Функциональные пространства и коэффициенты Фурье по мультипликативным системам тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат наук Фадеев, Роман Николаевич

• Фадеев, Роман Николаевич
• кандидат наук
• 2014

Оглавление диссертации кандидат наук Фадеев, Роман Николаевич

Содержание

Введение

Глава 1. Оценки наилучших приближений и приближений углом для простых и двойных рядов Фурье по мультипликативным системам

1.1. Вспомогательные утверждения

1.2. Оценки наилучших приближений в интегральных метриках через коэффициенты Фурье и их разности

1.3. Оценки наилучших приближений и приближений углом в интегральных метриках для двойных рядов Фурье через коэффициенты Фурье и их разности

1.4. Оценки обобщенно-монотонных двойных коэффициентов Фурье функции через ее смешанный модуль непрерывности

Глава 2. Необходимые и достаточные условия принадлежности обобщенным пространствам Бесова

2.1. Вспомогательные утверждения

2.2. Оценки наилучших приближений функций с обобщенно-монотонными и лакунарными коэффициентами Фурье

2.3. Необходимые и достаточные условия принадлежности функции обобщенным пространствам Бесова

Глава 3. Аналоги теорем Лоренца для двойных рядов Фурье и сходимость рядов по мультипликативным системам

3.1. Вспомогательные утверждения

3.2. Аналоги теорем Лоренца для двойных рядов Фурье по мультипликативным системам

3.3. Условия абсолютной и равномерной сходимости рядов Фурье по мультипликативным системам

3.4. Условия выполнения равенства Парсеваля для рядов Фурье-Уолша124

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Функциональные пространства и коэффициенты Фурье по мультипликативным системам»

Введение

Данная работа посвящена условиям принадлежности функции (или суммы ряда по мультипликативной системе) различным функциональным пространствам в терминах коэффициентов Фурье по мультипликативной системе (или коэффициентов ряда). К этой задаче примыкает задача оценки наилучших приближений функции по мультипликативной системе в заданном пространстве.

Важнейшим примером ортонормированной системы, произведение двух элементов которой и сопряжение к элементу также принадлежит этой системе, является комплексная тригонометрическая система {ewx}n6Z на периоде Т = [О, 27г). Первый пример ортонормированной системы конечнозначных функций со свойством, указанным выше, принадлежит Дж. Уолшу [1]. В 1947 году Н.Я. Виленкин [2] изучил системы характеров коммутативных компактных нульмерных групп со второй аксиомой счетности. При отображении на отрезок [0,1) эти системы характеров переходят в мультипликативные системы ортонор-мированных функций, которые называются просто мультипликативными системами или системами Виленкина. Иногда их называют системами Дж. Прайса, который в работе [3] определил их в более общей ситуации. Теория рядов по мультипликативным системам, в частности, по системе Уолша, активно развивалась в СССР и позднее в РФ, Венгрии, США, КНР, Японии и в других странах. Вклад отечественных математиков в данную теорию достаточно полно отображен в монографиях Б.И.Голубова, A.B. Ефимова и В.А. Скворцова [4] и Г.Н. Агаева, Н.Я. Виленкина, Г.М. Джафарли и А.И. Рубинштейна [5]. Достижения венгерских и американских математиков изложены в монографии Ф. Шиппа, У. Уэйда и П. Шимона [6].

Теория приближений полиномами по мультипликативным системам развивалась в нескольких направлениях. С использованием понятия обобщенной производной были получены различные варианты прямых и обратных теорем

приближения (A.B. Ефимов, П.Jl. Бутцер, X. Вагнер, Хе Зелин). Большое число работ было посвящено вопросам сходимости линейных средних рядов Фурье, в том числе, количественным оценкам скорости сходимости (С.Л. Блюмин, В.А. Глухов, А.И. Рубинштейн, Е.С. Смаилов).

Серьезное развитие получила теория единственности рядов по мультипликативным системам (С.Ф. Лукомский, М.Г. Плотников, H.H. Холщевникова).

Приведем краткий обзор предшествующих результатов. Пусть / принадлежит пространству Lинтегрируемых в р-й степени на [0,2ж) 27г-периодических

/2тг \ Ур

функций с нормой \\f\\Lp = { J \ f(x)\p dx J , 1 < p < oo, и an, bn являются косинус- и синус-коэффициентами Фурье,функции /. По теореме Харди-Литт-лвуда (см. [8] глава XII, теорема 3.19) при 1 < р < 2 верно неравенство

оо \ Ур

$> + 1Г2 (ЫР + \Ьк\р) < С \\f\\LL . (0.1)

кк=0 /

Двойственное утверждение состоит в том, что при 2 < р < оо и сходимости ряда из левой части (0.1) ряд

оо

«о/2 + cosкх + bf-sinkx) (0.2)

к=1

сходится в к некоторой функции f(x) и справедливо неравенство, противоположное (0.1).

Пусть En(f)LP2ir — наилучшее приближение / 6 Lv2n тригонометрическими полиномами порядка не выше п. Из (0.1) и двойственного результата, а также из теоремы М. Рисса (см. [9] гл.VIII, §20), легко следует, что

/ оо \ i/p

С £ (к-+ 1Г2 (Мр + МП < En(fh^ felb, 1 <р < 2, (0.3)

\к=п+1 /

и

/ оо \ Ур

С (п + 1Г1 (|ап|р + |6п|р) + £ {к + 1 У~2 (\ак\р + \Ьк\р) >

\ k=n+l J

>СЕп{/)цг, /еЦ,, 2 < р < оо. (0.4)

Г. Харди и Дж. Литтлвуд (см. [8] глава XII, лемма 6.6) установили также, что если {ап}^1> убывают к нулю, то сумма ряда (0.2) принадлежит

пространству Ц,1 < р < оо, в том и только том случае, когда сходится ряд

00

¿=1

A.A. Конюшков доказал неравенство (0.4) в случае когда 1 < р < со, ап = 0, п € Z+, и {6П}~ х убывает к нулю. С помощью теоремы М. Рисса (см. [9] глава VIII, §14) показывается справедливость (0.4) для косинус-рядов. С. Алянчич [10] установил оценку сверху для модуля непрерывности функции из Lg,,., 1 < р < оо, с монотонными коэффициентами Фурье [11]. Эта тематика была развита В.М. Кокилашвили [12], который в случае квазимонотонных коэффициентов (т.е. п~тап и п~тЪп убывают при некотором

т > 0) получил двусторонние оценки модулей непрерывности в L^ произвольного натурального порядка.

Т.М. Вуколова и М.И. Дьяченко [13] обобщили процитированную выше теорему Харди-Литтлвуда о рядах Фурье с монотонными коэффициентами, установив оценку вида

/ оо \ Ур / оо \

а +1)2р~2 ^ ii/ik ^ С2 +i)2*"2

\п=0 / \п=0

где lim ап = 0, А2ап > 0, 0 < р < оо, Аап = ап — ап+1, А2ап = А(Аа„).

П-> 00

Подобные результаты были ими также получены в двумерном случае [14].

оо

Ф. Мориц [15] для рядов a,kWk(x) по системе Уолша [4] вместо изуче-

к=О

ния принадлежности суммы ряда пространству Lr[0,1), 1 < г < оо, рассмотрел

71—1

J2 akwk(x) к=0

аналогичный вопрос для S(x) = sup

neN

и установил, что при убыва-

нии {afcj^o к нулю необходимым и достаточным условием для S(x) Е Ьг[0,1)

является сходимость ряда

оо

(0.5)

к=1

Аналогичные результаты были получены Ф. Морицем [16] для двойных тригонометрических рядов, суммы которых либо четны, либо нечетны по каждой переменной, и для двойных рядов Уолша.

Ранее В.М. Кокилашвили [17] показал, что сходимость ряда (0.5), при условии квазимонотонности {afc}fcli, достаточна для принадлежности его суммы / пространству 27 [0,1), и получил оценку наилучшего приближения / полиномами по системе Уолша, аналогичную (0.4). М.Ф. Тиман [18] сформулировал аналог цитированного выше результата Харди-Литтлвуда о тригонометрических рядах с монотонными коэффициентами для рядов по системе характеров компактных нульмерных групп. В работе [19] было приведено доказательство этого утверждения с помощью аналога теоремы Литтлвуда-Пэли для мультипликативных систем, установленного Ч. Ватари [20]. Далее этот метод был развит в работе С.С. Волосивца [21], где изучалась интегрируемость в степени г 6 (1; оо) со степенным весом суммы ряда по мультипликативной системе с обобщенно-монотонными коэффициентами, а также в статье Н.Ю. Агафоновой [22], где доказывались оценки наилучших приближений полиномами по мультипликативным системам в Lr[0,1), 1 < г < оо, и теоремы типа A.A. Конюшкова об эквивалентности О- и х- соотношений.

Проблема Lr—интегрируемости со степенным весом тригонометрических рядов исследовалась Ю. Ченом [23] и Р. Аски и С. Вейнгером [24]. В последней работе был введен класс последовательностей, который, следуя [25], будем называть AW%, 1 < р < оо. Последовательность {an}^Lo принадлежит классу AWg, если lim ап = 0 и

п—> оо

оо / оо \ Р

71=1 \к=п /

7

В [24] было показано, что если £ AWg, I < р < оо, — 1 < ар <р— 1

и сходится ряд

оо

X>p-Qp_2kip,

п=1

то

7Г

|/(rc)|p |sinrc|Qpda: < оо,

—7Г

ОО

где /(а;) — сумма ряда an cos по;. Более подробную сводку результатов по

П=1

этому вопросу можно найти в [26].

В дальнейшем предлагались более широкие классы обобщенно-монотонных последовательностей {а«}^, для которых сходимость интеграла

7Г

\f(x)\p\x\apdx

—■к

была равносильна сходимости ряда

00

Y^np~ap~2 \ап\р. п=1

Здесь можно указать работы JL Лейндлера [27], С.Ю. Тихонова [28], Д. Ю, П. Жу и С. Жу [29] и др. Естественным обобщением класса AWq на случай р = 1, являются последовательности, удовлетворяющих условию

оо

У] \ап - On+i\ log(n + 1) < оо.

п=1

В работе М. и Ш. Изуми [25] даны оценки модулей непрерывности четных или нечетных функций из 1 < р < оо, коэффициенты Фурье которых принадлежат классам AWP, 1 < р < оо. Эти результаты содержат результат С. Алян-чича [30] и являются хорошим средством получения оценок сверху модулей непрерывности функций с обобщенно-монотонными коэффициентами Фурье.

Определения классических пространств Соболева и Бесова можно найти в монографии С.М. Никольского [31]. М.К. Потапов в работах [32] и [33] обобщил

их следующим образом. Пусть измерима и неотрицательна на [0,1], причем интегрируема по Лебегу на каждом отрезке 1], 0 < £ < 1. Введем следующие обозначения

№ =

a(t)dt, п€ N,

1/п

Ап{х) = ancosnx + bns'mnx, Aq{x) = оо/2, где ап, Ъп — коэффициенты Фурье функции / 6 Ь\ж,

<*>k(f,t)p - sup

\h\<t

¿(-1 )k-"Cif(x + vh)

v=Q

, / G 1 < p < oo.

Потребуем также, чтобы а(£) удовлетворяла ¿-условию

1

a(í)dí < С

a(t)dt, 0 < 6 < S0,

28

и (<т, г)-условию: 1) существует а е К, такое что

Oi{t)tadt < С < оо;

2) для некоторого т > 0 и всех 0 < £ < <5"о верно

8 25

8

Для в,р е [1, оо) через обозначим пространство функций / е п, для

которых

1е,Р =

i \ W

0,

a(t)uk(f, t)pdt < оо.

оо

Через \Ув,р(а) обозначим пространство функций / € с рядом Фурье X] Ап{х),

п=О

оо

для которых ряд Ап{х)^1/е{п) есть ряд Фурье функции ф € Ц,п. В [32] было

установлено, что при в = min(p, 2) и a(i), удовлетворяющей ¿-условию, имеет место вложение Вв,р,к{ос) С Wo,p{oc). Обратное вложение выполняется, если в = max(p, 2), a(t) удовлетворяет ¿-условию и (вк, т)-условию. Аналоги этих пространств, связанные с мультипликативными системами, ввел С.С. Волоси-вец [34]. В этой работе установлены теоремы вложения, аналогичные приведенным из [32], и показана их точность. В важном частном случае a(t) = t~0r~l были установлены критерии принадлежности аналогу класса Вв,р,к{а) функций с обобщенно-монотонными коэффициентами Фурье по мультипликативной системе. Этот результат является аналогом теоремы 7 из работы М.К. Потапова и М. Бериши [35]. Далее в тригонометрическом случае эта тематика активно разрабатывалась М. Беришей [36] - [38]. Приведем типичный результат из [38]: чтобы

f(x) с рядом Фурье Cje%^x принадлежала классу Вр^,к{ос) при 2 < р < оо и

jeZ

9 <р, достаточным является условие

00

ч\9\зГ»"т + 1)<оо. ..

bi=i

В 1948 году Г.Г. Лоренц [39] для 0<а<1,1<р<оо ввел пространства и RaiP последовательностей у = {а\, &i,ап, 6П,...}, для которых.

/ п \ 1/Р

жа,р(у) = supтГа у; (Ыр + |Ьп\р) < 00,

и, соответственно,

\ 1 /р

(ЫР+|ЬпП) < оо.

Пусть / 6 Ь\ж имеет ряд Фурье (0.2), у определено выше, 1 < р < 2. Согласно теореме 1 из [39] из условия / € Lip а, 0 < а < 1, следует, что у 6 Ra+i/2~i/p,p при а > 1/р— 1/2 и у е Mi/p-i/2-a,P при а < 1/р—1/2. При этом первое утверждение неверно при а < 1/р — 1/2, а второе - при а > 1/р — 1/2. Обратное

(оо

У2

Ып

утверждение таково. Если 1 < р < оо и коэффициенты Фурье {ак, Ьк}™=1 функции / принадлежат классу Ra,P, 1 — 1 /р < ос < 2 — 1/р, то / эквивалентна функции класса Lip(a — 1 + 1 /р). В [39] доказаны также результаты о принадлежности суммы тригонометрического ряда пространствам Липшица в метрике Эти теоремы связаны с условиями абсолютной и обобщенной абсолютной сходимости. Таким образом, цитированный выше результат из теоремы 1 при а > 1/р — 1/2 уточняет одну теорему Caca [40].

Для получения аналогов теорем Г.Г. Лоренца Л.П. Кагадий [41] использовала классы Липшица, введенные с помощью смешанных разностей

Áhlt/(®, У) = f{x + h,y + t)~ f(x - h, у +1) - f(x + h, y - t) + f(x - h, y - t).

Если f(x, y) 2n — периодична по каждой переменной, непрерывна на [0,2тг]2 и имеет ряд Фурье

00

У] атп cos тх cos пу, (0.6)

771,71=1

то, по определению, / € Л(а, /?) при выполнении условия

Ah,tf(x,y) < Chat\ Ме[0,оо), х,у GR.

Аналогично с помощью условия

&h,tf(x,y)

< Chat0, /г, í е [0, оо), х,уе R,

Щ0,2п]2

вводится класс А д(а,/3), где 0 < а, (3 < 1, 1 < <7 < оо. В [41] было показано, что при а,0>1/р- 1/2, 1 < р < 2 и / 6 А(а, Р)

1/р

00 оо

*тп(р) = ( Е Е Ы" = 0 ,т,пе N,

\i=m j—n /

а при а, & < 1/р - 1/2, 1 < р < 2 и / е Л(а, /3) / т п \ 1/Р

5тп(р) = (Е Е ЫР) = ° (m-o-VWrn-t3-1/2^) ,т,п 6 N.

Обратное утверждение для 27г-периодической по каждому аргументу непрерывной на [0, 27г]2 функции состояло в том, что соотношение

°тп(р) = о (iтГап-Р) , 0 < а, Р < 1, 1 < р < 2,

влечет за собой / 6 Л(а — 1 /q,j3 — 1/д), где 1 /р+ 1/q = 1. Аналогично, при

°тп{р) = О (m~ari~P) , 1/q < а, /3 < 1 + 1/q, 1/р + 1/q = 1,

получаем f(x,y) G Aq(a,/3).

Вопрос неулучшаемости приведенных выше результатов в [41] не рассматривался. Утверждения остаются верными для функций более общего вида (не обязательно четных по каждой переменной.). С. Алянчич и М. Томич [И] для четной функции / € L^, 1 < р < оо с убывающей последовательностью коэффициентов Фурье установили оценки

n1_1/pan < Cu(f,7r/2n)p, п е N,

где

'2тг

1 /р

oj(f,6)p= sup О <h<5

\f(x + h)-f(x)\pdx

Ранее A.A. Конюшков [42] для нечетной функции с убывающими коэффициентами Фурье {Ьп}^=1 установил при выполнении данных условий оценку вида

п1-1/р6зп < CEn{f)Lvv, п G N,

и аналог оценки С. Алянчича и М. Томича. Двумерный аналог оценки С. Алян-чича и М. Томича принадлежит Л.П. Кагадий [43]. Для функций, определенных на группах Виленкина, аналоги теорем Лоренца доказывали Н.Я. Виленкин и А.И. Рубинштейн [44] (см. также [5] глава 4, §4.2).

Цель работы.

Целью данной диссертационной работы является решение следующих задач:

1) Получить оценки наилучших приближений по мультипликативным системам функций со знакопеременными коэффициентами Фурье в различных интегральных метриках (1/[0,1) при 1 < р < оо, Р-ичное пространство Харди Я(Р,[0,1)).

2) Для функций двух переменных получить оценки сверху приближения углом функций в метрике Ц>[О, I)2, 1 < р < оо, и в метрике пространства Харди в терминах коэффициентов Фурье по мультипликативным системам.

3) Установить необходимые и достаточные условия принадлежности функции модифицированным классам Бесова в терминах ее коэффициентов Фурье по мультипликативной системе.

4) Установить аналоги теорем Лоренца для двойных рядов Фурье по мультипликативным системам и показать их неулучшаемость.

Методы исследования.

При решении поставленных задач применяются общие методы математического и функционального анализа, методы гармонического анализа, теории приближений и теории ортонормированных рядов. Научная новизна.

Все основные результаты работы являются новыми. В работе получены оценки наилучших приближений сверху и снизу в интегральных метриках в терминах коэффициентов Фурье, охватывающие более широкие классы, чем ранее полученные результаты. Получены оценки сверху приближений углом в пространствах 1/[0,1)2, 1 < р < оо, и пространстве Харди #(Р, [О, I)2), причем аналоги оценок в пространстве Харди неизвестны в тригонометрическом случае. Приведены необходимые и достаточные условия принадлежности функции модифицированным пространствам Бесова, тесно связанные с мультипли-

кативными системами, которые до недавнего времени не изучались. Получены двумерные аналоги теорем Лоренца и установлена их неулучшаемость в определенном смысле.

Практическая ценность.

Основные результаты работы носят теоретический характер и могут найти применение в теории ортогональных рядов, в теории приближений, в гармоническом анализе. Они могут быть использованы в учебном процессе при чтении специальных курсов для студентов, магистрантов и аспирантов.

Апробация работы.

Результаты работы докладывались на научных семинарах кафедры теории функций и приближений и научно-практических конференциях сотрудников Саратовского государственного университета "Актуальные проблемы математики, механики и их приложения "(Саратов, 2011, 2012), на 14-ой Саратовской зимней школе "Современные проблемы теории функций и их приложения" , посвященной памяти академика П.Л. Ульянова (Саратов, 2008), на 15-ой Саратовской зимней школе "Современные проблемы теории функций и их приложения" , посвященной 125-летию со дня рождения В.В. Голубева и 100-летию СГУ (Саратов, 2010), на 16-ой Саратовской зимней школе "Современные проблемы теории функций и их приложения" (Саратов, 2012).

Публикации.

Результаты диссертации опубликованы в работах [69] - [76]. В работе [69] научному руководителю принадлежит постановка задачи. Работы [69] - [72] опубликованы в журналах, включённых в перечень ВАК ведущих рецензируемых научных журналов и изданий, в которых должны быть опубликованы основные научные результаты диссертации на соискание учёной степени кандидата наук.

Структура и объем работы.

Диссертация состоит из введения, трёх глав и списка литературы, содержащего 72 наименований. Каждая глава разбита на разделы, всего в диссертации

И разделов. Общий объем работы 140 страниц. Краткий обзор содержания диссертации.

Пусть Р = — последовательность натуральных чисел, такая что,

2 ^ рп ^ N при всех п G N. Положим по определению то = 1, тп = р\.. .рп при n G N. Тогда каждое х G [0,1) имеет разложение

оо

П) Хп GZn[0 ,рп). (0.7)

п=1

Разложение (0.7) определено однозначно, если при х = к/тп, 0 < к < тп,

к G Z+, брать разложение с конечным числом Xj Ф 0. Пусть С?(Р) — группа.

состоящая из последовательностей вида х = (xi,x2,...), Xj G Z+, 0 < xj < pj, с

операцией x®y = z, где zj = Xj-f yj (mod pj), j G N. Аналогично определяется

00

обратная операция xQy. Отображение Ар (х) = ^ xjmJ1 не является взаимно

j=i

однозначным, поскольку элементам вида

х = fc/mi, /с, / G N, к < пц, (0.8)

соответствуют два элемента G (Р). Определим обратное отображение Ар1. Для х вида (0.8) пусть xj = [mjx] (mod pj), j G N. Тогда

Для остальных x G [0,1) существует единственный элемент x G G (P) со свойством Ар (x) = x и тогда Ар1 (я) = х. Определим обобщенное расстояние

р(х,у) = АР (Ар^ж)© Ар1^))

и сложение

о: Ф у = АР (Ар1 (я) 0 Ар1 (у))

на [0,1). При этом а;фу не определено, если Ар1 (я) ф Ар1 (у) = z, где Zj = pj — 1 при j > jo, то есть х(&у определено для почти всех х G [0,1) при фиксированном

у е [0,1). Легко видеть, что х ф 1/тк+1, к е определено всегда и что р{х® 1/тк+и х) < 1 /тпк.

Всякое к € представимо в виде

оо

к = /Сг7Пг-1, кг £ Ъ П [О,^).

г=1

Для х € [0,1) и к € по определению полагаем

2тгг £ Х^/Рз

Хк(х) = е\ V-» )).

Известно, что ~~~ ортонормированная полная в Ь1[0,1) система

([4] §1.5), и что Хп(хФу) = Хп(х)Хп(у) для всех у е [0,1), кроме счетного числа, при фиксированном х € [0,1) и

Коэффициенты Фурье по системе {хп(я)К^о Функчии / £ -^[о* 1) задаются формулой

/м =

Коэффициенты Фурье по системе {Хп(я)Хт(2/)}^т=0 Функции / € Ьх[0,1)2 задаются формулой

1 1

/(га, тп) =

1(х,у)Хп(х)Хт(у) ¿х(1у, п,т е о о

Интеграл обычно понимается в смысле Лебега. Сумма

71—1

=: В„(х), тгем,

к=0

называется п-м ядром Дирихле. Аналогично в двумерном случае

771—1 П — 1

Е Е Хг(я)хДг/) Втп(х, у), т, п е N.

г'=0 у=0

Частичные суммы рядов Фурье по системе {Хп(^)}^=о будем обозначать

71—1

г=0

Частичные суммы рядов Фурье по системе {Хп{х)Хтп(у)}щт=о будем обозначать

771—1 71—1

зим =

г=0 ./=0

Пространство 1), 1 ^ р < оо, рассматривается с нормой

1 /Р

и

оо = вир \/(х)\. ®€[0,1)

Пространство 1)2, 1 ^ р < оо, рассматривается с нормой

11 \ Ур

о

и

оо= вир \/(х,у)\. я,у€[0,1)

Пусть

= [к/тп, (А; + 1 )/тп), 1г,пб2+| А; < тп, 4"'Г) = 4П) х к,г,1 е А; < тп, / < тг.

Через 1(п\х) (1^п'г\х,у)) будем обозначать такой промежуток что

®б4п> ((«.») е

Максимальная функция М(/) определяется равенством

М(/)(х) = эир тп пе2.+

№ <и

К")(х)

в одномерном случае и равенством

М{/)(х,у)= вир тптк

п,кеъ+

/(и,у) ¿иди

Цп)(х) Кк)(у)

в двумерном случае.

Если М(/) е (М(/) е Ь1[О, I)2), то функция / принадлежит

Р-ичному пространству Харди #(Р, [0,1)) (Н(Р, [О, I)2)) с нормой

11Л1я = ||М(/)||1

Подробнее об этих пространствах можно узнать в [45].

В главе 1 находятся оценки наилучших приближений и приближений углом функции через ее коэффициенты Фурье и их разности в различных интегральных метриках. Пусть

Рп = {/ € Ь1[0,1) : /(к) = О,к>п}, п е N.

Тогда

Еп(/)х = п* {||/ - и\\х : и Е Тп] , п Е N.

где Х[0,1) = Ц>[О,1), 1 < р < оо, или Х[0,1) = Я(Р, [0,1)).

В двумерном случае будем рассматривать так называемое приближение углом. Если Тп \ г — 1,2, есть множество /(х\, Х2), таких что при фиксированных Xj, ] = 1,2, у ф г, имеем /(#1, гсг) € "Рп, то по определению

Ап,т(Лх = -и- у\\х : и € г; £ Р®} .

Если

то

Гп,т = {/ € ^[0,1)2 : /О', Л) = 0 при У > п или к > т} ,

Еп,т{Лх = ШГ {||/ - Щх : í е . 18

Здесь либо X = LP{О, I)2, 1 < р < оо (в этом случае для краткости будем писать EnjTn(f)p вместо En>m(f)lp и аналогично En(f)p вместо Еп(/)ьр), либо Х = Я(Р,[0,1)2).

Основными результатами главы 1 являются:

Теорема 1.2.2. Пусть {ak}uLi С С такова, что lim ак = 0 и

к-¥ 00

оо / оо

ПС1АЧ'1 <СО' 1<Р<00-к=1 \j=k ]

00

Тогда ряд ^ акхк{%) является рядом Фурье некоторой функции / € 0,1) к=о

и справедлива оценка

/ /оо \ Р оо /оо

т)р < с п^ы?+п2р-1 £ I д2Ч + Е^ ЕI д5Ч

\ \г=п / к=п \ г—к

Здесь А2аг- = <ц — 2аг+1 + аг+2-

Теорема 1.2.2 является аналогом результата М. и Ш. Изуми [25] для тригонометрических рядов, где оценивается модуль непрерывности функции через разности ее коэффициентов Фурье первого порядка. Здесь и далее наилучшее приближение дает больше информации о поведении функции, чем con(f)p, в силу известного неравенства Ефимова (1.1.4).

Теорема 1.2.4. Пусть сходится ряд

00

£|Aafc|ln(Ä + l)

fc=0

и

lim ак = О,

к-*оо

оо

тогда ряд акХк(%) является рядом Фурье функции / £ Н{Р, [0,1)) и схо-к=О

дится к ней в Н{Р, [0,1 )).При этом

оо

Еп{Лн < сY^Wk- аш\\п{к + 1), п 6 N.

к=п

Результаты теоремы 1.2.4 известны в тригонометрическом случае в метрике ЬЗдесь используется более сильная метрика пространства Харди.

Теорема 1.3.1. Пусть двойная последовательность 0 удовлетво-

ряет условию для некоторого р е (1, оо), то есть

а ¿к —> 0 , при тах(^', к) —> оо

и

оо оо

£ е(т + 1)р_2(п + 1г2(^п)р < оо,

771=0 71=0

где

00 оо

йтп = I •

г=т ]=п

00 оо

Тогда ряд ^кХу{х)Хк{у) является рядом Фурье функции / € 1)2 и

;=0 /с=0

для т, п € N справедлива оценка

оо

АРпт(Лр < С п^т^М + п"-1 £

\ к=т

оо оо оо

]=п з =п А;=т

Теорема 1.3.2. Пусть

и

оо оо

Нт а^ = О

З+к-Ьоо

]Г I диа#11п0' + 2) 1п№ + 2) < оо,

¿=0 к=о

00 оо

тогда ряд ^ ajkXj(x)Xk{y) является рядом Фурье функции f £ Н{Р, [О, I)2) j=ок=о

и при этом для всех п, га е N

Enmifh <С HJ + 2) ln(Ä + 2)

max(j-п,к—т)>0 оо оо

Апт(Лн +2) +2)

j=n к=т

В теоремах 1.3.1 и 1.3.2 используется приближение углом, позволяющее перенести методы оценки наилучших приближений A.A. Конюшкова [46] и других на многомерный случай.

Теорема 1.4.1. Пусть f £ Lr[О, I)2, 1 < г < оо, такова, что f(n, т) = 0"пт > 0 при всех п, т £ N и ац > Сам при к £ [г, 2г — 1], / £ [j, 2j — I], i,j £ N. Тогда

(mk+imi+i) ~ /r <Cu>*kl{f)r, k,lez+.

Теорема 1.4.1 является мультипликативным аналогом одномерного результата С. Алянчича и М. Томича [11] и двумерного результата А.П. Кагадий [43] для тригонометрических рядов.

Результаты главы 1 опубликованы в [69], [73].

В главе 2 изучаются необходимые и достаточные условия принадлежности функции обобщенным пространствам Бесова в терминах ее коэффициентов Фурье.

Пусть a(t) — положительная на [0,1) и интегрируемая на всех [£, 1), 6 > О,

функция, для которой выполнено ¿2-условие 6 25 1

a(t)dt < С a{t)dt < С a(t)dt, 6 £ ^0, ^ .

5/2 5 6

Пусть для f £ 0,1), 1 < р < оо, по определению

u*(f,t)p= sup ||/(.фД)-/(.)||р. 0<h<t

Если величина

1(р, 0, а) =

1 \

в

а(1) (ш*(/,Ь)р)а (И

конечна, то / принадлежит классу Бесова В(р, в, а). Аналогично определяются 1(Н,6,а) и В(Н,в,а). Классы В(р,в,а) являются аналогами классов, введенных М.К. Потаповым [32]. В В (6,р, а) можно ввести норму

\\Л\в(в,р,а) = \\fWp +

Введем следующие обозначения:

1/г

А{г) =

а(г) ей, г е N.

1/«+1)

ц(г) =

т =

1 /ГГЦ 1

а(Ь) <Ц, г € Н,

а{Ь) <И, г Е N.

1/(<+1)

Основными результатами главы 2 являются: Теорема 2.3.5. 1) Пусть 2 < р < оо, / £ //[О,1), 0 > 0. а) Е'сли 9/р > 1 и сходится ряд

оо е

то / € а).

б) Если 0 < 6/р < 1 и сходится ряд

оо

&=1

/ел) л*-*/*

то / € В{р,д,а).

2) Пусть 1 < р < 2, / б ¿р[0, 1), 0 > 0.

а) Если в > 2 и сходится ряд

00

^т'-^т"2 л*)

к=1

то / е В(р,9,а).

б) Если 9 <2 и сходится ряд

00

£№) /(Л)

то / е В(р, 9, а).

Теорема 2.3.6. Пусть 1 <р <оо, 9 > 1, / 6 В (9, р, а). Тогда а) При 1 < р < 2 и 9/р > 1 сходится ряд

00

£/?(*) /(к) к»-™".

к=1

При 1 < р < 2 и 9/р < 1 сходится ряд

оо

]г лсаг)1-®^)^-^!^)!®.

к=1

в) При р >2 и 9 >2 сходится ряд

оо Л=1

г,) При р>2 и 9 <2 сходится ряд

оо

Л=1

Достаточные условия принадлежности сумм тригонометрического ряда классам Бесова-Потапова были изучены М. Беришей в [38], аналогичные необходимые условия установлены им же в [37]. Аналогами этих результатов являются теоремы 2.3.5 и 2.3.6.

Теорема 2.3.9. Пусть

оо

ы2 < оо,

А

9 > 0, 1 < р < оо; / € £ [О,1) такова, что /(п) = ак при единственном

/Ч _

Пк £ [тпк,тк+1), к Е и /(п) = 0 при остальных п 6 [т&,77^+1). Тогда включение / 6 В(р,в,а) влечет сходимость ряда

00

Л=1

при 9 >2 и сходимость ряда

00

ХХк))1-«4/^«* - 1) М"

к=1

при 0 < 9 < 2. Обратно, из сходимости ряда

оо а;=1

при 0 < 9 < 2 и сходимости ряда

оо

при 9 >2 следует / € В (р, 9, а).

Будем писать / 6 С**[0,1), если lim ||/(- 0 к) — /(-)||оо = 0. Пространство

h-+ О

В (9, оо, а) определяется аналогично В (9,р, а), 1 < р < оо.

Теорема 2.3.10. Пусть 9 > 0, / Е С*[0,1) удовлетворяет условию теоремы 2.3.9, причем ак>0 и a(t) такова, что ß(rrik — 1) х v{k), k G N. Тогда f G В (оо, 0, а) в том и только том случае, когда

оо

ы0 <

Изучение условия принадлежности классам Бесова-Потапова сумм лаку-нарных тригонометрических рядов или рядов с монотонными коэффициентами начато в работе [35] М.К. Потаповым и М. Беришей для классических пространств Бесова. Теоремы 2.3.9 и 2.3.10 являются развитием этих результатов для мультипликативных систем.

Результаты главы 2 опубликованы в [72] и [76].

Ранее были приведены результаты Г. Лоренца, касающиеся необходимых и достаточных условий принадлежности функций классам Липшица в терминах их тригонометрических коэффициентов Фурье, и оценка снизу модуля непрерывности через коэффициенты Фурье, данная С. Алянчичем и М. Томичем. В главе 3 получаются аналоги данных теорем для мультипликативных систем. Введем следующие величины

Пусть &uvf(x,у) = f(xeu,y@v)~ f(x®%у)- f(x, y@v) + f(x, у). Тогда для / е LP[0,1)2, 1 < р < оо, полагаем

<4iU)p = sup{||Auu/||p : 0 < и < т*1,0 < v < mf1}, к, I G Z+.

Пространство С*[О, I)2 состоит из функций /, для которых lim u>h(f)oo = 0.

Теорема 3.2.1. а) Пусть f е U\О, I)2, 2 < v < оо или f е С*[0, l)2{v = оо) и сходится ряд

и

к,1-¥ 00

Основными результатами главы 3 являются:

оо 00

ЕЕ ШЛ'Птыгы)1-^, 1<Р<2.

к=0 1=0

Тогда сходится ряд

00 00

1=1 ¿=1 и справедлива оценка

оо оо

< Е Е {типцу-*2, Г, 5 е г+.

/с=Г ¿=3

б>) Пусть — двойная последовательность, убывающая по к и по I и

сходящаяся к нулю, для которой сходится ряд

00 оо к=0 1=0

и выполняется аналог условия Бари

оо оо

ЕХ>« = 0М, г,*е г+. (0.9)

к=г 1=з

Тогда существует /о £ С*[0,1)2; такая что

шы(/)оо < Сшм, к,1е%+,

и

ОО 00

<(р) > с Е Е ^ЫтО1-^2, г,з е г+.

к=г+1 г=в+1

Теорема 3.2.3. 1) Пусть 1 < р < 2, / € £"[0,1)2, 2 < и < оо, тогда

<W-i.rn.-iCp,/) < С^^КДЛ^^т,)1-^2.

а;=0 /=0

2) Пусть I < р < 2, убывает по к и по I, иц > 0 при всех

оо оо

к,1 € Если ряд ]С расходится и выполняется условие

к=О /=0

типа Бари

ОО 00

Е Е ^ -

то найдется /о € С*[0, I)2, такая что ^(/о)оо < С^ы, к, I 6 и

г а

<W-I.rn.-1 (р, /) > ^ £ £ ^(^т,)1-"/2, Г, 5 € N.

¿=1 г=1

Часть а) теоремы 3.2.1 и часть 1) теоремы 3.2.3 являются аналогом результатов Л.П. Кагадий [41] для двойных тригонометрических рядов. Более существенными являются части б) и 2) этих теорем, где утверждается неулучшаемость оценок из частей а) и 1) соответственно.

Теорема 3.2.4. Пусть 1 < р < 2, 1/р + 1/д = 1, / <Е С*[О, I)2 и

(ГгЛР) = 0{шгз), где убывает по к и по I, соц > 0. Если ряд

ОО 00

А=0 /=0

сходится и

ОО 00

Е Е ик1(ткггц)1/9 = О (иГЗ(тгт3)1/д^ , е

А:=г /=з

то

шм(Лоо = о (шкЛгпкГТп)1^ , к, I € Х+,

и

"«(/)« = О(^),

Теорема 3.2.4 представляет собой пример обратной теоремы Лоренца, которая по убыванию сумм из коэффициентов Фурье устанавливает принадлежность функции классам типа Гельдера.

Результаты главы 3 опубликованы в [70], [71], [74], [75].

Глава 1

Оценки наилучших приближений и приближений углом для простых и двойных рядов Фурье по мультипликативным системам

1.1. Вспомогательные утверждения

Лемма 1.1.1. 1) Пусть х е [0,1), п € Тогда

Апп(я) = гппХ[ од/тп)(я),

где Хе — характеристическая функция множества Е. Как следствие, для / € Ь1[0,1) имеет место формула

ЗтЛЛ(х) = тп

ДО (Й.

/<»>(®)

2) Для п Е N и х € (0,1) справедливо неравенство

|Д|(а01 < Щх,

где р{ < N для всех г 6 N. Как следствие,

II А»||р < Сп1~1'р, 1 < р < 00.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Фадеев, Роман Николаевич, 2014 год

Литература

1. Walsh J. L. A closed set of normal ortogonal functions / J. L. Walsh // Amer. J. Math. - 1923. - Vol. 45.- Pp. 5-24.

2. Виленкин H. Я. Об одном классе полных ортогональных систем / Н. Я. Ви-ленкин // Изв. АН СССР. Сер. матем..- 1947.-Т. 11.- С. 247-262.

3. Price J. J. Certain group of orthonormal step functions /J.J. Price // Canad. J. Math.. - 1957. - Vol. 9, no. 3. - Pp. 413-425.

4. Голубое Б. И. Ряды и преобразования Уолша: Теория и применения / Б. И. Голубов, А. В. Ефимов, В. А. Скворцов. — М. :Наука, 1987.

5. Агаев Г. Н. Мультипликативные системы функций и гармонический анализ на нуль-мерных группах / Г. Н. Агаев, Н. Я. Виленкин, Г. М. Джафарли, А. И. Рубинштейн. — Баку: Элм, 1981.

6. Schipp F. Walsh series. An introduction to dyadyc analysis / F. Schipp, W. R. Wade, P. Simon. — Budapest: Akademia Kiado, 1990.

7. Зигмунд А. Тригонометрические ряды / А. Зигмунд. — М.:Мир, 1965.— Т. 1.

8. Зигмунд А. Тригонометрические ряды / А. Зигмунд. — М.:Мир, 1965. — Т. 2.

9. Бари Н. К. Тригонометрические ряды / Н. К. Бари. — М.:Физматгиз, 1961.

10. Aljancic S. On the integral moduli of continuity in Lp (1 < p < oo) of Fourier series with monotone coefficients / S. Aljancic // Proc. Amer. Math. Soc. — 1966. - Vol. 17, no. 2. - Pp. 287-294.

11. Aljancic S. Über die Stetigkeitsmodul von Fourier-Reihen mit monotonen Koeffizienten / S. Aljancic, M. Tomic // Math. Zeitschr. — 1965. — Vol. 88, no. 3. — Pp. 274-284.

12. Кокилашвили В. М. О приближении периодических функций / В. М. Ко-килашвили // Труды Тбилисского матем. института.— 1968.— Т.34.— С. 51-81.

13. Вуколова Т. М. О свойствах сумм тригонометрических рядов с монотонными коэффициентами / Т. М. Вуколова, М. И. Дьяченко // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Матем., механ. — 1995. — №3. — С. 22-32.

14. Вуколова Т. М. Оценки норм сумм двойных тригонометрических рядов с кратно монотонными коэффициентами / Т. М. Вуколова, М. И. Дьяченко // Изв. вузов. Матем. — 1994. — №7. — С. 20-28.

15. Moricz F. On Walsh series with coefficients tending monotonically to zero / F. Moricz // Acta Math. Hung. - 1983. - Vol. 38, no. 1-4. - Pp. 183-189.

16. Moricz F. On double cosine, sine and Walsh series with monotone coefficients / F. Moricz // Proc. Amer. Math. Soc. — 1990. — Vol. 109, no. 2. — Pp. 417-425.

17. Кокилашвили В. M. О наилучших приближениях функций полиномами Уолша и коэффициентах Уолша-Фурье / В. М. Кокилашвили // Bull. LAcademie Polon. Sei. Ser. sei math.,astr et phys.— 1965. — Vol. 13, no. 6.— Pp. 405-410.

18. Тиман M. Ф. О вложении классов функций, определенных на нуль-мерных группах / М. Ф. Тиман, А. И. Рубинштейн // Изв. вузов. Матем. — 1980. — т. - с. 66-76.

19. Тиман М. Ф. Свойства некоторых ортонормированных систем / М. Ф. Ти-ман, К. Тухлиев // Изв. вузов. Матем. — 1983. — №9. — С. 65-73.

20. Watari С. On generalized Walsh- Fourier series / С. Watari // Tohoku Math. J. - 1958. - Vol. 16, no. 3.- Pp. 211-241.

21. Волосивец С. С. О некоторых условиях в теории рядов по мультипликативным системам / С. С. Волосивец // Analysis Math. — 2007. — Т.ЗЗ, по. 3. — С. 227-246.

22. Агафонова Н. Ю. О наилучших приближениях функций по мультипликативным системам и свойствах их коэффициентов Фурье / Н. Ю. Агафонова // Analysis Math. - 2007. - Т.ЗЗ, по. 4. - С. 247-262.

23. Chen Y. On the integrability of functions defined by trigonometric series / Y. Chen // Math. Zeitschr. - 1956. - Vol. 66, no. 1. - Pp. 9-12.

24. Askey R. Integrability theorems for Fourier series / R. Askey, S.<„Wainger // Duke Math. J. — 1966. — Vol. 33, no. 2. — Pp. 223-228.

25. Izumi M. Modulus of continuity of functions defined by trigonometric series / M. Izumi, S. Izumi //J. Math. Anal. Appl— 1968.- Vol. 24, no. 3.— Pp. 564-581.

26. Boas R. P. Integrability theorems for trigonometric transforms / R. P. Boas — Berlin: Springer- Verlag, 1967.

27. Leindler L. A new class of numerical sequences and its applications to sine and cosine series / L. Leindler // Analysis Math. — 2002.— Vol. 28, no. 4.— Pp. 279-286.

28. Tikhonov S. Trigonometric series with general monotone coefficients / S. Tikhonov // J. Math. Anal. Appl. - 2007. - Vol. 326, no. 1.- Pp. 721-735.

29. Yu D. On Z^-integrability and convergence of trigonometric series / D. Yu, P. Zhou, S. Zhou // Studia math. — 2007. — Vol. 182, no.3.- Pp.215-226.

30. Aljancic S. Approximation of continuous functions by typical means of their Fourier series / S. Aljancic // Proc. Amer. Math. Soc. — 1961. — Vol. 12, no. 5. — Pp. 681-688.

31. Никольский С. M. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения / С. М. Никольский. — М.:Наука, 1977.

32. Потапов М. К. О взаимосвязи некоторых классов функций / М. К. Потапов // Мат. заметки. - 1967.-Т. 2, №4.- С. 361-372.

33. Потапов М. К. О вложении и совпадении некоторых классов функций / М. К. Потапов // Изв. АН СССР . Сер. матем.- 1969.- Т. 33, №.— С. 840-860.

34. Volosivets S. S. Fourier-Vilenkin series and analogs of Besov and Sobolev classes / S. S. Volosivets // Annales Univ. Sci. Budapest. Sect. Сотр. — 2010,— Vol. 33. Pp. 343-363.

35. Потапов M. К. Модули гладкости и коэффициенты Фурье периодических функций одного переменного / М. К. Потапов, М. Бериша // Publ. Inst. Math. (Beograd). - 1979. - Vol. 26 (40). - С. 215-228.

36. Бериша M. О коэффициентах Фурье некоторых классов функций / М. Бериша // Glasnik Mat. Ser.II. - 1981. - Vol. 16(36).- С. 75-90.

37. Бериша М. Необходимые условия коэффициентов Фурье периодических функций, принадлежащих В(р, в, к, а) - классам типа Бесова / М. Бериша // Publ. Inst. Math.(Beograd). — 1984.- Vol. 35(49).- С. 87-92.

38. Бериша М. Оценка коэффициентов Фурье функций, принадлежащих классам Бесова / М. Бериша // Publ. Inst. Math.(Beograd). — 1985.— Vol. 38(52).-С. 153-157.

39. Lorentz G. G. Fourier-Koeffizienten und Funktionenklassen / G. G. Lorentz. // Math. Zeitschrift. — 1948. — Vol. 51. - Pp. 135-149.

40. Szasz 0. Ueber den Konvergenzexponent der Fourierschen Reihen. / 0. Szasz // Münch. Sitzungsberichte. — 1922. — Pp. 135-150.

41. Кагадий JI. П. Классы функций Лр(а, ß) и коэффициенты Фурье / JI. П. Ка-гадий // Укр. матем. журнал. - 1974. - Т. 26, №3. — С. 367-374.

42. Конюшков А. А. Наилучшие приближения тригонометрическими полиномами и коэффициенты Фурье. / А. А. Конюшков // Мат. сб. — 1958. — Т. 44, №1, — С. 53-84.

43. Кагадий Л. П. Коэффициенты Фурье и модули гладкости функций двух переменных / JI. П. Кагадий // Уч. записки Тартуск. ун-та.— 1970. — Т. 253. - С. 229-243.

44. Виленкин Н. Я. Одна теорема Стечкина об абсолютной сходимости и ряды по характерам нульмерных абелевых групп / Н. Я. Виленкин, А. И. Рубинштейн // Изв. Вузов. Матем. — 1975. — №9. — С. 3-9.

45. Weisz F. Martingale Hardy spaces and their applications in Fourier analysis / F. Weisz. // Lecture Notes in Math. Berlin: Springer. — 1994. — Vol. 1568.

46. Конюшков А. А. О наилучших приближениях при преобразовании коэффициентов Фурье методом средних арифметических и о рядах Фурье с неотрицательными коэффициентами. / А. А. Конюшков // Сиб. матем. журнал. — 1962.-Т. 3, М.-С. 56-78.

47. Chao J. A. Hardy spaces on regular martingale / J. A. Chao. // Lecture Notes in Math. Berlin-New York: Springer- 1982. —Vol. 939. — Pp. 18-28.

48. Moricz F. On the integrability of double Walsh series with special coefficients / F. Moricz, F. Schipp, W. R. Wade. // Michigan Math. J. — 1990. — Vol. 37, no. 2.-Pp. 191-201.

49. Харди Г.Г. Неравенства / Г. Г. Харди, Дж. Е. Литтлвуд, Г. Полна. — М.: Изд-во иностр. литературы, 1948.

50. Iofina Т. V. On the degree of approximation by means of Fourier-Vilenkin series in Holder and LP norm / Т. V. Iofina, S. S. Volosivets 11 East J. Approx.— 2009. - Vol. 15, no. 2. - Pp. 143-158.

51. Tateoka J. The modulus of continuity and the best approximation over di-adic group / J. Tateoka // Acta. Math. Hung.— 1992.— Vol. 59, no. 1-2.— Pp. 115-120.

52. Moricz F. Approximation by double Walsh polynomials / F. Moricz // Internat. J. Math. Math. Sci. — 1992. — Vol. 15, no. 2. - Pp. 209-220.

53. Волосивец С. С. Абсолютная сходимость простых и двойных рядов Фурье по мультипликативным системам / С. С. Волосивец // Известия Саратовского университета, Сер. Матем. Мех. Информ. — 2009.— Т.9, №3.— С. 7-14.

54. Leindler L. Best approximation and Fourier coefficients / L. Leindler // Analysis Math. - 2005. - Vol. 31, no. 2. - Pp. 117-129.

55. Fridli S. On the rate of convergence of Cesaro means of Walsh-Fourier series. / S.Fridli // J. Approxim. Theory. — 1994. - Vol. 31, no. 1. Pp. 31-53.

56. Качмаж С. Теория ортогональных рядов / С. Качмаж, Г. Штейнгауз. — М.: Физматгиз, 1958.

57. Leindler L. Generalization of inequalities of Hardy and Littlewood / L. Leindler // Acta Sci. Math.(Szeged)— 1970.— Vol. 31, no. 3-4.— Pp. 279-285.

58. Leindler L. Inequalities of Hardy-Littlewood type / L. Leindler // Analysis Math. - 1976. - Vol. 2, no.2. - Pp. 117-123.

59. Лебедь Г. К. О тригонометрических рядах с коэффициентами, удовлетворяющими некоторым условиям / Г. К. Лебедь // Мат. сб. — 1967. — Т.74, М.-С. 100-118.

60. Schipp F. On Z^-convergence of series with respect to product systems / F. Schipp // Analysis Math. — 1976. — Vol. 2, no. 1. — Pp. 49-63.

61. Виленкин H. Я. К теории лакунарных ортогональных систем. / Н. Я. Ви-ленкин // Изв. АН СССР. Сер. матем.- 1949.-Т. 13, №3.- С. 245-252.

62. Стечкин С. Б. О наилучшем приближении некоторых классов периодических функций тригонометрическими полиномами. / С. Б. Стечкин // Изв. АН СССР. Сер. матем.- 1956.-Т. 20, №2.- С. 197-206.

63. Young W.-S. Mean convergence of generalized Walsh-Fourier series / W.-S. Young 11 Trans. Amer. Math. Soc. - 1976. - Vol. 218.- Pp. 311-320.

64. Волосивец С. С. Сходимость рядов Фурье по мультипликативным системам и р-флуктуационный модуль непрерывности. / С. С. Волосивец // Сиб. матем. журнал. — 2006. — Т. 47, №2 — С. 241-258.

65. Leindler L. On the uniform convergence and boundedness of a certain class

of sine series / L. Leindler // Analysis Math. — 2001.— Vol. 27, no.4.— Pp. 279-285.

66. Izumi S. Some trigonometrical series XVIII / S. Izumi, M. Sato // Proc. Japan Acad. - 1956. - Vol. 32, no. 1. — Pp. 20-23.

67. Тихонов С. Ю. О равномерной сходимости тригонометрического ряда. / С. Ю. Тихонов // Мат. заметки.- 2007.- Т. 81, №2.- С. 268-274.

68. Yano К. A note on absolute convergence of Fourier series. / K. Yano // Proc. Japan Acad. - 1963. - T. 39, №2.— C. 65-68.

69. Volosivets S. S. Estimates of best approximations in integral metrics and Fourier coefficients with respect to multiplicative systems. / S. S. Volosivets, R. N. Fadeev // Analysis Mathematica. — 2011. — Vol. 37, no. 3. — Pp. 215-238.

70. Фадеев P. H. Аналоги теорем Лоренца для двойных мультипликативных систем. / Р. Н. Фадеев //Изв. вузов. Матем.— 2012.—№2, — С., 76-85.

71. Фадеев Р. Н. Равномерная сходимость рядов по мультипликативным системам. / Р. Н. Фадеев //Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. — 2013. — Т. 13, №1, ч. 1. — С. 76-85.

72. Фадеев Р. Н. Необходимые и достаточные условия принадлежности классам Бесова-Потапова и коэффициенты Фурье по мультипликативным системам. / Р. Н. Фадеев // Саратов, Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. — 2012. — Т. 12, №4. — С. 41-48.

73. Фадеев Р. Н. Оценки кратных коэффициентов Фурье-Виленкина. / Р. Н. Фадеев // Саратов, Математика. Механика. Сб. науч. тр. — 2013. — Вып. 15. — С. 89-91.

74. Фадеев Р. Н. О некоторых условиях абсолютной сходимости рядов Фурье по мультипликативным системам. / Р. Н. Фадеев // Саратов, Математика. Механика. Сб. науч. тр. — 2008. - Вып. 10. - С. 81-83.

75. Фадеев Р. Н. Условия выполнимости равенства Парсеваля для рядов Фу-рье-Уолша. / Р. Н. Фадеев // Саратов, Исследования по алгебре, теории чисел, функциональному анализу и смежным вопросам. Межвуз. научн. Сборник. - 2008. - Вып. 5. - С. 17-24.

76. Фадеев Р. Н. Необходимые и достаточные условия принадлежности обобщенным классам Бесова. / Р. Н. Фадеев // Саратов, Исследования по алгебре, теории чисел, функциональному анализу и смежным вопросам. Межвуз. научн. Сборник — 2012. — Вып. 7— С. 9-21.