Отклонение от закона Видемана-Франца и скин-эффект в тонкой цилиндрической проволоке из металла тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат физико-математических наук Русаков, Олег Владимирович

• Русаков, Олег Владимирович
• кандидат физико-математических наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Русаков, Олег Владимирович

Введение

Список обозначений

Глава 1. Применение моментного метода для расчета электрической 17 проводимости тонкой цилиндрической проволоки из металла

1.1. Постановка задачи

1.2. Функция распределения

1.3. Расчёт проводимости

1.4. Обсуждение результатов

Глава 2. Влияние отклонения от закона Видемана-Франца на 38 удельную электрическую проводимость тонкой цилиндрической проволоки из металла

2.1. Постановка задачи

2.2. Функция распределения

2.3. Расчёт проводимости

2.4. Обсуждение результатов

Глава 3. Применение моментного метода для расчета напряженности 62 электрического поля и тока внутри тонкой цилиндрической проволоки из металла с учётом скин-эффекта

3.1. Постановка задачи

3.2. Функция распределения

3.3. Расчёт напряженности и тока

3.4. Обсуждение результатов

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Отклонение от закона Видемана-Франца и скин-эффект в тонкой цилиндрической проволоке из металла»

Известно, что электромагнитные свойства тонких металлических проволок существенно отличаются от свойств массивных образцов металла [1]. Если линейный размер К образца металла будет порядка Л - длины свободного пробега электронов [2] или меньше её: К < А, то взаимодействие электронов с границей металлического образца начинает оказывать заметное влияние на их отклик на внешнее электромагнитное поле. Следствием этого и являются особые электромагнитные свойства образца (металлической частицы или проволоки). Поэтому, когда выполняется условие Я < Л, основные электромагнитные характеристики металлов - плотность тока, локальная и интегральная проводимости, сечение поглощения - обнаруживают нетривиальную зависимость от отношения Я /Л.

Развитие современных технологий приводит к уменьшению характерных размеров деталей микроэлектронных устройств, и рассматриваемые толщины металлических деталей становятся субмикронными, т.е. размером всего несколько нм. У металлов с хорошей проводимостью, таких как алюминий, медь, серебро и прочие, длина свободного пробега электронов составляет величину от десятка до сотен нм. Таким образом, условие К< Л легко достижимо на практике.

Электромагнитные свойства мелких металлических частиц изучаются сравнительно давно. Основные результаты этих исследований довольно полно отражены в имеющихся монографиях [3-6] и монографических обзорах [1, 7, 8].

В последнее время интерес к проблеме взаимодействия электромагнитного излучения с мелкими металлическими частицами значительно возрос и в связи с рядом технологических приложений. В частности, при создании композитных материалов из несущей нейтральной (не поглощающей) среды и вкраплённых в неё металлических частиц [9].

Для определения электромагнитных свойств таких сред был проведён ряд экспериментов [10-13], которые привели к неожиданным результатам. Оказалось, что поглощение дальнего инфракрасного (ИК) излучения в таких средах существенно выше (на несколько порядков), чем следует из классической теории [14-16].

Общепринятого объяснения имеющихся экспериментальных данных до сих пор не существует [14, 17], хотя для описания данной аномалии был рассмотрен целый ряд моделей.

Среди исследователей работающих над данной проблемой наиболее популярной является теория, связывающая данное явление с коллективными эффектами в дисперсной системе [18, 19]. Но эта теория не в состоянии объяснить весь спектр имеющихся экспериментальных данных [14,20,21].

Возникшая ситуация делает необходимым тщательное теоретическое изучение электромагнитных свойств мелких металлических частиц. Из сказанного выше следует, что для этого нужно уметь описывать отклик электронов проводимости на внешнее электромагнитное поле в образце размером II при произвольном соотношении между ЯиЛ (т.е. с учётом взаимодействия электронов с границей образца) [22-24].

В качестве аппарата способного описывать отклик электронов на внешнее электромагнитное поле, с учётом взаимодействия электронов с границей образца, может быть использована стандартная кинетическая теория электронов проводимости в металле [22]. В этом случае ограничения на соотношение между длиной свободного пробега электронов и размером образца не накладываются.

Попутно заметим, что большое значение при кинетическом описании имеет точность решения интегро-дифференциального уравнения Больцмана. Часто для решения этого уравнения применяется моментный метод. В связи с чем, отдельного внимания заслуживает работа [25], в которой изложена техника вычисления моментов интеграла столкновений для произвольного класса задач.

В некоторых экспериментальных работах исследователи опирались на классические представления теории Ми [26 - 29] для интерпретации наблюдаемых линейных оптических свойств частиц из золота, серебра, меди [28] и олова [29] различных размеров. Используя продольную диэлектрическую функцию, авторы объясняют полученную частотную зависимость, но не аномально большую величину наблюдаемого поглощения.

В рамках уравнения макроскопической электродинамики эта теория применима лишь для случая «массивных» образцов металла, для которых выполняется условие Я »Л. Впрочем, в ряде работ [9, 14, 30] был предложен способ, как некоторый рецепт экстраполяции классических результатов теории Ми на случай выполнения условия Ядиэлектрической проницаемости е от величины К /А позволяет грубо учесть влияние границ образца на релаксационные свойства электронов. В некоторых случаях, таким образом, удаётся довольно правильно оценить влияние указанного размерного эффекта даже для весьма мелких частиц. Впрочем, использование таких приёмов не представляется вполне обоснованным и не может заменить последовательный кинетический расчёт отклика электронов на внешнее электромагнитное поле в образце конечных размеров.

Ряд работ [31 - 37] посвящен применению известной обобщенной формулы Друде [38] для нелокальной оптической проводимости малых металлических частиц.

В работах [39, 40] высказывалось предположение о возможном существенном влиянии зеркального отражения электронов от поверхности на электромагнитные свойства мелких металлических частиц. Автор попытался связать возможное преобладание зеркального рассеяния с наблюдаемым аномальным поведением сечения поглощения мелких металлических частиц в дальнем ИК - диапазоне.

В работах [41,42] проанализировано ИК-поглощение мелких металлических частиц сферической формы с помощью упрощённой кинетической модели. Обнаруженное ИК-поглощение на несколько порядков превышает величину поглощения, полученного по обычной формуле Ми.

В работах [43, 44] в рамках классической теории проведена оценка поглощения электромагнитного излучения металлическими частицами. Авторы пытаются получить согласие расчётных и экспериментальных частотных зависимостей "эффективного фактора поглощения" частицами серебра, золота и алюминия. Также в работах рассматривается размерная зависимость поглощения электромагнитного излучения мелкими металлическими частицами в ИК-диапазоне. Проблема аномального поглощения инфракрасного излучения мелкими металлическими частицами обсуждается в работе [45].

В работах [46, 47] обсуждаются вопросы, связанные с нелокальностью оптической проводимости мелких металлических частиц, а работах [48, 49] зависимость их электромагнитного поглощения от размера и температуры.

Альтернативный подход к проблеме предложен и развивается в работах [50-54]. В данных работах проведены численные расчёты "фактора эффективности поглощения" ультрадисперсной сферической частицы серебра (частица радиусом 14.2 нм) по соотношениям теории электрооптического эффекта и теории Друде (обобщённой на случай классического размерного эффекта) с рассмотрением влияния на "фактор эффективности поглощения" собственного теплового излучения частицы. К этой же серии можно отнести работы [55-57].

Однако при облучении мелких металлических частиц электромагнитными волнами, частоты которых принадлежат дальнему ИК-диапазону, превалирующим является их магнитное дипольное поглощение. Ряд работ посвящен теоретическому анализу этого эффекта.

В работах [58, 59], а также [60-69], рассмотрено взаимодействие электромагнитного излучения со сферической частицей.

В [58] авторами в дипольном приближении вычислено сечение поглощения электромагнитного излучения металлической частицы сферической формы. Расчёт выполнен для случая достаточно низких частот (ИК- диапазон и ниже), когда вклад вихревых токов в поглощение доминирует, и для сравнительно мелких частиц 10 нм), что позволяет пренебречь скин-эффектом. Авторами показано, что в пределе больших длин свободного пробега имеет место осциллирующая зависимость сечения поглощения от частоты внешнего излучения. Также в работе обсуждается возможность экспериментального наблюдения указанных осцилляций.

В [59] рассчитано сечение магнитного дипольного поглощения сферической частицы металла при условии, что отражение электронов от поверхности образца носит смешанный (зеркально-диффузный) характер. Проведён анализ связи данной теории с феноменологическим описанием, которое основано на нелокальной модификации известных формул Друде для проводимости и диэлектрической проницаемости металла. Проанализирована возможная связь между аномально высокой степенью зеркальности отражения электронов и аномально большим наблюдаемым сечением поглощения в дальнем ИК-диапазоне. При этом, как и в работе [58], считается, что радиус частицы мал по сравнению с характерной глубиной скин-слоя.

В предельном случае 11«Л на низких частотах (дальний РЖ-диапазон) этот результат совпадает с результатом, полученным в работах [30, 70]. В упомянутых работах применяется подход, основанный на решении кинетического уравнения Больцмана для электронов проводимости в металле.

В работах [1, 3] по поглощению в металлической частице для вычисления оптических величин использовалось кинетическое уравнение для электронов в тау-приближении. При этом в расчетах не принимались во внимание возможные отклонения от закона Видемана-Франца, которые при низких температурах могут быть весьма существенны [71-73]. Решением данной проблемы является изменение правой части интеграла столкновения, учитывающее частичное сохранение импульса электронов при электрон-электронном столкновении. Уравнение Больцмана для электронов в таком случае превращается в двухпараметрическое [74, 75].

Работы [63-69] посвящены изучению особенностей взаимодействия электромагнитного излучения с малой металлической частицей. Проведен анализ плотности распределения вихревых токов в малой проводящей сферической частице в случаях зеркально-диффузного характера взаимодействия электронов металла с границей образца. Дано сравнение результатов для различных размеров частицы и частот падающей электромагнитной волны в отсутствии скин-эффекта. Разработан вариант моментного метода к вычислению оптических свойств малых металлических частиц. Приведено сравнение сечений поглощения в сферической частице, рассчитанных моментным методом со значением, полученным в точном кинетическом расчете. Решено модифицированное кинетическое уравнение с интегралом столкновений, учитывающим отклонение свойств металлов от закона Видемана-Франца при низких температурах, с учетом диффузного рассеяния электронов на границе образца. Проведен последовательный учет влияния скин-эффекта на сечение поглощения при произвольном соотношении длины свободного пробега электронов проводимости и размеров частицы.

Работы [76, 77] посвящены рассмотрению взаимодействия электромагнитного излучения с мелкой цилиндрической частицей из металла с учётом аномального скин-эффекта. К сожалению, окончательных результатов, которые можно было бы сравнить с результатами других авторов, в этих работах нет. Аналитическое описание скин-эффекта в металле с использованием двухпараметрического кинетического уравнения проведено в работе [78].

Отдельно можно отметить работы [79-81], в которых учитывается температурная зависимость плотности вихревого тока и сечения магнитного дипольного поглощения мелкой сферической проводящей частицы, а также работу, посвященную изучению поведения электронной плазмы внутри тонкой металлической пластины в переменном электрическом поле [82].

Сравнительно недавно возрос интерес к проблеме взаимодействия электромагнитного излучения с несферическими частицами [83]. Авторы [83] провели исследование зависимости сечения поглощения малой эллипсоидальной металлической частицы в ИК-диапазоне, но ими не учтены объёмные столкновения электронов внутри частицы.

Ряд работ [84-93] был посвящён описанию взаимодействия электромагнитного излучения с цилиндрической частицей. В этих работах подробно рассматривалось магнитное дипольное поглощение металлической частицы цилиндрической формы (в том числе и конечной длины) и было выполнено сравнение удельных (на единицу объёма) сечений поглощения сферической и цилиндрической частиц.

В работе [94] рассматривались системы ультратонких нитей металлов и полупроводников. Было проведено исследование высокочастотных свойств (СВЧ-излучение) этих систем в относительно широком диапазоне температур - от низких до комнатных.

Отметим также работы, в которых предпринята попытка учета квантовомеханических эффектов в данной проблеме, что особенно существенно при низких температурах [95, 96].

Аналитические решения граничных задач теории скин-эффекта для вырожденной (фермиевской) и невырожденной (максвелловской) электронной плазмы детально рассмотрены в монографии [97].

Влияние скин-эффекта на оптические свойства металлов уже давно привлекает внимание исследователей [98-102]. Проблеме скин-эффекта посвящено немало и теоретических работ. Вопросам скин-эффекта в плазме твердого тела посвящены монографии [103-105] и работы [106108]. Общие вопросы поведения электронной плазмы в металле подробно изложены в [71, 109]. Поглощение электромагнитного излучения металлическими частицами и влияние скин-эффекта на поглощение освещено в [110].

Не менее важно исследование электрической проводимости тонких проволок из металла. Дело в том, что в этой области существуют значительные теоретические пробелы.

В фундаментальной работе [111] впервые рассчитана электрическая проводимость тонкой цилиндрической проволоки (отношение ее радиуса к длине много меньше единицы). В первой части этой работы описаны приближённые методы для определения электрической проводимости металлических плёнок и проволок, размер которых сравним со средней длиной свободного пробега электронов. Во второй части построена строгая теория электрической проводимости тонких проволок на основании утверждения о том, что ферми-поверхность электронов является сферической, и, что на поверхности проволок происходят неупругие столкновения электронов. В третьей части эта теория обобщена на случай упругого рассеяния электронов. В заключительной части приведены экспериментальные результаты для тонкой проволоки из ртути и оценена средняя длина свободного пробега электронов. Однако в этой работе рассматривались только стационарные поля и не проводилось сравнение с экспериментом.

Позже подобные вопросы, относящиеся к тонким проводникам, не раз обсуждались в литературе [112-116].

В работе [117] приведено большое количество экспериментальных данных по исследованию температурной зависимости электрического сопротивления тонких цилиндрических проволок из серебра и меди.

Ряд работ [118-120] посвящён расчёту электрического сопротивления тонких металлических проволок прямоугольного сечения. Но говорить о том, что в этих работах проведено последовательное теоретическое описание электромагнитных свойств тонкой проволоки прямоугольного сечения не приходится. Приведённый результат написан по аналогии с результатом автора [112] для цилиндрической проволоки. При этом авторы [118-120] допустили неточности, которые не позволяют корректно описывать сопротивление прямоугольной проволоки. Кроме того, следует отметить, что влияние формы сечения проволоки на её проводимость изучено недостаточно и почти не отражено в научной литературе.

В работе [121] описан эксперимент по определению электрического сопротивления тонких проволок прямоугольного сечения. В металл, из которого изготавливались проволоки, добавлялись различные примеси.

В работе [122] исследовано влияние воздействия поперечного и продольного магнитного поля на изменение величины электрической проводимости тонких плёнок из металла.

Вопросы, касающиеся проводимости тонкой цилиндрической проволоки помещённой в магнитное поле, обсуждались в работах [123-127].

В работе [123] для чисто диффузных граничных условий рассмотрена задача о влиянии продольного магнитного поля на электрическую проводимость металлической цилиндрической проволоки. Автору этой работы не удалось получить аналитическое выражение для расчёта проводимости. Им численными методами были получены результаты только для отдельных значений параметров задачи. При этом автору [123] также не удалось получить согласие результатов с экспериментальными данными.

В работе [124] рассмотрен эффект магнитосопротивления щелочных металлов при низких температурах. Выяснено, что отклонение от модели электронного газа очень заметно в случае тяжёлых металлов.

В работе [125] проведено измерение при низких температурах электрического сопротивления стержней из чистого натрия в постоянном магнитном поле. Показано, что при относительно слабом магнитном поле в стержнях радиусами с электронную орбиту сопротивление уменьшается. В сильных полях линейное увеличение сопротивления наблюдается вместе с увеличением поля. Рост сопротивления относительно меньше при высоких температурах, когда преобладает рассеяние электронов от вибрации решётки.

В работе [126, 127] решена задача об электрической проводимости цилиндрической проволоки из металла в продольном магнитном поле с учетом зеркально-диффузного граничного условия для электронов. На основе полученного аналитического решения теоретически объяснены экспериментальные данные по магнитосопротивлению тонкой цилиндрической проволоки. Предложен эффективный метод определения коэффициента зеркальности поверхности металлов.

В работах [128, 129] рассчитана высокочастотная электрическая проводимость тонкой цилиндрической проволоки из металла (отношение её радиуса к длине много меньше единицы).

В работах [130, 131] кинетическим методом решена задача о высокочастотной проводимости тонкой цилиндрической полупроводниковой проволоки. Рассмотрен диффузно-зеркальный

10 механизм отражения носителей заряда от внутренней и внешней границы поверхности проволоки. Соотношение между радиусом поперечного сечения проволоки и длиной свободного пробега носителей заряда считается произвольным.

В работе [132] вычислена высокочастотная проводимость прямой металлической проволоки прямоугольного сечения. Рассмотрен случай, когда поперечные размеры проволоки во много раз меньше ее длины. В качестве граничных условий задачи принято условие диффузного отражения электронов от внутренних поверхностей проволоки.

Ряд работ [133-135] посвящен исследованию проявления скин-эффекта в цилиндрической проволоке из металла. В том числе в научной литературе достаточно часто встречается решение классической задачи макроскопической электродинамики о скин-эффекте в цилиндрической проволоке, например, [136-138]. Однако такое решение становится некорректным для проволок, характерный линейный размер которых сравним с длиной свободного пробега электронов в них, т. к. в этом случае необходимо учитывать рассеяние электронов не только в объёме металлического объекта, но и на его поверхности.

Для полноты картины отметим, что в последнее время в научной литературе стали появляться работы, в которых описываются электромагнитные свойства квантовых проволок [139-141]. Например, в работе [141] исследована статистическая электропроводность квантовых проволок в продольном и поперечном магнитном поле для вырожденного и невырожденного электронного газа. Расчёт электропроводности проводился по формуле Кубо с учётом процессов упругого рассеяния носителей на длинноволновых колебаниях решётки. Проведено сравнение конечных результатов для проводимости с экспериментальными данными. В частности, предлагаемая модель проводимости квантовой проволоки позволяет объяснить немонотонное поведение поперечного магнитосопротивления от величины магнитного поля.

Цель данной работы

Целью данной работы является изучение проводимости тонкой цилиндрической проволоки из металла, с учетом отклонения свойств металлов от закона Видемана-Франца и изучение влияния скин-эффекта на распределение электрического поля и электрического тока внутри тонкой цилиндрической проволоки из металла. Исследования направлены на:

11

- Аналитический расчет электрической проводимости тонкой цилиндрической проволоки из металла в случаях зеркально-диффузного характера взаимодействия электронов металла с границей образца.

- Решение задачи о проводимости тонкой цилиндрической проволоки из металла, учитывающей отклонение свойств металлов от закона Видемана-Франца, с учетом зеркально-диффузного характера рассеяния электронов на границе образца.

- Решение задачи о распределении электрического поля и электрического тока внутри тонкой цилиндрической проволоки из металла при наличии скин-эффекта с учётом зеркально-диффузного характера отражения электронов от внутренней поверхности проволоки.

Научная новизна работы

1. Впервые моментным методом рассчитана электрическая проводимость тонкой цилиндрической проволоки из металла. В качестве граничного условия задачи принято условие зеркально - диффузного отражения электронов от внутренней поверхности проволоки.

2. Впервые решена задача о влиянии отклонения от закона Видемана-Франца на электрическую проводимость тонкой цилиндрической проволоки из металла. В качестве граничного условия задачи принято условие зеркально-диффузного отражения электронов от внутренней поверхности проволоки.

3. Впервые моментным методом решена задача о распределении электрического поля и электрического тока внутри тонкой цилиндрической проволоки из металла при наличии скин-эффекта с учётом зеркально-диффузного характера отражения электронов от внутренней поверхности проволоки.

Практическая значимость

Использование особых свойств, таких как поглощение, электропроводность, коэффициент оптического преломления, магнитные свойства, прочность, термостойкость и другие, у малых проводящих образцов металла и тонкопленочных структур уже сейчас находит обширное технологическое применение.

В частности, при нанесении на поверхность твёрдых тел лакокрасочных материалов, содержащих мелкие металлические детали сложной структуры, может резко измениться поглощение таких

12 поверхностей и отражение от них. Для управления упомянутыми процессами нужно знать свойства малых проводящих образцов металла.

В добывающих отраслях на горно-обогатительных комбинатах применяется технологический метод добычи драгоценных металлов, основанный на использовании свойств наведенных вихревых токов в образцах получаемых металлов.

Современные исследования свойств малоразмерных проводящих структур и дисперсных сред выполняются также в интересах материаловедения, конструкционных материалов, биологии и медицины.

В космосе мелкие металлические объекты представляют серьёзную угрозу для летательных аппаратов. Такие объекты можно разрушать лазерными пучками, зная их основные электромагнитные свойства.

В настоящее время особенно актуальными становятся задачи по расчёту электрической проводимости тонких металлических проволок. Это напрямую связано с бурным развитием нано и микроэлектроники, где такие проволоки широко применяются.

Кинетический расчёт электрической проводимости тонких проволок из металла с использованием моментного метода позволяет уточнить границы применимости известной из классической электродинамики формулы Друде, закона Видемана-Франца, а также позволяет получить аналитические выражения в случае построения теории скин-эффекта в тонкой проволоке.

В работе проведено сравнение результатов аналитического расчёта удельного сопротивления тонкой цилиндрической проволоки, с учетом отклонения свойств металлов от закона Видемана-Франца, с экспериментальными данными для меди и серебра.

На защиту выносятся следующие результаты:

- аналитический расчет электрической проводимости тонкой цилиндрической проволоки из металла, и анализ удельной электрической проводимости тонкой цилиндрической проволоки из металла в зависимости от обратной длины свободного пробега электронов, частоты внешнего электрического поля и коэффициента зеркальности;

- решение задачи о проводимости тонкой цилиндрической проволоки из металла, учитывающей отклонение свойств металлов от закона Видемана-Франца, с учетом зеркально-диффузного характера рассеяния электронов на границе образца. Анализ удельной и интегральной

13 проводимости тонкой цилиндрической проволоки из металла в зависимости от обратной длины свободного пробега электронов, частоты внешнего электрического поля и коэффициента зеркальности;

- построение теории о распределении электрического поля и электрического тока внутри тонкой цилиндрической проволоки из металла при наличии скин-эффекта, с учётом зеркально-диффузного характера отражения электронов от внутренней поверхности проволоки. Анализ распределения электрического поля и электрического тока внутри тонкой цилиндрической проволоки из металла при наличии скин-эффекта, а также от обратной длины свободного пробега электронов, частоты внешнего электрического поля и коэффициента зеркальности.

Апробация работы

По теме диссертации опубликованы следующие работы [142-147].

Материалы диссертации докладывались на: международной конференции «Нанотехнологии и наноматериалы в лесном комплексе», на базе Государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Московский государственный университет леса» (г. Мытищи Московской области 2011г.); научной конференции преподавателей, аспирантов и молодых ученых Московской области «Связь времен и поколений. Наука, образование и искусство», посвященной 300-летию М. В. Ломоносова и 80-летию МГОУ на базе «Московского государственного областного университета» и «Естественно-экологического института» (Москва 2011г.); Шестой Всероссийской конференции «Необратимые процессы в природе и технике» на базе «Московского государственного технического университета им. Н. Э. Баумана» и «Физического института им. П. Н. Лебедева» (Москва 2011г.). Основные результаты диссертации обсуждались на научных семинарах кафедры теоретической физики Московского государственного областного университета, Центра аэро-гидрадинамических исследований и Института прикладной механники РАН.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, трёх глав, заключения и списка литературы. Работа содержит 103 страницы машинописного текста, включая 22 рисунка.

Заключение диссертации по теме «Теоретическая физика», Русаков, Олег Владимирович

Заключение

Краткая аннотация главы 1

Проведен аналитический расчет удельной и интегральной электрической проводимости тонкой цилиндрической проволоки из металла, и анализ безразмерной удельной электрической проводимости тонкой цилиндрической проволоки из металла. Рассмотрен случай зеркально-диффузного характера взаимодействия электронов металла с границей образца в зависимости от обратной длины свободного пробега электронов х, частоты внешнего электрического поля у.

Выполнено сравнение полученной удельной электрической проводимости с классическим результатом для цилиндрической проволоки (формула Друде), учитывающей столкновения электронов в объеме проволоки и с ее поверхностью.

Краткая аннотация главы 2

Решено модифицированное кинетическое уравнение Больцмана для электронов с изменённым интегралом столкновения, учитывающим отклонение свойств металлов от закона Видемана-Франца при низких температурах в случае зеркально-диффузного характера отражения электронов от поверхности образца.

Проведен аналитический расчет удельной и интегральной электрической проводимости тонкой цилиндрической проволоки из металла. Выполнен анализ удельной и интегральной безразмерной электрической проводимости тонкой цилиндрической проволоки из металла.

Приведено сравнение результатов аналитического расчёта удельного сопротивления тонкой цилиндрической проволоки с учетом отклонения свойств металлов от закона Видемана-Франца с экспериментальными данными для меди и серебра.

Краткая аннотация главы 3

Проведён учёт влияния скин-эффекта на распределение электрического поля и электрического тока внутри тонкой цилиндрической проволоки из металла при произвольных соотношениях зеркальности, частоты падающей электромагнитной волны и обратной длины свободного пробега электронов.

Проведен анализ безразмерной величины амплитуды напряженности электрического поля, безразмерной величины амплитуды плотности тока и безразмерной величины полного тока внутри тонкой цилиндрической проволоки.

Дано сравнение найденных результатов с ранее известными результатами, полученными в рамках классической электродинамики. Показано, что учет кинетических эффектов приводит к существенной модификации известных результатов по скин-эффекту в цилиндрической проволоке.

Автор диссертации выражает огромную благодарность доктору физ.- мат. наук Э. В. Завитаеву и доктору физ.- мат. наук, профессору А. А. Юшканову.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Русаков, Олег Владимирович, 2013 год

1. Морохов И. Д., Петинов В. И., Трусов Л. И., Петрунин В.Ф. Структура и свойства малых металлических частиц. // УФН, 1981, т.133, сс. 653-692.

2. Е. Н. Sondheimer. The mean free path of electrons in metals //Advances in Physics, 2001, Vol. 50, No. 6, pp. 499-537.

3. Петров Ю. И. Физика малых частиц. М.: Наука, 1982, 360с.

4. Петров Ю. И. Кластеры и малые частицы. М.: Наука, 1986.

5. Лифшиц И. М., Азбель М. Я., Каганов М. И. Электронная теория металлов. М.: Наука, 1971.

6. Киттель Ч. Квантовая теория твёрдых тел. М.: Наука, 1967.

7. Falkovsky L. A. Transport phenomena of metal surfaces. // Adv. Phys., 1983, v. 32, №5, p. 753-789.

8. Нагаев Э. Л. Малые металлические частицы. // УФН, 1992, т. 62, № 9, с. 49-124.

9. Морохов И. Д., Трусов Л. И., Лоновой В. Н. Физические явления в ультрадисперсных средах. М.: Энергоиздат, 1984, 224 с.

10. Granqvist С. G., Hunderi О. Optical properties of ultrafine gold particles. // Phys. Rev. B, 1977, v. 16, № 8, p. 3513-3534.

11. Sen P. N., Tanner D. B. Far-infrared absorption by fine-metal-particle composites. //Phys. Rev. B, 1982, v. 26, № 7, p. 3582-3587.

12. Tanner D. B. Comment about the far-infrared absorption by small particles. // Phys. Rev. B, 1984, v. 30, № 2, p. 1042-1044.

13. Cummings K. D., Garland J. C., Tanner D. B. Optical properties of a small-particle composite. // Phys. Rev. B, 1984, v. 30, № 8, p. 4170-4182.

14. Baltes H. P., Simanek E. Physics of microparticles. // Top. Curr. Phys., 1982, v. 29, p. 7-53.

15. Tanner D. B. et al. Anomalous absorption in random small particles composites. // 4 th Int. Conf. Infrared and Millimeter Waves and Their Appl., Viami beach, 1979, p. 221-222.

16. Carr G. L., Henry R.L., Russell N.E., Garland J. C., Tanner D.B. Anomalus far-infrared absorption in random small-particle composites. Phys. Rev. B, 1981, v. 24, № 2, p. 777-786.

17. Tanner D. В., Kim Y.H., Carr G. L. Infrared absorption by granular metals. // Mat. Res. Soc. Symp. Proc., 1990, v. 195, p. 3-14.

18. Schadt C. F., Cadi R. D. Thermal forces on aerosol particles in a thermal precipitator. // J. Coll. Sci., 1957, v. 12, № 2, p. 356-362.92

19. Simanek E. Mechanism for far-infrared absorption of small metallic particles. // Solid State Commun., 1981, v. 37, № 2, p. 97-99.

20. Granqvist C. G. Optical properties of ultrafine gold particles. // Elec. TranSp. And Opt. Properties InhomogeneouS Media. Conf. Ohio State Univ., N. Y., 1978, p. 196-221.

21. Devaty R. P., Sievers A. J. Far-infrared absorption by small metal particles. // Phys. Rev. Lett., 1984, v. 52, № 15, p. 1344-1347.

22. Займан Дж. Электроны и фононы. М.: ИЛ, 1962, 488 с.

23. Абрикосов А. А. Введение в теорию нормальных металлов. М.: Наука, 1979, 288 с.

24. Ландау Л. Д. Лифшиц Е. М. Теоретическая физика, т. 10. Физическая кинетика. М.: Наука, 1979, 528 с.

25. Савков С. А., Юшканов А. А. Аналитическое решение кинетического уравнения в задаче о точечных источниках в двухатомном газе. // Теоретическая и математическая физика, 2002, т. 133, № 1, с. 132134.

26. G. Mie "Beiträge zur optik trüber medien, speziell kolloidaller metallösungen," // Ann. Phys. 25, pp. 377-445 (1908).

27. Борн M., Вольф Э. Основы оптики // М.:Наука, 1973, 720 с.

28. С. F. Bohren, D. R. Huffman Absorption and Scattering of Light by Small Particles (Wiley, 1983), p 530.

29. Mishchenko M.I., Travis L.D, Lacis A.A. Scattering, Absorption, and Emission of Light by Small Particles // Goddard Institute for Space Studies, New York, 2002, p. 488.

30. Trodahl Y. J. Far-infrared absorption by eddy currents in ultrafine metal particles. // J. Phys. C: Sol. St. Phys, 1982, v. 15, № 35, pp. 7245-7254.

31. Roberts S. Interpretation of the optical properties of metal surfaces // Phys. Rev. 1955. Vol. 100. pp. 1667-1671.

32. Wilkinson M., Mehlig В. Non-local conductivity and the effective potential in small metal particles. // Eur. Phys. J. В., 1998, v. 1, № 4, pp. 397398.

33. Tanner D.B., Sievers A.J., Buhrman R.A. Far-infrared absorption in small metallic particles // Phys. Rev. 1975. V. В11. p. 1330.

34. Granquist C.G., Buhrman R.A., Sievers A.J., Wyns J. Far-Infrared Absorption in Ultrafine Al Particles // Phys. Rev. Lett. 1976. V.37. pp. 625-629.

35. A. Kawabata and R. Kubo Electronic Properties of Fine Metallic Particles. II. Plasma Resonance Absorption // J. Phys. Soc. Jpn. 21, 1765-1772 (1966).

36. L. Genzel, T.P. Martin, U. Kreibig Dielettric Function and Plasma Resonances of Small Metal Particles // Zeitschrift f. Physik B31 (1975) pp. 339346.

37. P. Apell, D. R. PennOptical, Properties of Small Metal Spheres: Surface Effects // PHYS. REV. LET., Volume 50, Number 17, 25 Aprii 1983, pp. 1316-1319.

38. Друде П. Оптика: пер. с нем. // Ленинград; Москва: Гостехиздат, 1935. 468 с.

39. Mal'shukov A. G. Far-infrared absorption in small metal particles: non- local theory. // Sol. State. Commun., 1982, v. 44, № 8, p. 1257-1260.

40. Малынуков А. Г. Инфракрасное поглощение в малых металлических частицах. // ЖЭТФ, 1983, т. 85, № 2(8), с. 700-707.

41. Дыхне А. М., Плюхин А. В., Сарычев А. К. Инфракрасное поглощение в малых металлических частицах. // Препр./ ИВТАН-1998, № 1,с. 1-11.

42. Plyukhin А. V., Sarychev А. К., Dykhne А. М. Far-infrared absorption in small metal particles. // Phys. Rev. B, 1999, v. 59, № 3, p. 16851688.

43. Погосов В. В. К вопросу о низкочастотном поглощении электромагнитного излучения малыми металлическими частицами. // Металлофизика и новейшие технологии, 2000, т. 22, № 3, с. 40-42.

44. Курбацкий В. П., Погосов В. В. Низкочастотное оптическое поглощение малыми металлическими частицами. // Письма в ЖТФ, 2000, т. 26, вып. 22, с. 84-89.

45. Grechko L. G., Pinchuk А. О., Kurshoi Yu. S., Lesjo А. О проблеме аномального поглощения инфракрасного излучения малыми металлическими частицами. // Радиофиз. и радиоастрон., 2000, т. 5, № 1, с. 95-99. Англ.

46. Didier М. Genaralized drude formula for the optical conductivity of quasicrystals. // Phys. Rev. Lett., 2000, v. 85, № 6, p. 1290-1293.

47. Wilkinson M., Mehlig B. Non-local conductivity and the effective potential in small metal particles. // Eur. Phys. J. В., 1998, v. 1, № 4, p. 397-398.

48. Кондаков О. В., Иванов К. Г., Собченко С. О. Температурная зависимость магнитооптических осцилляций в висмуте. Деп. в Винити, №-3271-В2000.

49. Emory S. R., Haskins W. Е., Shuming N. Direct observation of size-dependent optical enhancement in single metal nanoparticles. // J. Amer. Chem. Soc., 1998, v. 120, № 31, p. 8009-8010.

50. Бондарь E. А. Роль поверхностного внутреннего электрического поля в низкочастотном фотопоглощении малых металлических частиц. // Опт. и спектр., 1993, т. 74, вып. 5, с. 887-892.

51. Бондарь Е. А. Аномальное низкочастотное фотопоглощение ультрадисперсных металлических частиц. // Опт. и спектр., 1993, т. 75, вып. 4, с. 837-840.

52. Бондарь Е. А. Размерные зависимости оптических характеристик малых частиц серебра в высокочастотной области спектра. // Опт. и спектр.,1994, т. 77, № 3, с. 414-420.

53. Бондарь Е. А. О характере скин-эффекта в малых металлических частицах в высокочастотной области спектра. // Опт. и спектр., 1994, т. 77, №4, с. 651-655.

54. Бондарь Е. А. О природе квазиполупроводникового характера малых металлических частиц. // Опт. и спектр., 1996, т. 80, № 1, сс. 89-95.

55. Martinos S. S. Virtual surface plasmons in cylinders. // Phys. Rev. B, 1983, v. 28, №6, p. 3173-3181.

56. Bouqhton R.I. Size-induced deviations from Mattehiessens rule in gallium single crystals. Phys. Rev. B, 1984, v. 29, № 8, p. 4205-4210.

57. Melikyan A., Minassian H. On surface plasmon spectrum in noble metal nanoparticles rods and spheroids. // cond-mat, № 0412302.

58. Лесскис А. Г., Пастернак В. E., Юшканов А. А. Поглощение инфракрасного излучения в мелкой металлической частице. // ЖЭТФ, 1982, т.83, вып. 1, с. 310-317.

59. Лесскис А. Г., Юшканов А. А., Яламов Ю. И. Магнитное дипольное поглощение инфракрасного излучения мелкой металлической частицей. // Поверхность, 1987, № 11, с. 115-121.

60. Catelani G., Aleiner I. L. Interaction corrections to the thermal transport coefficients in disordered metals: quantum kinetic equation approach. // Препринт. A ar Xiv: cond-mat/0405333. 2004. P. 35.

61. Булыгин B.C. Определение отношения коэффициентов теплопроводности и электропроводности методом Кольрауша. // Физическое образование в Вузах. 2004. Т. 10. № 4. С. 75-80.

62. Снарский А. А., Женировский М. И., Безсуднов И. В. О законе Видемана-Франца в термоэлектрических композитах. // Термоэлектричество. 2006. № 3. С. 59-65.

63. Моисеев И.О., Юшканов A.A. Влияние скин-эффекта на сечение поглощения мелкой металлической частицы // XX научная конференция стран СНГ "Дисперсные системы", 23-27 сентября 2002, Одесса, Украина, сс. 201-202.

64. Моисеев И.О., Юшканов A.A., Яламов Ю.И. Влияние скин-эффекта на поглощение электромагнитного излучения металлической частицей // ЖТФ, 2004, том 74, вып. 1. сс. 87-92.

65. Моисеев И.О., Юшканов A.A., Яламов Ю.И. Использование двухпараметрического кинетического уравнения для вычисления электромагнитного поглощения мелкой металлической частицей // Оптика и спектроскопия, 2006, том 101, № 5, сс. 857-861.

66. Моисеев И.О., Юшканов A.A., Яламов Ю.И. Распределение плотности тока внутри мелкой металлической частицы в поле электромагнитной волны // Оптика и спектроскопия, 2008, том 105, № 4, сс. 685-690.

67. Trodahl H. J. Eddy currents in ultrafine metal particles. // Phys. Rev., 1979, v. 19, №2, p. 1316-1317.

68. Блатт Ф.Дж. Теория подвижности электронов в твердых телах. // Д.: Физматгиз, 1963. 224 с.

69. Медведь А. И. Температурные изменения термоэдс и отклонение от закона Видемана-Франца сплава Fe-Ni-Ti в мартенситно-аустенитных состояниях. // Термоэлектричество. 2006. № 4. С. 19-29.

70. Wakeham N., Bangura A. F., Xu X., Mercure J-F., Greenblatt M., Hussey N. E. Gross violation of the Wiedemann-Franz law in a quasi-one-dimensional conductor. // Nature Communications. DOI: 10.1038/ncommsl406. - Published 19 Jul 2011.

71. Гинзбург В.Л., Мотулевич Г. П. Оптические свойства металлов // Успехи физических наук. 1955. Т. LV. Вып. 4. сс. 469-535.

72. Fachs R., Kliewer K.L., Pardee W.J. Optical properties of an ionic crystal slab //Phys. Rev. 1966. V. 150. №2. pp. 589-596.

73. Van de Braak H. P., Van de Kludert L. J. M. Anomalous skin effect in cylindrical samples. // Physica. Nort-Holland Publishing C., 1974, v. 77, p. 532542.

74. Van de Kludert L. J. M., Van de Braak H. P. Anomalous skin effect in cylinders. // Journal de Physique, 1978, v 39, p. 1133-1134.

75. Латышев А. В., Юшканов А. А. Аналитическое описание скин-эффекта в металле с использованием двухпараметрического кинетического уравнения. //Ж. вычисл. мат. и мат. физ., 2004, т. 44, № 10, с. 1861-1872.

76. Кузнецова И. А., Юшканов А. А. Влияние температуры на сечение поглощения мелкой проводящей частицы. // Опт. и спектр., 2003, т. 94, №4, с. 613-617.

77. Берёзкина С. В., Кузнецова И. А., Юшканов А. А. К вопросу о магнитном дипольном поглощении электромагнитного излучения мелкой проводящей частицей. // ЖТФ, 2004, т. 74, вып. 12, с. 67-71.

78. Берёзкина С. В., Кузнецова И. А., Юшканов А. А. Кинетический расчёт плотности вихревого тока в малой проводящей частице. // ФТТ, 2007, т. 49, вып. 1, с. 6-10.

79. Берёзкина С. В., Кузнецова И. А., Юшканов А. А. Поведение электронной плазмы в тонкой металлической пластине в переменном электрическом поле. // ЖТФ, 2006, т. 76, вып. 5, с. 1-7.

80. Томчук П. М., Томчук Б. П. Оптическое поглощение малых металлических частиц. // ЖЭТФ, 1997, т.112, вып. 2(8), с. 661-678.97

81. Яламов Ю. И., Юшканов А. А., Завитаев Э. В. Влияние характера отражения электронов от поверхности на электромагнитные свойства цилиндрических частиц. // Дисперсные системы. 19 конференция стран СНГ. Тезисы докладов. Одесса, 2000, с. 65-66.

82. Завитаев Э. В., Юшканов А. А., Яламов Ю. И. Поглощение электромагнитного излучения цилиндрической частицей. Случай диффузного рассеяния электронов на поверхности. Деп. в Винити, № 2139-В2001. 23 с.

83. Завитаев Э. В., Юшканов А. А., Яламов Ю. И. Поглощение электромагнитного излучения цилиндрической частицей. Случай зеркально-диффузного отражения электронов от поверхности. Деп. в Винити, № 2138-В2001. 19 с.

84. Завитаев Э. В., Юшканов А. А., Яламов Ю. И. Поглощение электромагнитного излучения цилиндрической частицей конечной длины. Деп. в Винити, № 2140-В2001. 24 с.

85. Завитаев Э. В., Юшканов А. А., Яламов Ю. И. Поглощение электромагнитного излучения металлической частицей цилиндрической формы. // ЖТФ, 2001, т. 71, вып. 11, сс. 114-118.

86. Завитаев Э. В. Диссертация кандидата физико-математических наук. Московский педагогический Университет, 2001.

87. Богомолов В. Н., Бутко В. Ю., Павлова Т. М., Фокин А. В. Поглощение СВЧ-излучения в ультратонких нитях проводников. // ФТТ, 1996, т. 38, вып. 4, с. 983-986.

88. Лушников А. А., Максименко В. В., Симонов А. Я. В сб.: Диспергированные металлические пленки. Киев: изд. АН УССР, 1976, с. 72.

89. Маныкин Э. А., Полуэктов П. П., Рубежный Ю. Г. Теория поглощения электромагнитного излучения частицами малых размеров. // ЖЭТФ, 1976, т. 70, вып. 6, с. 2117-2126.

90. Kliewer K.L., Fuchs R. Anomalous skin effect for specular electron scattering and optical experiments at non-normal angles of incidence// Phys. Rev. 1968. V. 172. № 3. pp. 607-624.

91. Fuchs R., Kliewer K.L. Optical properties of an electron gas: further studies of a nonlocal description // Phys. Rev. 1969. V. 185. №. pp. 905-913.

92. Jones W.E., Kliewer K.L., Fuchs R. Nonlocal theory of the optical properties of thin metallic films// Phys. Rev. 1969. V. 178. №, pp. 1201-1203.

93. Kliewer K.L. Fuchs R., S-polarized optical properties of metals // Phys. Rev. B. 1970. V. 2. №8, pp. 2923-2936.

94. Keller J.M., Fuchs R.7 Kliewer K.L. P-polarized optical properties of a metal with a diffusely scattering surface // Phys. Rev. B. 1975. V. 12. №6, pp. 2012-2029.

95. Силин В.П., Рухадзе А.А. Электромагнитные свойства плазмы и плазмоподобных сред // М.: Госатомиздат, 1961. 244с.

96. Соколов А.В. Оптические свойства металлов // М.: Г. И. Ф. М. Л. 1961,464с.

97. Александров А.Ф., Богданкевич Л.С., Рухадзе А.А. Основы электродинамики плазмы // М.: Высшая школа, 2-е изд., 1988, 424с.

98. Reuter G.E.H., Sondheimer Е.Н. Theory of the anomalous skin effect in metals // Proc. Roy. Soc. 1948, V.A 195. pp. 336 352.

99. Dingle R.B. Anomalous skin effect // Physica. 1953. V. 19. pp. 311329.

100. Zimbovskaya N.A. Local Features of the Fermi Surface Curvature and the Anomalous Skin Effect in Metals // ArXiv: physics/cond-mat/0506269.

101. Платцман Ф., Вольф П. Волны и взаимодействия в плазме твердых тел // М.: Мир. 1975. 436с.

102. Андреев А.Ф. Взаимодействие проводящих электронов с поверхностью металла//УФН, 1971. Т. 105. вып. 1. сс. 113-124.

103. Латышев A.B. Юшканов A.A. Аналитические решения в теории скин-эффекта. // М.гМГОУ, 2008, 285с.

104. Dingle R. В. The electrical conductivity of thin wires. // Proc. Roy. Soc. A, 1950, v. 201, p. 545-560.

105. Chambers R. G. The kinetic formulation of conduction problems. // Proc. Phys. Soc. A, 1952, v. 65, p. 458-459.

106. De Gennaro S., Rettori A. Thelow-temperature electrical resistivity of potassium. // J. Phys. F., 1984, v. 14, № 12, p. 237-242.

107. Sambles J. R., Elson К. C. Thickness effects and the T2 dependence of resistivity of aluminium. // J. Phys. F., 1985, v. 15, № 1, p. 161-167.

108. Deschacht D., Boger A. Experimental verication of new theoretical eqwation describing electrical conductivity of thin films. // J. Mater Sei Lett., 1985, v. 4, № l,p. 25-28.

109. Akhtar S. M. J., Khawaja E. E. A study of no resistivity and thermoelectric power of thin films of Sb and Bi. // Phys. Status Sol. A, 1985, v. 87, № l,p. 335-340.

110. Bid A., Bora A., Raychaudhuri A. K. Temperature dependence of the resistance of metallic nanowires. // Phys. Rev. B, 2006, v. 74, p. 035426-1-9.

111. Durkan C., Weiland M. E. Size effects in the electrical resistivity of polycrystalline nanowires. // Phys. Rev. B, 2000, v. 61, № 20, p. 14215-1-4.

112. Steinhögl W., Schindler G., Steinlesberger G., Engelhardt M. Size-dependent resistivity of metallic wires in the mesoscopic range. // Phys. Rev. B, 2002, v. 66, p. 075414-1-4.

113. Steinhögl W., Schindler G., Steinlesberger G., Traving M., Engelhardt M. Comprehensive study of the resistivity of copper wires with lateral dimensions of 100 nm and smaller. // J. of Appl. Phys., 2005, v. 97, p. 023706-1-7.

114. F. Pierre et al. Dephasing of electrons in mesoscopic metal wires. // Phys. Rev. B, 2003, v. 68, № 20, p. 85413-1-15.

115. MacDonald D. К. C. Influence of a magnetic field on the size-variation of electrical conductivity. //Nature, 1949, v. 163, p. 637-638.100

116. Chambers R. G. The conductivity of thin wires in a magnetic field. // Proc. Roy. Soc. A, 1950, v. 202, p. 378-394.

117. MacDonald D. К. C. The magneto-resistance of the alkali metals. // Proc. Phys. Soc. A, 1950, v. 63, p. 290-292.

118. White G. K, Woods S. B. Electrical and thermal magneto-resistance in thin rods of pure sodium. // Phill. Mag., 1956, v. 1, p. 846-853.

119. Завитаев Э. В., Юшканов А. А. Зависимость электрической проводимости тонкой цилиндрической проволоки в продольном магнитном поле от характера отражения электронов. // ЖЭТФ. 2006. Т. 130, №5, С. 887-894.

120. Завитаев Э. В., Юшканов А. А. Электрическая проводимость тонкой цилиндрической проволоки в продольном магнитном поле. // ЖТФ. 2007. т. 77, вып. 6, с. 139-142.

121. Завитаев Э. В., Юшканов А. А. Высокочастотная проводимость тонкой цилиндрической проволоки из металла. // Микроэлектроника. 2008. Т. 37, № 6, С. 429-438.

122. Кузнецова И. А., Чапкин А. В., Юшканов А. А. Влияние механизма поверхностного рассеяния электронов на высокочастотную проводимость тонкой металлической проволоки. // Микроэлектроника. 2011. Т. 40, № 1,С. 45-51.

123. Кузнецова И. А., Юшканов А. А., Хадчукаев P.P. Высокочастотная проводимость тонкой полупроводниковой цилиндрической проволоки при произвольной температуре. // ФТП. 2009. Т. 43, вып. 5, С. 645- 650.

124. Кузнецова И.А., Хадчукаев P.P., Юшканов А.А. Влияние поверхностного рассеяния носителей заряда на высокочастотную проводимость тонкой цилиндрической полупроводниковой проволоки. // ФТТ. 2009. Т. 51, вып. 10, С. 2022- 2027.

125. Завитаев Э. В., Юшканов А. А. Высокочастотная проводимостьтонкой проволоки из металла прямоугольного сечения. // ЖЭТФ. 2006. т. 129, № 5, с. 938-944.

126. Е. Tuncer, D. P. Neikirk, Electron. Lett. 29, 2127 (1993).

127. В. И. Мирошниченко, В. Н. Остроушко, Электромагнитные явления. 2, 324 (2001).

128. Е. Н. Sondheimer, Advances in Physics. 50, 499 (2001).

129. JI. А. Вайнштейн, Электромагнитные волны, Наука, Москва, 440 (1957).

130. В. Смайт, Электростатика и электродинамика, ИЛ, Москва, 604 (1954).

131. Л. Д. Ландау, И. М. Лифшиц, Электродинамика сплошных сред, Наука, Москва, 620 (1982).

132. Gold A., Ghazali A. Analytical results for semiconductor quantumwell wire. // Phys. Rev. B, 1990, v. 41, № 11, p. 7626-7640.

133. Bruus H., Flensberg K., Smith H. Magnetoconductivity of quantum wires with elastic and inelastic scattering. // Phys. Rev. B, 1993, v. 48, № 15, p. 11144-11155.

134. Синявский Э. П., Хамидуллин P. А. Электропроводность квантовых проволок в однородном магнитном поле. // Физика и техника полупроводников, 2006, т. 40, вып. 11, с. 1368-1372.

135. Завитаев Э.В., Русаков О.В. Юшканов А.А. К вопросу о применении моментного метода для расчёта электрической проводимости тонкой цилиндрической проволоки из металла. // Вестник МГОУ, Сер. «Физика Математика», № 3, с. 83-89, 2011.

136. Zavitaev E.V., Rusakov O.V., Yushkanov А.А. Effect of skin effect for distribution current density inside the cylindrical wire submicron. // Scientific Israel-technological advantages, v. 14, № 1, p. 20-23, 2012.

137. Русаков О. В., Завитаев Э. В., Юшканов А. А. Скин-эффект в тонкой цилиндрической проволоке из металла. // ФТТ, т. 54, вып. 6, с. Ю41-1047, 2012.

138. Завитаев Э.В., Русаков О.В. Юшканов А.А. К вопросу об отклонении от закона Видемана-Франца в тонкой цилиндрической проволоке из металла // Вестник МГОУ, Сер. «Физика Математика», № 2, с. 122-131,2012.

139. Харрисон У. Теория твердого тела. Мир. М. 1972.

140. Коган H. М. Динамика разреженного газа // М., Наука, 1967 г.,440 с.

141. S. De Gennaro, A. Rettori. The low-temperature electrical resistivity of potassium size effects and the role of normal electron-electron scattering. // J. Phys. F: Met. Phys. 14 (1984) p. 237-242.

142. Aveek Bid, Achyut Bora, A. K. Raychaudhuri. Temperature dependence of the resistance of metallic nanowires of diameter > 15 nm: Applicability of Bloch-Griineisen theorem. The American Physical Society, Phys. Rev. В 74 2006.