Разработка методов решения обратных задач строительной механики для элементов конструкций, взаимодействующих с упругим основанием тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.23.17, кандидат наук Островский, Константин Игоревич

• Островский, Константин Игоревич
• кандидат наук
• 2015

Оглавление диссертации кандидат наук Островский, Константин Игоревич

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение

Глава 1. Обратные задачи идентификации характеристик и оценки механического состояния конструкций и методы их решения

1.1. Обратные задачи в проблемах мониторинга и диагностики механического состояния конструкций. Общая характеристика

1.2. Математические подходы к решению обратных задач

1.3. Пример, демонстрирующий неустойчивость обратных задач и эффект регуляризации

1.4. Обзор применений математических методов к обратным задачам мониторинга и механики конструкций

1.5. Конструкции на упругом основании. Модели основания. Обратные задачи

1.6. Выводы по главе 1

Глава 2. Метод дополнительных нагрузок для решения задач реконструкции механического состояния системы балка-неоднородное упругое основание

2.1. Континуальная формулировка

2.2. Конечномерная формулировка обратной задачи

2.3. Процедуры регуляризации

2.4. Результаты решения модельных задач

2.5. Выводы по главе 2

Глава 3. Постановка и решение задач идентификации

3.1. Идентификация распределения коэффициента упругости основания

3.2. Идентификация подвижек основания

3.3. Идентификация сосредоточенных нагрузок

3.4. Выводы по главе 3

Глава 4. Методы решения обратных физически нелинейных задач

4.1. Упругопластический изгиб балки на упругом основании

4.2. Методы учета одностороннего сопротивления основания

4.3. Обратная задача об изгибе железобетонной балки на упругом основании

4.4. Обратная задача об изгибе тонкостенной трубы с учетом овализации сечения

4.5. Выводы по главе 4

Основные результаты и выводы

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Разработка методов решения обратных задач строительной механики для элементов конструкций, взаимодействующих с упругим основанием»

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы. Многие ответственные инженерные сооружения в процессе эксплуатации взаимодействуют с упругими основаниями. К конструкциям такого типа относятся, например, трубопроводы на грунтовом основании, фундаменты зданий и сооружений, железнодорожные пути, морские конструкции и др. Важным вопросом проектирования конструкций на упругом основании является адекватный учет свойств основания и его влияния на конструкцию. В процессе эксплуатации механические свойства основания могут претерпевать существенные изменения (вследствие таких процессов, как оттаивание грунта, появление зон вымыва, образование карстовых провалов), что естественным образом оказывает влияние на напряженно-деформированное состояние элементов конструкции, ее прочность и долговечность. Для контроля актуального механического состояния ответственных сооружений применяются системы технического мониторинга, сопровождающие эксплуатацию на всех стадиях жизненного цикла. Для выявления поврежденных элементов, определения причин аварий и непроектных ситуаций проводятся натурные обследования. Эти технические процедуры порождают множество актуальных проблем, решение которых может быть получено методами строительной механики.

Задачи, связанные с обработкой данных мониторинга и натурных обследований, как правило, являются обратными. Они требуют применения специальных математических подходов для своего решения, в частности методов регуляризации [31, 48, 80, 138]. Информация, получаемая при натурных обследованиях, дискретна и обычно представляет собой наборы данных о геометрических изменениях (перемещениях или деформациях) конструкции, характеризующиеся малым объемом и невысокой точностью. Эти особенности необходимо учитывать при разработке методов определения механического состояния конструкций по данным измерений.

В области вычислительной механики в последние годы наблюдается повышенный интерес к применению методов решения обратных задач для ме-

ханических систем различных типов. Рассматриваются задачи идентификации и уточнения нагрузок [21, 78, 105, 126, 132], идентификации жесткост-ных параметров конструкций [18, 19, 70, 100, 120], выявления повреждений [109, 113, 140, 141] и другие. В то же время обратные задачи для конструкций на упругом основании (в том числе протяженных и технически сложных) исследованы недостаточно [26, 106], существующие подходы требуют развития в целях широкого практического применения. Обнаруживается множество нерешенных проблем, связанных с выбором оптимальных схем измерений при натурных обследованиях, учетом нелинейного характера деформирования конструкций, применимостью различных методов регуляризации и других. В этой связи разработка методов, позволяющих в рамках единого подхода рассматривать широкий спектр задач определения механического состояния и идентификации параметров конструкций на основе информации о геометрических изменениях, представляется важной и актуальной научно-технической проблемой.

Степень разработанности проблемы. Основные свойства обратных задач строительной механики изучались, и подходы к их решению разрабатывались в работах отечественных и зарубежных ученых: Ватульяна А.О.[9], Травуша В.И.[55], Пархомовского Я.М.[34], Стивенса К. (Stevens К.)[133], Старки Дж. (Starkey J.)[132] и др. Статические обратные задачи реконструкции нагрузок и идентификации механических характеристик для конструкций на упругом основании исследовались Семеновым А.С.[25, 26, 41], Могу-чевой Т.А.[30], Джангом Т.С. (Jang Т. S.)[106]. Вместе с тем, данная область требует дальнейшей разработки как в плане развития общей методологии формулировки обратных задач для элементов конструкций, взаимодействующих с упругим основанием, так и в плане создания численных методов расчета (включая процедуры регуляризации) при условиях, накладываемых практикой натурных обследований конструкций в отношении объемов и степени неопределенности входной информации.

Целью диссертационной работы является разработка эффективных численных методов определения механического состояния и идентификации параметров систем конструкция-упругое основание по данным о перемещениях конструкции, полученным в результате измерений, при линейном и физически нелинейном характерах деформирования.

Для достижения поставленной цели в работе решаются следующие задачи:

1. Аналитический обзор существующих отечественных и зарубежных подходов решения обратных задач строительной механики.

2. Обратная задача об определении актуального механического состояния конструкции балочного типа на упругом основании на основе дискретной ограниченной информации о непроектных геометрических изменениях (перемещениях) конструкции.

3. Решение задач идентификации распределения неоднородного коэффициента упругости основания и самопроизвольных подвижек поверхности контакта.

4. Разработка метода реконструкции системы сосредоточенных и распределенных нагрузок для балки на упругом основании.

5. Разработка метода решения обратной задачи упругопластическо-го изгиба балки на упругом основании.

6. Применение разработанного подхода к обратной задаче об изгибе железобетонной балки на упругом основании.

7. Применение разработанного подхода к обратной задаче изгиба тонкостенной трубы с учетом овализации сечения.

Научная новизна работы:

1. Сформулирована обратная задача об определении актуального механического состояния и идентификации характеристик системы балка -упругое основание с использованием ограниченных дискретных совокупностей данных о непроектных геометрических изменениях (перемещениях) при наличии погрешностей измерений.

2. Разработан численно-аналитический метод эффективных (дополнительных) нагрузок, позволяющий применять широкий спектр типов аппроксимации решения и конструировать дискретные схемы применительно к конкретным классам задач.

3. Дано обобщение численно-аналитического метода для решения физически нелинейных (упругопластических) обратных задач изгиба балок на упругом основании.

4. Показана применимость разработанного подхода к обратным задачам изгиба железобетонных балок и тонкостенных труб на упругом основании.

Теоретическая значимость работы состоит в методологии постановки обратных задач об определении механического состояния и идентификации характеристик системы балка - упругое основание и разработке численных методов их решения при линейном и физически нелинейном характере деформирования.

Практическая значимость. Разработанный метод может применяться: при решении практических задач оценки механического состояния конструкций, взаимодействующих с упругими основаниями; для определения параметров расчетных моделей конструкций по данным экспериментов или натурных измерений; при разработке методик проведения натурных обследований; при разработке программного обеспечения для систем технического мониторинга. Представленные в работе модельные задачи могут быть использованы для верификации альтернативных подходов.

Методологическую основу диссертационного исследования составляют:

- методы и модели строительной механики;

- методы теории некорректных задач;

- методы вычислительного эксперимента.

Внедрение. Разработанные методы и реализующее их программное обеспечение применяются в «Научно-исследовательском центре «СтаДиО» и

«Московском городском центре по исследованию физико-механических свойств конструкционных материалов «ОАО Мосгаз» для оценки механического состояния магистральных и сетевых трубопроводов.

Личный вклад соискателя в решение исследуемой проблемы заключается в конкретизации задач исследования, разработке численных методов решения поставленных задач, проведении верификации применяемых вычислительных процедур. Все результаты, представленные в диссертации, получены соискателем лично в процессе его научной деятельности.

На защиту выносятся:

- метод эффективных (дополнительных) нагрузок для определения механического состояния и идентификации условий нагружения и характеристик системы балка-упругое основание с использованием ограниченных дискретных совокупностей данных о геометрических изменениях (перемещениях);

- модификация метода для решения задачи идентификации самопроизвольных подвижек контактной поверхности;

- модификация метода для решения обратной задачи декомпозиции распределенных нагрузок и систем сосредоточенных сил;

- результаты решения модельных задач, подтверждающие эффективность метода в широком диапазоне параметров исследованных систем и в условиях малых объемов и неточности входной информации;

- метод решения обратной задачи о реконструкции нагрузок при упругопластическом характере сопротивления материала балки;

- приложения метода к обратным физически нелинейным задачам изгиба железобетонных балок и тонкостенных труб с учетом овализации сечения.

Достоверность полученных результатов обеспечивается

- строгим применением методологии теории некорректных задач и верифицированных численных методов (метод взвешенных невязок, метод конечных элементов в форме метода перемещений);

- сравнительным анализом решений серии модельных задач с эталонными решениями.

Апробация работы. Результаты работы доложены на следующих научных конференциях:

- XVII Международной научно-технической конференции студентов и аспирантов «Радиоэлектроника, Электротехника и Энергетика» (Москва, МЭИ, 2011 г.);

- XXIV Международной конференции «Математическое моделирование в механике деформируемых сред и конструкций. Методы граничных и конечных элементов» (Санкт-Петербург, СПбГАСУ, 2011 г.);

- XVIII Международной научно-технической конференции студентов и аспирантов «Радиоэлектроника, Электротехника и Энергетика» (Москва, МЭИ, 2012 г.);

- IV Международном симпозиуме «Актуальные проблемы компьютерного моделирования конструкций и сооружений» (Челябинск, ЮУрГУ, 2012 г.);

- XXV Международной конференции «Математическое моделирование в механике деформируемых сред и конструкций. Методы граничных и конечных элементов» (Санкт-Петербург, СПбГАСУ, 2013 г.);

- V Международном симпозиуме «Актуальные проблемы компьютерного моделирования конструкций и сооружений» (Иркутск, ИрГТУ, 2014

г.);

- Всероссийской научной конференции «Обратные краевые задачи и их приложения», посвященной 100-летию со дня рождения проф. М.Т. Ну-жина (Казань, КГУ, 2014 г.);

- на регулярных научных семинарах НОЦ компьютерного моделирования уникальных зданий, сооружений и комплексов МГСУ и Научно-исследовательского центра «СтаДиО» (под руководством члена-корреспондента PAACH A.M. Белостоцкого).

Публикации. Основные результаты диссертации изложены в 9 работах, из них 3 опубликованы в изданиях перечня ВАК.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, основных выводов, списка литературы (143 наименования, в том числе - 84 на иностранных языках), 72 рисунков и 26 таблиц.

Во введении приводится обоснование актуальности работы, определены проблемы, цели и задачи исследований, перечислены основные научные и практические результаты, кратко изложено содержание диссертации по главам.

В первой главе дается общая характеристика обратных задач определения механического состояния и идентификации параметров конструкций на основе данных мониторинга и натурных обследований. Рассмотрены основные математические подходы к решению обратных задач. Представлен библиографический обзор применения методов регуляризации к задачам механики конструкций.

Во второй главе формулируется обратная задача об определении механического состояния балочного конструктивного элемента, взаимодействующего с упругим основанием винклеровского типа, на основе дискретной ограниченной информации о перемещениях балки. Излагаются основные положения численно-аналитического метода эффективных (дополнительных) нагрузок. Приводятся результаты верификации метода, полученные при решении ряда модельных задач. Исследуется влияние на точность и информативность решений объема и погрешности входной информации, типа используемых аппроксимирующих функций, а также эффективность различных процедур регуляризации. Для ряда модельных задач проводится сопоставление разработанного подхода с методом сглаживающей сплайн-аппроксимации.

В третьей главе рассматриваются некоторые характерные постановки задач идентификации, решаемых в рамках метода эффективных (дополнительных) нагрузок. Приведены результаты решения задач об определении ко-

эффициента упругости неоднородного основания, самопроизвольных подвижек контактной поверхности основания, а также результаты решения задачи декомпозиции распределенной нагрузки и системы сосредоточенных сил.

Четвертая глава посвящена формулировке и разработке метода решения обратных физически нелинейных задач. Предложен итерационный метод ньютоновского типа для решения обратной задачи об изгибе упругопласти-ческой балки на упругом основании. Рассмотрен аспект учета одностороннего сопротивления основания при решении обратных задач. Представлены результаты применения разработанного метода к обратным задачам определения механического состояния элементов конструкций из железобетона и труб большого диаметра с учетом овализации сечений при деформировании.

Основные выводы по отдельным главам обобщены в заключении.

ГЛАВА 1. ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ ИДЕНТИФИКАЦИИ ХАРАКТЕРИСТИК И ОЦЕНКИ МЕХАНИЧЕСКОГО СОСТОЯНИЯ КОНСТРУКЦИЙ И МЕТОДЫ ИХ РЕШЕНИЯ

1.1. Обратные задачи в проблемах мониторинга и диагностики механического состояния конструкций. Общая характеристика

Многие задачи, возникающие при мониторинге и натурных обследования конструкций, могут рассматриваться как обратные [60]. Например, определение действующей на конструкцию нагрузки, вызывающей измеряемые инструментально перемещения или деформации, идентификация параметров жесткости и выявление поврежденных элементов конструкции по спектру ее собственных частот и форм, идентификация остаточного напряженного состояния или граничных условий. Такие задачи обычно характеризуются малым объемом и невысокой точностью входной информации и требуют использования специальных математических подходов для решения.

Понятия «прямых» и «обратных» задач существуют в науке достаточно давно, тем не менее, классификация конкретной рассматриваемой проблемы по данному признаку не всегда очевидна. Определяющими критериями здесь являются соотношение «причина-следствие», а также наблюдаемость или ненаблюдаемость искомых параметров в физическом эксперименте. Так пусть т - вектор параметров некоторой физической модели, а (1 - вектор ее характеристик (проявлений), которые могут быть получены в эксперименте (например, прогибы или частоты собственных колебаний). Задача определения характеристик (I по известным параметрам модели ш называется прямой

П1->(1 = §(ш),

где g(•) - так называемый прямой оператор, описывающий рассматриваемую

физическую модель. К данному классу относятся многие классические задачи механики деформируемого твердого тела. Для большинства прямых задач детально разработаны методы решения, доказаны теоремы существования и единственности.

Обратная задача возникает, когда по полученным в результате эксперимента характеристикам и требуется определить с достаточной точностью параметры ш физической модели, которая может привести к заданным проявлениям

с1->п^-1(с1),

где g~1 (•) - обратный оператор.

Во многих случаях интуитивно понятно, что искомая модель может быть неединственной или же может не существовать ни одной модели в точности удовлетворяющей экспериментальным данным с!, и для выделения интересующего исследователя набора параметров ш необходимо включать в процедуру решения задачи некоторую дополнительную априорную информацию.

В математике задачи данного типа относят к классу некорректных, т.е. не удовлетворяющих хотя бы одному из условий корректности, сформулированных в начале XX века французским математиком Ж. Адамаром для задач математической физики [93]:

1) существование решения;

2) единственность решения;

3) непрерывная зависимость решения от входных данных. Последнее условие обеспечивает устойчивость решения к малым возмущениям входных данных.

Многие обратные задачи (в частности, все рассматриваемые в данной работе) могут быть сформулированы в виде интегрального уравнения Фред-

гольма первого рода

ъ

= и(х), а<х<Ь, (1.1)

а

где - ядро уравнения, - искомая неизвестная функция, которую

требуется определить на отрезке [а; Ь], и(х) - правая часть (заданная функ-

ция). Неустойчивость уравнения (1.1) по отношению к малым возмущениям правой части показана, например, в [48].

Свойства уравнений Фредгольма первого рода и методы их решений рассмотрены в работах [27, 59, 111, 112].

1.2. Математические подходы к решению обратных задач

Будем рассматривать некоторую обратную задачу как операторное уравнение

Az = u (1.2)

где А: Z -» U - линейный компактный оператор (например, интегральный, как в (1.1)), U, Z - гильбертовы пространства, и eU, z eZ.

1.2.1. Поиск решения в компактном множестве

Одним из первых подходов к решению некорректных задач, предложенным А.Н. Тихоновым в 1943 г. [47], является поиск решения на некотором компактном подмножестве Q множества решений Z. Данное подмножество предполагается вводить, основываясь на имеющихся представлениях о свойствах искомого решения (априорной информации). При такой постановке задача становится условно корректной (корректной по Тихонову), т.е. для нее выполняются следующие требования [28, 47]:

1) известно, что решение задачи (1.2) существует и принадлежит заданному множеству Q;

2) оператор А взаимооднозначно отображает Q на AQ, т.е. решение единственно;

3) обратный оператор А'1 непрерывен на AQ с U.

Таким образом, для условно корректной задачи требования корректности по Адамару накладываются лишь на подмножество Q полного множества решений Z, называемое множеством корректности.

Примером компактного множества является отрезок действительной оси [а; Ь<], где а, Ъ - действительные числа. В пространстве функций компактным

подмножеством будет, например, множество функций ограниченных вместе с первой производной.

Ограничением данного подхода является необходимость введения достаточно сильных предположений о свойствах искомого решения, что не всегда возможно на практике. Также он приводит к необходимости решения задач условной оптимизации. Поэтому на практике при решении обратных задач обычно применяются методы регуляризации (регуляризующие алгоритмы).

1.2.2. Понятие регуляризующего алгоритма. Вариационный метод Тихонова

Понятие регулярнзующего алгоритма (оператора) было введено А.Н. Тихоновым в 1963 г. [50]. При решении задачи (1.2) обратный оператор А'1 заменяется т.н. регуляризующим Я(из, <5, а), который зависит от известных данных из, уровня их погрешности 3 и набора параметров а. Регуляризующий оператор должен давать решение гз, непрерывно зависящее от входных данных щ

га5 = К{и3,5,а), ||мг - н||/||й|| ^б, С1 -3)

где й - точная правая часть уравнения (1.2), которая неизвестна.

Метод регуляризагрш Тихонова (в вариационной форме) [48, 80] заключается в замене уравнения (1.2) на задачу минимизации функционала

штМа(г) = гат ||Л;?-н||22+а2-О(г)] (1.4)

где О(^) - т.н. стабилизатор (стабилизирующий функционал), выражающий

априорную информацию о качественных характеристиках искомого решения (например, гладкости), а - параметр регуляризации, количественно задающий соотношение между требованиями соответствия решения входным данным и удовлетворения желаемым характеристикам (априорной информации).

Для выпуклого функционала задача минимизации (1.4) эквива-

лентна уравнению Эйлера

А*Аг + аг = А*и, (1.5)

где А* - сопряженный оператор.

Ключевыми вопросами в реализации метода Тихонова, которым посвящено множество исследований, являются выбор вида стабилизирующего функционала, наиболее отвечающего свойствам конкретной задачи, и критерии выбора оптимального значения параметра регуляризации.

1.2.3. Виды стабилизаторов

Наиболее часто на практике используются стабилизаторы, имеющие вид нормы искомой функции в определенном функциональном пространстве. Так для пространства ¿2 функций интегрируемых с квадратом

П(г) = \\г\\2\ (1.6)

Стабилизатор также может быть выбран как норма в пространстве Соболева

п(г)=И1„2=¡{Н4 +|*(и) о-?)

что усиливает требования гладкости искомой функции.

Кроме того применяются стабилизаторы, представляющие собой норму производной искомой функции

П(г) = \\Ор2 2 (1.8)

йр

где £) =- - оператор дифференцирования р-го порядка (при численном

с1хр

решении обычно представляется в виде матрицы).

В задачах восстановления изображений и некоторых других, где интерес представляет положительное решение, используется стабилизатор в форме максимальной энтропии [131]

ь

= (1.9)

а

где и>(х) - весовая функция.

Для поиска негладких разрывных решений может применяться стабилизатор в форме полной вариации (нормы в пространстве Ь{) [86]:

Q (z) =

dz 2 Ь _ f dz

dx 'J 1 а dx

dx. (1.10)

Метод регуляризации (Total variation regularization), основанный на использовании стабилизаторов типа (1.10), сформировался в области восстановления изображений, где искомое распределение часто имеет блочную структуру [72]. В последние годы он также находит применение в ряде задач из других областей, в том числе в механике конструкций [126].

1.2.4. Критерии выбора параметра регуляризации

Критерии выбора параметра регуляризации в методе Тихонова (1.4) в литературе принято классифицировать [48, 80] как априорные, работающие для любой правой части из, и апостериорные, формулируемые для конкретной правой части. Априорные критерии важны с точки зрения построения теории некорректных задач, однако мало применимы на практике, поскольку требуют информацию о норме точного решения [80], которая обычно недоступна.

Апостериорные критерии можно разделить на использующие информацию об уровне погрешности данных 8, которые могут быть сформулированы как

a = a{us,8),

и не использующие (error-free)

a = a(iig).

Для апостериорных критериев первого типа доказана сходимость соответствующих методов регуляризации (т.е. сходимость регуляризованного решения к точному при стремлении погрешности данных к нулю) и получены оценки оптимальности методов [48]. Наиболее распространен критерий по невязке [31], когда параметр регуляризации выбирается из условия

I\Aza -Щ\ = С5,

где га - Я(и§,а) - решение, полученное с помощью регуляризации, С > 1.

В случаях, когда уровень погрешности данных неизвестен или не может быть оценен с достаточной точностью, могут применяться критерии второго типа. К ним относятся методы Ь-кривой, кросс-валидации, квазиоптимизации параметра регуляризации и некоторые другие. Для этих методов сходимость математически не доказана. Тем не менее, во многих практических задачах они работают достаточно эффективно.

Ь-кривая [96] представляет собой график зависимости нормы решения ¡2а| от нормы невязки \Ага -иё||. Построенная в логарифмическом масштабе, данная зависимость в большинстве случаев имеет характерный вид (рис. 1.1) с достаточно выраженной точкой перегиба (угол Ь-кривой). Соответствующий этой точке параметр регуляризации может быть принят как оптимальный. Ь-кривая также весьма полезна для анализа метода Тихонова и других методов регуляризации, поскольку наглядно показывает соотношение погрешности решения, вызванной неточностью данных (неустойчивостью), и погрешности регуляризации. В точке перегиба обеспечивается баланс этих составляющих погрешности решения.

влияние погрешности

данных

влияние регуляризации

¥

Рис. 1.1. Типичный вид Ь-кривой

В методе квазиоптимизации параметр регуляризации выбирается из условия

dz„

а* = argmin

da

(1.11)

т.е. исследуется устойчивость решения по отношению к вариациям данного параметра. Метод был предложен в [51]. Обоснование его для некоторых классов задач содержится в [29].

Метод обобщенной кросс-валидации (generalized cross-validation) подбирает параметр регуляризации таким образом, чтобы соответствующее решение не сильно менялось при исключении из вектора входных данных отдельных элементов [97]. Для матричного оператора А [т*п] минимизируется функционал вида

G(a) =

I\Aza ~US\\2

а'

{ггасе{1т-АА*))

где 1т - единичная матрица [т*т], Ап - регуляризованная матрица,

. ) - след матрицы (сумма диагональных элементов). Данный подход

нашел широкое применение в области машинного обучения и некоторых других областях, где характерны большие объемы входной информации.

1.2.5. Некоторые другие прямые методы регуляризации Существуют другие прямые методы регуляризации, используемые для решения частных задач. Кратко рассмотрим некоторые из них.

Метод Лаврентьева [27] применим к задачам с самосопряженным оператором А и заключается в замене уравнения (1.2) близким ему корректным по Адамару

Аг + аг = и, (1-12)

где а - малый параметр. Например, для интегральных уравнений это означает переход от уравнения Фредгольма первого рода к уравнению второго рода, постановка которого, как известно, является корректной.

В основе регуляризации методом проекций [80] лежит тот факт, что переход от исходных бесконечномерных пространств в уравнении (1.2) к конечномерным имеет регуляризующий эффект тем более сильный, чем меньше размерности новых пространств. Следует отметить, что данный эффект неявно используется при численном решении обратных задач, поскольку оно обычно связано с дискретизацией исходных континуальных постановок.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Островский, Константин Игоревич, 2015 год

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Арсенин В. Я., Крянев А. В. Обобщенный метод максимального правдоподобия решения конечномерных некорректных задач. // Ж. вычисл. ма-тем. и матем. физ., 1991, Т. 31, №5. - с. 643-653.

2. Ахтямов A.M. Теория идентификации краевых условий и ее приложения. - М.: Физматлит, 2009. - 265 с.

3. Баженов В. Г. Математическое моделирование и методы идентификации деформационных и прочностных характеристик материалов. // Физическая Мезомеханика, 2007, Т. 10, №5. - с. 91-105.

4. Бакушинский А. Б., Гончарский А. В.. Некорректные задачи. Численные методы и приложения. - М.: Изд-во Моск. ун-та, 1989. - 199 с.

5. Бендат Дж., Пирсол А. Прикладной анализ случайных данных. - М.: Мир, 1989.-540 с.

6. Вайникко Г. М., Веретенников А. Ю. Итерационные процедуры в некорректных задачах. - М.: Наука, 1986. - 182 с.

7. Васин В. В., Агеев А. Л. Некорректные задачи с априорной информацией. - Екатеринбург: УИФ «Наука», 1993. - 264 с.

8. Васин В.В. Методы итеративной регуляризации для некорректных задач. // Изв. вузов. Матем., 1995, № 11. - с. 69-84.

9. Ватульян А. О. Обратные задачи в механике деформируемого твердого тела. - М.: Физматлит, 2007. - 224 с.

10. Власов В.Л., Леонтьев H.H. Балки, плиты и оболочки на упругом основании. - М.: Гос. изд-во физ.-мат. литературы, 1960. - 491 с.

11. Воскобойников Ю. Е. Устойчивые методы и алгоритмы параметрической идентификации. - Новосибирск: Изд-во НГАСУ, 2006. - 181 с.

12. Горбунов-Посадов М.И., Маликова Т.А. Расчет конструкций на упругом основании. - М.: Стройиздат, 2-е изд., 1973. - 628 с.

13. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. - М.: Мир, 1975. -511 с.

14. Зенкевич О., Морган К. Конечные элементы и аппроксимация: Пер. с англ. - М.: Мир, 1986. - 160 с.

15. Иванов В.К., Васин В.В., Танана В.П. Теория линейных некорректных задач и ее приложения. - М.: Наука, 1978. - 206 с.

16. Калиткин И.И. Численные методы. - М.: Наука, 1977. - 440 с.

17. Качанов J1.M.. Основы теории пластичности. - М.: Наука, 1969. - 420 с.

18. Каюмов P.A. Расширенная задача идентификации механических характеристик материалов по результатам испытаний конструкций. // Изв. РАН МТТ, 2004, №2. - С. 94-103.

19. Каюмов P.A., Гусев C.B., Нежданов Р. О. Прямые и обратные задачи расчета слоистых оболочечных конструкций. - Казань. Изд. КГЭУ, 2004. -180 с.

20. Костин В.А. Решение обратных дача прочности тонкостенных конструкций летательных аппаратов. Диссертация на соискание ученой степени доктора технических наук. Казань: КАИ, 2002 - 324 с.

21. Костин В.А., Снегуренко А.П. К вопросу уточнения внешней нагрузки по заданным деформациям // Вестник КГТУ им. А.Н.Туполева, 1999, №4. -с. 3 - 8.

22. Кузнецов С.Ф., Островский К.И. Определение напряженного состояния протяженных элементов конструкций, взаимодействующих с упругим основанием // Справочник. Инженерный журнал, 2014, №10. - с. 11-18.

23. Кузнецов С.Ф., Островский К.И. Реконструкция напряженного состояния протяженной системы «балка-упругое основание» по данным натурных обследований. // Строительная механика и расчет сооружений, 2014, №4. -с. 18-24.

24. Кузнецов С.Ф., Островский К.И., Семенов A.C. Метод дополнительных нагрузок для решения задач реконструкции механического состояния и идентификации характеристик системы балка - неоднородное упругое основание // Справочник. Инженерный журнал, 2013, №5. - с. 28-36.

25. Кузнецов С.Ф., Семенов A.C. Идентификация областей нулевой реакции для системы балка - неоднородное упругое основание // Справочник. Инженерный журнал, 2012, №10. - с. 13-17.

26. Кузнецов С.Ф., Семенов A.C. Метод определения механического состояния конструкций, взаимодействующих с неоднородным грунтовым основанием // Справочник. Инженерный журнал, 2012, №3. - с. 23-28.

27. Лаврентьев М. М. Об интегральных уравнениях первого рода. // Докл. Ак. наук СССР, 1959, Т. 127, №1. - с. 31-35.

28. Лаврентьев М.М. О некоторых некорректных задачах математической физики. - Новосибирск: Наука, 1962. - 96 с.

29. Леонов A.C. К обоснованию выбора параметра регуляризации по критериям квазиоптимальности и отношений. // Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1978, Т. 18, №6.-с. 1363-1376.

30. Могучева Т.А. Разработка методов определения жесткостных характеристик грунтового основания по результатам испытания эталонных свай и балочных штампов. Диссертация на соискание ученой степени доктора технических наук. Уфа: УГНТУ. - 137 с.

31. Морозов В.А. Методы регуляризации неустойчивых задач. - М.: МГУ, 1987.-217 с.

32. Морозов В.А., Гребенников А.И. Методы решения некорректно поставленных задач: алгоритмический аспект. - М.: Изд-во МГУ, 1992. - 320 с.

33. Надаи. Пластичность и разрушение твердых тел, том 1. - М.: ИЛ, 1954. -648 с.

34. Пархомовский Я.М. Замечания об определении жесткости балки по заданным деформациям и о решении некоторых интегральных уравнений Вольтерра первого рода // Ученые записки ЦАГИ, 1987, т.18, №5. - с. 102 - 105.

35. Пастернак П.Л. Основы нового метода расчета фундаментов на упругом основании при помощи двух коэффициентов постели. - М.: Госстройиз-дат, 1954.-54 с.

36

37

38

39

40

41

42

43

44

45,

46

47

48.

49

Петровский A.B., Чирков В.П. Оценка несущей способности участков магистрального газопровода. // Проблемы ресурса газопроводных конструкций, М.: ВНИИГАЗ, 1995. - с. 40-49.

Постнов В.А. Использование метода регуляризации Тихонова для решения задач идентификации упругих систем. // Изв. РАН МТТ, 2010, № 1. — с. 64-71.

Прочность, устойчивость, колебания. Справочник в 3-х томах. Под ред. Биргера И.А., Пановко Я.Г. // М.: Машиностроение. 1968. Рабинович С.Г. Погрешности измерений. - Л.:Энергия, 1978. - 262 с. Райе Дж. Матричные вычисления и математическое обеспечение - М.: Мир. 1984.-264 с.

Семенов A.C. Определение механического состояния элементов конструкций, взаимодействующих с неоднородным упругим основанием, и родственные задачи идентификации. Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук. М.: МЭИ, 2012 - 147 с. СП 63.13330.2012. Бетонные и железобетонные конструкции. Актуализированная редакция СНиП 52-01-2003. Мин. per. разв. РФ, 2012. Стренг Г. Линейная алгебра и ее применения. - М.: Мир. 1980. - 459 с. Теребиж В. Ю. Введение в статистическую теорию обратных задач. - М.: Физматлит, 2005. - 375 с.

Тимошенко С.П. Сопротивление материалов. - М.: Наука, 1965, Т.1. -364 с.

Тимошенко С.П., Гудьер Дж. Теория упругости. - М.гНаука, 2-е изд. 1979.-560 с.

Тихонов А. Н. Об устойчивости обратных задач. // ДАН СССР, 1943, Т. 39, №5-с. 195-198.

Тихонов А. Н., Арсенин В. Я. Методы решения некорректных задач. -М.: Наука, 1979.-284 с.

Тихонов А. Н., Гончарский А. В., Степанов В. В., Ягола А. Г. Численные методы решения некорректных задач. - М.: Наука, 1990. - 230 с.

50. Тихонов А.Н. О решении некорректно поставленных задач и методе регуляризации. // ДАН СССР, 1963, Т. 151, №3 - с. 501-504.

51. Тихонов А.Н., Гласко В.Б. О приближенном решении интегральных уравнений Фредгольма первого рода. // ЖВМ и МФ, 1964, Т. 4, №3. - с. 564-571.

52. Тихонов А.Н., Гончаровский A.B., Степанов В.В. Ягола А.Г. Регуляри-зуюшие алгоритмы и априорная информация. - М.: Наука, 1983. - 200 с.

53. Тихонов А.Н., Кальнер В.Д., Гласко В.Б. Математическое моделирование технологических процессов и метод обратных задач в машиностроении. - М.: Машиностроение, 1990. - 264 с.

54. Тихонов А.Н., Уфимцев М.В. Статистическая обработка результатов экспериментов. - М.: МГУ, 1988. - 174 с.

55. Травуш В.И., Цейтлин А.И. О решении некоторых обратных задач для стержней. // Строительная механика и расчет сооружений, 1971, № 6 - с. 28-34.

56. Тьюки Дж. Анализ результатов наблюдений. // М.: Мир, 1981. - 696 с.

57. Филоненко-Бородич М.М. Простейшая модель упругого основания, способная распределять нагрузку. // Сб. трудов МЭМИИТ, вып.53, 1945. - с. 42-49.

58. Фимкин А.И. Использование методов решения некорректных задач для определения остаточных напряжений. Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук. Москва. 2013 - 24 с.

59. Фридман В.М. Метод последовательных приближений для интегрального уравнения Фредгольма первого рода. // Успехи математических наук, 1956, Т. 11, № 1. - с. 233-234.

60. Adams D. Е. Health monitoring of structural materials and components: methods with applications. - John Wiley & Sons, 2007 - 476 pages.

61. Adams R. A., Doyle J.F. Multiple force identification for complex structures. // Experimental Mechanics, 2002, vol. 42, №1. - pp. 25-36.

62. Ahmadian H., Mottershead J. E., Friswell M. I. Régularisation methods for finite element model updating. // Mechanical Systems and Signal Processing, 1998, vol. 12, №1.-pp. 47-64.

63. Alves C. J. S., Ha-Duong T. Inverse scattering for elastic plane cracks. // Inverse Problems, 1999, vol. 15. - pp. 91-97.

64. Andrieux S., Abda B. A., Bui H. D. Reciprocity principle and crack identification. // Inverse Problems, 1999, vol. 15. - pp. 59-65.

65. Avdonin S. A., Medhin N. G., Sheronova T. L. Identification of a piecewise constant coefficient in the beam equation. // Journal of Computational and Applied Mathematics, 2000, vol. 114, №1.-pp. 11-21.

66. Avitabile P. Model-updating - endless possibilities. // Sound and Vibration, 2000, vol. 34 (9). - pp. 20-28.

67. Axelsson O. Iterative solution methods. - Cambridge, UK, Cambridge University Press, 1996. - 672 pages.

68. Backus G.E., Gilbert J.F. The resolving power of gross earth data. // Geophysical Journal of the Royal Astronomical Society, 1968, vol.16, - pp. 169-205.

69. Ballard P., Constantinescu A. On the inversion of subsurface residual stresses from surface stress measurements. // J. Mech. Phys. Solids, 1994, vol. 42. -pp. 1767-1788.

70. Bonnet M., Constantinescu A. Inverse problems in elasticity. // Inverse Problems, Institute of Physics: Hybrid Open Access, 2005, №21. - pp. R1-R50.

71. Cardi A. A., Adams D. E., Walsh S. Ceramic body armor single impact force identification on a compliant torso using acceleration response mapping. // Structural health monitoring, 2006, vol.5, №4 - pp. 355- 372.

72. Chan T. F., Golub G. H., Mulet P. A nonlinear primal-dual method for TV-based image restoration. // SIAM Journal on Scientific Computing, 1999, vol. 20.-pp. 1964-1977.

73. Chen S., Geradin M. Dynamic force identification for beamlike structures using an improved dynamic stiffness method. // Shock and Vibration, 1996, vol. 3(3)-pp. 183-191.

74. Chock J., Kapania R. Load updating for finite element models. // AIAA Journal, 2003, vol. 41 (9)-pp. 1667-1673.

75. de Boor C. A practical guide to splines. - Springer-Verlag, 1978. - 348 pages.

76. Ekstrom M. P., Rhoads R. L. On the application of eigenvector expansions to numerical deconvolution. // J. Comp. Phys., 1974, vol. 14, №4. - pp. 319-340.

77. Eller M. Identification of cracks in three-dimensional bodies by many boundary measurements. // Inverse Problems, 1996, vol.12 (4). - pp. 395^108.

78. Elliott K., Juang J., Robinson J. Force prediction using singular decomposition. // In Proceedings of the 6th International Modal Analysis Conference, 1988.-pp. 1582- 1588.

79. Engl H., Groetsch C. W. Inverse and ill-posed problems. - Orlando, Academic Press, 1987.-559 pages.

80. Engl H.W., Hanke M., Neubaer A. Regularization of inverse problems. -Kluwer Academic Publishers, 1996. - 321 pages.

81. Farshad M., Shaninpoor M. Beams on bi-linear elastic foundations. // Int. J. Mech. Sci., 1972, vol.14.-pp. 441-445.

82. Friswell M.I., Mottershead J.E., Ahmadian H. Finite element model updating using experimental test data: parameterization and regularization. // Philosophical Transactions of the Royal Society of London, 2001, Series A, vol. 359. -pp. 169-186.

83. Friswell, M., J. Mottershead. Finite element model updating in structural dynamics. - Kluwer Academic Publishers, 1995. - 286 pages.

84. Gao Z., Mura T. On the inversion of residual stresses from surface measurements. // ASME, J. Appl. Mech., 1989, vol. 56. - pp. 508-513.

85. Ghasemi M., Ariaei A. Crack detection in Euler-Bernoulli beams on elastic foundation using genetic algorithm based on discrete element technique. // Indian J. Sci. Res, 2014, vol. 1, №2. - pp. 248-253.

86. Giusti E. Minimal surfaces and functions of bounded variation. - Boston, Birkhauser Boston, 1984. - 243 pages.

87. Gladwelly G. Inverse vibration problems for finite-element models. // Inverse problems, 1997, vol. 13 (2). - pp. 311-322.

88. Govindjee S., Mihalic P.A. Computational methods for inverse finite elasto-plastics. // Computer methods in applied mechanics and engineering, Elsevier, 1996, vol. 136.-pp. 47-57.

89. Gregory, D., Priddy, T., Smallwood, D. Experimental determination of the dynamic forces acting on non-rigid bodies. // SAE Technical Paper 861791, 1986.

90. Gunawan F. E., Homma H., Morisawa Y. Impact-force estimation by quadratic spline approximation. // Journal of Solid Mechanics and Materials Engineering, 2008, vol. 2, №8. - pp. 1092-1103.

91. Guo H.-Y., Zhang L., Zhang L.-L., Zhou J.-X. Optimal placement of sensors for structural health monitoring using improved genetic algorithms. // Smart materials and structures, 2004, vol. 13, № 3. - pp. 528-534.

92. Guo X.-L., Li D.-S. Experiment study of structural random loading identification by the inverse pseudo excitation method. // Structural Engineering and Mechanics, 2004, vol. 18, № 6 - pp. 791-806.

93. Hadamard J. Sur les problèmes aux dérivées partielles et leur signification physique. - Bull. Univ. Princeton, 1902, T. 13. - c. 49-52.

94. Hanke M. Accelerated Landweber iterations for the solution of ill-posed equations. //Numer. Math., 1991, vol.60, - pp. 341-373.

95. Hanke M. Conjugate gradient type methods for ill-posed problems. - UK, Longman, Pitman Research Notes in Mathematics, 1995, vol. 327. - 135 pages.

96. Hansen P.C. Analysis of discrete ill-posed problems by means of the L-curve. // SI AM review, 1992. vol. 34, №4. - pp. 561-580.

97. Hansen P.C. Rank-deficient and discrete ill-posed problems: numerical aspects of linear inversion. - Philadelphia: SIAM, 1998. - 263 pages.

98. Hansen P.C. Regularization Tools: A Matlab package for analysis and solution of discrete ill-posed problems. // Numer. Algorithms, 1994, vol.6, №1. - pp. 135.

99. Hansen P.C. The truncated SVD as a method for regularization. // BIT Numerical Mathematics, 1987, vol. 27, №4, - pp. 534-553.

100. Hasanov A., Mamedov A. An inverse problem related to the determination of elastoplastic properties of a plate. // Inverse Problems, 1994, vol. 10 (3). - pp. 601-615.

101. Hashemi R., Kargarnovin M. H. Vibration base identification of impact force using genetic algorithm. // International Journal of Mechanical Systems Science and Engineering, 2007, vol. 1, №4. - pp. 204-210.

102. Hertz H. On the equilibrium of floating elastic plates (in German). // Ann. Phys. Chem., 1884, vol.22, - pp. 449-455.

103. Hetenyi M. Analysis of bars on elastic foundation. // Berlin, Final report of the 2nd Int. Congr. for Bridge and Struct. Eng., 1936.

104. Hetenyi M. Beams on elastic foundation: theory with applications in the fields of civil and mechanical engineering. - Univ. of Michigan Press, 1946. - 255 pages.

105. Jang T. S., Han S. L. Numerical experiments on determination of spatially concentrated time-varying loads on a beam: an iterative regularization method. // The Journal of Mechanical Science and Technology, 2009, vol. 23, № 10. -pp. 2722-2729.

106. Jang T. S., Sung H. G., Han S. L., Kwon S. H. Inverse determination of the loading source of the infinite beam on elastic foundation. // Journal of Mechanical Science and Technology, 2008, vol. 22, № 12. - pp. 2350-2356.

107. Jing Li Inverse problems in structural mechanics. PhD Thesis. Virginia: Virginia Polytechnic Institute, 2005. - 156 p.

108. Johnson C. Identification of unknown, time-varying forces/moments in dynamics and vibration problems using a new approach to deconvolution. // Shock and Vibration, 1998, vol. 5. - pp. 181-197.

109. Kang J. S., Yeo I. H., Lee H. S., Shin S. B. Structural damage detection using modal data with regularization technique. // Seoul (Korea), Proceedings of the Korean Nuclear Society autumn meeting, 1999.

110. Kress R. Inverse elastic scattering from a crack. // Inverse Problems, 1996, vol. 12, №5-pp. 667-684.

111. Kress R. Linear integral equations. - Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 1989.-300 pages.

112. Landweber L. An iteration formula for Fredholm integral equations of the first kind. // American Journal of Mathematics, 1951, vol. 73, №3. - p. 615-624.

113. Lauwagie T., Sol H., Dascotte E. Damage identification in beams using inverse methods. // Proceedings of the International Seminar on Modal Analysis (ISMA), 2002. - pp. 715-722.

114. Law S., Fang Y. Moving force identification: optimal state estimation approach. // Journal of Sound and Vibration, 2001, vol. 239 (2). - pp. 233-254.

115. Lesnic D. Determination of the flexural rigidity of a beam from limited boundary measurements. // J. Appl. Math.&Computing, 2006, vol. 20, № 1 -2.-pp. 17-34.

116. Li L., Ghrib F., Polies W. Identification of stiffness distribution and damage in Euler-Bernouilli beams using static response. // International workshop "Smart materials and structures", 2009. - pp. 207-216.

117. Lin K.K., Swartz S.E., Williams W.W. Beams on one-way elastic foundations. //J. Boston Soc. Civ. Engrs., 1971, vol.58(3). - pp. 164-178.

118. Lin L., Adams G.G. Beams on tensionless elastic foundation. // Journal of Engineering Mechanics, 1987, vol.113, №4. -pp.542-553.

119. Louis A.K., Maass P. A mollifier method for linear integral equations of the first kind. // Inverse Problems, 1990, vol.6, №3. - pp. 427-440.

120. Lucchinetti E., Stussi E. Measuring the flexural rigidity in non-uniform beams using an inverse problem approach. // Inverse Problems, 2002, vol. 18, № 3. -pp. 837-857.

121. Mottershead J., Friswell M. Model updating in structural dynamics: a survey. 11 Journal of Sound and Vibration, 1993, vol. 167, № 2. - pp. 347-375.

122. Nishimura N., Kobayashi S. Determination of cracks having arbitrary shape with boundary integral method. // Engineering Analysis with Boundary Elements, 1995, vol. 15, №2.-pp. 189-195.

123. Park H., Park Y. Transient response of an impacted beam and indirect impact force identification using strain measurements. // Shock and Vibration, 1994, vol.1, №3.-pp. 267-278.

124. Patil D.P., Maiti S.K. An approach for crack detection in beams on elastic foundations using frequency measurements.// International Journal of Acoustic and Vibration, 2002, vol. 7, № 4. - pp. 243-249.

125. Reddy A. N., Ananthasuresh G. K. On computing the forces from the noisy displacement data of an elastic body. // International Journal for Numerical Methods in Engineering, 2008, vol. 76, № 11. - pp. 1645-1677.

126. Ring W. Identification of the load of a partially breaking beam from inclination measurements. // Inverse Problems, 1999, vol. 15 (4). - pp. 1003-1020.

127. Robertson R. L. Boundary identifiability of residual stress via the Dirichlet to Neumann map. // Inverse Problems, 1997, vol. 13. - pp. 1107-1119.

128. Rubinstein D., Galili N., Libai A. Direct and inverse dynamics of a very flexible beam. // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 1996, vol. 131, №3.-pp. 241-261.

129. Selvadurai A.P.S. Elastic analysis of soil-foundation interaction: Developments in Geotechnical Engineering, vol. 17. - Elsevier, 1979. - 543 pages.

130. Sluis A. van der, Vorst H.A. van der. The rate of convergence of conjugate gradients. // Numer. Math, 1986, vol. 48. - pp. 543-560.

131. Smith C.R., Grandy W.T. Maximum-entropy and Bayesian methods in inverse problems. - Reidel, Boston, 1985. - 497 pages.

132. Starkey J., Merrill G. On the ill-conditioned nature of indirect force-measurement techniques. // Journal of Modal Analysis, 1989, vol. 4 (3). - pp. 103-108.

133. Stevens K. Force identification problems - an overview. // Houston, USA, Proceedings of the 1987 SEM Spring Conference on Experimental Mechanics, 1987.-pp. 838-844.

134. Tadi M. Evaluation of the elastic property based on boundary measurement. // Acta Mechanica, 1998, vol. 129, № 3-4. - pp. 231-241.

135. Tarantola A. Inverse problem theory and methods for model parameter estimation. - Philadelphia: SIAM, 2005. - 358 c.

136. Tsai N.C., Westmann R.E. Beams on tensionless foundation. // Journal of Engineering Mechanics, ASCE, 1967, vol.93(5). - pp. 1-12.

137. Turco E. A strategy to identify exciting forces acting on structures // International Journal for Numerical Methods in Engineering, 2005, vol. 64, № 11.-pp. 1483-1508.

138. Vogel C. R. Computational methods for inverse problems. - Philadelphia: SIAM, 2002.- 183 pages.

139. Wang B. T., Chiu C. H. Determination of unknown impact force acting on a simply supported beam. // Mechanical System and Signal Processing, 2003, vol. 17(3)-pp. 683-704.

140. Weber B., Paultre P. Damage identification in a truss by regularized model updating. // ASCE, Journal of Structural Engineering, 2009, vol. 136, №3. -pp. 307-316.

141. Weber B., Paultre P., Proulx J. Structural damage detection using nonlinear parameter identification with Tikhonov regularization // Structural Control and Health Monitoring, 2007, vol. 14, № 3. - pp. 406^27.

142. Zhang Y., Murphy K.D. Response of a finite beam in contact with a tension-less foundation under symmetric and asymmetric loading. // International Journal of Solids and Structures, 2004, vol.41, -pp.6745-6758.

143. Zimmermann H. Calculation of the upper surface construction of railway tracks, (in German) // Berlin, Ernst and Korn Verlag, 1888.