Оптимизация ребристых пластин при заданной первой частоте собственных колебаний тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.23.17, доктор технических наук Моисеенко, Ростислав Павлович

• Моисеенко, Ростислав Павлович
• доктор технических наук
• 2008

Оглавление диссертации доктор технических наук Моисеенко, Ростислав Павлович

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. МАТРИЧНАЯ ФОРМА ЭНЕРГЕТИЧЕСКОГО МЕТОДА В РАСЧЁТАХ РЕБРИСТЫХ ПЛАСТИН

НА СОБСТВЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ.

1.1. Матричная форма энергетического метода в современной литературе.

1.2. Описание алгоритма.

1.3. Выводы по главе.

ГЛАВА 2. ВЛИЯНИЕ РЕБРА ЖЁСТКОСТИ НА ИЗМЕНЕНИЕ СПЕКТРА ЧАСТОТ ПЛАСТИНЫ.

2.1. Состояние вопроса.

2.2. Изменение первой частоты собственных колебаний при постановке ребра.

2.3. Определение оптимальной координаты ребра.

2.4. Определение минимальной ширины сечения, необходимой для максимального увеличения первого собственного значения.

2.5. Выводы по главе.

ГЛАВА 3. РЕБРИСТЫЕ ПЛАСТИНЫ МИНИМАЛЬНОГО ВЕСА ПРИ ЗАДАННОЙ ПЕРВОЙ ЧАСТОТЕ СОБСТВЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ.

3.1. Состояние вопроса.

3.2. Постановка задачи минимизации.

3.3. Алгоритм решения задачи.

3.4. Оптимизация ребристых пластин с шарнирными опорами на двух противоположных кромках.

3.5. Выводы по главе.

ГЛАВА 4. ОПТИМИЗАЦИЯ РЕБРИСТЫХ ПЛАСТИН ПРИ ЗАМЕНЕ ОГРАНИЧЕНИЯ В ВИДЕ ЗАКОНА СОХРАНЕНИЯ ЭНЕРГИИ

ОГРАНИЧЕНИЕМ В ВИДЕ УРАВНЕНИЯ ЧАСТОТ.

4.1. Изменение формулировки задачи оптимизации.

4.2. Разложение определителя в полином при одном ребре.

4.3. Оптимизация пластины с несколькими рёбрами.

4.4. Выводы по главе.

ГЛАВА 5. ИССЛЕДОВАНИЕ СХОДИМОСТИ СОСТАВЛЕННЫХ АЛГОРИТМОВ ОПТИМИЗАЦИИ.

5.1. Вводные замечания.

5.2. Расчёт пластины с шарнирными опорами.

5.3. Расчёт пластины с тремя защемлёнными кромками и одной свободной кромкой.

5.4. Оптимизация ребристых пластин при вынужденных колебаниях.

5.5. Выводы по главе.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Оптимизация ребристых пластин при заданной первой частоте собственных колебаний»

Актуальность темы диссертации

Задача минимизации веса прямоугольных пластин при заданной величине первой частоты собственных колебаний решалась многими авторами. В результате исследований, проведённых Ж.-Л.П. Арманом, Н.В. Баничуком, В.Б. Гринёвым, К.А. Лурье, A.A. Мироновым, Н. Ольхоффом, В.А. Троицким, А.П. Филипповым, A.A. Хватцевым, A.B. Черкаевым и др., было установлено, что оптимальный проект представляет собой пластину постоянной толщины, подкреплённую рёбрами. Теоретически глобальный минимум достигается на пластине с бесконечно большим количеством тонких рёбер. Однако технически возможный проект должен содержать конечное число рёбер. Размеры поперечного сечения рёбер также должны соответствовать определённым ограничениям конструктивного характера. Анализ литературы показывает, что имеющиеся ( оптимальные проекты пластин при заданной первой частоте собственных ! I колебаний не могут быть реализованы на практике, уровень исследований \ остаётся только теоретическим. В связи с этим, не—смотря на большую историю решения, проблема минимизации веса пластины при ограничении \ первой частоты собственных колебаний остаётся актуальной. Необходимо довести исследование проблемы до технически приемлемого проекта.

Общая проблема исследования формулируется следующим образом -разработать технически пригодный оптимальный проект ребристой пластины с заданной первой частотой собственных колебаний. Под технически пригодным понимается проект конструкции, изготовление которой не требует разработки особой технологии. Например, изготовление пластины с частыми тонкими рёбрами - это не простая технологическая задача.

Минимизация веса ребристой пластины при одном ограничении по частоте собственных колебаний имеет практическое значение в некоторых отраслях строительства, космической техники и самолётостроения, приборостроения.

Поставленная задача оптимизации входит составной частью в более сложную задачу оптимизации с ограничениями не только по частоте, но и по прочности. Например, в режиме вынужденных колебаний существует подмножество динамических нагрузок, удовлетворяющих условиям оптимальности при заданной первой частоте в виде равенств, а ограничения по прочности выполняются в виде неравенств.

Цель работы

При оптимизации ребристой пластины как реального элемента технического объекта необходимо решить три основных вопроса - о количестве рёбер, их расположении и о размерах поперечного сечения, соответствующих принятой математической модели ребра. Поставленные вопросы подробно не исследованы, поэтому целью данной диссертации является разработка теории оптимизации ребристых тонких пластин при ограничении первой частоты собственных колебаний.

Научная новизна работы

Разработана теория оптимизации ребристых тонких прямоугольных пластин постоянной толщины. Теория оптимизации состоит из следующих основных положений.

1. Матричная форма энергетического метода доведена до своего логического завершения с помощью матричного представления функции прогибов. Энергетический метод получил новые аналитические возможности.

2. Исследовано влияние ребра на изменение первой частоты собственных колебаний пластины. В рамках этого исследования доказана теорема о выпуклости функции первого собственного значения; введено понятие удельного функционала-действия ребра; показано, что собственное значение изменяется в зависимости от знака удельного функционала-действия; выведена формула для вычисления нейтральной высоты сечения ребра, при которой постановка ребра не изменяет первой частоты пластины.

3. Получено уравнение, из которого определяется координата прямолинейного ребра. Известный вывод о том, что рёбра должны располагаться в узловых линиях соответствующей формы собственных колебаний, является частным случаем, следующим из общего уравнения.

4. Задача минимизации веса рёбер при заданной первой частоте собственных колебаний сформулирована в двух формах - с ограничением в виде закона сохранения энергии и в виде уравнения частот.

5. Сформулированы два свойства оптимальных ребристых пластин, реализованные в алгоритмах. Алгоритмы дают одинаковые результаты.

Методы исследований

Общая задача оптимизации решается энергетическим методом. Свойства оптимальной ребристой пластины получены методом Лагранжа. Параметры оптимизации (ширина поперечного сечения рёбер) определяются методом итераций, на каждой итерации уравнение частот решается численным методом деления отрезка пополам или численным методом линейных приближений. Расчёты проведены в компьютерной системе МаНаЬ 4.0.

Достоверность научных выводов и численных результатов основывается на следующих положениях.

1. Качественные выводы (теоремы, свойства оптимальных ребристых пластин) получены с использованием энергетического метода и теорем математического анализа;

2. Показана сходимость итерационных алгоритмов;

3. Численщле результаты не с чем сравнивать, т.к. поставленные задачи другими авторами не рассматривались, но результаты решения по двум разработанным алгоритмам совпадают. 4 '

Практическая значимость и реализация результатов

1. Разработаны два алгоритма оптимизации ребристых пластин. Программа расчёта по оптимизации ребристых пластин передана в отдел мостов ОАО Томгипротранс для применения в проектировании реальных конструкций (см. Приложение).

2. Получен большой объём достоверных численных результатов.

3. Теоретические результаты составляют базу для дальнейших научных/ исследований по таким направлениям как оптимизация ребристых пластин при ограничении нескольких частот собственных колебаний, оптимизация ) ребристых пластин при ограничениях по устойчивости и прочности.

У V

Апробация работы

Результаты работы докладывались на научно-технической конференции «Архитектура и строительство» (Томск, 1999 г.); на 56-й научно-технической конференции профессорско-преподавательского состава НГАСУ (Новосибирск, 1999 г.); на V Всероссийской конференции «Фундаментальные и прикладные проблемы современной механики» (Томск, 2006 г.); на семинаре кафедры строительной механики НГАСУ (Новосибирск, 2008 г.); на I Всероссийской конференции «Проблемы оптимального проектирования сооружений» (Новосибирск, 2008 г.). Опубликована статья в материалах VII Международной конференции «Научно-технические проблемы прогнозирования надёжности и долговечности конструкций и методы их решения» (С.-Петербург, 2008 г.).

Публикации

По теме диссертации опубликованы следующие работы.

1. Моисеенко, Р.П. Оптимизация ребристых пластин при заданной величине первой частоты собственных колебаний / Р.П. Моисеенко //

Изв. вузов. Строительство. - 1999. - № 4. - С. 26-30.

2. Моисеенко, Р.П. Свойства ребристых пластин минимального веса при заданной первой частоте собственных колебаний / Р.П. Моисеенко // Изв. вузов. Строительство. - 2003. - № 2. - С. 16-19.

3. Моисеенко, Р.П. Анализ влияния ребра жёсткости на увеличение первой частоты собственных колебаний прямоугольных тонких пластин / Р.П. Моисеенко // Изв. вузов. Строительство. - 2004. - № 3. -С. 110-113.

4. Моисеенко, Р.П. Матричная форма энергетического метода в расчётах ребристых прямоугольных пластин на собственные колебания / Р.П. Моисеенко // Изв. вузов. Строительство. - 2005. - № 6 - С. 94-99.

5. Моисеенко, Р.П. Уравнение частот собственных колебаний как ограничение в задачах оптимизации ребристых пластин / Р.П. Моисеенко // Изв. вузов. Строительство. - 2006. - № 7. - С. 7-11.

6. Моисеенко, Р.П. Исследование сходимости алгоритмов оптимизации ребристых пластин при заданной первой частоте собственных колебаний / Р.П. Моисеенко // Изв. вузов. Строительство. - 2007. -№2.-С. 93-97.

7. Моисеенко, Р.П. Оптимизация ребристой пластины при вынужденных колебаниях / Р.П. Моисеенко // Изв. вузов. Строительство. - 2008. - С. 123-125.

8. Моисеенко, Р.П. Оптимизация ребристых тонких пластин при заданной первой частоте собственных колебаний / Р.П. Моисеенко. -Томск: Изд-во ТГАСУ, 2007. - 142 с.

Структура и объём диссертации

Диссертация состоит из,, „введения, пяти глав, заключения, библиографического списка из 72 наименований. Объём диссертации - V 141 е., включая 72 рис., 50 таблиц.

Заключение диссертации по теме «Строительная механика», Моисеенко, Ростислав Павлович

Таковы основные выводы, касающиеся оптимизации ребристых пластин. Сюда не вошли некоторые второстепенные вопросы практической реализации алгоритмов.

Представленные теоретические результаты позволяют расширить исследования по следующим направлениям.

1. Оптимизация пластин, подкреплённых тонкими рёбрами. В этом случае необходимо учесть деформации изгиба, кручения и сжатия.

2. Наложение ограничений не только на первую частоту, но и несколько последующих частот.

3. Регулирование спектром частот оптимальной пластины при одновременном варьировании параметрами рёбер и масс (распределённых и сосредоточенных).

4. Оптимизация ребристых пластин при ограничении по устойчивости. Применение разработанной методики для решения этой задачи может дать качественно новые теоретические результаты.

5. Оптимизация ребристых пластин при вынужденных колебаниях.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Разработана теория оптимизации ребристых тонких прямоугольных пластин при заданной величине первой частоты собственных колебаний. Теория основана на энергетическом методе, с помощью которого получены новые теоретические и практические результаты.

1. Предложена новая матричная форма записи ряда, аппроксимирующего прогибы. Элементами исходных векторов и матриц являются балочные функции. В работах других исследователей используется функция прогибов в виде двойного ряда. Алгоритм энергетического метода представлен с помощью матричной формы ряда прогибов. Эта новая матричная форма энергетического метода значительно упрощает процедуру программирования вычислений и позволяет проводить аналитические исследования. Без вычислений доказано, что в оптимальном варианте пластины с шарнирными опорами прогибы рёбер одинаковы по модулю. Новая матричная форма энергетического метода без принципиальных изменений пригодна для решения широкого круга задач по расчёту тонких пластин.

2. Сформулирован критерий, определяющий влияние ребра на изменение первой частоты собственных колебаний. В работах других ^ авторов это влияние исследовано в частных случаях численными методами. \ . /

Проведено дифференцирование формулы Релея по ширине поперечного сечения ребра. Полученная производная названа удельным функционалом-действием ребра. Влияние ребра на изменение частоты колебаний определяется знаком функционала-действия. Частота увеличивается, если функционал положителен; уменьшается, если функционал отрицателен; не изменяется, если функционал равен нулю. Из последнего условия получена формула для вычисления нейтральной высоты сечения ребра. Если требуется увеличить частоту колебаний, заданная высота сечения должна быть больше нейтральной. Получено уравнение, по которому определяется координата ребра для максимального увеличения первой частоты. Известные результаты других авторов о рациональном расположении рёбер следуют из этого уравнения.

3. Сформулирован критерий оптимальности ребристой пластины при заданной первой частоте собственных колебаний. Ограничение по частоте записано в виде закона сохранения энергии. Дифференцирование функции Лагранжа приводит к математической формулировке первого свойства оптимальной ребристой пластины: вес рёбер минимален, если удельные функционалы-действия всех рёбер равны между собой.

4. Предыдущий критерий сформулирован в другой форме. Ограничение первой частоты собственных колебаний записано в виде уравнения частот, имеющего вид определителя, равного нулю. В этом случае дифференцирование функции Лагранжа приводит ко второму свойству: вес рёбер минимален, если производные определителя по ширине сечения рёбер равны между собой.

5. Первое свойство реализовано в алгоритме направленного выравнивания величин функционалов-действий рёбер. Сходимость алгоритма обеспечена итерационными формулами, основанными на доказанной теореме о выпуклости функции первого собственного значения. Согласно этой теореме удельный функционал-действие уменьшается при увеличении ширины поперечного сечения ребра.

6. Алгоритм, реализующий второе свойство оптимальной ребристой пластины, повторяет все действия первого алгоритма с заменой удельных функционалов-действий производными определителя. Для вычисления производных используется теорема о дифференцировании определителя.

7. Расчёты показывают, что два сформулированных свойства оптимальной ребристой пластины эквивалентны, так как составленные алгоритмы дают один и тот же оптимальный проект. Второй алгоритм не сходится только в предельном варианте, когда первая частота максимально увеличивается при минимально необходимом количестве рёбер. Первый алгоритм в предельном варианте сходится без затруднений.

8. Оптимизация ребристых пластин при вынужденных колебаниях осуществляется с учётом ограничения первой частоты собственных колебаний (для контроля за зоной резонанса). Разработанные алгоритмы естественным образом без изменений входят в эту более общую задачу оптимизации.

Список литературы диссертационного исследования доктор технических наук Моисеенко, Ростислав Павлович, 2008 год

1. Абовский, Н.П. Регулирование Синтез Оптимизация / Н.П. Абовский, Л.В. Енджиевский, В.И. Савченков, А.П. Деруга, М.И. Рейтман, И.И. Гетц, Ю.М. Почтман. Красноярск : Изд-во Краснояр. ун-та, 1985.

2. Абовский, Н.П. Расчёт неразрезных плит методом сеток / Н.П. Абовский // Изв. вузов Сер. «Строительство и архитектура». 1962 - № 2.

3. Александров, A.B. Метод перемещений для расчёта плитно-балочных конструкций / A.B. Александров. М. : Науч. тр./ МИИТ. - Вып. 174. -1963.

4. Александров, A.B. Основы теории упругости и пластичности / A.B. Александров, В.Д. Потапов. М. : Высшая школа, 2002. - 399 с.

5. Ал футов, H.A. Основы расчёта на устойчивость упругих систем / H.A. Алфутов. М. : Машиностроение, 1978. - 311 с.

6. Андерсон М.С.,Арман Ж.-Л., Apopa Дж.С. и др. Новые направления оптимизации в строительном проектировании / М.С. Андерсон, Ж.-Л. Арман, Дж.С. Apopa и др. М.: Стройиздат, 1989, - 592 с.

7. Арман, Ж.-Л. П. Приложения теории оптимального управления системами / Ж.-Л. П. Арман. М. : Мир, 1977. - 142 с.

8. Бабаков, И.М. Теория колебаний / И.М. Бабаков. М. : Наука, 1968. -560 с.

9. Баничук, Н.В. Об оптимальных формах упругих пластин в задачах изгиба / Н.В. Баничук // Изв. АН СССР. МТТ. 1975. - № 5.

10. Баничук Н.В. Оптимизация форм упругих тел / Н.В. Баничук. М. : Наука, 1981.-256 с.

11. Баничук, Н.В. Задачи оптимизации с локальными критериями качества в теории изгиба пластин / Н.В. Баничук, В.М. Картвелишвили, A.A. Миронов // Механика твёрдого тела, 1978. № 1.

12. Батищев, Д.И. Методы оптимального проектирования / Д.И. Батищев. -М. : Радио и связь, 1984. 248 с.

13. Безухов, Н.И. Приложение методов теории упругости и пластичности к решению инженерных задач / Н.И. Безухов, О.В. Лужин. М. : Высшая школа, 1974.-200 с.

14. Болотин, В.В. Статические методы в строительной механике / В.В. Болотин. -М. : Стройиздат, 1961.

15. Болотин, В.В. Вибрации в технике. Т.1. Колебания линейных систем: Справочник в 6 томах /В.В. Болотин. М. : Машиностроение, 1978. -352 с.

16. Большой энциклопедический словарь. Математика. М.: Научное издательство «Большая Российская Энциклопедия», 1998. - С. 615.

17. Бубнов, И.Г. Строительная механика корабля / И.Г. Бубнов. Петербург, 1912.-Т.1.

18. Воеводин, В.В. Матрицы и вычисления / В.В. Воеводин, Ю.А. Кузнецов. -М. : Наука, 1984.-318 с.

19. Вольмир, A.C. Устойчивость деформируемых систем / A.C. Вольмир. -М. : Наука, 1967.

20. Гантмахер, Ф.Р. Теория матриц / Ф.Р. Гантмахер. М. : Наука, 1966. -576 с.

21. Гантмахер, Ф.Р. Осциляционные матрицы и малые колебания механических систем / Ф.Р. Гантмахер, М.Г. Крейн. М. - Л. : Гостехтеоретиздат, 1950.-359с.

22. Гастев, В.А. К определению упругих характеристик ребристых пластин / В.А. Гастев, К.А. Китовер // Строительная механика и расчёт сооружений. 1961,-№6.

23. Говорухин, В. Компьютер в математическом исследовании. Учебный курс / В. Говорухин, В. Цибулин. СПб. : Питер, 2001. - 624 с.

24. Гребенюк, Г.И. Декомпозиция многопараметрических задач оптимизации динамически нагруженных систем / Г.И. Гребенюк // Изв. вузов. Строительство. 2005. - № 2.

25. Гринёв, В.Б. Оптимальное проектирование конструкций, имеющих заданные собственные частоты / В.Б. Гринёв, А.П. Филиппов // Прикладная механика. 1971. - № 10.

26. Дьяконов, В. MATLAB 6: учебный курс / В. Дьяконов. СПб. : Питер, 2001.-592 с.

27. Калманок, A.C. Строительная механика пластин / A.C. Калманок. М. : Машстройиздат, 1950.

28. Карманов, В.Г. Математическое программирование / В.Г. Карманов. -М. : Наука, 1975.-272 с.

29. Качанов, JI.M. Основы теории пластичности / JIM. Качанов. М. : Наука, 1969.-420 с.

30. Крылов, В.И. Вычислительные методы / В.И. Крылов, В.В. Бобков, П.И. Монастырный. М. : Наука. 1976. - Т. 1. - 304 с.

31. Лазарев, И.Б. Основы оптимального проектирования конструкций. Задачи и методы / И.Б. Лазарев. Новосибирск : Сибирская государственная академия путей сообщения, 1995. -295 с.

32. Ланкастер, П. Теория матриц / П. Ланкастер. М. : Наука, 1978. - 280 с.

33. Лурье, К.А. О применении теоремы Прагера к задаче оптимального проектирования тонких пластин / К.А. Лурье, A.B. Черкаев // Изв. АН СССР. МТТ. 1976. - № 6.

34. Ляхович, Л.С. Оптимизация жёсткостей упругих связей при ограничениях на величину первой частоты собственных колебаний / Л.С. Ляхович, А.Н. Плахотин // Изв. вузов. Строительство. 1986. - № 7.

35. Ляхович, Л.С. Разделение критических сил и собственных частот упругих систем / Л.С. Ляхович. Томск : Изд-во Том. гос. архит.-строит. ун-та, 2004. - 139 с.

36. Малиев, A.C. Исследование изгиба ребристых плит / A.C. Малиев // ВВМИСУ. Вып. 1,- 1939.

37. Моисеев, H.H. Численные методы в теории оптимальных систем / H.H. Моисеев. -М. : Наука, 1971.

38. Мышкис, А.Д. Лекции по высшей математике / А.Д. Мышкис. М. : Наука, 1973.-640 с.

39. Нудельман, Я.Л. Методы определения собственных частот и критических сил для стержневых систем / Я.Л. Нудельман. М. - Л. : Гостехтеоретиздат, 1949. - 176 с.

40. Ольхофф, Н. Оптимальное проектирование конструкций / Н. Ольхофф. -М. :Мир, 1981.-276 с.

41. Папкович, П.Ф. Строительная механика корабля / П.Ф. Папкович. М. : Судпромгаз, 1941.

42. Петухов, Л.В. Минимум веса тонких пластин / Л.В. Петухов // Прикладная математика. Тула : Тульский политехнический институт, 1977.

43. Полак, Э. Численные методы оптимизации / Э. Полак. М. : Мир, 1974.

44. Прагер, В. Основы теории оптимального проектирования / В. Прагер. -М. : Мир, 1977.

45. Пшеничный, Б.Н. Численные методы в оптимальных задачах / Б.Н. Пшеничный, Ю.М. Данилин. М. : Наука, 1976.

46. Работнов, Ю.Н. Механика деформируемого твёрдого тела / Ю.Н. Работнов. М. : Наука, 1988. - 712 с.

47. Ржаницын, А.Р. Строительная механика / А.Р. Ржаницин. М. : Высшая школа, 1982.-400 с.

48. Рожваны, Д. Оптимальное проектирование изгибаемых систем / Д. Рожваны. М. : Стройиздат, 1980. - 316 с.

49. Розин, J1.A. Вариационные постановки задач для упругих систем / Л.А. Розин. Л. : Изд-во ЛГУ, 1978. - 223 с.

50. Савин, Г.Н. Пластинки и оболочки с рёбрами жёсткости / Г.Н. Савин, Н.П. Флейшман. Киев : Наук, думка, 1964.

51. Самсонов, A.M. Оптимальное положение упругого тонкого ребра на упругой пластине / A.M. Самсонов // Механика твёрдого тела. 1978. -№ 1.

52. Самсонов A.M. Условие Вейерштрасса в динамической задаче оптимизации упругой пластины с ребром / A.M. Самсонов // Изв. АН СССР. МТТ. 1979. - № 3. - С. 185-187.

53. Сливкер, В.И. Строительная механика. Вариационные основы /

54. B.И. Сливкер. М. : Изд-во АСВ, 2005. - 710 с.

55. Справочник проектировщика промышленных, жилых и общественных зданий и сооружений. Расчётно-теоретический. Кн. 2. - М. : Стройиздат, 1973. -415 с.

56. Тернер, М.Д. Проектирование конструкций наименьшего веса, имеющих заданные собственные частоты / М.Д. Тернер // Ракетная техника и космонавтика, 1967. Т. 5. - № 3.

57. Тимошенко, С.П. Устойчивость стержней, пластин и оболочек /

58. C.П. Тимошенко. М. : Наука, 1971.-807 с.

59. Тимошенко, С.П. Пластинки и оболочки / С.П. Тимошенко, С. Войновский-Кригер. -М. : Наука, 1966.

60. Троицкий, В.А. Оптимизация формы упругих тел / В.А. Троицкий, Л.В. Петухов. М. : Наука, 1982. - 432 с.

61. Филиппов, А.П. Колебания деформируемых систем / А.П.Филиппов. -М. : Машиностроение, 1970. 734 с.

62. Фокс, Р. Скорость изменения собственных значений и собственных векторов / Р. Фокс, М. Капур // Ракетная техника и космонавтика. 1968. - Т.6. - № 12.

63. Шилов, Г.Е. Введение в теорию линейных пространств / Г.Е. Шилов. -М. : Гос. изд-во технико теор. лит-ры. 1956. - 304 с.

64. Aksu, G. Determination of dynamic characteristics of rectangular plates with cutouts using a finite difference formulation / G. Aksu, R. Ali // Journal of Sound and Vibration 44. 1976.

65. Aksu, G. Dynamic analysis of orthotropic plates using a finite difference formulation / G. Aksu // Ph. D. Thesis, Loughborough University. 1974.

66. Aksu, G. Free vibration analysis of stiffened plates using finite difference method / G. Aksu, R. Ali // Journal of Sound and Vibration 48. 1976.

67. Kirk, C.L. Natural frequencies of stiffened rectangular plates / C.L. Kirk // Journal of Sound and Vibration 13. 1970.

68. Long, B.R. Vibration of eccentrically stiffened plates / B.R. Long // Shock and Vibration Bulletin 38. 1960.

69. Long, B.R. A stiffness-type analysis of the vibration of a class of stiffened plates / B.R. Long // Journal of Sound and Vibration 16. 1971.

70. Shimizu, S. Free vibration analysis of stiffened plates / S. Shimizu // 2nd U.S. Japan Seminar, Advances in Computing Methods in Structural Mechanics and Design Conference. 1972.

71. Smith, C.S. Bending, buckling and vibration of orthotropic plate-beam structures / C.S. Smith // Journal of Ship Research 12. 1968.

72. Wah, T. Vibration of stiffened plates / T. Wah // Aeronautical Quarterly XV. -1964.

73. Открытое акционерное общество Томский проектно-изыскательский институт Транспортного строительства «Томгипротранс» (ОАО «Томгипротранс»)пр. Кирова, д. 23, г. Томск, 634041 Тел. [phone], факс [phone]. E-mail: [e-mail]

74. ОКПО 01388414, ОГРН 1027000869246, ИНН/КПП 7018010919/7018010011. TUVrtiflUl: ШМ.7Ш1J1. TUV Rhthlonii Ы«<ж1

75. В Диссертационный Совет Д 212.265.01при

76. Томском Государственном Архитектурно-Строительном Университете1. СПРАВКА

77. Справка дана в связи с представлением Моисеенко Р.П. докторской диссертации.

78. Главный инженер^^Щ!^, ТОМГИПРОТРАНС1. Филиппов А.А.