теоремой 3.9. В частности, если АЗ = А = при 0 < а ^ то класс удовлетворяет условиям и теоремы 3.10, и теоремы 3.9, т.е. в оценке (23) можно поставить "о" вместо "О", когда мы увеличиваем только один индекс, и нельзя этого сделать, если мы увеличиваем сразу все индексы.

В четвертой главе рассматриваются вопросы локализации прямоугольных частичных сумм.

Первый результат о локализации в терминах неполной гармонической вариации был получен Гофманом и Ватерманом [34].

Теорема М. Пусть функция / 6 Ь(Т2) равна нулю в окрестности нуля (—6, 8)2, и существуют функции дик, совпадающие с / п.в. на Т2 такие, что

Ф1) = х1, Т) и ф(х2) = Унф- ж2, Т) п.в. конечные интегрируемые функции на Т (в частности, пусть / Е НВУ{Т2)).

Тогда двойной тригонометрический ряд Фурье функции / равномерно сходится к нулю по прямоугольникам на любом компакте К С (—¿, 5)2. Для любого более широкого класса ЛВУ(Т2) утверждение перестаёт быть верным.

Саблин [23] распространил эту теорему на случай тп ^ 3, но лишь для непрерывных функций, а при т ^ 4 — еще и наложив дополнительное условие на локальное поведение вариации. Сформулируем его результат.

Теорема N. Пусть непрерывная функция / равна нулю на открытом множестве С С Тш и принадлежит классу НВУ(ТШ), а также выполнено условие

Ит [ х\ 1~к) с1хк = 0. (27) 3 Т

Тогда кратный тригонометрический ряд Фурье этой функции равномерно сходится к нулю по прямоугольникам на любом замкнутом множестве К С С. При этом для тп = 3 условие (27) следует из остальных условий теоремы.

Замечание 11. Хотя теорема М была сформулирована при формально более узком определении класса НВУ{Т2) (см. выше замечание 8 на стр. 32), ее доказательство останется справедливым и при нашем определении. Теорема N относится к непрерывным функциям, и разница в формальных определениях не существенна.

В §4.1 нами изучена существенность условия (27) в теореме N. Установлено, что, как и для случая сходимости, условие на локальное поведение вариации в теореме N можно заменить условием принадлежности более узкому классу.

Теорема 4.1. Пусть Л1,. Лт е Ь, и пусть непрерывная функция / равна нулю на открытом множестве С С Тто и принадлежит классу (Л\.,Лт)£У(Тт); где Н{п)/АР{п) 0 при п оо для каждого з = 1,. ,ш. Тогда кратный тригонометрический ряд Фурье этой функции равномерно сходится к нулю по прямоугольникам на любом замкнутом множестве К а С.

В следующей теореме показано, что условие на локальное поведение вариации в теореме N нельзя отбросить, если размерность то больше трёх.

Теорема 4.2. Существует непрерывная на Т4 функция Р, равная нулю при [ж1! < 7г/2; для которой при к = 1,2,3,4; но ее 4-кратный тригонометрический ряд Фурье не сходится к нулю по кубам в точке О.

Для разрывных функций трех и более переменных результатов о локализации в терминах неполных вариаций ранее известно не было. В §4.2 мы показываем, что непрерывность можно заменить подходящими условиями на регулярность точек. Эти условия относятся только к поведению функции в точках, у которых хотя бы одна координата совпадает с точкой, в которой рассматривается локализация. Таким образом, они существенно слабее, чем непрерывность функции всюду.

Теорема 4.3. Пусть функция f равна нулю в окрестности точки хо € Тт и принадлежит классу НВУ(Тт), причем для любого разбиения множества {1,., га} на два непустых множества £ ит выполнены следующие условия:

1. для любых значений точка является регулярной точкой функции д{хт) = ¡{х\)хт);

28) т

2. в каждой такой точке (х^, х^)

Нт

УНг(/;х1(х1хт0 + С6т)) = 0. (29)

Г€{-1Д}М

Тогда кратный тригонометрический ряд Фурье этой функции сходится к нулю по прямоугольникам в точке Хо.

Замечание 12. Для т = 3 условие (29) следует из остальных условий теоремы (см. следствие 2.4). Для т ^ 4 условие (29) нельзя отбросить, как видно из сравнения теоремы 4.3 с теоремой 4.2.

С другой стороны, в §4.3 мы показываем, что от указанных выше условий на регулярность отказаться нельзя.

Теорема 4.4. Пусть последовательности Л1 и Л2 из Ь удовлетворяют условию тгдт < °°> а Л3 — произвольная последовательность из И,. Тогда существует функция .Р на Т3, равная нулю при |ж3| < -к/2 и принадлежащая классу (Л1, Л2, Л3)ВУ(Т3), 3-кратный тригонометрический ряд Фурье которой не сходится к нулю по прямоугольникам в точке 0.

Затем в §4.4 мы рассматриваем классы функций, для которых ограничения наложены лишь на одномерные компоненты Л-вариации. Оказывается, что и в терминах таких классов можно установить условия локализации, причем не требующие регулярности точек, если ограничиться «не слишком вытянутыми» прямоугольными суммами.

Определение 19. Пусть й ^ 1. Скажем, что ш-кратный ряд сходится (1-квазирегулярно к числу £>, если существуют такие постоянные ^ 1, I 3) что все прямоугольные частичные суммы с номерами п, удовлетворяющими оценкам

СХОДЯТСЯ К 3 при увеличении

В частности, при (I = 1 и А = тах^- С^ получаем известное определение Л-регулярной сходимости, или А-сходимости.

Теорема 4.5. Пусть т ^ 2 и заданы последовательности А.к Е Ь, 3 — ., т, причем при каждом к выполнено условие

Пусть функция f равна нулю на открытом множестве G С Тш и принадлежит классу (Л1,., Am)BV(Tm). Тогда для любого d ^ 1 кратный тригонометрический ряд Фурье этой функции равномерно d-квазирегулярно сходится к нулю на любом замкнутом множестве К С G.

Границы возможного усиления этой теоремы дает

Теорема 4.6. Пусть m > 2, а последовательность Л £ L, такова, что lnm-\n+l) lim -г-)-?-- = оо. (31) п-»оо Л(п)

Тогда существует непрерывная функция f из класса ABV(Tm), которая равна нулю на [—1,1]т, но кубические частичные суммы ее ряда Фурье в точке 0 не сходятся к нулю.

В частности, из этих теорем вытекает

Следствие 4.2. Пусть 2, аЛ = (ina(n+i)} Длянекоторого a ^ —1. Пусть а > т — 2, функция f равна нулю на открытом множестве G

С Тт и принадлежит классу ABV{Tm). Тогда для любого d ^ 1 кратный тригонометрический ряд Фурье этой функции равномерно d-квазирегулярно сходится к нулю на любом замкнутом множестве К С G. Если же —1^а<т — 2,то существует непрерывная функция f из класса ABV(Tm), которая равна нулю на [—1,1]т, но кубические частичные суммы ее ряда Фурье в точке 0 не сходятся к нулю.

Отметим также, что теоремы вложения, полученные в §2.4, показывают некоторую согласованность следствия 4.2 с результатами из §§4.1, 4.2 о локализации в терминах (т—1)-мерных вариаций. А именно, в силу следствия 2.6 класс ABV(Tm) с последовательностью А = {in°("+1)} вкладывается при а > т — 2 в класс HBoV(Tm), а при —1 ^ а < т —2 нет вложения даже в более широкий класс HBV(Tm). В тоже время, эти результаты не следуют друг из друга — в одном случае накладываются дополнительные условия на регулярность точек, а в другом — на номера частичных сумм.

В пятой главе изучается суммируемость рядов Фурье функций ограниченной Л-вариации методами Чезаро отрицательного порядка. В одномерном случае эта задача была впервые рассмотрена Ватерма-ном, который в работе [50] установил такой результат.

Теорема О. Пусть а 6 (—1,0). Тогда для любой функции f из класса {na+1}BV(Т) ее ряд Фурье всюду (С, а)-ограничен, и равномерно (С, а)-ограничен внутри каждого интервала непрерывности. Если к тому же / непрерывна по {па+1}-вариации, то ее ряд Фурье всюду (С, а)-суммируется к среднему арифметическому пределов слева и справа, и сходимость средних равномерна внутри каждого интервала непрерывности. Если класс АВУ(Т) строго шире, чем класс {па+1}ВУ(Т), то найдется функция из класса АВУ(Т), для которой (С, а)-средние ее ряда Фурье в некоторой точке не ограничены.

Саблин [24] в качестве непосредственного следствия теорем Е и О получил следующее утверждение.

Теорема Р. Пусть а 6 (—1,0). Тогда для любой функции f из класса {па+1}ВУ(Т) ее ряд Фурье всюду (С, а)-суммируется к среднему арифметическому пределов слева и справа, и сходимость средних равномерна внутри каждого интервала непрерывности.

Таким образом, в одномерном случае условие непрерывности по вариации оказалось несущественным. В нашей работе показано, что в многомерном случае это не так.

Основной результат §5.1 заключается в следующем.

Теорема 5.1. Пусть а^ € (—1,0) и = щ + 1, з = 1 ,.,т. Тогда для любой функции f из класса {{п^1},., {п^т})ВУ{Тт) ее ряд Фурье равномерно (С, сх)-ограничен. Если к тому же / непрерывна по ({?тА},., {пРт})-вариации, то ее ряд Фурье (С, а)-суммируется к /*(хо) в каждой регулярной точке хо, и суммируемость равномерна на любом компакте, в окрестности которого функция непрерывна.

Напомним, что для т = 2 также известны случаи, в которых совпадают классы {{п^},{п^})ВУ{Т2) и С({Ф},{п^})У{Т2). А именно, согласно упомянутому выше результату Драгошанского (теорема Н), совпадение имеет место при ¡5\ — > Таким образом, справедливо

Следствие 5.1. Пусть а — а\ = а.2 Е (—0) и /3 = а + 1. Тогда для любой функции f из класса {пР}ВУ(Т2) ее ряд Фурье (С, а.)-суммируется к /*(хо) в каждой регулярной точке хо, и суммируемость равномерна на любом компакте, в окрестности которого функция непрерывна.

В §5.2 показывается, что для размерности т ^ 3, а при щ, не удовлетворяющих условиям следствия 5.1 — и для размерности га = 2, условие непрерывности по вариации оказывается существенным для суммируемости и (в отличие от теоремы 3.3 о сходимости) даже для локализации средних. Точнее, имеют место следующие теоремы, первая из которых опирается на конструкцию из §1.2, а вторая и третья — на конструкции из §1.3.

Теорема 5.2. Пусть тп ^ 3, а числа а6 (—1, 0) и ^ = о? + 1, 3 = 1,., га таковы, что при некотором р £ {1,., га} выполнено условие

Тогда в классе ({п^1},., {п/3т})ВУ(Тт) найдется непрерывная функция /, равная тождественно нулю на [—1,1]т, ряд Фурье которой (С, а)-не суммируется к нулю в нуле, даже если рассматривать только кубические средние.

Теорема 5.3. Пусть тп ^ 2, а числа щ £ (—1, 0) и ^ = щ + 1, 3 = 1,., га таковы, что ^ га — 1. Тогда существует непрерывная функция f из класса ({п^1},., {п/3т})£У(Тт), равная тождественно нулю на Тт\(1,7г)т, ряд Фурье которой (С, а.)-не суммируется к нулю в нуле, даже если рассматривать только кубические средние.

Теорема 5.4. Пусть а3- £ (—1,0) и = ск^ + 1, у — 1,2, причем СИ1 ф аг- Тогда существует непрерывная функция / из класса ({пЛ}, {п^})5У(Т2)7 равная тождественно нулю на [—1,1]2, ряд Фурье которой (С, а)-не суммируется к нулю в нуле, даже если рассматривать только кубические средние.

Из этих теорем вытекает

Следствие 5.2. Пусть га ^ 2, £ (—1,0) и Рз = Щ + 1> 3 — 1,., тп, причем эти числа таковы, что пА},., {п^})ВУ{А) ф С({пЛ},., (п^})Т/(А) см. выше следствие 2.3). Тогда в классе ({пА},., {п^т})ВУ(Тт) найдется непрерывная функция, равная нулю всюду на [— 1,1]т, ряд Фурье которой (С, сх)-не суммируется к нулю в нуле, даже если рассматривать только кубические средние.

Таким образом, в работе получены следующие основные результаты.

• Введено и изучено понятие непрерывности по Л-вариации в многомерном случае. В частности, задача о сравнении классов функций ограниченной Л-вариации с классами функций, непрерывных по Л-вариации, полностью решена для случая АР = {пь>}.

• Изучено локальное поведение многомерной Л-вариации и его зависимость от принадлежности функции более узкому классу.

• Получены новые результаты о сходимости кратных рядов и интегралов Фурье по прямоугольникам, при этом выявлены качественные отличия между случаем размерности два и случаем более высокой размерности.

• Найдены достаточные условия для локализации прямоугольных частичных сумм ряда Фурье в терминах Л-вариаций функции по части переменных. Показано, что требования типа непрерывности функции при этом, вообще говоря, нельзя отбросить.

• Получены новые результаты о суммируемости кратных рядов Фурье методами Чезаро отрицательного порядка, при этом найдены существенные отличия от одномерного случая и от результатов о сходимости.

Апробация

Основные результаты диссертации опубликованы в работах автора [54] - [81], в том числе в статьях [54] - [64] в журналах из перечня ВАК.

Они неоднократно в 2002-2010 годах докладывались на механико-математическом факультете МГУ имени М. В. Ломоносова: на семинаре по теории функций действительного переменного под руководством академика РАН, профессора П. Л. Ульянова и член-корреспондента РАН, профессора Б. С. Кашина, а затем под руководством член-корреспондента РАН, профессора Б. С. Кашина, профессоров Б. И. Го-лубова, C.B. Конягина и М.И. Дьяченко; на семинаре по теории ортогональных и тригонометрических рядов под руководством профессоров М. К. Потапова, В. А. Скворцова, Т. П. Лукашенко и М. И. Дьяченко.

Также результаты диссертации докладывались на международных симпозиумах «Ряды Фурье и их приложения» (Новороссийск, 2002, 2006, 2008), на Саратовских зимних школах «Современные проблемы теории функций и их приложения» (2004, 2006, 2008, 2010), на Воронежских зимних математических школах «Современные методы теории функций и смежные проблемы» (2003, 2005, 2007, 2011), на международной конференции «Дифференциальные уравнения и смежные вопросы», посвященной памяти И.Г.Петровского (Москва, 2007); на международной конференции «Современные проблемы анализа и преподавания математики», посвященной 105-летию академика С. М. Никольского (Москва, 2010).

Благодарности

Автор выражает искреннюю благодарность всем руководителям и участникам семинаров по теории функций действительного переменного и по теории ортогональных и тригонометрических рядов на механико-математическом факультете МГУ имени М. В. Ломоносова за внимание к его докладам и к работе в целом, за конструктивные обсуждения рассматриваемого круга задач.

В особенности автор благодарен профессору М. И. Дьяченко и профессору М. К. Потапову за поддержку при работе, а также за советы и предложения, которые помогли значительно улучшить изложение материала в диссертации.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Бахвалов, Александр Николаевич, 2011 год

1. Алимов Ш.А., Ашуров P.P., Пулатов А.К., Кратные ряды и интегралы Фурье. // Соврем, пробл. матем., Фундам. направл. 1989. Т.42. С.7-104.

2. Бари Н.К., Тригонометрические ряды. М.: Физматлит, 1961.

3. Бахвалов А.Н., О сходимости рядов и интегралов Фурье некоторых классов ограниченных функций. Дисс. . канд. физ.-мат. наук. М.: МГУ. 2000.

4. Бахвалов А. Н. Классы Ватермана и треугольные частичные суммы двойных рядов Фурье. // Analysis Math. 2001. V.27. N1. Р.3-36.

5. Белов А. С., Соотношения между различными классами функций обобщенной ограниченной вариации. //Докл. расширенных заседаний семинара ин-та приклад, математики им. И.Н.Векуа, Тбилиси, 1988. Т.З. N2. С. 11-14.

6. Бекаури Г.Ш., О равномерной сходимости и суммируемости методом Чезаро отрицательного порядка кратных рядов Фурье. // Сообщ. АН Груз. ССР. 1985. Т.118. N2. С.281-283.

7. Бережной Е.И., Пространства функций обобщенной ограниченной вариации. I. Теоремы вложения. Оценки констант Лебега. // Сиб.мат.ж. 1999. Т.40. N5. С.997-1011.

8. Бережной Е.И., Пространства функций обобщенной ограниченной вариации. II. Вопросы равномерной сходимости рядов Фурье. // Сиб.мат.ж. 2001. Т.42. N3. С.515-532.

9. Блошанский И^Л., О равносходимости разложений в кратный тригонометрический ряд Фурье и интеграл Фурье. //Матем. заметки. 1975. Т. 18. N2. С. 153-168.

10. Голубов Б.И., Функции обобщенной ограниченной вариации, сходимость их рядов Фурье и сопряженных тригонометрических рядов. // Доклады АН СССР. 1972. Т.205. N6. С. 1277-1280.

11. Голубов Б.И., О сходимости двойных рядов Фурье функций обобщенной ограниченной вариации. // Сиб. мат. ж. Т. 15. 1974. N2. С.262-292.

12. Голубов Б.И., О сходимости двойных рядов Фурье функций обобщенной ограниченной вариации. II // Сиб. мат. ж. Т.15. 1974. N4. С.767-783.

13. Драгошанский О. С., О непрерывности двумерной А-вариации. // Современные проблемы теории функций и их приложения. Тезисы докл. 11-й Саратовской зимней школы. Саратов: Изд-во Го-сУНЦ «Колледж», 2002. С.71-72.

14. Драгошанский О. С., Непрерывность по А-вариации функций многих переменных. // Матем. сб. 2003. Т. 194. N7. С.57-82.

15. Дьяченко М.И;, Некоторые проблемы теории кратных тригонометрических рядов. // УМН. 1992. Т.47. N5. С.97-162.

16. Дьяченко М.И., Сферические частичные суммы двойных рядов Фурье функций с ограниченной обобщенной, вариацией. // Матем. сб. 1997. Т. 188. N1. С.29-58.

17. Дьяченко М.И., Двумерные классы Ватермана и и-сходимость рядов Фурье. // Матем. сб. 1999: Т. 190. N7. С.23-40.

18. Жижиашвили Л.В., Некоторые вопросы теории тригонометрических рядов Фурье и их сопряженных. Тбилиси: изд-во Тбил. ун-та. 1993.

19. КошелеваГ.Г., О непрерывности функций из анизотропных классов Ватермана. // Функц. пространства. Дифференц. операторы. Пробл. мат. образ.: Тезисы докл. Междунар. конф., посвящ. 75-летию чл.-кор. РАН, проф. Л.Д.Кудрявцева. М., 1998. С.37.

20. Натансон И.П., Теория функций вещественной переменной. М.: Наука. 1974.

21. Саакян А.А., О функциях ограниченной А-вариации. // Докл. АН Арм. ССР. 1985. Т.81. N2. С.54-58.

22. Саакян А.А., О сходимости двойных рядов Фурье функций ограниченной гармонической вариации. // Изв. АН Арм. ССР. 1986. Т.21. N6. С.517-529.

23. Саблин А.И., Функции ограниченной А-вариации и ряды Фурье. Дисс. . канд. физ.-мат. наук. Москва, МГУ. 1987.

24. Саблин А.И., А-вариация и ряды Фурье. // Изв. ВУЗов. Математика. 1987. N10. С.66-68.

25. Саргсян О. Г., О сходимости и явлении Гиббса кратных рядов Фурье функции ограниченной гармонической вариации. // Изв. НАН Армении. Математика. 1993. Т.28. N3. С.3-20.

26. Севастьянов Е.А., Кусочно монотонная аппроксимация и Ф-вариация. //Analysis Math. 1975. T.l. N2. С. 141-164.

27. Фихтенгольц Г.М., Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 1-3. М.: Гостехиздат. 1948-49.t

28. Чантурия З.А., Модуль изменения и его применение в теории рядов Фурье. //Докл. АН СССР. 1974. Т.214. N1. С.63-66.

29. Avdispahic М., Concepts of generalized bounded variation and the theory of Fourier series. //Internat. J. Math &; Math. Sci. 1986. V.9. N2. P.223-244.

30. Dyachenko M.I., Waterman classes and spherical partial sums of double Fourier series. // Analysis Math. 1995. V.21. N1. P.3-21.

31. Dyachenko M.I., Waterman D., Convergence of double Fourier series and W-classes. // Trans. Amer. Math. Soc. 2004. V.357. N1. P.397-407.

32. Schramm М., Waterman D., On the magnitude of Fourier coefficients. // Proc. Amer. Math. Soc. 1982. V.85. N3. P.407-410.

33. Tonelli L., Serie trigonometriche. Zanicelli, Bologna. 1928.

34. Ustina F., Convergence of double Fourier series. //Ann. Math., pure et app. 1970. V.85. P.21-47.

35. Waterman D., On convergence of Fourier series of functions of generalized bounded variation. // Studia math. 1972. V.44. N2. P. 107117.

36. Waterman D., On A-bounded variation. // Studia math. 1976. V.57. N1. P.33-45.

37. Waterman D. On the summability of Fourier series of functions of A-bounded variation. // Studia math. 1976. V.55. N1. P.87-95.

38. Wiener N., The quadratic variation of a function and its Fourier coefficients. // Massachusetts J. of Math. 1924. V.3. P.72-94.

39. Young L.C., Sur une generalisation de la notion de variation de puissance p-ieme bornee au sense de M. Wiener, et sur la convergence des series de Fourier. //C. R. Acad. Sci. Paris. 1937. V.204. P.470-472.

40. Zygmund A., Trigonometric series. V. 1-2. Cambridge Univ. Press. 1959.ЗигмундА., Тригонометрические ряды. Т. 1-2. М.: Мир. 1965.) Работы автора по теме диссертации Статьи

41. Бахвалов А.Н., О представлении непериодических функций ограниченной А-вариации интегралом Фурье. // Вести. Моск. Ун-та, Сер.1. Математика. Механика. 1998. N3. С.6-12.

42. Бахвалов А. Н., Непрерывность по А-вариации функций многих переменных и сходимость кратных рядов Фурье. // Матем. сб. 2002. Т. 193. N12. С.3-20.

43. Бахвалов А. Н., О понятии непрерывности по А-вариации функций многих переменных// Вестн. Моск. Ун-та, Сер.1. Математика. Механика. 2003. N2. С.47-50.

44. Бахвалов А. Н., Представление непериодических функций ограниченной А-вариации интегралом Фурье в многомерном случае. // Известия РАН, Сер. матем. 2003. Т.67. N6. С.3-22.

45. Бахвалов А. Н., О локальном поведении многомерной гармонической вариации. //Известия РАН, Сер. матем. 2006. Т.70. N4. С. 3-20.

46. Бахвалов А. Н., О локализации для кратных рядов Фурье функ-. ций ограниченной гармонической вариации. //Вестник Моск. Унта. Сер.1. Математика. Механика. 2007. N1. С.13-18.

47. Бахвалов А. Н., О сходимости и локализации кратных рядов Фурье для классов функций ограниченной А-вариации. //Вестник Моск. Ун-та. Сер.1. Математика. Механика. 2008. N3. С.6-12.

48. Бахвалов А. Н., Примеры расходящихся рядов Фурье для классов функций ограниченной А-вариации. //Матем. заметки. 2009. Т.86. N5. С.664-672.

49. Бахвалов А. Н., О локальном поведении многомерной А-вариации. //Матем. сб. 2010. Т.201. N11. С.3-18.

50. Бахвалов А. Н., О коэффициентах Фурье функций из многомерных классов ограниченной А-вариации. //Вестник Моск. Ун-та. Сер.1. Математика. Механика. 2011. N1. С.10-18.

51. Бахвалов А. Н., Суммирование методами Чезаро рядов Фурье функций из многомерных классов Ватермана. //Доклады АН. 2011. Т.437. N6. С.731-733.

52. Бахвалов А. Н., О локализации кратных рядов Фурье для функций ограниченной неполной А-вариации. //Современные проблемы математики и механики. Т.6. Математика. Выпуск 1. К 105-летию С.М.Никольского. М.:изд-во Моск. ун-та. 2011. С.27-51.Тезисы

53. Бахвалов А. Н., О непрерывности по А-вариации функций многих переменных. //X между нар. конф. «Математика. Экономика. Образование». II междунар. симпозиум «Ряды Фурье и их приложения». Тезисы докл. Ростов н/Д. 2002. С.12-13.

54. Бахвалов А. Н., Непериодические классы Ватермана и представление функции на плоскости интегралом Фурье. //Междунар. школа-семинар по геометрии и анализу, поев, памяти Н. В. Ефимова. Труды участников. Ростов н/Д. 2002. С.101-102.

55. Бахвалов А. Н., Обобщение понятия непрерывности по А-ва-риации на многомерный случай. //Современные методы теории функций и смежные проблемы. Материалы конф. Воронеж, 2003. С.29-30.

56. Бахвалов А. Н., Многомерные классы Ватермана и представление функций интегралом Фурье. //Современные проблемы теории функций и их приложения. Тезисы докл. Саратов, 2004. С. 1719.

57. Бахвалов А. Н., О кратных рядах Фурье функций ограниченной А-вариации. //Современные методы теории функций и смежные проблемы. Материалы конф. Воронеж, 2005. С.28-29.

58. Бахвалов А. Н., О свойстве локализации для многомерных классов Ватермана. //Современные проблемы теории функций и их приложения. Тезисы докл., Саратов, 2006. С.24-25.

59. Бахвалов А. Н., О локализации рядов Фурье для многомерных классов Ватермана. // XIV междунар. конф. «Математика. Экономика. Образование». IV междунар. симпозиум «Ряды Фурье и их приложения». Тезисы докл. Ростов н/Д., 2006. С.12.

60. Бахвалов А. Н., О локализации и сходимости рядов Фурье для многомерных классов Ватермана. //Современные методы теории функций и смежные проблемы. Материалы конф. Воронеж, 2007. С.21.

61. Бахвалов А. Н., Многомерные классы Ватермана и сходимость кратных рядов Фурье. //Междунар. конф., поев, памяти И. Г. Петровского. Тезисы докл. — М.: МГУ, 2007. С.ЗО.

62. Бахвалов А. Н., Примеры функций ограниченной А-вариации с расходящимися рядами Фурье. //Современные проблемы теории функций и их приложения. Тезисы докл. Саратов, 2008. С.20-21.

63. Бахвалов А. Н., О примерах функций из многомерных классов Ватермана с расходящимся рядом Фурье. //XVI междунар. конф. «Математика. Экономика. Образование». V междунар. симпозиум «Ряды Фурье и их приложения». Тезисы докл. Ростов н/Д.,2008. С.10-11.

64. Бахвалов А. Н., О суммировании рядов Фурье функций из многомерных классов ограниченной А-вариации. //Современные проблемы математики, механики, информатики. Тезисы докл. Тула,2009. С.13-16.

65. Бахвалов А. Н., О непрерывности по А-вариации функций многих переменных. //Современные проблемы теории функций и их приложения. Тезисы докл. Саратов, 2010. С.20-21.

66. Бахвалов А. Н., О коэффициентах Фурье функций из многомерных классов Ватермана. //Современные проблемы анализа и преподавания математики. Материалы междунар. конф., посвященной 105-летию академика С.М.Никольского. М., 2010. С.11-12.

67. Бахвалов А. Н., О классах функций ограниченной неполной Л-вариации. //Современные методы теории функций и смежные проблемы. Материалы конф. Воронеж, 2011. С.42-43.