Оценка характеристик, определяющих аппроксимативные свойства тригонометрических операторов Баскакова и некоторых других методов суммирования рядов Фурье тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.07, кандидат физико-математических наук Дубровина, Татьяна Владимировна

• Дубровина, Татьяна Владимировна
• кандидат физико-математических наук
• 2005

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Дубровина, Татьяна Владимировна

Введение.

Глава 1. Тригонометрические операторы Баскакова.

1.1. Определение операторов Баскакова и некоторые их свойства.

1.2. Рекуррентное соотношение. Значение Л.

1.3. Тождество В.А. Баскакова. Множители суммирования т\кх,.,кт)

1.4. Вспомогательное утверждение. Значение операторов Баскакова в нуле на степенях t.

1.5. Оценка приближения операторами Баскакова достаточно гладких функций.

1.6. Ослабление условий теоремы 1.1. Оценка приближения операторами Баскакова функций класса

Ж2т+1Н&.

Глава 2. Некоторые линейные комбинации операторов Баскакова.

2.1. Общие замечания.

2.2. Линейные комбинации операторов А/М*1 )

2.3. Линейные комбинации операторов и А/М^з).

2.4. Линейные комбинации операторов им[®.

Глава 3. Приближение функций класса и некоторыми операторами, предложенными Е.М. Ершовой.

3.1. Предварительные замечания.

3.2. Операторы £>£1.

3.3. Операторы

3.4. Операторы!)^.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Оценка характеристик, определяющих аппроксимативные свойства тригонометрических операторов Баскакова и некоторых других методов суммирования рядов Фурье»

Актуальность темы. Традиционным направлением в теории приближений является эффективное построение и исследование аппроксимативных свойств линейных методов суммирования рядов Фурье.

В недавнее время В.А. Баскаков определил совокупность методов параметры, определяющие конкретный вид операторов (Баскаков В.А. Об операторах класса б^т > построенных на ядрах Фейера //Применение функционального анализа в теории прибл. - Тверь, 2001. - С. 5 - 11).

Эта совокупность обладает следующим свойством: для любого класса

ЖгНа найдется аппроксимирующая последовательность, принадлежащая совокупности операторов Баскакова, которая приближает функции этого класса с наилучшим порядком.

Кроме того, результаты, связанные с приближением операторами Баскакова периодической функцией Хевисайда имеют практическое значение и могут быть использованы для проектирования цифровых фильтров [5].

В связи с этим становится актуальным изучение аппроксимативных свойств операторов Баскакова.

Если методы получения аппроксимативных оценок, содержащих константы, для классов «не слишком гладких» функций разработаны и хорошо известны, то получение таких оценок для функций, принадлежащих классам насыщения, в ряде случаев вызывает значительные трудности.

В диссертационной работе решается задача получения аппроксимационных оценок приближения операторами Баскакова функций, принадлежащих классам насыщения. Решение потребовало нетрадиционных подходов.

Цель работы. Работа посвящена изучению аппроксимативных свойств тригонометрических операторов Баскакова Мп, а также получению оценок приближения достаточно гладких функций операторами Баскакова и суммирования рядов Фурье - операторы операторами предложенными в работе Ершовой Е.М. (Ершова Е.М. Операторы классов З^/я и их аппроксимативные свойства: Автореф. дис. канд. физ.-мат. наук.-М., 2002.-17 е.).

Новизна научных результатов. Все основные результаты диссертационной работы являются новыми и снабжены доказательствами.

Предложен новый, подход получения оценок приближения функций, принадлежащих классам насыщения, которым можно применять в тех случаях, когда традиционные подходы не дают результатов.

Теоретическая и практическая значимость. Результаты, изложенные в диссертации, имеют теоретическое значение и могут быть использованы как в дальнейших исследованиях по теории приближения, так и при чтении специальных курсов по математическому анализу. Кроме того могут быть использованы для проектирования цифровых фильтров.

Защищаемые положения. По результатам исследований можно сделать следующие выводы:

• получены оценки приближения операторами Баскакова достаточно гладких функций;

• получены линейные комбинации, коэффициенты которых не зависят от п, а сами комбинации имеют лучшие аппроксимативные свойства, чем у тех операторов Баскакова, с помощью которых они образованы;

• получены оценки приближения функций класса операторами, предложенными в работе Е.М. Ершовой [15] и функций класса операторами, предложенными тем же автором в работе [16]. Апробация работы. Результаты диссертации докладывались:

- на семинарах кафедры ИВТ и ПМ Читинского государственного университета (2001-2005 г.г.);

- в Забайкальском государственном педагогическом университете, на семинаре кафедры математического анализа под руководство профессора С.Е. Холодовского (2002 г.);

- на научных семинарах Энергетического института ЧитГТУ, г. Чита, 2002 -2005 г.г.;

- на второй межрегиональной научно-практической конференции: «Энергетика в современном мире» ЧитГТУ, г. Чита, 2003 г.

- на ХХУ1У школе-семинаре им. Золотова, г. Владивосток, 2004г.;

- на Всероссийской научно-практической конференции, Чита, ЗабГПУ 2004 г.;

Публикации. В процессе работы над диссертацией опубликовано 10 печатных работ, из которых одна в соавторстве с Ю.Г. Абакумовым. Одна работа находится в печати.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, и списка литературы. Работа изложена на 69 листах, содержит список литературы, включающий 40 наименований. Нумерация теорем, и предложений в диссертации двойная: первое число - номер главы, второе - номер теоремы, а нумерация следствий сквозная. Содержание диссертации. В первой главе устанавливается, что при г > т

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Дубровина, Татьяна Владимировна, 2005 год

1. Абакумов Ю.Г. О методе В. А. Баскакова построения операторов класса Sim //Вестник ЧитГТУ. Выпуск 13. - Чита, 1999. - 119 - 126.

2. Абакумов Ю.Г. Об одном методе суммирования рядов Фурье с порядком насыщения ОуГ^) //Вестник ЧитГТУ. - Чита, 2001. - Вып. 19. - 27 - 30.

3. Абакумов Ю.Г., Банин В.Г. Аппроксимативные свойства некоторых классов линейных операторов. - Чита: СО РАН: ЧГПИ, 1993. - 62 с.

4. Абакумов Ю.Г., Дубровина Т.В. К выводу основных характеристик тригонометрических операторов Баскакова //Вестник ЧитГТУ. Вып. 30. -Чита: ЧитГТУ, 2003. - 138 - 142.

5. Абакумов Ю.Г., Карымова Е.Ю., Долгов СВ. Проектирование цифровых фильтров нижних частот с линейной фазой, и задача аппроксимации функций Хевисайда //Вестник ЧитГТУ. Вып. 29. - Чита: ЧитГТУ, 2003. -С. 143 -149.

6. Абакумов Ю.Г., Карымова Е.Ю., Коган Е.С. Тригонометрические операторы Баскакова. Общие положения //Методы математического моделирования и информационные технологии. Труды ИПМИ КарНЦ РАН. - Петрозаводск, 2000. - Вып. 2. - 87 - 103.

7. Абакумов Ю.Г,, Мацкевич СБ. Некоторые подходы к построению теории тригонометрических операторов Баскакова //Вестник ЧитГТУ.- Чита, 2001.-Вып. 17 . -С 63-67.

8. Баскаков В.А. Линейные методы суммирования рядов Фурье и приближение непрерывных функций. Учеб. пос. - Калинин: КГУ, 1980. -79 с.

9. Боглаев Ю.П. Вычислительная математика и программирование. - М.: Высшая школа, 1990.

10. Варга Р. Функциональный анализ и теория аппроксимации в численном анализе. - М.: Мир, 1974.

11. Вержбицкий В.М. Численные методы (математический анализ и обыкновенные дифференциальные уравнения): Учеб. пособие для вузов. - М.: Высшая школа, 2001, -382 с.

12. Ершова Е.М. Операторы классов 32т и их аппроксимативные свойства: Автореф. дис... канд. физ.-мат. наук. - М., 2002. - 17 с.

13. Ершова Е.М. Операторы класса 5^ на основе обобш;енного ядра Джексона //Применение функционального анализа в теории прибл. -Тверь, 2001.-С. 46-50.

14. Забелина Н.А. Исследование аппроксимативных свойств линейных операторов. Метод разрывной мажоранты //Вестник ЧитГТУ. - Чита, 2001.-Вып. 21.-С. 156-162. (к к )

15. Зигмунд А. Тригонометрические ряды. Т 2. - М.: Мир, 1965. - 538 с.

16. Коган Е.С. Некоторые свойства операторов М^^ " ^'•' ""^ //Вестник ЧитГТУ. Выпуск 23. - Чита, 2002. - 147 - 155.

17. Коган Е.С. Об определении точных констант в оценке приближения функций класса Lipj^l тригонометрическими операторами Баскакова //Вестник ЧитГТУ. Выпуск 25 - Чита: ЧитГТУ, 2002. - 157 - 164.

18. Коган Е. Тригонометрические операторы Баскакова и некоторые задачи, связанные с ними //Математика и ее приложения: Журн. Иванов, матем. об-ва. 2004. 1. 79 - 93.

19. Корнейчук Н.П. Точные константы в теории приближения - М.: Наука. Гл. Ред. Физ. - мат. Лит., 1987. - 424 с.

20. Коровкин П.П. Линейные операторы и теория приближений. - М.: Гос. издательство физ.-мат, литературы, 1959. - 211 с.

21. Коровкин П.П. Сходимость последовательности линейных операторов //УМЫ. - 1962. - Т. 17, № 4 (106). - 147 - 152.

22. Крылов В. И. Приближенное вычисление интегралов. - М.: Наука, 1967. - 500 с.

23. Мацкевич СБ. О некоторых свойствах оператора Баскакова класса S2m //Математический анализ и его приложение. Выпуск 4. - Чита: ЗабГПУ, 2000.-С. 76-79.

24. Садовничий В.А. Теория операторов: Учеб. для вузов. - 4-е изд., испр. и доп. - М.: Дрофа, 2001. - 3 84 с.

25. Теляковский А. О работах по теории приближений, выполненных в МИАНе //Труды Матем. Ин-та АН СССР. Т. 182, 1988. 128 - 180.

26. Харди Г.Х., Рогозинский В.В. Ряды Фурье. - М.: Физматгиз, 1959. - 156 с.

27. Дубровина Т.В. Оценка некоторых характеристик операторов Баскакова //Вестник ЧитГТУ. - Вып. 17. - Чита: Издательство ЧитГТУ, 2001.-С. 58 -61 .

28. Дубровина Т.В. Аппроксимация функций класса W Н операторами Баскакова //Математический анализ и его приложение: Сб. статей. Выпуск 5. - Чита: Издательство ЗабШУ, 2002. - 36 - 38.

29. Дубровина Т.В. Некоторые свойства тригонометрических операторов Баскакова //Вестник ЧитГТУ. - Вып. 28. - Чита: Издательство ЧитГТУ, 2001.-С. 154-157.

30. Дубровина Т.В. Оценка приближения операторами Баскакова функций класса W "^^ Н //Дальневосточная математическая школа-семинар имени академика Е.В. Золотова.- Владивосток: Издательство Дальневосточного университета, 2004. - 9 - 10.

31. Дубровина Т.В. Оценка приближения операторами Баскакова функций Т I 1 1 класса W Н //Электронный журнал Исследовано в России, 171, стр. 1836 - 1844, 2004. - http://zhumal.ape.relam.ru/articles/2004/l71 .pdf.

32. Дубровина Т.В. О некоторых аппроксимационных оценках /ЛУ межрегиональная научно-практическая конференция «Кулагинские чтения» (материалы конференции). - Чита: ЧитГУ, 2004. ч. П. - 15-17.