Последовательности функций в симметричных пространствах и их приложения в геометрии банаховых пространств и теории операторов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, доктор физико-математических наук Новиков, Сергей Яковлевич

• Новиков, Сергей Яковлевич
• доктор физико-математических наук
• 2002

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Новиков, Сергей Яковлевич

Введение з

1 Предварительные сведения

1.1 Общие сведения из функционального анализа.

1.2 Примеры пространств и операторов

1.3 Функции Радемахера. Тип и котип банахова пространства.

1.4 Соотношения между типом (котипом) и выпуклостью (вогнутостью) банахова идеального пространства.

1.5 г-устойчивые функции в симметричных пространствах.

2 Спектр функционального пространства Лоренца

2.1 q-ВОГНУТОСТЬ пространства Ар((р).

2.2 Положительные операторы на пространстве непрерывных функций со значениями в пространствах Лоренца.

2.3 Тип пространства Лоренца.

2.4 Спектр пространства Лоренца.

3 Об особенностях оператора вложения симметричных функциональных пространств на отрезке и на полупрямой

3.1 Предварительные замечания

3.2 Граничные пространства для оператора вложения /(L^X).

3.3 Оператор вложения I(X,Li) для БСП X.

3.4 Оператор вложения между пространствами Орлича на отрезке

3.5 Операторы вложения квазибанаховых симметричных пространств на [0,1]. Сквозные подпространства .юо

3.6 Изоморфизмы симметричных функциональных пространств на отрезке и на полупрямой. Единственность симметричной структуры пространств Li[0,оо) р|А»[0,оо) и 1:[0, оо) + Loo[0, оо) ,.но

3.7 Строгая сингулярность вложения Lx[0, оо) П^оо[0, оо) в рефлексивное СФП.ш

3.8 Операторы вложения между СФП на [0,оо).

4 Двойственность функциональных и секвенциальных пространств, задаваемая последовательностями функций us

4.1 Ограниченность почти всюду. Классы A°°(p,q) и А°°(р,д).н

4.2 Сходимость почти всюду. Классы A°Jp, q)

4.3 Сходимость по норме. Классы Ais{p,q)

5 Пространства последовательностей im в вероятностных характеризациях операторов слабого типа

5.1 Предварительные замечания.

5.2 Факторизация операторов через пространство LP)00.

5.3 Совпадение независимых и свободных (А, £00)-множеств.

5.4 Операторы, ограниченные в пространстве LPj00, р > 0.

5.5 Операторы, симметрично порядково ограниченные в пространстве Lpjt, 0 <р < 00, 0 < г < оо.

5.6 Свойства надлинейных операторов, инвариантных относительно сдвига, определенных на пространствах Лоренца

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Последовательности функций в симметричных пространствах и их приложения в геометрии банаховых пространств и теории операторов»

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Функциональные последовательности — один из основных объектов математического анализа. Они активно используются не только в его классических разделах, но и в тех, создание которых пришлось на вторую половину ХХ-го века. Так, например, весьма важными числовыми характеристивами абстрактного банахова пространства оказались тип и котип, определяемые различными последовательностями вещественных функций. Геометрическая структура функционального пространства во многом определяется подпространствами, порожденными конкретными системами функций.

Оказалось, что и в общих теоремах факторизации операторов не обойтись без глубокого понимания структурных свойств функций, образующих множество с определенными свойствами (например, ограниченное в каком-то смысле) в том или ином функциональном пространстве.

Рассмотрение функциональных последовательностей в банаховом или более общем квазибанаховом пространстве лежит на пересечении теории функций, функционального анализа и теории вероятностей. Накопленный фактический материал требует свежего взгляда и осмысления с более общих позиций. Многое проясняется в этих вопросах привлечением идей двойственности, столь характерных для абстрактного функционального анализа. Понятие строго сингулярного оператора, возникшее в работах Като по теории возмущений линейных операторов, позволило по-новому взглянуть на одну из самых известных функциональных последовательностей — систему Радемахера.

Функциональные последовательности по-прежнему содержат в себе много возможностей для приложений, и трудно назвать раздел математики, где бы они не оказались полезными.

Данная работа посвящена изучению свойств функциональных последовательностей в симметричных функциональных пространствах, включающих в себя классические лебеговы пространства Lp, пространства Лоренца Ар(9?) и пространства Орлича и другие.

Цель работы:

- найти спектры (по Л.Шварцу) функциональных пространств Лоренца AP(ip) и Ьрл с использованием типа и котипа, определенных последовательностью функций Радемахера;

- построить диаграммы (г, й)-вогнутости и (г, 5)-выпуклости пространства LPtq и применить их к доказательству абсолютной суммируемости положительных операторов, определенных на пространстве непрерывных функций С (К) со значениями в пространстве Lm\

- исследовать свойства строгой сингулярности и абсолютной суммируемости простейшего оператора тождественного вложения двух симметричных функциональных пространств, связанные с наличием или отсутствием так называемых «сквозных» бесконечномерных подпространств, порожденных функциональными последовательностями;

- исследовать новый вид двойственности между функциональными пространствами и пространствами числовых последовательностей (иногда, для краткости, мы называем их секвенциальными пространствами), которая порождается функциональными последовательностями;

- обобщить и модифицировать понятие А-системы (по Никишину), привлекая секвенциальные пространства Лоренца, таким образом, чтобы было возможным получать и новые факторизационные теоремы, и отличать операторы, допускающие факторизацию, от операторов слабого типа с помощью функциональных последовательностей.

Методика исследований. Основными методами исследований являются методы математического и функционального анализа, теории функций и теории вероятностей, теории операторов. Новизна методов состоит:

- в использовании последовательности функций Радемахера для исследования абсолютно суммирующих операторов, определенных на функциональных пространствах Лоренца или принимающих значения в этих пространствах, и для нахождения спектра пространства Лоренца;

- в исследовании сквозных подпространств и их границ в симметричных функциональных пространствах, что позволило найти критерии строгой сингулярности оператора тождественного вложения крайних симметричных пространств, обобщающие известные теоремы Гротендика и других авторов;

- в определении и изучении нового вида двойственности функциональных и секвенциальных пространств, порожденной функциональными последовательностями;

- в применении введенной автором двойственности к теоремам факторизации операторов и получении оценок слабого типа для операторов, инвариантных относительно сдвига;

- в сочетании вероятностных и аналитических методов для решения поставленных задач.

Научная новизна. Основные результаты работы состоят в следующем.

1) Проведено полное исследование той части спектра функционального пространства Лоренца Ар((р) и LPjq, которая лежит на отрезке [1,2], найдены максимальные точки спектра.

2) Построены примеры сквозных бесконечномерных подпространств, порожденных последовательностями независимых и дизъюнктных функций, и определены их границы.

3) Найдены критерии строгой сингулярности и абсолютной суммируемости оператора тождественного вложения крайних симметричных пространств на [0,1], пространств Ь^ и L\. Показана экстремальная роль функций Радемахера для строгой сингулярности вложения в пространство L\.

4) Введена и исследована двойственность функциональных и секвенциальных пространств, порожденная последовательностями функций.

5) Получено описание множеств, ограниченных в пространствах Lpj00} пространствами числовых последовательностей. Аналогичное описание получено для симметрично порядково ограниченных множеств в пространствах ЬРд, в частности, в пространствах Лебега Lp.

6) Получены теоремы о факторизации положительно однородных операторов (не обязательно линейных) и теоремы, позволяющие отличить операторы, допускающие факторизацию через пространство Lp)00, от операторов слабого типа с помощью функциональных последовательностей.

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы для дальнейшего развития теории функций и теории операторов, геометрии банаховых пространств, для постановки новых задач.

Апробация работы. Результаты этой работы докладывались — на конференциях: Саратовские зимние математические школы по теории функций (1992, 1994, 1996, 1998, 2000, 2002);

Воронежские зимние математические школы (1982-1989, 1991, 1993, 1995, 1997, 1999, 2001);

Всесоюзные школы по теории операторов (Иркутск (1981), Рига (1983), Тернополь (1984), Тамбов (1987), Куйбышев (1988), Новгород (1989), Ульяновск (1990));

Международная конференция, посвященная 100-летию С. Банаха (Львов, 1992);

Международная конференция «Теория приближения функций и операторов», посвященная 80-летию С. Б. Стечкина (2000); Международная летняя научная школа С. Б. Стечкина ( 2001); Международная конференция по функциональным пространствам, Познань, Польша (1992);

Международная конференция по функциональным пространствам, Зелена Гура, Польша (1995);

Летние международные конференции по математическому анализу в Санкт-Петербурге (2000, 2001, 2002);

Международная математическая конференция, посвященная 100-летию И. Г. Петровского, Москва (2001); Летняя школа по теории функций в Казани (2001);

Международная конференция по гармоническому анализу, Армения (2001). —на семинарах: на семинаре под руководством Н.Н. Бахании в Ин-те математики Грузинской АН (1986); на семинаре под руководством В.Паулаускаса в Вильнюсском университете (1986); на семинаре под руководством В. А. Скворцова в МГУ (1989); на семинаре под руководством П. Л. Ульянова в МГУ (1991); на семинаре под руководством В. И. Буренкова в Университете Дружбы народов, Москва (1991); на семинаре под руководством Ф. Эрнандеса, университет Комплутенс, Мадрид, Испания (1994); на семинаре под руководством Л.Д.Менихиса в ЮУрГУ (Челябинск) (2001); на семинаре под руководством Б. С. Кашина, С. В. Конягина в МГУ (2001); на семинаре под руководством Б. С. Кашина, П. Л. Ульянова в МГУ (2001, 2002); на совместном семинаре отдела теории приближения функций и отдела аппроксимаций и приложений Института математики и механики Уральского отделения РАН ( руководители Ю. Н. Субботин, Н. И. Черных) (2001, 2002).

Структура и объем работы. Диссертация объемом 201 страница состоит из пяти глав, разбитых на параграфы, и списка литературы, содер-х жащего 115 наименований.

Основное содержание работы

Первая глава является вводной. В ней приводятся определения, обозначения и другой вспомогательный материал для основной части диссертации. Вторая глава. Спектр функционального пространства Лоренца. Понятие спектра банахова пространства введено Шварцем в 1981 г. Напомним его. Зафиксировав натуральное п, рассмотрим совокупность всех n-мерных нормированных пространств. Пусть X и У — два из них. Хорошо известно, что между ними можно установить изоморфизм, т.е. линейное биективное и в обе стороны непрерывное соответствие. Мерой близости X и Y принято считать расстояние (или дистанцию) Банаха-Мазура

C((X,y) = inf||T||||r-1||, где Т пробегает все изоморфизмы между X и У. Логарифм дистанции Банаха-Мазура является метрикой и превращает совокупность п-мерных нормированных пространств в метрический компакт, т.н. компакт Мин-ковского.

Говорят, что банахово пространство F финитно пред ставимо в банаховом пространстве Е, если для каждого е > 0 и для каждого п-мерного подпространства Fn С F найдется n-мерное подпространство Еп С Е такое, что d(Fn:En) < 1 + е, п = 1,2,. .

Спектром банахова пространства Е называется множество вещественных чисел

Sp(E) = {р : р € [1, оо] и £р финитно представимо в Е} .

Для произвольного банахова пространства имеют место следующие факты:

1) Sp(E) — замкнутое подмножество в [1,+оо];

2) 2 € Sp(E) (теорема Дворецкого);

3) Sp{E) П [1, 2] — замкнутый интервал.

Тип и котип Радемахера, найденные в первых параграфах главы, позволили уточнить эти факты для пространств Лоренца, как для Ар (</?), так и для ЬРЛ.

Пусть (J, v) — пространство с полной сг-конечной положительной мерой v) и пусть / — измеримая почти всюду конечная функция на этом пространстве. Функция df(r) = iy{u;ej:\f(u;)\>r} называется функцией распределения для функции /. Обозначим L0{J, v) — пространство всех измеримых почти всюду конечных функций / таких, что df{r) ф сю. Все пространства, которые рассматриваются в диссертации, являются подпространствами L0{J, f) на соответствующем пространстве с мерой. Две функции f{yj) и из L0(J, i/) называются равноизмеримыми, если df(r) = dg(r), т > 0. Формулой inf{r: d/(r) < t}, t>0 определяется убывающая перестановка функции /, равноизмеримая с ней. Напомним определения пространств Лоренца Ар((р) и Ьрл :

AЧ>) = £ Lo{J, и) : fv(J) r(t)YMt) оо для р G [1, оо) и вогнутой функции ср функционал, определяющий пространство, является нормой, а само пространство — банаховым симметричным функциональным пространством; пространство Ai(<£>) обозначается ниже через А((р). Для 0<р'<оо,0<д<оо t Г- -,1/д

Lp,q(JJ — \ / Е Lo(J, v) : оо для 0 < р < оо

Lp,oo(J> V) = { / е Д>( J, : 11/11 = sup /*(t) f1/* < 00 L

0<t<z/(J) J

Функционалы, определяющие топологию этих пространств, являются, вообще говоря, квазинормами. Они эквивалентны нормам (и, стало быть, пространства нормируемы) для р ф q при 1 < р < оо, 1 < q < оо. Для р = q пространства ЬРЛ = Lp ; если gi < #2 , то Lmi С LM2. Отметим также, что

LP, = A, (tq/p) • '

Основной результат о спектре функционального пространства Лоренца представлен теоремой 2.4.1. В ее формулировке участвует нижний индекс растяжения функции <р, который мы предварительно определим. Для положительной всюду конечной функции </?(£), О < t < оо определяется так называемая функция растяжения

Vv{t) := sup т > 0.

0<t<oo <p\t)

С помощью функции растяжения определяются нижний 7^ и верхний показатели растяжения функции ср :

In Vv(s) у In УМ lim ——Z—

V S^+O In s

L := lim s->-+oo

Ins при этом имеют место неравенства — оо < 7^ < < +оо. Если функция tp эквивалентна вогнутой, то 0 < 7^ < < 1. Теорема 2.4.1. 1) Если 7^ = 0, то Sp(hp(tp)) = [1,+оо].

2) Если jp > 0, то Sp{Ap(ip)) П [1,2] = [min(2,p), 2] и max5p(Ap(v?)) = max(2, р/у<р).

3) Для любого ре (1, оо), Sp(Lpoo) = [1, +00].

4) Если q < 00, то Sp(LPtq) П [1,2] = [min(2,p,q), 2] и maxSp(Lp>q) = max(2, p, q).

Во втором параграфе доказаны теоремы об абсолютной суммируемости положительных операторов, определенных на пространствах вида С (К), К — компактное отделимое (хаусдорфово) пространство (сокращенно компакт), со значениями в пространстве Ьт.

Определение. Пусть 1 < р < q < 00. Банахово идеальное пространство (сокращенно БИП) X называется (q,p)~вогнутым (соответственно, (q,p)~ выпуклым), если при некотором С > 0 и любых п £ N is. xi,. ,хп € X справедливо неравенство

1/9

Х{ С

1 /р Е г=1

Xi соответственно, п

1/Я Е i=1

Xi Е г=1

При р = q получаем хорошо известные понятия g-вогнутости и р-выпукло-сти.

Обозначим через

Conc(Lp>q) = {(г, s) 6 М х 1: 1 < s < г < оо, Lp,q — (г, й)-вогнутая БР}; Conv(LP)q) = {(r,s)elxl: 1<5<г<оо, LPfq — (г, 5)-выпуклая БР}.

Введенные таким образом множества изображены в диссертации графически в виде диаграмм. С их помощью доказана

Теорема 2.2.1. 1) Если 1 < q < р, то всякий положительный оператор S : С{К) —> Ьрд является (р, 1)-абсолютно суммирующим.

2) Если 1 < р < д, то всякий положительный оператор S : С(К) —> Lp^q является (g, 1)-абсолютно суммирующим.

Напомним определение (q,p)~ (абсолютно) суммирующего оператора. Пусть 1 < р, q < оо. Линейный оператор Т, действующий из банахова пространства X в банахово пространство У, называется (q, р)- (абсолютно) суммирующим (обозначение Т £ П(д,р)), если существует константа С > О такая, что для любого n G N и для любого набора элементов {жг}™=1 в X имеем ii^II'J ' * с sup | (Ё i/wr)': и/И'- *1

Определение содержательно лишь при р < д; если р > д, то лишь нулевой оператор может быть (д,р)-абсолютно суммирующим. Для р = q употребляется обозначение Ир. Заметим, что если X — С (К), К ~ компакт, или X = Loo, то при р = 1 неравенство из определения может быть записано и в такой форме:

1/i п с г=1 J i=l

Если тождественный оператор банахова пространства X является (g, 1)-суммирующим для некоторого g > 2, то говорят, что X имеет д-свойство Орлича, так как классическая теорема Орлича устанавливает (2, ^-суммируемость тождественного оператора в пространстве L\.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Новиков, Сергей Яковлевич, 2002 год

1. Абрамович Ю. А., Лозановский Г. Я. О некоторых числовых характеристиках KN-линеалов. Матем. заметки. 1973. Т. 14, № 5. С. 723-732.

2. Банах С. Теория линейных операций. Ижевск, НИЦ РХД, 2001. 261 с.V» V

3. Берг И., Лефстрем И. Интерполяционные пространства. Москва, Мир, 1980. 264 с.

4. Брудный Ю. А., Крейн С. Г., Семенов Е. М. Интерполяция линейных операторов. «Матем.анализ. Т. 24. Итоги науки и техники ВИНИТИ АН СССР». Москва, 1986. С.3-164.

5. Бурбаки И.Интегрирование. Меры, интегрирование мер. Москва, Наука, 1967. 600 с.

6. Бухвалов А. В., Векслер А. И., Лозановский Г. Я. Банаховы решетки некоторые банаховы аспекты теории. Успехи математических наук. 1979. Т. 34, № 2. С. 136-183.

7. Былинкина О. П. Вложение и геометрические свойства симметричных пространств. В сб.: Исследования по теории функций многих вещественных переменных. Ярославль, ЯрГУ, 1984. С. 53-62.

8. Вахания Н. Н., Тариеладзе В. И., Чобанян С. А. Вероятностные распределения в банаховых пространствах., Москва, Наука, 1985. 368 с.

9. Данфорд Н., Шварц Дж.Линейные операторы. Общая теория. Москва, ИИЛ, 1962. 895 с.Ю.Зигмунд А.Тригонометрические ряды. Т.1. Москва, Мир, 1965. 615 с.

10. Зигмунд А. Тригонометрические ряды. Т.2. Москва, Мир, 1965. 537 с.

11. Кадец М. И. Геометрия нормированных пространств. «Итоги науки и техники. Матем.анализ» 13, ВИНИТИ, Москва, 1975. С. 99 -127.

12. Канторович Л. В., Акилов Г. П. Функциональный анализ. М., Наука, 1977. 741 с.

13. Кахан Ж.-П. Случайные функциональные ряды. Москва, Мир, 1973. 302 с.

14. Кашин Б. С., Саакян А. А. Ортогональные ряды. Москва, АФЦ, 1999. 550 с.

15. Кисляков С. В. Абсолютно суммирующие операторы на диск-алгебре. Алгебра и анализ. 1991. Т. 3, № 4. С. 1-77.

16. Колмогоров А. Н. О суммах независимых случайных величин. Math.Ann. 1929. Перевод на рус.яз. в книге: Колмогоров А. Н. Теория вероятностей и математическая статистика. Москва, Наука, 1986. С. 20-34.

17. Комарчев И. А. О 2-абсолютно суммирующих операторах в некоторых банаховых пространствах. Матем. заметки. 1976. Т. 25, № 4. С. 591 602.

18. Красносельский М. А., Рутицкий Я. Б. Выпуклые функции и пространства Орлича. М., Физматгиз, 1958. 271 с.

19. Крейн С. Г., Петунин Ю. И., Семенов Е. М. Интерполяция линейных операторов. Москва, Наука, 1978. 400 с.

20. Левин В. JI. Выпуклый анализ в пространствах измеримых функций. Москва, Наука, 1985. 352 с.

21. Линде В., Тариеладзе В. И., Чобанян С. А. Одна вероятностная характеризация суммирующих операторов. Матем. заметки. 1981. Т. 30, № 1. С. 133-141.

22. Лозановский Г. Я. О некоторых банаховых структурах. Сибирский матем.журнал. 1969. Т. 10, № 3. С. 584-599.

23. Лозановский Г. Я. О локализованных функционалах в векторных структурах. Теория функций, функциональный анализ и их приложения, Харьков, Вища школа. 1974. Вып. 19. С. 66 80.

24. Макаров Б. М. р-абсолютно суммирующие операторы и некоторые их приложения. Алгебра и анализ. 1991. Т. 3, № 2 . С. 1-76.

25. Митягин Б. С. Гомотопическая структура линейной группы банахова пространства. Успехи матем.наук. 1970. Т. XXV, № 5. С. 63-106.

26. Муштари Д. X. Вероятности и топологии в банаховых пространствах. Казань, КГУ. 1989. 152 с.

27. Никишин Е. М. Резонансные теоремы и надлинейные операторы. Успехи матем. наук. 1970. Т. 25, № 6. С. 129-191.

28. Никишин Е. М. Резонансная теорема и ряды по собственным функциям оператора Лапласа. Изв. АН СССР. 1972. Сер. мат. Т. 36, № 4. С. 795-813.

29. Новиков И. Я., Скачкова О. П. Устойчивые случайные величины и выпуклость банаховых функциональных пространств. Исследования по теории функций многих вещественных переменных. ЯрГУ, Ярославль, 1986. С. 84-92.

30. Новиков С. Я., Семенов Е. М., Токарев Е. В. Структура подпространств пространств Ар(<р). ДАН СССР. 1979. Т. 247, № 3. С. 552-554.

31. Новиков С. Я. Об одной характеристике подпространств симметричного пространства. Исследования по теории функций многих вещественных переменных. ЯрГУ, Ярославль, 1980. С. 140-148.

32. Новиков С. Я. Котип и тип функциональных пространств Лоренца. Матем. заметки. 1982. Т. 32, № 4. С. 213-221.

33. Новиков С. Я., Семенов Е. М., Токарев Е. В. О структуре подпространств пространств Ар(/л). Теор. функций и функц.анал. Харьков. В ища школа, 1984. Т. 42. С. 91-96.

34. Новиков С. Я. О спектрах пространств Ар((р) и Lpq. Вопросы функц. анализа. Мера и интеграл. Куйбышевский университет. Куйбышев. 1984. С. 71-74.

35. Новиков С. Я. Абсолютная суммируемость оператора вложения симметричных пространств. Вопросы функц. анализа. Мера и интеграл. Куйбышевский университет. Куйбышев. 1984. С. 74-76 (совместно с Новиковым И. Я.).

36. Новиков С. Я. Пространства Лоренца и ограниченность почти наверное последовательностей независимых случайных величин. Сибирский матем. журнал. 1989. Т. 30, вып. 2. С. 138-144 (совместно со Штейнбергом А. М.).

37. Новиков С. Я. О точности неравенств для независимых случайных величин в пространствах Лоренца. Изв.вузов. Математика. 1992. Вып. 4. С. 36-38.

38. Новиков С. Я. Boundary spaces for inclusion map between rearrangement invariant spaces. Collectanea Mathem. 1993. V. 44, No. 1-3. P. 211-215.

39. Новиков С. Я. Классы-пересечения коэффициентов случайных рядов для пространств Lp0G и L^ совпадают. Мера и интеграл. Издательство Самарского университета. Самара, 1995. С. 46-51.

40. Новиков С. Я. The differences of inclusion map operators between rearrangement invariant spaces on finite and a-finite measure spaces. Collectanea Mathematica. 1997. V. 48, No. 4-6. P. 725-732.

41. Новиков С. Я. Об особенностях оператора вложения симметричных функциональных пространств на 0, 1. Матем. заметки. 1997. Т. 62, вып. 4. С. 549-563.

42. Новиков С. Я. Единственность симметричной структуры пространств LlC\L°° и Ll-\-L°°. Вестник СамГУ, Естественнонаучная серия. 2001. No 2(20). С. 41-46.

43. Новиков С. Я. Пространства последовательностей £Pyq в вероятностных характеризациях операторов слабого типа. Записки научных семинаров ПОМИ. 2001. Т. 282. С. 160-191.

44. Новиков С. Я. Инвариантные относительно сдвига надлинейные операторы, определнные на пространствах Лоренца. Известия Национальной Академии Наук Армении. Математика. 2001. Т. 36, вып. 6. С. 72-78.

45. Новиков С. Я. Строго сингулярные вложения перестановочно инвариантных пространств. Функциональный анализ и его приложения. 2002. Т. 36, вып. 1. С. 85-87 (совместно с Семеновым Е. М., Эрнандесом Ф. Д.).

46. Норвайша Р., Рачкаускас А. Закон больших чисел относительно квазинорм. II. Литовский мат.сборник. 1984. Т. 24, № 3. С. 162176.

47. Партасарати К. Введение в теорию вероятностей и теорию меры. Москва, Мир, 1983. 343 с.

48. Пич А. Операторные идеалы. М., Мир, 1982. 536 с.

49. Раков С. А. О пространствах Лоренца последовательностей. Матем. заметки. 1976. Т. 20, № 4. С. 501 510.

50. Родин В. А., Семенов Е. М. Дополняемость подпространства, порожденного системой функций Радемахера. Функциональный анализ и его приложения. 1979. Т. 13, № 2. С. 91 92.

51. Рудин У. Функциональный анализ. М., Мир, 1975. 443 с.

52. Семенов Е. М. Теоремы вложения для банаховых пространств измеримых функций. ДАН СССР. 1964. Т. 156, № 6. С. 1292-1295.

53. Семенов Е. М., Штейнберг A.M. Свойство Орлича симметричных пространств. ДАН СССР. 1990. Т. 314, № 6. С. 1341-1344.

54. Стейн И., Вейс Г. Введение в гармонический анализ на евклидовых пространствах. М., Мир, 1974. 331 с.

55. Токарев Е. В. О подпространствах симметричных пространств функций. Функциональный анализ и его приложения. 1979. Т. 13, № 2. С. 93-94.

56. Ульянов П. Л. Представление функций рядами и классы <p(L). Успехи математических наук. 1972. Т. 27, № 2. С. 3-52.

57. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. Т. 1. М., Мир, 1984. 527 с.

58. Халмош П. Теория меры. М., ИИЛ, 1953. 292 с.

59. Харди Г. Г., Литтльвуд Дж. Е., Полиа Г. Неравенства. М., ИИЛ, 1948. 456 с.

60. Чупрунов А. Н. Пространства, связанные с последовательностями независимых случайных элементов. Изв. вузов. Математика. 1991. Вып. 9. С. 68 74.

61. Ширяев А. Н. Вероятность. М., Наука, 1989. 640 с.

62. Штейнберг А. М. Неравенства слабого типа для операторов, инвариантных относительно сдвига. Сообщения АН ГССР. 1982. Т. 106, № 3. С. 469-471.

63. Штейнберг А. М. Операторы, инвариантные относительно сдвига в пространствах Лоренца. Функц. анализ и его прил. 1986. Т. 20, № 2. С. 92-93.

64. Эдварде Р. Функциональный анализ. М., Мир, 1969. 1071 с.

65. Aldous D. J. Sub spaces of L\ via random measures. Trans. Amer. Math. Soc. 1981. V. 267, № 2. P. 445-463.

66. Amo A. G. del, Hernandez F. L., Ruiz C. Disjointly strictly singular operators and interpolation. Proc. Roy. Soc. Edinburgh Sect. 1996. V. A 126. P. 1011-26.

67. Amo A. G. del , Hernandez F. L., Sanchez V. M., Semenov E. M. Disjointly strictly-singular inclusions between RIS. J.London. Math. Soc. 2000. V. 62, № 2. P. 239-252.

68. Banach S. Sur la convergence presque partout. Bull.sci.math.Annalen. 1926. V. 50. P. 27-43.

69. Bastero J., Hudzik H., Steinberg A.M. On smallest and largest among RI p-Banach function spaces (0 < p < 1). Indag. Mathem. N.S. 1991. V. 2, № 3. P. 283-288.

70. Braverman M. S. Independent Random Variables and Rearrangement Invariant Spaces. Cambridge Univ. Press, 1994. 116 p.

71. Boyd D. W. The Hilbert transform on RIS. Canad. J. Math. 1967. V. 19, № 3. P. 599 616.

72. Carothers N. L., Dilworth S. J. Geometry of Lorentz Spaces via Interpolation. Longhorn Notes. The Univ. of Texas at Austin. Funct.Anal. Seminar. 1985-86. P. 107-133.

73. Carothers N. L., Dilworth S. J. Inequalities for sums of independent random variables. Proceedings of AMS. 1988. V. 104, № 1. P. 221-226.

74. Carothers N. L., Dilworth S. J. Equidistributed random variables in Lm. Journal of Functional Anal. 1989. V. 84, № 1. P. 146-159.

75. Creekmore J. Type and Cotype in Lorentz Lp^q spaces. Proc. Kon. ned. akad. wetensch. 1981. V. A84, № 2. P. 145-152.

76. Chow Y. S., Teicher H. Probability Theory. New York, Springer-Verlag, 1978. 455 p.

77. Dacunha-Castelle D., Krivine J.-L. Sous-espaces de L\. Israel J. Math. 1977. V. 26. P. 320-351 .

78. Dvoretzky A. Some results on convex bodies and Banach spaces. Proc. Symp. on Linear Spaces. Jerusalem. 1961. P. 123-160.

79. Grothendieck A. Sur certains sous-espaces vectoriels de Lp. Canadian J. Math. 1954. V. 6, № 1. P. 158-160.

80. Hernandez F. L., Rodriguez-Salinas B. On lp-complemented copies in Orlicz spaces II. Israel J. Math. 1989. V. 68, № 1. P. 27-55.

81. Hernandez F. L. Disjointly Strictly Singular Operators in Banach Lattices. Acta Univ. Carolinae Math, et Phys. 1990. V. 31, № 2. P. 35-40.

82. Hunt R. A. On L(p, q) spaces. L'Enseignement Math. 1966. V. 12, № 4. P. 249-276.

83. Johnson W. В., Maurey В., Schechtman G., Tzafriri L. Symmetric structures in Banach spaces. Memoirs AMS. 1979. V. 217. 335 p.

84. Johnson W. В., Schechtman G. Sums of independent random variables in rearrangement invariant function spaces. Annals of Probability. 1989. V. 17, № 2. P. 789-808.

85. Kadec M. I., Pelczynski A. Bases, lacunary sequences and complemented subspaces in the spacs Lp. Stud. Math, 1962. V. 21, № 2. P. 161-176.

86. Kalton N. J. Linear operators on Lp for 0 < p < 1. Transactions of AMS. 1980. V. 259, № 2. P. 319-355.

87. Kaminska A., Mastylo M. The Dunford-Pettis property for symmetric spaces. Canad.J.Math. 2000. V. 52, № 4. P. 789-803.

88. Krivine J. L. Sons-espaces de dimension finie des espaces de Banach reticules. Annals of Maths. 1976. V. 104, № 1. P. 1-29.

89. Kwapien S. Isomorphic characterizations of inner product spaces by orthogonal series with vector coefficients. Studia Math. 1972. V. 44. P. 145-152.

90. Leung D. H. Isomorphism of certain weak Lp-spaces. Studia Math. 1993. V. 104, № 2. P. 151-160. .

91. Lindenstrauss J., Tzafriri L. Classical Banach Spaces. Lect.Notes Math., Berlin, Springer. 1973. V. 338. 243 p.

92. Lindenstrauss J., Tzafriri L. Classical Banach Spaces, I. Sequence Spaces. Ergebnisse der Math. Berlin, Springer. 1977. V. 92. 190 p.

93. Lindenstrauss J., Tzafriri L. Classical Banach spaces II. Function Spaces. Ergebnisse der Math. Berlin, Springer. 1979. V. 97. 243 p.

94. Lorentz G. G. Some new functional spaces. Ann. of Math. 1950. V. 51, № 1. P. 37-55.

95. Marcus M., Pisier G. Characterizations of almost surely continuous p-stable random Fourier series. Acta Mathematica. 1984. V. 152, № 34. P. 245-301.

96. Maurey B. Type et cotype dans les espaces munis de structures unconditionelles. Seminaire Maurey-Schwartz. 1973-74. Exp. XXIV et XXV.

97. Maurey B. Theoremes de factorisation pour les operateurs lineares a valeurs dans les espaces Lp. Asterisque. 1974. V. 11. 163 p.

98. Maurey В., Pisier G. Series de variables aleatoires vectorielles independantes et geometrie des espaces de Banach. Studia Math. 1976. V. 58, № 1. P. 45-90.

99. Montgomery-Smith S. J., Semenov E. M. Embeddings of rearrangement invariant spaces that are not strictly singular. Positivity. 2000. V. 4. P. 397-402.

100. Pisier G. Factorisation of Operators through LPj00 and Lpд. Math.Annalen. 1986. V. 276. P. 105-136.

101. Pisier G. Probabilistic Methods in the Geometry bf Banach Spaces. Lecture Notes in Maths. 1986. V. 1206. P. 167-241.

102. Raynaud Y. Complemented hilbertian subspaces in rearrangement invariant function spaces. Illinois J. Math. 1995. V> 39, № 2. P. 212250. |

103. Rodin V. A., Semyonov E. M. Rademacher series in symmetric spaces Analysis Math. 1975. V. 1, № 2. P. 207-222.

104. Rolewicz S. On a certain class of linear metric spaces, Bull, de l'academie pol. des sciences. 1957. V. 5, № 5. P.471-473.

105. Rolewich S. Metric linear spaces. Monografie Matematyczne. Warsaw, PWN. 1972. V. 56. 287 p.

106. Rubio de Francia J.-L., Garcia-Guerra I. Weighted norm inequalities and related topics. Amsterdam, North-Holland. 1985. 604 p.

107. Schwartz L. Geometry and probability. Berlin, Springer. 1981. 101 p.

108. Schwarz H.-U. A characterization of (p,q)~absolutely summing operators. Beitrage. Anal. 1979. V. 13, № 2. P. 143-145.

109. Simons S. On the Dunford-Pettis property. Math.Annalen. 1975. V. 216, № 3. P 225-231.

110. Stepanov V. D. Weighted norm inequalities for integral operators and related topics. Nonlinear analysis, function spaces and applications. Prague, 1994. V. 5. P. 139-175.

111. Talagrand M. Cotype of operators from C(K). Invent. Math. 1992. V. 107. P. 1-40.

112. Ulbricht R. Weighted sums of independent identically distributed random variables. The Annals of Probability. 1981. V. 9, № 4. P. 693698.

113. Wojtaszczyk P. Banach Spaces for analysts. Cambridge Stud.Adv.Math. Cambridge Univ. Press. 1991. V. 25. 383 p.