Разработка эффективных методов расчета тонкостенных конструкций с учетом пластических и демпфирующих свойств материала тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, доктор технических наук Шишкин, Виктор Михайлович

• Шишкин, Виктор Михайлович
• доктор технических наук
• 2008

Оглавление диссертации доктор технических наук Шишкин, Виктор Михайлович

ВВЕДЕНИЕ

1. ПРИКЛАДНЫЕ МЕТОДЫ АНАЛИЗА УПРУГО-ПЛАСТИЧЕСКОГО

СОСТОЯНИЯ ТОНКОСТЕННЫХ КОНСТРУКЦИЙ.

1.1. Выбор метода решения упруго-пластической задачи.

1.2. Формирование системы разрешающих уравнений метода конечных элементов для расчета тонкостенных конструкций в упруго-пластической области.

1.3. Выбор метода последовательной линеаризации задачи определения упруго-пластического состояния элементов тонкостенных конструкций.

1.4. Выбор физических зависимостей для моделирования упруго-пластического состояния материала.

1.5. Особенности определения упруго-пластического состояния тонкостенных разветвленных конструкций.

1.6. Выводы по главе.

2. ГИБРИДНЫЕ РАСЧЕТНЫЕ СХЕМЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ

К ОПРЕДЕЛЕНИЮ УПРУГО-ПЛАСТИЧЕСКОГО СОСТОЯНИЯ

ТОНКОСТЕННЫХ КОНСТРУКЦИЙ.

2.1. Основные особенности гибридной расчетной схемы.

2.2. Формирование разрешающих уравнений гибридной расчетной схемы.

2.3. Особенности формирования систем разрешающих уравнений высокого порядка.

2.4. Аналитическое представление кинематических гипотез и формирование матриц преобразования в гибридных расчетных схемах.

2.5. Численные эксперименты по оценке эффективности и точности гибридных расчетных схем при определении упруго-пластического состояния тонкостенных конструкций

2.6. Выводы по главе.

3. ФИЗИЧЕСКИЕ ЗАВИСИМОСТИ, ОПРЕДЕЛЯЮЩИЕ

РАССЕЯНИЕ ЭНЕРГИИ В МАТЕРИАЛЕ ПРИ КОЛЕБАНИЯХ

КОНСТРУКЦИЙ.

3.1. Основные характеристики демпфирования материалов.

3.2. Неидеальная упругость конструкционных материалов при динамическом нагружении.

3.3. Физические зависимости, определяющие амплитудно-зависимое рассеяние энергии в материале при стационарных режимах деформирования.

3.4. Физические зависимости для учета демпфирующих свойств материала при произвольном законе деформирования.

3.5. Идентификация демпфирующих свойств реологической модели упруго-пластического материала А. Ю. Ишлинского

3.6. Выводы по главе.

4. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДИНАМИЧЕСКОЙ РЕАКЦИИ ПРИ СТАЦИОНАРНЫХ КОЛЕБАНИЯХ КОНСТРУКЦИЙ С УЧЕТОМ НЕИДЕАЛЬНОЙ УПРУГОСТИ МАТЕРИАЛА.

4.1. Формирование систем разрешающих уравнений на основе конечно-элементных аппроксимаций.

4.2. Приведение разрешающих уравнений стационарных колебаний конструкции к системе с симметричной ленточной матрицей".

4.3. Выбор метода решения системы разрешающих уравнений

4.4. Построение итерационных алгоритмов решения систем разрешающих уравнений.

4.5. Определение напряжений в конечных элементах.

4.6. Формирование систем разрешающих уравнений с использованием внешних узлов аппроксимации.

4.7. Выводы по главе.

5. ФОРМИРОВАНИЕ МАТРИЦ ГИСТЕРЕЗИСНОГО ДЕМПФИРОВАНИЯ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ.

5.1. Матрицы демпфирования ферменного и балочного конечных элементов.

5.2. Матрица демпфирования рамного конечного элемента.

5.3. Матрица демпфирования треугольного конечного элемента при плоском напряженном состоянии.

5.4. Матрица демпфирования четырехугольного конечного элемента при плоском напряженном состоянии.

5.5. Матрица демпфирования объемного конечного элемента

5.6. Матрица демпфирования треугольного конечного элемента при изгибе.

5.7. Матрица демпфирования треугольного конечного элемента при плоском напряженном состоянии и изгибе.

5.8. Апробации матриц демпфирования конечных элементов.

5.9. Выводы по главе.

6. УЧЕТ ДЕМПФИРУЮЩИХ СВОЙСТВ МАТЕРИАЛА ПРИ НЕСТАЦИОНАРНЫХ КОЛЕБАНИЯХ КОНСТРУКЦИЙ.

6.1. Выбор шагового метода интегрирования дифференциальных уравнений движения конечно-элементной модели конструкции

6.2. Анализ влияния параметров, определяющих безусловную устойчивость шаговых методов, на точность интегрирования

6.3. Численные эксперименты по учету демпфирования колебаний конструкций с использованием реологической модели упруго-пластического материала А. Ю. Ишлинского

6.4. Выводы по главе.

7. МЕТОДЫ ОБЕСПЕЧЕНИЯ ТРЕБУЕМЫХ ДЕМПФИРУЮЩИХ

СВОЙСТВ КОНСТРУКЦИИ И МЕХАНИЧЕСКИХ

ХАРАКТЕРИСТИК МАТЕРИАЛА.

7.1. Выбор критериев оценки прочности и демпфирующих свойств конструкции.

7.2. Синтез амплитудной зависимости демпфирующей способности материала по заданным характеристикам демпфирования конструкции.

7.3. Математическая модель демпфирующего сплава и принципы ее построения.

7.4. Проектирование демпфирующего сплава по заданному комплексу его механических характеристик.

7.5. Оптимизация комплекса механических характеристик демпфирующего сплава.

7.6. Выводы по главе.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Разработка эффективных методов расчета тонкостенных конструкций с учетом пластических и демпфирующих свойств материала»

0.1. Состояние решаемой проблемы. Обзор литературы

Вследствие повышения напряженности элементов современных тонкостенных конструкций возникает необходимость разработки более совершенных расчетных моделей, в которых должны быть по возможности достаточно полно отражены реальные условия работы конструкции и механические свойства материала, из которого изготовлены ее элементы. Поэтому кроме традиционного свойства упругости материала в расчетах тонкостенных конструкций все большее значение приобретают его пластические и демпфирующие свойства. Особенно актуальным данный вопрос является в конструкциях летательных аппаратов, где противоречие между требованиями прочности и минимального веса проявляется наиболее остро.

Так, например, при проектировании многократно статически неопределимых тонкостенных конструкций, какими обычно бывают конструкции летательных аппаратов, может ставиться задача определения предельной (разрушающей) нагрузки, при которой материал значительной части элементов конструкции находится в упруго-пластическом состоянии. Такое состояние материала, не приводящее к нарушению функций конструкции и работы ее оборудования, допускается также в некоторых элементах конструкций летательных аппаратов кратковременного (одноразового) использования и при эксплуатационной нагрузке.

Демпфирующие свойства материала в существенной степени влияют на динамическую напряженность и виброактивность элементов тонкостенных конструкций, ограничивая амплитуды их колебаний. В первую очередь это следует отнести к резонансным колебаниям тонкостенных конструкций, при которых амплитуды перемещений и напряжений могут быть достаточно высокими. Особенно актуальным данный вопрос является при расчете тонкостенных судовых, авиационных и ракетных конструкций, в которых практически невозможно избежать резонанса вследствие густого спектра частот собственных колебаний и широкой полосы частот возмущающих сил. Работы в области исследования динамической устойчивости и стабилизации больших космических конструкций свидетельствуют о важности учета даже небольшого рассеяния энергии для эффективного управления такими конструкциями [211].

В механике твердого тела пластичность представляется, как свойство материала получать необратимые деформации, начиная с некоторого напряжения, называемого пределом текучести. Демпфирующие свойства материала трактуются, как способность его рассеивать энергию при циклическом деформировании, и объясняются в механике неидеальной упругостью материала. Таким образом, статический расчет конструкции за пределом упругости и определение ее динамической реакции с учетом демпфирующих свойств материала представляют две физически нелинейные задачи с различной степенью нелинейности.

Однако исторически сложилось так, что пути и методы решения упруго-пластических задач и задач рассеяния энергии в материале при колебаниях неидеально упругих тел практически не пересекались. Но с развитием численных методов и автоматизированных технологий расчета конструкций появились предпосылки к разработке достаточно общих подходов к решению отмеченных двух задач, основанных на использовании метода конечных элементов и итерационных или шаговых алгоритмов, сводящих данные задачи к непрерывной последовательности соответствующих линейных задач. Это и определило тематику настоящей работы.

Методы, применяемые в настоящее время для решения упруго-пластических задач, можно условно разделить на две группы: аналитические и численные. Аналитические приемы решения упруго-пластических задач опираются в основном на методы теории функций комплексного переменного [77] и метод малого параметра [6, 37, 56, 58]. Из численных методов наибольшее применение в последнее время находит метод конечных элементов [11, 50, 51, 97, 98,104-106,123, 124, 140, 223, 235].

В подавляющем большинстве работ, посвященных решению упруго-пластических задач, используются аналитические методы при частных видах напряженного состояния и геометрии физической области решаемой задачи. Привести обзор данных работ в виду их чрезвычайной многочисленности крайне затруднительно. Отметим лишь некоторые основные работы, разделяя их по типу напряженного состояния рассматриваемой физической области.

В 1946 г. JI. А. Галин дал точное решение задачи о распределении напряжений в окрестности кругового отверстия плоскодеформированного твердого тела, к контуру которого приложены нормальные усилия, а напряжения на бесконечности постоянны [39]. Решение удалось найти благодаря бигармо-ничности функции напряжений в пластической области. Перемещения в пластической области для этой задачи были определены методом малого параметра Д. Д. Ивлевым [55]. Б. Д. Аннин [5] и Н. И. Остросаблин [108] дали приближенное решение упруго-пластической задачи для плоскости, ослабленной системой круговых отверстий.

В 1963 г. Г. П. Черепанов дал точное решение задачи о распределении напряжений вблизи кругового отверстия для плосконапряженного твердого тела, к контуру которого приложены постоянные нормальные усилия, а поле напряжений на бесконечности однородно [172]. Указанная задача приближенно решалась ранее А. П. Соколовым [145] и И. И. Файербергом [155].

Метод малого параметра оказался полезным и в некоторых пространственных задачах: с его помощью JI. В. Ершов [49] и Т. Д. Семыкина [142] решили задачи для полостей, близких к сферическим. Были рассмотрены также некоторые осесимметричные задачи [38]. Точные решения пространственных задач идеальной пластичности получены Р. Хиллом [159], В. Прагером [125], Д. Д. Ивлевым [57].

В задачах кручения были предложены полуобратные методы: задавались заранее некоторые характеристики искомого решения, по которым восстанавливались само решение и соответствующая форма границ тела. Здесь следует, прежде всего, отметить точное решение В. В. Соколовского для стержня овального сечения, близкого к эллипсу [146]. JI. М. Качанов вариационным методом получил решение для стержня квадратного сечения [64]. Р. Саусвелл релаксационным методом решал упруго-пластические задачи для уголкового, квадратного и треугольного профилей [230]. Задачи для других типов профилей тем же способом решены Д. Кристоферсоном [218].

Численные методы, для решения упруго-пластических задач применяются еще не достаточно широко. В работах [6, 50] рассмотрена контактная задача о вдавливании жесткого штампа в идеальную упруго-пластическую среду, решенная методом конечных элементов. В работе Д. Айреса [214] метод конечных элементов применялся для анализа напряженно-деформированного состояния в окрестности щели трехмерного упруго-пластического твердого тела. Ряд упруго-пластических задач для конечных оболочек вращения решены численно в работах [21, 35, 36]. Следует отметить так же интересную книгу Е. М. Морозова, Г. П. Никишкова [98], большая часть которой посвящена численным экспериментам по эволюции пластических зон в окрестности трещин и щелей.

Расчет тонкостенных конструкций, работающих за пределом упругости, представляет отдельную категорию упруго-пластических задач. Аналитические методы решения здесь возможны только для простейших конструкций, которые вписываются в рамки классических расчетных схем (гладкие пластины и оболочки простой формы). Анализ упруго-пластического состояния тонкостенных конструкций произвольной геометрии при произвольных условиях закрепления и нагружения, по всей видимости, может быть выполнен только методом конечных элементов с привлечением приближенных алгоритмов решения физически нелинейных задач. Достаточно полное представление об этих алгоритмах можно получить из работ [7, 50, 98,106,124,169].

Метод конечных элементов (МКЭ) изначально возник, как численный метод решения задач теории упругости и линейных задач строительной механики. Начало истории МКЭ следует отнести к середине 50-х годов прошлого века. Понятие конечного элемента было впервые введено М. Тернером, Р.

Клафом, X. Мартином и JI. Топом [232] в 1956 г. Интенсивное развитие метода конечных элементов и применение его к расчету реальных конструкций началось в 60-х, 70-х годах прошлого столетия. Проведенные многочисленные исследования возможностей метода конечных элементов показали, что результаты расчетов, близкие к действительным, в задачах общей прочности конструкций удается получить лишь при числе неизвестных порядка 103.104. Это потребовало разработки методов формирования и решения больших систем разрешающих уравнений [45, 139], а так же способов подготовки и задания исходной информации [1, 23, 68, 141, 224]. Применение МКЭ для автоматизации расчетов конструкций привело к разработке мощных вычислительных комплексов ASKA, SESAM, SAP [1], NASTRAN [224], СИСТЕМА-4 [75], КАС-КАД-2 [95], ССП МКЭ [53], ОТСЕК-О [48], СУМРАК-80 [22], СПРИНТ [174], позволяющих вести расчеты с указанным числом неизвестных. Такой интерес к МКЭ обусловлен, прежде всего, его исключительной универсальностью вследствие появившейся возможности набором соответствующих конечных элементов смоделировать сколь угодно сложную, как по геометрии, так и по силовой схеме конструкцию, а также вследствие простоты алгоритма формирования систем разрешающих уравнений.

Известно, что конечно-элементное решение задачи определения упруго-пластического состояния конструкции, обычно, осуществляется итерационными или шаговыми методами, сводящими данную задачу к последовательности соответствующих линейных задач. Для этого в основном используются три метода: метод переменной жесткости (переменных параметров упругости) [88]; метод последовательного шагового нагружения (метод касательной жесткости) [124] и метод упругих решений (метод А. А. Илыошина) [59, 65]. В первых двух методах матрица жесткости обновляется каждый раз в соответствии с достигнутым напряженно-деформированным состоянием конструкции. В методе упругих решений матрица жесткости формируется на начальном шаге и в процессе итераций остается постоянной, а пластические деформации учитываются в правой части уравнений. Преимущество данного метода состоит в том, что матрицу жесткости необходимо формировать и инвертировать только один раз. Однако данный метод, так же как и метод переменной жесткости, не позволяет отследить историю нагружения конструкции, так как расчет в этом случае ведется сразу при полной нагрузке. Кроме того, исключается возможность учета упругой разгрузки, которая может иметь место в некоторых элементах конструкции за счет перераспределения напряжений в процессе активного нагружения. Метод последовательного шагового нагружения позволяет отслеживать всю историю нагружения, что удобно, например, при определении несущей способности конструкций.

Упруго-пластическое состояние реализуется обычно не во всей конструкции, а лишь в некоторых ее областях, где имеются значительные напряжения. Такими областями, как правило, являются места, где имеются различного рода особенности (узлы крепления и сочленения агрегатов конструкции, области существенного изменения ее геометрии, вырезы, места приложения значительных сосредоточенных сил). Именно в этих областях напряженное состояние конструкции должно определяться наиболее точно. Поэтому идеализация конструкции в таких областях должна иметь наименьшее число допущений. В остальных областях конструкции с целью уменьшения общего числа независимых расчетных параметров могут быть введены какие-либо упрощающие гипотезы. Соединение возможностей МКЭ, позволяющего вести расчет с учетом всех особенностей в одной части конструкции, с применением упрощенных теорий (гипотез) в других частях дает возможность существенно уменьшить общее число неизвестных без заметного снижения точности расчета.

В связи с этим в работах [32, 78, 84, 176] предлагается использовать новый тип расчетной схемы, названной гибридной, которая строится на сочетании в пределах одной конструкции различных гипотез: более слабых там, где имеются различного рода особенности, и более сильных - в остальной части конструкции. Применяемое здесь понятие "слабая гипотеза" соответствует использованию меньшего числа допущений и большего числа параметров для описания напряженного состояния конструкции. Понятие "сильная гипотеза" соответствует введению большего числа допущений и, следовательно, меньшего числа расчетных параметров. Для устранения возмущений напряженного состояния при переходе от одних гипотез к другим вводится некоторая переходная зона или переходная область. Наличие переходной области в конструкции, обеспечивающей плавное изменение гипотез, является характерной особенностью гибридной расчетной схемы (ГРС). Основное назначение такой области - сделать ГРС единой для всей конструкции. Таким образом, ГРС приводит к одной общей системе разрешающих уравнений для определения неизвестных параметров сразу по всем областям конструкции. При этом она не требует при формировании уравнений разбиения конструкции на отдельные части, как это делается, например, в методе суперэлементов [23, 95].

В отмеченных выше работах [32, 78, 84, 176] гибридные расчетные схемы использовались для решения линейных задач статики конструкций. В таких задачах система разрешающих уравнений, как известно, формируется и решается только один раз. При решении нелинейных задач данные системы, как правило, приходится формировать и решать многократно. В этом случае эффект от применения ГРС существенно возрастает [188, 190].

Столь же важным оказывается число неизвестных и для систем автоматизированного проектирования конструкций, где в процессе проектирования приходится многократно обращаться к модулю "Прочность". По этой причине при решении указанных задач обычно используются упрощенные расчетные схемы [15, 41, 66].

Выше рассматривались задачи, значительная нелинейность которых определялась пластическими свойствами материала. При решении задач динамики конструкций важное место имеет физическая нелинейность, обусловленная неидеальной упругостью или, иначе, демпфирующей способностью материала. Основы учета неидеальной упругости материала при колебаниях механических систем заложены в работах Г. С. Писаренко [115-117], Н. Н. Давиденкова [43], Я. Г. Пановко [112,113], Е. С. Сорокина [147,148], В. В. Хильчевского [160, 161]. Позднее данное направление интенсивно развивалось в работах

Н. В. Василенко [26, 27, 30], В. В. Матвеева [89, 90, 92, 93], В. А. Пальмова [109-111], С. И. Мешкова [96], А. П. Яковлева [212], а также в работах [150, 151, 163-167, 222, 231]. О значительном интересе к отмеченной проблеме свидетельствуют регулярные конференции по рассеянию энергии при механических колебаниях, проводимые в Киеве с 1956 г., по материалам которых [129135] можно составить достаточно полное представление о состоянии проблемы. Однако существенного прогресса в области динамического анализа реальных конструкций с учетом рассеяния энергии в материале пока не достигнуто. Применяемые для этой цели расчетные модели в основном ограничиваются рамками классических расчетных схем (балками, пластинами и оболочками простой формы).

Многочисленные работы по динамике сложных инженерных конструкций посвящены в основном изучению спектра частот и форм собственных колебаний. Значительно меньше внимания уделяется определению напряжений и перемещений при действии внешних переменных сил. Это связано, по-видимому, с тем, что для нахождения форм и частот собственных колебаний конструкций в большинстве случаев можно не принимать во внимание рассеяние энергии в их элементах. При оценке динамической напряженности элементов конструкций учет рассеяния энергии в них обязателен [170, 217].

Все имеющиеся на сегодняшний день теории, учитывающие рассеяние энергии в материале при колебаниях механических систем, в первую очередь связаны с построением уравнений связи между напряжениями и деформациями для неидеально упругого материала. Эти уравнения обычно разделяют на уравнения вязкоупругих тел и уравнения гистерезисного типа.

В первом случае утверждается, что нелинейная часть напряжений зависит от скорости (частоты) деформирования материала, во втором - от амплитуды деформации. Многочисленные опыты с металлами и их сплавами [4, 16, 121, 122] показали, что в области напряжений, возникающих при циклическом на-гружении конструкций, наиболее существенна амплитудная зависимость, исключая область малых амплитуд, представляющих интерес для акустики [148].

Задачи математического моделирования диссипативных процессов для изотропных материалов рассматривались в работах Г. С. Пнсаренко [115, 117, 118], который предложил физически обоснованные уравнения для описания неидеалыюй упругости материала в виде так называемых гистерезисных, т.е. неоднозначных при нагрузке и разгрузке зависимостей между напряжениями и деформациями. Это направление, ведущее начало от работы Н. Н. Давиденко-ва [43], получило дальнейшее развитие в работах [92, 156, 161, 213]. Существенный вклад в развитие теории рассеяния энергии внес Я. Г. Пановко [112], указавший в частности на возможность неучета при этом формы петли гистерезиса, важность понятия площади петли и положивший начало использованию энергетических концепций при построении алгоритмов расчета диссипативных систем.

Параллельно развивалось направление, использующее понятие комплексного модуля упругости для моделирования рассеяния энергии в материале при гармонических колебаниях диссипативных систем [122]. Попытка распространить комплексные зависимости на процессы, отличные от гармонических, приводили к построению некорректных уравнений, на что указывалось в работах [152, 217]. Вместе с этим идея использования комплексного модуля упругости, учитывая ее наглядность и простоту, остается привлекательной для анализа упруго-гистерезисных систем. В четвертой и пятой главах настоящей работы концепция комплексного модуля упругости используется для формирования систем разрешающих уравнений и матриц гистерезисного демпфирования конечных элементов при установившихся резонансных колебаниях конструкций.

Подавляющее большинство работ, посвященных учету рассеяния энергии при циклическом деформировании материала, рассматривают одноосное напряженное состояние. Работы, в которых анализируется рассеяние энергии при сложном напряженном состоянии, можно разделить на два направления. В одних авторы рассматривали задачу получения зависимости рассеянной энергии от компонент тензора напряжений, в других - стремились получить определяющие уравнения "напряжение-деформация".

В работах первой группы [92, 161, 226] предлагаются критерии, ответственные за рассеяние энергии в материале, аналогичные тем, которые используются в теории прочности. При этом критерии формируются как инварианты тензора напряжений, выраженные через главные напряжения. Есть ряд работ, подтверждающих, что рассеяние энергии в изотропном материале определяется величиной 2-го инварианта тензора напряжений [92,109,161, 231].

Во втором случае использовались функциональные зависимости, коэффициенты которых являются инвариантными величинами - либо комплексными, либо неоднозначными, зависящими от знака скорости изменения 2-го инварианта девиатора деформаций [10, 24, 27,117,144,153,156, 161 и др.].

Отдельно можно отметить работы В. А. Пальмова [110, 111], в которых используется система тензорных уравнений реологической модели упруго-пластического материала А. 10. Ишлинского, естественным образом обобщающая теорию рассеяния энергии на сложное напряженное состояние. Существенным преимуществом данных уравнений является возможность использованиях их для анализа нестационарных динамических процессов [178,179,187, 201].

Второй основной вопрос в проблеме учета демпфирующих свойств материала при колебаниях конструкций состоит в способе формирования разрешающих уравнений, определяющих динамическую реакцию конструкции. На сегодняшний день эти уравнения в основном получаются аналитически путем представления состояния конструкции через некоторую разрешающую функцию. Для осуществления такого представления обычно используются гипотезы тонких стержней и пластин, а также тонкостенных оболочек. В силу особенностей используемых физических зависимостей, в частности нелинейности и малости диссипативных сил, основным методом решения разрешающих уравнений с учетом рассеяния энергии остается асимптотический метод Кры-лова-Боголюбова-Митропольского [17]. Причем ограничиваются обычно первым приближением данного метода. Возможности аналитических методов, как уже отмечалось выше, обычно исчерпываются простейшими конструкциями и простейшими конструктивными элементами.

Метод конечных элементов для учета рассеяния энергии в материале при колебаниях конструкций, несмотря на его перспективность, используется пока на чисто теоретическом уровне [29, 30, 47, 61]. Уместно заметить, что в свете современных требований оценка эффективности той или иной расчетной модели зависит от того, насколько пригодной является эта модель для анализа конструкции в целом. Модели и методы, применяемые для анализа только определенным образом закрепленных частных элементов, не допускающие обобщений и не вписывающиеся в общий процесс проектирования сложной неоднородной конструкции, не могут считаться эффективными. Наиболее подходящим методом автоматизации расчетов конструкций с учетом демпфирующих свойств материала является, по мнению автора [199, 202], метод конечных элементов.

При динамическом расчете конструкций обычно ставится задача синтеза упругих, инерционных и демпфирующих сил. Если проблема получения матриц жесткости и матриц масс конечных элементов, определяющих упругие и инерционные силы в конструкции, может считаться достаточно разработанной [11, 50, 51, 81-83, 123, 138, 184], то для получения матриц гистерезисного демпфирования сложных инженерных конструкций по существу нет физически обоснованных методов. Применяемые часто на практике предположения о возможности взаимосвязи матриц масс, жесткости и демпфирования (концепция пропорционального демпфирования) [67] имеют своей целью скорее добиться удобства расчета, чем достоверности получаемых результатов.

Наиболее реальный подход к получению разрешающих уравнений метода конечных элементов в задачах теории рассеяния энергии в материале при колебаниях конструкций состоит в использовании концепции комплексного модуля упругости [28, 76]. Это позволяет, как показано в работах автора [180, 192, 195], перейти от дифференциальных уравнений движения конечно-элементной модели конструкции к системе квазилинейных алгебраических уравнений, содержащих синфазные и несинфазные (относительно вектора нагрузки) составляющие амплитуд ее узловых перемещений. Нелинейность данных уравнений обусловлена тем, что матрицы гистерезисного демпфирования конечных элементов формируются с учетом характеристик демпфирования материала (логарифмического декремента колебаний д или демпфирующей способности у/ = 2S), а последние зависят от амплитуд деформаций этих элементов, определяемых после решения системы разрешающих уравнений. Таким образом, возникает типичный при решении нелинейных задач замкнутый круг причины и следствия.

В связи с этим в работе Н. В. Василенко [29] матрицы гистерезисного демпфирования конечных элементов предлагается формировать, определяя характеристики демпфирования материала по справочным данным [121] в соответствии с предполагаемым в них уровнем напряжений (деформаций). Однако даже при небольшом отклонении демпфирующей способности материала от ее действительного значения амплитуды напряжений в элементах конструкции могут существенно меняться. В работах автора [182, 195, 202, 209] показано, что корректный учет амплитудной зависимости демпфирующей способности материала при формировании и решении системы разрешающих уравнений стационарных колебаний конструкции возможен только с использованием соответствующих итерационных алгоритмов. Причем возможность реализации данных алгоритмов должна быть обеспечена уже на этапе формирования матриц гистерезисного демпфирования конечных элементов, что учтено в главе 5 настоящей работы.

Традиционные методы аппроксимации полей перемещений конечных элементов используют узловые параметры, относящиеся к одному конечному элементу. Поэтому для повышения точности расчета необходимо либо увеличивать число конечных элементов, либо применять элементы высокого порядка, что в любом случае приводит к увеличению общего числа неизвестных узловых параметров. В связи с этим в работах автора [81, 83, 186] предлагается новый тип представления полей перемещений конечных элементов, названный скользящей аппроксимацией, основанный на использовании узловых параметров смежных с ними элементов. Такая аппроксимация позволяет повысить порядок полей перемещений, не увеличивая число узловых точек в пределах каждого конечного элемента, а в элементах, у которых в качестве узловых параметров используются не только перемещения, но и производные от них, дает возможность отказаться от введения последних, и тем самым существенно снизить число неизвестных узловых параметров конструкции. Эффект, получаемый от введения скользящей аппроксимации, существенно возрастает при решении нелинейных задач динамики конструкций, в которых разрешающие уравнения приходится формировать и решать многократно.

В подавляющем большинстве работ, посвященных учету гистерезисных потерь в материале при колебаниях механических систем (конструкций), рассматривается единственный вид движения этих систем - установившиеся гармонические (стационарные) колебания. При этом расчетным случаем считается режим резонанса. Не менее важной является задача определения динамической реакции конструкции в различного рода переходных процессах, а также при действии непериодической нагрузки (ударной, полигармонической, случайной и т.д.). В некоторых случаях переходные процессы сопровождаются кратковременным переходом через резонанс. Такие режимы могут возникать в конструкциях, например, при пусках и остановках установленного на них оборудования.

Основной вопрос в проблеме учета демпфирующих свойств материала при нестационарных колебаниях конструкций, по-прежнему состоит в построении подходящих зависимостей между напряжениями и деформациями. Наиболее реальный и физически обоснованный подход к построению таких зависимостей состоит в использовании реологических моделей материала, отражающих его основные свойства [122,177, 178, 201]. Например, для материала с релаксационным внутренним трением часто используется реологическая модель Фойгта [122, 150], состоящая из двух параллельно соединенных элементов - упругого и вязкого. В гистерезисных материалах механизмы внутреннего трения более разнообразны: микро - или макропластические деформации; магнитный эффект; диффузионные процессы и т.д. [52].

В настоящее время общепризнанным считается факт [43, 110, 111], что амплитудно-зависимое (гистерезисное) внутреннее трение в металлах и их сплавах в области средних и значительных напряжений, представляющих интерес для расчета конструкций, в основном обусловлено микропластическими деформациями. Под микропластическими деформациями понимаются деформации, происходящие в микрообъемах материала при любом уровне напряжений, в том числе и при напряжениях, меньших макроскопического предела текучести. Такое поведение материала можно представить моделью, состоящей из бесконечного множества упруго-пластических элементов с непрерывным распределением их пределов текучести, определяющим демпфирующие свойства данной модели. В литературе отмеченная модель известна как реологическая модель упруго-пластического материала А. Ю. Ишлинского [3, 46, 62, 93, 110]. Физические зависимости, основанные на данной модели, пригодны для использования их при произвольном законе деформирования, как для одноосного, так и сложного напряженного состояния. Остается добавить, что для эффективного использования модели А. Ю. Ишлинского в расчетах инженерных конструкций необходимо разработать методы идентификации ее демпфирующих свойств по общепринятым характеристикам демпфирования материала. Данный вопрос подробно рассмотрен в параграфе 3.8 настоящей работы.

Второй основной вопрос в проблеме учета демпфирующих свойств материала при нестационарных колебаниях конструкций состоит в выборе способа решения дифференциальных уравнений их движения. Получить аналитическое решение этих уравнений при модельных представлениях демпфирующих свойств материала в большинстве случаев не удается. Единственным общим методом анализа произвольных неупругих систем, как отмечено в работе [11], является численный метод шагового интегрирования уравнений движения таких систем. При этом анализ неупругой системы рассматривается как последовательность непрерывно меняющихся упругих систем.

Существует достаточно много методов численного интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений: метод Рунге-Кутта; метод Адамса

Башфорта; метод Хемминга и др. [11, 87, 210]. Однако они мало пригодны для интегрирования систем высокого порядка, так как, будучи условно устойчивыми, требуют, тем не менее, большого числа арифметических операций на каждом шаге. Для интегрирования дифференциальных уравнений движения механических систем более подходящими являются специальные методы, основанные на предположении о линейном изменении ускорения на каждом шаге интегрирования: метод линейного ускорения; 0-метод Вильсона [11, 67]; метод Ныомарка [И, 105]. Данные методы позволяют перейти от дифференциальных уравнений к сменяемым на каждом шаге линейным алгебраическим уравнениям [85, 191]. Таким образом, нелинейная задача сводится к непрерывной последовательности соответствующих линейных задач.

Однако, численные эксперименты, проведенные в работах [191, 193], показали, что достичь удовлетворительного результата при обычной форме записи дифференциальных уравнений движения конструкций, когда силы упругого и неупругого сопротивления материала учитываются в левой части этих уравнений, при использовании отмеченных выше трех методов, не удается. Причина этого, по-видимому, кроется в малости неупругих (гистерезисных) сил. В главе 6 настоящей работы показано, что корректный способ учета неупругих сил при шаговом интегрировании уравнений движения механических систем состоит в представлении этих сил в правой части уравнений, как вектора внешних псевдосил, обусловленных непрерывным изменением состояния системы. Положительным моментом такого представления гистерезисных сил является также то, что матрица системы алгебраических уравнений, к которым сводится система дифференциальных уравнений, в процессе шагового интегрирования остается постоянной. Поэтому данную матрицу можно сформировать и преобразовать в соответствии с используемым методом решения системы до начала шаговой процедуры. Нетрудно заметить, что описанный выше прием представления гистерезисных сил аналогичен методу упругих решений А. А. Ильюшина [59, 65] для приближенного решения упруго-пластических задач.

Традиционные методы расчета и проектирования конструкций учитывают рассеяние энергии лишь на последнем этапе и, как правило, в интегральном виде. Это не позволяет использовать характеристики демпфирования материала как равноправные параметры проектирования и приводит либо к необходимости замены материала (полностью или частично) при неудовлетворительных демпфирующих свойствах конструкции, либо к принятию дополнительных мер, направленных на снижение динамической напряженности и виброактивности ее элементов (установке виброгасителей, нанесению демпфирующих покрытий и пр.). Отсюда вытекает актуальная необходимость разработки таких математических методов, которые позволяли бы целенаправленно влиять на демпфирующие свойства конструкции путем выбора соответствующего материала. Для решения данной задачи необходимо разработать критерии оценки демпфирующих свойств конструкции. При стационарных колебаниях такими критериями могут быть либо значения коэффициента динамичности при резонансе для нескольких низших собственных форм колебаний конструкции, либо приведенный коэффициент поглощения энергии для этих же форм колебаний. Предпочтительно брать коэффициент динамичности, так как он непосредственно связан с нагружением конструкции [69, 194 206]. Наличие таких критериев позволяет разработать методы и алгоритмы, определяющие связь между характеристиками демпфирования конструкции и демпфирующими свойствами материала. Таким образом, появляется возможность создания конструкций с заданными демпфирующими свойствами путем выбора или изготовления соответствующего материала, и сократить за счет этого сроки их проектирования.

Анализ возможностей, которыми располагает техника для создания конструкций с высокой стабильной и, что весьма существенно, контролируемой на этапе проектирования демпфирующей способностью, указывает на некоторые принципиально новые направления. Одно из них - создание сплавов с высокими демпфирующими свойствами. На кафедре металловедения и технологии материалов Вятского государственного университета и проблемной лаборатории металлических материалов с высокими вибропоглощающими свойствами создана и исследована большая группа сплавов с высокими демпфирующими свойствами. Однако практическое применение их сдерживается низкими физико-механическими и технологическими характеристиками. Улучшить эти характеристики можно внесением в сплав тех или иных легирующих элементов. В настоящее время эта задача решается в основном путем проведения длительных и дорогостоящих экспериментов. Поэтому актуальным является вопрос разработки расчетных методов определения химического состава и режимов термической обработки сплава, сочетающего в себе высокие демпфирующие, прочностные и пластические свойства. Наличие таких методов позволяет целенаправленно влиять на комплекс механических характеристик сплава и тем самым свести к минимуму число необходимых экспериментов.

Второй путь к решению проблемы создания конструкций с высокими демпфирующими и прочностными свойствами состоит в использовании слоистых и композиционных материалов. Это направление представляет отдельную и большую задачу, которая в настоящей работе не рассматривается. Однако стоит заметить, что методы учета рассеяния энергии в таких материалах, так же как и в обычных, разработаны опять же только применительно к колебаниям простейших конструктивных элементов. Достаточно полное представление о состоянии отмеченной проблемы можно получить по библиографическому обзору, приведенному в работе [47].

0.2. Решаемая научная проблема. Цель диссертационной работы

Научная проблема, решаемая в диссертации, состоит в разработке эффективных прикладных методов определения напряженно-деформированного состояния тонкостенных подкрепленных конструкций с учетом пластических и демпфирующих свойств материала на основе метода конечных элементов и процедур последовательной линеаризации получаемых при этом физически нелинейных задач.

Целью диссертационной работы является разработка математического, алгоритмического и программного обеспечения для решения физически нелинейных задач статики и динамики тонкостенных конструкций, нелинейность которых обусловлена соответственно пластическими и демпфирующими свойствами материала, а так же построение методов решения обратных задач, обеспечивающих требуемые демпфирующие свойства конструкции и механические характеристики материала. Достижение этой цели предполагает решение следующих задач.

1. Определение упруго-пластического состояния тонкостенных конструкций на основе метода конечных элементов и последовательной линеаризации полученных при этом систем нелинейных уравнений. Решение данной задачи включает: а) разработку методов формирования систем разрешающих уравнений метода конечных элементов с учетом пластических свойств материала; б) выбор метода последовательной линеаризации упруго-пластической задачи и выбор соответствующих физических зависимостей; в) разработку методов определения упруго-пластического состояния тонкостенных конструкций разветвленной структуры; г) сокращение числа независимых параметров при расчете однонаправленных тонкостенных конструкций путем использования гибридных расчетных схем.

2. Построение физических зависимостей для учета амплитудно-зависимого относительного рассеяния энергии в материале при стационарных и нестационарных колебаниях конструкций.

3. Определение стационарной динамической реакции конструкций с учетом демпфирующих свойств материала, что включает: а) формирование систем нелинейных разрешающих уравнений на основе метода конечных элементов и построение итерационных алгоритмов решения данных систем; б) формирования матриц гистерезисного демпфирования конечных элементов для моделирования стержневых, тонкостенных и монолитных конструкций.

4. Определение нестационарной динамической реакции с учетом демпфирующих свойств материала путем прямого шагового интегрирования полученных при этом систем нелинейных дифференциальных уравнений движения конечно-элементной модели конструкции.

5. Разработка методов обеспечения требуемых демпфирующих свойств конструкции и механических характеристик материала, включающих: а) синтез амплитудной зависимости демпфирующей способности материала по заданным коэффициентам динамичности конструкции при резонансе; б) построение математической модели демпфирующего сплава; в) проектирование демпфирующего сплава по заданному комплексу его механических характеристик.

0.3. Содержание диссертации

Диссертация состоит из введения и семи глав, в которых рассмотрены вопросы, связанные с решением нелинейных задач статики и динамики конструкций, нелинейность которых обусловлена соответственно пластическими и демпфирующими свойствами материала. В приложении приведены вычислительные программы, использованные в диссертации для численной реализации разработанных методов и алгоритмов.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Шишкин, Виктор Михайлович

ОБЩИЕ ВЫВОДЫ

1. Получены разрешающие уравнения метода конечных элементов для анализа упруго-пластического состояния тонкостенных конструкций. За основные неизвестные приняты узловые перемещения конечно-элементной модели конструкции. Для определения несущей способности конструкций рекомендованы разрешающие уравнения, записанные в приращениях. Рассмотрены алгоритмы последовательной линеаризации упруго-пластической задачи на основе метода переменной жесткости, метода упругих решений А. А. Ильюшина и метода шагового нагружения. Для определения упруго-пластического состояния и несущей способности тонкостенных конструкций выбран метод шагового нагружения, как наиболее универсальный и удобный для практической реализации.

2. Получены матричные соотношения связи приращений напряжений с приращениями деформаций (физические зависимости) в упруго-пластическом состоянии изотропного материала на основе деформационной теории пластичности и теории пластического течения при деформационном упрочнении Мизеса. Рассмотрен тестовый пример определения упруго-пластического состояния пластины с отверстием с использованием указанных физических зависимостей. Полученные результаты хорошо согласуются с экспериментальными данными. Для определения упруго-пластического состояния элементов тонкостенных конструкций выбраны физические зависимости теории пластического течения.

3. Разработан метод определения упруго-пластического состояния тонкостенных конструкций разветвленной структуры, учитывающий совместную работу агрегатов конструкции на основе расчета каждого из них как изолированного. Стыковка решений, осуществляется с использованием условия равенства сил взаимодействия в узлах сочленения агрегатов. Рассмотрен пример определения упруго-пластического состояния разветвленной конструкции, состоящей из части фюзеляжа и крыла, подтверждающий достоверность разработанного метода.

4. В отличие от существующих в настоящее время расчетных моделей, использующих одну и ту же совокупность допущений для всей конструкции, предложены гибридные расчетные схемы (ГРС), основанные на сочетании различных гипотез в разных частях конструкции. Это дает возможность существенно снизить трудоемкость определения напряженно-деформированного состояния элементов тонкостенных конструкций за счет уменьшения порядка систем разрешающих уравнений. Данный вопрос является особенно актуальным при определении упруго-пластического состояния тонкостенных конструкций, поскольку в этом случае системы разрешающих уравнений необходимо формировать и решать многократно.

Предложена концепция базовой модели (БМ) для построения системы разрешающих уравнений ГРС, а также оценки эффективности и точности различных ГРС. В качестве БМ выбрана исходная конечно-элементная модель конструкции. Приведен пример определения упруго-пластического состояния стреловидного крыла с использованием трех ГРС: ГРС1; ГРС2; ГРСЗ. Для построения ГРС1 использована БМ с наложением в части сечений гипотезы неизменяемости формы поперечного сечения (ГНФПС). В ГРС2 и ГРСЗ к ГНФПС в тех же сечениях добавлены соответственно гипотеза линейной депланации (ГЛД) и гипотеза плоского сечения (ГПС). Из трех отмеченных ГРС существенное снижение числа независимых параметров (почти в три раза) при незначительном изменении результатов по сравнению с БМ дает ГРС2. Использование ГРСЗ дает удовлетворительные результаты только в области гипотез БМ.

5. Проведен анализ математических моделей неидеально упругих материалов. Рассмотрены особенности деформирования материалов с амплитудно-зависимым рассеянием энергии. Для циклических процессов наиболее удобными являются гистерезисные уравнения, содержащие непосредственно логарифмический декремент колебаний материала и некоторые функции, определяющие форму петли динамического гистерезиса. Приведены физически обоснованные нелинейные зависимости напряжений от деформаций при произвольном законе деформирования, построенные на основе реологической модели упруго-пластического материала АЛО. Ишлинского, состоящей из непрерывного множества упруго-пластических элементов. Демпирующие свойства отмеченной модели материала учитываются спектральной плотностью p(ti) безразмерных пределов текучести ее элементов. Разработан метод идентификации функции p(h), по общепринятым характеристикам демпфирования материала (логарифмическому декременту д или демпфирующей способности у/ =2S), открывающий возможность адекватного учета демпфирующих свойств материала при нестационарных колебаниях конструкций.

6. Получены нелинейные дифференциальные уравнения движения конечно-элементной модели конструкции с упруго-гистерезисным и вязкоупругим материалом без каких-либо ограничений на характер ее движения и закон на-гружения. Показано, что при гармонических установившихся (стационарных) колебаниях данные дифференциальные уравнения сводятся к системе нелинейных алгебраических уравнений, порядок которой равен удвоенному числу степеней свободы конечно-элементной модели конструкции. Разработаны итерационные алгоритмы решения данных нелинейных уравнений на основе коррекции амплитуд деформаций конечных элементов в конце текущей итерации с использованием параметра сдвига /? и метода пропорционального деления. Проведены численные эксперименты по оценке сходимости разработанных итерационных алгоритмов. По результатам экспериментов выбран алгоритм, использующий параметр сдвига /?.

7. Получены соотношения для формирования матриц гистерезисного демпфирования типовых конечных элементов, используемых при моделировании стержневых, тонкостенных и монолитных конструкций. Проведены численные эксперименты по апробации полученных соотношений и разработанных на их основе вычислительных программ анализа стационарной динамической реакции тонкостенных конструкций, подтверждающие достоверность данных соотношений и надежную работу программ.

8. Отмечено что, наиболее общим методом анализа динамической реакции произвольных неупругих систем является численный метод шагового интегрирования дифференциальных уравнений движения таких систем. Рассмотрены шаговые методы интегрирования дифференциальных уравнений движения механических систем, основанные на предпосылке о линейном законе изменения ускорения на текущем временном шаге: метод линейного ускорения; О - метод Вильсона и метод Ныомарка. На примере плоской фермы показано, что при обычной форме записи дифференциальных уравнений, в которой силы упругого и неупругого сопротивления материала учитываются вместе в левой части этих уравнений, ни один из трех рассмотренных методов не дает положительного результата (стремления переходного процесса к стационарному решению при резонансе). Исходя из этого, предложено учитывать неупругие силы в правой части уравнений движения, в результате чего положительные результаты получены при использовании двух методов: 0 - метода Вильсона и метода Ныомарка. Отмеченное предложение представляет, по сути, обобщение метода упругих решений на физически нелинейные задачи динамики конструкций.

Проведены численные эксперименты по оценке скорости сходимости и точности метода Вильсона и метода Ныомарка в зависимости от шага интегрирования At при выходе конструкции (плоской фермы) в режим установившихся резонансных колебаний путем сравнения полученных результатов со стационарным решением, полученным в главе 4. Установлено, что при уменьшении At погрешность метода Ныомарка снижается существенно быстрее, чем погрешность 0 - метода Вильсона. Для шагового интегрирования дифференциальных уравнений движения демпфированных конструкций рекомендовано использовать метод Ныомарка.

9. Рассмотрено влияние параметров 0, /3 и а, определяющих области безусловной устойчивости метода Вильсона и метода Ныомарка, на точность получаемого решения. Наивысшая точность в обоих методах получается при минимальных значениях параметров, обеспечивающих устойчивость процесса шагового интегрирования: в методе Вильсона =1,37; в методе Ныомарка amin = 0,25; /?min = 0,5 . Увеличение параметров 0, ft на, относительно их минимальных значений в обоих методах дает заметный демпфирующий эффект.

10. Приведены тестовые примеры определения динамической реакции конструкций (стержня, прямоугольной пластины при плоском напряженном состоянии, пространственной фермы), показывающие возможность использования метода Ныомарка и отмеченной выше реологической модели АЛО. Ишлинского для учета демпфирующих свойств материала при нестационарных колебаниях конструкций. Приведен пример определения нестационарной динамической реакции близкой к реальной тонкостенной конструкции (киля са-молета-орбитера) на действие кратковременного бокового импульса. Для учета демпфирующих свойств материала использована отмеченная выше реологическая модель. Считалось, что киль имеет теплозащитное покрытие (ТЗП), которое не оказывает сопротивления действию нагрузки, но увеличивает массу и демпфирующую способность конструкции. Демпфирующие свойства ТЗП учитывались с использованием концепции вязкого демпфирования. Полученные результаты согласуются с представлениями о реакции конструкции на указанное динамическое воздействие.

11. Поставлена и решена обратная задача, состоящая в определении амплитудной зависимости логарифмического декремента материала 5 по заданным характеристикам демпфирования конструкции. В качестве последних выбраны значения коэффициента динамичности при резонансе для нескольких низших собственных форм колебаний конструкции. Приведен пример определения зависимости б от амплитуды деформации £0 для материала полок-лонжеронов трапециевидного крыла, обеспечивающей требуемые значения j = 1,2,3). Показано, что для получения практически реализуемой зависимости 8(£"о ) необходимо вводить систему ограничений, определяющих характер данной зависимости.

12. Разработаны принципы построения математической модели демпфирующего сплава и методы определения его проектных параметров (содержания легирующих элементов и показателей режимов термообработки), обеспечивающие требуемые прочностные, пластические и демпфирующие свойства сплава. Разработаны методы оптимизации указанного комплекса свойств демпфирующего сплава и анализа чувствительности полученных оптимальных решений к возможным отклонениям его проектных параметров.

Список литературы диссертационного исследования доктор технических наук Шишкин, Виктор Михайлович, 2008 год

1. Автоматизированные системы расчета на прочность конструкций летательных аппаратов // ЦАГИ. Отд. научно-техн. информации. Обзоры. 1979. №564. 105 с.

2. Ададуров Р. А. Напряжения и деформации в цилиндрической оболочке с жесткими поперечными сечениями // Докл. АН СССР. 1948. Т. 62. № 2. С. 183-186.

3. Айвен В. Д. Распределенная модель гистерезисных явлений и ее поведение при установившихся вынужденных колебаниях // Прикладная механика. 1966. №4. С. 192-199.

4. Альтшуль Б. А. Колебания упругих систем с учетом внутреннего трения, зависящего от уровня напряжения // Труды Моск. ин-та инженеров же-лезнодор. трансп. 1966. Вып. 225. С. 28-34.

5. Аннин Б. Д. Упруго-пластическое распределение напряжений в плоскости, ослабленной двумя круговыми отверстиями // Динамика сплошной среды. Новосибирск: Наука, 1969. Вып. 1. С. 234-241.

6. Аннин Б. Д., Черепанов Г. П. Упруго-пластическая задача. Новосибирск: Наука, 1983. 238 с.

7. Аргирис Дж. Современные достижения в методах расчета конструкций с применением матриц. М.: Стройиздат, 1968. 241 с.

8. Афанасьев Н. Н. Статистическая теория усталостной прочности. Киев: Изд-во АН УССР, 1953. 374 с.

9. Балабух JI. И. Расчет на прочность конических кессонов // Труды ЦАГИ. 1947. Вып. 640. 55 с.

10. Балодис А. А. О комплексной теории внутреннего трения // Механика полимеров. 1977. № 4. С. 706-714.

11. Бате К., Вильсон Е. Численные методы анализа и метод конечных элементов. М.: Стройиздат, 1982. 447 с.

12. Бенерджи П., Баттерфилд Р. Методы граничных элементов в прикладных науках. М.: Мир, 1984. 494 с.

13. Берген, Клаф. Критерии сходимости итеративных процессов // Ракетная техника и космонавтика. 1972. Т. 10. № 8. С. 173-174.

14. Бидерман В. JT. Механика тонкостенных конструкций. Статика. М.: Машиностроение, 1977. 488 с.

15. Бирюк В. И., Липин Е. К., Фролов В. М. Методы проектирования конструкций самолетов. М.: Машиностроение, 1977. 232 с.

16. Блитштейн Ю. М., Мешков С. И. Об амплитудной зависимости рассеиваемой энергии при колебаниях // Рассеяние энергии при колебаниях механических систем. Киев: Наукова думка, 1974. С. 24-34.

17. Боголюбов Н. Н., Митропольский Ю. К. Асимтотические методы в теории нелинейных колебаний. М.: Наука, 1974. 503 с.

18. Болотин В. В. Статистические методы теории вероятностей и теории надежности в расчетах сооружений. М.: Стройиздат, 1971. 256 с.

19. Бреббия К., Уокер С. Применение метода граничных элементов в технике. М.: Мир, 1982. 248 с.

20. Бугаков И. И. Ползучесть полимерных материалов. М.: Наука, 1973.287 с.

21. Бураго II. Г., Кукуджанов В. Н. Численный метод решения геометрически нелинейных осесимметричных задач упруго-пластических оболочек вращения // Строительная механика и расчет сооружений. 1976. № 5. С. 44-49.

22. Бурман 3. М. Вычислительный комплекс СУМРАК-80 для статического расчета авиационных конструкций // Вопросы расчета прочности конструкций летательных аппаратов. Казань: КАИ, 1982. С. 20-25.

23. Бурман 3. И., Лукашенко В. И., Тимофеев М. Т. Суперэлементный расчет подкрепленных оболочек. М.: Машиностроение, 1982. 256 с.

24. Василенко Н. В. Зависимость между напряжениями и деформациями в реальных изотропных телах // Рассеяние энергии при колебаниях упругих систем. Киев: Наукова думка, 1966. С. 94-103.

25. Василенко Н. В. Резонансные осесимметричные колебания нелинейно упругой цилиндрической оболочки с гистерезисом // Динамика и прочность машин. 1968. Вып. 9. С. 10-16.

26. Василенко II. В. Исследование стационарных нелинейных колебаний в системах с распределенными параметрами при наличии внутреннего резонанса // Проблемы прочности. 1971. № 5. С. 30-34.

27. Василенко Н. В. Учет гистерезисного поведения сплошной среды при сложном напряженном состоянии в условиях простого циклического нагружения // Проблемы прочности. 1972. № 5. С. 69-74.

28. Василенко Н. В. Учет несовершенной упругости материала при механических колебаниях методом комплексных модулей // Рассеяние энергии при колебаниях механических систем. Киев: Наукова думка, 1974. С. 5-12.

29. Василенко Н. В. Способы получения матриц демпфирования в методе конечных элементов // Рассеяние энергии при колебаниях механических систем. Киев: Наукова думка, 1980. С. 25-36.

30. Василенко Н. В. Учет несовершенной упругости материала при использовании метода конечных элементов для исследования резонансных колебаний деформируемого твердого тела произвольной формы // Проблемы прочности. 1980. № 10. С. 25-27.

31. Вахитов М. Б. К расчету на прочность тонкостенных крыльев малого удлинения // Изв. вузов. Авиационная техника. 1967. № 1. С. 128-132.

32. Вахитов М. Б., Левашов П. Д. Применение гибридных схем к расчету тонкостенных конструкций методом перемещений // Изв. вузов. Авиационная техника. 1980. № 2. С. 30-34.

33. Вахитов М. Б., Сафариев М. С., Сафонов А. С. К вопросу применимости гипотезы неизменяемости формы поперечного сечения в расчетах прочности тонкостенных авиационных конструкций // Изв. вузов. Авиационная техника. 1974. № 4. С. 32-37.

34. Внутреннее трение в металлах и сплавах. Сб. М.: Наука, 1966. 244 с.

35. Волчков Ю. М., Коробейников С. Н. Численное решение упруго-пластических задач теории оболочек // Сб. материалов V Всесоюзной конф. по численным методам решения задач теории упругости и пластичности. Ч. 2. СО АН СССР, 1978. С. 40-47.

36. Волчков Ю. М., Коробейников С. Н. Оценка предельной нагрузки упруго-пластических оболочек вращения // Журн. прикл. механики и техн. физики. 1981. №4. С. 146-150.

37. Вульман С. А. О решении осесимметричных упруго-пластических задач методом малого параметра // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. 1969. №3. с. 166-169.

38. Вульман А. С. Решение осесимметричных упруго-пластических задач для тел из сжимаемого материала // Прикладная механика. 1971. Т. 7. Вып. 7. С. 91-94.

39. Галин JI. А. Плоская упруго-пластическая задача // Прикладная математика и механика. 1946. Т. 10. Вып. 3. С. 367-386.

40. Гилл Ф. и др. Практическая оптимизация. М.: Мир, 1985. 509 с.

41. Голубев И. С. Аналитические методы проектирования конструкций крыльев. М.: Машиностроение, 1972. 288 с.

42. Гурьев Н. И., Поздышев В. А., Старокадомская 3. М. Матричные методы расчета на прочность крыльев малого удлинения. М.: Машиностроение, 1972. 260 с.

43. Давиденков Н. Н. О рассеянии энергии при вибрациях // Журнал технической физики. 1938. Т. 8. Вып. 6. С. 483-499.

44. Деннис Дж. мл., Шнабель Р. Численные методы безусловной оптимизации и решения нелинейных уравнений. М.: Мир, 1988. 440 с.

45. Джорж А., Лю Дж. Численное решение больших разреженных систем уравнений. М.: Мир, 1984. 333 с.

46. Доброславский В. J1. О моделях и математическом описании упругих связей с гистерезисом // Рассеяние энергии при колебаниях упругих систем. Киев: Наукова думка, 1968. С. 155-160.

47. Дубенец В. Г., Хильчевский В. В. Колебания демпфированных композитных конструкций. В 2 т. Киев: Вища школа, 1995. Т. 1. 226 с.

48. Дубиня В. А., Дударьков М. М., Замула Г. Н., Павлов В. А. Программа расчета напряженно-деформированного состояния конструкций летательных аппаратов методом конечного элемента ОТСЕК-О // Труды ЦАГИ. 1980. Вып. 2063. С. 172-188.

49. Ершов JT. В. Упруго-пластическое состояние вблизи сферической полости // Изв. АН СССР. Отд-ние техн. наук. 1960. № 6. С. 155-166.

50. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. М.: Мир, 1975.541 с.

51. Зенкевич О., Морган К. Конечные элементы и аппроксимация. М.: Мир, 1986. 318 с.

52. Зинер К. Упругость и неупругость металлов. М.: Иностр. лит., 1954.300 с.

53. Иванов Ю. И., Мазур В. В. Специализированная система программирования расчетов на прочность методом конечного элемента ССП МКЭ // Труды ЦАГИ. 1976. Вып. 1731. 31 с.

54. Иванова Г. М., Малинин Г. И. О наследственной теории ползучести и малоцикловой усталости полимерных материалов // Механика полимеров. 1970. №4. С. 615-621.

55. Ивлев Д. Д. Об определении перемещений в задаче JI. А. Галина // Прикладная математика и механика. 1957. Т. 21. Вып. 5. С. 716-717.

56. Ивлев Д. Д. Приближенное решение упруго-пластических задач теории идеальной пластичности методом малого параметра // Докл. АН СССР. 1957. Т. 113. № 2. С. 294-296.

57. Ивлев Д. Д. Теория идеальной пластичности. М.: Наука, 1966. 231 с.

58. Ивлев Д. Д., Ершов JI. В. Метод возмущений в теории упруго-пластического тела. М.: Наука, 1978. 208 с.

59. Ильюшин А. А. Пластичность. М.: Изд-во АН СССР, 1963. 271 с.

60. Ильюшин А. А., Победря Б. Е. Основы математической теории тер-мовязкоупругости. М.: Наука, 1970. 280 с.

61. Ионов А. В., Кислова Т. Е. Исследование сложных вибродемпфиро-ванных конструкций методом конечных элементов // Акустический журнал. 1981. Т. 27. Вып. 1. С. 116-120.

62. Ишлинский А. Ю. Некоторые применения статистики к описанию законов деформирования тел // Изв. АН СССР. Отд-ние техн. наук. 1944. № 9. С. 583-590.

63. Кан С. Н., Свердлов И. А. Расчет самолета на прочность. М.: Машиностроение, 1966. 519 с.

64. Качанов Jl. М. Пример решения вариационным методом задачи упруго-пластического кручения // Исследования по упругости и пластичности. Л., 1961. Т. 1.С. 151-161.

65. Качанов Jl. М. Основы теории пластичности. М.: Наука, 1969. 420 с.

66. Кашин Г. М., Пшеничнов Г. И., Флеров Ю. А. Методы автоматизированного проектирования самолетов. М.: Машиностроение, 1979. 168 с.

67. Клаф Р., Пензен Дж. Динамика сооружений. М.: Стройиздат, 1979.320 с.

68. Кожинов В. Я. Программа для расчета матрицы жесткости упругого летательного аппарата с крылом малого удлинения // Труды ЦАГИ. 1969. Вып. 1171. С. 3-26.

69. Кондратов В. М., Левашов П. Д., Шишкин В. М. Определение химического состава сплава по прочностным, жесткостным и демпфирующим свойствам конструкции. М.: 1998. Деп. в ВИНИТИ: № 1126-В98. 22 с.

70. Кондратов В. М., Левашов П. Д., Шишкин В. М. Чувствительность оптимальных решений к погрешностям параметров проектирования при выборе химического состава демпфирующего сплава. М.: 1998. Деп. в ВИНИТИ: № 3825-В98. 19 с.

71. Кондратов В. М., Шишкин В. М. Математическое моделирование и проектирование демпфирующих сплавов // Сб. материалов Всероссийской научно-техн. конф. "Наука-производство-технология-экология". Т. 1. Киров, 2007. С. 303-307.

72. Корчинский И. JI. О внутреннем сопротивлении строительных материалов // Вестник инженеров и техников. 1938. № 2. С. 21-27.

73. Кристенсен Р. Введение в теорию вязкоупругости. М.: Мир, 1982.333 с.

74. Кун П. Расчет на прочность оболочек в самолетостроении. М.: Оборонно, 1961. 306 с.

75. Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Физматгиз, 1958. 678 с.

76. Левашов П. Д. Формирование матриц жесткости тонкостенных конструкций на основе гибридных расчетных схем // Изв. вузов. Авиационная техника. 1981. № 4. С. 42-46.

77. Левашов П. Д., Иномистов В. Ю. Определение динамической реакции составных конструкций на основе конечно-элементных аппроксимаций с учетом рассеяния энергии в материале с помощью комплексных модулей. М.: 1995. Деп. в ВИНИТИ: № 3238-В95. 20 с.

78. Левашов П. Д., Иномистов В. Ю. К определению числа собственных форм разложения при определении динамической реакции конструкций с учетом внутреннего трения материала. М.: 1996. Деп. в ВИНИТИ: № 1578-В96. 20 с.

79. Левашов П. Д., Шишкин В. М. К вопросу учета работы элементов тонкостенных конструкций на изгиб // Прочность, устойчивость и колебания тонкостенных и монолитных авиационных конструкций. Казань: КАИ, 1981. С. 55-60.

80. Левашов П. Д., Шишкин В. М. К вопросу о формировании многомерных матриц жесткости с полями перемещений любого порядка // Изв. вузов. Авиационная техника. 1982. № 2. С. 69-72.

81. Левашов П. Д., Шишкин В. М. О вычислении элементов матриц жесткости с помощью полиномов третьего порядка // Прочность, устойчивость и колебания тонкостенных и монолитных авиационных конструкций. Казань: КАИ, 1983. С. 39-45.

82. Левашов П. Д., Шишкин В. М. Применение вспомогательных гипотез при расчете тонкостенных конструкций на основе гибридных расчетных схем // Прочность и колебания авиационных конструкций. Казань: КАИ, 1984. С. 43-50.

83. Ломакин А. А. О теории нелинейной упругости и пластичности анизотропных сред // Изв. АН СССР. Отд-ние. техн. наук. 1960. № 4. С. 60-65.

84. Мак-Кракен Д., Дорн У. Численные методы и программирование на ФОРТРАНе. М.: Мир, 1977. 548 с.

85. Малинин М. М. Прикладная теория пластичности и ползучести. М.: Машиностроение, 1975. 399 с.

86. Матвеев В. В. К определению демпфирующих свойств систем с амплитудно-зависимым сопротивлением // Проблемы прочности. 1970. № 5. С. 11-17.

87. Матвеев В. В. К описанию контура петли механического гистерезиса // Проблемы прочности. 1973. № 8. С. 3-9.

88. Матвеев В. В. Механический гистерезис и демпфирование колебаний деформируемых тел: Автореф. дис. . докт. техн. наук/ Киев, 1973. 31 с.

89. Матвеев В. В. Демпфирование колебаний деформируемых тел. Киев: Наукова думка, 1985. 263 с.

90. Матвеев В. В., Шпак Д. Е. Модели упруго-пластического тела, описывающие гистерезис при циклическом деформировании материала с учетом влияния статической составляющей деформации. Киев: АН У.ССР. Ин-т проблем прочности, 1983. 36 с.

91. Математическое обеспечение ЕС ЭВМ. Пакет научных подпрограмм. / Под ред. С. П. Ерашевской, Н. Д. Соколовой. Вып. 3, ч. 3. Минск, 1973. 240 с.

92. Метод суперэлементов в расчетах инженерных сооружений / В.А. Постнов, С.А. Дмитриев, Б.К. Елтышев, А.А. Родионов. Под общей ред. В. А. Постнова. JI.: Судостроение, 1979. 288 с.

93. Мешков С. И. Приложение интегральных уравнений Вольтерра к описанию наследственно упругих свойств твердых тел // Механика деформируемых тел и конструкций. М., 1975. С. 286-293.

94. Митчел Э., Уэйт Р. Метод конечных элементов для уравнений с частными производными. М.: Мир, 1981. 216 с. •

95. Морозов Е. М., Никишков Г. П. Метод конечных элементов в механике разрушения. М.: Наука, 1980. 254 с.

96. Москвитин В. В. Пластичность при переменных нагружениях. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1965. 262 с.

97. Москвитин В. В. Сопротивление вязкоупругих материалов. М.: Наука, 1972. 328 с.

98. Надаи А. Пластичность и разрушение твердых тел. М.: Мир, 1969.863 с.

99. Нардо С. Экспериментальные исследования // В сб.: Вопросы прочности цилиндрических оболочек. М.: Оборонгиз, 1960. С. 128-139.

100. Новик А., Берри Б. Релаксационные явления в кристаллах. М.: Атомиздат, 1975. 472 с.

101. Норри Д., де Фриз Ж. Введение в метод конечных элементов. М.: Мир, 1981.304 с.

102. Образцов И. Ф., Савельев Jl. М., Хазанов X. С. Метод конечных элементов в задачах строительной механики летательных аппаратов. М.: Высшая школа, 1985. 392 с.

103. Оден Дж. Конечные элементы в нелинейной механике сплошных сред. М.: Мир, 1976. 464 с.

104. Одиноков Ю. Г. Расчет самолета на прочность. М.: Машиностроение, 1973.392 с.

105. Остросаблин Н. И. Упруго-пластическое распределение напряжений в плоскости, ослабленной конечным числом круговых отверстий // Прикладная механика. 1973. Т. 9. № 10. С. 124-128.

106. Пальмов В. А. К анализу некоторых результатов экспериментальных исследований рассеяния энергии при колебаниях // Проблемы прочности. 1974. № Ю. С. 61-66.

107. Пальмов В. А. Колебания упруго-пластических тел. М.: Наука, 1976. 328 с.

108. Пальмов В. А. Внутреннее трение при колебаниях упругих тел // Вибрации в технике: Справочник. М.: Машиностроение, 1981. Т. 6. С. 150-171.

109. Пановко Я. Г. Об учете гистерезисных потерь в задачах прикладной теории упругих колебаний // Журнал технической физики. Т. 23. Вып. 3. 1953. С. Ш-497.

110. Пановко Я. Г. Внутреннее трение при колебаниях упругих систем. М.: Физматгиз, 1960. 193 с.

111. Парлетт Б. Симметричная проблема собственных значений. Численные методы. М.: Мир, 1983. 384 с.

112. Писаренко Г. С. Рассеяние энергии при механических колебаниях. Киев: Изд-во АН УССР, 1962. 320 с.

113. Писаренко Г. С. Уравнения контуров петель гистерезиса, характеризующих рассеяние энергии в материале при вибрации // Прикладная механика. 1969. Т. 5. Вып. 2. С. 96-106.

114. Писаренко Г. С. Колебания механических систем с учетом несовершенной упругости материала. Киев: Наукова думка, 1970. 377 с.

115. Писаренко Г. С. Обобщенная нелинейная модель учета рассеяния энергии при колебаниях. Киев: Наукова думка, 1985. 236 с.

116. Писаренко Г. С., Хильчевский В. В., Дубенец В. Г. К определению параметров петли гистерезиса, характеризующих рассеяние энергии в материале // Проблемы прочности. 1970. № 9 С. 14-19.

117. Писаренко Г. С., Хильчевский В. В., Дубенец В. Г. Расчет свободных и вынужденных колебаний круглых пластин с учетом рассеяния энергии в материале // Проблемы прочности. 1972. № 11. С. 3-10.

118. Писаренко Г. С., Яковлев А. П., Матвеев В. В. Вибропоглощающие свойства конструкционных материалов: Справочник. Киев: Наукова думка, 1971.375 с.

119. Постников B.C. Внутреннее трение в металлах. М.: Металлургия, 1969. 330 с.

120. Постнов В. А., Розин JI. А. Метод конечных элементов в теории пластин и оболочек // Труды IX Всесоюзн. конф. по теории пластин и оболочек. Л., 1975. С. 292-296.

121. Постнов В. А., Хархурим И. Я. Метод конечных элементов в расчетах судовых конструкций. Л.: Судостроение, 1974. 344 с.

122. Прагер В. Трехмерное пластическое течение при однородном напряженном состоянии // Механика: Сб. переводов и обзоров иностр. лит. 1958. №3. С. 23-27.

123. Пржменицкий Дж. Матричный метод исследования конструкций на основе анализа подструктур // Ракетная техника и космонавтика. 1963. Т. 1. № 1.С. 165-174.

124. Работнов Ю. Н. Элементы наследственной механики твердых тел. М.: Наука, 1977.381 с.

125. Работнов Ю. Н., Паперник Jl. X., Степанычев Е. И. Приложение наследственности к описанию временных эффектов в полимерных материалах // Механика полимеров. 1970. № 1. С. 74-87.

126. Рассеяние энергии при колебаниях механических систем / Под ред. Г. С. Писаренко. Киев: Наукова думка, 1970. 454 с.

127. Рассеяние энергии при колебаниях механических систем / Под ред. Г. С. Писаренко. Киев: Наукова думка, 1972. 355 с.

128. Рассеяние энергии при колебаниях механических систем / Под ред. Г. С. Писаренко. Киев: Наукова думка, 1974. 328 с.

129. Рассеяние энергии при колебаниях механических систем / Под ред. Г. С. Писаренко. Киев: Наукова думка, 1976. 262 с.

130. Рассеяние энергии при колебаниях механических систем / Под ред. Г. С. Писаренко. Киев: Наукова думка, 1978. 248 с.

131. Рассеяние энергии при колебаниях механических систем / Под ред. Г. С. Писаренко. Киев: Наукова думка, 1980. 360 с.

132. Рассеяние энергии при колебаниях механических систем / Под ред. Г. С. Писаренко. Киев: Наукова думка, 1982. 327 с.

133. Реклейтис Г. и др. Оптимизация в технике: В 2 кн. М.: Мир, 1986. Кн. 1.356 с.

134. Реклейтис Г. и др. Оптимизация в технике: В 2 кн. М.: Мир, 1986. Кн. 2.320 с.

135. Розин JI. А. Расчет гидротехнических сооружений на ЭВМ. Метод конечных элементов. Л.: Энергия, 1971. 213 с.

136. Сафонов В. В. Решение больших систем уравнений при расчете конструкций методом конечного элемента. Расчет многозамкнутых оболочек методом конечного элемента // Труды ЦАГИ. 1976. Вып. 1751. С. 3-37.

137. Сегерлинд Л. Применение метода конечных элементов. М.: Мир, 1979. 392 с.

138. Семенов В. М. Метод задания и автоматизации ввода в ЭВМ исходных данных на начальных этапах проектирования конструкции // Труды ЦАГИ. 1980. Вып. 2063. С. 111-116.

139. Семыкина Т. Д. О трехосном растяжении упруго-пластического пространства, ослабленного сферической полостью // Изв. АН СССР. Отд-ние техн. наук. 1963. № 1. С. 173-177.

140. Скворцов А. И., Кондратов В. М., Агапов А. И., Шишкин В. М. Термическая обработка демпфирующих сплавов на основе железо-углерод // Технология металлов. 2006. № 11. С. 16-21.

141. Скучик Е. Простые и сложные колебательные системы. М.: Мир, 1971. 557 с.

142. Соколов А. П. Об упруго-пластическом состоянии пластинки // Докл. АН СССР. 1948. Т. 60. № 1. С. 33-36.

143. Соколовский В. В. Об одной задаче упруго-пластического кручения // Прикладная математика и механика. 1942. Т. 6. Вып. 2. С. 241-246.

144. Сорокин Е. С. К вопросу неупругого сопротивления строительных материалов при колебаниях // Научное сообщение ЦНИИПС. Госстройиздат, 1954. Вып. 15. 61 с.

145. Сорокин Е. С. К теории внутреннего трения при колебаниях упругих систем. М.: Госстройиздат, 1960. 129 с.

146. Сорокин Е. С. Уравнения динамической теории упругости с учетом внутреннего трения // Вопросы механики в приложении к транспорту и строительству/Труды. Моск. ин-та инженеров железнодор. трансп. М., 1971. С. 3-14.

147. Сорокин Е. С. Частотно-зависимое внутреннее трение в материале и гипотеза Фойгта // Строительная механика и расчет сооружений. 1976. № 2. С. 68-72.

148. Сорокин Е. С., Кочнева JI. Ф. Линейная теория наследственного частотно-независимого внутреннего трения в материалах и конструкциях при колебаниях // Исследования по теории сооружений. 1975. Вып. 21. С. 124-131.

149. Сорокин Е. С., Муравский Г. Н. Об учете упругих несовершенств материалов методами теории наследственной упругости // Строительная механика и расчет сооружений. 1975. № 4. С. 52-58.

150. Суворова 10. В., Васильев А. Е., Машинская Г. П., Финогенов Г. Н. Исследование процессов деформирования органотекстолитов // Механика композиционных материалов. 1980. № 3. С. 538-540.

151. Тимошенко С. П. Сопротивление материалов: В 2 т. М.: Наука, 1965. Т. 2. 480 с.

152. Файерберг И. И. Растяжение пластинки с круговым отверстием за пределом упругости // Труды ЦАГИ. 1947. Вып. 615. С. 1-13.

153. Ферри Дж. Вязкоупругие свойства полимеров. М.: Иностр. лит., 1963. 535 с.

154. Фролов В. М., Упадышев Б. Л. Об одном приближенном методе определения упругой поверхности тонкого треугольного крыла малого удлинения // Труды ЦАГИ. 1974. Вып. 1564. С. 3-14.

155. Хейгеман Л., Янг Д. Прикладные итерационные методы. М.: Мир, 1986. 448 с.

156. Хилл Р. Математическая теория пластичности. М.: Гостехиздат, 1956.407 с.

157. Хильчевский В. В. Об одной методике экспериментального исследования рассеяния энергии в материале // Труды научно-техн. совещания по изучению рассеяния энергии при колебаниях упругих тел. Киев: Изд-во АН УССР, 1958. С. 165-167.

158. Хильчевский В. В. Влияние вида напряженного состояния и характера нагружения на рассеяние энергии в циклически деформируемом материале: Автореф. дис. . докт. техн. наук/ Киев, 1969. 41 с.

159. Хильчевский В. В., Дубенец В. Г. К вопросу о форме петли гистерезиса // Проблемы прочности. 1970. № 9. С. 38-41.

160. Хильчевский В. В., Дубенец В. Г. Об учете рассеяния энергии при сложном напряженном состоянии // Проблемы прочности. 1971. №5. С. 39-43.

161. Хильчевский В. В., Дубенец В. Г. К вопросу о создании конструкций с высокой демпфирующей способностью // Рассеяние энергии при колебаниях механических систем. Киев: Наукова думка, 1974. С. 76-85.

162. Хильчевский В. В., Дубенец В. Г. Расчет колебаний круглых пластин // Изв. вузов. Машиностроение. 1975. № 12. С. 35-39.

163. Хильчевский В. В., Дубенец В. Г. Рассеяние энергии при колебаниях тонкостенных элементов конструкций. Киев: Вища школа, 1977. 252 с.

164. Хильчевский В. В., Дубенец В. Г. Рассеяние энергии при деформировании в условиях сложного напряженного состояния материала. Киев: Вища школа, 1981. 168 с.

165. Хог Э., Арора Я. Прикладное оптимальное проектирование. М.: Мир, 1963.479 с.

166. Хофмейстер JL, Гринбаум Г., Ивенсен Д. Упруго-пластический расчет больших деформаций методом конечных элементов // Ракетная техника и космонавтика. 1971. Т. 9. № 7. с. 42-51.

167. Цейтлин А. И. Об учете внутреннего трения в нормативных документах по динамическому расчету сооружений // Строительная механика и расчет сооружений. 1981. № 4. С. 33-38.

168. Чайковский Б. С. и др. К разработке высокодемпфирующих сплавов системы Cu-Al-Ni-Fe-Zn с термоупругим мартенситом // Рассеяние энергии при колебаниях механических систем. Киев: Наукова думка, 1980. С. 297-303.

169. Черепанов Г. П. Об одном методе решения упруго-пластических задач // Прикладная математика и механика. 1963. Т. 27. Вып. 3. С. 428^35.

170. Численные методы условной оптимизации / Под ред. Ф. Гилла и У. Моррея. М: Мир, 1977.290 с.

171. Шапошников Н. Н., Тарабасов Н. Д., Мяченков В. И. Расчет машиностроительных конструкций на прочность и жесткость. М.: Машиностроение, 1981.332 с.

172. Шевченко Ю. В. Определяющие уравнения нелинейной теории наследственной среды при неизотермических процессах нагружения // Прикладная механика. 1978. Т. 14. Вып. 2. С. 41-47.

173. Шишкин В. М. Учет внутреннего трения материала в нестационарных режимах нагружения конструкций // Сб. материалов VIII Всероссийской конф. "Демпфирующие материалы". Киров, 1999. С. 93.

174. Шишкин В. М. Выбор демпфирующего сплава по параметрам нестационарных колебаний конструкции: Автореф. дис. . канд. техн. наук / Киров, 1999. 18 с.

175. Шишкин В. М. Компактная схема формирования систем разрешающих уравнений для анализа стационарных колебаний конструкций с учетом внутреннего трения материала. М.: 2000. Деп. в ВИНИТИ: № 1000-В00. 13 с.

176. Шишкин В. М. Применение физических уравнений Прандтля-Рейсса к моделированию процессов деформирования упруго-пластических тел // Сб. материалов региональной научно-техн. конф. "Наука-производство-технология-экология". Т. 3. Киров, 2000. С. 127-128.

177. Шишкин В. М. Итерационные процедуры для учета внутреннего трения материала при анализе стационарных колебаний конструкций // Сб. материалов региональной научно-техн. конф. "Наука-производство-технология-экология". Т. 3. Киров, 2000. С. 129-130.

178. Шишкин В. М. Динамический расчет конструкций с учетом демпфирующих свойств материала, зависящих от скорости деформации // Сб. материалов Всероссийской научно-техн. конф. "Наука-производство-технология-экология". Т. 3. Киров, 2001. С. 219-220.

179. Шишкин В. М. Формирование матриц жесткости, масс и демпфирования балочного конечного элемента с демпфирующим покрытием // Сб. материалов Всероссийской научно-техн. конф. "Наука-производство-технология-экология". Т. 3. Киров, 2001. С. 221-222.

180. Шишкин В. М. Применение скользящей интерполяции к определению динамической реакции конструкций с учетом демпфирующих свойств материала. М.: 2002. Деп. в ВИНИТИ: № 1576-В2002. 18 с.

181. Шишкин В. М. Построение физических зависимостей для учета демпфирующих свойств материала при сложном напряженном состоянии в нестационарных режимах нагружения конструкций. М.: 2002. Деп. в ВИНИТИ: № 1577-В2002. 22 с.

182. Шишкин В. М. Формирование разрешающих уравнений для анализа упруго-пластического состояния составных конструкций // Сб. материалов Всероссийской научно-техн. конф. "Наука-производство-технология-экология". Т. 5. Киров, 2003. С. 169-170.

183. Шишкин В. М. Определение несущей способности конструкций летательных аппаратов на основе гибридных расчетных схем. М.: 2003. Деп. в ВИНИТИ: № 1848-В2003. 25 с.

184. Шишкин В. М. К вопросу о шаговом интегрировании уравнений движения конструкций с учетом демпфирующих свойств материала. М.: 2004. Деп. в ВИНИТИ: № 235-В2004. 16 с.

185. Шишкин В. М. Конечно-элементные модели в колебаниях неидеально упругих конструкций // Монография. Киров: изд-во ВятГУ, 2004. 72 с.

186. Шишкин В. М. Определение упруго-пластического состояния тонкостенных конструкций разветвленной структуры методом подконструкций // Изв. вузов. Авиационная техника. 2005. № 1. С. 13-16.

187. Шишкин В. М. Процедура глобального сглаживания напряжений в конечно-элементных моделях конструкций // Сб. материалов Всероссийской научно-техн. конф. "Наука-производство-технология-экология". Т. 3. Киров, 2005. С. 245-247.

188. Шишкин В. М. Формирование систем разрешающих уравнений для анализа стационарной динамической реакции неидеально упругих конструкций // Вестник КГТУ им. А.Н. Туполева. 2005. № 2. С. 35-38.

189. Шишкин В. М. Формирование матрицы демпфирования треугольного конечного элемента при изгибе // Изв. вузов. Авиационная техника. 2005. №2. С. 8-11.

190. Шишкин В. М. Идентификация демпфирующих свойств реологической модели материала, основанной на эффекте микропластических деформаций // Вестник КГТУ им. А.Н. Туполева. 2006. № 2. С. 35-39.

191. Шишкин В. М. Учет амплитудно-зависимого рассеяния энергии в материале при резонансных колебаниях конструкций // Известия Международной академии наук высшей школы. 2006. № 2. С. 188-198.

192. Шишкин В. М. Выбор функции микропластичности для моделирования демпфирующих свойств изотропного упруго-пластического материала // Сб. материалов Всероссийской научно-техн. конф. "Наука-производство-технология-экология". Т. 5. Киров, 2006. С. 302-306.

193. Шишкин В. М. Решение обратной задачи динамики при резонансных колебаниях конструкций с линейно-гистерезисным материалом // Сб. материалов Всероссийской научно-техн. конф. "Наука-производство-технология-экология". Т. 5. Киров, 2006. С. 307-310.

194. Шишкин В. М. Выбор метода последовательной линеаризации при конечно-элементном решении упруго-пластической задачи // Сб. материалов Всероссийской научно-техн. конф. "Наука-производство-технология-экология". Т. 5. Киров, 2007. С. 338-342.

195. Шуп Т. Решение инженерных задач на ЭВМ. М.: Мир, 1982. 238 с.

196. Эшли X. О механизмах пассивного демпфирования больших космических конструкций // Аэрокосмическая техника. 1985. Т. 3. № 6. С. 18-28.

197. Яковлев А. П. Рассеяние энергии в упругих слоистых стержнях при крутильных и изгибных колебаниях // Проблемы прочности. 1977. № 11. С. 92-98.

198. Яковлев А. П. Диссипативные свойства неоднородных материалов и систем. Киев: Наукова думка, 1985. 248 с.

199. Ayres D. J. A numerical procedure for calculating stress and deformation near a slit in a three-dimensional elastic plastic solid // Eng. Fract. 1970. Vol. 2. № 2. P. 143-156.

200. Barlow J. Optimal stress locations in finite element models // Intern. Journal Numer. Meth. Eng. 1976. Vol. 10. № 2. P. 243-251.

201. Beaufait P. W. Stiffness Analysis Using Multiglobal Axes System // AIAA Journal. 1971. № 7. P. 1400-1402.

202. Crandall S. H. The role of damping in vibration theory // Journal of Sound and Vibration. 1970. Vol 11. № 1. P. 3-18.

203. Cristopherson D. G. A theoretical investigation of plastic torsion in I-beam // Journal Appl. Mech. 1940. Vol. 7. P. 3-6.

204. Drucker D. A more fundamental approach to plastic stress-strain solutions // In: Proc. First. U.S. Nat. Congr. Appl. Mech. 1951. P. 487-491.

205. Gienke E. Zur Festigkeitsberechnung von Tragflugeln kleiner Streckung mit Hilfe der Plattcntheorie // Zeitschrift fur Flugwissenschaften. 1961. № 3. P. 65-80.

206. Hinton E., Campbell J. S. Local and global smoothing of discontinious finite element functions using a least squares method // Intern. Journal Numcr. Meth. Eng. 1974. Vol. 8. № 3. P. 461^80.

207. Lazan B. J. Damping of Materials and Membersin Structural Mechanics. Pergamon press, Oxford, London and others, 1968. 317 p.

208. Lee С. H., Kobayashi Sh. Elasto-plastic analysis of plane-strain and axi-symmetric flat punch indentation by the finite-element method // Intern. Journal Mech. Sci. 1970. Vol. 2. № 4. P. 349-370.

209. Macheal R. H., Macormick C. W. The NASTRAN computer program for Structural analysis // SAE Preprints, 1969. 612. 14 p.

210. Melullers L. A., Naberhans J. D. Automated Structural desing and analysis of advanced composite wing madels // Comput. and Struct. 1973. № 4. P. 925-935.

211. Mentel T. Y., Chi S. H. Experimental study of dilatational versus distor-tional straining action in material damping production // The Journal of the Acoustical Society of America. 1964. Vol. 36. № 3. P. 357-365.

212. Nayak G. C., Zienkiewich О. C. Elasto-plastic stress analysis. A generalisation for varions constitutive relations including strain softening // Intern. Journal Numer. Meth. Eng. 1973. Vol. 5. № 1. P. 113-135.

213. Oden J., Reddy J. N. Nate on an approximate method for computing consistent conjugate stresses in elastic finite elements // Intern. Journal Numer. Meth. Eng. 1973. Vol. 6. № 1. P. 55-61.

214. Prager W. A. Note on the optimal choice of finite element gride // Comput. Meth. Appl. Mech. and Eng. 1975. Vol. 6. № 3. P. 363-366.

215. Southwell R. V. Relaxation method in theoretical physics // Oxford University Press. 1956. Vol. 2. P. 249-522.

216. Torvik P. I., Chi S. H., Lasan В. I. Damping of materials under biaxial stress: Technical documentary report. NO. NASD-TDR-62-1030. Ohio, 1963. 45 p.

217. Turner M. J., Clough R. W., Martin H. C., Topp L. J. Stiffness and deflection analysis of complex structures // Journal Aeronaut Sci. 1956. Vol. 23. № 9. P. 805-824.

218. Williams D. A General Method (Depending on the Aid of a Digital Computer) for Deriving the Structural Influence Coefficients of Aeroplane Wings. RAE Report No. Structures 168,1954. 115 p.

219. Williams D. Recent Developments in the Structural Approach to Aeroe-lastic Problems //Jornal of the Royal Aeronautical Society. 1954. № 6. P. 403^28.

220. Zienkiewich О. C., Cheung Y. K. The Finite Element Method in Structural and Continuum Mechanics. New. York: McGraw Hill, 1967. 420 p.