Асимптотические методы в исследовании краевых задач обыкновенных дифференциальных уравнений тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат наук Абуд Ахмед Ханун

• Абуд Ахмед Ханун
• кандидат наук
• 2019

Оглавление диссертации кандидат наук Абуд Ахмед Ханун

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА I. К ОБЩЕЙ ТЕОРИИ РЕГУЛЯРНЫХ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ПУЧКОВ

ОПЕРАТОРОВ

§ 1. Предварительные сведения

§ 2. Определение класса регулярных дифференциальных пучков

§ 3. Матрица Грина и решение неоднородной задачи

§ 4. Нули А(Л) и ее асимптотика

§ 5. Асимптотика решений неоднородной задачи

§ 6. Вычисление предела интегралов по контурам Ту от решения

у( X, к, Л)

§ 7. Разложение произвольной вектор-функции

§ 8. Задача для дифференциального пучка любого порядка

§ 9. Теоремы равносходимости

§ 10. Некоторые простейшие примеры квадратичных пучков, связанные с общей теорией

ГЛАВА II. НЕКОТОРЫЕ ТИПЫ РЕГУЛЯРНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ С КРАТНЫМИ ХАРАКТЕРИСТИКАМИ

§ 1. Введение

§ 2. Задача с трехкратным корнем характеристического уравнения пучка третьего 45 порядка

§ 3. Четырехкратная разложимость по корневым элементам дифференциального пучка с четырехкратной характеристикой

§ 4. п-кратная разложимость по корневым элементам

дифференциального пучка с n-кратной характеристикой

§ 5. Задача с двумя двукратными характеристического уравнения пучка четвертого порядка

ГЛАВА III. Задачи, связанные с приложением асимптотических ^ методов в решении задач математической физики

§ 1. Дифференциальные операторы с разделяющимися переменными

§ 2. Многомерная смешанная задача

§ 3. Интегральное представление функций решением обыкновенной линейной дифференциальной системы с параметром на полуоси

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Асимптотические методы в исследовании краевых задач обыкновенных дифференциальных уравнений»

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы. Спектральная теория краевых задач для обыкновенных линейных дифференциальных операторов и пучков таких операторов восходит к работам Фурье, Пуассона, Коши, г. Биркгофа, Я.Д. Тамаркина, М.В. Келдыша, А.В. Ильина, А.А. Самарского, А.Г. Костюченко, В.А. Садовничева, А.П. Хромова, Н. Данфорда, В. Эбергарда, Г. Фрейлинга, А.А. Шкаликова и многих последователей. В большинстве случаев подробному изучению подвергались вопросы, связанные с проблемами полноты и базисности систем корневых элементов операторных пучков типа Келдыша. В работах А.И. Вагабова [5] - [10] детально изучены пучки дифференциальных операторов, частными случаями которых являются пучки Келдыша.

Асимптотические методы, начиная с Лиувилля, заключаются в том, что не обязательно иметь точное выражение для резольвенты задачи, а достаточно иметь ее асимптотическое представление. Существенное развитие указанных методов нашло отражение в работах Г. Биркгофа и его учеников [52], [59], [54], [55]. Ими определены «регулярные» краевые задачи с параметром. Велись исследования и в случае простейших нерегулярных задач третьего порядка, на которые обратил внимание А.П. Хромов, [48]. Дальнейшее развитие и обобщение нашло отражение в работах вышеуказанных авторов. Особо отметим работы [30], [31], в которых впервые затронут вопрос о и-кратных разложениях и п-кратной полноте системы корневых векторов пучков линейных операторов в гильбертовом пространстве. Эти работы имели большое влияние на последующее развитие спектральной теории. Оно отражено в работах Дж.Э. Алахвердиева [4], С.

4

Агмона [52], М.Л. Расулова [42], М.Г. Гасымова и А.М. Магеррамова [16], В. Эбергарда [54], Данфорда и Дж. Шварца [18] в статьях [9], [15], [28].

Цель работы: Выявление естественных новых классов регулярных краевых задач, у которых характеристические корни основного дифференциального выражения не являются простыми. В свою очередь желательно иметь в будущем более общую теорию в данном трудном направлении.

Научная новизна. Создана общая теория регулярных спектральных задач с трех- и четырехкратными характеристиками для пучков соответствующих порядков. Выработаны некоторые общие методы в данном новом направлении, относящиеся к исследованию резольвенты задачи.

Опираясь на спектральную теорию, изложенную в первой главе, осуществлен метод разделения переменных в решении многомерных несамосопряженных смешанных задач с разделяющимися переменными и найдена эффективная формула, обобщающая все известные формулы решений в частных ситуациях.

Методы исследования, - методы теории аналитических функций, асимптотические методы дифференциальных уравнений и функционального анализа.

Теоретическая и практическая ценность. Разработаны начальные этапы изучения спектральных задач обыкновенных дифференциальных операторов с кратными характеристиками.

Спектральная теория дифференциальных операторов имеет приложения в аэронавтике [56], математической физике [6], [7], квантомеханической теории рассеивания, в изучении процессов, происходящих в атомных реакторах и др.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на международных конференциях:

1) XXII междунар. конф. "Математика. Экономика. Образование". 27.05-3.06. 2014 г. Махачкала, 2014.

2) VII междунар. конф. "ФДУ и их приложения" 21-24.09.2015 г. Махачкала, 2015.

3) XXIII междунар. конф. "Математика. Экономика. Образование". 27.05-3.06. 2016 г. Махачкала, 2016.

Также на семинарах кафедры алгебры и геометрии ДГУ.

4) Межд. конф. « Воронежская зимняя математическая школа ». С.Г. Крейна , 2018.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 8 работ, четыре из них в журналах списка ВАК. Из совместных с руководителем работ в диссертацию вошли в основном результаты полученные автором самостоятельно под руководством Вагабова А.И.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы. Объем работы составляет 95 страниц, библиография - 63 наименований.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении отражены актуальность, содержание, научная новизна, теоретическая и практическая ценности работы, а также ее апробация.

В первой главе дается анализ понятия регулярности для наиболее общих параметрических пучков обыкновенных линейных дифференциальных операторов вида

I*0 Акок (х) ^-Арг = 0, а < х < Ь

Мк1 V

ко ^ Р-1 к0 + к1 ^ Р

(1)

при граничных условиях

I *

к1 < р-1 к0 + к1 ^ Р

а

к0,к1 Л 1V

йхкх

+д

к0,к1 Л 1V

х=а

х=Ь

= 0,

(2)

0

<

>

где Ak0,k1 (x)— n x n матричные функции, ak°,kl,ßk0,k (x)— np x n - матрицы. Известной процедурой [40, с. 65] нормировки граничных условий, строится их определяющая (np x 2np) матрица: а, ß. Соображениями простоты изложения, рассуждения здесь относим к случаю скалярного пучка, n = 1, предполагая, что р- корни характеристического уравнения

A(0)(x)pp + A1,p—1(x)pp—1 +... + Ap-1,1 (x)p -1 = 0 (3)

различны при всех x, отличны от нуля, их аргументы и аргументы их разностей не зависят от x. Для этих корней прямые dy : Re Лр^ = Re Лру, и

прямые d : Re Лрг = 0 разбивают Л -плоскость на конечное число секторов S, в каждом из которых при некоторой нумерации р -корней справедливы неравенства:

Re Лр1 (x) <... < Re Лрт (x) < 0 < Re Лрт+1 (x) < .Re Лрp (x) (4)

Легко установлен необходимый признак регулярности (т.е. p -кратной базисности корневых функций задачи (1), (2)):

min (rank а, rank ß) > max т (5)

Заметим, что во всех известных нам случаях условие (5) оказывается достаточным, хотя общее доказательство этого мы не имеем.

Пример. Иллюстрирующий признак (5):

v"(x )—Л2v(x) = 0, v(o) = v(l) = 0, 0 < x < 1 связанный с задачей колебания конечной струны. Здесь р корни имеют вид Л2=±1. В этом примере Л-плоскость разбивается лишь на два сектора S , S - левая и правая полуплоскость в каждой из которых имеется по одному характеристическому корню (1 либо (2. Матрица (а, ß) имеет вид (0 0;0 0^

q j • q j и неравенство (5) очевидно, так как max т = 1. В конце главы I приведены теоремы наиболее общего характера.

Теорема 6. Пусть к(х)- произвольная суммируемая на (а, Ь) р -вектор-функция. Если задача (1) - (2) регулярная, то ряд Фурье по корневым функциям этой задачи покомпонентно сходится в точке при тех же условиях и к тому же пределу, что и классические ряды Фурье от компонент. Сходимость будет равномерной на любом компакте из (а, Ь), на

котором ряды Фурье от компонент сходятся равномерно.

Теорема 7. Если все корни характеристического уравнения (3) имеют равные модули, то для регулярной задачи (28) - (29) разложение суммируемой вектор-функции по главным функциям этой задачи равномерно равносходится с ее разложениями в тригонометрические ряды.

Глава завершается приведением простейших примеров квадратичных пучков, связанных с общей теорией и носящих уникальный характер.

Отметим, что в принципе общее содержание первой главы принадлежит моему научному руководителю Вагабову А.И. и отражено в его докторской диссертации. В предлагаемой же диссертации произведена существенная переработка, как по форме, так и по содержанию, в частности касающихся ряда примеров. Помимо сказанного эта глава находится в неразрывном контексте с материалом последующего изложения.

Вторая глава является центральной, как по месту, так и по содержанию. Она относится к почти неизученной части, - спектральной теории обыкновенных линейных дифференциальных пучков с и-кратными корнями характеристических уравнений соответствующих

дифференциальных выражений. Приведено ряд частных задач «регулярного» типа, относящихся к случаям п = 3,4, а также при любом п, но при условии единственности характеристического корня кратности п и распадающихся краевых данных.

§ 2 посвящен задаче с трехкратной характеристикой при периодических граничных условиях:

Л3 (\п лй*У

--* у(х), 0 < х < 1; —-

Лх ) Лх1

= 0, I = 0,1,2 (6)

0

Vих у

Проводится построение и анализ функции Грина задачи. Спектр задачи исчерпывается числами * = 2кт, к е Z. Установлена основная теорема о трехкратном разложении.

Теорема. Пусть / (х), / (х), / (х) трижды непрерывно

дифференцируемые на (0,1) функции и

(х )

Лх

= 0, к = 0,1; л = 0,1,2.

х=0,1

Тогда справедлива формула трехкратного разложения по собственным элементам задачи (1) - (2):

11Ш ** 0(х,4,*)г(4, /*)с1£ = / (х), (7)

¿=0,1,2 v

где / *) = -*/ (4)+3*0(4)-3/№-/(£)+3/(4)-/2 (4), С -

последовательность окружностей с центром в начале *-плоскости и радиусами Яу = ^ +V = 1,2,3,..., G(x, 4, * - функция Грина.

§ 3. Этот параграф отнесен к вопросу регулярности пучка четвертого порядка:

'а

— * Лх

у(х), 0 < х < 1 (8)

V ых у

при периодических граничных условиях

у(к)(0)-у(к)(1)= 0, к = 0,3 (9)

Для функции Грина выделением главной части g(x,4,*), (так называемая функция Коши), производится разбиение в сумму:

о(х,4*)= g (х,4*)+^хл* (10)

В предположении девятикратной дифференцируемости функции / (х), а также /(к^х) 01 = 0 при к = 0,9 , доказывается справедливость равенства

} о(х,4,Л)/(4)—4\С =

/ (х ). £(х, /)

Л Л

(11)

( о

на окружностях С : |Л| = 2л V + — и где ?(х,Л)^ 0 при V ^ю равномерно

V 2 у

по х е (0,1) при V ^ю. Доказана основная

Теорема. При указанных условиях на каждую из четырех функций / (х), I = 0,3, справедлива формула четырехкратного разложения по собственным функциям задачи (8) - (9):

, 1 _ Нш^ \Л—л\о(х,%лУ(4,/,Л)—4 = /(х), * = 0,3, (12)

где

^ (4, /, л)=л3 /0 (4) - 4Л2/0 (4)+61/0(4) - 4/0" (4)+ + л2/— (4)-4Л/— (4)+б//—(4)+ л/2 (4)-4/2 (4)-/з (4)

и сходимость в (12)

равномерна на (0,1).

§ 4 относится к элементарному пучку с п-кратной характеристикой. Решается задача п-кратного разложения п произвольных функций по корневым (производным цепочкам) элементам краевой задачи с и-кратным корнем основного характеристического уравнения. При этом все краевые условия, кроме одного, задаются на одном конце (что недопустимо с точки зрения обычных регулярных задач из первой главы). Задача имеет вид:

/ 1 у

— -Л I у(х) = 0,0 < х < 1 (13)

V —х у

х

С,

и. (у)-и (у )-

с!'-1 у

л-1

= 0, л = 1, п -1

х=0

^-1у

Лх

п-1

,-1 ^-1 у

х=1

Лх

п-1

(14)

0

х=0

Важным моментом задачи является наличие элементарного представления для функции Коши g(х,4,*) уравнения (13). Используя известное выражение функции Грина, спектр задачи находится как нули знаменателя этой функции:

вх-\п

(п-1)!),

Д*) = 2!-3!---(п-

то есть * = 1п(п -1)!+2яу/, V = 0,+1,+2... Расчетами получено представление

0( х, 4, * = g (х, 4, *)

(- х )п-1е*,х _ \]вл - (п -1)!)

1 (х

(х -4)п-1е*( х-4)

Лх

п-1

(15)

х=1 у

для функции Грина. Для V/(х), 0 < х < 1, дифференцируемой непрерывно и раз и такой, что /(к)(х)х_01 = 0 при к = 0, п -1 установлено равенство

}в(х,4,*)/(4)4 + , где е(х,*) ^0 при вне

0 * *

8 окрестности спектра задачи.

При формулировке основной теоремы используется выражение

п-¿-1

Т (- 1)Р " гкЦк 4

п-1 к=0 к

Р (4, / ,*) = I--,

¿=0

*

относящееся к и функциям /0, /1,...,/п-1.

Теорема. Пусть /0,/[,...,/п- - функции, имеющие и непрерывных производных, на (0,1). Считаем, что /(к= 0, к = 0, п -1. Справедлива формула и-кратногоразложения по корневым элементам задачи (13) - (14).

- lim \AsdA\ G(x,f,A)F(f, f,A)df = fs (x), (16)

s=0,n—1 Z^V — 1 Cv 0

где C- окружность с центром в начале комплексной A -плоскости

, v = 1,2, • -. Сходимость в (16) равномерная

радиуса на (0,1).

1

ln2 (n — 1)+4ж'

i -[\2 v + -v 2 У

§ 5. Это единственный параграф, посвященный задаче с двумя кратными корнями характеристического уравнения спектральной задачи четвертого порядка. Здесь пришлось преодолевать отсутствие элементарного представления для функции и как следствие трудности требующие точности вычислительных процедур, связанных с этой функцией. Преодоление этих трудностей привело к положительному результату.

Выскажемся подробно. Предметом изучения является операторный

пучок

I (y )-

fdL

dx2

л2

А2

y(x), 0 < x < 1; y(1)= 0,

ds—2 y(x)

dx

s—2

0, s = 2,3,4 (17)

x=0

Опираясь

на

фундаментальные

решения

Ax

y = e ,

Ax —Ax —Ax

y2 = xe , y3 = e , y4 = xe строится функция Коши.

g (x,f,A)=

g (x,f,A) = 0

У^ЬУ4 (f

y1(f)-У4 (f yf(f)-у4 (f

y1(x Ь'У4 (x )

при x <f

при x >f

(18)

Написанное выражение используется при Яе Л> 0. Аналогичное выражение используется при Яе Л< 0. Вычисление определителя g(х, 4, Л) дает

g (x,f, А) = — eA( x—f) + eA(x—f) + ^f1 e-A(x—f)+-^e~A(x—f)

v 7 8A 4A 8A 4A

Обращаясь к выражению функции Грина G(x,£,Ä) = у где

Д(а) = -4А2]еА + [1]е_А ], находятся собственные числа задачи: Äfc « Л, k е Z, |k| >> 1, а также, выделяя главную часть функции Грина, приходим к доказательству теоремы.

Теорема. Пусть f (x), 0 < x < 1 четырехкратно непрерывно

дифференцируемые функции, равные нулю вместе со всеми производными на концах промежутка (0,1). Справедлива формула 4-кратного разложения по корневым функциям пучка (17):

- lim\Xdk\G(x,4A)id% = f(x), (20)

2лл/-1 Cv 0 к=0 А

__" dt= f (x

«=0,и-1 2Лл/ — 1 Cv 0 к=0

Ä=0,3

Глава 3 относится к приложениям спектральной теории к решению задач математической физики. Подобные задачи рассматривались и ранее, см. например, [6], [7]. Первый параграф относится к построению решения многомерной спектральной задачи.

£ i A (xk + Bk (xk + Ck (xk )vl - A2v =

k=1 [ öxk cxk J

= V°(x1 ••• x(x1 ••• x), ak <xk <¿k, Ak(xk)>0, (21)

v(x • - x ) = 0, k = 1, n (22)

V 1 n*xk=ak Jbk ' ' V 7

В свою очередь задача (21), (22) сводится к одномерным регулярным спектральным задачам. При наших условиях каждая из этих задач:

А (хк)с12 X 2(хх)+Вк х)+Ск (хк )хк (хк) - м2к хк (хк )=мА (хк) (23)

ахк

Хк (а ) = Хк (Ьк ) = 0, где цк, к = 1, п - комплексный параметр является регулярной спектральной задачей в смысле первой главы. Обозначая через

13

Ок (хк , ¡ик) - функцию Грина задачи (23) и еу - замкнутый контур в цк -плоскости, окружающий единственный ее полюс ц , вводится проектор

-1 Ьк

Рисса: РУк (Ь(хк )) = \ (хк )=— ¡Ц I (хк ,4к, Мк )х Лк\4к №к ) ,

Сук ак

относящийся к корневому подпространству, соответствующее ц . Для произвольной функции к(х\ ••• хп), к ••• хп) означает результат

последовательного приложения Р к к(х1 ••• хп) в натуральном порядке. Доказана

Теорема. Если функциицрудовлетворяют условию Дини и А(хк ), Б'к, С (хк ) непрерывны, Лк (х)> 0 то решение задачи (21), (22) единственно и представимо в виде

ф, • х„Л) = I <"«п(х' •^ (х' •^) (24)

^•п =1 Ц + ~Л

где имеется в виду прямоугольный способ суммирования.

Во втором параграфе результат § 1 позволяет найти представление для решения смешанной задачи

2 и п I 2 и ^Ои I

=11 Лк (хк + Бк (хк)— + Ск (хк

)и к ак < хк < Ьк (25)

от к=11 охк охк I

и и = 0, к = \п (26)

Ххк =ак ,Ьк ,

и(х1 • хп ,0)=Ц0 (х1 • хп ), ^

оТ

р (х1 • хп ) (27)

Т=0

Полагаем, что

а) Л(хк )> 0 при любых к и хк е[а, Ь ]

14

б) Л'к(хк), Б'к (хк), Ск (хк) - непрерывно дифференцируемые функции при хк е[ак, Ьк],

в) ц0,^1 - функции, обладающие непрерывными производными, соответственно, второго и первого порядков, равными нулю на границе вместе с самими функциями.

Решение задачи (25) - (27) единственно и имеет представление и(х1 • • • хп , I) =

^^ ( о / \ 1 / \\sskА^ ^ Т

= 2 п I Ц ...уп (x1,•, хп )х склуу-у/ + цп ...у„ (x1,•, хп ,Л)] О 1 п

УуУп =1 п п

Показано, что в частных случаях, к примеру, при п = 2, эта формула совпадает с широко известной формулой из книги [44, с. 520].

В § 3 дано приложение асимптотических методов в построении явных выражений для решения задачи Коши в случае гиперболической системы с переменными коэффициентами:

Л(х)— = — + Л (х)и + Ф(х, Т), 0 < х <да (28)

& дх

и(х,0) = ^ (х), (29)

где и(х, Т), Л(х), Ф(х,Т) - п х п - матричные функции, причем:

1) Л' (х ), Л к (х), (х) - суммируемые и покомпонентно

dx

ограниченные на [0, да) функции;

дхдТ

F(x)еW^(0, да), 0—е (Ь2(0,да)х(0,Т)), Ф(0,Т)= 0.

2) Корни ф1 (х) уравнения ёе!(Л(х)-фЕ) = 0 вещественны, при Ух е[0, да) и ф1 (х) <... < фт (х) < фг+1 (х) < ...фп (х).

Задаче (28) - (29) ставится в соответствие дифференциальная система с параметром Л:

Ь(У) = У' - *А(х)У + А1(х)7 = р (х), 0 < х < да . (30)

Обосновывается существование фундаментального матричного решения системы Ь(У) = 0, вида:

х

У (х,*)= {м (х) + Е(х,*)}ехр * Б{4) Л4, (31)

0

г 1 л

где Б(х) - диагональная форма матрицы, А(х), Е (х, *) = 0 — , при * >> 1, а М (х )

- матрица, трансформирующая А(х) в С помощью выражения

(31) получено представление

х

у (х, р, *) = | ут(х,*)у _1(4,*) р(4) И4-\ Уп "г(х, *)у (4, (4) ¿4, (32)

0 х

для решения уравнения (30). Здесь Ут - матрица, у которой первые т столбцов совпадают с первыми же т столбцами У (х,*), а остальные

столбцы - нулевые, в Уп-т последние п -т столбцов взяты из У(х,*), а первые т столбцов - нулевые.

Используя формулу (32) доказывается формула интегрального представления типа Лапласа для функции р (х):

р(х)=-^ | У(х, F,*)сa, х > 0 (33)

1 Яе *=Н >0

где Т~(х) = А(х )р (х).

На основании формулы (33) приходим к теореме.

Теорема. При условиях 1), 2) решение задачи (28) - (29) однозначно и представимо формулой

1 да ( х 4

и(х,I) = -^= \ е*^!У(х,*У_1(4,*) р(4) + |е-^Ф^т^т

Яе *= Н

ГЛАВА I. К ОБЩЕЙ ТЕОРИИ РЕГУЛЯРНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ПУЧКОВ ОПЕРАТОРОВ

§ 1. Предварительные сведения

Словосочетания "обыкновенные дифференциальные регулярные пучки" (или регулярные операторы) в работах [8], [10] используются вместо терминологии "регулярные краевые условия", известной во времен Г. Биркгофа (относившего эту терминологию к случаю вполне определенного дифференциального выражения и любых краевых условий). Однако, когда речь идет об общих классах дифференциальных выражений и граничных условий, следует говорить о "регулярной краевой задаче", что не делается в широкой литературе. С другой стороны, формулировка регулярности рассматриваемых классов пучков дифференциальных операторов приводилась в практически необозримой форме [42], [46], исключая случай краевой задачи, рассмотренной Биркгофом. В работе [8] проведен анализ данного нами понятия регулярности, позволивший (за редким исключением) элементарно выяснить регулярность задачи, как ее важнейшую характеристику. В работе [27, с. 136] В.А. Ильина, в случае параметрического дифференциального пучка порядка п (пучка Келдыша), установлена

Теорема. Пусть при произвольных граничных условиях на (а,Ь) система собственных чисел такова, что соответствующая система собственных функций \ик (х)} образует базисную систему в Ь2(а, Ь) и пусть

{ук (х)} - биортогональная к ней система. Для У/(х)е (а, Ь) сумма ау(х,/)= Х(/,(х) представляет частичную сумму биортогонального

1<к <у

ряда. ау(х,/)= /(х) при V ^да, если ЦиЦ^С(Б) на любом компакте Б с (а, Ь).

Заметим, что пучок Келдыша - частный тип рассматриваемых нами пучков.

В работах А.П. Хромова [49], [50] доказывается теорема равносходимости ряда по корневым функциям некоторых дифференциальных операторов с обычным тригонометрическим рядом функции / (х) . В данной главе остановимся подробно на теории связанной с широким классом регулярных краевых задач для пучков обыкновенных дифференциальных операторов.

§ 2. Определение класса регулярных дифференциальных пучков

1. Рассмотрим следующую задачу для дифференциального пучка:

^ -X *+1а(к )(х )у = 0, а < х < Ь (1)

ах к=0

X * ]у(а*)+Р{к МЬ*)}= 0, (2)

к=0

где у - ^мерный столбец, а^к)(х),а^(к))- N х N-матрицы. Считаем, что

а2а()Чх) аа^(х) (кч г п --—,а1 )(х) непрерывны на [а,Ь\.

Будем предполагать выполнение двух следующих существенных условий:

1) Корни характеристического уравнения det(a(x)- рЕ) = 0, а(х) = а(0)(х), - всюду различные, отличные от нуля

комплексные функции; их аргументы и аргументы из разностей не зависят от переменной х

Для того чтобы сформулировать второе условие введем сначала понятие "определяющей" Nх 2N матрицы (a,ß) граничных условий. Без

ограничения общности можно считать первые N (о < N < N) строк матрицы

(a(pp)) линейно независимыми, остальные - нулевыми строками. У

(a(p-1),ß(p-1)) можно также считать строки от N До N (N < N < N) -линейно независимыми, последующие - нулевыми строками. У (a(p-2), ß(p-2)) строки от N до N3 (N2 < N < N) - независимые, последующие - нулевые и т.д. Первые N строк (a(p),ß^p)) берем за первые N строк матрицы (a,ß). Строки от номера N2 до N3 берем из соответствующих номеров строк (a(p-2), ß(p-2)) и т.д. Из этих строк и составлена определяющая матрица (a,ß).

Указанная процедура носит название нормализации граничных условий, см. [40, с. 119 ].

Отметим, далее, что для корней р(х),...р(х) характеристического

уравнения прямые d: Re Ар = Re Ар.; или arg А = ± — - arg(^ - р2) и прямые

j j 2

d :Re Ар= 0 разбивают А-плоскость на конечное число секторов S. В каждом секторе S при некоторой нумерации р -корней справедливы неравенства:

Re Ар(х)<... < Re Арт(х)< 0Re Арт+1(х)<... < Re Арм(х). (3)

Пусть m(x)- матрица, трансформирующая a(x) в диагональную: m- (x)a(x)m(x) = [р (х),..., рп (х)]

Очевидно, столбцы m(x) - собственные векторы матрицы a(x), соответствующие собственным значениям р (х).

В дальнейшем будем считать, что выполнено условие:

2) Все определители

mT(a, a, (, b) =

N

N

N

N

j=1

Za1jmj\{a)... Za1jmjr(ajmjT(b)- jmjN(b)

j=1 j=1 j=1 j=1

j=l

N

N

N

N

(4)

ZaNjmj1(aXaNjmjT(aYL(NjmjT+1(bX(NjmjN(b)

j=1

j=1

j=1

j=1

отличны от нуля.

Определение 1. Задача (1) - (2) называется регулярной при выполнении условий 1) - 2), если система (1) не содержит отрицательных степеней Л.

Замечание 1. Заметим, что определители (4) построены для каждого из секторов Б, указанных выше, а г - индексы в неравенствах (3). В данном определении не следует заботиться, о какой конкретной матрице т(х) идет речь. В самом деле, соответственные столбцы двух таких матриц пропорциональны с коэффициентами, не принимающими нулевых значений на [а, Ь]. Поэтому если определитель (4) отличен от нуля для одной из матриц т(х), то это же имеет место для всех таких матриц.

2. Необходимые признаки регулярности.

Предложение 1. Условие

необходимо для регулярности граничных условий (2).

В самом деле, если, например, rank а <т (для одного из индексов т), то по теореме о ранге произведения матриц, примененной к матрице а и

min( rank а, rank () > тахт

(5)

матрице из первых т столбцов матрицы m(a), легко усмотреть, что m (a, a, А ь)=о.

Замечание 2. Весьма важно обратить внимание на прозрачный геометрический смысл величины max т, равной максимальному количеству

характеристических ((x)-корней, могущих попасть внутрь некоторой полуплоскости, ограниченной прямой, проходящей через начало. При этом x фиксируется и в силу наших условий указанное количество не зависит от x.

'N +1"

Заметим также, что

2

<

max т < N. Как простое следствие предложения

1 получаем теперь

Предложение 2. Неравенство

min( rank a, rank А) > необходимо для регулярности задачи.

N +1 2

3. Примеры.

Пример 1. Распадающиеся граничные условия. В этом случае каждое из N условий (2) задается либо на конце a, либо на конце b. При этом, очевидно, необходимо, чтобы

rank a + rank А = N (6)

Совместно с (5) получаем необходимое условие регулярности 2 max т< N. Нетрудно видеть, что последнее возможно лишь при N

N

четном и всех т = —. Отсюда с учетом (5), (6) видим, что необходимыми

условиями регулярности задачи являются равенства

N

т = rank a = rank А = ~ (7)

Распадающиеся граничные условия, для которых выполнены эти соотношения, назовем условиями типа Штурма.

Отметим, что условия (7) выражают некую равноправность граничных условий по отношению к концам а и Ь, а также симметричность расположения < -корней относительно начала.

Пример 2. Граничные условия периодического типа. Так назовем условия вида у(а,Л) = у(Ь,Л) , или более обще - условия 2) с определяющей матрицей (а,р)=(Е,-Е). В этом случае

тТ(а, а, Д Ь) =

т11(а)• • •т 1т(а)• • • т1г+1(ь)- т1м(Ь) тж(атмТ(атмг+1(ь)... тмм(Ь)

(8)

Можно отметить, что для постоянной матрицы а° (х) определители (8) отличны от нуля ввиду условия 1) и, следовательно, в этом случае граничные условия периодического типа всегда регулярны. Однако задача

д-у-Л

ах

х

V X 1 X у

у +

0

V-1 0 у

у = 0, у(-1)= у(1), -1 < х < 1

(9)

показывает, что в общем случае это не так. Укажем без доказательства, что собственные значения задачи (9) все однократны и система ее собственных вектор-функций обладает бесконечным дефектом в (-1,1).

§ 3. Матрица Грина и решение неоднородной задачи, соответствующей (1) - (2)

Пусть к(х) - N -мерный столбец-функция с суммируемыми на

(а, Ь) компонентами. Обозначим а(х)к(х) через к(х) и составим

22

неоднородную задачу с правой частью ~(х) в (1). Запишем ее в компонентной записи:

dyi ^

dx

ЦЛ~к+1а] )(х )у] (х )= ~ (х)

]=1к=0

(10)

I = 1, N

и (у)= I Л Л-к+1^к]У] (а,Л)+]у] (Ь,Л)}= 0.

] =1 к=0

(11)

Во всем последующем изложении задача (10) - (11) считается регулярной в вышеприведенном смысле.

Непосредственно проверяется, что решением задачи (10) - (11) является

Ь N

У (х

(х, кЛ)=\!,01т (х,4,Л)кт (^

(12)

1 т=1

где элементы матрицы Грина От строятся, исходя из некоторой фундаментальной матрицы \у (х,Л)} решений системы (1) и имеют

следующий вид:

а,т (х,{,Л)=А-т^Л), А(Л)= и,, (Л)^,

и

(л)= и (у (х,Л)), у . (х,Л) - ] -ый столбец фундаментальной матрицы,

К (х,4,Л) =

ё т (х,4,Л) Уа (х,Л). у N (х,Л)

(ёт (х,4,Л))х и11 (Л).U1N (Л)

^ (ёт (х,4,Л))х UN1 (Л). (Л)

Индекс за скобкой означает применение функционала Us к gm по икс

(gm -т -ый столбец

/ \ 1 / \ Г+ пРи a <4 < x,

gm (х,д,Л)=±~ ^ Уik (х,Л^Ы дЛ) \ „ _

2 [ — при X < д < Ь,

л)=Wmg), ж(д,л)=,

Жтк(д,Л)- алгебраическое дополнение элемента утк(д,Л) в Ж(д, Л).

Замечание 3. Ввиду суммируемости ^(х), надо было бы более точно обосновать утверждение о том, в каком смысле (12) является решением задачи (10) - (11), но это нам не понадобится.

Согласно теореме Я. Д. Тамаркина [46, гл. 1], в каждом секторе £ Л-плоскости при нумерации корней, обеспечивающих неравенства (3), существует такая аналитическая в ней по Л фундаментальная матрица решений системы (1), которая при больших |Л| имеет асимптотическое представление

Уу (х,Л)=\пу(х)]ехР Л\ф](№

V а

х ею

[а, Ь],

(13)

[[ (х) = т(х). Здесь и в дальнейшем употребляется часто встречающееся

обозначение [М ] = М + О

Г 1 л

При изучении матрицы Грина будем исходить из асимптотики (13).

§ 4. Нули Д(Л) и ее асимптотика

На основании (13), учитывая построение матрицы (а,А), имеем в секторах я:

ияк

(Л) = ЛР

N N

Хая]Щк (а ) + ХРат}к (Ь)

_;=1 _ .3=1 _

е а

,р > р > ... > рн > 0(14)

Подставляя (14) в выражение Д(Л) и опуская в записях знак суммирования по у, получим:

N

X Ря

Д(Л) = Л1 До (Л), где определитель Д0 (Л) имеет вид:

[а1 ]т]\(а)]+ [а]т]\(ь%Лщ .[а1 тл(а)]+ [А тл(ь)]е

(15)

Л

N

N

, (16)

[ал]т]1(а)]+ [Ртт]1(ь%Лщ ..\ал]т]л(а)]+ (ь

ь

™к =\фк№ •

а

Заметим, что в уравнении Д0(Л) = 0 для нахождения собственных значений задачи (1) - (2) асимптотическим выражением (16) можно пользоваться во всей Л-плоскости, так как переход к разным 5 секторам ведет лишь к перестановке столбцов в (16), что не изменяет вида уравнения

До (Л) = 0 (17)

Исследование нулей уравнения (17) проводится на основании следующей леммы.

Лемма 1. Пусть Н(Л) - аналитическая функция в конечной Л-плоскости, кроме Л = 0. Если в секторе 5, содержащем положительную часть мнимой полуоси, она допускает асимптотическое представление

25

ь

<

>

н (л) = [н1 у1Л +...+[нг ,

где Н1 ф 0,Нг ф 0,¡Л1 < ¡л2 <... < /лг, то:

1) Уравнение Н(л) = 0 для любого фиксированного 80> 0 имеет в секторе Б бесконечное число корней Лк (80<Ц<|Л|<...), содержащихся в полосе ПА ограниченной ширины И, заключающей положительную часть мнимой оси, причем справедливо асимптотическое представление

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Абуд Ахмед Ханун, 2019 год

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Абуд, А.Х. Спектральная задача с трехкратными корнями основного характеристического уравнения дифференциального пучка третьего порядка /А.Х. Абуд //Успехи современной науки. Т.1, № 2, 2016. С. 145-147.

2. Абуд, А.Х. Задача с трехкратным корнем характеристического уравнения пучка третьего порядка /А.Х. Абуд, //Материалы межд. конф. « Воронежская зимняя математическая школа ». С.Г. Крейна , 2018. С. 104-105.

3. Абуд, А.Х. О полноте корневых элементов пучков обыкновенных дифференциальных операторов /А.Х. Абуд, //Материалы межд. конф. « Воронежская зимняя математическая школа ». С.Г. Крейна , 2018. С. 105-106.

4. Алахвердиев, Дж.Э. О многократно полных системах и несамосопряженных операторах, зависящих от параметра /Дж.Э. Алахвердиев //ДАН СССР. Т. 166, № 1, 1966. С. 11-19.

5. Алимов, Ш.А. УМН. /В.А. Ильин, Е.М. Никишин Т. 31, № 6. 1976. С. 29-83.

6. Вагабов, А.И. Одна задача колебания конечной струны /А.И. Вагабов //Дифференциальные уравнения. Т. XIX, № 12. 1983. С. 2163-2166.

7. Вагабов, А.И. Условия корректности одномерных смешанных для гиперболических систем /А.И. Вагабов //ДАН СССР, Т. 155, № 6, 1964. С. 1247-1249.

8. Вагабов, А.И. Спектральная теория дифференциальных операторов /А.И. Вагабов, З.А. Абдурахманов. Саарбрюккен: Lap-Lambert, 2012. - 78 c.

9. Вагабов, А.И. Асимптотика решений обыкновенных дифференциальных систем с параметром на полуоси /А.И. Вагабов //Докл. РАН. 2010. Т. 430. № 2. 2010. С. 151-153.

10. Вагабов, А.И. Метод разделения переменных в решении многомерных смешанных задач с разделяющимися переменными /А.И. Вагабов, А.Х. Абуд //Докл. РАН. Т. 456, № 1, 2014. - 4 с.

11. Вагабов, А.И. Асимптотика по параметру решений ОДУ n-го порядка /А.И. Вагабов, А.Х. Абуд //Тезисы XXII междунар. конф. «Математика. Экономика. Образование». Абрау-Дюрсо. Июнь 2014.

12. Вагабов, А.И. Интегральные представления функций решением обыкновенной линейной дифференциальной системы с параметром на полуоси /А.И. Вагабов, А.Х. Абуд //Изв. вузов Сев.-Кавк. региона. Сер. Естеств. науки, № 1, 2014, Ростов-на-Дону. С. 8-10.

13. Вагабов, А.И. Четырехкратная разложимость в ряды Фурье по корневым элементам дифференциального пучка с четырехкратной характеристикой /А.И. Вагабов, А.Х. Абуд //Вестник Дагестанского гос. университета. Сер. Естеств. науки. № 1. 2015. С.34-39.

14. Вагабов, А.И. Спектральная задача регулярного типа с двумя четырехкратными характеристиками /А.И. Вагабов, А.Х. Абуд //Материалы VII междунар. конф. «Функционально-дифференциальные уравнения и их приложения». Махачкала, сент. 2015. С. 46-49.

15. Вишневская, Н.И. Дифференциальное уравнение для четырехточечного корректора /Н.И. Вишневская //Математические заметки. 2014. Т. 96. Вып. 2. С. 170-185.

16. Гасымов, М.Г. О кратной полноте системы собственных и присоединенных функций дифференциальных операторов /М.Г. Гасымов, А.М. Магеррамов //ДАН Азерб. ССР. Т. 30. № 12. С. 9-12.

17. Гохберг, И.Ц. Введение в теорию линейных несамосопряженных операторов / И.Ц. Гохберг, М.Г. Крейн. М., 1965. 448 с.

18. Данфорд, Н. Линейные операторы /Н. Данфорд, Дж.Т. Шварц. М. Т. 3. 1974. - 661 с.

19. Ильин, В.А. О разрешимости разложений по собственным функциям оператора Лапласа /В.А. Ильин //УМН. Т. 13. № 1. 1958. С. 98-154.

92

20. Ильин, В.А. О сходимости разложений по собственным функциям оператора Лапласа /В.А. Ильин //УМН. Т. 13. № 1. 1958. С.87-180.

21. Ильин, В.А. Проблемы локализации и сходимости для рядов Фурье по фундаментальным системам функций оператора Лапласа /В.А. Ильин //УМН. Т. 23. № 2.1968. С.61-120.

22. Ильин, В.А. Необходимые и достаточные условия базисности и равносходимости с тригонометрическим рядом спектральных разложений. I, II /В.А. Ильин //Дифференц. уравнения. 1980.Т. 15. №5. С. 771-794; Т. 16. № 6. С. 981-1009.

23. Ильин, В.А. Необходимые и достаточные условия базисности в ^ и равносходимости с тригонометрическим рядом спектральных разложений и разложений по системам экспонент /В.А. Ильин //ДАН СССР. Т. 273. № 4. 1983. С.789-792.

24. Ильин, В.А. О безусловной базисности на замкнутом интервале систем собственных и присоединенных функций дифференциального оператора второго порядка /В.А. Ильин //ДАН СССР. Т. 273. № 5. 1983. С. 1048-1053.

25. Ильин, В.А. Необходимые и достаточные условия базисности Рисса корневых векторов разрывных операторов второго порядка /В.А. Ильин //Дифференц. уравнения. Т. 22, № 12. 1986. С. 2059-2071.

26. Ильин, В.А., Тихомиров В.В. О базисности риссовских средних спектральных разложений, отвечающих обыкновенному несамосопряженному дифференциальному оператору порядка п /В.А. Ильин, В.В. Тихомиров //Дифференц. уравнения. Т. 18. № 12. 1982. С. 2098-2135.

27. Ильин, В.А. Избранные труды /В.А. Ильин. М.: МАКС/Пресс. 2008. Т.1; Т. 2 (Раздел 5).

28. Капустин, Н.О. О равномерной сходимости ряда Фурье для спектрального параметра в граничном условии /Н.О. Капустин //Дифференц. уравнения. 2010. Т. 46. № 10. С. 1504-1507.

29. Кацнельсон, В.Э. О сходимости и суммируемости по корневым векторам некоторых классов несамосопряженных операторов /В.Э. Кацнельсон //Дис. канд. физ.-мат.-наук. Харьков, 1967.

30. Келдыш, М.В. О собственных функциях и собственных значениях некоторых классов несамосопряженных линейных уравнений /М.В. Келдыш //ДАН СССР. Т. 77. № 1. 1951. С. 11-14.

31. Келдыш, М.В. О полноте собственных функций некоторых классов несамосопряженных линейных операторов /М.В. Келдыш //УМН. Т. 26. №4. 1971. С. 15-41.

32.Костюченко, А.Г. О суммируемости разложений по собственным функциям дифференциальных операторов и операторов свертки /А.Г. Костюченко, А.А. Шкаликов //Функц. анализ. Т. 12. № 4. 1978. С. 24-40.

33. Кравицкий, А.О. О двукратном разложении в ряд по собственным функциям одной несамосопряженной краевой задачи /А.О. Кравицкий //Дифференц. уравнения. 1968. Т. 4. № 1. С. 165-177.

34. Лидский, В.Б. О суммируемости рядов по главным векторам несамосопряженных операторов /В.Б. Лидский //Труды Моск. матем. общества. Т. 11. 1962. С. 3-35.

35. Лидский, В.Б. О разложении в ряд Фурье по главным функциям несамосопряженного эллиптического оператора /В.Б. Лидский //Матем. сборник. Т. 57. № 2. 1962. С. 137-150.

36. Ломов, С.А. Введение в общую теорию сингулярных возмущений /С.А. Ломов. М., 1981. - 400 с.

37. Мацаев, В.И. Несколько теорем о полноте корневых подпространств вполне непрерывных операторов /В.И. Мацаев //ДАН СССР. Т. 155. № 2. С. 273-276.

38. Маркус, А.С. О некоторых признаках полноты системы корневых векторов линейного оператора и суммируемость рядов по этой системе /А.С. Маркус //ДАН СССР. Т. 155. № 4. 1964. С. 753-756.

39. Маркус, А.С. Некоторые признаки полноты системы корневых векторов линейного оператора в банаховом пространстве /А.С. Маркус //Матем. сборник. Т. 70, № 4. 1966. С. 526-561.

40. Наймарк, М.А. Линейные дифференциальные операторы /М.А. Наймарк. М.: Наука, 1969. - 526 с.

41. Печенцев, А.С. Краевые задачи для дифференциальных уравнений, содержащих параметр с кратными корнями характеристического уравнения /А.С. Печенцов //Дифференц. уравнения. 1984. Т. 20. № 2. С. 263-273.

42. Расулов, М.Л. Метод контурного интеграла /М.Л. Расулов. М.: Наука, 1964. - 462 с.

43. Рыхлов, В.С. О скорости равносходимости для дифференциальных операторов с ненулевым коэффициентом при (п-1)-й производной /В.С. Рыхлов //ДАН СССР. Т. 279. № 5. 1984. С. 1053-1056.

44. Оразов, М.Б. Об одной краевой несамосопряженной задаче /М.Б. Оразов //Изв. АН Туркм. ССР, серия физ.-техн., хим. и геолог.наук. 1976. № 2. С. 10-13.

45. Смирнов, В.И. Курс высшей математики /В.И. Смирнов. Т. 2. Гос. изд. физ.-мат. литературы. - М., 1961. - 628 с.

46. Тамаркин, Я.Д. О некоторых общих задачах теории обыкновенных дифференциальных уравнений и разложении произвольных функций в ряды /Я.Д. Тамаркин. Петроград, 1917. - 308 с.

47. Федорюк, М.В. Асимптотические методы для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений /М.В. Федорюк. М., 1983. -352 с.

48. Фихтенгольц, Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления /Г.М. Фихтенгольц. Т. 3. М.: Наука, 1966. - 800 с.

49. Хромов, А.П. Разложение по собственным функциям обыкновенных дифференциальных операторов с нерегулярными распадающимися краевыми условиями /А.П. Хромов //Матем. сборник. Т. 70, № 3. 1966. С. 310-329.

50. Хромов, А.П. О суммируемости разложений по собственным функциям краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения с распадающимися краевыми условиями и об одном аналоге теоремы Вейерштрасса /А.П. Хромов //Обыкновенные дифференциальные уравнения и разложения в ряды Фурье. Саратов, 1968. С. 29-41.

51. Шкаликов, А.А. О полноте и базисности собственных и присоединенных функций краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений /А.А. Шкаликов //Дис. канд. физ.-мат.наук. 1977. - 121 с.

52. Agmon, S. On the eigenfunctions and on the eigenvalues of general al-liptic boundary value problems /S. Agmon //Comm.Apple Math. V. 15. 1962. P. 119-147.

53. Birkhoff, G.D. Boundary value and expansion problems of ordinary linear differential equations / G.D. Birkhoff //Trans. Amer. Math. Soc. 1908. № 9. P. 373-395.

54. Birkhoff, G.D., Langer R.E. The boundary problems and developments with a system of ordinary linear differential equations of the first order /G.D. Birkhoff, R.E. Langer //Proc. Amer. V. 58. 1923. P. 51-128.

55. Eberhard, W. Zur Vollstandigkeit des Biortogonalsystems von Eigenfunktionen irregularer Eigenwertprobleme /W. Eberhard //Math. Z. Bd. 146. 1976. S. 213-221.

56. Flax, A.H. Aerelastic problems at Supersonic Speed /A.H. Flax //Second Internat. Aeronautical Conference. New York. 1949. P. 322-360.

57. Freiling, G. Zur Vollstandigkeit des Systems der Eigenfunktionen und Hauptfunktionen irregularer Operatorbuschel /G. Freiling //Math. Z. Bd. 188. 1984. S.55-68.

58. Freiling, G. Uber die mehrfache Vollstandigkeit des Systems die Eigenfunktionen und assoziierten Functionen in Lj (0,l) / G. Freiling //Z. Angew. Math.

u. Mech. Bd. 65, №5. 1985. S. 336-338.

59. Hopkins, J.W. Some convergent developments associated with irregular boundary conditions /J.W. Hopkins //Trans. Amer. Math. Soc. V. 20. 1919. P. 245259.

60. Jacksen, D. Expansion problems with irregular boungary conditions /D. Jacksen //Proc. Amer. Acad. V. 51. 1916. P. 383-417.

61. Tamarkin, J. Some general problems of theory of ordinary linear differential equations and expansion of an arbitrary function in series of fundamental functions /J. Tamarkin //Math. Zs. V.27. 1927. P. 1-54.

62. Ward, L. An irregular bounded value and expansion problem /L. Ward //Ann. Math. V. 26. 1925. P. 21-36.

63. Ward, L. A third-order irregular boudedary value problem and the associated series /L. Ward //Amer. J. of Math. V. 57. 1935. P. 345-362.