Некоторые методы получения точных и экстремальных констант в оценках приближения линейными операторами функций классов Lipmα тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Коган, Евгения Семеновна

• Коган, Евгения Семеновна
• кандидат физико-математических наук
• 2004

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Коган, Евгения Семеновна

Введение.

Глава 1. Тригонометрические операторы Баскакова.

1.1. Идея В. А. Баскакова построения примеров операторов класса 5"2т.

1-2- Определение вида операторов и некоторых множителей суммирования.

1.3. Вспомогательные утверждения.

1.4. Нормы операторов Баскакова.

1.5. Оценка скорости приближения функций класса Ьгрма, 0<а<\.

1.6. Оценка приближения в точке существования производной и в точке, где /'(х) имеет разрыв первого рода.

1.7. Обобщение предложения 1.2.

1.8. Оценка приближения вблизи точки существования производной и вблизи точки, где /'(г) имеет разрыв первого рода.

1 -9. Оценка приближений функций класса УУ1На. з

1.10. Оценка приближений функций класса 1¥2На.

Глава 2. Некоторые точные константы в оценках приближения функций класса Ыр\.

2.1. Получение точной константы в оценке приближения функций класса Ыр\ операторами методом исследования на экстремум.

2.2. Некоторые утверждения общего характера.

2.3. Теорема об экстремальном значении функционала некоторого специального вида.

2.4. Применение теоремы 2.2 к получению точных констант.

2.5. Точная константа в оценке приближения функций класса Ыр\ операторами

2.6. Применение теоремы 2.2 для случая т = 3.

Динамика изменения Л^** и увеличением к.

2.8. Еще одна экстремальная задача.

2.9. Оценка приближения функций класса Ырма,

О < а < 1 с улучшенной константой.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Некоторые методы получения точных и экстремальных констант в оценках приближения линейными операторами функций классов Lipmα»

Теория приближений занимается, в частности, получением оценок вида Ц^иС/СО»*)- /(х)\-ап(/)-> гДе ^п ~ аппроксимирующая последовательность операторов, а /(/)- аппроксимируемая функция. Выражение £*„(/) может содержать как индивидуальные характеристики функции /(?), так и характеристики класса, к которому /(?) принадлежит.

Основное содержание данной диссертационной работы относится к получению оценок приближения функций класса Ьгрм 1 конкретными операторами, некоторые из них будут далее определены.

В дальнейшем мы будем говорить только о приближении 2я - периодических функций в метрике, определяемой чебышевской нормой.

Определение 0.1. Чебышевской нормой в пространстве С1л- непрерывных 2л - периодических функций будем называть величину[/(0|| = шах|Л0|.

Согласно общепринятому обозначению, символом Ырм 1 обозначают класс функций, таких, что для любых ¿15 ¿2> А ^¿2> \t\-t2\<2'к выполняется |/(О ~ /(¿2 )| - - | • Для обозначения того же класса функций используется еще и символ Нхм.

Определение 0.2. Линейные операторы ¿(/(г),*)называются положительными, если (/(?) > 0) => (V* Ц/> 0).

Если ¿я(/(0,х)- положительные линейные операторы, то оценку приближения ими функций класса Ырм 1 (или, что то же самое, класса Нхм ) можно провести по схеме, соответствующей схеме доказательства теоремы П. П. Ко-ровкина [12].

Зафиксируем х и будем обозначать -х\ 2ж - периодическую функцию равную - х\ при I е.\х - ж ,х + 7г\.

Пусть Ln{f{t),jc)-последовательность положительных линейных операторов Ln : Cl7c -> С1ж таких, что Ln (1, х) = 1.

Из того, что /(t) е LipM 1, получим |/(t) - f (jc)| < M\t - x\ или -M\t-x\<f{t)-f{x)<M\t-x\.

В силу монотонности положительных линейных операторов, имеем -M-Ln(\t- 4*) < Ln{f{t),x) - fix) <M-Ln(\t- 4*).

Или

I Ln {fit), x) - f{x) I < M • Ln {\t - 4 x). В силу произвольного выбора л; можем записать \\Ln{f{t),x) - f(x)I< М • |Ln(\t - 4х)||.

Если аппроксимирующие операторы имеют вид:

71

Ln{f{t),x)= ¡f(t + x)wn{t)dt,

-п то для них величина (jí — д:|, л:) не зависит от х и оценку можно записать в виде ||1Л(/(0^)-/(х)||<М-4ф|,0).

Так как М|/-д:| принадлежит классу LipM 1, последнюю оценку улучшить нельзя.

Таким образом, для конкретных аппроксимирующих последовательностей положительных линейных операторов получение оценок приближения ими функций класса LipM 1 сводится к нахождению Lni\t\,0).

Например, для операторов Фейера, имеющих следующий вид sin2 nt о-ЛЯО,х) = - )f{t + I—coskt)dt = -i- Jf{t + x)-j-dt,

K-n 2 ых n 2m.n ún2t 2 известно, что сти(И,0) =-+ 0{n~l). m

Операторы Фейера относятся к так называемым методам суммирования рядов Фурье.

В общем виде методы суммирования рядов Фурье записываются следующим образом:

Rn(A,f(t),x) = — + . (at cosix + b¡ s'mix). 2 ,=i

Здесь обозначено А = (Á¡>п)?=0, где п-1,2,., a a¡,bi- коэффициенты Фурье функции /(f)

Рассмотрим другое представление методов суммирования

Rn(A,f(t),x) = - jf(t + + ±Л cosit)dt. n -л 2 Í=1

Ядро оператора Rn(A,f(t),x)по возможности стараются представить в свернутом виде. Например, для операторов Фейера это представление выражается следующей формулой: 2 i и i i sm — 1 п -1 . 1 о 2L-cos lt

2 м * 2п sin21 2

Ядро оператора Фейера не имеет простых нулей. Как известно, число sin(« + — )í простых нулей ядра Дирихле Dn{t) =-у—, расположенных на \-л,7г],

2 sin — 2 неограниченно растет при возрастании п.

Промежуточное между этими двумя крайними случаями занимают операторы, ядра которых имеют фиксированное число простых нулей, не изменяющееся с возрастанием п.

В 1984 году В. А. Баскаков [10] предложил следующую конструкцию операторов: ? Л • 2 nt

Sin — п Sin —

ЖГяИ(Д0,*) =-— J f(t + x)-

7ЕИ . ? t un • 2 1 S 271 ч sin -(cosí-cos—)

2 n

Высказанные в работе [10] идеи были использованы Ю.Г, Абакумовым и его аспирантами для построения ряда аппроксимирующих конструкций(см., например, [2] [8]). В работе [11] В. А. Баскаков вернулся к рассмотрению операторов, построенных с использованием той же идеи (о ней подробнее излагается в п. 1.1). В [11] В.А. Баскаков получил аналитическое выражение для множителей суммирования операторов Первая глава диссертации представляет собой некоторый фрагмент теории построения таких операторов. Результаты этой главы изложены, в частности, в [31].

Заметим, что в настоящее время различными авторами предложен ряд аппроксимирующих конструкций с фиксированным количеством простых нулей у ядра (см. работы Р. К. Васильева [1], Е. М. Ершовой [15], Ю. В. Савченко [27]). Как правило, эти конструкции содержат очень сложные выражения для коэффициентов суммирования. Последнее обстоятельство характерно для так называемых оптимальных последовательностей операторов (оптимальные операторы с 2ш простыми нулями у ядра имеют порядок насыщения п~2т~2, операторы м^кх""'кт) оптимальными не являются, так как имеют порядок насыщения п~2т~х, для таких операторов В. А. Баскаков предложил термин «почти оптимальные»).

Оценка приближения функций класса LipM 1 операторами л

Ln{f{t\x) = \f{t + x)wn{t)dt при знакопеременном ядре wn(t) имеет некоторые

-л особенности, отличные от случая положительного ядра.

В самом деле, если /(t) е LipM 1, то (при условии Ln (1, х) = 1)

К {fit), х) - д*)| < м • j|r | • К (t)\dt.

-л

Правую часть неравенства можно представить по-другому

К (/(0, *) - /(*)I ^ М ■ П\срп (/) • {t)dt,

-л где (pn{t) = \t\- signwn(t).

Все функции (рп (?) имеют разрывы первого рода, следовательно, классу Ырм 1 они не принадлежат.

Получить неулучшаемую оценку, можно только найдя функцию, принадлежащую классу Ь1рм 1, даюшую максимальное значение функционала

-л

Если для каждого п найдена такая функция получено равенство ж лСО^лСО^ = Анп~Х то константу Ан будем называть точной кон

-л стантой в оценке приближения операторами Ьп(/(О?х)функций класса Ырм\. Диссертационная работа включает две главы.

В первой главе рассматриваются некоторые общие вопросы, касающиеся аппроксимирующих последовательностей операторов т ' . 2 ? Л

8Ш -П ¿=1

2лк: соб^-СОБ

V » ) я (л п-т-1 Л

Я-я V2 «=1 У

В настоящее время основные положения теории этих операторов можно считать известными. Хотя полного изложения пока не появилось (думается это дело ближайшего будущего), однако можно сформулировать следующие положения: п

1. При фиксированных т, к{,.,кт в условиях т> 1, 0 < А:, <. < кт < — нормы равномерно ограничены по п;

2. Порядок насыщения М1пт](к]'~'кт) равен п~2т~1;

3. Классы ЖгНа приближаются операторами м[т]{ки"',кт) с наилучшим порядком при условиях:

• если г < 2т, 0 <а<\,

• если г = 2т, О <а < 1 (класс W°Haсовпадает с классом Lipa)',

4. Функции класса РГ2"1//1 приближаются операторами с порядком «"2т"11п« [18];

5. При г > 2т, 0<а<1 функции классов 1¥гНа приближаются операторами ^\т]{кх,.,кт) с ПОрЯДКОМ насыщения.

План приведенного в первой главе изложения основных положений теории операторов Баскакова сложился под влиянием идеи профессора В. В. Аре-стова, который проявил внимание к работе и дал ряд весьма полезных советов. Приводимый в п. 1.2 простой вывод формулы интегралов 'М принадлежит ему. Способы, применявшиеся в работах [2], [8], [И] гораздо сложнее. Тем же простым методом доказывается, что при 0 <г<т ""'кт* = 1 (теорема

Основой для ряда результатов главы 1 являются следующие вспомогательные утверждения, доказанные в п. 1.3:

1) при любых фиксированных т и к1 г = и при 0 <Зп <п — е е > 0, как угодно мало) в условиях п8п оо

1.2). предложение 1.1)

8п где - ядро оператора 2) если обозначить я я

Jn (а) = 2 \taun (t)dt, Ап {а) = 2 ¡ta \ип {t)\dt, о о

А{а) = 2l+a7ü2m~xY\k2j ¡ I 5Ш tdt , 1 то при 0 < а < 2m +1

Уи(а) = + Л (а) = + f„(o0, при этом max(¡ гп («J | Г„ М) -УАа)~ °{па )• (предложение 1.2) На основе этих предложений получены: 1) оценка норм (теорема 1.3) sin tdt lim

П-* оо

AfMfo--*») =27t2'"-1n^2/' m 1

2) оценка приближения функций класса Ь1рма (см. (1.7));

3) оценка приближения функций в точке разрыва производной (теорема

1.5)

M(^m){mxh2(/;(;с)-/Ч*)У-VПк)] .sin2tdt +

7=1 °'П(*>2-'2)

J-l

4) оценка приближения операторами функций классов WxHa и

W2Ha (теоремы 1.8 и 1.9).

В п. 1.7 предложение 1.2 обобщается и на основе этого обобщения получена теорема 1.7. Приведем ее формулировку: пусть f(t) имеет в точке t-x односторонние производные (j/+'(*)| < |/-< существует с > О такое, что /(t) имеет непрерывную производную на [х - с,х] и на [лг,дг + с]. Тогда

1 = / п

Г 2г\ х + — V п) где Ф{г) = 2я

7=1

Во второй главе производится уточнение констант в оценках приближения операторами функций, принадлежащих классам Ырма, 0 < а < 1.

В п. 2.1 получена оценка приближения функций класса Ырм 1 операторами с точной константой:

- /И * МА^П* + 0(п-'),

• sin2 tdt 1 sin2 tdt

Olll IU1 e ¡Mil li.€1 t(ky-t2)~>t(/¿y- r2) при этом r0 удовлетворяет paгде А[${к) = 4к27Г f sin2 tdt

Задача поиска сводилась к решению оптимизационной задачи - нахождению максимума некоторой специальным образом построенной функции одной действительной переменной. Сама задача поиска максимума решалась традиционными методами дифференциального исчисления. В работе [28] по той же схеме была найдена константа для чего пришлось искать экстремум функции дух переменных.

Но применить этот способ в более сложной ситуации представляется довольно проблематичным. Возникают серьезные трудности технического характера.

Необходимость в преодолении этих трудностей отпала ввиду того, что был обнаружен другой метод нахождения констант ""кт). Более того, этот метод можно применять к операторам, не входящим в группу операторов п

Остальная часть второй главы (кроме п. 2.1) связана с упомянутым выше методом.

Задача нахождения Л^*1.сводится к нахождению экстремального значения функционала т ^ sin tdt

1 о

1П(А2-'2) 1

Ф е {<рк(0}, где Л = (Л1,.,Л ), Л е [ktxтг,к^}, к0=0,

Рл t) = (-lj(t-X -AjX-lY te[X ,,Х i+1J, / = 0,1,.,/и, (при этом

7=0 полагаем при этом X = ОД ж+1 = оо).

Общая постановка задачи о нахождении экстремального значения функционала формулируется следующим образом.

00

Функционал определяется равенством ?](/)= , где сумо мируемая на [0,оо[, непрерывная на [0,а] при некотором а> О, такая, что оо оо оо, о>0, Ж^) имеет на [о,а\ простые нули в точках о о г( , 0 < тх <. < тт < а и только в них и V/ > а sign(w(t)w(a))> 0. Если существует Л° = , б {л}, такое, что V/ = -и>0 , то Бирт]((рА) = ) (теорема 2.2). л

Если обозначить ^'""'^(или константу в равенстве sup

- л4 ■ /ме иРм 1 }= .+)> то с помощью теоремы 2.2, кроме константы yijj^ удается получить константы ^(Мг) и ^М1'2'3) Например, первая из них выглядит следующим образом 4л:3 к7к2 r sin2 tdt A sin2 tdt

J 2, . v 2 J кУ-*2)

V 1=1 »=1 у

Кроме того, в главе решена задача получения аналогичной точной константы для операторов, предложенных в работе [14] лп с л/6

1 -СОБП

11«4 + 5п2 + 4)- ю(я2 +1)

БШ ■ Ы 6

БШ

COSt - СОБ

V П J

Ж.

В п. 2.7 исследуется динамика изменения с увеличением к. Показано, что (теорема 2.6) А$к) = 0^пк).

В п. 2.9 рассматриваются оценки приближения операторами функций класса Ырма. В этих оценках получены константы, которые обозначены , и А^1'2'^'", однако оставлен открытым вопрос, являются ли эти константы точными.

В заключении подводятся итоги и обсуждаются перспективы дальнейших исследований.

Таким образом, основными результатами диссертационной работы являются:

• в первой главе: оценки приближения операторами .кт) функций классов Ырма, Ж1 На, Ж2На,

• во второй главе: полученные значения (в виде аналитических выражений) констант А[${к\ л£Ки'3).

Результаты первой главы имеют некоторые пересечения (которые отмечены в тексте) с результатами, полученными другими авторами. Результаты второй главы (за исключением, разве что только п. 2.1) полностью оригинальны.

Список литературы включает источники, цитируемые в тексте диссертации, а также некоторые другие, относящиеся к рассматриваемой теме.

Заключение диссертации по теме «Математический анализ», Коган, Евгения Семеновна

Заключение

Основным результатом диссертационной работы является метод получения констант в оценках приближения операторами некоторого специального вида функций классов Ырма, 0<а<\, при этом в отдельных случаях константы при а -1 являются точными (не улучшаемыми).

Метод основан на теореме 2.2 (об экстремальном значении функционалов вида ?7(Л = ]/(0П0Ж)о

Данный метод применяется к операторам вида

-я

В диссертации рассматривается применение этого метода к операторам В. А. Баскакова

М1пт]{к"-'кт)(/(0,х) sin2i=i п тт J/(' + *)-

-ЯГ cin2 2 * т-тГ ^ sin — cosí-eos-

2Ul п J dt, а так же к операторам, введенным Е. М. Ершовой (см. п.2.5). Например, получена оценка для /(?) = Ырм 1 м№"'> х)-Ах\| < Лйф* V + о{п'), где константа г

-н является точной jO „ lO юг sin2 tdt Á sin2 tdt J 2 . J" 2

V 1=1

Ч\[{к2тг2-12) Ítf[(kfx2 -t2) j=1

Здесь á{ и Á2 должны удовлетворять равенствам я| sin2 tdt j sin2 tdt 0

At2i\fcv-í2) 4í2n(^2-/2) i=i

Кроме того, получены точные константы в оценках приближения функций класса LipM 1 операторами В. А. Баскакова при т = 1 и при т-3, к^, к2 > ^з) = (1»2,3).

Приведем предполагаемый вид точных констант в общем виде (для любых операторов В. А. Баскакова)

А^-^Ш)1] тт*1пЧ dt, I где z(f) = 1 для при четном z(í) = -l для t при нечетном /, / = 1,.,/и удовлетворяют равенствам sin2 tdt 0 л> t2f\{k27r2-t2) /=1

Точку в этом вопросе мешает поставить, то что существование множества удовлетворяющего выше приведенным равенствам, пока не доказано, кроме оговоренных ранее случаев (т = 1, т = 2, m = 3 при этом (кх,к2,кг) = (1,2,3)).

Для а < 1 метод позволяет найти некоторые константы в оценках приближения функций класса LipMa операторами В. А. Баскакова в случае, если доказано существование множества Вид этих констант приведен в формулировке теоремы 2.8. Вопрос о их точности остается открытым.

Заметим, что существуют операторы, для которых теорема 2.2 не применима (см. [20]).

Таким образом, остаются следующие проблемы в решении задач о точных константах в оценке приближения функций класса LipM 1 операторами Баскакова и другими конструкциями, имеющими ядра с фиксированным числом простых нулей:

1) затруднения, связанные с доказательством возможности применения теоремы 2.2;

2) отсутствие методов получения точных констант в том случае, когда условия теоремы 2.2 не выполняются.

67

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Коган, Евгения Семеновна, 2004 год

1. Абакумов Ю. Г. О методе В. А. Баскакова построения операторов класса S2m //Вестник ЧитГТУ. Выпуск 13. Чита, 1999. - С. 119 - 126.

2. Абакумов Ю. Г. Некоторые уточнения к «методу разрывной мажоранты» //Математический анализ и его приложения. Выпуск 5. Чита, 2002. - С. 3-8.

3. Абакумов Ю.Г., Банин В.Г. О наилучшей константе в оценке приближения функций класса Нхм тригонометрическими операторами Баскакова. //Математический анализ и его приложения. Выпуск 4. Чита, 2000. - С. 8 -16.

4. Абакумов Ю.Г., Банин В.Г. Об одном подходе к исследованию аппроксимативных свойств линейных операторов //Изв. вузов. Математика. 1991. -№ 11.-С. 3-6.

5. Абакумов Ю.Г., Банин В.Г. Последовательности линейных функционалов, положительных на некоторых конусах, и аналоги теорем Коровкина //Чита: ЧитГПИ, 1986. Деп. в ВИНИТИ 11.11.86, № 7695.

6. Абакумов Ю.Г., Забелина Н.А., Шестакова О.Н. О последовательностях линейных функционалов и некоторых операторах класса S2m //Сибирский математический журнал. Т. 41. Выпуск 2, 2000. С. 247 - 252.

7. П.Баскаков В. А. Об операторах класса S2m, построенных на ядрах Фейера. //Применение функционального анализа в теории приближений. Сборник научных трудов. Тверь, 2001. - С. 5 - 12.

8. Виденский B.C. Линейные положительные операторы конечного ранга. Л.: ЛГПИ, 1985.

9. Дубровина Т. В. Оценка некоторых характеристик операторов Баскакова //Вестник ЧитГТУ. Выпуск 17. Чита: ЧитГТУ, 2001. - С. 58 - 61.

10. Ершова Е. М. Операторы класса S2 на основе обобщенного ядра Джексона

11. Применение функционального анализа в теории приближений. Сборник научных трудов. Тверь, 2001. - С. 46 - 50.

12. Ершова Е. М. Операторы класса S2m и их аппроксимативные свойства. Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук. Москва: Институт электроники и математики, 2002. -13 с.1. О 1

13. Забелина Н. А. Оценка приближения функций класса W'H1 тригонометрическими операторами Баскакова //Вестник ЧитГТУ. Выпуск 20. Чита: ЧитГТУ, 2001.-С. 161 - 165.1. Л |

14. Забелина Н. А. Оценка приближения функций класса тригонометрическими операторами Баскакова М^1'""^ //Вестник ЧитГТУ. Выпуск 29. -Чита: ЧитГТУ, 2003. С. 150 - 152.

15. Забелина Н. А. Приближение операторами Баскакова м^х,""кт) функцийклассаw2mH\ //технические науки, технологии и экономика. Третья межрегиональная научно-практическая конференция. Материалы конференции. Часть 1. Чита: ЧитГУ, 2003. - С. 30 - 34.

16. Зигмунд А. Тригонометрические ряды. Т 2. М.: Мир, 1965. - 538 с.

17. Карымова Е. Ю. Некоторые экстремальные задачи, связанные с явлением Гиббса //Вестник ЧитГТУ. Выпуск 19. Чита: ЧитГТУ, 2001. - С. 37 - 39.

18. Карымова Е. Ю. Оценка величин, характеризующих явление Гиббса операторов Баскакова и некоторых линейных комбинаций. //Математический анализ и его приложение. Выпуск 5. Чита: ЗабГПУ, 2002. - С. 49 - 55.

19. Корнейчук Н. П. Точные константы в теории приближения М.: Наука. Гл. Ред. Физ. - мат. литературы, 1987. - 424 с.

20. Коровкин П. П. Линейные операторы и теория приближений. М.: Гос. издательство физ.-мат. литературы, 1959. - 211 с.

21. Коровкин П. П. Сходимость последовательности линейных операторов //УМН.- 1962.-Т. 17, №4 (106).-С. 147- 152.

22. Крылов В. И. Приближенное вычисление интегралов. М.: Наука, 1967. -500 с.

23. Мацкевич С. Б. О некоторых свойствах оператора Баскакова класса S2m //Математический анализ и его приложение. Выпуск 4. Чита: ЗабГПУ, 2000.-С. 76-78.

24. Савченко Ю. В. Об одной последовательности операторов класса S2 //Применение функционального анализа в теории приближений. Тверь: ТвГУ, 1999.-С. 209-214.

25. Коган Е.С. Приближение операторами М^ функций класса LipM 1 //Математический анализ и его приложение. Выпуск 4. Чита: ЗабГПУ, 2000.-С. 68-72.

26. Коган Е.С. Точная константа в оценке приближения операторами mJ2^1'2^ функций класса LipM\. //Технические науки, технологии и экономика: Тез. докл. научно-практич. конф. Чита: ЧитГТУ, 2001. - С.77 - 82.

27. Коган Е.С. Оценка приближения операторами функций класса LipM 1. //Энергетика в современном мире. Тезисы докладов. Чита: ЧитГТУ,2001.-С. 196-198.

28. Коган Е. С. Некоторые свойства операторов

29. Mm.{kt,k2,.,km) //Вестник Чит

30. ГТУ. Выпуск 23. Чита, 2002. - С. 147 - 156.

31. Коган Е.С. Об определении точных констант в оценке приближения функций класса LipM 1. тригонометрическими операторами //Вестник ЧитГТУ. Выпуск 25 Чита: ЧитГТУ, 2002. - С. 147 - 156.

32. Коган Е.С. Приближение операторами функций класса LipM 1. //Математический анализ и его приложение. Выпуск 5. Чита: ЗабГПУ,2002.-С. 55-62.

33. Коган Е.С. Об оценке приближения операторами Баскакова функций класса Lipма //Вторая межрегиональная научно-практическая конференция: «Энергетика в современном мире». Чита: ЧитГУ, 2003. - С. 149-151.

34. Коган Е.С. Улучшение оценки приближения операторами Баскакова функций класса LipMa //Технические науки, технологии и экономика. Третья межрегиональная научно-практическая конференция. Материалы конференции. Часть 2. Чита: ЧитГУ, 2003. - С. 96 - 97.

35. Коган Е. С. Тригонометрические операторы Баскакова и некоторые задачи, связанные с ними //Математика и ее приложения: Журн. Иванов, матем. об-ва. Выпуск 1. 2004. - С. 79 - 93.