Аппроксимативные свойства некоторых операторов класса Sm и их двумерных аналогов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Шестакова, Ольга Николаевна

• Шестакова, Ольга Николаевна
• кандидат физико-математических наук
• 2004

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Шестакова, Ольга Николаевна

Введение.

Глава 1. Аппроксимативные свойства некоторых операторов класса S„,.

§1.1. Вводные замечания.

§ 1.2. Операторы класса S\.

§ 1.3. Приближение классов// и операторами класса Si. Непериодический случай.

§ 1.4. Класс S4.

§ 1.5. Классы S2m. Оценка скорости приближения по порядку.

§ 1.6. Приближение функций классов Я1 и WXHX операторами класса S2 в периодическом случае. ф

§ 1.7. Тригонометрические операторы Баскакова.

Глава 2. Двумерные аналоги некоторых операторов класса Sm.

§ 2.1. Общие замечания.

§ 2.2. Двумерные аналоги операторов класса Si.

§ 2.3. Случай положительности одного из ядер. Общие соображения. ^

§ 2.4. Двумерные аналоги операторов классов S2 и S4.

Случай положительности одного из ядер.

§ 2.5. Двумерные аналоги операторов класса S2. Случай, когда оба ядра меняют знак.

§ 2.6. Двумерные аналоги операторов класса S2 в периодическом случае. g

§ 2.7. Двумерный вариант операторов Баскакова.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Аппроксимативные свойства некоторых операторов класса Sm и их двумерных аналогов»

Актуальность проблемы (работы). Теория приближения функций является классической проблемой математического анализа еще с XVIII-XIX вв., она решалась в различных направлениях в трудах Тейлора, Фурье, Вейерштрасса, П. J1. Чебышева, А. А. Маркова и др. В XX в. ей посвятили свои работы М. В. Келдыш, М. А. Лаврентьев, С. М. Бернштейн, А. Н. Колмогоров, С. М. Никольский, Дж. Джексон, Дж. Л. Уолш и др.

Диссертационная работа относится к теории приближения, одной из задач которой является получение оценок вида

Ln(JV),x)-f(x)\\<an(f) -> О, где /(.v) - приближаемая функция, L,, - приближающая последовательность линейных операторов. В 60-70 гг. П. П. Коровкиным, а впоследствии IO. Г. Абакумовым и их учениками были проведены исследования операторов L„ класса S,„.

Цель работы - развитие и модификация методов исследования аппроксимативных свойств приближающих последовательностей линейных операторов, которые ранее успешно применялись к случаю положительных операторов по схеме П. П. Коровкииа с применением метода интерполяции и распространения его на двумерный случай.

Научная новизна и практическая значимость работы. В работе впервые опытом применен метод интерполяции к исследованию аппроксимативных свойств линейных операторов, относящихся к классам Sj и 64. Получены также некоторые новые результаты, относящиеся к более общим классам S2m. Существенно новым является рассмотрение двумерных аналогов операторов класса т. к. подобные исследования ни кем ранее не проводились.

Все основные результаты диссертации являются новыми и относятся к следующим направлениям: 1) исследование аппроксимативных свойств операторов класса Si,,,, 2) исследование аппроксимативных свойств двумерных аналогов операторов класса 6'2, 3) исследование аппроксимативных свойств двумерных операторов, ядра которых образованы положительным ядром и ядром, меняющим знак т раз, 4) применение общих оценок к тригонометрическим операторам В.А. Ваекакова.

Главный итог полученных результатов:

Операторы классов S2 и S* при естественных о них предположениях дают на классах и И7'// порядок приближения не хуже, чем положительные операторы. Имеющиеся примеры показывают, что на классах более гладких функций операторы этих классов могут давать порядок приближения лучший, чем положительные операторы.

Некоторые из результатов диссертации уже использованы в работах других авторов в дальнейшем изучении теории аппроксимативных свойств операторов.

Методы исследования. В диссертации применяются современные методы функционального анализа, теория аппроксимации, а также упомянутый ранее метод интерполяции, который базируется на единой схеме вывода оценок, кратко описываемой следующим образом:

- по исследуемой функции строится вспомогательная;

- выводятся оценки относительно этой функции и полиномов (или других конструкций), аппроксимативные свойства которых считаются известными;

- неравенства относительно функций преобразуются в неравенства относительно операторов.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались: I) на научных семинарах:

- кафедры математического анализа Забайкальского государственного педагогического университета под руководством проф. С. Е. Холодове ко го (г. Чита, 1999-2001 гг.);

- кафедры высшей математики Хабаровского государственного технического университета под руководством проф. А. Г. Зарубина (г. Хабаровск, 2001 г.);

- Института прикладной математики Дальневосточного отделения Российской Академии наук под руководством чл.-корр. РАН, проф. 1-1. В. Кузнецова (г. Хабаровск, 2000-2002 гг.);

2) на ежегодных научных конференциях Читинского государственного технического университета (Чита, 1994-2000 гг.);

3) систематически на семинаре кафедры прикладной математики ЧитРГУ по руководством доп. I I. В. Розовой;

4) на международной конференции по теории приближений (Калуга, 1996 г.).

Публикации. Основные результаты опубликованы в работах [10, 39-52], из совместных работ в диссертацию включены результаты, принадлежащие автору.

Объем и структура работы. Диссертация изложена на 84 страницах компьютерного текста и состоит из введения, двух глав, заключения и списка литературы, включающего 52 наименования.

Заключение диссертации по теме «Математический анализ», Шестакова, Ольга Николаевна

в предлагаемой диссертации проведено исследование аппроксиматив ных возможностей некоторых классов линейных операторов. В первой главе рассматривались операторы класса S„„ удовлетворяющие определенным ус ловиям, но второй главе - их двумерные аналоги.Вывод оценок производился \\о единой схеме, которую условно можно назвать методом интерполяции. Подобного рода схемы являются развитием схемы, использованной еще П. П. Коровкиным.В статье [46] две схемы такого типа описаны в терминах линейных гюрмированных пространств. Их конкретизация дает два метода получения оце1юк, которые условно можно назвать -методами "интерполяции" и "раз рывной мажоранты". В диссертации использовался только первый из этих методов. (Заметим, "метод разрывной мажоранты" использовался

10. Г Абакумовым [3], Н. А. Забелиной [21]).Название "метод интерполяции" возникло в связи с тем, что вспомога тельная функция имеет вид: <7^ (*) = ./•(•)-1,4*), где.!,'(/) в одномерном случае интерполяционный полином Лагранжа для/(/).Перенести эту методику на двумернь!й случай удается ценой внесения огра ничений на вид операторов.К преимуществам "метода интерполяции" относится то, что в получае мых оценках не используется норма операторов. Однако применение его свя зано с техническими трудностями, которые возрастают с увеличением раз мерности и индекса /;/ класса S,„. Метод "разрывной мажоранты" более уни версален, но использует нормы операторов и дает более грубые оцешси.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Шестакова, Ольга Николаевна, 2004 год

1. Абакумов 10. Г. Аналог теоремы П. П. Коровкина для одного класса линейных операторов // Применение функционального анализа в теории приближений. - Кали1шн: КГУ, 1975, вып. 6. 3-4.

2. Абакумов 10. Г. О возможностях одного подхода к исследованию аппроксимативных свойств линейных операторов // Мат. анализ и его приложения. Вып. 3. - Чита: ЗабГПУ, 1998. 5-10.

3. Абакумов Ю. Г. Об операторах класса 52,„(//„) // Мат. анализ и его приложения. Вып. 4. - Чита: ЗабГПУ, 2000. 3-7.

4. Абакумов 10. Г., Банин В. Г. Модификации теорем Климова, Красносельского и Лифтииа и исследование аппроксимативных свойств линейных операторов.Часть 3. - Чита, 1991. - 17 с , Деп. в ВИНИТИ, №3348-В91.

5. Абакумов 10. Г., Банин В. Г. Об одном подходе к исследованию аппроксимативных свойств линейных операторов // Изв. ВУЗов. Математика., 1991, № 11. 3-6.

6. Абакумов 10. Г., Банин В. Г. Аппроксимативные свойства некоторых классов линейных операторов. - Чита: СО РАН, ЧГПИ, 1993. - 62 с.

7. Абакумов 10. Г., Банин В. Г. Линейные функционалы и условия ашфоксимаиии. Учеби. пособие.- Чита: ЧГПИ, 1993.-42 с.

8. Абакумов 10. Г., Банин В. Г., Морбоев Б. Р. Об одной последовательности операторов В.Л. Баскакова, принадлежащих классу Sj. - Чита, 1988. - 5 с. Деп. в ВИНИТИ 18.02.88, N 1316.

9. Баскаков В. А. Об одном методе построения операторов класса Si,,,. // Теория функций и приближений. Интерполирование по Лагранжу.-Саратов, 1984.-С. 19-25.

10. Васильев Р. К. Порядок приближения функций на множестве положительной меры полиномиальными операторами класса S,,,. // Тезись! и программа международной конференции по теории приближения функций. Калуга, 24-28.07. 1975. - 23-24.

11. BacHJH,eB Р. К. Порядок приближения функций на множествах полиномиальными операторами класса 8,„. // Матем. заметки.-1976.-'r.20.N3.-S.409-416.

12. Виденский B.C. Линейные положительные операторы конечного ранга. Л.:ЛГПИ, 1985.-68 с.

13. Волков А. В. Об одном операторе типа Фейера-Коровкина // Применение функ. анализа в теор. прибл. - Тверь: ТвГУ. 26-30.

14. Гельфонд А. О. Исчисление конечных разностей. - М.: Наука, 1967. - 376 с.

15. Дуди1! В. И. О наилучшем приближении функций класса Н' операторами класса ЛУ/ Теор.механ. Строит.механ, Высшая матем. Московск. автомобильно-дорож1н,н"1 ин-т. - М.: 1969. - 191-194.

16. Забелина 11. Л. Приближение периодических функций класса Lip 1 операторами класса Л':,,,// Мат. анализ и его приложения, вып. 3. - Чита: ЗабГПУ, 1998.-С. 53-54.

17. Коваленко Л. И. О некоторых методах суммирования рядов Фурье.// Матем.сб. - 1966. - Т. 71. N 4. - 598 - 616.

18. Корнейчук Н. П. Точные константы в теории приближений. - М.: Маука, 1987. - 424 с.

19. Коровкин П. П. О сходимости линейных положительных операторов в пространстве непрерывных (|)ункций //Докл. ЛИ СССР. 1953. Т. 90. № 6. 961-964. 25.1\оровкин П. П. Линейные операторы и теория приближения. - М.: <|)и-5матпгз, 1959. - 212 с.

20. Коровкин 11. П. Сходящиеся последовательности линейных операторов. // Успехи матем. наук. - 1962. - Т . 17. N 4(106).- 147-152.

21. Butzer Р. L., Stark L. Оп а trigonometric convolution operator with kernel Having two zerosof simple multiplisiti // Asta. Math. Acad. Sci. llungar.1969.20. P. 451 -461.

22. Szabados .1. On convolution operators with kernels of Unite ascillation. - Asta Math. Acad. Sci. Nung., 1976, vol. 27(1-2), p. 179-192.

23. Vassiliev R. K. Certaines metodes de sommation de series de Fourier donnant le meileur ordre d'approximation // Acta Math. Hungar, 63(1), 1994, p. 65-102.

24. Фортуна П., Шестакова О. II. О некоторых операторах класса 8г и об их двумерных аналогах // Международная конференция по теории приближений. Тезисы докладов. - Калуга, 1996. 219 - 220.

25. Шестакова О. II. Об аппроксимативных возможностях некоторых операторов класса 6'| // Мат. анализ и его приложения, вып. 2. - Чита: ЧитГПИ, 1996.-С. 50-52.

26. Шестакова О. И. О некоторых теоремах тестового типа//Вестник ЧитГТУ. Вып. 6. - Чита: ЧитГТУ, 1997. - 3 1-32.

27. Шестакова О. И. О двумерных аналогах операторов классов S\ и Sill Мат. анализ и его приложения, вып. 3. - Чита: ЗабГПУ, 1998. - 107-113. i^

28. IIJccraKOBa О. П. Приближение операторами класса б'т и их двумерными аналогами (зункций, удовлетворяющих некоторым условиям гладкости // Дифференциальные уравнения и аналитическая теория.- Чита: ЧитГТУ, 1999. 4 4 - 5 3 .

29. Шестакова О. М. Приближение функций класса Lip 1 операторами класса Л4 // Вестник ЧитГТУ. Вып. 13.- Чита: ЧитГТУ, 1999. 109-112.

30. Шестакова О. Н. О некоторых операторах класса Si, заданных на множестве периодических функций // Вестник ЧитГТУ. Вып. 15.- Чита: ЧитГТУ, 2000. 66-71.

31. Абакумов Ю. Г., Забелина 11. А., Шестакова О. П. О последовательностях линейных функционалов и некоторых операторах класса Si,,, II Сиб. мат. журнал. 41. № 2. 2000. 247-252.

32. Шестакова 0.11. Некоторые замечания о тригонометрических операторах Баскакова // Мат. анализ и его приложения. Вып. 4. - Чита: ЗабГПУ, 2000. - С . ) ) 8 - 100.

33. Шестакова О. И. Приближение функций класса Ж'//' операторами класса Si II Мат. aiKuni3 и его приложения. Вьт. 4. - Чита: ЗабГПУ, 2000. -С. 101-103.

34. Шестакова О.Н. Об оценке аппроксимативных возможностей двумерных операторов Баскакова// Вестник ЧитГТУ. Вып. 21 . - Чита: ЧитГТУ, 2002. 163-165.

35. Шестакова О. Н. Двумерные аналоги операторов класса S^. Случай, когда оба ядра меняют знак// Вестник ЧитГТУ. Вып. 22.- Чита: ЧитГТУ, 2002, -С. 153-160.

36. Шестакова О. 11. Приближение функций класса Lip 1 операторами класса Si,„. Мат. анализ и его приложения, вып. 5. - Чита: ЗабГПУ, 2002. -С. 82-86.