Решение обратных задач прочности тонкостенных конструкций летательных аппаратов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.07.03, доктор технических наук Костин, Владимир Алексеевич

• Костин, Владимир Алексеевич
• доктор технических наук
• 2002

Оглавление диссертации доктор технических наук Костин, Владимир Алексеевич

ВВЕДЕНИЕ

Цель, задачи, методика исследования, результаты, выносимые на защиту

Научная новизна.

Практическая ценность и внедрение результатов.

Апробация работы и публикации.

Связь исследований с научными программами.

ГЛАВА 1. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ. АНАЛИЗ ПРИМЕНИМОСТИ РАЗЛИЧНЫХ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ

И МЕТОДОВ РЕШЕНИЯ ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ ПРОЧНОСТИ

1 Л. Обратные задачи прочности летательных аппаратов. Общая постановка и особенности обратных задач. Регуляризация решения.

1.2. Анализ численных методов. Метод интегрирующих матриц.

1.3. Математические модели и принятые допущения.

1.4. Алгоритмы получения устойчивых решений обратных задач прочности Л А.

Выбор метода.

Методы оптимизации.

1.5. Техника и средства проведения измерений.

ГЛАВА 2. ИДЕНТИФИКАЦИЯ ЖЕСТКОСТЕЙ И НАГРУЗОК ПУТЕМ

НЕПОСРЕДСТВЕННОГО РЕШЕНИЯ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ

2.1. Восстановление распределенной аэродинамической нагрузки по заданным деформациям. 2.2. Идентификация переменных параметров упругости тонкостенных авиационных конструкций. Построение диаграмм деформирования ее элементов.

2.3. Идентификация поля цилиндрических жесткостей изотропных и ортотропных пластин.

2.4. Идентификация жесткостных характеристик конструкции балочного типа.

2.5. Эксперимент по идентификации изгибной жесткости балки.

2.6. Проверка возможности идентификации жесткостных характеристик с помощью собственных частот колебаний.

2.7. Идентификация жесткостных характеристик тонкостенной конструкции с применением регуляризации по Тихонову.

Пример «удачного» применения регуляризации.

Пример «безуспешного» применения регуляризации.

ГЛАВА 3. ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ. ЗАДАЧА АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ

3.1. Экстремальная постановка обратных задач.

3.2. Определение нагружения конструкции при стендовых испытаниях по заданному напряженно-деформированному состоянию.

Численный эксперимент.

Экспериментальное воспроизведение требуемых переменных напряжений на модели.

3.3. Определение внешних силовых факторов, действующих на конструкцию в полете.

Балочная расчетная модель. Крыло планера СА-8Т.

Модель тонкостенной конструкции Ю.Г. Одинокова.

3.4. Итерационный процесс идентификации жесткостей конструкции или ее элементов.

Определение переменных параметров упругости тонкостенной конструкции как задача оптимального управления.

Идентификация жесткостных характеристик трехслойных и однослойных пластин (стержней).

Идентификация массово-жесткостных характеристик ракеты.

3.5. Идентификация жесткостей опор.

Идентификация жесткостей опор по собственным частотам.

Идентификация жесткостей опор по формам вынужденных колебаний

3.6. Применение метода градиентов к решению задачи оптимизации.

Общая характеристика подхода.

Постановка задачи, запись основных уравнений.

Получение градиентной информации. Сопряженное состояние.

ГЛАВА 4. ПРИМЕНЕНИЕ СТАТИСТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ К РЕШЕНИЮ КОЭФФИЦИЕНТНЫХ ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ

4.1. Решение задач прочности в вероятностной постановке в общем виде. Определение закона распределения линейной функции случайного аргумента.

4.2. Дискретный способ решения задач в вероятностной постановке.

4.3. Расчет вероятностных характеристик переменных параметров упругости конструкций и действующих на нее нагрузок.

Примеры линейных преобразований случайных величин.

Статистическое моделирование распределений (метод Монте-Карло)209 Однофакторный дисперсионный анализ.

4.4. Преобразование смешанных случайных процессов в стохастических системах с квазидетерминированными операторами.

Теоретико-вероятностные основы функционального преобразования смешанных случайных явлений.

Системы со случайными параметрами.

4.5. Мониторинг и диагностика состояния конструкций.

Этапы развития диагностики.

Мониторинг и диагностика.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Решение обратных задач прочности тонкостенных конструкций летательных аппаратов»

Одна из основных задач, стоящих перед людьми, занимающимися проектированием и расчетом механических систем, состоит в построении адекватных математических моделей. Повысить точность модели путем ее усложнения не всегда возможно, а порой и нереально вообще: возникает следующая зависимость: чем сложнее механическая система, тем труднее для нее построить адекватную математическую модель. Реальным способом построения (создания) адекватных математических моделей представляется путь использования методов идентификации систем. В настоящее время методы идентификации активно развиваются как отечественными, так и зарубежными учеными.

Как правило, различают идентификацию двух видов. В первом случае определяется общая внутренняя структура изучаемого явления, уточняются взаимосвязи между ее отдельными элементами. Такую идентификацию принято называть структурной. Во втором случае, полагая, что внутренняя структура явления уже определена и может быть с достаточной точностью описана какой-либо математической моделью, уточняются лишь некоторые отдельные параметры выбранной модели. Такую идентификацию называют параметрической. Проведению параметрической идентификации посвящена большая часть всех проводимых исследований. Не являются исключением и работы автора данной диссертации.

Впервые необходимость в проведении идентификации возникла в теории автоматического управления [2, 14, 20, 21, 57, 141, 153, 185, 189], когда по отдельным измерениям объекта определялись его свойства (параметры), необходимые для достижения некоторого заданного качества управления.

В настоящее время методы идентификации широко применяются во многих областях практической деятельности, в частности, для решения обратных задач теплопереноса [3,4,8,13,34,123,181], определения гидропроводности [1, 48, 56, 65, 180], управления технологическими процессами в машиностроении [172], для определения характеристик воздушных судов [64, 76, 136, 138].

Большое число работ разных авторов посвящено идентификации механических систем [16, 19, 50, 52, 54, 58, 60, 78, 79, 112, 121, 129, 139, 140, 144, 145, 146, 171, 185]. В области же прочности авиаконструкций и в настоящее время методы идентификации разработаны недостаточно, хотя первые работы появились еще в середине 70-х годов. Среди отечественных авторов здесь необходимо отметить, прежде всего, работы Я.М. Пархомовского [137, 138], В.Д. Ильичева и В.В. Назарова [64], Н.М. Гревцова и др. [50], И.Г. Колкера [76], Ю.Г. Одинокова и А.Ю. Одинокова [128, 133, 132]. Коэффициентные обратные задачи исследовали О.М. Алифанов и М.В. Клибанов [4, 6, 8], П.Н. Вабищевич и А.Ю. Денисенко [34, 35, 36, 37], А.М.Денисов и Р.А. Каюмов [70]. В частности работа [70] посвящена актуальным проблемам определения нелинейно-упругих характеристик композиционных материалов.

Методы численного решения коэффициентных обратных задач в связи с их приложениями разрабатывали П.Г. Данилаев [56], М.Т. Абасов, Э.Х. Азимов, Т.М. Ибрагимов [1], А.Д. Искандеров [65], М.Х. Хайруллин [180], Н.М. Цирельман [181] и др. Методы идентификации авиаконструкций развиваются и за рубежом: Дж.Д. Коллинз и др. [78], К.Й. Ли и С.А. Хоссейн [121], Дж. Мук [134] и др. Разработки в этой области не стоят на месте.

Активное развитие методов идентификации в инженерном деле в последнее время, очевидно, связано с развитием численных методов. Возможности компьютерной техники существенно расширяют класс решаемых задач. Причем, несмотря на громоздкость вычислительных процедур, время, необходимое ЭВМ для проведения непосредственно самих расчетов, становится значительно меньшим, чем требуется на написание и отладку рабочих программ.

От задач идентификации неотделимы различные алгоритмы для повышения устойчивости решения, проведения регуляризации. Это приводит нас к двум отдельным проблемам: 1) повышению качества исходных данных и 2) получению непосредственно устойчивого алгоритма решения задачи.

Первая проблема обусловлена неизбежными погрешностями в исходных данных, как и в любых данных измерений. Важную задачу при этом представляет выделение из результатов измерений значения полезного сигнала на фоне помех. Известно большое количество методов, решающих эту задачу, например, фильтры Калмана-Бьюси [29, 61, 67], процедуры сглаживания Брайсона-Фразьера [191]. Полезным может оказаться применение методов обработки результатов измерений, основанных на теории вероятностей и математической статистике [119, 161, 169, 173, 174].

Вторая проблема связана с получением непосредственно устойчивого алгоритма решения задачи идентификации.

Самым простым вариантом решения задачи идентификации является так называемый "одношаговый" алгоритм, когда интересующие нас параметры находятся непосредственно в ходе решения системы уравнений, куда они входят в качестве неизвестных. Такой подход в решении задач идентификации практически неприменим. Как правило, такие задачи оказываются очень чувствительны к точности задания исходных данных. Возникает неустойчивость счета вследствие плохой обусловленности системы разрешающих уравнений. Для преодоления неустойчивости в настоящее время известны и хорошо разработаны различные математические алгоритмы регуляризации [9, 122, 127, 128, 135,166,180], позволяющие уменьшить чувствительность задачи и добиться устойчивого счета: методы регуляризации, метод квазирешений [34], метод квазиобращения (как разновидность метода регуляризации) [118]. В настоящее время известна обширная литература по методам решения условно-корректных задач [30, 113, 114, 115, 116, 119].

Но, на практике возможности методов регуляризации оказываются не безграничными. Часто складывается такая ситуация, когда алгоритм задачи становится устойчивым, а получаемое при этом решение - неприемлемым, так как регуляризация "уводит" решение от априорных оценок, которые можно наложить на искомое решение. Использование методов регуляризации позволяет в рамках определения корректности по А.Н. Тихонову получить устойчивое решение, но не гарантирует его единственности. Единственность решений условно-корректных задач исследовали М.М. Лаврентьев, В.Г. Романов и др. В работах [116, 147, 187] рассмотрен широкий круг условно-корректных задач математической физики, имеющих практическое приложение. Особенность данной работы в том, что в основу исследуемых постановок коэффициентных обратных задач положены результаты, полученные М.В. Клибановым [31, 69 - 73] при доказательстве соответствующих теорем единственности. Их суть - в необходимости рассматривать исследуемые уравнения совместно с переопределенным набором краевых условий. В качестве метода решения выбран метод квазиобращения, разработанный М.М. Лаврентьевым, Р. Латтесом и Ж.Л Лионсом [118]. Вопросы развития и обоснования метода квазиобращения рассматривались в [33 - 37]. Прикладному использованию методов посвящены монографии [4, 5].

Самостоятельный интерес представляет исследование коэффициентной устойчивости решения дифференциальных уравнений, например, [149, 168].

Организация вычислительного эксперимента по изучению коэффициентной устойчивости заключается в следующем. Либо следует решить пример, имеющий точное решение (что и всегда делалось в данной работе), либо в процессе расчета использовать различные способы вычисления интегралов, входящих в коэффициенты, сравнивая каждый раз результаты. Если решение обладает устойчивостью, то результаты не должны сильно отличаться.

В случае плохой обусловленности можно применять, например, алгоритм сингулярного разложения матрицы [179]. Этот алгоритм обладает повышенной надежностью и заодно вычисляет обусловленность исходной матрицы. Даже простое нормирование матрицы иногда дает удовлетворительные результаты. Очень хорошие результаты дает также метод наименьших квадратов [117]. Решение способом наименьших квадратов полностью избавляет нас от исследования совместности заданной системы, так как мы примирились с тем фактом, что не получаем точного решения нашей задачи, а только наилучшее решение, возможное при данных обстоятельствах. Если заданная система совместна, то остаточный вектор, полученный методом наименьших квадратов, само собой окажется нулем, подтверждая тем самым, что система совместна.

В данной диссертации применяются численные методы решения как безытерационные, так и итерационные. Первые основаны на непосредственном решении обратной задачи, что позволяет сразу найти искомые величины из решения системы уравнений. Используя вторые, решение находится последовательно в процессе проведения нескольких итераций.

Итерационные численные методы не могут варьировать (искать) слишком большое количество параметров и требуют запоминания больших массивов промежуточной информации о результатах предыдущих приближений. Но зато они являются методами естественной регуляризации.

Одношаговые" методы не требуют итераций, так как искомые параметры непосредственно выражаются из уравнений математической модели, но для получаемого решения естественным образом возникает проблема единственности.

Наиболее универсальный вариант решения задачи идентификации - решать ее как задачу оптимизации, то есть на основе имеющейся в распоряжении расчетчика исходной информации подобрать параметры, характеризующие исследуемую систему таким образом, чтобы составленный определенным образом функционал цели достиг своего минимума (максимума) [5, 9, 20, 21, 68, 70,

126, 142, 145, 182, 189]. Такой подход О.М. Алифанов назвал решением задачи идентификации в экстремальной постановке [5]. Необходимым при этом является соблюдение определенных условий (ограничений) для уточняемых параметров и для модели.

Важным является и вопрос выбора (составления) целевой функции. В любой математической задаче оптимизации составляется функционал цели, который является критерием качества решения задачи. Функционал может быть простым и выражаться одним критерием или быть составным, т.е. представлять собой свертку нескольких критериев (условий) [126, 158]. Характерной особенностью при составлении функционала цели, как правило, является использование принципов метода наименьших квадратов и минимума взвешенного среднеквадратичного значения [5, 142,145, 182, 185].

Например, в [78] задача уточнения жесткостных и массовых характеристик решается на конечноэлементной модели конструкции. Метод сохраняет характер модели, но модифицирует заданные начальные значения так, чтобы получить формы колебаний, сходные с экспериментальными. Используются соотношения, в соответствии с которыми при помощи разложения в ряд Тейлора выражены собственные значения и перемещения по отдельным формам колебаний системы через конструктивные параметры системы. Метод требует порядка 50 итераций.

Велика роль вычислительной техники в решении задач идентификации, особенно при использовании итерационных методов, т.е. методов оптимизации. Применение ЭВМ приводит к разработке дискретных моделей механических систем [46, 50, 112, 143, 145, 183] и использованию различных численных методов [21, 37, 38, 59, 66, 117, 149, 150, 172, 178, 179]. Например, последовательность решения задач идентификации механических систем с использованием дискретных модальных моделей описана в [186].

Постепенно происходит повышение точности методов идентификации. Достигается это разными путями: как с помощью усовершенствования (усложнения) математической модели, так и с помощью улучшения самого метода. Например, начинают учитывать нелинейность поведения исследуемых механических систем, отличающихся значительной сложностью. Однако некоторые методы построения нелинейных моделей и оценки параметров приведены в [8, 60, 79, 129, 145, 171].

В работе [134] описан метод точной идентификации нелинейных динамических систем. Он является точным по отношению к большим погрешностям в первоначально принятой модели (включая линейную модель), к малой частоте измерений, к низкой точности измерений. Метод основан на оптимальной оценке состояния и погрешностей модели при условии удовлетворения ковариационного ограничения. Оценка параметров основана на детерминистическом подходе, предполагающим использование метода наименьших квадратов, и, в отличие от других методов, не требует итераций.

В области прочности летательных аппаратов по-прежнему являются актуальными нелинейные задачи. Задачи физически нелинейной природы возникают всегда при прочностных расчетах авиаконструкций. Как правило, задачи такого плана возникают при рассмотрении авиаконструкций в целом. Для отдельных конструкционных элементов может представлять интерес случай геометрической нелинейности. Нелинейные задачи идентификации авиаконструкций на сегодняшний день практически не решались.

Необходимо отметить, что природа задач идентификации вероятностная. Исходные данные таких задач - результаты измерений, а любые измерения являются случайными величинами. Поэтому необходимо разрабатывать соответствующие методы их решения, основанные на теории вероятностей, математической статистике, теории случайных функций, статистической динамике. Здесь можно отметить работы Е.С. Вентцель и J1.A. Овчарова [43], В.С.Пугачева [141], A.M. Арасланова [И, 12], В.В. Болотина [22 - 25], А.С.Гусева, В.А. Светлицкого [55, 155], М.Ф. Росина и B.C. Булыгина [148], А.Ф. Селихова и В.М. Чижова [156], Дж.Д. Коллинза [78] и др.

Как правило, решение стохастических задач с использованием аналитических зависимостей в общем случае является весьма трудоемкой задачей: требует задания точных выражений для математического ожидания, дисперсии, корреляционной функции. В такой постановке удается получить решение лишь в некоторых частных случаях. Поэтому, чтобы избежать определенных вычислительных трудностей, как правило, отдается предпочтение численному моделированию задач. Одним из способов численного расчета является использование метода Монте-Карло (метод статистических испытаний), который благодаря простой вычислительной схеме и наглядной вероятностной трактовке широко используется для решения многих прикладных задач.

Представляет интерес преобразование случайного воздействия, когда характеристика самой системы (конструкции) изменяется случайным образом. Случайность параметров системы обусловлена, например, технологическими допусками производства, неоднородностью материалов, деталей их старением и износом. Она может вызываться также неизбежными возмущающими воздействиями среды, что сказывается на усталостных характеристиках конструкции. Приближенные методы определения плотности вероятности выходного процесса (деформаций) нелинейной системы базируется, как правило, на основе нормализации негауссовских случайных процессов. Однако, как показано в ряде работ по радиофизике даже в линейной системе при определенных условиях может происходить денормализация выходного сигнала. Подобные условия, содействующие образованию смеси распределений, могут существовать и в механике конструкций. В этих случаях приближенные методы анализа, основанные на свойстве нормализации, могут приводить к грубым и принципиально ошибочным результатам.

В свою очередь необходимо отождествление статистических данных результатов испытаний конструкций с моделями параметров-критериев и, следовательно, требуется развитие методов идентификации моделей распределения вероятностей случайных величин. Так как модель после возможного изменения свойств неизвестна, необходимо уметь определять состояние модельного объекта по экспериментальному полю, заданному в пространстве наблюдений. При этом возможны разновидности моделей для наблюдений, характеризующие как качественное (балка, пластинка, оболочка, конструкция), так и количественное состояние объекта (неизвестные значения коэффициентов уравнений). Требуются алгоритмы обработки экспериментальных данных, приводящие к решению о том или ином состоянии объекта (например, слоеная конструкция или с расслоениями). Построение такого алгоритма в большинстве случаев сводится к выбору двух элементов: функции отклика, принимающей различные значения при подстановке конкретной реализации экспериментального материала, и правила принятия решения о состоянии объекта по значениям функции отклика.

Сказанное определяет актуальность решаемой в диссертации проблемы разработки математических методов, алгоритмического и программного обеспечения для анализа и оценивания состояния тонкостенных конструкций со структурными изменениями.

Недостаточная разработанность методов качественного анализа и количественного оценивания состояния конструкций с возможными изменениями параметров препятствуют решению задачи в практическом аспекте.

Цель, задачи, методика исследования, результаты, выносимые на защиту

Целью исследования является разработка подходов, методов алгоритмического и программного обеспечения для анализа свойств и оценивания состояния тонкостенных каркасированных конструкций, а также действующих на них нагрузок, с возможностью приложения методики к задачам определения работоспособности планера летательного аппарата. Для достижения этой цели в работе поставлены и решены следующие задачи:

I. Идентификация жесткостей и нагрузок путем непосредственного решения обратной задачи. В свою очередь эта проблема разбивается на две составляющие, которые рассматриваются отдельно: а) Восстановление распределенной аэродинамической нагрузки по заданным деформациям. б) Идентификация переменных параметров упругости тонкостенных авиационных конструкций, а также их балочных и пластинчатых элементов.

При решении этих задач использовались подходы, основанные на сведение дифференциальных уравнений состояния (равновесия) к интегральным и их решению с помощью метода конечных сумм (интегрирующих матриц).

В случае плохой обусловленности систем разрешающих уравнений, исследовались возможности регуляризации решения по А.Н.Тихонову.

На защиту выносится подход, связанный с представлением разрешающих уравнений состояния системы или ее элемента к виду, разрешенному относительно искомых жесткостей или нагрузок, а также конкретные рекомендации по применению метода регуляризации А.Н.Тихонова к классу уравнений состояния, характеризующих поведение балок, пластин и тонкостенных конструкций под нагрузкой.

Неотъемлемым этапом при решении обратных задач, является предварительное распространение с помощью «задачи продолжения силовых полей» экспериментальных данных, известных в отдельных точках или сечениях конструкции, на интересующую нас область. В диссертации получено решение «задачи продолжения» в местах, труднодоступных для измерений или находящихся между тензодатчиками.

II. Идентификация жесткостей и нагрузок путем сведения обратной задачи к экстремальным постановкам.

Рассматривается решение задач в экстремальной постановке итерационными методами, являющимися методами естественной регуляризации. Задача нахождения системы, которая обладала бы заранее заданными свойствами, рассматривается в работе как задача синтеза, которая в отличие от чисто оптимизационного подхода, дающего «хорошее» решение только по одному критерию, имеет множество решений, соответствующих различным возможным вариантам реализаций.

С этих позиций рассмотрены: а) Определение внешних силовых факторов, действующих на конструкцию в полете. б) Определение нагружения конструкции для проведения стендовых испытаний в динамике. в) Определение переменных параметров упругости тонкостенной конструкции. г) Идентификация жесткостных характеристик трехслойных и однослойных пластин (балок). д) Идентификация жесткостей опор.

Кроме изложенного выше подхода в работе дается вариационная постановка обратных нелинейных задач прочности тонкостенных конструкций. Введение сопряженных уравнений позволяет упростить анализ функционала цели и сократить объем проводимых вычислений. Все это происходит за счет аппроксимации исходной нелинейной задачи условной минимизации некоторой вспомогательной линейной задачей безусловной оптимизации, решение которой менее сложно, чем исходной.

III. Обнаружение изменения свойств конструкции и уточнение действующих нагрузок на основе теории стохастических процессов.

Исследование ведется для следующего круга вопросов: а) Преобразование случайных процессов в детерминированных статических и динамических системах (применительно к уточнению нагрузки и жесткостей по известной реакции конструкции). б) Преобразование смешанных случайных воздействий (смесей) в статических системах в том числе с квазидетерминированными операторами. в) Построение процедур оценивания (количественная задача) и распознавания образов (качественная задача). Применение параметрических методов.

Научная новизна

Новыми являются разработанные автором:

1. Метод решения КОЗ для дифференциальных уравнений состояния (равновесия или движения) тонкостенных конструкций, пластин и балок, основанный на их преобразовании в интегральные уравнения Вольтера 2-го рода и разрешении относительно неизвестных коэффициентов с помощью метода конечных сумм (интегрирующих матриц).

2. Постановка экстремальной задачи и итерационные алгоритмы определения переменных коэффициентов системы нелинейных дифференциальных уравнений равновесия тонкостенной конструкции, пластинчатых и балочных элементов.

3. Адаптация метода решения задач синтеза из теории автоматического управления для определения внешних силовых факторов, действующих на конструкцию при проведении стендовых испытаний и создающих в ней напряжения, адекватные полету. Рассмотрение тонкостенной конструкции как распределенной среды для измерения действующих в полете нагрузок.

4. Решение с использованием регуляризации по А.Н.Тихонову задач восстановлении жесткостей продольных ребер нерегулярной тонкостенной конструкции.

5. Преобразование смешанных случайных процессов в статических системах (конструкциях), описываемых уравнениями с квазидетерминированными операторами.

Практическая ценность и внедрение результатов.

Практическую ценность имеют: методы идентификации жесткостных параметров конструкций и их элементов как при их номинальных значениях, так и в случае структурных изменений; методы уточнения внешней нагрузки по результатам летных испытаний; алгоритмы и их программное обеспечение обнаружения изменения свойств конструкции в целях диагностики.

Результаты, полученные в работе, использованы:

В АО «Казанский вертолетный завод» при уточнении жесткостных характеристик элементов серийных и опытных вертолетов;

В Казанском государственном техническом университете им. А.Н.Туполева при изучении дисциплины «Экспериментальные методы исследования прочности ЛА».

Апробация работы и публикации

По теме диссертации опубликована монография и 29 печатных работ.

Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на V межотраслевой научно-технической конференции «Технология и проблемы внедрения композиционных материалов в промышленность» (Миасс, 1984); на IX Дальневосточной научно-технической конференции по повреждениям и эксплуатационной надежности судовых конструкций (Владивосток, 1984); на VII, VIII, IX Всероссийских научно-технических конференциях «Бубновские чтения» (Нижний Новгород, 1985, 1988, 1991); на III Всесоюзной конференции «Современные проблемы строительной механики и прочности летательных аппаратов (Казань, 1988); на VIII Всесоюзном симпозиуме «Проблемы автомата-зации в прочностнйм эксперименте» (Новосибирск, 1990); на научно-технической конференции «Технологические проблемы производства летательных аппаратов и двигателей» (Казань, 1993); на Международной научно-технической конференции «Актуальные проблемы математического моделирования и автоматизированного проектирования в машиностроении» (Казань, 1995); на VII «Юрьевских чтениях» (Москва, 1999); на VIII Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике (Пермь, 2001); на VIII Четаев-ской международной конференции (Казань, 2002); на XX международной конференции по теории оболочек и пластин (Нижний Новгород, 2002), на итоговых ежегодных научных конференциях Казанского государственного технического университета им.А.Н.Туполева.

В целом диссертация обсуждалась и получила одобрение на семинаре кафедры теоретической механики Казанского государственного университета под руководством академика АНТ Ю.Г.Коноплева

Связь исследований с научными программами

Исследования проводились в 1981-1990 гг. в Казанском авиационном институте в отраслевой лаборатории прочности и надежности авиационных конструкций и с 1990 года продолжены на кафедре строительной механики летательных аппаратов в рамках научного направления: механика деформируемого твердого тела, прочность летательных аппаратов и математическое моделирование. В 1987-1991 годах работа выполнялась по заказу Казанского филиала Московского вертолетного завода и была направлена на повышение ресурса вертолетов Ми-8 и Ми-14.

В 1992-1995 годах вертолетная тематика работы была расширена и направлена на поиск общих для всех тонкостенных конструкций летательных аппаратов особенностей решения коэффициентных обратных задач. Исследования были профинансированы из бюджета в рамках программы «Высокие технологии высшей школы».

Настоящая диссертация состоит из четырех глав и приложения. Первая носит подготовительный характер. Другие уже непосредственно посвящены решению конкретных задач идентификации прочности летательных аппаратов.

19

Первая глава посвящена математическим особенностям задач идентификации и методам их решения. Приведены математические модели, используемые в диссертации. Даны численные методы решения задач прочности. В качестве основы проведения численных расчетов выбран аппарат метода конечных сумм в форме интегрирующих матриц М.Б. Вахитова [38]. Отдельный ► параграф посвящен выбору алгоритма решения некорректных задач. Кратко описаны методы и средства получения экспериментальных величин как исходных данных для решения обратных задач прочности.

Во второй главе задачи идентификации решаются непосредственно как обратные. Рассмотрены задачи: 1) на базе балочной модели - задача восстановления распределенной нагрузки, действующей на летательный аппарат; 2) для модели тонкостенной конструкции Ю.Г. Одинокова - задача определения переменных параметров упругости (построение диаграмм деформирования) элементов конструкции продольных ребер и панелей обшивки; 3) для модели ор-тотропной (изотропной) пластины - двумерная задача идентификации поля же-сткостей пластин. Также рассматриваются возможности метода регуляризации по А.Н. Тихонову для "плохо" обусловленных задач.

В третьей главе идентификация проводится путем итерационного решения прямых задач. Рассматриваются: 1) для балочной модели и модели тонкостенной конструкции Ю.Г. Одинокова - задача восстановления внешней нагрузки; 2) для модели тонкостенной конструкции Ю.Г. Одинокова и модели трехслойных пластин (стержней) - задача определения жесткостных параметров: модулей упругости, сдвига, жесткостей на изгиб.

Четвертая глава посвящена решению задач идентификации в вероятностной постановке. Определены способы получения решений как в общем виде, используя аналитические выражения, так и в случае численного решения, используя метод статистических испытаний (метод Монте-Карло). В конце четвертой главы для выявления значимости факторов приведен пример однофакторного ' дисперсионного анализа. Результаты главы позволяют, например, сформулировать требования к точности проведения экспериментов.

В приложении приводятся вспомогательные вопросы, необходимые для решения рассматриваемых задач идентификации. Это: 1) задача продолжения силовых полей, встречающаяся, например, в случае неполного измерения состояния объекта; 2) развитие метода интегрирующих матриц для решения двумерных задач; 3) особенности технической реализации натурных испытаний на усталость хвостовой и концевой балок вертолетов типа Ми-8 и Ми-14; 4) метод обработки (метод выравнивания) экспериментальных данных, основанный на теории вероятностей.

Заключение диссертации по теме «Прочность и тепловые режимы летательных аппаратов», Костин, Владимир Алексеевич

выход причем y"=M/EJ.

Полагаем, что система, т.е. балка в данном случае имеет плотность вероятности WEJ, а нагрузка - WM.

В соответствии со схемой (рис) внутреннюю случайную величину можно рассматривать как дополнительное случайное воздействие, т.е.

WM балка Wy~

Wfj

Считая нагрузку и жесткость независимыми, имеем со d(EJ) = IWM(/,EJ)WEJ(EJ)\EJ d(Ej)\, (4.4.9)

-со

Здесь совместная плотность вероятности WBX(M, EJ) определяется особенно просто

WJM,EJ)=WPAM)-WJEJ).

Очевидно, что формула (4.4.9) дает функцию плотности смеси, а не какого-либо стандартного распределения. На практике жесткость при определенном уровне разрушения конструкция начинает явно зависеть от нагрузки и потому совместную плотность вероятности Wm(M, EJ) надо определять с учетом этого обстоятельства.

Рассмотренная задача может быть сформулирована как обратная в целях диагностики: по известному закону распределения нагрузки (вход) и деформации (выход), требуется определить статистический закон рассеяния жесткостей и идентифицировать его с характером дефекта.

В заключении параграфа вернемся к полигауссовскому анализу динамических систем, описываемых линейным оператором со случайными параметрами.

Пусть hit, т, а) - стохастическая функция Грина системы со случайным параметром а, которая связывает вход и выход соотношением I y(t) = jh(t,T,a)x(t)dx, teT, (4.4.10) 0 а=а(0 и x(t) - случайные полигауссовские процессы, заданные совместной по-лигауссовской плотностью вероятностей:

4.4.11)

1=1 /=1

Формула (4.4.11) отражает статистическую независимость процессов a(t) и x(t).

UJ wa{MtEJ) dM dy"

Требуется определить плотность вероятностей выходного процесса y(t) по соотношениям (4.4.10) и (4.4.11).

Вначале определим условную плотность вероятностей выходного сигнала для одной реализации случайного параметра a(t) стохастической функции Грина может быть рассмотрена как детерминированная. Тогда условная плотность вероятностей выходного сигнала в соответствии с результатами [151] записывается в виде:

W(y/a) = t ^W (У> ^ (<*) МУ) (а)), (4.4.12) ' п=1 где условные математические ожидания и корреляционные функции гауссовских компонент определяются: t а) = j/z (/, т, а) т^ (x)dx, а = а(/), (4.4.13) о h н т^ (/[,/,, а) = jjh(t],xl,a)h(t2,x2,a)My(xl,x2)dx]dx2, a = a(t),n = l,N. о 'о

4.4.14)

Безусловная плотность вероятностей выходного сигнала системы может находиться усреднением условной плотности вероятностей (4.4.12), заданной условными математическими ожиданиями и корреляционными функциями (4.4.13) и (4.4.14) параметра а, lw{yMy\M[y))w{a,m<;a\M^)da, (4.4.15) п=1 1=1 Ак где область интегрирования Ак показывает, что интегрирование ведется по всем элементам вектора а = (аь а2, ., а*), а/с = а(/>с), k = l,K.

Плотность вероятности (4.4.15) является аналогом дискретно-непрерывной смеси [176]. При А^-1 входной сигнал является гауссовским. Даже в этом случае выходной сигнал системы со случайным параметром описывается смесью плотностей распределений. Таким образом системы со случайными параметрами порождает сигналы, описываемые смесями распределений вероятностей.

Применение прелагаемого похода сдерживается сложностями с построением функции Грина, которые преодолеваются сравнительно легко в случае областей простой формы для изотропных и однородных материалов. В некоторых физических задачах функцию Грина можно определить непосредственно из эксперимента. Дело в том, что ядро удовлетворяет тому же дифференциальному уравнению, если силовую функцию в нем заменить на 5-функцию. Решение в данном случае представляет собой отклик (выходной сигнал) системы на единичный импульс в момент т.

Для балки это функция, называемая еще функцией влияния, определяет прогиб в точке с абсциссой ,57(рис. 4.4.3). z 1

Рис. 4.4.3.

Теоретическое решение в данном случае, когда случайный параметр а равен нулю, запишется: h(z, s)= AIz + B{z2 + C\z + D\ при z < s\ hiz, A2z3 + B2z2 + C2z + D2 при z > s. (4.4.16)

В физическом эксперименте, прикладывая в разных сечениях балки какую-либо силу Р, мы можем получить функцию прогиба в зависимости от точки ее приложения. Для перехода к единичной нагрузке в случае линейной задачи делим величину прогиба на Р и получаем экспериментальное значение прогибов, соответствующие теоретически определенным (4.4.16). Зная из эксперимента h(z, s) в отдельных сечениях, определяем константы интегрирования. После этого мы получаем функцию влияния, несущую в себе информацию об упругих свойствах конструкции.

Для нелинейных задач подобный подход к определению функции Грина можно рассматривать как первое приближение.

В целях нахождения стохатисческой функции Грина необходимо учесть случайный характер жесткостных параметров системы.

4.5. Мониторинг и диагностика состояния конструкций

Этапы развития диагностики

Начало первого этапа развития диагностики относится ко времени создания первых машин, когда обслуживающий их персонал, ориентируясь только на свои ощущения, прежде всего, слуховые и зрительные, стал обнаруживать различного вида дефекты и отклонения в работе машин. Качество диагноза на этом этапе практически всегда определялось опытом и знаниями обслуживающего машину персонала, а для локализации неисправности использовались простейшие приспособления, например, стетоскоп.

Восьмидесятые годы - это годы формирования двух направлений развития диагностики, которые сосуществовали друг с другом.

Первое из этих направлений характеризовалось интенсивным развитием средств измерения типовых параметров процессов, происходящих в машинах и оборудовании. Это мощные системы мониторинга, т.е. наблюдения за поведением измеряемых параметров во времени и сравнения их с пороговыми значениями. Второе направление - это собственно диагностика, обеспечивающая интерпретацию результатов измерений, производимых системой мониторинга и переход к определению технического состояния машин и оборудования, т.е. к идентификации имеющихся дефектов и прогнозу их развития. Очевидной становится перспектива снижения затрат на системы мониторинга и диагностики за счет создания специализированного программного обеспечения для резкого повышения производительности экспертов или даже отказа от их услуг в типовых диагностических ситуациях.

Девяностые годы стали началом третьего этапа развития диагностики, характеризуемого активным появлением работ по созданию математического и программного обеспечения, заменяющего эксперта в задачах интерпретации результатов, получаемых системами мониторинга.

240

Мониторинг и диагностика

На диагностику возложена интерпретация изменений, обнаруженных в процессе мониторинга. Для решения этой задачи необходимо: выделить из обнаруженных опасные изменения, сопровождающие появление дефектов; определить вид и глубину каждого из обнаруженных дефектов; дать обоснованный прогноз их развития; определить временной интервал до следующего измерения или остаточный ресурс.

Программное обеспечение строится таким образом, чтобы пользователь мог выполнять два вида мониторинга - машины в целом и любого узла.

Рассматриваемый в данном разделе круг вопросов относится к частной проблеме задач классификации, которая развивается особенно интенсивно и получила название проблемы распознавания образов. Будем обозначать термином «СИГНАЛ» вектор-столбец где каждый элемент вектора отражает какое-либо свойство объекта и называется «признаком» сигнала. Проблема выбора при формировании подходящих признаков до сих пор остается одной из наименее исследованных.

Вероятностная модель сигналов в виде распределения смеси, по мнению [125], облегчает постановку задач распознавания и поиск путей их решения не только для сравнительно простого случая классификации сигналов при известных распределениях, но и для значительно более сложных режимов обучения распознающих устройств.

Методы решения задач распознавания в случае, когда распределения вероятностей сигналов известны лишь с точностью до параметров, принято назых = вать параметрическими методами. Этот подход включает в себя две составные части: оценку неизвестных статистических характеристик классов на множестве сигналов; классификацию этих или вновь поступающих сигналов в соответствии с полученными оценками по некоторому решающему правилу.

В настоящее время предложено большое количество различных методов распознавания, каждый из которых оправдан по тем или иным соображениям и в рамках соответствующих ограничений может превосходить другие методы по каким-либо показателям. Причиной ошибочных решений о принадлежности поступающих сигналов может служить не только пересечение классов, но и недостаточно точное определение неизвестных a priori сведений о классах в период обучения или самообучения.

Можно выделить три типовых разновидности неизвестных состояний модельного объекта: а) качественное состояние, которое условимся нумеровать индексами v = l,2,3,.,M б) количественное состояние, которое определим вектором неизвестных параметров р, компоненты pJ5 s= 1,2, 3, .,s, которого имеют смысл отдельных параметров объекта; s - полное количество неизвестных. в) качественно-количественные состояния, определяемые одновременно номерами v = 1,2, 3, .,N к векторами pv (pvb ., pVJ) для каждого из качественных состояний объекта.

Особенность качественных состояний - их дискретность. Векторы р количественных состояний задаются по непрерывным (или кусочно-непрерывным) шкалам.

Каждое наблюдение, независимо от его природы, условимся нумеровать индексом к=\, 2,. К где полное число наблюдений. Значения наблюдений, заданные по непрерывным шкалам, условимся обозначать UK (к = 1, 2, . К), а всю совокупность наблюдений - вектором U.

Теоретическое (модельное) поле измерений определим как совокупность значений признаков в области наблюдений. Как следует из определения, модельное поле объекта является функцией номера к точки пространства наблюдений, а также вектора параметров С, или номера состояния v объекта.

Для объектов с набором качественных состояний v =1, ., N модельное поле обозначим вектором fv с компонентами/^, где к = 1, 2,., К. Для количественных состояний С, объекта модельное поле обозначим векторами /(Q с компонентами fk(Q. Наконец, в случае качественно-количественных состояний используем обозначенияfv(C,v) с компонентами^(Q к= 1,2, ., К где v =1, 2, . N - номера качественных состояний объекта, а С^ - вектор, характеризующий количественные состояния для v-ro качественного состояния.

В качестве примера, характеризующего модельные поля в случае чисто качественных состояний объекта, рассмотрим поля двух конкурирующих объектов: v = 1 - тонкая однородная изотропная пластинка; v = 2 - тонкая слоеная пластинка. Измеряется прогиб под влиянием постоянной поперечной нагрузки в точках х =хК (£=1,2, .К).

Используя известные решения, например, для центра квадратной шар-нирноопертой пластинки, загруженной равномерно распределенной нагрузкой можно записать

Нагрузка, размеры ах а, толщина пластин считаются известными. Требуется определить состояние v = 1 или v - 2 объекта. В случае чисто количественных состояний объекта его качественное состояние будем считать известным, например, v =1 - тонкая однородная изотропная пластинка. Тогда

W(v = \,x = xt)~f,„ = 4

W(x,xi),ftjjm^ D

Eh3 где (^-h) ~ вектор неизвестных состояний объекта. Наконец, в случае качественно-количественных состояний объекта неизвестны качественные состояния v = 1 или v = 2 и векторы Q для тонкой однородной пластинки и Ср для слоистой. Задача сводится к выбору v и к определению соответствующего вектора C,v.

Заметим, что для решения обратных физических задач необходимо, чтобы между возможными состояниями объекта и значениями модельных полей существовало однозначное соответствие. Если различным качественным состояниям объекта соответствует одно и то же модельное поле в области измерений, то такие состояния принципиально неразличимы.

Расхождение экспериментального и теоретического полей

Согласно предыдущему модельный объект представляет собой интуитивно выбираемый ограниченный комплекс полей, при этом поля определяются по законам, которые не всегда достаточно полно и точно отображают реальность. Поэтому между экспериментальным полем объекта и его теоретической моделью неизбежно существует расхождение. В большинстве практически интересных ситуаций допустимо считать, что расхождение аддитивно, т.е.

U=f+n, где, п (п\,. п/с) - вектор расхождения полей в точках наблюдений. Определим математическую модель экспериментального материала как совокупность априорных сведений о связи наблюдаемого поля с объектом, выраженную в виде математических условий, зависящих от неизвестных альтернативных состояний и параметров объектов [49]: а) Качественное состояние объекта: либо /и + пк> ик = либо fvk + пк, к= 1,2,.,К либо fNk +пк. Неизвестен номер v состояния объекта.

244 б) Количественное состояние объекта:

Uk=fk(p)+nk,k=l,2,.,K.

Неизвестен вектор С, параметров объекта. в) Качественно-количественное состояние объекта: либо flk(pi)+nk,

Uk = либо fvk(pv)+nk, k= 1,2,.,К

Неизвестны состояния v и вектор Q параметров объекта. Вследствие неизбежности расхождения экспериментального и теоретического полей найденные состояния объекта по полю U будут отличаться от модельных состояний v или С,. Поэтому алгоритмы решения обратных технических задач можно представить в виде v = v(u) или р = р{и), где v и р - найденные состояния объекта, отличающиеся от его модельных состояний v и р.

Количественные обратные задачи можно решать с помощью:

1. Оценивания с использованием готовых решений (аналитических и численных).

2. Оценивания путем минимизации меры расхождения экспериментального и теоретического полей.

3. Метода максимального правдоподобия.

Качественные обратные задачи

Распознавание).

Будем считать, что объект характеризуется дискретным набором несовместных состояний с номерами v = 1,. N. Действительное состояние объекта неизвестно, однако поля /у) объекта могут быть однозначно определены для каждого из конкурирующих состояний. Последнее возможно, если параметры, и характеризующие эти поля, а также координаты точек наблюдений заранее известны. Задача состоит в определении номера v неизвестного состояния объекта.

В дальнейшем основное внимание уделим анализу задач двухальтерна-тивного распознавания v = 1,2. Для более наглядного представления будем использовать индексы О (v = 1) и (v = 2).

Модель экспериментального материала представим в виде либо /° + п°, либо f++n+, где U, /, п°, f, п+ - векторы в пространстве наблюдений, компоненты которых имеют смысл значений соответствующих полей в точках х/с, у/с, zk, Хк

К двухальтернативной можно отнести задачу разрешения двух объектов. Важно отметить, что многие задачи многоальтернативного распознавания практически реализуются в виде последовательности двухальтернативных задач.

Для обозначения действительных состояний по-прежнему используем индекс v - 1, 2, . N. Решение об этих состояниях, полученные в результате распознавания, обозначим через v = 1, ., N, по аналогии с обозначением через р оценок неизвестных параметров р в количественных обратных задачах.

Так же как и в случае оценивания, неизвестные состояния v молено считать либо детерминированными, либо случайными в зависимости от характера дополнительной априорной информации о v. В отличие от v решения v всегда случайны, так как являются функциями случайных экспериментальных данных U.

Решающее правило

Решающее правило представляет собою алгоритм обработки экспериментальных данных XJ, приводящий к решению о состоянии v интерпретируемого объекта. Построение решающего правила в большинстве случаев сводится к выбору двух элементов: функции отклика Lu (v), принимающей различные

246 значения при подстановке конкретной реализации экспериментального материала, и правила принятия решения о состоянии объекта по значениям функции отклика. В случае двухальтернативного распознавания обычно удается оба элемента представить в виде формулы

Гб, если Я(и) < О |+, если Я(и) > О где ЦП)- некоторая функция.

Уравнение X(U)=0 определяет в пространстве наблюдений поверхность, разделяющую пространство на две области принятия решений: v=0 и v=+. Эта поверхность называется дискриминантной.

Способами построения функции X(U), соответствующих оптимальным решающим правилам, могут быть [49]: максимально правдоподобное решающее правило для аддитивных нормальных моделей экспериментального материала; решающее правило по максимуму апостериорной вероятности альтернатив.

Различные подходы при решении задач распознавания изложены в работах [125, 176], как для обнаружения скачкообразных изменений среднего значения сигнала, так и при монотонном течении процесса.

К сказанному можно добавить, что при обнаружении дефекта на качественном уровне, появляется необходимость в уточнении не только модели, но и ее параметров. Здесь могут быть полезны оценки прогибов, частот и критических нагрузок, полученные с помощью изопериметрического метода. Их достоинство в большой простоте и практической независимости трудоемкости от формы исследуемой области в плане, т.к. рассматривается не сам контур пластинки (панели) или возможного провала в ее жесткости, а форма линий уровня (см. например, рис. 1.5.2, 1.5.3, 2.3.2).

Полученные автором результаты [85, 86, 87, 88] позволяют не ограничиваться пластинками прямоугольной формы. Используя приближенные аналитические аналогии в экспериментальных исследованиях, удается уменьшить объем эксперимента. Например, линейные задачи устойчивости прямоугольных пластин описываются в случае однородного напряженно-деформированного состояния уравнениями с постоянными коэффициентами и задачи устойчивости пластин, ограниченных отрезками координатных линий полярной системы координат, описываются уравнениями того же типа, но спеременными коэффициентами. При этом, с точки зрения теоретико-экспериментального метода любая задача устойчивости или колебаний, описанная уравнениями с переменными коэффициентами, будет иметь своим аналогом соответствующую задачу для уравненийс постоянными коэффициентами [87, 152].

Заключение

Диссертация посвящена решению практически важных вопростов, возникающих при расчете на прочность: определению внешнего нагружения конструкции, адекватного деформированному состоянию, и идентификации в линейной и физически нелинейной постановке одно- и двумерных задач. Автором получены следующие научные результаты:

1. Метод интегрирующих матриц применен для решения коэффициентных обратных задач на базе моделей балки, тонкостенной конструкции Ю.Г. Одинокова, однослойных и трехслойных пластин (одномерные задачи), а также изотропных и ортотропных пластин (двумерные задачи).

2. На базе экстремальной постановки создан итерационный алгоритм определения переменных коэффициентов системы нелинейных дифференциальных уравнений.

3. С помощью решения задачи синтеза теории автоматического управления разработан способ определения внешних силовых факторов, создающих известное из эксперимента напряженно-деформированное состояние.

4. Исследованы возможности регуляризации по Тихонову для решения задач восстановления жесткостей продольных ребер тонкостенной конструкции.

5. Получено решение обратных задач в вероятностной постановке. Использована схема метода Монте-Карло для статистического моделирования результатов экспериментов. Показана возможность обнаружения изменения свойств конструкции на базе стохастических моделей.

Список литературы диссертационного исследования доктор технических наук Костин, Владимир Алексеевич, 2002 год

1. Абасов М.Т., Азимов Э.Х., Ибрагимов Т.М. Об одном решении нестационарной обратной задачи при нестационарной фильтрации нефти и газа в пласте //Докл. АН СССР. 1991. Т.318. №3. С.566 569.

2. Александровский Н.М., Егоров С.В., Кузин Р.Е. Адаптивные системы автоматического управления сложными технологическими процессами. М.: Энергия, 1973.272 с.

3. Алифанов О.М. Идентификация процессов теплообмена летательных аппаратов. М.: Машиностроение, 1979. 216 с.

4. Алифанов О.М. Обратные задачи теплообмена. М.: Машиностроение, 1988.280 с.

5. Алифанов О.М., Артюхин Е.А., Румянцев С.В. Экстремальные методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1988. 288 с.

6. Алифанов О.М., Клибанов М. В. Об условиях единственности и методе решения коэффициентной обратной задачи теплопроводности //ИФЖ. 1985. № 6. С.988 992.

7. Алифанов О.М., Зайцев В.К., Панкратов Б.М. и др. Алгоритмы диагностики тепловых нагрузок летательных аппаратов. М.: Машиностроение, 1983. 168 с.

8. Алифанов О.М., Михайлов В.В. Решение нелинейной обратной задачи теплопроводности итерационным методом //ИФЖ. 1978. №5. С.1124 1129.

9. Алифанов О.М., Румянцев С.В. Об устойчивости итерационных методов решения линейных некорректных задач //Докл. АН СССР. 1979. Т.248. №6. С.1289- 1291.

10. Ю.Ананьев И.В., Колбин Н.М., Серебрянский НЛ. Динамика конструкций летательных аппаратов. М.: Машиностроение, 1972. 415 с.

11. Арасланов A.M. Вероятностные подходы к силовому проектированию элементов конструкций. Казань: КАИ, 1992. 92 с.250

12. Арасланов A.M. Расчет элементов конструкций заданной надежности при случайных воздействиях. М.: Машиностроение, 1987. 128 с.

13. Артюхин Е.А. Восстановление температурной зависимости коэффициента теплопроводности из решения обратной задачи //ТВТ. 1981. Т. 19. С. 963 -967.

14. Н.Балакирев B.C., Дудников Е.Г., Цирлин A.M. Экспериментальное определение динамических характеристик промышленных объектов управления. М.: Энергия, 1967. 232 с.

15. Баранов А.Н., Белозеров А.Н., Ильин Ю.С., Кутьинов В.Ф. Статические испытания на прочность сверхзвуковых самолетов. М.: Машиностроение, 1974. 334 с.

16. Барух М. Определение жесткости упругой балки //Ракетная техника и космонавтика. 1971. №8. С.263 -265.

17. Бассервиль М., Вилски А., Банвенист А. и др. Обнаружение изменения свойствсигналов и динамических систем. М., Мир, 1989. 278 с.

18. Берман А., Флэнелли В.Г. Теория неполных динамических моделей и конструкций //Ракетная техника и космонавтика. 1971. №8. С.53 61.

19. Бикей Г.А. Идентификация систем введение и обзор //Механика. 1972. №3.C.3-30.

20. Богомолов А.И., Сиразетдинов Т.К. К решению основной задачи управления динамическими объектами. //Проблемы аналитической механики, теории устойчивости и управления. М.: Наука. 1975. С.62 - 66.

21. Богомолов А.И., Сиразетдинов Т.К. Решение основной задачи управления методом градиентного спуска //Авиационная техника. 1974. №1. С.5 12. (Изв. высш. учеб. заведений).

22. Богомолов А.И., Сиразетдинов Т.К, Дегтярев Г.Л. Аналитическое проектирование динамических систем. Казань: КАИ, 1978. 80 с.

23. Болотин В.В. Применение методов теории вероятностей и теории надежности в расчетах сооружений. М.: Стройиздат, 1971. 255 с.

24. Болотин В.В. Случайные колебания упругих систем. М.: Наука, 1979. 336 с.

25. Болотин В.В. Статистические методы в строительной механике. М.: Стройиздат, 1961. 202 с.

26. Большее Л.Н. О преобразованиях случайных величин //Теория вероятностей и ее применения. 1959. №2(4). С. 136 149.

27. Борисов М.В., Вахитов М.Б. О решении некоторых задач теории упругости с помощью интегрирующих матриц //Труды КАИ. 1974. Вып. 166. С.32 39.

28. Борисов М.В., Вахитов М.Б. Расчет прямоугольных пластин с помощью интегрирующих матриц //Вопросы расчета прочности конструкций летательных аппаратов. Межвуз. сб. Вып.1. Казань: КАИ, 1976. С.7 11.

29. Браммер К., Зиффлинг Г. Фильтр Калмана-Бьюси. М.:Наука, 1982. 199 с.

30. Бугхейм А.Л. Ведение в теорию обратных задач. Новосибирск: Наука, 1988. 183 с.

31. Бугхейм А.Л., Клибанов М.В. Единственность в целом одного класса многомерных обратных задач //Докл. АН СССР. 1981. Т.260. №2. С.269 271.

32. Бусленко Н.П., Шрейдер Ю.А. Метод статистических испытаний: Метод Монте-Карло. М.: Физматгиз, 1962. 332 с.

33. Быков В.В. Цифровое моделирование в статистической радиотехнике. М.: Сов. радио, 1971. 326 с.

34. Вабищевич П.Н. Метод квазиобращения для приближенного решения обратных задач теплообмена. М., 1991. (Препринт ИБРАЭ АН СССР, №11).

35. Вабищевич П.Н. Метод квазиобращения для эволюционных уравнений второго порядка. М., 1991. (Препринт ВЦММ АН СССР, №26).

36. Вабищевич П.Н. Разностные схемы метода квазиобращения для эволюционных уравнений второго порядка. М., 1991. (Препринт ВЦММ АН СССР, №25).

37. Вабищевич П.Н., Денисенко А. Ю. Численные методы решения коэффициентных обратных задач. В кн.: "Методы математического моделирования и вычислительной диагностики". М.: МАИ, 1990. С.35 58.

38. Вахитов М.Б. Интегрирующие матрицы аппарат численного решения дифференциальных уравнений строительной механики //Авиационная техника. 1966. №3. С.50 - 61. (Изв. высш. учеб. заведений).

39. Вахитов М.Б., Сафариев М.С., Снигирев В.Ф. Расчет крыльевых устройств судов на прочность. Казань: Таткнигоиздат, 1975. 212 с.

40. Вахитов М.Б., Сафонов А.С. К вопросу расчета тонкостенных конструкций переменного сечения //Труды КАИ. 1970. Вып.118. С.35 42.

41. Вахитов М.Б., Сафонов А.С. Расчет тонкостенных конструкций с большими вырезами //Труды КАИ. 1971. Вып.139. С.32 46.

42. Вентцель Е.С., Овчаров JI.A. Теория случайных процессов и ее инженерные приложения. М.: Высшая школа, 2000. 383 с.

43. Гласко В.Б. Обратные задачи математической физики. М.: МГУ, 1984. 111 с.

44. Глова В.И., Аджели М.А., Маликов А.В. Проблемы качества генерирования случайных последовательностей //Вестник КГТУ им. А.Н. Туполева. 1999. №4. С.62-64.

45. Голд Б., Рэйдер Ч. Цифровая обработка сигналов. М.: Сов. радио, 1973.368 с.

46. Голенко Д.И. Моделирование и статистический анализ псевдослучайных чисел на ЭВМ. М.: Наука, 1965. 227 с.

47. Голубев Г.В., Данилаев П.Г., Тумашев Г.Г. Определение гидропро-водности неоднородных нефтяных пластов нелокальными методами. Казань: КГУ, 1978. 168 с.

48. Гольцман Ф.М. Физический эксперимент и статистические выводы. Л. Изд-во Лен. ун-та. 1982. 192 с.

49. Гревцов Н.М., Костерина Е.В., Мельц И.О. Идентификация параметров динамических систем по результатам дискретных некоррелированных измерений //Труды ЦАГИ. 1982. Вып.2131. 27 с.

50. Григолюк Э.И., Чулков П.П. Устойчивость и колебания трехслойных оболочек. М.: Машиностроение, 1973. 172 с.

51. Гроп Д. Методы идентификации систем. М.: Мир, 1979. 302 с.

52. Гудков А.И., Лешаков П.С. Методы и техника летных испытаний самолетов на прочность. М.: Машиностроение, 1971. 248 с.

53. Гудсон П. Идентификация параметров систем с распределенными параметрами //Общий обзор ТИИЭР. 1976. №1. С.56 80.

54. Гусев А.С., Светлицкий В.А. Расчет конструкций при случайных воздействиях. М.: Машиностроение, 1984. 240 с.

55. Данилаев П.Г. Коэффициентные обратные задачи для уравнений параболического типа и их приложения. Казань: УНИПРЕСС, 1998. 127 с.

56. Дегтярев Г.Л., Сиразетдинов Т.К. Теоретические основы оптимального управления упругими космическими аппаратами. М.: Машиностроение, 1986. 214 с.

57. Дейч А.И. Методы идентификации динамических объектов. М.: Энергия, 1979. 240 с.

58. Демидович Б.П., Марон Р.А., Шувалова Э.З. Численные методы анализа. М.: Наука, 1967. 368 с.

59. Димментберг М.Ф. Нелинейные стохастические задачи механических колебаний. М.: Наука, 1980. 388 с.

60. Дубенко Т.И. Фильтр Калмана для случайных полей //Автоматика и телемеханика. 1972. №12. С.37 40.

61. Ермаков С.М. Метод Монте-Карло и смежные вопросы. М.: Наука, 1975.472 с.

62. Иванов В.К., Васин В.В., Танана В.П. Теория линейных некорректных задач и ее приложения. М.: Наука, 1978. 206 с.

63. Ильичев В.Д., Назаров В.В. Результаты прецизионных частотных испытаний как исходные данные при различных исследованиях прочности летательных аппаратов //Труды ЦАГИ. 1974. Вып. 1562. 43 с.

64. Искандеров А.Д. Обратные краевые задачи для определения параметров фильтрующихся сред //Известия АН АзССР. 1971. №2. С.30.

65. Калиткин Н.Н. Численные методы. М.: Наука, 1977. 440 с.

66. Калман Р., Бьюси Р. Новые результаты в линейной фильтрации и теории предсказания //Труды американского общества инженеров механиков. Сер. Д. 1961. №1(83). С.123 141.

67. Каммер Д.К. Оптимальная аппроксимация для остаточной жесткости при идентификации линейных систем //Аэрокосмическая техника. 1988. №11. С. 111-121.

68. Капур К., Ламберсон Л. Надежность и проектирование систем. М.: Мир, 1980. 608 с.

69. Каюмов Р. А. Связанная задача расчета механических характеристик материалов и конструкций из них // Механика твердого тела. 1999. № 6.

70. Клибанов М.В. Единственность в "целом" обратных задач для одного класса дифференциальных уравнений //Дифференциальные уравнения. 1984. Т.20. №11. С.1947 1953.

71. Клибанов М.В. Обратные задачи в "целом" и карлемановские оценки //Дифференциальные уравнения. 1984. Т.20. №6. С. 1035 1041.

72. Клибанов М.В., Данилаев П. Г. О решении коэффициентных обратных задач методом квазиобращения //Докл. АН СССР. 1990. Т.310. №3. С.528 532.

73. Кобелев В.Н., Коварский Л.М., Тимофеев С.И. Расчет трехслойных конструкций: Справочник /Под ред. В.Н. Кобелева. М.: Машиностроение, 1984.303 с.

74. Козачок А.Г., Кезерашвили Г.Я., Ракушин Ю.А., Солодкин Ю.Н.

75. Измерение деформаций и напряжений методами голографической интерферометрии. В кн.: "Голографические измерительные системы": Сб. науч. тр. Новосибирск: НЭТИ, 1976. С.58 75.

76. Колкер И.Г. Метод интегральной оценки внешних нагрузок, действующих на летательный аппарат в эксплуатационных условиях //Прочность, устойчивость и колебания тонкостенных и монолитных авиационных конструкций. Межвуз. сб. Казань: КАИ, 1978. С.34 37.

77. Коллатц JI. Функциональный анализ и вычислительная математика. М.: Мир, 1969. 447 с.

78. Коллинз Дж.Д., Харт Дж.К., Хассельман Т.К., Кеннеди Б. Статистический метод идентификации конструкций // Ракетная техника и космонавтика. 1974. №2. С.74 -81.

79. Кононенко В.О., Плахтиенко Н.П. Методы идентификации нелинейных механических колебательных систем. Киев: Наукова думка, 1976. 116 с.

80. Коноплев Ю.Г. Шалабанов А.К. Метод голографической интерферометрии в задачах о действии локальных нагрузок на пластины и оболочки //Исследования по теории пластин и оболочек. Казань: КГУ, 1976. Вып.12. С.27 37.

81. Корнев Б.Н. К расчету тонкостенного фюзеляжа кругового сечения с учетом повреждений //Труды КАИ. 1971. Вып. 139. С.16-31.

82. Костин В.А. К расчету трехслойных пластин переменной толщины // Прочность, устойчивость и колебания тонкостенных и монолитных авиационных конструкций. Межвуз.сб. Казань: КАИ, 1981. - С.27 - 33.

83. Костин В.А., Саченков А.В. Уточненная теория пологих трехслойных оболочек при конечных перемещениях // Исследования по теории пластин и оболочек. Казань: КГУ, 1981,- Вып. 16. - С.42 - 62.

84. Костин В.А. Исследование влияния формы пластины на ее устойчивость и колебания // Тезисы докладов конференции по прочности и надежности судов внутреннего и смешанного плавания (VII Бубновские чтения). Горький: ГПИ, 1985. - С.54 - 55.

85. Костин В.А. Прочность ортотропных панелей различных очертаний при больших прогибах // Строительная механика самолета. Казань: КАИ, 1987. - С.11 - 31.

86. Костин В.А. Устойчивость и колебания скошенных панелей, выполненных из ортотропных материалов // Тезисы докладов конференции по прочности и надежности судов внутреннего и смешанного плавания (VIII Бубновские чтения). Горький: ГПИ, 1988. - С.59 - 60.

87. Костин В.А. О возбуждении поля переменных напряжений по заданной эпюре изгибающих моментов // Тезисы докладов НТК по прочности судовых конструкций (IX Бубновские чтения). Нижний Новгород: ННПИ, 1991. — С.44 - 45.

88. Костин В.А. О выборе способа возбуждения в конструкции заданного поля переменных напряжений // Тезисы докладов НТК "Технологические проблемы производства летательных аппаратов и двигателей". Казань: КГТУ им.А.Н.Туполева, 1993. - С.39.

89. Костин В.А. Задача идентификации с адаптивной моделью тонкостенной конструкции // Тезисы докладов НТК "НИЧу-50лет". Казань: КГТУ им.А.Н.Туполева, 1994.-С. 19.

90. Костин В.А., Павлов В.А., Суровцева О.Е. К вопросу о напряженно-деформированном состоянии хвостовых отсеков лопасти // Тезисы докладов НТК "НИЧу-50лет". Казань: КГТУ им.А.Н.Туполева, 1994. - С. 18.

91. Костин В.А. О возможности одноточечного возбуждения в конструкции поля переменных напряжений, заданного программой испытаний // Изв. Вузов. Авиационная техника. 1994. № 3. С.93 96.

92. Костин В.А., Халкина Е.А. К вопросу оптимизации поиска управляющих параметров при численном решении уравнений колебаний тонкостенной конструкции //Изв. ВУЗов. Авиационная техника. 1996. №1. С21 31.

93. Костин В.А., Торопов М.Ю. Методы оптимизации при решении коэффициентной обратной задачи вынужденных колебаний тонкостенных конструкций //Изв. ВУЗов. Авиационная техника. 1998. №1. С. 103 106.

94. Костин В.А., Снегуренко А.П. К вопросу восстановления нагрузок, действующих на летательный аппарат в полете // Тезисы докладов XXIV Всероссийских Гагаринских чтений. Москва: РГТУ (МАТИ) им.К.Э.Циолим.К.Э.Циолковского. 1998. - 4.9. - С.36 - 37.

95. Костин В.А., Торопов М.Ю. Об идентификации граничных условий по данным прочностного эксперимента // Тезисы докладов XXIV Всероссийских Гагаринских чтений. Москва: РГТУ (МАТИ) им.К.Э.Циолковского. -1998. - Ч.З. - С.26 - 27.

96. Костин В.А., Торопов М.Ю. Исследование податливости стенда и точечных связей на воспроизведение заданного поля переменных напряжений тонкостенной балки // Изв. ВУЗов. Авиационная техника. 1999. №1. С.58 61.

97. Костин В.А., Торопов М.Ю. Об уточнении жесткостных характеристик конструкций по результатам прочностного эксперимента // Актуальные вопросы аэрокосмических систем Проблемы, методы, эксперимент. - Казань - ДайтонаБич. 1999. №1 (7). С.74- 80.

98. Костин В.А., Снегуренко А.П. К вопросу уточнения внешней нагрузки по заданным деформациям // Вестник КГТУ им. А.Н.Туполева. 1999. №4. С.З 8.

99. Костин В.А., Снегуренко А.П. Идентификация поля цилиндрических жесткостей изотропных и ортотропных пластин // Вестник КГТУ им.А.Н.Туполева. 2001. - №2. - С.З - 9.

100. Костин В.А. Об одной постановке и решении задачи оптимизации в механике систем с переменными параметрами упругости // Аннотации докладов на VIII Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике.

101. Пермь: Институт механики сплошных сред УРО РАН, 2001. С.360.

102. Костин В.А., Торопов М.Ю., Снегуренко А.П. Обратные задачи прочности летательных аппаратов. Казань: КГТУ им.А.Н.Туполева. 2002. 15,5 п.л. (монография).

103. Костин В.А. Решение обратных задач прочности тонкостенных конструкций градиентным методом с привлечением сопряженных систем // Изв. ВУЗов. Авиационная техника. 2002. №3. С.6 9.

104. Крементуло Ю.В., Яковлев В.П. Идентификация динамических объектов по дискретным данным с применением методов теории чувствительности. В кн.: "Теория инвариантности и теория чувствительности автоматических систем". Киев: КВИАВУ, 1971. Ч.З. С.707 716.

105. Лаврентьев М.М. Некорректные задачи для дифференциальных уравнений. Новосибирск: НГУ, 1981. 74 с.

106. Лаврентьев М.М., Васильев В.Г., Романов В.Г. Многомерные обратные задачи для дифференциальных уравнений. Новосибирск: Наука, 1969. 67 с.

107. Лаврентьев М.М., Резницкая К.Г., Яхно В.Г. Одномерные обратные задачи математической физики. Новосибирск: Наука, 1982. 88 с.

108. Лаврентьев М.М., Романов В.Г., Шишатский С.П. Некорректные задачи математической физики и анализа. М.: Наука, 1980. 286 с.

109. Ланцош К. Практические методы прикладного анализа. М.: Физматгиз, 1961. 524 с.

110. Латтес Р., Лионе Ж.Л. Метод квазиобращения и его приложения. М.: Мир, 1970. 336 с.

111. Леонов В.А. Математическая обработка экспериментальных данных. М.: МАИ, 1975. 104 с.

112. Лехницкий С.Г. Анизотропные пластинки. М.-Л.: Гостехиздат, 1947.354 с.

113. Ли К.Й., Хоссейн С.А. Непрерывный метод идентификации гибких конструкций //Аэрокосмическая техника. 1988. №8. С.66 76.

114. Лисковец О.А. Вариационные методы решения неустойчивых задач. Минск: Наука и техника, 1981. 343 с.

115. Мацевитый Ю.М., Лушпенко С.Ф. Идентификация теплофизиче-ских свойств твердых тел. Киев: Наукова думка, 1990. 213 с.

116. Мартынюк А.А. Техническая устойчивость в динамике. Киев: Техника, 1973. 188 с.

117. Миленький А.В. Классификации сигналов в условиях неопределенности. М. Сов. радио, 1975. 328 с.

118. Моисеев Н.Н. Математические задачи системного анализа. М.: Наука, 1981.488 с.

119. Морозов В.А. Методы регуляризации неустойчивых задач. М.: МГУ, 1987.216 с.

120. Морозов В.А. Регулярные алгоритмы решения некорректно поставленных задач. М.: Наука, 1987. 240 с.

121. Мук Дж. Оценка и идентификация нелинейных динамических систем //Аэрокосмическая техника. 1990. №2. С.44 53.

122. Натурный эксперимент: Информационное обеспечение экспериментальных исследований /А.Н.Белюнов, Г.М.Солодихин, В.А.Солодовников и др.; под ред. Н.И.Баклашова. М.: Радио и связь, 1982. 304 с.

123. Образцов И.Ф., Васильев В.В., Бунаков В.А. Оптимальное армирование оболочек вращения из композиционных материалов. М.: Машиностроение, 1977. 144 с.

124. Одиноков А.Ю. К определению напряженно-деформированного состояния тонкостенной конструкции по деформациям части ее продольных силовых элементов //Вопросы прочности тонкостенных авиационных конструкций. Межвуз. сб. Казань: КАИ, 1987. С.63 68.

125. Одиноков А.Ю. О применении одного варианта соотношений теории тонкостенной конструкции для обработки результатов испытаний летательных аппаратов //Прочность конструкций летательных аппаратов. Межвуз. сб. Казань: КАИ, 1986. С.32 37.

126. Одиноков Ю.Г. Напряжения и деформации в тонкостенных конструкциях переменного сечения //Труды КАИ. 1948. Вып.20. С.З 15.

127. Одиноков Ю.Г. Расчет тонкостенных конструкций типа крыла, фюзеляжа и оперения самолетов //Труды КАИ. 1946. Вып.18. С.39 106.

128. Одиноков Ю.Г., Одиноков А.Ю. К определению нагрузок на тонкостенную конструкцию по параметрам ее напряженно-деформированного состояния //Авиационная техника. 1984. №4. С.53-58. (Изв. высш. учеб. заведений).

129. Пархомовский Я.М. Замечания об определении жесткости балки по заданным деформациям и о решении некоторых интегральных уравнений Вольтерра первого рода//Учен. зап. ЦАГИ. 1987. Т. 18. №5. С. 102 105.

130. Пархомовский Я.М. О двух задачах идентификации, встречающихся при расчетах на прочность //Труды ЦАГИ. 1979. Вып.1999. 16 с.

131. Петров В.Д. Идентификация сложных систем на основе анализа подсистем. В кн.: "Динамика и прочность упругих и гидроупругих систем", М.: Наука, 1975. С.12- 17.

132. Плахтиенко Н. П. Резонансный метод идентификации нелинейных механических колебательных систем //Изв. АН СССР. Механика твердого тела. 1982. №2. С.31 -37.

133. Пугачев B.C. Теория случайных функций и ее применение к задачам автоматического управления. М.: Физматгиз, 1962. 883 с.

134. Пухов Г.Е., Хатинашвилли Ц.С. Критерии и методы идентификации объектов. Киев: Наукова думка, 1979. 190 с.

135. Рабинер Л., Голуд Б. Теория и применение цифровой обработки сигналов. М.: Мир, 1978. 848 с.

136. Раминскас В. Идентификация динамических систем по дискретным наблюдениям. Вильнюс: Мокслсас, 1982. 244 с.

137. Редько С.Ф. К вопросу об идентификации жесткостей и параметров демпфирования механических систем. В кн.: "Нагруженность и динамические качества механических систем", Киев: Наукова думка, 1981. С.165 169.

138. Редько С.Ф., Ушкалов В.Ф., Яковлев В.П. Идентификация механических систем. Киев: Наукова думка, 1985. 216 с.

139. Романов В.Г. Обратные задачи математической физики. М.: Наука, 1984. 263 с.

140. Росин М.Ф., Булыгин B.C. Статистическая динамика и теория эффективности систем управления. М.: Машиностроение, 1981. 312 с.

141. Самарский А.А. Теория разностных схем. М.: Наука, 1977. 655 с.

142. Самарский А.А., Вабищевич П.Н. Разностные методы решения обратных задач математической физики. В кн.: "Фундаментальные основы математического моделирования". М.: Наука, 1997. С.5 97.

143. Сафиуллин Н.З. Анализ стохастических систем и его приложения. Казань. Изд-во Каз. гос. тех. ун-та, 1998. 168 с.

144. Саченков А.В. Теоретико-экспериментальный метод исследования устойчивости пластин и оболочек //Исследования по теории пластин и оболочек. Казань: КГУ, 1970. Вып.6 7. С.391 - 433.

145. Саченков А.В., Сабитов М.З. К теории изгиба и устойчивости ор-тотропных пластин и оболочек //Исследования по теории пластин и оболочек. Казань: КГУ, 1972. Вып.9. С.332 339.

146. Сборовский А.К., Никольский Ю.А., Попов В.Д. Вибрация судов с корпусами из стеклопластика. Л.: Судостроение, 1967. 192 с.

147. Светлицкий В.А. Случайные колебания механических систем. М.: Машиностроение, 1991. 316 с.

148. Селихов А.Ф., Чижов В.М. Вероятностные методы в расчетах прочности самолета. М.: Машиностроение, 1987. 240 с.

149. Серьезнов А.Н. Измерения при испытаниях авиационных конструкций на прочность. М.: Машиностроение, 1976. 224 с.

150. Сиразетдинов Т.К. Методы решения многокритериальных задач синтеза технических систем. М.: Машиностроение, 1988. 158 с.

151. Сиразетдинов Т.К. Оптимизация систем с распределенными параметрами. М.: Наука, 1977. 479 с.

152. Смирнов Н.В., Дунин-Барковский И.В. Курс теории вероятностей и математической статистики для технических приложений. М.: Наука, 1965. 512 с.

153. Степнов М.Н. Статистическая обработка результатов механических испытаний. М.: Машиностроение, 1972. 232 с.

154. Сухарев И.П. Экспериментальные методы исследования деформаций и прочности. М.: Машиностроение, 1987. 216 с.

155. Тарасов Ю.Л., Миноранский Э.И., Дуплякин В.М. Надежность элементов конструкций летательных аппаратов. М.: Машиностроение, 1992. 224 с.

156. Тимошенко С.П., Войновский-Кригер С. Пластинки и оболочки. М.: Физматгиз, 1966. 636 с.

157. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1979. 285 с.

158. Тихонов А.Н., Гончаровский А.В., Степанов В.В. Ягола А.Г. Ре-гуляризуюшие алгоритмы и априорная информация. М.: Наука, 1983. 200 с.

159. Тихонов А.Н., Кальнер В.Д., Гласко В.Б. Математическое моделирование технологических процессов и метод обратных задач в машиностроении. М.: Машиностроение, 1990. 263 с.

160. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Об однородных разностных схемах//ЖВМ и МФ. 1961. Т.1. №1. С.5 63.

161. Тихонов А.Н., Уфимцев М.В. Статистическая обработка результатов экспериментов. М.: МГУ, 1988. 174 с.

162. Торопов М.Ю., Костин В.А. Об уточнении жесткостных характеристик конструкций по результатам прочностного эксперимента //Актуальные проблемы авиационных и аэрокосмических систем. Казань: КГТУ им. А.Н. Туполева. 1999. №1(7). С.71 76.

163. Туманов Ю.А., Лавров В.Ю., Макаров Я.Г. К вопросу идентификации нелинейных механических систем //ПМ. 1981. №9. С. 106 110.

164. Турчак Л.И. Основы численных методов. М.: Наука, 1987. 318 с.

165. Тьюки Дж. Анализ результатов наблюдений. М.: Мир, 1981. 696 с.

166. Уитткер Э., Робинсон Г. Математическая обработка результатов наблюдений. М.: ГТТИ, 1933. 373 с.

167. Фаддеев Д.К., Фаддеева В.Н. Вычислительные методы линейной алгебры. M.-JL: Физматгиз, 1963. 736 с.

168. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. М. Мир, 1967. т.1. 498 е., т. 2. 752 с.

169. Фирсов В.А. Аппарат МКС на основе сплайн-аппроксимации //Актуальные проблемы механики оболочек. Межвуз.сб. Казань: КАИ, 1985. С.124- 132.

170. Фирсов В.А. Дифференцирующие матрицы на основе сплайн-аппроксимации //Прочность тонкостенных авиационных конструкций. Межвуз.сб. Казань: КАИ, 1989. С.53 56.

171. Форсайт Д. Мальколм М. Моулер К. Машинные методы математических вычислений. М.: Мир, 1980. 280 с.

172. Хайруллин М. X. О регуляризации обратной коэффициентной задачи нестационарной фильтрации //Докл. АН СССР. 1988. Т.299. №5. С.1108- 1111.

173. Цирельман Н. М. О корректности аналитического решения обратной задачи теплопроводности. Обратные задачи и идентификация процессов теплообмена: Тез. докл. V Всесоюзного семинара. Уфа: УАИ, 1984. С.83.

174. Цыпкин Я.З. Оптимальные критерии качества в задачах идентификации //Автоматика и телемеханика. 1982. №11. С.5 24.

175. Цыпкин Я.З. Теория импульсных систем. М.: Физматгиз, 1958. 724 с.

176. Шатаев В.Г. К расчету тонкостенных балок в физически-нелинейной постановке //Авиационная техника. 1969. №4. С.51 58. (Изв. высш. учеб. заведений).

177. Эйкхофф П. Основы идентификации систем управления. М.: Мир, 1975.-678 с.

178. Яковлев В.П., Вирабян Г.Б. Разностный аналог модальных моделей в задаче идентификации механических систем. В кн.: "Дискретныеи эргодические системы управления". Киев: Ин-т кибернетики АН УССР, 1983. С.59 66.

179. Belov У., Lavrentjev У. One inverse problem for the heat equation. J. Inverse III-Possed Problems. 1996. V.4. №6. P.499 -511.

180. Neumann J. Various techniques used in connection with random digits. NBS Apll.Math.Series. 1951. №12. P.36 38.

181. Ralman R.E. Design of self-Optimizing Control System. Trans. ASME. 80. №2. 1958. P.468-478.

182. Sanathanan C.K. On the synthesis of space dependent transfer functions. IEEE Trans. Automat. Contr. 1966. AC-14. №4. P.724 729.

183. Stalford H.L. The EBM system identification technique and its application to high a/b modeling of aircraft //AIAA Atoms. Flight. Mech. Conf. Mass. 1981. P.619 625.