Теория общего регулярного пучка обыкновенных дифференциальных операторов и ее приложения тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Ибрагимов, Мурад Гаджиевич
- Специальность ВАК РФ01.01.02
- Количество страниц 86
Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Ибрагимов, Мурад Гаджиевич
Введение
Глава I. Асимптотика по параметру для решения дифференциальных систем и понятие регулярных пучков.
§ 1. Общая теорема об асимптотике решений систем линейных дифференциальных уравнений с большим параметром.
§2. Следствие асимптотической теоремы, частные случаи.
§ 3. Определение понятия регулярных пучков дифференциальных операторов.
§ 4. Анализ понятия регулярности пучков.
глава II.Разложение произвольных функций в обобщенные ряды Фурье по собственным элементам регулярных пучков операторов.
§1. Функция Грина пучка (27)-(28).
§2. Полюсы функции Грина.
§ 3. Асимптотическое представление функции Грина и вспомогательные леммы.
§ 4. Формула п-кратного разложения по собственным элементам пучка (27)-(28).
глава III. Приложение теории регулярного пучка к решению задач математической физики.
Часть 1. Решение смешанных задач для плоских линейных гиперболических уравнений общего вида методом Фурье-Биркгофа.
§ 1. Построение фундаментального решения и теорема единственности.
§ 2. Теорема существования решения.
§3. Примеры.
Часть 2. Случай параболических уравнений.
§ 1. Построение решения и его единственность.
§ 2. Теорема существования.
§ 3. Частные примеры.
Рекомендованный список диссертаций по специальности «Дифференциальные уравнения», 01.01.02 шифр ВАК
Асимптотические методы в исследовании краевых задач обыкновенных дифференциальных уравнений2019 год, кандидат наук Абуд Ахмед Ханун
Оценки и асимптотики собственных функций обыкновенных дифференциальных операторов2021 год, кандидат наук Владыкина Вероника Евгеньевна
Изучение спектральных характеристик одной несамосопряженной задачи с гладкими коэффициентами2010 год, кандидат физико-математических наук Гаджиева, Тамила Юсуповна
Полнота корневых функций пучков дифференциальных операторов и суммируемость по ним произвольных функций2004 год, кандидат физико-математических наук Галяев, Владимир Сергеевич
Базисность Рисса собственных функций дифференциального оператора со ступенчатой весовой функцией при старшей производной2003 год, кандидат физико-математических наук Ефремов, Игорь Игоревич
Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Теория общего регулярного пучка обыкновенных дифференциальных операторов и ее приложения»
Теория обыкновенного регулярного линейного дифференциального оператора п-го порядка на конечном отрезке была разработана в классических работах Г. Биркгофа [43], [44]. .Широкое обобщение она нашла в работах Я. Д. Тамаркина [31], [51]. Хотя Я. Д. Тамаркин стал фактически рассматривать пучки обыкновенных дифференциальных операторов, он ограничился лишь простыми, однократными разложениями функций в ряды по элементам пучка. Это упущение было наверстано в широко известных работах М. В. Келдыша [21], [22], посвященных пучкам операторов, чуть позже в работах И. Ц. Гохберга, М. Г. Крейна [6], М. Л. Расулова [30] и многих других.
Для широких классов дифференциальных операторов, в том числе в частных производных, оригинальные и завершенные исследования даны в работах В. А. Ильина и его учеников [13]-[20].
С другой стороны, начиная с работ Гопкинса, Джексона, Уор-да [49], [50], [52], [53], М. В Келдыша, В. Б. Лидского [26], [27], А. П. Хромова [34]—[37], А. Г. Костюченко, А. А. Шкаликова [24], [38]—[40], Эбегарда [45], А. И. Вагабова [3]-[5], Фрейлинга [47], [48] изучены некоторые более широкие классы дифференциальных операторов — нерегулярные дифференциальные операторы и пучок обыкновенных линейных дифференциальных операторов. Много работ посвящено линейным самосопряженным "сингулярным" операторам.
Подспорьем теории пучков линейных дифференциальных операторов (в частности регулярных) является теория смешанных задач уравнений математической физики, в том числе теория обобщенных рядов Фурье для решения этих задач.
В этом отношении отметим, что традиционный метод Фурье приложим лишь в случае задач, для которых ее "пространственный оператор" является самосопряженным [2], [7], [23], [25], [26].
Следует, однако, подчеркнуть, что на сегодняшний день отсутствует законченная теория регулярных пучков обыкновенных дифференциальных операторов общего вида (см. ниже формулы (3)-(4)). Особенно это относится к трём пунктам:
1. Не были выяснены окончательные условия гладкости коэффициентов пучка.
2. Понятие регулярности удачно сформулированное Г. Бирк-гофом для частного случая, не нашло ясного продолжения. Это трудное понятие приводилось в запутаной форме, связанной с массой параметров и индексов, и недоступной с практической стороны, что являлось причиной частых заблуждений.
3. Строго говоря, нет ни одной работы конкретно посвященной именно пучку (3)-(4), являющемуся важнейшим обобщением случая, рассмотренного Г. Биркгофом.
Нами предложены новые асимптотические по параметру формулы решений обыкновенных линейных дифференциальных уравнений, даже в случае кратных корней характеристического уравнения. При этом найдены предельно слабые условия гладкости коэффициентов уравнения.
Удалось найти ясное геометрическое определение регулярности краевых условий, хорошо включающее в себя определение Г. Бирк-гофа и другие известные частные случаи. Установлена теорема об п,— кратном разложении в ряды Фурье, п функций по цепочкам для собственных и присоединенных функций пучка (3)-(4).
На основании построенной теории обоснована обобщенная теория рядов Фурье в приложении к широкому классу (не рассматривавшемуся ранее) смешанных задач для линейных дифференциальных уравнений гиперболического и параболического типов в плоском случае.
Дадим краткий обзор содержания нашей диссертационной работы и ее существенных сторон, изложенных в трех главах.
В § 1 главы 1 при минимальных требованиях гладкости коэффициентов доказана теорема об асимптотическом по параметру виде фундаментальной матрицы решений системы дифференциальных уравнений у' - АА(х, Х)у = 0, а <х <6, (1) где оо з=о
Предполагается, что:
1) А,(ж), ] > 0 — непрерывные на [а, Ь] п х п матрицы.
2) Характеристические корни <р1(х),., ц>п{х) различны при всех х, их аргументы и аргументы их разностей не зависят от ж. В случае же кратных характеристических корней считаем, что их кратность не зависит от ж, а также, что существует постоянная матрица М, трансформирующая Ао(х) к жордановой форме
М~1А0(х)М = J{x), J(x) = [Л (я),., Л (я)],
Зх (х),. ^(х) — клетки Жордана размеров ., к$.
Предполагается, что А^{х) = 0, при ] — 1, 2,., 2г — 1, где г = тах (&1,., к3).
Л-плоскость разбиваем на конечное число секторов $ с вершинами в О, для которых при определенной нумерации (¿з-корней справедливы неравенства
КеАс/^ж) ^ НеАс^ж) ^ • • • ^ ЫеА^ х), Лей1.
Доказана
Теорема 1. При условиях 1), 2) существует матричное решение системы (1), имеющее асимптотическое в секторе 5* (где 5 — любой из секторов) представление вида
А Г£>(Ш£ у(х,\) = {М(х)+Е(х,\)}е - , где £>(£) = diag(^pl(x),., (рп(х)) (случай простых (р-корпей), Е(х, А) —оо при А —* со, Л е 6*. В случае кратных (р-корней
2/(Ж,А) = {м + о(У}еЛ^КЖ, (2)
М — матрица, трансформирующая Ао (х) к жордановой форме.
Подобная же теорема 3 доказана для фундаментальной системы решений уравнения \Р1(х, Х)у(«-1) + • • • + ЛпРп(х, Х)у = О, где оо
Рг(х,\) = ^Р^МА-', г = !,.,п, |Л| » 1; ¿=0 р^оО^Рг.?'^) —непрерывные на [а, 6] функции.
Доказанные теоремы в частных случаях и при больших ограничениях встречались в [3], [4], [28], [32], но в такой общности и краткости изложены впервые.
§ 3 главы 1 посвящен понятию регулярности для пучка обыкновенных дифференциальных операторов вида:
1{у)= \коА(к°'к1\х)-^ -\ПУ, а < х <Ъ (3) ко<п с комплексным параметром Л, с граничными условиями вида ко+к\<Сп кг<п к v
Лхк1 0, (4) х=ь) где Л^0'^1) , V — комплекснозначные непрерывные функции, а^0^, — п-мерные столбцы констант. С помощью естественной процедуры предлагается из линейных комбинаций аЛ строить "определяющую" матрицу граничных условий (ск, /3) размеров п х 2п.
Пучок (3)-(4) мы называем регулярным, если выполнены условия а), б), в): а) ---при ко + к\ = п и А^0'*1)^) при + к\ < п непресиь рывны на [а, Ь]. б) Корни </?1(сс), • •. ,1рп(х) характеристического уравнения
А(°>п\х)<рп + А^1,п~1\х)срп~1 + • • • + А^п-1^1\х)ч> - 1 - 0 различны при всех ж, отличны от нуля, их аргументы и аргументы их разностей не зависят от ж.
Пусть ¿¿о — некоторая прямая, проходящая через начало координат и не содержащая точек ь
Прямой ¿о сопоставим два набора из чисел — уох,.,ъип набор {гУ1,. ,и)т} точек, содержащихся внутри одной из полуплоскостей, на которые ¿¿о делит комплексную плоскость (предполагается со-ответсвующая нумерация этих точек) и дополнительный набор — {гУ1,., и!п}\{гиь., нот}, содержащийся в смежной полуплоскости. в) Отличны от нуля определители
Ф T(a,ß) = п п j=1 j=l J=1 j=l n n n n ^2anjip3T-l(a) Yj ßnj<P3T+\(b). ^ ßnj^n1 ib) j=i i=i j=i (5) соответствующие всем наборам чисел Wi (или г'= l,n.
Подчеркнем широту данного определения регулярности, относящегося к пучку (3)-(4) самого общего вида, а также геометрическую ясность.
Случай, известный в литературе и рассмотренный Г. Биркгофом, относится к весьма узкой ситуации пучка (3)-(4) и регулярность по Г. Биркгофу моментально следует из нашего общего понятия регулярности.
В §4 главы 1 дан анализ нашего определения регулярности и доказано 5 предложений просто и глубоко раскрывающих понятие регулярности в пункте в):
1. Необходимым условием регулярности пучка (3)-(4) является условие г* ^ min (rank a, rank ß).
2. Условие min (rank а, rank ß) также необходимое условие регулярности пучка (3)-(4).
3. В случае, когда все (/?-корни вещественны и
4>\(х) < • • • < <рт(х) < 0 < <рт+1(х) < ■ ■ • < <Рп{х), условие регулярности в) заключается в отличии от нуля двух определителей Фт(а,(3) и Фп-т(а,(3).
4. Необходимыми условиями регулярности пучка (3)-(4) с распадающимися граничными условиями являются четность числа п и равенства для всех т из условия в).
5. В случае постоянных (^-корней периодические граничные условия определяют регулярную краевую задачу (при выполнении также условий а), б)).
Глава 2 посвящена проблеме п-кратных разложений в ряды Фурье по собственным элементам регулярной краевой задачи (3)-(4).
В первых трех параграфах дано исследование асимптотики и полюсов функции Грина регулярной задачи (3)-(4). При этом приходится вносить существенные изменения в традиционные леммы и рассуждения, вызванные изменениями в виде асимптотики фундаментальных решений уравнения 1(у) =0 при больших Л. Доказана
Теорема 6. Для функции Грина регулярного пучка, (3)-(4) справедливы асимптотические оценки гапк а — гапк (3 = т п 2 X д(х, Л) = при £ < х
6) X при X ^ £
Л £ X (для главной, разрывной части функции Грина А) ), и далее ys(x,X) A'(g,A) Л
Д(Л) Z-W
5 = 1 к,1=1 ы{х, А)
ЛП-1 X
С1
Л / Л / yk(t)dt х[Ц(0}е € е , AGS
7) для остальной слагаемой части С.
У] означает величину, стремящуюся к К при А оо, А € £ — один из секторов (любой), на которые прямые КеХ(р{ = 0, ИеА(<£>г — (ру) = 0 делят А-плоскость. Доказаны важные леммы.
Лемма 1. Определитель
1 1 . 1
Ч>\ <Р2. ■ • • • . <Аг
-1) п-1
Ч> 1
Ч>2
Ч>1 • ¥2 ■ ■ ■ • • Уп-1
Ц>2-Ч>3 - • <Рп Ч>\'Ч>Ъ • ■■■■Уп равен определителю Вадермонда У (991,.,
Лемма 2. Пусть Е(£, А) — непрерывная функция, определенная в полуплоскости RecX ^ 0, с = const 0, 0 ^ £ ^ 1, такая, что равномерно А)| In |А| —> 0 при X —у оо, тогда X
A)^->0, я > 0, при m —> оо
О Гт для контура Гт из полуплоскости Re сХ ^ 0, кратчайшее растояние которого от начала координат стремится к оо при m -У оо.
Эта лемма существенно обобщает соответствующую лемму из [51, стр. 43].
ЛЕММА 3. Если тригонометрические коэффициенты Фурье ат и
Ът функции /(ж), а ^ х ^ Ъ убывают как --, а Ых) £ С1\а,Ь),
1п т то коэффициенты Фурье произведения / (ж) Н(х) также убывают как 1
1п 171
Опираясь на сформулированные леммы в § 4, установлена теорема об п-кратном разложении.
ТЕОРЕМА 9. Пусть тригонометрические коэффициенты Фурье функций ^-А^ко,кх\х) при к0 + к\ — п и А(-к°'к1Цх) при к0 + к\ < п ах ^ убывают как --. Тогда справедлива формула п-кратного разло
1п т жения функций Уь^х), % — 0,п — 1 в ряды Фурье по производным цепочкам для собственных и присоединенных функций регулярного пучка (3)-(4). Полагается при этом, что /го, • • •, /¿п-2 — функции из области определения пучка (3)-(4), /гпх £ С1 [а, Ь].
Отметим, что доказательство теоремы 9 в литературе дано непосредственно лишь в случае частного пучка типа Г. Биркгофа, где речь идет об однократном разложении [29, с. 91].
Глава 3 посвящена приложению изложенной теории к решению обобщенным методом Фурье смешанных задач для уравнений гиперболического и параболического типов.
В части первой главы 3 рассматривается следующая гиперболическая смешанная задача
Яп ^Яко+к!» у п . + а<х<ъ, (8) ко+кг^-п к0<п дки дьк Ьк{х), к = 0,п — 1. (10) t=o
Задаче (8)—(10) сопоставляется пучок (3)-(4) с более частным видом граничных условий (4'), определенных граничными условиями (9).
Пусть выполняются условия
А{коМ)(х\ а) Функции -¿хт+1 - е ^[(1, Ч ПРИ "I" = ТП, ш = 0, п. б) Корни ^х(ж),. характеристического уравнения А^п\х)фп + А^1^"1^®)^-1 + • • • + ~ 1 - 0 вещественны, различны при всех х и отличны от нуля. в) Два определителя ФТ(а,(3) и Фпт(а,/3) отличны от нуля (см. выше случай вещественных ^-корней). г) ко,., Нп-2 — функции из области определения пучка (3)-(4'),
К-Лх) е С[а,ь], л 0, г = 0, п — 1, 7 = 0, п — г. х=а,о д) f(t,x) непрерывна на [0, Т] х [а, Ь].
Теорема 11. При условиях а)-д) задача (8)-(10) имеет единственное классическое решение. Оно может быть представлено в виде ряда Фурье по корневым функциям пучка (3)-(4'): ъ я) = Нт У* ехЧ\ I \)<Ц
ГI а
Ъ Ь
1аХ! ^М^ПОГЧ I ех^/(т,()с1т, (11) гг а 0 где п-1 к0=О ко+кг^-п 1^к0<п
ГI — последовательность замкнутых расширяющихся в Х-плоскости контуров с центром в О, таких, что между Г/ и Грасположен хотя бы один полюс функции Грина Л). Сами Г; проходят вне 8-окрестности полюсов.
Доказано также, что решение (11) допускает представление ъ
ЯеХ=Н>>0 а ъ г
1\ (М'-^Дт^т, ¿>0
2тгг у
ИеЛ=Я а 0
12)
Формулы (11), (12) в частных случаях дают возможность эффектного выражения для решения.
Так в случае задачи о колебании конечной струны д 2 и д2и дг2 " дх2' и\х=0,1 = 0 дки дгк — г=о
13)
Кк (х), А; = 0,1 составляется функция Грина соответсвующего пучка е-А|®-£| еА(1-х-0 е-А(1+х-0 + е-Л(1-®-0 е-Л(1+£-а0
2А 2А(ел-е-л) и по формуле (11) подсчитывая вычеты в полюсах Л = /стгг, к Е Ъ для функции G, находим решение в виде тригонометрического ряда Фурье: оо и х) = ^^ 2 / /г-о (О ^ к7г£с1£ сое ктгЬ эт &7гж4с=1 оо ^^ —— / /г1 вт ктт^^Бт кжЬ вт ктсх, ктт , к=1 "0
М Е С2[0,1], /11 € Сх[0,1], 4Я|од = 0, 3 = 0,1, /ц|0>1 = 0. В случае другой задачи
Лд2и д2и д2и ■ Я+7) Я 2 = ' 0<ж<1, ¿>0, о¥ дъох ох2 и=од =0, Л дьк
4>к(х), к = 0,1,
4=0 С2[0,1], ^еС^ОД], <ро\х=ол1 = 0, с использованием формулы (12) и выполнением интегрирований по Л, получено представление и ч 2 / А 1 ^ Г /г '
3 (® +2 ) + +3+ - х - АЛ „ ' ' : Л А + 2х - к - 3 -2<А) -7Г— -(^о(^ + 3-£-2ж)+2^о ---
2 / А 1 °° Г Ф1(®-*) + -Ф1 (з+.з) ~ з { 2ф1(^ + 3 + ж - ¿) + о
2Ф1 (1 I М - 2Ф + 3 - г - 2х) - 2Ф1 + я: где Ф.!(ж) = у о
При этом (ро и Ф1 надо считать равными нулю вне [0,1], а Фг(1) Фх(1) полагать равным —-—. л
Часть вторая главы 3 посвящена смешанной задаче для параболического уравнения. дти
2т-1 Е кх= О и ко<т а кг) ^ дхкх дгк°дхк1 дк1 /(¿, ж), а < х < Ь, £ > О, х=а ^1) ^ дхкг
О, и дЬк° Кко(х), к0 = 0,т-1.
14)
15)
16) о
Пучок, который ставится в соответствие задаче (14)—(16) имеет вид: дк]
2т
2т—1 Е
V кг= о ск
0 ^ дхкг х=а дхкг
17) 0. х=Ь ■
Предполагается, что
А(2коМ) (х\ а) Функции ---— при 2ко + к\ = 2т, и АЛ2*0'**) (ж) при ах
2ко + к\ < 2т непрерывны на [а, 6]. . б) (^-корни характеристического уравнения
А(0,2т)(фт + А(2,2т-2)(ж^т-1 + . . . + ¿(2*1-2,2)^ Х = 0 имеют вид
7Г щ{х) = г = 1,771, д(ж) > 0, ж € [а, 6], < с» ф с^ при г ф в) Граничные условия пучка (17) регулярны в смысле отличия от нуля определителей Фт(ск,/3), указанных выше в пункте в), относящемуся пучку к (3)-(4). г) Ък(х) к = 0,., га — 2, принадлежат области определения задачи (14)—(16), то есть имеют 2га непрерывных производных и удовлетворяют краевым условиям (15) д) f{t,x) непрерывна на [О,Т] х [а,Ц.
Доказана ь х) = Нт [ ехНа\ [ А
I—юо 27гг у у
Теорема 14. При условиях а)-д) формула ъ ч —1 А А2*
00 27гг
Тг а ъ г \ 1 о /
Тг а О
- Нт Л,ЛI I
18) при одном из условий еС([а,6]х[0,Т]), /(О.ЯОЕЕО, либо еС([а,6] х[0,Т]), /|х=а>ь = 0. определяет единственное классическое решение задачи (14)-(16). Здесь Т1 — замкнутые контуры с центром в 0 из \-плоскости, проходящие вне 6-окрестности полюсов С(х, Л), причем наименьшее расстояние Т\ от начала координат стремится к оо при I —> сю.
Решение (18) допускает также представление вида о ^ I ех2Ч\ I 0(х, /г, А)с££и
4 ' 7гг ь о г
-¿У Асгл I /ел2(*-г)/(т,^т, (19)
Ь а О г > о, где £ = и ¿2,■ = {А, |А| = 1, |аг£Л| < а0}, {А, |А| > 1, aгgA = ±О!0}, ао = ^ + ^ ~ тахад#<р»). В формулах (18), (19)
ГП — 1 к0=0 лк 1
Отметим, что в конструктивной форме теоремы существования и единственности для задач (8)—(10) и (14)—(16) в столь общей постановке не решались ранее в литературе (см. [25], [30]).
В заключительном § 3 главы 3 в качестве иллюстраций теоремы 15 рассмотрена задача распространения тепла в ограниченном стержне: ди д2и ' ■ од = о, (20) и
4=0,= Цх), Н(0) = Н(1) = 0; Н(х) <Е С1[а,Ъ].
Находя решение этой задачи соответственно по формулам (18), (19), придем к двум представлениям решения задачи: оо \ и(г,х) = / /г(£) 8тктг£с1£е~к27т2* вткттх, о
-е + « сЬ ^ у /
Первое — ряд Фурье по тригонометрической системе, второе — интеграл от экспоненциального ряда.
Связующим логическим звеном всей работы является теория пучка (8)-(9).
Текст диссертации разбит на три главы, носящих в определенной степени самостоятельный характер. Мы сочли целесообразным вести единую нумерацию формул всего текста, а также единую нумерацию всех теорем и лемм. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [8]-[12] и докладывались на VII международной конференции в Абрау-Дюрсо, на семинарах математического факультета ДГУ и ДГПУ, на городском семинаре по математике в г. Махачкале. В совместной работе [9] Вагабову А. И. принадлежит постановка проблемы регулярности пучка (3)-(4).
Похожие диссертационные работы по специальности «Дифференциальные уравнения», 01.01.02 шифр ВАК
Интегральные преобразования и параболические потенциалы применения их к решению некоторых смешанных задач1982 год, кандидат физико-математических наук Гасымов, Эльмага Агагасымович
Метод фазовых интегралов в одной задаче асимптотической теории возмущений2017 год, кандидат наук Фуфаев Владимир Владимирович
Теоремы единственности решения задачи Коши для эволюционных уравнений и систем с растущими коэффициентами2012 год, кандидат физико-математических наук Туртин, Дмитрий Витальевич
Распространение вычетного метода на смешанные задачи, содержащие в граничных условиях производные по времени более высоких порядков, чем в уравнении1984 год, кандидат физико-математических наук Вагабзаде, Гюльзар Бахтияр кызы
Теоремы равносходимости для операторов со степенными особенностями в краевых условиях1985 год, кандидат физико-математических наук Амвросова, Ольга Ивановна
Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Ибрагимов, Мурад Гаджиевич, 2000 год
1. Абдусаламов X. А. Решение смешанных задач для квазилинейных параболических систем // Диссертация кандидата физико-математических наук. 2000. Махачкала. 71с.
2. Березанский Ю. М. Разложение по собственным функциям самосопряженных операторов. Киев, 1965. 798 с.
3. Вагабов А. И. Введение в спектральную теорию дифференциальных операторов. Ростов-на Дону.Изд-во РГУ, 1994. -160 с.
4. Вагабов А. И. Об уточнении асимптотической теоремы Тамар-кина // ДУ. Т. 29, № 1. 1993. С. 41-49.
5. Вагабов А. И. Об условиях гладкости коэффициентов регулярных дифференциальных операторов // Докл. РАН. Т. 363, №5. 1998. С. 583-585.
6. Гохберг И. Д., Крейн М. Г. Введение в теорию линейных несамосопряженных операторов. М., 1965. 448 с.
7. Жданович В. Ф. Решение методом Фурье несамосопряженных смешанных задач для гиперболических систем на плоскости // Матем. сборник. Т.47(89), №3. 1959. С. 307-354; Т. 48(90), №4. 1959. С. 447-498; Т. 49(91), ЖЗ. 1959. С. 223-266.
8. Ибрагимов М. Г., Вагабов А. И. Краевая задача с диссипа-тивным операторным коэффициентом // Сб. "Материалы VII международной конференции", Ростов-на-Дону. 1999. С. 14.
9. Ибрагимов М. ГВагабов А. И. Теория общего регулярного пучка обыкновенных дифференциальных операторов // Деп. в ВИНИТИ. №3386-В99, 1999. 45 с.
10. Ибрагимов М. Г. Смешанная задача для гиперболического уравнения // Сб. "Функционально-дифференциальные уравнения и их приложения", Махачкала, Изд-во ДГУ. 2000. С. 55-58.
11. Ибрагимов М. Г. О нахождении решений смешанных задач посредством начальных функций // " Вестник ДГУ-2000", Махачкала, Изд-воДГУ. 2000.
12. Ибрагимов М. Г. Теорема единственности решения смешанной задачи для общего линейного гиперболического уравнения на плоскости // "Вестник ДНЦ РАН", Махачкала, Изд-во ДНЦ РАН. №8.2000.
13. Ильин В. А. О разрешимости смешанных задач для гиперболического и параболического уравнений // УМН. Т. 15., №2(92). 1960. С. 98-154.
14. Ильин В. А. О сходимости разложений по собственным функциям оператора Лапласа // УМН. Т. 13., № 1. 1958. С. 87-180.
15. Ильин В. А. Проблемы локализации и сходимости для рядов Фурье по фундаментальным системам функций оператора Лапласа // УМН. Т. 23., № 2. 1968. С. 61-120.
16. Ильин В. А. Необходимые и достаточные условия базисности и равносходимости с тригонометрическим рядом спектральных разложений. I, II //ДУ. 1980. Т. 16., №5. С. 771-794; Т. 16, №6. С. 981-1009.
17. Ильин В. А. Необходимые и достаточные условия базисности в 1/2 и равносходимости с тригонометрическим рядом спектральных разложений и разложений по системам экспонент // ДАН СССР. Т. 273., №4. 1983. С. 789-792.
18. Ильин В. А. О безусловной базисности на замкнутом интервале систем собственных и присоединенных функций дифференциального оператора второго порядка // ДАН СССР. Т. 273., №5. 1983. С. 1048-1053.
19. Ильин В. А. Необходимые и достаточные условия базисности Рисса корневых векторов разрывных операторов второго порядка // ДУ. Т. 22., № 12. 1986. С. 2059-2071.
20. Ильин В. А., Йо И. Оценка разности частичных сумм разложений, отвечающих двум произвольным неотрицательным самосопряженным расширениям двух операторов типа Штурма-Лиувилля для абсолютно непрерывной функции // ДУ. Т. 15., №7.1979.0.1175-1193.
21. Келдыш М. В. О собственных функциях и собственных значениях некоторых классов несамосопряженных линейных уравнений //ДАН СССР. Т. 77., №1. 1951. С. 11-14.
22. Келдыш М. В. О полноте собственных функций некоторых классов несамосопряженных линейных операторов // УМН. Т. 26., № 4. 1971. С. 15-41.
23. Коробейник Ю. Ф., Дедушев А. В. Решение смешанной задачи методом Фурье // Изв. СКНЦ ВШ. Ест. науки. № 1. 1980. С. 1116.
24. Костючепко А. Г., Шкаликов А. А. О суммируемости разложений по собственным функциям дифференциальных операторов и операторов свертки // Функц. анализ. Т. 12., №4. 1978. С. 24-40.
25. Ладыженская О. А. Краевые задачи математической физики. М., 1973.307 с.
26. Лидский В. Б. О суммируемости рядов по главным векторам несамосопряженных операторов // Труды Моск. матем. общества. Т. 11. 1962. С. 3-35.
27. Лидский В. Б. О разложении в ряд Фурье по главным функциям несамосопряженного эллиптического оператора // Матем. сборник. Т. 57., №2.1962. С. 137-150.
28. Ломов С. А. Введение в общую теорию сингулярных возмущений. М., 1981.
29. Наймарк М. А. Линейные дифференциальные операторы. М.:Наука. 1969. ^
30. Расулов М. Л. Метод контурного интеграла. М.: Наука, 1964.462с.
31. Тамаркин Я. Д. О некоторых общих задачах теории обыкновенных дифференциальных уравнений и разложении произвольных функций в ряды. Петроград, тип. М. П. Фроловой, 1917. 308с.
32. Федорюк М. В. Асимптотические методы для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений. М., 1983. 352 с.
33. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т.2,М.: Наука, 1966.500с.
34. Хромов А. П. Разложение по собственным функциям обыкновенных линейных дифференциальных операторов с нерегулярными распадающимися краевыми условиями // Матем. сборник. Т. 70, №3. 1966. С. 310-329.
35. Хромов А. П. О порождающих функциях вольтерровых операторов // Матем. сборник. Т. 102(144), №3. 1977. С. 457-472.
36. Шкаликов А. А. О полноте и базисности собственных и присоединенных функций краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений // Дис. канд. физ.-мат. наук. 1977.121с.
37. Шкаликов А. А. О полноте собственных и присоединенных функций обыкновенного дифференциального оператора с нерегулярными краевыми условиями // Функц. анализ. Т. 10, №4. 1976. С.69-80.
38. Шкаликов А. А/Краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений с параметром в граничных условиях // Тр. семинара им. И. Г. Петровского. Вып. 9. 1983. С. 190-229.
39. Эйдельман С. Д. Параболические системы. М.: Наука, 1964.
40. Agmon S. On the eigenfunctions and on the eigenvalues of general alliptic boundary value problems // Comm. Appl. Math. V. 15. 1962. P. 119-147.
41. Eberhard W. Zur Vollstanddigkeit des Biortogonalsystems von Eigenfunktionen irregulärer Eigenwertprobleme // Math. Z. № 146. 1976. S. 213-221.
42. Flax A. H. Aeroelastic problems at Supersonic Speed // Second Internat. Aeronautical Conference. New York. 1949. P. 322-360.
43. Freiling G. Zur Vollstanddigkeit des Systems der Eigenfunktionen und Hauptfunktionen irregulärer Operatorbuschel // Math. Z. Bd. 1881984. S. 55-68.
44. Freiling G. Uber die mehrfache Vollstanddigkeit des Systems die Eigenfunktionen und assoziierten Funktionen in ¿2(0, l) // Z. Angew. Math. u. Mech. Bd. 65, №5. 1985. S. 336-338.
45. Hopkins J. W. Some convergent developments associated with irregular boundary conditions // Trans. Amer. Math. Soc. V. 20. 1919. P. 245259.- 86
46. Jacksen D. Expansion problem with irregular boudary conditions // Proc. Amer. Acad. Y. 51. 1916. P. 383-417.
47. Tamarkin J. Some general problems of theory of ordinary linear differential equations and expansion of an arbitrary function in series of fundamental functions // Math. Zs. V. 27. 1927. P. 1-54.
48. Ward L. An irregular bounded value and expansion problem // Ann. Math. V. 26. 1925. P. 21-36.
49. Ward L.A third-order irregular boundedary value problem and the associated series // Amer. J. of Math. V. 57. 1935. P. 345-362.
Обратите внимание, представленные выше научные тексты размещены для ознакомления и получены посредством распознавания оригинальных текстов диссертаций (OCR). В связи с чем, в них могут содержаться ошибки, связанные с несовершенством алгоритмов распознавания. В PDF файлах диссертаций и авторефератов, которые мы доставляем, подобных ошибок нет.