Описание мезонов в модели составной суперконформной струны и экзотических мезонных состояний как системы дикварк - антидикварк в терминах D-матрицы тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат наук Семенова Алла Николаевна

• Семенова Алла Николаевна
• кандидат наук
• 2016

Оглавление диссертации кандидат наук Семенова Алла Николаевна

1.2 Формулировка модели

1.2.1 Классические Л^-реджеоииые вершины

1.2.2 Новый класс Л^-реджеонных вершин и модель составной струны

1.2.3 Переход к вершинам испускания основного состояния

1.2.4 Анализ спектра состояний для ¿-ого сечения амплитуды АN

1.3 Амплитуды и траектории

1.3.1 Мезонная вбтттР1НсЬ для и РI 1 кварковых флейворов

1.3.2 Выражение для амплитуды

1.3.3 Амплитудам + п ^ п + п

1.3.4 Мезонная вбтттР1НсЬ для и 1 и в кварковых флейворов

1.3.5 Амплитуда п + К ^ п + К

1.3.6 Амплитуда К + К ^ К + К

1.3.7 Обобщение на случай барионов

1.3.8 Заключение

2 Экзотические мезоны со скрытым чармом как дикварк

антидикварковые состояния

2.1 Введение

2.2 Классификация дикварк - антидикварковых состояний

2.2.1 Волновые функции низколежащих дикварк - антидикварковых систем

2.2.2 Массы дикварковых систем

2.2.3 Классификация (ев) • (ев)-состояний

2.3 Амплитуда перехода дикварк - антидикварковых состояний

в мезон - мезонные состояния

2.3.1 Однополюсная 0.1 М ТТ Л И ТР ^у^л^ 0.1 для 2++ - состояния

2.3.2 Однополюсная амплитуда для состояния 1++

2.3.3 Двухполюсная амплитуда состояния 1+"

2.3.4 Двухполюсная амплитуда 0++ - состояний

2.3.5 Мезон - мезонные компоненты и смещение масс резо-нансов

2.4 Сравнение результатов с экспериментальными данными

2.5 Экзотические мезоны со скрытой странностью как члены но-нетной классификации

2.6 Заключение

А Приложения к Главе

А.1 Петлевые диаграммы

А. 1.1 Петлевая диаграмма для однополюсной и одноканаль-

ной амплитуды

А. 1.2 Многоканальная двух полюсная амплитуда

А.2 Спиновая волновая функция для системы (ев • св) и её разложение на мезон - мезонные состояния

Литература

Введение

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Описание мезонов в модели составной суперконформной струны и экзотических мезонных состояний как системы дикварк - антидикварк в терминах D-матрицы»

Актуальность темы.

Определение спектра и свойств адронов является одной из самых масштабных физики элементарных ЧЕСТИЦ. Работа 1 ЮС ВЯЩбНсЛ наиболее трудному аспекту адронных взаимодействий, а именно так называемым мягким взаимодействиям в области низких и промежуточных энергий.

В этой области энергий традиционные методы квантовой теории поля оказываются мало эффективными. Предлагаемый в диссертационной работе подход составных

суперконформных струн даёт возможность адекватного описания взаимодействий в области низких и промежуточных энергий, которое является наиболее востребованным с точки зрения ядерной физики.

На сегодняшний день различными экспериментальными коллабора-циями был открыт ряд экзотических мезонных состояний, которые предположительно являются четырёхкварковыми системами. Исследование структуры и построение классификации таких экзотических состояний является актуальной задачей.

Степень разработанности темы исследования.

На заре дуальных резонансных моделей была предложена амплитуда Венециано,

описывающая процесс ш У ппп. Такая амплитуда обладала свойством дуальности и удовлетворяла двухчастичному условию унитарности.

Позднее была построена четырёхчастичная амплитуда Лавлеса -

Шапиро, которая позволяла рассмотреть рассеяние п-мезонов и давала р-мезонную траекторию с реальным интерсептом. Однако развить эту амплитуду на произвольное число хвостов не удалось.

Невё и Шварцем была предложена дуальная пионная модель, которая давала струнный подход к амплитуде рассеяния п-мезонов для произвольного числа хвостов. Она не имела тахиона на ведущей мезонной траектории и давала разность интерсептов для п и р-мезонных траекторий равной 1/2. Однако интерсепт ведущей мезонной траектории а0 = 1, что приводило к тому, что п-мезон являлся тахионом. Уйти от значения а0 = 1 без появления в спектре физических состояний духов было невозможно.

Таким образом, построить последовательную струнную модель без состояний с отрицательной нормой в спектре физических состояний для описания адронов не удавалось вплоть до появления модели составной суперконформной струны [1].

Дикварковая классификация активно применяется в описании бари-онов (трёхкварковых систем). Л-матрица используется как решение проблемы факторизации блоков амплитуды, отвечающих за переход из одного канала в другой.

Целью диссертационной работы является описание спектра мезонов и построение амплитуд взаимодействия при низких и промежуточных энергиях. Для этого используется новый тип струнной модели, подходящий для описания адронных взаимодействий. Формулируются вершины испускания основного состояния, удовлетворяющие симметриям модели. Проводится построение древесных четырёхточечных мезонных амплитуд.

Целью второй части работы является рассмотрение экзотических че-

тырёхкварковых состояний как системы дикварк-антидикварк и учёт их последующей рекомбинации в мезон-мезонные состояния. Для учта различных полюсов и каналов рекомбинации использовался подход О-матрицы.

В соответствии с целью исследования для каждой из двух глав были поставлены следующие основные задачи:

(1) Развить модель составной суперконформной струны для описания мезонов, содержащих кварки в7 с7 Ь флейворов. Сделать обобщение на случай описания барионов.

(2) Оценить массы экзотических состояний с учётом перерассеяния в мезон-мезонные состояния.

Научная новизна.

Данное исследование проводится на основе нового струнного подхода, который существенно отличается от классических струнных моделей. В отличие от классических струнных моделей этот подход не требует выполнения условий суперсимметрии в спектре физических адронных состояний, а так же не требует наличия безмассовых частиц со спинами ] = 1 и ] = 2 в этом спектре. Предлагаемая модель описывает адронные взаимодействия в обычном физическом четырёхмерном пространстве-времени, а не в пространстве с числом измерений О = 10 как в классических струнных моделях. Данная модель имеет топологию отличную от топологии классических струнных моделей. Это позволяет получить интерсепт ведущей мезонной траектории а0 = 1/2, что соответствует реальному спектру адронов.

Экзотические четырёхкварковые мезоны рассматриваются как системы дикварк-антидикварк, которые рекомбинируют в мезон-мезонные состояния.

Теоретическая и практическая значимость.

Результаты изложенные в диссертации могут быть использованы для расчёта длин рассеяния и других параметров мезонных взаимодействий в ядерной физике.

Результаты исследования четырёхкварковых экзотических мезонных состояний могут быть применены к описанию экзотических состояний с различным кварковым составом.

Методология и методы исследования. Для вычисления древесных амплитуд взаимодействия адронов в модели составной суперконформной струны используется операторный формализм вершин испускания основного состояния с конформным спином ^ = 1.

Для построении амплитуды перехода дикварк-антидикварковой системы в мезон-мезонную систему используется техника Л-матрицы, позволяющая одновременно учесть все каналы рекомбинации и дисперсионные поправки.

Достоверность результатов обеспечивается тем, что для исследо ваний новой струнной модели используется хорошо развитый операторный формализм. Результаты, полученные в рамках данной модели сравниваются с результатами, известными ранее для других струнных моделей. Л

вом анализе при исследовании неэкзотических состояний.

Основные положения, выносимые на защиту:

(1) Для модели составной суперконформной струны построен оператор испускания ^-мезона. Он удовлетворяет симметриям модели и не приводит к появлению реджевских траекторий, лежащих выше ведущей

р-мезонной траектории.

(2) В модели составной суперконформной струны впервые получено ограничение снизу на массу ^-мезона. Сведение массы странного кварка к нулю невозможно, так как это привело бы к появлению состояний с отрицательной нормой в спектре физических состояний.

(3) Полученное описание мезонов в модели составной суперконформной струны, содержащих s-кварк подходит и для описания мезонов, содержащих с, b кварки при соответствующей замене параметров.

(4) Модель составной суперконформной струны описывает барионы в терминах тех же самых двумерных полей, что и мезоны.

(5) Рассмотрены экзотические мезонные состояния. Построена классификация экзотических четырёхкварковых состояний как дикварк-анти-дикварковых систем. Построены амплитуды перехода дикварк-дикварко-вого состояния в мезон-мезонное состояния в терминах D-матрицы.

Апробация работы. Полученные результаты докладывались и обсуждались на следующих российских и международных конференциях и школ ах.

1. XLVI Зимняя школа Петербургского института ядерной физики (Ро-

щино, Россия 2012 г.).

http://hepd.pnpi.spb.ru/WinterSchool/archive/2012/school_program.shtml

2. Международная конференция «Hadron Structure and QCD» HSQCD —

2012 (Гатчина, Россия, 2012 г.).

http://hepd.pnpi.spb.ru/ hsqcd/2012/sciprog.shtml

3. XLVII Зимняя школа Петербургского института ядерной физики (Ро-

щино, Россия 2013 г.).

http://hepd.pnpi.spb.ru/WinterSchool/archive/2013/school_program.html

4. 51 Международная школа по субатомной физике (Эриче, Италия,

2013 г.).

http://www.ccsem.infn.it/issp2013/

5. XLVIII Зимняя школа Петербургского института ядерной физики (Рощино, Россия 2014 г.).

http://hepd.pnpi.spb.ru/WinterSchool/archive/2014/school_program.html

6. 52 Международная школа по субатомной физике (Эриче, Италия,

2014 г.).

http://www.ccsem.infn.it/issp2014/

7. Международная конференция «Hadron Structure and QCD» HSQCD — 2014 (Гатчина, Россия, 2014 г.).

http://hepd.pnpi.spb.ru/ hsqcd/sciprog.shtml

8. Международная конференция «In search of Fundamental Symmetries» ПОСВЯЩ6Н H cL-lFI 90-летию Ю.В. Новожилова (Санкт-Петербург, Россия,

2014 г.).

http://hep.phys.spbu.ru/conf/novozhilov90/

9. XLIX Зимняя школа Петербургского института ядерной физики (Рощино, Россия 2015 г.).

http://hepd.pnpi.spb.ru/WinterSchool/archive/2015/school_program.html

10. 53 Международная школа по субатомной физике (Эриче, Италия,

2015 г.).

http://www.ccsem.infn.it/issp2015/

и. Международная конференция «Models in quantum field theory» MQFT - 2015, ПОС ВЯЩ6Н HcL-lFI A.H. Васильеву (Санкт-Петербург, Россия, 2015 г.).

http://hep.phys.spbu.ru/conf/mqft2015/list_e.htm

Публикации. По теме диссертации опубликовано 3 научные работы в изданиях, рекомендованных ВАК РФ и входящих в базы данных РИНЦ, Web of Science и Scopus:

1. V.A. Kudryavtsev, A.N. Semenova, "Hadron amplitudes in composite superconformal string model Int. J. Mod. Phys. A27 (2012) 1250170.

2. V.A. Kudryavtsev and A.N. Semenova, "Interaction of n and К mesons and nucleons in the model of composite superconformal strings Theoretical and Mathematical Physics, 176(1): 922-928 (2013);

3. V. V. Anisovich, M. A. Matveev, A. V. Sarantsev and A. N. Semenova, "Exotic mesons with hidden charm as diquark antidiquark states Int. J. Mod. Phys. A30, No. 32 (2015) 1550186.

Личный вклад автора.

Все основные результаты, изложенные в диссертации, получены соискателем лично либо при его прямом неотделимом участии в соавторстве.

Структура и объём работы. Диссертация состоит из введения, двух глав, заключений к каждой главе, приложений и списка литературы из 75 наименований. Работа изложена на 87 страницах и содержит 17 рисунков.

Первая глава посвящена описанию мезонов в модели составной суперконформной струны. Она содержит описание струнной модели нового типа

и применение её к описанию мезонов. Также описано обобщение модели на случай описания барионов.

Вторая глава посвящена описанию экзотических мезонных состояний. Описана классификация полюсов в терминах дикварк-антидикварко-вых состояний, вычислены вероятности каналов рекомбинации. Дано сравнение вычисленных масс резонансов с экспериментальными данными.

В заключениях к главам перечисляются основные результаты.

В приложениях обсуждаются вопросы, связанные с вычислением петель мезон-мезонных состояний, и приведены спиновые волновые функции системы дикварк-антидикварк и их разложение по мезон-мезонным состояниям (приложения к Главе 2).

1. Описание мезонов в модели составной суперконформной струны

1.1. Введение

Определение спектра и свойств адронов по-прежнему является одной из самых актуальных задач физики элементарных частиц. Поэтому построение последовательной количественной теории сильного взаимодействия при низких и промежуточных энергиях на основе релятивистского квантового подхода является одним из наиболее интенсивно развивающихся направлений теоретических исследований.

Большинство исследователей струнных моделей сосредоточили свои усилия на суперструнах планковского масштаба, которые приводят к суперсимметричным теориям, уже вошедшими в противоречие с экспериментами на ЬНС. Фактически, подход суперконформных составных струн с единым струнным параметром (наклоном для всех адронных реджевских траекторий) и формулируемый в 4-мерном пространстве без 4-мерной суперсимметрии в нём не имеет пока альтернативных конкурентов.

Подход, основанный на квантовой хромодинамике, не может привести к значительным успехам без решения проблемы конфайнмента. Киральный подход, вообще говоря, не предназначен теоретически последовательным образом для энергии и импульсов много больших массы ^-мезона.

Первоначально струнные модели предназначались для описания ад-

ронов и их взаимодействия. Однако, в 1974 году [2] произошёл отказ от построения реалистической струнной модели для адронов, поскольку в спектре замкнутых струн было обнаружено безмассовое тензорное состояние, которое можно было отождествить с гравитоном. В совокупности с уже полученным безмассовым векторным бозоном для случая пересечения ведущей мезонной траектории а0 = 1, струну сочли подходящей для описания только фундаментальных взаимодействий (безмассовых гравитонов со спином J = 2 и безмассовых глюонов со спином J = 1). И таким образом решили отказаться от струны как модели для адронных взаимодействий. Именно это привело к ограничению струнных исследований пятью классическими суперструнными моделями и связанным с ними неисчерпаемым миром бран и супербран.

Н £1111 сХ задача - описать спектр наблюдаемых мезонов и барионов, а так же построить амплитуды их взаимодействия. Для этой цели мы используем новый класс струнных вершин (составные суперконформные), который был предложен В.А. Кудрявцевым [3]. Выбор струнной модели вполне естественен для подобной задачи, так как из экспериментальных данных по адронным взаимодействиям была обнаружена поразительная струноподобность спектра адронов и реждеонов |4]. Новый класс можно рассматривать, как обобщение многострунных (Ж-реджеонных) вершинных операторов [5].

Новые струнные вершины дают новую геометрическую картину для струнного взаимодействия. Здесь описание ведется в терминах трех двумерных поверхностей (составная струна) вместо одной обычной поверхности [1]. Дополнительные окаймляющие двумерные поверхности несут квар-

ковые квантовые числа (импульс, флейвор, спин). Эта составная струнная конструкция напоминает два других составных объекта: глюонную струну с двумя точечными кварками на ее концах или случай струны, начинающейся и оканчивающейся на бранах. Напомним, что для этой модели мы не имеем суперсимметрии в пространстве физических состояний (в пространстве Минковского). Существует конформная суперсимметрия (суперсимметрия Вирасоро) только на двумерной мировой поверхности. Топология взаимодействия составных струн позволяет решить проблему интерсепта а(0) = 1 для лидирующей траектории. Именно поля с окаймляющих поверхностей обязательно попадут в произвольное сечение и произведут нуж-СДВИГ ЗИН'Л'^ЗСб!Л/Л-'сЬ ^л^о ^ (0) = 1/2. В то время как все поля на базовой поверхности могут одновременно избежать попадания в сечение для данного канала, что приводило в классических струнных моделях к интерсепту а(0) = 1.

1.2. Формулировка модели

1.2.1. Классические Л-реджеоииые вершины

Обычно древесные амплитуды взаимодействия N струн представляются в виде интегралов от вакуумного ожидания произведения вершинных операторов испускания основного состояния:

Но это выражение не имеет явной циклической симметрии и явной инвариантности подынтегрального выражения при преобразованиях Мёбиуса над zi. Кроме того, эта форма не подходит для многопетлевых вычислений для

i=l

(1.1)

ЧИСЛй 116Т6ЛЬ N ^ 2. Таким образом, необходимо перейти от операторных вершин испускания основного состояния к вершинам испускания произвольного состояния. В случае классической модели Венециано мы имеем вместо вершины

: ехр (щХ(1)) : = ехр (щХ(+)(1}} ехр (¿РгХо) ехр (щХ(-)(1)) = = ехр (-рг^2 ) ехр (¿РЛ) ехр (рг ^ ) (1-2)

Л/ ПЬ л / ПЬ

п п

трёхструнные (3-реджеоннные) вершины вида [5]:

А(1, 2, 3) = (0\У(1, 2,3)Ф 1|0)Ф2|0)х^3|0), (1.3)

где Фг\0) есть волновая функция ¿-того струнного состояния

V(1, 2,3) = ехр V ^Спт^ + Р1 V \ \/и л/т

\ гП т V V гП

+цпклнческпе перестановки 1,2,3 I (1-4)

и

ЕСпт /— — /— - (1-5)

.. /т .. г)

гт = (1 - г)п - 1 т л/и

т

Теперь перейдём к Л^-струнным (Л^-реджеонным) вершинам для классических струнных моделей. Классические мультиструнные вершины [5] определяют взаимодействие N произвольных струнных состояний в модели Венециано или Невё-Шварца-Рамона в терминах двумерных струнных полей: Х(г)(гг) (координата ¿-й струны) с нулевым конформным спином ] и Н(\гг) (антикоммутирующий суперпартнер дляХ(г)(гг)) с конформным спином ] равным 2: [5]' [6]' [7]' [8]' [9]

(г) (г)

Х(г)(гг) = Х« + ф 1п г, + £ ^ гп - £ -П г-п, (1.6)

н/и *—' н/и

п

а+ = а-пр, ап\0) = (0\а-п = 0,

а® ,а®

пр! Ши

)z т тр^

Ь+ = Ь-т, Ьт\0) = (0\Ь- = 0, {ьТр.ь«} = -Зр» к-,

(1.7)

(1.8)

(1.9)

где зри = ^ад(1, -1, -1, -1). Амплитуду, соответствующую Ж-струнной вершине (см. Рис. 1.1), можно представить как интеграл по переменным zi от вакуумного ожидания вершинного оператора Ум и волновых функций струнных состояний Ф(^\0(^):

Ам =

П П dzгF)(0\Ум П Ф(i) \0(i)) ,

(1.10)

где Ф(i)\0(i)) является волновой функцией ¿-ого струнного состояния, F) - весовая функция, которая определяет фазовый объем интегрирования по zi и согласуется с кроссинг и Мёбиус симметрией.

Вершинный Ж-струнный оператор Ум для модели Невё-Шварца за-

д^бтся следующей экспонентом.

У мб = Ум =

42 £ ^ (^

\ п,т,р V

а

(к)

) пШ\г £ ) шр

у/Р

+

+!у Ь(1) (и) (У(к)) Ь(к) I

+ 2 Ьп+1/2(и1/2)пш(У1/2 )шРЬр+1/2 ) ,

(1.11)

п,т,р /

гфк

где (и(^)пш, (У^)шр специальная бесконечномерная матрица, которая за-

висит от комплексных переменных zi-1, zi, zi+1. Они соответствуют определенным преобразованиям Мёбиуса z' = ad - Ьс = 1. Для Впш = (и]°)пш преобразование Мёбиуса переводит zi-1 в 0, zi в то, и zi+1 в 1. Для Впш = (У^)^ преобразование Мёбиуса переводит то в zi-1, 0 в zi, и 1 в Zi+1.

¥,1,1(Г> 1

N

Рис. 1.1. Амплитуда для взаимодействия N струн на г плоскости.

Бесконечномерные матрицы Опт для конформного спина ] являются п-ными коэффициентами степенного ряда по г от разложения т-той степени преобразования Мёбиуса:

стью по отношению к преобразованиям Мёбиуса над г,-^ и имеют свойства дуальности, то есть равенство сумм по промежуточным состояниям в случае факторизации по прямому и по перекрестному каналам.

Для того, чтобы вернуться к описанию амплитуды Вснсциано в терминах вершин испускания основного состояния (1.1) от многострунной вершины, нужно в форме (1.11) оставить только нулевые компоненты п = 0 операторов ап\ которые совпадают со значениями импульсов а0 = р Тогда выражение (1.11) существенно упростится и сведется к амплитуде Вснсциано в форме Коба-Нильсена:

где г, точки на вещественной оси комплексной плоскости, отвечающие испусканию основных состояний, р, - импульсы этих состояний, Ф - Мёбиус-

инвариантный фазовый объем:

ф =_dzl dzN-1 dzN__(1 14)

\Zl - ZN-1\^н-1 - Zn \ - ZN \' '

1.2.2. Новый класс Л-реджеонных вершин и модель составной струны.

Удовлетворение условиям кроссинга, дуальности, Мёбиус - инвариантности и факторизации дл$ т нты[5с шин дт^ооттиггскзто .я 3с свойств оператора Ум, как экспоненты от бесконечномерных матриц (и]^)пш и (У«)пш. Такая форма позволяет получить после факторизации произведение экспонент от тех же бесконечномерных матриц. Это делает возможным поиск новых форм вершинных Л^-реджеонных операторов, содержащих матрицы (и^)пш и (У^)пш. Аналогичным свойством будут обладать следоподобные операторы WN^ так как они при факторизации разбиваются на произведение таких же следоподобных операторов.

Действительно, можно предложить циклическое произведение этих бесконечномерных матриц и соответствующих компонент двумерных полей в качестве множителя для старых мультиструнных вершин (1-11). Новая конструкция сохраняет свойства факторизации, кроссинга, дуальности и Мёбиус-инвариантности предыдущих вершинных операторов и приводит к новому классу дуальных (струнных) моделей.

Это обобщение классических мультиреджеонных (мультиструнных) вершин было предложено В.А. Кудрявцевым в 1993 году [10].

Струнные амплитуды, построенные из вершинных операторов нового типа, были использованы для описания взаимодействия большого числа ^-мезонов [10]. Новые струнные вершины дают новую геометрическую

картину для взаимодействия струн как составных объектов. Открытая свободная струна теперь имеет три двумерные поверхности вместо одной, как это было в случае классических струн. См.(1.2).

а) б)

Рис. 1.2. Топологическая интерпретация мультиструнной вершины а) в терминах классической струны, б) в терминах составной струны.

Теперь запишем этот циклический оператор Wn в общем виде:

Wn = V (0<1>|Ф«1_>! (U iW2»)^ Ф <2>, |0(2»)х

Z-/ n; 2 2 2 k; 2

n,m,k

х V(o(2»|*S;)i(ui2,)ip(vi3,)p,$,|0(3»)... х

Z-/ l; 2 2 2 s; 2

l,p,s

xY(0(N »^(N »u(N »^»Ф (1»|0(3»)^ ^—' 2 2

N

= ПЕ(0(i»i*n;j(u|i))nra(v1(i+i))np$p;1i»i0(i+1»), (i.i5)

i=1 n,m,p

где Ф - рождающий oneратор, Ф - уничтожающий. Wn является циклически симметричным слсдоподобным оператором, построенным посредством Фурье компонент двумерных антикоммутирующих полей Ф^»(г). Эти новые поля подобны полям Невё-Шварца H(i) и имеют конформный спин

ф£»(*) = - (1-16)

Обобщенный Ж-струнный вершинный оператор для составных струн является произведением старого оператора У^5 (1-11) и нового оператора WN (1.15):

УмШР = Ум3 WN. (1.17)

Операторы У^5 и WN имеют различную структуру. Матрицы Ци

У( )

в

У^5* связывают все возможные поля X(i)(аni)) друг с другом, то есть поля из произвольных струнных "хвостов". В операторе WN матрицы иУ(-) связывают только соседние поля и Ф^+1), то есть соседние струнные хвосты (см. Рис. 1.3). Поэтому оператор У^55WN ведет нас к топологии взаимодействия составных объектов, то есть составных струн. Линейная

Рис. 1.3. а) Возможные связи полей в У^5■ Ь) Возможные связи полей в WN.

реализация супсрконформной симметрии требует использовать другие, нежели (1.15) операторы. Теперь в циклическом операторе необходимо использовать не только поля с конформным спином ] = ной поля с конформным спином ] = 1. Обозначим их /('1) и у (О соответственно.

имеем:

+ Е ^/^и^тгС^ (1.18)

п,т,р

Что можно переписать в виде:

WN = П*« ехр ( £ ^(и^Ж^и^+

¿=1 ^ п,т,р *

(П/Г^.^ . (1.19)

п,т,р '

При рассмотрении составной струнной модели мы должны использовать оператор У^тр = V^WN с WN типа (1.19).

Мы имеем здесь симметричное описание двумерных полей одинаковых типов на основной поверхности (ОХ, И) и на окаймляющих поверхнОСТЯХ

(У, /). Это обеспечивает некоторую дополнительную симметрию амплитуд составной струны.

1.2.3. Переход к вершинам испускания основного состояния

Для более детального исследования физического спектра составных струн и симметрий этого спектра, более уместно перейти от мультиструн-ных вершин к простым вершинам соответствующим испусканию основного состояния. Амплитуда взаимодействия N

ОСНОВНЫХ СТруННЫХ СОСТОЯний AN представляется как интеграл от вакуумного среднего произведения

У2 Уз ......

Рис. 1.4. Ж-струнная амплитуда испускания Ж - 2 основных состояний, вершин У^: (Рис.1.4).

Ам = ! П dZi(0\Уl(zl)У2(z2)Уз(zз)...УN-l(zN-l)УNЫ)\0> (1.20)

Уi(zi) = У;(1^п. (1.21)

Вершины У имеют хорошо известное представление для классической мо-Д6Л и Невс-Шварца:

Уi(zi) = z~Lo [С, :ехргpiX(1) :] ZiЬo, : ехр(гргХ(1)) : = ехр (рХ(+)(1)) ехр (^Хд) ехр (рХ(-)(1)), (1.22)

Ln

где суперконформный генератор Вирасоро имеет вид:

см3 =

2п

Цчг(и-IХ + Р,Н') е-.

0

(1.23)

А У(1) из (1.22) имеет вид:

У(1) = (рН(1)) :ехр^Х(1)) := = (^рЪг) ехр (ipiX(+)(1)) ехр^Хо) ехр ^Х(-)(1)) =

г

= (^ рЬ) ехр ) ехр (^Хо) ехр (^ ^ ~ )• (1-24)

Здесь ап и ап из (1.6) связаны выражением ап = у/иап.

Если мы переходим к операторным вершинам составных струн в этой формулировке вершин испускания основного состояния, то мы должны

принять во внимание двумерные поля на окаймляющих поверхностях. Здесь есть две возможности для вертттин, приводящих к амплитудам, эквивалентным амплитудам мультиструнного подхода.

Вершинный оператор составной супсрконформной струны содержит дополнительные (к обычным полям дХ^ и И на основной двумерной поверхности) поля на окаймляющих поверхностях: У^ и его суперпартнер с Лоренцевыми индексами д = 0,1, 2, 3. Мы также включаем скалярные поля (соответствующие внутренним квантовым числам) 3 и его суперпартнера Ф на окаймляющих поверхностях и схожие скалярные поля I и в на основной двумерной поверхности (см. Рис. 1.5). Поскольку, окаймляющие

Рис. 1.5. Топология новой вершины и расположение полей на поверхностях.

поля распространяются только на своих окаимляющих поверхностях между соседними вершинами, нужно маркировать эти поля в соответствии с номерами этих окаймляющих поверхностей. В многострунных вершинах существует схожая нумерация струн (1.17). Для вершины испускания основного состояния (Рис. 1.5) вершинный оператор будет содержать поля ¿-ой и (г + 1)-ой окаймляющих поверхностей. Для примера давайте рассмотрим случай распространения поля Ф^ на ¿-той окаймляющей по-

верхности (вместо набора полей). Тогда амплитуда взаимодействия будет:

Ам = ! П dZi(0\Уl(zl )У2(22) ...Ум-1 ы-1)Ум )\0>,

Уi(Zi) = z-Ln У(1)^°, У(1) = ^(Фi(1)\0(i)>Гi(0(i+1)\Фi+l(1)eifc^x (1)). (1.25)

Мы можем дать другую эквивалентную форму вершинному оператору У(1) в (1.25) без номеров для полей Ф. Для одного набора полей Ф имеем следующую форму:

У(1) = д(Ф(1)Г(0\0ф> (0ф\Ф(1)eikiX(1)),

1/1(1) = Ф(1)Г(1)Ф(1)ем (1), (1.26)

Ум (1) = Ф(1)Г(м)Ф(1)ем (1).

Оператор \0Ф> (0Ф\ позволяет полям Ф распространятся только между соседними вершинами. Благодаря этим операторам форма (1.26) исключает модель составной струны из набора аддитивных струнных моделей [11]. Эта конструкция ведет к топологии составной струнной модели (Рис. 1.2,6).

Для обсуждения спектра состояний в данном сечении удобно использовать эквивалентную формулировку амплитуды Ам- Мы размещаем вакуумные состояния другим путем: вне вершинного оператора. В этом случае нужно сохранить номера окаймляющих поверхностей. Таким образом, для средних вершин имеем:

Ум+1(^) \0^-1)> У,+1(^)(0(^2)\. (1.27)

Это будет видно на Рис. 1.6 в следующем разделе. Для крайних вершин 1, 2, Ж -1, Ж выражение (1-27) будет иметь некоторые очевидные изменения.

Теперь можно написать выражение для амплитуды:

А-N = IП dzг(0(í,2)\^/í2(zí)(0('^\^/2з(z2)(0(4^\\0(2^)x

хуЗ4Ы<0(5)|...|0(-1)) У^+1 (^{](0<к'1+'22\...\0(м—22>) х

хУм-1,мЫ—1)\0(м-1)) Ум,1 Ы)\0(мл)). (1.28)

Эта форма позволяет увидеть симметрии составной струнной модели, выводящие её за рамки аддитивных классических струнных моделей. Аналогичным образом можно рассмотреть суперконформные вершины, которые соответствуют случаю циклического оператора (1.19). Тогда мы можем написать следующую форму для вершины (вместо (1.25)):

Уi,i+l(zi) = z-[а,zL0, Щг+1 = В^ЁМБЩ+1- (1.29)

Операторы Я и Щ++1 определяются поля ми на ¿-той и (¿+1)-ой дополнительных поверхностях. Этот вершинный оператор будет обсуждаться далее.

¿

амплитуды Ам

Основной симметрией ^Зо Л ЫШ ]и[ Н ОТ ТЕ>£Ь струнных моделей является суперконформная симметрия, которая определяется операторами Вирасоро

Ьп и Сг. Рассмотрим набор состояний и суперконформных генераторов для ¿

У1—1^ и вершин ой в (1.28), как показано на Рис. 1.6.

А именно, мы имеем поля на г — 1, ¿, г + 1 окаймляющих поверхностях: (У—), (3 Ф(—))и (У «), (3 «, Ф«) и (У

Рис. 1.6. г-th section, в дополнение к полям на основной поверхности: (dX,H),

а, в).

Для того, чтобы рассмотреть спектр состояний более симметричным путем по отношению к правой и левой сторонам, введём набор вспомогательных полей (Y(a),f(a)), (J(a), Ф(а)) вместо (i — 1)-ого и (i + 1)-ого в разложении единицы в i-том сечении:

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Семенова Алла Николаевна, 2016 год

Литература

1. Kudryavtsev, V.A. Composite superstring model for hadron amplitudes / V.A. Kudryavtsev // Nad. Phys. Proc. Suppl. - 2010. - Vol. 228-235. -Pp. 116-138.

2. Scherk, J. Dual models for non-hadrons / J. Scherk, J.H. Schwarz // Nucl. Phys. B. 1974. - Vol. 81. - Pp. 118-144.

3. Kudryavtsev, V.A. Superconformal string amplitudes for pi meson interactions / V.A. Kudryavtsev // JETP Lett. 1993. - Vol. 58. - Pp. 323-327.

4. Anisovich, V. V. Systematics of quark anti-quark states and scalar exotic mesons / V.V. Anisovich // Phys. Usp. — 2004. — Vol. 47. — Pp. 45-67.

5. The operator approach to dual multiparticle theory / V. Alessandrini, D. Amati, M. Le Bellac, D. Olive // Phys. Rep. - 1971. - Pp. 269346.

6. Lovelace, C. Simple n-reggeon vertex / C. Lovelace // Phys Lett. B. — 1970. - Vol. 32. - Pp. 490-494.

7. Corrigan, E. General dual operatorial vertices / E. Corrigan, C. Monto-nen 11 Nucl. Phys. B. 1972. - Vol. 36. - Pp. 58-72.

8. Braun, M.A. N-reggeon vertex for the generalized Veneziano model / M.A. Braun, Z. Kattona, M.I. Eides // Teor. Mat. Fiz. 1974. - Vol. 18.

9. Olive, D. Operator vertices and propagators in dual theories / D. Olive // Nuovo Cim. 1971. - Vol. A3. - Pp. 399-411.

10. Kudryavtsev, V.A. Interaction amplitudes of hadrons treated as composite superconformal strings / V.A. Kudryavtsev // Phys. Atom. Nucl. — 1995.

- Vol. 58. - Pp. 131-141.

11. Lovelace, C. Systematic Search for Ghost Free String Models / C. Lovelace // Nucl. Phys. B. 1979. - Vol. 148. - P. 253.

12. Green, M.B. Superstring theory / M.B. Green, J.H. Schwarz, E. Witten.

- Cambridge Univ. Press, N.Y., 1987.

13. Polyakov, M. Effective chiral Lagrangian from dual resonance models / M. Polyakov, V. Vereshagin // Phys. Rev. D. — 1996. — Vol. 54. — Pp. 1112-1124.

14. Polyakov, M. Chiral expansion in the dual (string) models of the Goldstone meson scattering / M. Polyakov, G. Weidl // hep-ph/9612486. — 1996.

15. Schwarz, J.H. Dual resonance theory / J.H. Schwarz // Phys. Reports. — 1973. - Vol. 8. - Pp. 269-335.

16. Adler, S.L. Consistency conditions on the strong interactions implied by a partially conserved axial vector current / S.L. Adler // Phys. Rev. B. — 1965. - Vol. 137. - Pp. 1022-1033.

17. Kudryavtsev, V.A. Hadron amplitudes in composite superconformal string model / V.A. Kudryavtsev, A.N. Semenova // Int. J. Mod. Phys. — 2012.

- Vol. A27. - P. 1250170.

18. Кудрявцев, В.А. Взаимодействие ^-мезонов и нуклонов в модели составных суперконформных струн / В. А. Кудрявцев, А.Н. Семёнова // ТМФ. 2013. - Vol. 1. - Pp. 109-116.

19. Olive, К.A. Review of Particle Physics / К.A. Olive, et al. // Chin. Phys.

C. 2014. - Vol. 38. - P. 090001.

20. Godfrey, S. Mesons in a Relativized Quark Model with Chromodynamics / S. Godfrey, N. Isgur // Phys. Rev. D. 1985. - Vol. 32. - Pp. 189-231.

21. Isgur, N. Quark confinement and the hadron spectrum / N. Isgur. — Newport News, 1998.

22. A Relativistic quark model for mesons with an instanton induced interaction / R. Ricken, M. Koll, D. Merten et al. // Eur. Phys. J. - 2000. -Vol. A9. - Pp. 73-94.

23. Mesons and Baryons / A.V. Anisovich, V.V. Anisovich, M.A. Matveev et al.

— World Scientific, Singapore, 2008.

24. Bugg, D. V. Comment on Systematics of radial and angular-momentum Regge trajectories of light nonstrange qq-states / D.V. Bugg // Phys. Rev.

D. 2013. - Vol. 87. - P. 118501.

25. Klempt, E. Glueballs, Hybrids, Multiquarks. Experimental facts versus QCD inspired concepts / E. Klempt, A. Zaitsev // Phys.Rept. — 2007.

- Vol. 454. - Pp. 1-202.

26. Gell-Mann, M. A Schematic Model of Baryons and Mesons / M. GellMann 11 Phys. Lett. 1964. - Vol. 8. - Pp. 214-215.

27. Ida, M. Baryon resonances in a quark model / M. Ida, R. Kobayashi // Progr. Theor. Phys. — 1966. — Vol. 36. — P. 846.

28. Lichtenberg, D.B. Baryon Mass Splitting in a Boson-Fermion Model / D.B. Lichtenberg, L.J. Tassie // Phys. Rev. — 1967. — Vol. 155. — Pp. 1601-1606.

29. Oiio. S. A Two-Body Baryon Model / S. Ono // Progr. Theor. Phys. — 1972. - Vol. 48. - Pp. 974-1004.

30. Anisovich, V. V. Coherent Interaction of Leptons with Quarks in Deep Inelastic Processes / V.V. Anisovich // JETP Lett. - 1975. - Vol. 21. -P. 382.

31. Anisovich, V.V. Description of Deep Inelastic Processes in the Composite Quark Model / V.V. Anisovich, P.E. Volkovitski, V.l. Povzun // Sov. Phys. JETP. 1976. - Vol. 43. - P. 841.

32. Schmidt, A. Nonscaling for Everyman: The Proton, Neutron and Deuteron Structure Functions / A. Schmidt, R. Blankenbeckler // Phys. Rev. D. — 1977. - Vol. 16. - P. 1318.

33. Anselmino, M. / M. Anselmino, E. Predazzi // Proceedings of the Workshop on Diquarks. - 1989. - P. 297.

34. Goeke, K. / K. Goeke, P. Kroll, H.R. Petry // Proceedings of the Workshop on Quark Cluster Dynamics. — 1992. — P. 297.

35. Anselmino, M. / M. Anselmino, E. Predazzi // Proceedings of the Workshop on Diquarks II. — P. 1992.

36. Searching for the quark-diquark systematics of baryons composed by light quarks q = u,d / A.V. Anisovich, V.V. Anisovich, M.A. Matveev et al. // Int. J. Mod. Phys. 2010. - Vol. A25. - Pp. 2965-2995.

37. Three-particle physics and dispersion relation theory / A.V. Anisovich, V.V. Anisovich, M.A. Matveev et al. — World Scientific, Singapore, 2013.

38. Diquark-antidiquarks with hidden or open charm and the nature of A(3872) / L. Maiani, F. Piccinini, A.D. Polosa, V. Riquer // Phys. Rev.

D. 2005. - Vol. 71. - P. 014028.

39. Voloshin, M.B. Radiative transitions from Y(5S) to molecular bottomoni-um / M.B. Voloshin // Phys. Rev. D. 2011. - Vol. 84. - P. 031502.

40. Ali, A. Tetraquark Interpretation of the Charged Bottomonium-like states Z+-(10610) and Z+-(10650) and Implications / A. Ali, C. Hambrock, W. Wang // Phys. Rev. D. 2012. - Vol. 85. - P. 054011.

41. Jaffe, R. Multi-Quark Hadrons / R. Jaffe // Phys. Rev. D. 1977. -Vol. 15. - Pp. 267, 281.

42. Weinstein, G. KK Molecules / G. Weinstein, N. Isgur // Phys. Rev. D. — 1990. - Vol. 41. - P. 2236.

43. van Beveren, E. Modified Breit-Wigner formula for mesonic resonances

qq

E. van Beveren, R George // Eur. Phys. J. C. — 2001. — Vol. 22. — Pp. 493-501.

44. Quark-antiquark states and their radiative transitions in terms of the spectral integral equation. II. Charmonia / V.V. Anisovich, L.G. Dakhno,

M.A. Matveev et al. // Phys. Atom. Nucl. 2007. Vol. 70. - Pp. 364381.

45. Quark-antiquark states and their radiative transitions in terms of the spectral integral equation. I. Bottomonia / V.V. Anisovich, L.G. Dakhno, M.A. Matveev et al. // Phys. Atom. Nucl. 2007. - Vol. 70. - Pp. 63-92.

46. Shen, C.P. Evidence for a new resonance and search for the Y(4140) in the 77 ^ 0Jprocess / C.P. Shen, et al., (Belle Collaboration) // Phys. Rev. Lett. 2010. - Vol. 104. - P. 112004.

47. Aaltonen, T. Evidence for a Narrow Near-Threshold Structure in the J/^4> Mass Spectrum in B + ^ J/^0K + Decays / T. Aaltonen, et al., (CDF Collaboration) // Phys. Rev. Lett. 2009. - Vol. 102. - P. 242002.

48. Aaltonen, T. Observation of the Y(4140) structure in the J/^0 Mass Spectrum in B± ^ J/^0K decays / T. Aaltonen, et al., (CDF Collaboration) // arXiv:1101.6058. 2011.

49. Chatrchyan, S. Observation of a peaking structure in the J/^4> mass spectrum from B± ^ J/^0K± decays / S. Chatrchyan, et al., (CMS Collaboration) // arXiv:1309.6920. 2013.

50. Abazov, V.M. Search for the X(4140) state in B+ ^ J/^0K+ decays with the DO detector / V.M. Abazov, et al., (DO Collaboration) // arX-iv:1309.6580. P. 2013.

51. Manohar, A.V. Review of particle physics. Particle Data Group / A.V. Manohar, C.T. Sachrajda // Phys. Rev. D. 2002. - Vol. 66. - P. 010001.

52. Zeldovich, Y.B. Mass formulas for mesons and baryons in the quark model / Y.B. Zeldovich, A.D. Sakharov // Acta Phys.Hung. - 1967. - Vol. 22. -Pp. 153-157.

53. de Riijiila. A. Hadron Masses in a Gauge Theory / A. de Rujula, H. Georgi, S.L. Glashow // Phys. Rev. D. 1975. - Vol. 12. - Pp. 147-162.

54. Glashow, S.L. Particle Physics Far From the High-energy Frontier / S.L. Glashow // Harvard Preprint, HUPT-80/A089. 1980.

55.

56. Final state interactions in three meson systems: Analysis of data on pp ^

and at rest / V.V. Anisovich, D.V. Bugg, A.V. Sarantsev, B.S. Zou // Phys. Rev. D. 1994. - Vol. 50. - Pp. 1972-1991.

57. Y(3S) ^ Y(1S)nn decay: Is the nn spectrum puzzle an indication of a bbqq resonance? / V.V. Anisovich, D.V. Bugg, A.V. Sarantsev, B.S. Zou // Phys. Rev. D. 1995. - Vol. 51. - Pp. 4619-4622.

58. Aubert, B. Evidence for A(3872) ^ ^(2Sb in B± ^ A(3872)K± decays, and a study of B ^ cc^K / B. Aubert, et al., (BABAR Collaboration) // Phys. Rev. Lett. 2009. - Vol. 102. - P. 132001.

59. Aubert, B. Observation of Y(3940) ^ J/^umB ^ J/^uK at BABAR / B. Aubert, et al., (BABAR Collaboration) // Phys. Rev. Lett. - 2008. -Vol. 101. - P. 082001.

60. Aubert, B. Study of the Exclusive Initial-State Radiation Production of the DD System / B. Aubert, et al., (BABAR Collaboration) // Phys.Rev. D.

2007. - Vol. 76. - P. 111105.

61. Lees, ,1. P. Search for the Zi (4050)+ and Z2 (4250)+ states in B0 ^ XdK-p+ and B + ^ XdK%n+ / J.P. Lees, et al., (BABAR Collaboration) // Phys.Rev. D. 2012. - Vol. 85. - P. 052003.

62. Aubert, B. Study of the n+n- J/^ Mass Spectrum via Initial-State Radiation at BABAR / B. Aubert, et al., (BABAR Collaboration) // arX-iv:0808.1543. 2008.

63. Aubert, B. Observation of a broad structure in the n+n-J/^ mass spectrum around 4.26 GeV/c2 / B. Aubert, et al., (BABAR Collaboration) // Phys. Rev. Lett. 2005. - Vol. 95. - P. 142001.

64. Aubert, B. Search for the Z(4430)- at BABAR / B. Aubert, et al., (BABAR Collaboration) // Phys.Rev. D. 2009. - Vol. 79.

65. Yuan, C.Z. Measurement of e+e- ^ n+n- J/^ cross-section via initial state radiation at Belle / C.Z. Yuan, et al., (Belle Collaboration) // Phys. Rev. Lett. 2007. - Vol. 99. - P. 182004.

66. Pakhlova, G. Measurement of the near-threshold e+ e- ^ BB cross section using initial-state radiation / G. Pakhlova, et al., (Belle Collaboration) // Phys. Rev. D. 2008. - Vol. 77. - P. 011103.

67. Choi, S.K. Observation of a resonance-like structure in the nmass distribution in exclusive B ^ decays / S.K. Choi, et al., (Belle Collaboration) 11 Phys. Rev. Lett. 2008. - Vol. 100. - P. 142001.

68. Abe, K. Production of new charmoniumlike states in e+e- ^ J/^B*B* at y/s ~ 10 GeV / K. Abe, et al., (Belle Collaboration) // Phys. Rev. Lett.

2008. - Vol. 100. - P. 202001.

69. Mizuk, R. Observation of two resonance-like structures in the n+Xci mass distribution in exclusive B0 ^ K-n+xc1 decays / R. Mizuk, et al., (Belle Collaboration) // Phys. Rev. D. 2008. - Vol. 78. - P. 072004.

70. Mizuk, R. Dalitz analysis of B ^ decays and the Z(4430)+ / R. Mizuk, et al., (Belle Collaboration) // Phys. Rev. D. - 2009. - Vol. 80.

- P. 031104.

71. Aaij, R. Observation of the resonant character of the Z(4430)- state / R. Aaij, et al., (LHCb Collaboration) // Phys. Rev. Lett. — 2014. — Vol. 112. - P. 222002.

72. Aaij, R. Observation of X(3872) production in pp collisions at y/s = 7 TeV / R. Aaij, et al., (LHCb Collaboration) // Eur. Phys. ,1. 2012. -Vol. C72. - P. 1972.

73. Aaltonen, T. Precision measurement of the X(3872) mass in J/^n+n-decays / T. Aaltonen, et al., (CDF Collaboration) // Phys. Rev. Lett. — 2009. - Vol. 103. - P. 152001.

74. Coan, T.E. Charmonium decays of Y(4260) ^(4160) and ^(4040) / T.E. Coan, et al., (CLEO Collaboration) // Phys. Rev. Lett. — 2006.

- Vol. 96. - P. 162003.

75. He, Q. Confirmation of the Y(4260) resonance production in ISR / Q. He, et al., (CLEO Collaboration) // Phys. Rev. D. 2006. - Vol. 74. -P. 091104.