Восстановление дробных степеней оператора Лапласа функции по ее неточно заданному спектру и неравенства колмогоровского типа тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Сивкова, Елена Олеговна

• Сивкова, Елена Олеговна
• кандидат физико-математических наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Сивкова, Елена Олеговна

Введение

Предварительные сведения

Глава 1. Восстановление лапласиана функции в метрике Z/2(Kd) по ее преобразованию Фурье, известном точно или приближенно в метрике ¿

Глава 2. Восстановление лапласиана функции в метрике L2(Kd) по ее преобразованию Фурье, известном точно или приближенно в метрике L^

Глава 3. Восстановление лапласиана функции в метрике L00(Rd) по ее преобразованию Фурье, известному приближенно в метрике L^

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Восстановление дробных степеней оператора Лапласа функции по ее неточно заданному спектру и неравенства колмогоровского типа»

1. Работа посвящена вопросам оптимального восстановления дробных степеней оператора Лапласа функций на К** по информации о преобразовании Фурье самой фуикции, известном точно или приближенно (в той или иной метрике) па некотором подмножестве М^, а также тесно связанным с этим вопросам существования точных неравенств для дробных степеней оператора Лапласа, являющихся аналогами неравенств колмогоровского типа для производных.

Во многих прикладных задачах возникает ситуация, когда требуется восстановить какую-либо характеристику объекта по некоторой информации (которая обычно не точна и не полна) о других его характеристиках. Например, необходимо восстановить функцию в точке, или интеграл от нее, или саму функцию целиком (в той или иной метрике) по информации о ее значениях в других точках, о ее преобразовании Фурье, коэффициентах Тейлора и т. п. Существует множество подходов к решению подобных задач. Здесь мы следуем подходу, который предполагает наличие априорной информации об объекте, характеристики которого требуется восстановить. Это позволяет поставить задачу о нахождении наилучшего метода восстановления данной характеристики среди вообще всех возможных методов восстановления. Такой взгляд на задачи восстановления идеологически восходит к работам А. Н. Колмогорова [1] 30-годов прошлого века о нахождении наилучших средств приближения для классов функций. Математическая теория, где изучаются задачи восстановления на основе указанного подхода, активно развивается в последние десятилетия.

Предшественником тематики, связанной с оптимальным восстановлением функционалов, можно считать задачу Колмогорова-Никольского о наилучших квадратурах (см. [2]). Ее простейшая постановка такова. Пусть Щ — некоторое подмножество (класс) непрерывных функций па отрезке [а, 6] и пусть фиксированы точки а — хх < . < хп < Ь. Для каждой функции /(■) £ V*/ мы хотим вычислить интеграл /(х) с1х, используя для этого приближенную формулу Рг!(хг)> гДе Коэффициенты рг, 1 < I < П, следует выбрать так, чтобы эта формула осуществляла наилучшее приближение интеграла сразу для всех функций из Ш. Точная постановка задачи состоит в том, чтобы найти величину

ГЬ хг ш£ зир

Р1,- ,Рп Д )£И/ ж) <1х г=1 где нижняя грань берется по всем наборам . ,рп), и тот па-бор, на котором эта нижняя грань достигается. Этот набор и будет задавать искомую квадратурную формулу.

На данную задачу можно посмотреть несколько иначе. Функции из \У известны неточно, а именно, о каждой функции /(•) е IV известен вектор (/(х\),.,/(хп)) - набор ее значений в точках Х\,. . ,хп. Мы берем произвольную линейную функцию I: К" —>•

Ку) = 51Г=1 РгУг (У = (Уъ ■ • • ,2/тг)), и ее значение на векторе (/(жх),., /(хп)), т. е. величину Рг/{хг)> принимаем за оценку интеграла /аЬ/(ж) (¿г сразу для всех функций /(•) е IV. Погрешность такой оценки определяется величиной вир Л )еи/

Ь п х)йх г=1

Нас, естественно, интересует та линейная функция, на которой эта погрешность минимальна. Такую функцию можно назвать оптимальным методом восстановлением интеграла на данном классе функций.

Отсюда один шаг до общей постановки. Пусть X — линейное пространство, — непустое подмножество (класс) элементов в X и 1г, г = 0,1,., п, — линейные функционалы на X. Элементы из Ж известны неточно, а именно, о каждом х Е известны числа 1г(х), г = 1,., п (значения линейных функционалов 1г, г = 1,. ., п, на элементе х). По этой информации мы хотим восстановить значения линейного функционала 1о на классе и по возможности наилучшим образом. Под этим понимается следующее. Любая функция т: М™ —> К объявляется методом восстановления (значений 10 на по данной информации) и погрешность такого метода определяется величиной е(10,Ш,1и ., 1п, т) = вир 110(х) - т(1 г(х),. ,1п{х))\.

Это "наихудшее", что можно получить, используя данный способ восстановления.

Нас интересует величина

ЕЦо^,^,. ,1п) = п^ е(/0,И. ,1п,т), т КП->К которая называется погрешностью оптимального восстановления и те методы, на которых эта нижняя грань достигается. Такие методы называем оптимальными методами восстановления.

Задача Колмогорова-Никольского является частным случаем общей постановки Действительно, в качестве X можно взять пространство непрерывных функций на [а, Ь], ¿о — линейный функционал на X, сопоставляющий функции ее интеграл по отрезку [а, Ь], 1г — линейный функционал на X, сопоставляющий функции ее значение в точке хг, 1 < г < п, а в качестве методов восстановления рассматриваются только линейные методы.

Приведенная общая постановка задачи оптимального восстановления функционала принадлежит С. А. Смоляку [3]. Он доказал в этой общей ситуации, что если множество М/ центрально симметрично — то среди оптимальных методов есть линейный. В дальнейшем тематика, связанная с оптимальным восстановлением, развивалась и обобщалась в разных направлениях. Большое внимание уделялось задачам оптимального восстановления, в которых информация об элементах ЪУ задана неточно (например, в общей постановке числа 1г(х), г — 1,. ,п, известны приближенно) и, вообще говоря, бесконечномерна (например, информация об х € У/ задается не конечным набором чисел, а элементом бесконечномерного пространства). Для таких задач выяснялись условия существования линейного оптимального метода (см., например, [4], [5] и [6]). Окончательный результат — необходимые и достаточные 5 условия существования линейного оптимального метода восстановления для достаточно общей постановки задачи оптимального восстановления линейного функционала — получен в работе [7]. Кроме того, было решено множество конкретных задач, где находились методы оптимального восстановления. Представление об этом этапе развития дайной тематики отражено в следующих обзорах [8], [9], [10] и монографии [11]. Следует отметить, что подход к решению задач оптимального восстановления линейных функционалов по неточным исходным данным с позиций теории экстремума впервые был предпринят в работе [12].

В указанных обзорах ставилась и задача оптимального восстановления значений линейного оператора на классе элементов по неточной и неполной информации о самих элементах. Общая постановка этой задачи такова. Пусть X — линейное пространство и W — непустое подмножество (класс) в X. Пусть, далее, У — нормированное пространство, /: X У — линейный оператор и 5 > 0. Элементы из W известны приближенно, а именно, о каждом элементе х е W нам известен (нам показывают) элемент у € У такой, что || 1х — у||у < S (если 6 = 0, то известен элемент /ж). По этой информации мы хотим восстановить (по возможности, наилучшим образом) значения на классе W линейного оператора Л X —> Z, где Z — другое нормированное пространство.

Любое отображение т: У —> Z объявляется методом восстановления (значений А па W по данной информации). Его погрешность определяем по формуле ez(A,W,Y,S,m) = sup \\Кх - m(y)\\z. x€W, yev ||/ж-у||у <<5

-Если-(5 — 0, то это-выражепие, очевидно,-переписывается такez(A, W, У, 0, т) = sup ||Аж - m{Ix)\\z. хб w

Величину

EZ{A, W, У, 5) = mfez(A, Wy У, S, m) m 6 где нижняя грань берется по всем методам т: У —> 2) называем погрешностью оптимального восстановления, а методы, на которых достигается нижняя грань — оптимальными методами восстановления.

Первые результаты, касающиеся оптимального восстановления линейных операторов, были получены в работе [13]. В дальнейшем эта тематика активно развивалась в работах [14]—[20].

2. В данной работе решается задача об оптимальном восстановлении дробной степени оператора Лапласа функции в различных метриках па соболевских классах функций по следующей информации: преобразование Фурье самой функции известно либо точно, либо приближенно (в той или иной метрике) па некотором выпуклом подмножестве М0' (с? — натуральное число). Приведем точные определения.

Оператор Лапласа А на М6' для функции /(•), имеющей вторые частные производные, определяется, как известно, следующим образом

Преобразование Фурье лапласиана Д/(-) достаточно гладкой и быстро убывающей функции /(•) на имеет вид (^РД/)(£) = ~Для всех £ = (£1----)£ег) е Это позволяет определить дробную степень оператора Лапласа.

Пусть а > 0. Если функция /(•) € Ь2(Ш'1) такова, что функция </?: £ —> |£|а(^/)(0 также принадлежит Ь2(ШН), то через (—Д)а/2/(-) обозначаем функцию, преобразование Фурье которой есть </?(•). Понятно, что при а — 2 это обычный лапласиан и что

-д)°/(0 = /(■)■

Соболевским пространством УУ^(Мсг) называется совокупность таких функций /(•) е Ь2(Ша), что функция £ ^ (1 + |2)572(.Р/)(0 также принадлежит Ь2{Ш.а) (>У2°(ЕЙ) = Ь2(№11)).

Пусть а>0и1<р<оо. Положим

И^ум') = {/(■) е У^К") | ^Я(-) е ьР(м")} и

2аР(ка) = {/(■) е У^к") 1 ||(-Д)а/2||^(н') < !}•

IV,

При этом ясно, что W£2(Rd) = W"(Md) (и, соответственно, W£2(Rd) = ВДЕ'О).

Пусть, далее, 0 < (3 < а, I < q < оо, А — непустое подмножество Rd и S > 0. Мы ставим задачу об оптимальном восстановлении функции (—Д)/3/2/(-) в метрике Lq(Rd) на классе W2°p(Md) по следующей информации: о каждой функции /(•) £ Wf (Md) известна функция у(-) £ LP(A) такая, что ||(F/)(-) - у(-)||МА) < 5 (если <5 = 0, то функция (Ff)(-)\a — сужение (Ff)(-) па А— известна точно).

В соответствии с приведенной выше общей постановкой здесь X = W2ap(Kd), W = W2°p(Rd), Y = LP(A), оператор I: X —>■ Y действует по правилу (//)(•) = (Ff)(-)\A , Z = Lq(Rd) и оператор k-.X^tZ таков, что (Л/)(-) = (-Д)"/2/(0

Как и в общей ситуации, любой метод (отображение) т: LP(A) —> Lq(Rd) объявляется методом восстановления и его погрешность определяется по формуле1 eq((-A)V\WZp(Rd),Lp(A),5,rn) = sup ||(-Д)/3/2/(-) - rn(g{-)){-)\\LqiRd]. f(-)ew«p(Ud), д{-)еьр(А) \\(Ff)(-)-9()\\LpiA) <S

Если S — 0, то это выражение, очевидно, переписывается так е,((-Д)^2, W2ap(Rd),Lp(A),0,m) = sup ||(-Д)/3/2/(-) - m((F/)(-)U)(-)lk(R-). /(•)evK2"p( к-*)

Нас интересует погрешность оптимального восстановления, т. е. величина

Eq({-Ay/2,W2°p{Rd),Lp(A),5) = inf е,((-Д)^2, W2°p(Rd)} LP(A),6, m), m где нижняя грань берется по всем методам т: LP(A) —> L9(Rd), и оптимальные методы восстановления, т. е. те методы, на которых нижняя грань достигается.

В диссертации погрешность оптимального восстановления и оптимальные методы находятся для случаев, когда q = 2, ар = 2 и оо

Ниже, для сокращения записи, мы пишем индекс q вместо Lq{Rd). 8 и когда д = р — оо. Для всех этих случаев, в качестве следствия, выписываются точные неравенства для дробных степеней оператора Лапласа, являющиеся аналогами неравенств колмогоровского типа для производных.

3. Перейдем к формулировкам основных результатов диссертации. В главе 1 рассматривается случай д = р = 2, т. е. когда дробная степень оператора Лапласа функции восстанавливается в метрике 1/2по информации о преобразовании Фурье функции, известном точно или приближенно в метрике Ь2 на некотором множестве А.

Перед формулировкой теоремы введем некоторые обозначения. Пусть 0</3<аи(5>0. Обозначим г — г (а, ß, ö, d) = а \ -'(a-ö> ( S2 jj \(27г)с

Пусть, далее, А — подмножество M.d такое, что 0 G intA. Положим га — sup{ г > 0 | В( О, г) С А}, где В(х, г) — замкнутый шар в с центром в точке х радиуса г > 0. Ясно, что 0 < гд < оо, если А — собственное подмножество и га — +оо, если А = Rd. Обозначим Го = тт(гд,г) и положим

Л, = Ai(a, ß, Го) = (ß-\^rlß, Л2 = \2(a,ß.r0) = r-2^. а \а J

Обозначим еще (£,х) = где £ = и ж = хь . .,xd). теорема 1.1. Пусть Q<ß<a,5>Q,A — выпуклое подмножество Rd и int А ф 0. Тогда

1) если 0 ^ int А, то

E2((-&)ß'2,W'*(M.d),L2(A)}ö) = +оо;

2) если А — собственное подмножество, 0 £ int А и 8 — 0, то

Оптимальным методом восстановления является линейный оператор т: ¿2 (Л) —» Ь2(Ш.'1), действующий по правилу (-а)^(-), где (Г(р)(-) = (^/)(-)|в(о,гл), или, равносильно, для п. в. х е

3) если ОбйА ц<5>0, то а - ¡3 {5 а \а а-2 г2/ +

2л)* А г2}а~ву

52 а-в

2о га < г,

ГА > Г.

I\(2тг

Для каждой функции а(-) Е Д^М**) такой, что а(£) = О, если £ ^ 5(0, Го) и а(0

Аг + Л2К12а для п. в. £ Е В(0, г0), оптимальным методом является линейный оператор та: Ь2(А) —> Ь2{действующий по правилу $(•))(■) = ¥>(')> где (ЗД(-) = а(-)з(0 5(0,г0) и (ЗД(-) = 0 вне В(0,г0), или, равносильно, для п. в. х Е К^ таШ)(х) =[ аШОе'^Ч. (2тг)Й У|С|<Г0

В качестве следствия п. 3) теоремы укажем серию оптимальных методов, имеющих явное описание. следствие. В условиях п. 3) теоремы для каждого г такого, что

V /{}\ 2(о-« оптимальным методом является линейный оператор mr: L2(A) -» L2(Md), действующий по правилу где (ЗД(-) = <?(■) на 5(О, г), (F<p)( ) = a0(-)g(-) на 5(0, г0) \ 5(0, г), (F</?)(-) = 0 вне 5(0, г0) и

Прокомментируем утверждения сформулированных теоремы и следствия. Первое утверждение теоремы означает, что если 0 ^ int А, то погрешность любого метода восстановления равна бесконечности и значит, никаким способом нельзя восстановить соответствующую дробную степень оператора Лапласа па всем классе.

Если 0 6 int А и преобразование Фурье функции /(•) на Л известно точно (6 — 0), то чем больше радиус шара с центром в нуле, который можно вписать в А, тем погрешность оптимального восстановления меньше. Но знание преобразования Фурье за пределами этого шара оказывается лишним — оптимальный метод эту информацию не использует. При этом сам оптимальный метод есть соответствующая дробная степень оператора Лапласа функции, преобразование Фурье которой совпадает с преобразованием Фурье функции /(•) на шаре 5(0, г а) и равно пулю вне этого шара.

Если 0 G int А и преобразование Фурье функции /(•) на А известно с точностью до <5 > 0 в метрике L2(A), то погрешность оптимального восстановления также уменьшается с ростом радиуса вписанного шара в А, но лишь до определенного предела: при г л > г эта погрешность постоянна, т е. за пределами шара 5(0, г) mr(g( ))(•) = (-A^VC ) или, равносильно, для п. в. х € Md информация о преобразовании Фурье функции из данного класса не нужна (см. рис. 1 и 2).

Любой оптимальный метод, как и в предыдущем случае, есть соответствующая дробная степень оператора Лапласа функции, преобразование Фурье которой на шаре В(0,го) представляет собой "сглаженное" наблюдение д(-), а вне этого шара оно равно нулю.

Заметим, что неравенство г а <г равносильно соотношению У

А? < (2*)' , которое можно трактовать как своеобразный "принцип неопределенности", связывающий объем полезной информации (преобразование Фурье на шаре В( О, г а)) и погрешность ее измерения.

Выделенная серия оптимальных методов устроена следующим образом. Если г > 0, то на шаре В(0, г) информация не "обрабатывается" (подставляется то. что наблюдается), а на шаровом слое {С I г < К! < } наблюдаемая информация "сглаживается". Это соответствует тому, что обычно происходит на практике. Высокие частоты отбрасываются, а низкие тем или иным способом обрабатываются.

Во второй главе рассматривается случай ц — 2, р — оо, т. е. когда дробная степень оператора Лапласа функции восстанавливается в метрике /^(К1*) по информации о преобразовании Фурье

12 функции, известном точно или приближенно в метрике L00 на некотором множестве А. Здесь же, в качестве следствия, их доказанного результата извлекается точное неравенство колмогоровского типа для дробных степеней оператора Лапласа.

Перед формулировкой теоремы введем некоторые обозначения. Для краткости обозначим

Если А — подмножество U.d такое, что 0 6 int А, то пусть гд обозначает то же, что и в теореме 1.1 и пусть также го = тт(гА,г).

Теорема 2.1. Пусть О < ß < а, 5 > О, А — выпуклое подмножество Rd и int А ф 0. Тогда 1) если 0 ^ int А, то

Оптимальным методом является линейный оператор т: Ьоо(Л) —> Ь2(Ш.'1)! действующий по правилу fh(gm-) = (-Д)^(-). где (Fip)(-) = a(-)g(-) на B(0,ro), (ЗД(-) = 0 вне В(0,го) и

-y(d) = 2d~17Td/2r(d/2) где Г(-) — гамма-функция Эйлера.

Для каждых а > 0 и 6 > 0 положим

E2((-A)^\W^00(Rd),L00(A),S) = +оо;

2) если 0 6 int А, то

E2((-Af'2,WZ00(md),L00(A),5) = или, равносильно, для п. в. х Е

ШШ = тЛ? [ dt

2ir)d

Как и в предыдущем случае, прокомментируем утверждения данной теоремы. Ее первое утверждение имеет тот же смысл, что и первое утверждение теоремы 1.1. Если же 0 6 int А и преобразование Фурье функции /(•) па А известно с точностью до S > О в метрике L00(A), то снова погрешность оптимального восстановления уменьшается с ростом радиуса вписанного шара в А, по до определенного предела: при г а > г эта погрешность стабилизируется. За пределами шара В(0, г) информация о преобразовании Фурье функции из данного класса не нужна. Оптимальный метод, как и раньше, есть соответствующая дробная степень оператора Лапласа функции, преобразование Фурье которой на шаре 5(0, го) представляет собой "сглаженное" наблюдение <?(•), а вне этого шара оно равно нулю.

Соотношение, связывающее объем полезной информации с точностью ее измерения (т. е. соотношение г а < г) в данном случае имеет вид rd+2aö2 < 2d-1nd/2r(d/2){d + 2a).

Следствие. Для всех функций /(•) е VVf^l^) справедливо точное неравенство

2(о-б) d+2ß где

К = ld + 2a ( 1 \ d + 2/3 \7(с()(с? + 2а)

В третьей главе рассматривается случай д = р — со, т. е. когда дробная степень оператора Лапласа функции восстанавливается в метрике Ь00(Ша) по информации о преобразовании Фурье функции, известном точно или приближенно в метрике Ь^ на некотором множестве А, и также выводится соответствующее точное неравенство для дробных степеней оператора Лапласа. Снова, перед формулировкой теоремы введем некоторые обозначения.

14

Пусть 7(с?) — то же, что и предыдущей теореме. Для /3 > О, а > 0 таких, что а — (3 > й/2 и 5 > 0 положим 1 d+2a г — r(a ß 6 d) = hm + 2a)(2a-2ß-d)\ и если 0<г<ооиго = min(r, г), то полагаем

Л = А(а,ß,S,r,ä) = , Ш

V ' ' ' V2а -2ß-d \4+2а d + 2aj

Определим также функцию а(-) на Md по формуле

0,r0), 5 где, напомним, Б(0, г) — замкнутый шар в Rd с центром в нуле радиуса г (считаем, что 0 < г < оо, полагая В(0, оо) = Md).

Из условия го < г следует, что выражение в скобках в определении Л положительно и что функция о(-) неотрицательна.

Теорема 3.1. Пусть а > 0, ß > О, а - ß > d/2, 0 < г < оо и Ö > 0. Тогда

-Д)^2, Wf (Rd), L00(ß(0, г)), 5) = 1 (l{d) ö2 7{d)\d + ß+^2a-2ß-d\rd+2a d + 2a 1 '' Г ~ Г' rf+ff 2a-ff d/2 + a)3+^ / 2a-ß \ d+2a 2a-2g-d 4 1 — 1 ö rf+2" , г > г. \ч^)(2а - 2(3 - d)

Оптимальным методом восстановления является линейный оператор т\ Ь^А) -> ^(Е^), действующий по правилу т(д(.))(-) = (-Д)^2^-), где = а('Ж') иа 5(0, г0) и (-?»(•) = 0 вне В(0,го); или, равносильно, для п. в. ж € М^

Здесь, как и в теоремах предыдущих глав, наблюдается эффект насыщения — информация о преобразовании Фурье за пределами шара .6(0, г) оказывается лишней. Соотношение, связывающее объем полезной информации и величину погрешности ее измерения, в данном случае имеет вид а+2 2 7(с*)(а + 2а)(2а-2Р - й)

2{2а-{3)

Следствие. Пусть а > 0, (3 > 0 и а - /3 > в/2. Тогда для всех функций /(•) 6 Н^ооО^) справедливо точное неравенство

2^+2/3

1К-А)/3/2Л-)!иоо^) < АЦ^ЛОН^Й где й/2 + ( 2а- ¡3 \ ■г+2°

К = d + fi \-1(d)(2a-2/3 - d)

Предварительные сведения

0.1. Некоторые обозначения. Пусть N, Z, Z+, Ш и С — множества соответственно натуральных, целых, неотрицательных целых, действительных и комплексных чисел.

Пусть d G N. Через Rd (К1 = M) обозначаем евклидово пространство всех упорядоченных наборов из d вещественных чисел со скалярным произведением (х,у) — ixiUi, ГДе х — (жь ., xd) и у = (уь ., yd)7 Евклидову "норму (длину)" вектора х = (xi,., Xd) G Rd обозначаем так \х\ = \Jx\ + . + х\.

0.2. Пространства Lp(Rd). Пусть 1 < р < оо. Через Lp(Rd) обозначаем совокупность измеримых (комплекснозначных) функций /(•) на M.d, для которых конечна величина если 1 < р < оо и

II/OIIwr') = inf{ а > 0 I mes {х G I |/(х)| > а} = 0 }.

Это банахово пространство с нормой ЦДОНьр^)

16

0.3. Гармонический анализ. Пусть /(■) 6 Li(Md). Функция (Ff)(•) на Rd, определенная равенством

F№)= [ f(x)e-«x>dx, £eRd, (o.i)

JRd называется преобразованием Фурье функции /(•).

Теорема 0.1. Функция (F/)(-) непрерывна HaRd и (Ff)(£) О при |£| оо доказательство. Преобразование Фурье корректно определено, так как для каждого (бК^

W№\< [ \№\dx=\\f(.)\\Ll0t<).

JRd

Пусть (о е Rd. Поскольку f(x)e-^'x) /(х)е~г<6>-х> при С Со и = \f(x)\ для всех х G Rd, то по теореме Лебега об ограниченной сходимости (см. [21]) lim (Ff)(О = lim I f(x)e~t{i,)dx= I lim f(x)e~z{L,)dx = i->fo ,/Rd ,/Rd f-Ko [ f(x)e-«°rtdx = (F№0),

J Rd т. е. функция (Ff)(-) непрерывна на Rd.

Второе утверждение, для простоты записи, докажем для d — 1. Простые функции, т. е. функции, являющиеся линейными комбинациями характеристических функций отрезков, плотны Ьг(R) (см. [21]). Это, фактически, сразу следует из самого определения интеграла Лебега. Если Х[а,ь] (") — характеристическая функция отрезка [а,Ъ], то e*'dx =--и значит, (Fx[a,b\){О -> 0 при |£| —>■ оо. Но тогда ясно, что преобразование Фурье любой простой функции обладает этим свойством.

Пусть /(•) G Li(R и {/„(•)} — последовательность простых функций, сходящаяся к /(•) в Li(R). Теперь из очевидных оценок (учитывая плотность простых функций в Li(R)) i(^/)(oi < mm - (Ffn)(oi + к^д)(01 < I \f(x)-fn(x)\dx + \(Ffnm ./R

17 следует, что (-Р/)(0 0 при —оо. □

ТЕОРЕМА 0.2 (Плапшереля). Существует единственный линейный непрерывный оператор, отображающий Ь2{Шс1) на Ь2(К^) (также называемый преобразованием Фурье и также обозначаемый через Р), который на ЬЦМ^) П Ь2(Ша) совпадает с (0.1) и при этом, справедливо равенство

П/(Ж(К-) = (0-2)

Из (0.2) следует, что Е — взаимно однозначное отображение. Обратный оператор к Р называется обратным преобразованием Фурье и обозначается .Р-1. Это линейный непрерывный оператор.

Из (0.2) также следует, что для любых /г(-) 6 Ь2(М<г), г = 1,2, справедливо равенство Парсеваля Мх)Ш<ь = тА, / (РШОТЩШ^. (0.3) Jít^' (27т)а JЛd

Для этого достаточно подставить в (0.2) функции /х( ) + /2(-)'и

М-) + »/2(0

Отметим здесь один частный случай формулы обращения для преобразования Фурье, который будет использоваться в дальнейшем.

ЛЕММА. Если функция /(•) 6 1/2(М^) такова, что (Р/)(-) € Ь1(Мс!) П ¿2(К<г), то справедлива формула обращения = тА / С1£ для п. в. х е И«. (0.4) к) JRd

Доказательство. Ясно, что справедливо равенство [ [ ШМе-^*)^.

J&d Ук1'

Интеграл справа под знаком сопряжения есть преобразование Фурье функции (Р/ХО е Ьг(К«*). Но так как СР/Х7) 6 Ь2(Ша), то по теореме Планшереля это и преобразование Фурье функции из Ь2(Ш(1) и тем самым интеграл принадлежит Ь2(Ш'1). Таким образом, выражение справа в (0.4) есть функция из Ь2(Ш'1).

Напомним, что скалярное произведение в определяется по формуле /(■))= / 9(*Ш<Ь

JKd 18

Обозначим через /(•) выражение справа в (0.4). Для любой функции д(-) 6 1/1(Мсг) П Ь2(Ш.(1) имеем, используя теорему Фубини и равенство Парсеваля = [ ^(тАз [ <%)(1х = V (27Г) -/к* / 1

2тт)с к* 1

Поскольку пространство Ь^М^) П 1,2(1^) плотно в Ь2(М^) (см.[21]), то отсюда следует, что /(•) = /(•) и формула (0.4) доказана. □

0.4. Дробная степень оператора Лапласа и пространства Соболева. Оператор Лапласа Д на М^ для функции /(•), имеющей вторые частные производные, определяется, как известно, следующим образом

Преобразование Фурье лапласиана А/( ) достаточно гладкой и быстро убывающей функции /(•) иа К'' имеет вид (^Д/)(^) = —1£|2-^/(£) Для всех С = (£ъ • ■ ■ >С*) € Это позволяет определить дробную степень оператора Лапласа.

Пусть а > 0. Если функция /(•) 6 Ь2(№.'*) такова, что функция <р: £ —> (.Р/)(£) также принадлежит Ь2(Ш.(1), то через (—Д)а/2/(-) обозначаем функцию, преобразование Фурье которой есть </?(•). Ясно, что при а = 2 это обычный лапласиан и что

-д)°/(0 = /(■)•

Соболевским пространством И^М6*) называется совокупность таких функций /(•) € Ь2(1Е^), что функция £ ■-> (1 + |£|2)а/2(Р/)(0 также принадлежит (>У20(М^) = Ь2(Жа)).

Если а = п £ К, то УУ^(М4*) — совокупность таких функций /(•) € Ь2(М^), что для любого /с = ,., ко) £ для которого к\ + . + к,1 < п, производная также принадлежит 1/2(К6*).

Теорема 0.3. Если 0 < Р < а и /(•) € У^К*), то

Если, дополнительно, а — ¡3 > (1/2, то функция (—Д)/3/2/(-) непрерывна и (—Д)^/2/(£) —> 0 при |£| —> оо.

Доказательство. Пусть 0 < Р < а и /(•) е У^М"*). Из тождества (1+'^2)а/2(1 + КРГ'^/ХО следует, что функция £ ь-> есть произведение ограниченной функции на функцию из 1,2 (К^) и тем самым сама является функцией из Ьг(К*1).

Пусть теперь п — (3 > в/2 и /(-) 6 Покажем сначала, что функция £ н-» (т. е. преобразование Фурье функции (—Д)^2/(-)) принадлежит Ь^М^). Действительно, обозначим ¥>(0 = (1 + та/2(Г1№- Тогда

Справа стоит произведение двух функций из 1/2 (Ки поэтому по неравенству Коши-Буняковского 1?№/)({)К < (щ^;^)1'2 М-)И««<>

Итак, преобразование Фурье функции (—Д)/3/2/(-) принадлежит ¿1 (К'*) П 1/2(1^). Из леммы п. 0.3 следует тогда, что для п. в. х £

-A)^f(x) = JL / #

27Tjû

Но справа, как показано в п. 0.3, стоит непрерывная функция, которая стремится к нулю на бесконечности. □

0.5. Обобщенные функции медленного роста. Пусть 5(]Rd) — совокупность бесконечно дифференцируемых функций </?(•) на Rd, удовлетворяющих условию sup \xp(Da<p){x)\ < оо (0.5) для всех наборов а = (о\, , o-d), Р — (Pi, ,Pd) целых неотрицательных чисел, где Datp(x) — dai+ +ал<р(х)/дх"1 . dx%d и rrP — ryP 1 X — Xj . xd

Совокупность полунорм (0.5) (по всем а и /3) превращает <S(Rd) в локально выпуклое линейное топологическое пространство (см. [22]).

Сопряженное пространство <S'(Md) к ¿>(Rd) называется пространством (медленно растущих) обобщенных функций на Ш.'1. Если и € S'(Rd) и </?(•) е <S(Rd), то (и, </?(•)) — значение линейного функционала и на элементе <р(-).

Пусть /(■) g Lp(Rd), 1 < р < оо. Тогда/(•) порождает линейный функционал Uf на 5(Rd) по формуле

•)> = / f(x)<p(x)dx. jRd

Отображение /(•) —> uj взаимно однозначно и в этом смысле отождествляют функцию /(■) с обобщенной функцией uj.

Преобразование Фурье F: S(Rd) -»> 5(Rd), определяемое соотношением (0.1) (очевидно, <£>(•) g Li(Rd)) является линейным непрерывным взаимно однозначным отображением <S(Kd) na«S(Rd).

Преобразованием Фурье обобщенной функции и g S'(M.d) называется обобщенная функция Fu, определенная формулой

FuM-)) = {u,(F<p)(-)).

Это линейное непрерывное взаимно однозначное отображение (S'(Rd) на себя и обратное отображение также непрерывно.

Если функция /(•) принадлежит L\{Rd) или Z/2(Rd)) то ее преобразование Фурье совпадает с "преобразованием Фурьё обобщенной функции uj (в смысле отмеченного выше отождествления). Действительно, пусть /(•) € Li(Rd). Тогда

Fufl </>(•)> = <«/, (*V)(-)> = [ f(x) ( [ ¥>(у)е-<**> dy) dx =

JMd \JVLd J [ ([ №e-^dx)<p(y)dy=(uFfM-))

J»d \JRd /

Пусть теперь /(•) G L2(Rd). Заметим, что если </?(•) G 5(Rd), то (ЗД(О = (ад(-0 и (2тг)-"(^)(-0 = Для всех £ G Rd, как следует из формулы (0.4), которая, очевидно, справедлива для функций из <S(Rd).

Учитывая сказанное, имеем (Fuf, <^(.)> = (и f., = [ f(x)(Fip)(0 dt =

JWLd / = ^ / = [ {Ff)(SMZ)dt = (UfiM-)),

J Rd откуда следует, что преобразование Фурье обобщенной функции и/ совпадает с преобразованием Фурье функции /.

0.6. Теорема отделимости. Пусть X — линейное пространство. Непустое множество А С X называется выпуклым, если с любыми двумя своими точками х и у оно содержит отрезок [х, у] = { г g X | г = (1 — а)х + ау, 0 < а < 1 }, соединяющий эти точки. теорема 0.4 (отделимости). Пусть А и В — выпуклые подмножества и А П В = 0. Тогда существует такой вектор А е Rd, |А| = 1, что sup(A, а) < inf (Л, Ь). а€А '

Геометрический смысл этого утверждения состоит в том, что множества А и В расположены по разные стороны от гиперплоскости Н — { х G Rd | (Л, х) — 7 }, где supae/1(A, а) < 7 < infb6Jg(A, b). Доказательство этой теоремы можно найти в [23].

0.7. Выпуклая оптимизация. Пусть X — линейное пространство. Функция /: X —> М называется выпуклой, если ее над-график epi / = { (ж, а) Е X х К | f(x) < а } выпуклое множество в линейном пространстве ХхК.

Пусть /г: X —> R, г — 0,1,., т, — выпуклые функции, аг 6 К, г = 1,. ,т, и С — выпуклое подмножество X. Задача о(ж) -> min, /г(ж) < аг, г — 1,., т, х Е С, (Р) заключающаяся в нахождении среди всех допустимых точек х (т. е. удовлетворяющих ограничениям задачи: /г(ж) < аг, г — 1,., т,

22 ж € С) тех, на которых функция /0(-) достигает минимума, называется выпуклой задачей, или задачей выпуклого программирования. Точки минимума называют еще решениями данной задачи. Функция С: X х Ет+1, определенная равенством тп Аг/г(ж), г=0 где Л = (Ао, А1,., Лт), называется функцией Лагранжа задачи (Р), а числа Ао, Ах,., Хт — множителями Лагранжа. теорема 0.5 (Каруша-Куна-Таккера). Если ж — минимум в задаче (Р), то найдется такой ненулевой набор множителей Лагранжа А = (Ао, ., Ато), что а) ттжеС С(х, А) = С(х, А); б) Аг > 0, г = 0,1,. ,т; с) Аг(/г(ж) - аг) = 0, г — 1,. ,т.

Если существует допустимая в (Р) точка х и набор множителей Лагранжа А — (Ао, Аь ., Хт), удовлетворяющие условиям (а), (Ь) и (с) и при этом Ао > 0, то х — решение задачи (Р).

Если найдется точка х £ С, такая, что /г(ж) < аг, г — 1,. ,т (;условие Слейтера), то Ао ^ 0.

Доказательство этой теоремы содержится в [23]. Докажем здесь последние два ее утверждения. Пусть х — допустимая точка^в задаче (Р). Используя это обстоятельство и (6), затем (а) и (с), будем иметь т тп

А0/о(я) > Ао/о(х) + ^ А г (/г (ж) - аг) = £(х, А) - ^ А гаг >

1=1 г=1 тп тп С(х, А) - ^ Агаг = Ао/о(ж) + ^ Аг(/г(ж) - аг) = А0/0(х). г=1 г=1

Деля теперь левую и правую части А0, получаем, что ж — решение задачи (Р).

Пусть выполнено условие Слейтера. Предположим, что Ао = 0. Тогда среди остальных множителей есть ненулевой и мы имеем,

23 учитывая (с) т т т т л) = < = - а») + ^ Агаг = г=1 г=1 г=1 г=1 т £(ж, А), г=1 что противоречит (а).

Заметим, что если выполнено условие Слейтера, то (а), (Ь) и (с) представляют собой необходимые и достаточные условия того, что допустимая в задаче (Р) точка х является решением этой задачи.

Заметим еще, что если условия (а), (Ь) и (с) выполнены для некоторого набора А, то они выполнены и для набора сА, где с > 0. Следовательно, если Ао > 0, то можно считать, что Ао = 1. В этом случае, если х — решение задачи (Р), то легко видеть, что /о(ж) = £(х, А) - Агаг.

Значением задачи (Р) называется нижняя грань чисел /о(ж) по всем допустимым х. Если х — решение задачи (Р), то, очевидно, значение задачи равно /о(ж).

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Сивкова, Елена Олеговна, 2013 год

1. Колмогоров А. Н., "О наилучшем приближении функций заданного функционального класса", Ann. Math., 37, 107-110 (В "А. Н. Колмогоров. Избранные труды, том 1. Математика и механика", с. 209-212).

2. Никольский С. М. Квадратурные формулы, М.: Наука, 1988.

3. Смоляк С. А., Об оптимальном восстановлении функций и функционалов от них, Канд. дисс. М.: МГУ, 1965.

4. Марчук А. Г., Осипенко К. Ю., "Наилучшее приближение функций, заданных с погрешностью в конечном числе точек". Матем. заметки, 17:3, (1975), 359-368.

5. Магарил-Ильяев Г. Г., Чан Тхи Ле., "К задаче оптимального восстановления функционалов", Успехи мат. наук, 42:2 (1987), 237-238.

6. Арестов В. В., "Наилучшее восстановление операторов и родственные задачи", Тр. Мат. ин-та АН СССР, 189 (1989), 3-20.

7. Магарил-Ильяев Г. Г., Осипенко К. Ю. "Об оптимальном восстановлении функционалов по неточным данным", Мат. заметки, 50:6 (1991), 85-93.

8. Micchelli С. A., Rivhn Т. J. A survey of optimal recovery. In: Optimal Estimation in Approximation Theory (C. A. Micchelli and T. J. Rivlin, Eds.). P. 1-54. New York: Plenum Press, 1977.

9. Micchelli C. A., Rivlin T. J. Lectures on Optimal Recovery. Lecture Notes in Mathematics. V. 1129. P. 21-93. Berlin: Springer-Verlag, 1985.

10. Wozniakowski H. "A survey of information-based complexity", J. Complexity, 1 (1985), 11-44. "

11. Tra.ub J. F., Wozniakowski H. A General Theory of Optimal Algorithms. New York: Academic Press, 1980.

12. Магарил-Ильяев Г. Г., Тихомиров В. М., "О неравенствах для производных колмогоровского типа" Матем. сб., 187:12 (1997), 73-106.

13. Melkman A. A., Micchelli С. A. "Optimal estimation of linear operators in Hilbert spaces from inaccurate data", SIAM J. Numer. Anal., 16 (1979) 87105.

14. Осипенко К. Ю., "Неравенство Харди-Литтлвуда-Полиа для аналитических функций из пространств Харди-Соболева", Матем. сб., 197:3 (2006), 15-34.

15. Магарил-Ильяев Г. Г., Осипенко К. Ю. "Оптимальное восстановление решения уравнения теплопроводности по неточным измерениям", Матем. сб., 200:5 (2009), 37-54.

16. Магарил-Ильяев Г. Г., Осипенко К. Ю. "О восстановлении операторов сверточного типа по неточной информации". Тр. МИ АН, 269 (2010), 181— 192.

17. Магарил-Ильяев Г. Г., Осипенко К. Ю. "Об оптимальном гармоническом синтезе но неточно заданному спектру", Функц. анализ и его прилож, 44:3 (2010), 76-79.

18. Магарил-Ильяев Г. Г., Осипенко К. Ю. "Как наилучшим образом восстановить функцию по неточно заданному спектру?", Мат. заметки, 92:1 (2012), 59-67.

19. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1976 (4-е изд.)

20. Рудин У. Функциональный анализ. М.: Мир, 1975.

21. Магарил-Ильяев Г. Г., Тихомиров В. М. Выпуклый анализ и его приложения. Эдиториал УРСС, М., 2011 (3-е изд.)

22. Сивкова Е О. "Точное неравенство для дробных степеней оператора Лапласа". Вестник Тамбовского университета, 14:4 (2009), 796-798.

23. Магарил-Ильяев Г. Г. Сивкова Е О "Наилучшее восстановление оператора Лапласа функции по ее неточно заданному спектру". Матем. сб.203:4 (2012), 119-130.

24. Сивкова Е. О. "Об оптимальном восстановлении лапласиана функции по ее неточно заданному преобразованию Фурье", -Владикавказский мат. жур- — — -нал, 14:4, (2012). 63-72.