Волновые уравнеия и стохастика тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, доктор физико-математических наук Ратанов, Никита Евгеньевич

• Ратанов, Никита Евгеньевич
• доктор физико-математических наук
• 1998

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Ратанов, Никита Евгеньевич

Оглавление

ВВЕДЕНИЕ

1 АСИМПТОТИКА СТАТИСТИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ

ВОЛНОВЫХ УРАВНЕНИЙ

1. Пространственные и пространственно-временные статистические решения

2. Статистические решения волнового уравнения. Формулировки результатов

3. Оценки моментных функций второго порядка

4. Сходимость корреляционных функций. Доказательство теоремы 2.3

5. Доказательство слабой компактности семейства мер

6. Доказательство теоремы 2.1. Сходимость характеристических функционалов

7. Стабилизация статистических решений гиперболических уравнений второго порядка с переменными коэффициентами

2 АСИМПТОТИКА ВОЛНОВЫХ ПРОЦЕССОВ В СЛУЧАЙНЫХ СРЕДАХ

1. Волновые уравнения с переменными коэффициентами. Формулы для решений

2. Волновые уравнения со случайными начальными данными и переменными коэффициентами

3. Волновые уравнения со случайными коэффициентами

3 ТЕЛЕГРАФНЫЕ ПРОЦЕССЫ С ОТРАЖЕНИЕМ И

ПОГЛОЩЕНИЕМ В НЕОДНОРОДНЫХ СРЕДАХ

1. Описание результатов

2. Вывод обратного уравнения Колмогорова

3. Вывод прямого уравнения Колмогорова

4. Телеграфные процессы с барьерами

4.1. Отражающие барьеры

4.2. Поглощающие барьеры

5. Решения телеграфного уравнения

6. Диффузионное приближение

7. Некоторые обобщения

ДОПОЛНЕНИЕ 1. Стабилизация статистических решений

некоторых параболических уравнений

1. Формулировка результатов

2. Доказательство теоремы 1.1

3. Доказательство теоремы 1.2

ДОПОЛНЕНИЕ 2. Асимптотика решений волновых уравнений со случайными постоянными коэффициентами

1. Формулировки основных результатов

2. Асимптотическое поведение преобразований Фурье: доказательство теорем 1.1 и 1.2

3. Асимптотика решений с осциллирующими начальными данными: доказательство теорем 1.3 и 1.4

4. Асимптотика решений с периодическими начальными условиями: доказательство теоремы 1.5

5. Пределы корреляционных функций

ДОПОЛНЕНИЕ 3. Ветвящиеся телеграфные процессы, уравнения Колмогорова-Петровского-Пискунова и распространение волн

1. Ветвящиеся телеграфные процессы

2. Связь с уравнением Колмогорова-Петровского-Пискунова

3. Связь с волновыми уравнениями в средах с памятью

4. Бегущая волна

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

175

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Волновые уравнеия и стохастика»

ВВЕДЕНИЕ

В диссертации, главным образом, изучаются различные динамические системы со случайными параметрами. Такими случайными параметрами могут быть как начальные данные (глава 1), или коэффициенты уравнений, описывающих эти системы (глава 2), так и собственно динамика (глава 3). Объединяет эти задачи их явное и непосредственное отношение к волновым процессам. Первая и вторая главы, а также дополнения 1 и 2, посвящены изучению асимптотического поведения распределений решений волновых уравнений со случайными параметрами, когда время стремится к бесконечности. Последняя глава последовательно развивает идею М.Каца о связи случайных блужданий на прямой с телеграфным уравнением. Выведены прямое и обратное уравнения А.Н.Колмогорова для такого рода случайных блужданий в неоднородной (и неизотропной) среде, а также краевые задачи, решения которых соответствуют распеределениям процессов с отражением и поглощением.

Сама постановка этих задач имеет давнюю и богатую историю и выглядит вполне естественно как с математической, как и с физической точек зрения. Не претендуя на полноту изложения, опишем некоторые возможности применения стохастических методов к изучению свойств решений дифференциальных уравнений и к различным задачам математической физики.

Тесная связь между случайными процессами и уравнениями с частными производными давно известна. Скажем, диффузионные процессы описываются с помощью задачи Коши для дифференциальных уравнений с частными производными параболического типа: обратного и прямого уравнений А.Н.Колмогорова. С другой стороны, например, решения краевых задач для эллиптических уравнений естественно интер-

претируются с помощью диффузионных процессов. Это обстоятельство позволяет получить некоторые тонкие результаты теории эллиптических краевых задач (см., например, [18], [7]). Аналогичная связь некоторых видов случайных блужданий на прямой и гиперболических уравнений, впервые обнаруженная М.Кацем [22], также активно изучается многими математиками и физиками. Эти проблемы находятся в центре внимания и в настоящей диссертации (глава 3).

Параллельно существующая и тесно связанная с описанными выше проблемами теория стохастических дифференциальных уравнений предполагает, что коэффициенты уравнения и/или начальные (краевые) условия являются случайными. С одной стороны это теория диффузионных процессов и теория интегрирования Ито, с другой - теория статистических решений дифференциальных уравнений с частными производными . Сюда же можно отнести активно развивающуюся теорию стохастических уравнений с частными производными. В значительной степени интерес к этой области обусловлен потребностями теории устойчивости стохастических систем, основы которой заложены в широко известной статье А.Я.Каца и Н.Н.Красовского [21], а также в работах Р.З.Хасьминского ( см. [56]). Следует отметить, что стохастические дифференциальные уравнения являются мощным инструментом изучения не только динамических систем, поведение которых определяется случайными параметрами, но и самих случайных процессов.

В первых двух главах диссертации изучаются эволюционные уравнения и их стохастические решения. Впервые такие постановки задач применялись Э.Хопфом [72] и Ч.Фояшем [63] для описания моделей турбулентности. Впоследствии этот подход был распространен и на другие задачц гидродинамики М.И.Вишиком, А.В.Фурсиковым, А.И.Комечем [8]^и другими математиками. Следует отметить также близкие по со-

держанию многочисленные работы школы Р.Л.Добрушина (см., например, [13]-[14], [44]-[45], [53], [61], [67]-[70], [105] и другие), посвященные математическому обоснованию статистической механики.

В первой главе диссертации изучаются так называемые статистические (или стохастические) решения волнового уравнения с (локально) переменными коэффициентами. Говоря другими словами, мы рассматриваем задачу Коши вида

-¡¡¡¡и(х, £) = £-а^(х)-£-и(х, £) - а0(х)и(х, ¿),

ж € ПГ, Ь > 0, (1)

. и |<=0= и°(х), щ |<=0= ^(х), X е ИГ

со случайными функциями ио = (и0, и1) в качестве начальных данных. Всюду в дальнейшем предполагается, что коэффициенты уравнения (1) - достаточно гладкие функции и удовлетворяют условию эллиптичности:

у^епг. (2)

Кроме того, ао(х) > 0.

Эта постановка задачи связана с одним из направлений в обосновании статистической физики, намеченным Р.Л.Добрушиным (см. [13], [14]). Она была предложена впервые А.И.Комечем в 1979 году в качестве темы моей кандидатской диссертации. Следует отметить, что такая постановка задачи для уравнений с частными производными в сочетании с условиями перемешивания ранее в литературе не рассматривалась. Различные результаты в этом направлении изложены в работах [35] [43], [46], [80] [82], [90] [101]. Изучение задачи (1) со случайными начальными данными, удовлетворяющими условиям перемешивания, составляло основное содержание кандидатской диссертации автора [39], защищенной в 1984 году. Впоследствии аналогичные задачи для уравнения Клейна-Гордона изучались в работах А.И.Комеча и Е.А.Копыловой (см. [24], [79]). Существует обширная литература по

статистическим решениям уравнения Бюргерса и их асимптотике при £ оо (см., например, [27] и цитированную там литературу).

Первая глава настоящей диссертации восполняет некоторые пробелы [39] и распространяет результаты [39] с пространственных на пространственно-временные статистические решения.

Для удобства ссылок сформулируем основные понятия и результаты в этой области.

Пусть на пространстве % начальных данных ио = и1) задана (вероятностная) мера ¡л = /л(А), определяющая вероятность, с которой 110 = (ии1) принадлежит (борелевскому) множеству А С Предположим, что решение и = и(х, £) задачи (1) при всех ио € И существует и принадлежит некоторому пространству V. Различают пространственные и пространственно-временнь1е статистические решения. Пространственно-временным статистическим решением называется вероятностная мера Р, сосредоточенная на множестве решений •)} С V задачи (1), сужение которой на {£ — 0} совпадает с исходной мерой [1. Последнее условие следует понимать так, что меры Р и /л связаны соотношением Р{и(-, ¿) : «(•, 0) € А} — /л(А). Сужение пространственно-временного решения Р на гиперплоскость определяемую произвольным фиксированным определяет пространственное статистическое решение /х* = •).

Статистические решения можно интерпретировать и в терминах образов мер при отображениях. Пусть оператор V сопоставляет начальным данным ио = (и0, и1) решение и — и(х, ¿),и 6 V задачи (1). Пусть т{и, — и(-, £) - оператор сужения функции и(х, 6 И1п, £ > 0 на гиперплоскость с фиксированным

Тогда

Р(А) = У*М(А)=ц(У-1(А)), щ(В) = ЬУ)^(В) = Р{и : Ъи € В].

Как уже отмечалось выше, статистические решения дифференциальных уравнений с частными производными (поначалу только пространственные) были впервые введены в обиход в работах Э.Хопфа [72] для описания турбулентных потоков в гидродинамике. Им было выведено уравнение вариационных производных, которому удовлетворяет характеристический функционал семейства мер t > 0. Задача Коши для этого уравнения была впервые решена Ч.Фояшем [63] и Ж.Проди. Изучению этих проблем было посвящено немало работ других авторов. Фундаментальный обзор и анализ этой проблематики был предпринят в монографии М.И.Вишика и А.В.Фурсикова "Математические задачи статистической гидромеханики" [8]. Акцент в этих работах естественно ставился на проблеме существования и единственности статистического решения, что особенно актуально в отсутствие теорем единственности индивидуальных решений.

Другим мощным источником идей в этой области, стимулировавшим данную работу, оказалась теория предельного поведения сумм слабо зависимых случайных величин. Эта теория обобщает классическую центральную предельную теорему на последовательности зависимых случайных величин, зависимость между которыми ослабевает с увеличением расстояния между ними. Исторически первый результат в этом направлении опубликован С.Н.Бернштейном [1] в 1944 году. В современном ее виде эта теория опирается на работы И.А.Ибрагимова и Ю.В.Линника (см. [15], [16]), а также М.Розенблатта [104]. В дальнейшем эта теория была широко обобщена на интегралы (или, говоря более общим образом, на аддитивные функционалы) от случайных процессов (В.А.Волконский и Ю.А.Розанов [9], Я.Г.Синай [50] и др.) и случайных полей (A.B.Булинский, И.Г.Журбенко [3]-[4], Н.Н.Леоненко и А.В.Иванов [26], М.И.Ядренко [58] и др.).

В работах А.В.Булинского и И.Г.Журбенко рассматривались ад-

дитивные случайные функции, в частности, интегралы от случайного поля, взятые по параллелепипедам, размеры которых стремятся к бесконечности. В работах Н.Н.Леоненко и М.И.Ядренко (см., например, монографии [26] и [58]) кроме того, изучается и асимптотика сферических средних, когда радиус сферы стремится к бесконечности.

Изучение асимптотики статистических решений волнового и других гиперболических дифференциальных уравнений с частными производными было предпринято впервые в работах автора [35]—[41], [90], составивших основу кандидатской диссертации [39]. Приведем здесь для удобства ссылок главные результаты [39]. Сначала точно сформулируем условия ослабления зависимости, упомянутые выше.

В работе предполагается выполнение условий сильного или равномерно сильного перемешивания (см. [35]). Подобного рода условия впервые использовались И.А.Ибрагимовым [16], М.Розенблаттом [104] и некоторыми другими авторами для доказательства предельных теорем для последовательностей зависимых случайных величин. Обозначим для любого множества X С Ип через Мх наименьшую <т-алгебру борелевских подмножеств И, "порожденную" значениями и(гс) , х Е X С тп.

Определение. Будем говорить, что мера ц. на пространстве (Н, В) удовлетворяет условию сильного перемешивания (М.Розенблат-та - ср. [104]), если

а(Н) = вир^А П 5) - ц(А)(1(В)\ ¿0, к оо. (3)

Здесь верхняя грань берется по всем А £ Л4х, В 6 Л4у и всем выпуклым областям X, У € Ш™ с сИв^Х, У) > И > 0.

Будем говорить, что мера ¡л на пространстве ('Н, В) удовлетворяет условию равномерно сильного перемешивания (И.А.Ибрагимова

- ср. [16]), если

1р(Ь) = вир- -' у 4- 0, /г —оо. (4)

Здесь, как и выше, точная верхняя грань берется по всем А е Б € Л4у и всем выпуклым областям X, У £ И" с У) > к > 0. Такие

меры ¡л существуют: например, гауссовское распределение с финитной корреляционной функцией. Другие примеры приведены в [39].

Кроме того, предполагается, что мера /г обладает нулевым средним и конечной средней плотностью энергии:

1ни(х)^и)= 0, (5)

ё0= [(\и°(х){2 + \ ^и°(х)\2 + \и1(х)\2)^и) <оо, хеШп. (6)

В случае выполнения условия сильного перемешивания (3), более слабого, чем (4), накладываются дополнительные ограничения на моменты исходной меры д. Именно, требуется, чтобы вместо условия (6), означающего конечность вторых моментов, выполнялось условие:

при некотором 6 > 0 ё(5) = 1н{\и°{х)\2+5 + | у + < оо, гс 6 ИГ. (7)

От коэффициентов перемешивания а(Н) и (р{К) требуется достаточно быстрое убывание при К —> со. Мы предполагаем выполнение одного из следующих условий:

¡о°° ЛВ"У/2(Л)сГЛ < оо, (8)

I™ Лп-2ат,'п(зЫ)(Л)<*Л < оо. (9)

В диссертации [39] изучается, в частности, асимптотика статистического решения уравнения

г) = * € к.", г > о. (10)

Здесь и ниже размерность пространства п > 3 нечетна. Для случая четного п похожие на приведенные ниже результаты также справедливы. Однако следует отметить, что в случае четной размерности предельные распределения оказываются сосредоточенными на константах.

матрицу случайной функции и0 € И = Н¿с ф 1/2,ье- Пусть £Уо(£), t £ Ж - семейство операторов на Н, сопоставляющих начальной функции ио € % решение задачи (10) и его производную по £ в момент времени Р.

Пусть у) - корреляционная матрица случайной функции £/о(£)ио-

Здесь £ — £{г) - фундаментальное решение оператора Лапласа в Ж™, * означает свертку двух функций. В [39] доказаны теоремы об асимптотической нормальности (пространственных) статистических решений уравнений (10) и (1).

Основной результат состоит в доказательстве слабой сходимости статистических решений уравнений (10) и (1) к нормальному распределению. Схема доказательства - следующая. Сначала устанавливается факт стабилизации корреляционных функционалов. Затем проверяется утверждение о слабой компактности на соответствующем пространстве семейства мер, образующего статистическое решение. При этом обычно используются различного рода энергетические неравенства и утверждения о компактности вложения функциональных пространств. Наконец, доказывается сходимость характеристи ческих функционалов решения к характеристическому функционалу нормального распределения.

Обозначим через у) — Чо{х — у) = (яо{х — у)) корреляционную

(п)

Положим

(12)

Стабилизация корреляционных функционалов при t оо составляет содержание следующей теоремы.

Теорема 1. Если распределение ц начальных данных ио = (и0, и1) Е "Н задачи Коши для уравнения (10) удовлетворяет условиям (4)~(6), (8) (или (3), (5), (7) и (9)), то

у), 01(х)в2{у)) у), в1(х)в2(у)}, Ь оо (13)

^ъ #2 € С^°(Ш,П), ¿,¿=0,1.

Следующая теорема утверждает, что статистические решения /4°^ уравнения (10) - асимптотически нормальны.

Теорема 2. Пусть /4°^ -распределение случайной функции ио(Ь)ио. Если выполнены условия предыдущей теоремы, то

/40) Мое, £ -> ОО (14)

слабо на = Я^ТЧ®") ф Я^(П1П) Уе > 0. При этом ^ - гауссова однородная мера, с корреляционной функцией заданной в (12).

Утверждение (и доказательство) теоремы 2 основано на следующем наблюдении. Ретттение за.дачи Коттти для уравнения (10) да,ется, как известно, формулой Кирхгофа в виде интеграла по сфере Бц радиуса Я = со£, деленного на АжсУ, ~ Ввиду асимптотической независи-

мости ио(ж) и и0(у) при \х — у| оо получается таким образом, что ретттение ?/(.г, £) при I —>■ оо имеет, грубо говоря, вид

1 £

где 7]1,..., гудг - слабо зависимые (при N ~ Ь —> оо) величины.

Аналогичные результаты имеют место и для локальных возмущений уравнения (10). Выражаясь точнее, предположим, что коэффициенты уравнения (1) а^(х) = при |ж| > йо-

Кроме этого, предполагается выполнение так называемого условия неловушечности (см. условие Д на с.234 в [5]), заключающегося в уходе на бесконечность при £ —> оо бихарактеристик уравнения (1).

Пусть (£),£€ И - семейство операторов на "Н, аналогичное £7о(£) (см. (11)), разрешающее задачу (1). Пусть распределение (1 случайной функции ио € % удовлетворяет условиям теоремы 2. Пусть /4^ = - статистическое решение уравнения (10).

Теорема 3. При сформулированных выше предположениях

№ -г ¿42, * оо (15)

слабо на 'Н~е \/е > 0. Здесь /л^ - некоторая гауссова мера на 'Н.

Для доказательства этой теоремы в [39] построена асимптотика решения, обладающего бесконечной энергией, уравнения (1). Чтобы сформулировать соответствующую теорему, обозначим через %$ подпространство функций шИ — #¿(.(111П) Ф Х^ь^ЕГ)? Для которых конечна норма

1/2

ИМИ* = (/ e^!(H*)|2 +1V + in1 WI2)^)-

< оо.

Теорема 4. Пусть выполнены сформулированные выше условия на коэффициенты уравнения (1). Тогда решение задачи (1) при Uo = (и0, и1) (Е %s для достаточно малых S > 0 допускает представление вида

и(; t), = и^ио = ÜU0(t)u0 + r(i)uo, t > О, (16)

где О и r(t),t > 0 - непрерывные линейные операторы из Tis 6 И. При этом для VR > 0

|||r(i)u|||w<C^e-^|||u|||_, Vu eH-s Vi > 0, (17)

где 7 - некоторое положительное число, зависящее только от коэффициентов уравнения (1). Здесь Jj| • |||(д) обозначает норму в пространстве H1(Br) ф 1,2(Дя), Br = {|ж| < ж}.

Асимптотика (16) позволяет свести доказательство сходимости (15) к случаю постоянных коэффициентов . Эта асимптотика строится в [39] методами теории рассеяния [48]. Отметим однако, что в традиционной теории рассеяния [48] рассматриваются решения уравнения (1) и (10), обладающие конечной энергией. Оценка (17) основана на теореме Б.Р.Вайнберга [5] об убывании энергии в ограниченных областях при £ —> оо.

Похожими методами Е.А.Копыловой [24] были впоследствии получены аналогичные результаты в отношении уравнения Клейна-Гордона.

Первая глава настоящей диссертации посвящена подробному изучению предельного поведения пространственно-временньгх статистических решений уравнений (10) и (1). Кроме того, в дополнении 1 излагаются аналогичные результаты, относящиеся к некоторому классу параболических уравнений. Теоремы 5 и 6, сформулированные ниже, составляют основное содержание первой главы. Они обобщают теоремы 2 и 3 соответственно. Чтобы их сформулировать, введем пространства С_£, £ > 0 и V вида

С-е = Ь2лос (-ОО, оо; Н^ЦШ!1)) П С (-оо, оо; £2Дос(1Г)),

и

V = {и е С(0,+оо; яглт.")) : щ € С(0, +оо; ¿2,Юс(П1п))}.

Пусть Р -пространственно-временное статистическое решение задачи (10). Обозначим через Ре временной сдвиг меры Р: )

р9(в) = р(ё-1в),

где ви{-, г + в).

Теорема 5.Пусть выполнены условия на начальную меру ¡1о> сформулированные выше, причем

}1п~2ср{К)112йН < оо. (18)

Пусть Р - пространственно-временное статистическое решение задачи (Ю). Пусть п > 3 - нечетно. Тогда меры Р$ при в —> со слабо сходятся на пространстве Vs > 0;

Ре -г Рос, 0 +оо (19)

Здесь Р0о - некоторая трансляционно однородная гауссова мера на V.

Теорема 6. Пусть выполнены предположения предыдущей теоремы о начальной мере fiо и коэффициентах уравнения (1). Тогда

if} Pg\ в оо (20)

слабо на при любом г > 0. Здесь Р^ - некоторая гауссова мера на V. При этом

pW = (21)

8б?е - предельная мера в (19) теоремы 5, а X - некоторый линейный оператор, определенный на носителе меры P(°h

Вторая глава диссертации обобщает и детализирует для случая одной пространственной переменной результаты первой главы. При этом используются явные формулы для решения волнового уравнения с переменными коэффициентами в терминах бихарактеристик. В результате удается отказаться от ограничений, принятых в первой главе и связанных с локальностью возмущения коэффициентов волнового уравнения. Это, в свою очередь, позволяет получить асимптотику решений такого рода уравнений, когда коэффициенты оказываются реализациями случайных процессов.

Для краткости изложения подробно обсуждаются только пространственные статистические решения.

В этой главе мы рассматриваем следующую задачу Коши utt(x, t) = a(x)(a(x)ux(x, t)) t > 0, x G ( oo, oo),

(22)

U |f=o= U°(x), Ut [i=0= ul(x), X 6 ( oo, oo).

В отличие от предположений первой главы теперь считается, что коэффициент а(х) уравнения (22) - произвольная непрерывная функция. Предполагается лишь, что

0 < а0 < а(х) < С( 1 + И) Vx G (-oo, oo). (23)

Определим бихарактеристики \±(х, t), x G (—oo, oo), t > 0 уравнения (22) следующим образом.

Именно, рассмотрим задачи

(Х+(х, t)=a(X+{x, t)), t> 0,

U+|t=o = ® 1 j

и

| \t(x, t) = -а(А-(ж, t)), t > 0, ^

Справедлива следующая теорема.

Теорема 7 (формула Даламбера). Пусть выполнены сформулированные выше условия. Тогда решение задачи (22) может быть найдено по формуле

и(Х, t)=i [U»(A+(X, t))+и»(л-(х, щ+1 Q;; (26)

Отметим, что условия (23) гарантируют, что бихарактеристики уходят на бесконечность за бесконечное время, то есть решение u(x,t), определенное формулой (26), определено при всех t > 0.

Результаты об асимптотическом поведении стохастических решений уравнения (22) делятся на две группы. Во-первых, это результаты, описывающие поведение решений со случайными начальными

данными, но с детерминированными коэффициентами . Вторая группа результатов имеет дело со случаем, когда и коэффициенты также случайны.

Пусть сначала а(х) - детерминированная функция. Различаются два случая:

<27>

и

Г = ■■»• <28)

^-оо а(у)~

В случае (28) предполагаем дополнительно, что

а(х) = \х\кЦ\х\), 0<к<1, (29)

где Ь - медленно меняющаяся функция.

Пусть начальные данные и0 = (и0, и1) образуют однородный случайный процесс с нулевым средним и конечным вторым моментом (см. (5)-(6)). Предположим, что начальная скорость и1 удовлетворяет еще и условию равномерно сильного перемешивания с коэффициентом <£>, и

^р(К)1'2йк< оо. (30)

Так же, как и в первой главе, условие равномерно сильного перемешивания можно заменить условием сильного перемешивания (с обычной модификацией условия на моменты).

Обозначим

Основной результат составляет следующая теорема.

Теорема 8. Пусть выполненены сформулированные выше условия.

Если

= qll{x)dx> 0,

4 J—oo

■то распределения величин

О

i?(., t)

слабо на пространстве Н^£(Ш}) Ver > 0 сходятся при t —> оо к некоторому гауссовскому распределению //*.

Предельное распределение ц* сосредоточено на константах.

В следующей ниже теореме предполагается, что коэффициенты а(х) > «о > 0 в уравнении (1) образуют однородный случайный процесс с непрерывными траекториями, удовлетворяющий условию равномерно сильного перемешивания (сильного перемешивания ). Коэффициент перемешивания <ра удовлетворяет условию

too

/0 <pa(h)dh < 00 (при выполнении условия сильного перемешивания

лоо

Уо aa(h)dh < 00).

Имеет место следующая функциональная предельная теорема.

Теорема 9. Пусть для случайных процессов а и ('а0, и1) выполнены сделанные выше предположения. Пусть

а2 = J- Г qn(z)p(z)dz > 0. 2m J-00

Тогда

и(х, rt) . . гЛ п

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Ратанов, Никита Евгеньевич, 1998 год

Библиография

[1] Бернштейн С.Н. Распространение предельной теоремы теории вероятностей на суммы зависимых величин.// Успехи матем. наук. 1944, X. С.65-114.

[2] Биллингсли П. Сходимость вероятностных мер. М.: Наука, 1977. 352 с.

Billingsley P. Convergence of Probability Measures. Wiley & Sons, Inc. N.Y.-London, 1968.

[3] Булинский А. В., Журбенко А.Г. Центральная предельная теорема для аддитивных случайных функций. // Теория вероят. и ее примен. 21. No.4 (1976). С.707-717.

[4] Булинский А.В. Предельные теоремы для случайных процессов и полей. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1981. 64 с.

[5] Вайнберг Б.Р. Асимптотические методы в уравнениях математической физики. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1982. 296 с.

[6] Ватанабе С., Икеда Н. Стохастические дифференциальные уравнения и диффузионные процессы. М.: Наука, 1986. 448с.

Ikeda N., Watanabe S. Stochastic differential equations and diffusion processes. North-Holland Pbl Co. Amsterdam-Oxford-New York, Kodansha Ltd. Tokyo. 1981.

[7] Вентцель А.Д. Курс теории случайных процессов. М.: Наука, 1975. 390 г

[8] Вишик М.И., Фурсиков A.B. Математические проблемы статистической гидромеханики. М.: Наука, 1980. 442 с.

[9] Волконский В.А., Розанов Ю.А. Некоторые предельные теоремы для случайных функций, 1,11. // Теория вероят. и ее примен. 1959. 4, вып.2. С. 186-207; 1961. 6, вып.2. С.202-215.

[10] Гельфанд И.М., Шилов Г.Е. Обобщенные функции и действия над ними. М.: Физматгиз, 1958. 440 с.

[11] Гихман И.И., Скороход A.B. Теория случайных процессов, т.З, М.: Наука, 1975. 496 с.

[12] Гнеденко Б.В., Колмогоров А.Н. Предельные распределения для сумм независимых случайных величин. M.-JI.: Гостехиздат, 1949. 264 с.

[13] Добру шин Р. Л. Проблема математического обоснования статистической механики. // Успехи матем. наук. 1977. 32, вып.5. С.164-165.

[14] Добрушин P.J1., Сухов Ю.М. Временная асимптотика для некоторых вырожденных моделей эволюции систем с бесконечным числом частиц. // В сб.: Современные проблемы математики. Итоги науки, т.14. ВИНИТИ, 1979. С.147-254.

[15] Ибрагимов И.А. Некоторые предельные теоремы для стационарных в узком смысле вероятностных процессов. // Докл. АН СССР. 1959. 125, N4. С. 711-714.

[16] Ибрагимов И.А., Линник Ю.В. Независимые и стационарно связанные величины. М.: Наука, 1965. 524 с.

[17] Ильин A.M., Хасьминский Р.З. Об уравнениях броуновского движения. // Теория вероятн. и ее примен. 11. 1966. С.466-491.

[18] Ито К., Маккин Г. Диффузионные процессы и их траектории. М.: Мир, 1968.

Ito К., McKean Н.Р. Diffusion processes and their sample paths. Springer-Verlag. Berlin-Heidelberg-New York, 1965.

[19] Йон Ф. Плоские волны и сферические средние в применении к дифференциальным уравнениям с частными производными. М.: ИЛ, 1958. 160 с.

John F. Plane Waves and Spherical Waves Applied to Partial Differential Equations. New York: Interscience Publishers, Inc. 1955.

[20] Кабанов Ю.М. О вероятностном представлении решений телеграфного уравнения. // Теория вероят. и ее примен., 1992. С.425-426.

[21] Кац А.Я., Красовский H.H. Об устойчивости систем со случайными параметрами. // Прикл. матем. и мех. 24, N5. 1960. С.809-823.

[22] Кац М. Несколько вероятностных задач физики и математики. -М.: Наука, 1967. 176 с.

Кас М. Probability and Related Topics in Physical Sciences. -Interscience, London, 1959.

[23] Кляцкин В. Стохастические уравнения и волны в случайных неоднородных средах. М.: Наука, 1980.

[24] Копылова Е.А. Стабилизация статистических решений уравнения Клейна-Гордона. // Вестн. Моск. ун-та, сер. матем., мех. 1986. Вып.2. С. 92-95.

[25] Комеч А.И. Линейные уравнения в частных производных с постоянными коэффициентами. // Итоги науки и техники, сер. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. 31, ВИНИТИ. 1988. С. 127-261

[26] Леоненко H.H., Иванов A.B. Статистический анализ случайных полей. Киев: Вища школа. Изд-во при Киев, ун-те. 1986. 216 с.

[27] Леоненко H.H., Орсингер Э., Рыбасов К.В. Предельные распределения решений многомерного уравнения Бюргерса со случайными начальными данными, I. // Укр. матем. журнал 46, N7. 1994. С. 870-877

[28] Лионе Ж.-Л., Мадженес Э. Неоднородные задачи и их приложения. М.: Мир, 1971. 371 с.

Lions J.-L., Magenes Е. Problèmes aux limites non homogènes et applications. V. 1. Paris: Dunod. 1968.

[29] Локшин A.B., Суворова Ю.В. Математическая теория распространения волн в средах с памятью. М: Изд-во Моск. ун-та, 1982. 152 с.

с"

[30] Мизохата С. Теория уравнений с частными производными. Мир, 1977. 504 с.

[31] Милынтейн Г.Н. О вероятностном решении линейных систем эллиптических и параболических уравнений.// Теория вероятн. и ее примен. 1978, N4. С.851-855.

[32] Михайлов В.П. Дифференциальные уравнения в частных производных. М.: Наука, 1983. 424 с.

[33] Орсингер Э., Колесник А. Точное распределение в модели случайного движения на плоскости, управляемого гиперболическим уравнением четвертого порядка. // Теория вероят. и примен. 41, вып.2. 1996. С.451-459.

[34] Пак И.Н. О суммах тригонометрических рядов. // Успехи матем. наук. 35, вып.2. 1980. С.91-144.

[35] Ратанов Н.Е. Стабилизация статистических решений гиперболических уравнений второго порядка. // Успехи матем. наук, 1984. 39, N1. С.151-152.

[36] Ратанов Н.Е. Об асимптотической нормальности статистических решений волнового уравнения. // В сб. Дифференциальные уравнения и их применения, М.: Изд-во Моск. ун-та, 1984. С.153-160.

[37] Ратанов Н.Е. Стабилизация статистических решений волнового уравнения. // Там же, С. 95-101.

[38] Ратанов Н.Е. Стабилизация статистического решения волнового уравнения. // Деп. в ВИНИТИ 7 мая 1984г., N2912-84 Деп. 24 с.

[39] Ратанов Н.Е. Стабилизация статистических решений линейных гиперболических уравнений второго порядка. // Дисс. на соискание уч. степ. канд. физ.-мат. наук, Москва, 1984.

[40] Ратанов Н.Е. Асимптотическая нормальность статистических ре. шений волнового уравнения. // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1, Матем.,

Мех. 1985, N4. С.73-75.

[41] Ратанов Н.Е. Стабилизация пространственно-временных статистических решений волнового уравнения. // Вестник Моск. ун-та. 1986. 41, N4. С.161-162.

[42] Ратанов Н.Е. Инвариантные меры гиперболических уравнений второго порядка. // Тезисы XIV школы по теории операторов в функциональных пространствах, ч.З. СССР, Новгород. 1989. С. 18.

[43] Ратанов Н.Е. Стабилизация пространственно-временных статистических решений параболического уравнения. // Вестник Челябинского ун-та. 1991, N1. С.64-71.

[44] Ратанов Н.Е., Сухов Ю.М. Инвариантные состояния временной динамики одномерных решетчатых квантовых Ферми-систем. // Теорет. и матем. физика. 1991. 88, N2. С.247-259.

[45] Ратанов Н.Е., Сухов Ю.М. Об инвариантных состояниях временной динамики одного класса многомерных решетчатых квантовых Ферми-систем. // Теорет. и матем. физика. 1993. 94, N1. С. 76-83.

[46] Ратанов Н.Е. Инвариантность гауссовских мер гиперболического уравнения второго порядка. // Вестник Челябинского ун-та. 1996, N3. С.90-98.

[47] Ратанов Н.Е. Случайные блуждания частицы в неоднородной одномерной среде с отражением и поглощением. // Теорет. матем. физика. 1997. 112, N.1. С.81-91.

[48] Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики: т.З. Теория рассеяния. М.: Мир, 1982. 443 с.

[49]. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики: т.4. Анализ операторов. М.: Мир, 1982. 428 с.

[50] Синай Я.Г. О предельных теоремах для стационарных процессов. // Теория вероят. и ее примен. 1962. 7, вып.2. С.213-219.

[51] Синай Я.Г. Предельное поведение одномерного случайного блуждания в случайной среде. // Теория вероят. и ее примен. 1982. 27. С.256-268.

[52] Скороход А.В. Стохастические уравнения для сложных систем. М.: Наука. 1983. 192 с.

[53] Сухов Ю.М., Шухов А.Г. Гидродинамическое приближение для групп преобразований Боголюбова в квантовой статистической механике. // Труды ММО, 50. 1987. С. 156-208.

[54] Федорюк М.В. Метод перевала. М.: Наука, 1977.

[55] Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. Т.2. М.: Мир. 1984ю 738 с.

Feller W. An Introduction to Probability Theory and its Application. V.2, second edition. Wiley & Sons, Inc., N.Y.-London. 1971.

[56] Хасьминский Р.З. Устойчивость систем дифференциальных уравнений при случайных возмущениях параметров. М.: Наука, 1969. 368с.

[57] Эйдельман С.Д. Параболические системы. М.: Наука, 1964. 443 с.

[58] Ядренко М.И. Спектральная теория случайных полей. Киев: Вища школа, 1980. 208 с.

[59] De Angelis G., Jona-Lasinio G., Sirugue M. Probabilistic solutions of Pauli type equations. // J.Phys. A: Math Gen. 18. 1983. P.2433-2444.

[60] Babovsky H., Milstein G.N. Transport equations with singularity.// Preprint WIAS, No.200. 1995. 20p.

[61] Boldrighini C., Dobrushin R.L., Suhov Yu.M. Time Asymptotics for Some Degenerated Models of Evolution of Systems with Infinitely Many Particles. // Preprint Camerino University (Italy), 1980.

[62] Brox Th. A one-dimensional diffusion process in a Wiener medium. // Ann. Prob. 14, No.4, 1986. P.1206-1218.

[63] Foias C. Statistical study of Navier-Stokes equations, I, II. // Rend. Semin. Mat. Univ. Padova. 1972. 48. P.219-348; 1973, 49. P.9-123.

[64] Foong S.K. Path integral solution for telegrapher equation.

[65] Foong S.K. First passage time, maximum displacement and Kac's solution of the telegrapher equation. // Phys. Rev. A 46. 1992. P. 707710.

[66] Goldstein S. On diffusion by discontinuous movements and on the telegraph equation. // Quart. J.Mech.Apl. Math. 4. 1951. P.129-156.

[67] Gurevich B.M., Suhov Yu.M. Stationary Solutions of the Bogoliubov Hierarchy Equations in Classical Statistical Mechanics. 1. // Commun. Math. Phys. 1976. 49. P.63-96.

[68] Gurevich B.M., Suhov Yu.M. Stationary Solutions of the Bogoliubov Hierarchy Equations in Classical Statistical Mechanics. 2. // Commun. Math. Phys. 1977. 54. P.81-96.

[69] Gurevich B.M., Suhov Yu.M. Stationary Solutions of the Bogoliubov Hierarchy Equations in Classical Statistical Mechanics. 3. // Commun. Math. Phys. 1977. 56. P.225-236.

[70] Gurevich B.M., Suhov Yu.M. Stationary Solutions of the Bogoliubov Hierarchy Equations in Classical Statistical Mechanics. 4. // Commun. Math. Phys. 1982. 84. P.333-376.

[71] Hochberg K.J., Orsingher E. Composition of Stochastic Processes Governed by Higher-Order Parabolic and Hyperbolic Equations. // J.Theor.Prob. 9, No.2. 1996.

[72] Hopf E. Statistical hydrodynamics and functional calculus. // J. Rational Mech. and Anal. 1952. 1. P.87-123.

[73] Kac M. A Stochastic Model Related to the Telegraph Equation. // Rocky Mountain J. Math. 4. 1974. P.497-509.

[74] Kaplan S. Differential equations in which the Poisson process plays a role. // Bull. Amer. Math. Soc. 70. 1964. P.264-267.

[75] Karpelevich F.I., Kelbert M.Ya., Suhov Yu.M. Stochastic Equations on Random Trees. //In "Cellular Automata and Cooperative Systems", Eds Boccara N. et al, Kluwer Acad. Publishers, Series C: Math, and Phys. Sci. 396. 1993. P.323-342.

[76] Karpelevich F.I., Kelbert M.Ya., Suhov Yu.M. The Branching Diffusion, Stochastic Equations and Travelling Wave Solutions to the Equation of Kolmogorov-Petrovskii-Piskunov. // In " Cellular Automata and Cooperative Systems", Eds Boccara N. et al, Kluwer Acad. Publishers, Series C: Math, and Phys. Sci. 396. 1993. P.343-367.

[77] Kawazu K., Tamura Y., Tanaka H. Localization of diffusion processes in one-dimensional random environment. //J. Math.Soc. Japan, 44, No.3. 1992. P.515-550.

[78] Kelbert M.Ya., Sazonov I. Pulses and Other Wave Processes in Fluids. Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, 1996.

[79] Kometch A.I., Kopylova E.A. On the Limit Theorems for the Statistic Solutions of the Klein-Gordon Equation. // The First World Congress of the Bernoully Society. Thesis. 2. Tashkent. 1986. P.657.

[80] Komech A.I., Ratanov N.E. Stabilization of space-time stochastic solutions of wave equation. //In Statistics and Control of Stochastic Processes, 2. Steclov Seminar 1985-1986. Optimization Software Inc., Publication Division, New York-Los Angeles, 1989. P. 171-187.

[81] Kometch A.I., Kopylova E.A., Ratanov N.E. The stabilization of statistics in wave and Klein-Gordon equations with mixing. Scattering Theory for infinite energy solutions. // Second International Conference on Mathematical and Numerical Aspects of Wave Propagation. University of Delaware, USA, 1993.

[82] Kometch A.I., Ratanov N.E., Suhov Yu.M. Asymptotic behaviour of the statistical solutions of the linear differential equations. // The Third International Congress of Industrial and Applied Mathematics, Hamburg, Germany, 1995.

[83] Masoliver J., Porra J., Weiss G.H. Solutions of the telegrapher's,... equation in the presence of traps. // Phys.Rev. A. 45, No.4. 1992. P.2222-2227.

[84] McKean H.P. Application of Brownian motion to the equation of Kolmogorov-Petrovskii-Piskunov. // Comm. Pure Appl. Math. XXVIII. 1975. P.323-331.

[85] Orsingher E. Hyperbolic equations arising in random models. // Stoch. Proc. Appl. 21. 1985. P.93-106.

[86] Orsingher E. Probability law, flow function, maximum distribution of wave-governed random motions and their connection with Kirchhoif's law. // Stoch. Processes and their Applications. 38. 1990. P.49-66.

[87] Orsingher E., San Martini A. Planar random evolution with three directions. // Exploring Stochastic Laws. Eds A.V.Skorokhod and Yu.V.Borovskikh. P.357-366.

[88] Orsingher E. Motions with Reflecting and absorbing barriers driven by the telegraph equation. // Random Oper. and Stoch. Equations. 3, No.l. 1995. P.9-21.

[89] Pinsky M.A. Lectures on Random Evolution. World Scientific, Singapore, New Jersey, London, Hong Kong, 1992.

[90] Ratanov N.E. Stabilization of Statistical Solutions of Hyperbolic Equations. // The First Congress of the Bernoulli Society. Thesis. 2. Tashkent. 1986. P.831.

[91] Ratanov N.Ye. On stabilization of statistical solution of parabolic differential equations. // Тезисы 5-й Вильнюсской конференции по теории вероятностей и математической статистике, 2. СССР, Вильнюс. 1989. С. 106-107.

[92] Ratanov N.E.,Shuhov A.G., Suhov Yu.M. Stabilization of the statistical solution of the parabolic equation. // Acta Applicandae Mathematicae. 1991. 22. P. 103-115.

[93] Ratanov N.E. On stabilization of solutions of some Cauchy problems. // Тезисы 2го международного семинара " Негладкие и разрывные задачи управления и оптимизации". Челябинск. 1993. С.118-119.

[94] Ratanov N.E. An Asymptotics of Statistical Solutions of the Wave Equation with Random Coefficient. // Preprint University of Warwick, United Kingdom. N37/1995. May, 1995. 14p.

[95] Ratanov N.E. Asymptotic Behaviour of the Statistical Solutions of the Linear Differential Equations. // Zeitschrift fur Angewandte Mathematik and Mechanik, ZAMM. ICIAM95-special issue. IVb,

1996.

[96] Ratanov N.E. On the asymptotics of the statistical solutions of wave equation with variable coefficients. // Random Oper. and Stoch. Equations. 1996. IV, No.4. P.339-350.

[97] Ratanov N.E. On invariance principle for the stochastic wave equation. // Random Oper. and Stoch. Equations. 1996. IV, No.3. P.273-282.

[98] Ratanov N.E. On telegraph procesess in inhomogeneous media. // Second European Congress of Mathematicians. Budapest, 1996.

[99] Ratanov N.E. Telegraph Processes with Reflectors and Traps in Inhomogeneous Media. // Stochastic and Global Analysis. Voronezh, Russia. 1997. P.53-54.

[100] Ratanov N.E. On the telegraph processes in inhomogeneous media. // Preprint University of Warwick, United Kingdom. N36/1997. October,

1997. 12 p.

[101] Ratanov N.E. Random motions and hyperbolic equations. // 7th Vilnius Conference on Probability Theory and Mathematical Statistics. Vilnius, 1998.

[102] Ratanov N.E. Telegraph Evolutions in Inhomogeneous Media. // Markov Processes and Related Fields, - в печати.

[103] Ratanov N.E. Random motions driven by hyperbolic equations. // Proceedings of 7th Vilnius Conference on Probability Theory and Mathematical Statistics. Vilnius, TEV Ltd, - в печати.

[104] Rosenblatt M. A Central Limit Theorem and a Strong Mixing Condition. // Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A. 42, No. 1. 1956. P.43-47.

[105] Shuhov A.G., Suhov Yu.M. Ergodic properties of groups of of the Bogoliubov transformations of CAR C*-algebras. Ann. Phys. 175, 1987. P.231-266.

[106] Zastawniak T. Path integrals for the telegrapher's and Dirac equations; the analytic family of measures and the underlying Poisson process. // Bull, of the Polish Academy of Sciences. Mathematics. 36, No.5-6. 1988. P.341-356.

[107] Zastawniak T. Path integrals for the Dirac equation - some recent developments in mathematical theory. / / Pitman Research Notes in Math. Sci. 200. Longman, New York, 1989. P.243-263.