Оптимальное распределение капиталовложений с учетом демографического прогноза тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 08.00.13, кандидат физико-математических наук Кетова, Каролина Вячеславовна

• Кетова, Каролина Вячеславовна
• кандидат физико-математических наук
• 2004

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Кетова, Каролина Вячеславовна

ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ И СОКРАЩЕНИЯ.

ВВЕДЕНИЕ.

1. ОБЗОР СУЩЕСТВУЮЩИХ ПОДХОДОВ К ИЗУЧЕНИЮ ДЕМОГРАФИЧЕСКИХ И ЭКОНОМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ.

1.1. Подходы и методы исследования в демографии.

1.2. Инструменты анализа экономического роста.

1.3. Взаимосвязь демографических и экономических процессов.

2. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ АНАЛИЗА И ПРОГНОЗА ДЕМОГРАФИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК.

2.1. Постановка задачи на основе уравнения динамики возрастного состава

2.2. Определение аналитического вида функций силы смертности и плотности распределения рождений населения региона.

2.3. Аналитическое решение задачи.

2.4. Численное решение задачи.

2.4.1. Конечно-разностные схемы.

2.4.2. Исследование сходимости численного решения.

2.5. Анализ погрешностей прогнозирования демографических показателей

3. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ СВЯЗИ ДЕМОГРАФИЧЕСКИХ

И ЭКОНОМИЧЕСКИХ ПОКАЗАТЕЛЕЙ.

3.1. Основное уравнение модели экономического роста.

3.2. Постановка задачи оптимального распределения капиталовложений.

3.3. Применение принципа оптимальности Беллмана для решения автономной задачи.

3.3.1. Две леммы. Объективный функционал.

3.3.2. Структура оптимального управления в стационарной автономной задаче. Основная теорема.

3.4. Применение принципа максимума Понтрягина для решения задачи управления демоэкономическим состоянием региона.

3.4.1. Автономная задача.

3.4.2. Совместная задача.

3.5. Алгоритм решения совместной задачи оптимального управления.

4. ПРОГРАММНО-ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЙ КОМПЛЕКС ДЕМОГРАФИЧЕСКОГО И ЭКОНОМИЧЕСКОГО АНАЛИЗА УР.

4.1. Структура базы данных цифровой информации.

4.2. Основные возможности программно-вычислительного комплекса.

5. РЕЗУЛЬТАТЫ ЧИСЛЕННЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ.

5.1. Анализ и прогноз демографических показателей.

5.1.1. Ретроспективный анализ демографических показателей.

5.1.2. Прогнозирование демографических показателей.

5.1.3. Параметрический анализ демографических показателей.

5.2. Управление демоэкономическим состоянием региона.

5.2.1. Построение производственной функции региона.

5.2.2. Анализ результатов решения автономной задачи.

5.2.3. Анализ результатов решения совместной задачи.

5.2.4. Параметрические исследования модели.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Оптимальное распределение капиталовложений с учетом демографического прогноза»

Актуальность темы исследования. Демографический кризис в современном российском обществе, коснувшийся всех основных демографических процессов, относится к числу проблем глобального масштаба. По оценкам ученых-демографов при сложившейся ситуации в ближайшие 25 лет население страны сократится на 20-25 млн [1,2]. Действительно, начиная с 1993 года регистрируется катастрофическое сокращение численности населения, смертность превышает рождаемость. По прогнозам ООН, к середине XXI века численность населения России уменьшится на шестую часть и составит чуть больше 120 млн человек.

Изменения, происходящие в обществе - это комплексный процесс, захватывающий все сферы общественной жизни. Изменение демографических отношений неизбежно повлечет изменение и в экономических отношениях, поскольку резкое увеличение либо спад рождаемости приведет к нарушению существующих пропорций между производящей и потребляющей группами населения. Степень серьезности этих изменений и их влияния на макроэкономические показатели практически не изучена [3]. Актуальность исследования в этой области определяется необходимостью выявления тенденций сложившейся неблагоприятной демографической ситуации с целью устранения либо сглаживания негативных последствий для развития экономики.

Учет демографической ситуации и прогноз будущих изменений численности населения, возрастной структуры и других, сопряженных с ними показателей необходимы при разработке региональной политики (экономической, демографической, социальной и т.д.), стратегии и тактики поведения. При разработке подобного рода политики очень важно выявление связи между демографической ситуацией и экономикой региона.

Следует отметить, что демоэкономические исследования, анализирующие закономерности взаимосвязей демографических и экономических процессов, проводятся давно. До последнего времени они велись главным образом в плане теоретического анализа динамики оптимальных экономических и демографических пропорций, и лишь в последние годы стали появляться работы, посвященные анализу и моделированию реальных экономических и демографических соотношений в конкретных регионах и в определенных условиях места и времени. Это не означает, что теория демоэкономических процессов уже разработана и осталось только прилагать полученные результаты к различным частным случаям. Скорее наоборот, поворот к практическим исследованиям, ориентированным на нужды конкретного региона, сделал актуальной разработку целого ряда важнейших вопросов теории и убедил в необходимости их безотлагательного решения. Достаточно назвать такие проблемы, как регулирование рождаемости и увеличение средней продолжительности жизни, снижение уровня бедности и увеличение среднего уровня жизни.

Согласно [4], предположительное исчисление населения показывает изменение народонаселения в зависимости от предполагаемых условий общественного развития, которые могут не всегда отвечать действительному положению вещей. Когда в результате анализа демографических данных эти предположения принимают конкретную форму, производится перспективное исчисление населения и составляются демографические прогнозы. Математическое моделирование - один из важнейших методов, позволяющих проводить методологические исследования и изучать прогнозные оценки при исследованиях различного рода. Это один из способов перспективного изучения явления. Математическое моделирование должно основываться на эмпирических наблюдениях и постоянно сопровождаться исследованиями, развивающими информационную базу. Важным моментом при этом является согласование "сложности" используемой модели с количеством имеющейся статистической информации об изучаемом явлении.

Математическая модель, развиваемая в работе, является основой для демографического прогноза и используется при определении количественных характеристик отдельных демографических процессов и перспективном исчислении численности и состава населения. Прогнозирование на основании построенной демографической модели численности и состава населения позволяет определять величину и динамику трудовых ресурсов общества, которые необходимы для перспективной оценки экономического развития региона.

Объектом исследования является теория оптимального распределения капиталовложений, а также задачи экономической динамики.

Предметом исследования является постановка и решение задачи оптимального управления с учетом связи макроэкономических и демографических процессов.

Целью работы является разработка математического и инструментального аппарата для решения задачи оптимального распределения капиталовложений с учетом демографического прогноза.

В ходе работы решались следующие научные и практические задачи.

1. Создание баз данных по экономическим и демографическим показателям УР, на основе которых производится цифровая обработка и визуальное представление информации.

2. Построение прогностической математической модели для изучения различных демографических характеристик.

3. Разработка эффективных математических (аналитических и численных) методов реализации модели.

4. Осуществление прогноза численности, возрастного состава и других демографических характеристик населения на период, заданный пользователем.

5. Построение модели взаимосвязи экономических и демографических показателей с учетом разделения численности трудоспособной и нетрудоспособной части населения.

6. Исследование структуры управления при оптимальном распределении капиталовложений и определение соответствующих аналитических зависимостей.

7. Проведение имитационного моделирования различных экономико-демографических показателей.

8. Проектирование и реализация проблемно-ориентированного программного обеспечения (информационно-аналитической системы демографического и экономического анализа УР). На последней задаче хотелось бы остановиться подробнее. С некоторого времени наметился переход от разработки практически не связанных (автономных) программных продуктов к созданию интегрированных диалоговых систем поддержки демографического прогнозирования [5-8]. Такие системы, как правило, включают: модели демографических процессов; средства сбора, хранения и преобразования исходных статистических данных и результатов моделирования; средства наглядного представления результатов прогнозирования и статистической информации в виде графиков, таблиц и т.д.; интерфейс, обеспечивающий удобный доступ к интегрированной системе прогнозирования пользователям-демографам, не являющимся специалистами в области программирования.

Информационно-аналитическая система демографического и экономического анализа (ИАСДЭА), представленная в диссертационной работе, обладает всеми вышеперечисленными свойствами.

Территориальные рамки диссертационного исследования составляют УР в ее современных административно-территориальных границах.

Хронологические рамки выбираются в зависимости от необходимой глубины анализа, а также наличия и полноты статистического материала, и варьируются в пределах от 1920 до 2001 года. Оценка основных демографических показателей проводится с 1980 года. 2001 год в работе выбран как начальный временной элемент для осуществления прогноза демографических показателей.

Источниками данных для исследования послужили статистические данные Госкомстата УР по демографическому и экономическому разделам с 1980 по 2001 год [9]. Существенным дополнением для работы явились материалы текущего учета населения Госкомстата УР периода 1989-2001г.г. [9-18]. Также анализировалась информация Госкомстата России, распространяющаяся в Интернете по адресу: http: //www.info.gks.ru. Демографические материалы можно получить и на сайте Центра демографии и экологии человека Института народнохозяйственного прогнозирования РАН по адресу: http: //www.demoscope.ru. Данные по экономическим показателям распространяются на сайте: http: //www.dist-economics.eu.spb.ru, http: //www.e2000.

Для решения указанных задач использовались методы статистической обработки данных, методы решения дифференциальных уравнений, методы математического анализа и теории оптимального управления, а также средства объектно-ориентированного программирования и методы математического компьютерного моделирования.

По теме диссертации опубликовано 8 печатных работ [19-26].

Диссертационная работа состоит из 5 глав и заключения.

В первой главе проводится обзор существующих подходов к изучению демографических и экономических процессов. Рассмотрены основные исторические этапы развития математических методов исследования в демографии, инструменты анализа экономического роста. Анализируется состояние изученности вопроса взаимосвязи демографических и экономических процессов.

Вторая глава посвящена разработке математической модели анализа и прогноза демографических характеристик. Ставится задача их определения на основе уравнения динамики возрастного состава (УДВС), определяется аналитический вид функций распределения рождений и силы смертности населения региона на основе имеющейся статистической информации. Приводится аналитическое и численное решение задачи. Исследована сходимость численного решения. Дается анализ погрешности вычисления и прогнозирования демографических характеристик, связанной как с погрешностью конечно-разностной аппроксимации, так и со статистической погрешностью определения функций распределения рождений, силы смертности населения и входных демографических данных. В дальнейшем именно численное решение УДВС, как алгоритмически наиболее простое, по сравнению с аналитическим, используется при решении задачи оптимального управления демоэкономическим состоянием региона.

Третья глава посвящена разработке математической модели связи демографических и экономических показателей региона. В основе подхода лежит классическая макромодель Рамсея-Касса-Купманса-Солоу (РККС-модель). Ставится задача оптимального распределения капиталовложений с учетом динамики численности трудовых ресурсов и нетрудоспособной части населения. С использованием принципа оптимальности Беллмана для автономной стационарной задачи доказана теорема о синтезе управления, в рамках которой определена стратегия оптимального управления как функция состояния макроэкономической системы. Показано наличие устойчивого стационарного режима, в которое система приходит за конечное время. Выведены аналитические выражения для времени выхода на стационарный режим оптимальной траектории и функции выигрыша. Определен вид уравнений для нахождения параметров стационарного режима. Результаты теоремы были использованы для решения обобщенной РККС-модели с учетом демографического прогноза. Построен синтез управления и исследованы параметры устойчивости совместной задачи; получены уравнения для определения параметров квазистационарного режима оптимальной траектории развития экономической системы.

Четвертая глава посвящена вопросам создания информационно-аналитической системы экономического и демографического анализа УР. Приводятся структура базы данных ИАСДЭА и возможности разработанного программно-вычислительного комплекса.

В пятой главе приводятся результаты численных исследований: анализируется динамика и производится прогнозирование основных демографических показателей, решается задача управления демоэкономическим состоянием региона, представлены результаты параметрического исследования и прогнозирования влияния демографического состояния на макроэкономические показатели.

Автор выражает глубокую признательность научному руководителю -декану факультета прикладной математики Ижевского государственного технического университета, члену-корреспонденту РАРАН, доктору технических наук, профессору И.Г. Русяку - за огромную помощь при подготовке диссертации и научному консультанту - заведующему лабораторией "Динамические модели экономики" Центрального экономико-математического института РАН (Москва), доктору физико-математических наук, профессору В.З. Беленькому-за ценные консультации по теории оптимального управления в моделях экономической динамики.

Заключение диссертации по теме «Математические и инструментальные методы экономики», Кетова, Каролина Вячеславовна

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Сформулирована краевая задача демографической динамики на основе подхода к выводу уравнений сохранения, развитого в механике гетерогенных сред. Выведены соотношения для расчета основных демографических характеристик. Замыкание уравнений осуществлено с помощью статистических моделей функций распределения рождений и силы смертности.

2. Представлено аналитическое и численное решение уравнения. Исследована сходимость численного решения. Проведен анализ вычислительной погрешности, погрешности аппроксимации, а также статистических погрешностей граничных условий и функций распределения рождений и силы смертности на погрешность прогнозирования локальных и интегральных демографических характеристик. Показано, что разработанная математическая модель с погрешностью не более 3 % может быть использована при прогнозировании демографических характеристик на период до 25 лет.

3. Проведено теоретическое исследование РККС-модели в случае, когда потребляющая и производящая части населения учитываются отдельно. Для автономной задачи построен синтез оптимального управления, в рамках которого получены явные формулы для удельного функционала благосостояния (функции выигрыша) модели и времени перехода в стационарный режим k(t) = к* = const траектории сбалансированного роста. Определен вид уравнения для нахождения точки к*.

4. Решена задача оптимального управления распределением капиталовложений с учетом реального демографического прогноза. Построен синтез управления и исследованы параметры устойчивости совместной задачи; получены уравнения для определения квазистационарного режима k(t) = k*(t) оптимальной траектории развития экономической системы.

5. Показано, что отдельный учет общей численности населения L°(t) и трудоспособной части населения L(t) вносит существенные поправки в результаты решения по сравнению с классической постановкой задачи, не предполагающей подобного разделения. Проведен анализ возможных траекторий решения модели. В зависимости от соотношения первоначального и оптимальных значений удельной фондовооруженности выработаны стратегии оптимального экономического роста.

6. Разработана информационно-аналитическая система, позволяющая проводить совместный анализ всего комплекса локальных и интегральных демографических характеристик и макроэкономических параметров региона, а также проводить параметрические и имитационные исследования различных вариантов развития экономики.

7. Проведенный параметрический анализ задачи показал, что стратегия оптимального экономического роста не всегда сопряжена с увеличением ВРП. Совместное или противоположное изменение функции выигрыша и удельного значения объема производства (валового регионального продукта) зависит от начального соотношения удельных фондовооруженности и ВРП и удельных значений фондовооруженности на оптимальной траектории развития экономической системы.

8. Значение функции выигрыша на конец периода планирования слабо зависит от выбранного сценария развития демографической ситуации. Максимальное расхождение для всех исследуемых случаев составляет не более 7,4 %. Значения удельных фондовооруженности и ВРП изменяются более существенно при этом максимальные расхождения'исследуемых параметров на конец периода планирования составляют 22 % и 42 % соответственно.

9. Повышение благосостояния населения (уровня жизни) не всегда можно связывать с ростом ВРП. Наоборот, выход на траекторию сбалансированного роста экономики при существующей структуре производственных фондов и производительности труда обусловлен снижением стоимости основных производственных фондов и удельного валового регионального продукта.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Кетова, Каролина Вячеславовна, 2004 год

1. Капица С.П. Математическая модель роста населения мира // Математическое моделирование. 1992. - Т. 4. - № 6.

2. Максимович С. Русские вымирают быстрее других национальностей // Аргументы и факты. 2001. - № 1. - С. 6.

3. Вишневский А.Г. Демографическая модернизация России и ее противоречия // Мир России. Социология. Этнология. 1999. - Т. VIII. - № 4. - С. 521.

4. Демографический энциклопедический словарь. М.: Сов. энциклопедия, 1985.-607 с.

5. Геловани В.А. Система моделирования процессов глобального развития // Методология системного анализа. Ч. 1. - Вып. 6. - М.: ВНИИСИ, 1978. -С. 26-34.

6. Геловани В.А., Голубков В.В., Юрченко В.В. и др. Моделирование глобальных процессов. Система интерактивного моделирования: Препринт. М.: ВНИИСИ, 1985.-56 с.

7. Щербов С.Я., Гречуха В.А. Моделирование многорегионального демографического развития // Матер. 3-й Всесоюз. школы-семинара "Системный анализ социально-экономических проблем регионального развития". Новосибирск, 1984. - С. 87-89.

8. Щербов С.Я., Гречуха В.А. Диалоговая система моделирования многомерных демографических процессов // Глобальное развитие: модели и вычислительные эксперименты. М.: ВНИИСИ, 1986. - С. 23-33.

9. Удмуртия в цифрах: Стат. сб. Госкомстата УР. Ижевск, 1980-2001.

10. Численность и естественное движение населения в Удмуртской Республике: Стат. сб. Госкомстата УР. Ижевск, 1996, 1997, 1999, 2001. '

11. Численность населения по полу и возрасту в Удмуртской Республике: Стат. сб. Госкомстата УР. Ижевск, 1996, 1997,1999, 2001.

12. Естественное движение населения в Удмуртской Республике: Стат. бюл. Госкомстата УР. Ижевск, 1996, 1997, 1999, 2001.

13. Российский статистический ежегодник: Стат. сб. Госкомстата России. — М.: Финансы и статистика, 2001. 621 с.

14. Численность работников и движение рабочей силы: Стат. бюл. Госкомстата УР. Ижевск, 1996, 1997, 1999, 2001.

15. Социально-экономическое положение городов и районов Удмуртской Республики: Стат. сб. Госкомстата УР. Ижевск, 1996, 1997, 1999, 2001.

16. Динамические ряды итогов переписей населения 1959, 1970, 1979, 1989 гг. по Удмуртской Республике (не опубл.).

17. Динамические ряды по естественному движению населения Удмуртской Республики (не опубл.)

18. Сводные статистические таблицы об итогах естественного движения населения УР за 1990-1998 гг. Опись 7 (не опубл.).

19. Русяк И.Г., Кетова КВ. К вопросу о выводе уравнения динамики возрастного состава // Вестник ИжГТУ. 2004. - № 2. - С. 49-52.

20. Русяк И.Г., Кетова К.В. Анализ погрешностей прогнозирования демографических показателей // Вестник ИжГТУ. 2004. - № 3 - С. 44—46.

21. Русяк И.Г., Кетова К.В. Математическое моделирование демографических показателей // Сб. статей. Ижевск: Изд-во ИжГТУ, 2002. - С. 163-169.

22. Русяк И.Г., Кетова КВ. Постановка задачи управления демоэкономическим состоянием региона // Матер. IV Межд'унар. науч.-техн. конф. "Информационные технологии в инновационных проектах". Ч. 2. - Ижевск: Изд-во ИжГТУ, 2003. - С. 62-64.

23. Русяк И.Г.у Кетова КВ. Анализ решения задачи управления демоэкономическим состоянием региона // Интеллектуальные системы в производстве. Ижевск: Изд-во ИжГТУ, 2003. - № 2. - С. 151-160.

24. Кетова КВ. Применение принципа оптимальности Беллмана к решению задачи оптимального экономического роста в стационарной постановке // Интеллектуальные системы в производстве Ижевск: Изд-во ИжГТУ, 2004. -№ 1.-С. 145-155.

25. Боярский А.Я. Курс демографии. М.: Статистика, 1985. - 652 с.

26. Боярский А.Я., Валентей Д.И., Кваша А.Я. Основы демографии: Учеб. пособие для экон. спец. вузов. М.: Статистика, 1980. - 295 с.

27. Боярский А.Я. Модели демографических связей. М.: Статистика, 1972.

28. Валентей Д.И., Алексеев А.И., Андреев Е.Н. и др. Демография: современное состояние и перспективы развития. — М.: Высш; шк., 1997.

29. Раяцкас Р.Л. Система моделей планирования и прогнозирования. М.: Статистика, 1973. - 268 с.

30. Раков А.А. Система моделей планирования и прогнозирования. М.: Статистика, 1976.

31. Басалаева Д.И. Моделирование демографических процессов и трудовых ресурсов. М.: Наука, 1978. - 88 с.

32. Дарский JI.E. Формирование семьи. М.: Статистика, 1972. - 208 с.

33. Белова В.А., Дарский JI.E. Статистическое мнение об изучении рождаемости. М.: Статистика, 1972. - 144 с.

34. Стешенко B.C. Изучение воспроизводства народонаселения. Киев: Наук, думка, 1981.-326 с.

35. Общая теория статистики / Под ред. О.Э Башиной, А. А. Спирина М.: Финансы и статистика, 2000. - 439 с.

36. Венецкий И.Г. Статистические методы в демографии. М.: Статистика, 1977.-208 с.

37. Венецкий И.Г Математические методы в демографии. М.: Статистика, 1971.-296 с.

38. Урланис Б.Ц. Проблемы демографического прогнозирования. М.: Наука, 1971.

39. Бахметова Г.Ш. Методы демографического прогнозирования. М.: Финансы и статистика, 1982. - 159 с.

40. Айвазян С.А., Енюков И.С., Мешалкин Л.Д. Прикладная статистика. Основы моделирования и первичная обработка данных. М.: Статистика, 1983. -352 с.

41. Валентей Д.И., Зверева Н.В. Изучение народонаселения: вопросы методологии. М.: Изд-во МГУ, 1987. - 154 с.

42. Вишневский А.Г. Методы количественного анализа рождаемости. М.: Мысль, 1986.

43. Борисов В.А. Демография: Учебник для вузов. М.: NOTA BENE, 1999. -272 с.

44. Демографические модели: Сб. статей под ред. Е.М. Андреева, А.Г. Волкова. М.: Статистика, 1977. - 182 с.

45. Валентей Д.И., Кваша А.Я. Основы демографии: Учебник для экон. спец. вузов. М.: Мысль, 1989. - 284 с.

46. Венецкий И.Г. Вероятностные методы в демографии. М.: Финансы и статистика, 1981.

47. Боярский А.Я. Население и методы его изучения // Сб. науч. тр. — М.: Статистика, 1975. 264 с.

48. Боярский А.Я. К проблеме демографического оптимума. М.: Наука, 1968. -36 с.

49. Вишневский А.Г. Воспроизводство населения и общество. М.: Финансы и статистика, 1982. - 287с.

50. Вишневский А.Г. Демографический потенциал России // Вопросы экономики. 1998.-№ 5. - С. 103-122.

51. Вишневский А.Г. Мировой демографический взрыв. М.: Знание, 1978.

52. Уильямсон М. Анализ биологических популяций. М.: Мир, 1975. - 271 с.

53. Глобальная энергетическая проблема / Под ред. Н.Д. Иванова. М.: Мысль, 1985.-240 с.

54. Демографические прогнозы: Сб. ст. под ред А.Г. Волкова. М.: Статистика, 1973.- 167 с.

55. Имитационные модели в демографии: Сб. статей под ред. А.Г. Волкова. -М.: Статистика, 1980. 207 с.

56. Раков А.А. Демографические основы народно-хозяйственного планирования. Минск: Навука и техника, 1990. - 268 с.

57. Агзамходжаев И.Х. Модели перспективной оценки движения населения и трудовых ресурсов: Дис. канд. техн. наук. Ташкент, 1992.

58. Папенов К. В. Модель размещения населения и трудовых ресурсов с учетом*естественного и механического движения: Дис. канд. техн. наук. — М., 1969.

59. Форрестер Дж. Мировая динамика. М.: Наука, 1978. - 167 с.

60. Гинзбург JI.P. О динамике и управлении возрастной структурой популяции // Проблемы кибернетики. 1970. — Вып. 23.

61. Горбунов В.К. Системный анализ экономического и демографического роста//Техническая кибернетика. М.: Изд-во АН СССР, 1981.-№1.-С. 3238.

62. Староверов О.В. Модели движения населения. М.: Наука, 1979. - 342 с.

63. Староверов О.В. Общие марковские модели движения населения и его потенциал // Экономика и математические методы. Т. 27. - 1991. - Вып. 4.

64. Староверов О.В. Оценка притяжения групп по межгрупповым потокам // Экономика и математические методы. Т. 31. - 1995,- Вып. 2.

65. Староверов 03. Один подход к оценке насыщенности рынка труда // Тез. докл. V науч. конф. "Применение многомерного статистического анализа в экономике и оценка". М.: ЦЭМИ РАН, 1993.

66. Гранберг А.Г. Моделирование социалистической экономики. М.: Экономика, 1988.-486 с.

67. Ашманов С.А. Введение в математическую экономику. М.: Наука, 1984. -293 с.

68. Замков О. О., Толстопятенко А.В., Черемных Ю Н. Математические методы в экономике. М.: Дело и сервис, 2001. - 365 с.

69. Багрииовский К.А., Матюшок В.М. Экономико-математические методы и модели. М.: Изд-во РУДН, 1999. - 182 с.

70. Анчишкин А.И. Прогнозирование роста социалистической экономики. М.: Экономика, 1973. - 294 с.

71. Багрииовский К.А., Рубцов В.Н. Модели и методы прогнозирования и долгосрочного планирования народного хозяйства. М.: Изд-во РУДН, 1992.

72. Багрииовский К.А., Сумин Г.А. Математические методы в экономике и планировании народного хозяйства. М.: Изд-во РУДН, 1993.

73. Гражданников Е.Д. Прогностические модели социально-демографических процессов. Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 1974. - 112 с.

74. Имитационное моделирование экономических систем: Сб. ст. под ред. К.А. Багриновского. М.: Наука, 1978. - 221 с.

75. Соколовский JI.E. Модели оптимального функционирования предприятия. -М.: Наука, 1980.- 172 с.

76. Информационное моделирование экономической системы / Под ред. Е.Г. Ясина. М.: ЦЭМИ АН СССР, 1979.

77. Терехов JI.JI. Производственные функции. М.: Статистика, 1974. — 128 с.

78. Терехов JI.J1Куценко В.А., Сиднее С.П. Экономико-математические методы и модели в планировании и управлении. Киев: Выща шк., 1984. - 231 с.

79. Баркалов Н.Б. Производственные функции в моделях экономического роста. М.: Изд-во МГУ, 1981. - 126 с.

80. Иванилов Ю.П., Лотов А.В. Математические модели в экономике. М.: Наука, 1979. - 303 с.

81. Клейнер Г.Б. Производственные функции: Теория, методы, применение. -М.: Финансы и статистика, 1986. 239 с.

82. Ramsey F.P. A mathematical theory of saving // Econ. Journ. December 1928. -P. 543-559.

83. Koopmans T.C. On the concept of optimal economic growth. Ex Aedibvs Aca-demicis in Civitate Vaticana, 1965. - P. 225-287.

84. Cass D. Optimum saving in an Aggreativ Model of Capital Accumulation. -1963.

85. Макаров В.JI., Рубинов A.M. Математическая теория экономической динамики и равновесия. М.: Наука, 1973.

86. Беленький В.З. Стационарные модели экономической динамики. М.: ЦЭМИ РАН, 1981.

87. Беленький В.З. Стационарные динамические модели управления экономическими системами: Дис. д-ра физ.-мат. наук. М: ЦЭМИ РАН, 1992.

88. Беленький В.З. Экономическая динамика: обобщающая "бюджетная" факторизация гейловской технологии // Экономика и математические методы.- 1990.-Вып. 1.-С. 165-177.

89. Матвеенко В.Д. Эффективный функционал и магистраль в моделях экономической динамики. // Математические модели экономической динамики.- Вильнюс: ИЭ АН ЛитССР, 1988.

90. Рубинов A.M. Магистрали в моделях Неймана-Гейла // ДАН СССР, 242, 2, 1978.

91. Романовский И.В. Асимптотическое поведение дискретного детерминированного процесса с непрерывным множеством состояний // Оптимальное планирование. Вып. 8. - Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 1967. - С. 171-193.

92. Макаров В.Л. Состояние равновесия сбалансированного роста в модели Неймана с функцией полезности // Оптимальное планирование. Вып. 8. -Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 1967. - С. 168-169.

93. ГейлД. Замкнутая линейная модель производства//Линейные неравенства и смежные вопросы. М., 1959.

94. Интрилигатор М. Математические методы оптимизации и экономическая теория. — М.: Прогресс, 1975. 605 с.

95. Столерю Л. Равновесие и экономический рост. М.: Статистика, 1974. -472 с.

96. Алексеев В.М. и др. Оптимальное управление. М.: Наука, 1979. - 429 с.

97. Болтянский В.Г. Математические методы оптимального управления. М.: Наука, 1969. - 408 с.

98. Болтянский В.Г. Оптимальное управление дискретными системами. М.: Наука, 1973. - 446 с.

99. Зубов В.И. Лекции по теории управления. М.: Наука, 1975. - 495 с.

100. Лагоша Б.А. Оптимальное управление в экономике. М.: Финансы и статистика, 2003. - 191 с.

101. Математическая теория оптимальных процессов / Л.С. Понтрягин, В.Г. Болтянский, Р.В. Гамкрелидзе, Е.Ф. Мищенко. -М.: Наука, 1983. 392 с.

102. Основы теории оптимального управления / Под ред. В.Ф. Кротова. М.: Высш. шк., 1990. - 429 с.

103. Понтрягин Л.С. Избранные научные труды. Т. 2. - М.: Наука, 1998.

104. Понтрягин Л.С. Математическая теория оптимальных процессов. — М.: Наука, 1961.

105. Понтрягин Л.С. Принцип максимума в оптимальном управлении. М.: Наука, 1989.-61 с.

106. Динамическая теория биологических популяций / Под ред. Р.А. Полуэкто-ва. М.: Наука, 1974. - 455 с.

107. Иванов Ю.Н., Токарев В.В., Уздемир А.П. Математическое описание элементов экономики. М.: Физматлит, 1994. - 414 с.

108. Нигматулин Р.И. Основы механики гетерогенных сред. М.: Наука, 1978. -336 с.

109. Русяк И.Г., Ушаков В.М. Внутрикамерные гетерогенные процессы в ствольных системах. Екатеринбург: Изд-во УрО РАН, 2001. - 269 с.

110. Хемминг Р.В. Численные методы. М.: Наука, 1972. - 400 с.

111. Lax P. Weak solution of nonlinear hyperbolic equation and their numerical computation // Comm. on purl and aple math. 1954. - V. 7. - № 1.

112. Фишбери 77. Теория полезности для принятия решений. М.: Наука, 1978. -352 с.

113. Беленький В.З. Оптимальное управление: принцип максимума и динамическое программирование: Учеб. пособие. М.: Изд-во РЭШ, 2001. - 114 с.

114. Айвазян С.А. Прикладная статистика. Основы эконометрики. Т. 2. - М.: Юнити-Дана, 2001. - 976 с.

115. Березин И.С., Жидков И.Л. Методы вычислений. Т. 2. - М.: Физматгиз, 1996.-620 с.

116. Хомоненко А.Д., Цыганков В.М., Мальцев М.Г. Базы данных: Учебник для вузов / Под ред. проф. А.Д. Хомоненко. СПб: КОРОНА-принт, 2002. -672 с.121 .Россет Э. Процесс старения населения: Демографическое исследование. -М.: Статистика, 1968. 509 с.

117. Россет Э. Продолжительность человеческой жизни. М.: Прогресс, 1981. -383 с.