C*-алгебраические квантовые полугруппы тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Аухадиев, Марат Альфредович

• Аухадиев, Марат Альфредович
• кандидат физико-математических наук
• 2012

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Аухадиев, Марат Альфредович

Оглавление

Список обозначений

Введение

1 Алгебры Хопфа 16 1 1 Внесение

1 2 Конечные кван I оные ффпы

12 1 Биалгебры

122 *-а,пебры Хопфа

I 2 *> Ф\ икцпопал \aapa и >п>>ош I генные 4-а,п ебры Хопфа

1 2 4 1еи ¡орное произве кчше биажебр 29 125 Фак'юр-бпаш ебра

2 Компактные квантовые группы

2 1 11 ре цмари | ей 1.1 н.к1 ( ведения о С ''-а ж ебра\

2 I I Определение 31 2 I 2 Комм> I а 1 пвпые С-а п ебры 31 2 13 Состояния и иредс 1авлсппя 32 2 14 Тензорное произведение С*~а и ебр

2 2 Сап ебры Хопфа

2 2 1 Компак I иые мафичпые пс евдел р\ ппы

2 2 2 Примеры

2 2 3 Копред сравнения

2 2 4 Свопе 115а

2 2 5 Компак I пые квап I овы(> 1ппы

2 2 6 Квап I овые поч1 р\ ппы

2 2 7 Іеорпя предс і <-115 км і п 11

2 2 8 И н і сі рал ы юс исчисление

2 2 9 Двоисі вснногі ь М\лы пплика і ивпвій ) ни іарпьіп опера гор

3 Компактные квантовые полугруппы. Алгебра Теплица

З 1 Происхождение кванювои пол\ірупш>і

З 2 Аліебра Теплица и предвари і є іьпьіе резулвіаіьі

3 2 1 Определение 55 3 2 2 Инверсные пол\і р\ пны 56 3 2 3 І рад\провка аліебрьі 57 324 С і р\ к і) ра а лі ебры Г 59 3 2 5 Іхомпак і мыс опера і оры

З 3 Алгебра Тсалица как аліебра функций на кванювой полугруппе

З ■> І Іхопроп ліс цмин'

З 1 С іабая а пебра \оік])а

34 1 Инверсные пол\ір\ппьі и слабвіе аліебрьі Хонфа

3 4 2 Аліебра Тспліща и слабая аліебра Хопфа

3 5 Двопс і венная алгебра

3 5 1 Фмікшіопал \aapa

3 6 Іхванювая моднол\ і ])унпа и дспсівпя кваиювых пон\чр\пп

361 Іхванювая поді р\ нпа в алі ебрс Г1 сігіппа

3 7 ЛІх іьі ип лика і пвнвпі опера і ор

37 1 Мульшпликачивпая изомєірия

3 72 А п ебра Іеппіца п \і\ іві пп піка і ивпвк опера юры

3 7 3 Обобщение

4 Полугругіповая алгебра С',+и|(5)

4 1 Введение 87 4 2 Необходимые сведения 87 1 3 lio і\ і р\ піювая С*-а лі ебра

4 31 И Юме і рнмес кпе пре u і ав ієни я 90 4 4 Аліебра G';(fl(S) 94 4 5 Динамическая сисіема порожденная регулярным предсіавлснпем

4 6 И юаны ал 1 обры Г* (|(5')

5 Квантования полугрупп

5 1 Вне деппс 103 5 2 Компактная квашовая попу1 рупиа 103 5 3 Квашование полуфуппы 5 при помощи ашебрьг С*и]{3)

5 ] 1 Копрой ¿вс юнпс'

5 3 2 кваптвая по пр^ппа

5 3 3 '1воп( I витая а исбра и ф\ пкцпопа | \aapa

54 Ка 101 о])П/1 квап ювы\ по |\[ р\ пп

5 5 Различные копроизвсдспия на аш обре Теплица

Литера гура 1 I

Публикации автора по теме диссертации

Список обозттачертий:

Список обозначений:

Л О В — алгебраическое тспзортюс произведение алгебр А Б

IIі у II2 — нчпорпое ирои зі« цепне ііі іьбер і оных іг|)о( іраш і із //1 Н>

А X Б - им і іоріюе проїм ведение С"1 -ані об]) Л и Б

А С гг Б — І СП і()рі ЮС ПрОІИНСДСІ II 1с Ііоро/К І.ЄІШОО ІірСД< І ав ІЄШІММП 7Г] II 1\)

ъ (. — ііопуі р\шіа пооі рицагісліпіьі\ їй пых чисел по ( іожснию

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «C*-алгебраические квантовые полугруппы»

Введение

Обіца>і характеристика работы.

А ктуалышсть тем'ы,.

После открытия двойственности ГІонтрягина для нбелевых групп, появилась серия теорем о двойственности для неабелевых групп: теорема Т. Таннаки [301. М.Г. Крейна |10|. а также В.Ф. Сіайпспршіга |37|. Н. Татсуума |40|. На основе теоремы двойственности В.Ф Стайпспрппга, Г.И. Т\иц в І'ХіЗг. иіісіі ііоіія тис ''ко іьцсвьіч групп'", и с помощью этого объекта предложил подход к построению теории двойственности для упимодуляр-пых локально компактных групп, используя алгебру измеримых по ипва])иан тпой мере существенно ограниченных функций на этой группе. Он ввел понятие таких гомоморфизмов ка.к копроизведение. коедпнина и антипод. Алгебра с указанными гомоморфизмами была позже названа а ігеброіі Каца. Впоследствии .VI. Такесаки |38|. пепо іьзуя подход Г.И. Каца. определил іруїшовую гсбру локально компактных групп в общем случае как инволютивпую абелев.у алгебру Хопфа-фоп Нойманпа. с левой инвариантной мерой.

Развитие математической фі-ипки пов/іекло возобновление интереса к алгебрам Хоп(|)а и появление термина, ''квап тование" среди математиков. Существуют два принципиально различных подхода к квантованию. Наиболее известный, особенно в отечественной литературе - это алгебраический подход. В таком виде квантовые группы ввели В. Дринфельд и М. Джимбо в 1983-198-5 годах, основываясь на 'теории уравнений Янга-Бакстера. развитой Л.Д. Фа.-ідесвьім и П.П. Кулишом, Н.Ю. Решетихиным, 1С.К. Скляпипым. .11. А. Tax іаджяпом. и па рабо тах, посвященных кван товому методу обратной задачи. Коротко, этот подход заключается в деформации обертывающих алгебр полупростьгх алгебр Ли.

Теория компактных квантовых групп и полугрупп относится ко второму, более ігозд-

нему подходу. Польский физик С..Л. Воронович |44| а также Л..Л. Вакеман и Я.С. Сой-бе,чь.мап |1| предложили исполь юваппе onepa'i орпых алгебр в теории квантовых групп и lux фоилп пример квантовой группы Sl¡4(2). Позднее Вороповичем для этого подхода, в духе некоммутативной геометрии, развитой А. Конном, было сформулировано понятие компактной квантовой группы как С*-алгебры с дополнительной структурой. Это iioiiM'iiie явилось С*-а лгебраичегкпм аналогом алгебры Хопфа,. а, значит, включает в ( ебм бо ice ра.пппп алгебраический подход. Теория компактных квантовых групп основана па понятии алгебры Каца. алгебры Хопфа-фон Ноймаппа, что позволило исследовать обобщение теории двойственности Понтрягина на некоммутативные квантовые группы. Данная теория, кроме самостоятельного интереса, имеет широкое приложение в современной ма.гема i и ческой физике |18|, |43|, |45|. 13 коммутативном случае компакт-паи квантовая группа есть алгебра непрерывных функций С(С) на компактной абелевой группе G. Разумеется. больший интерес и ре,- ославляет некоммутативный случай.

Теории компактных квантовых групп посвящено достаточное количество статей (см., например, [45], |42] |28], [34]). Большинство из нетривиальных примеров, продемонстрированных в этих работах, построены последующему принципу. Из классической группы (например SU(2)) конструируется ^-алгебра Хопфа, которая пополняется и замыкается по универсальной С*-порме {SUq(2)). Затем доказывается, что копроизведение в алгебре Хопфа продолжается на полученную С*-алгебру, и превращает эту алгебру в компактную квантовую группу.

С другой стороны, вопрос о задании структуры компактной квантовой группы по конкретной С*-алгебре остается открытым. Эта. проблема, открыта даже4 для алгебры Теплица.

Позже в работах А. Bau Даэля |41| возникло естественное обобщение компактных квантовых групп - локально компактная квантовая полугруппа. Этот более широкий класс объектов мало изучен. В настоящее время нет устоявшегося определения компактной квантовой полугруппы. Однако проводятся исследования, направленные на определение этого объекта и построение примеров. Один из таких примеров можно найти в [23|.

Работ, посвященных компактным квантовым полугруппам, пока еще не много. Задача построения нетривиальной структуры компактной кван товой полугруппы на конкретной С*-алгебре стала активно изучаться лишь в последние годы. К примеру. 15 работе |23|

приводится попытка определения ко произведем и я на. прямой сумме алгебр Купца.

Цель работы. Построение нетривиальных примеров компактных квантовых полугрупп на некоммутативных С*-алгебрах. Задание структуры компактных квантовых полугрупп на, алгебре Теплица п пол^ групповых С*-алгебра.х. Исследование гак их компактных квантовых полугрупп, обедипение их в одну категорию.

Построение структуры банаховой алгебры на двойственном пространстве к полугрупповой С*-алгебре при помощи заданной квантовой структуры, а также интегрального исчисления при помощи меры Хаа.ра.

Предложить подход для исследования двойственности между дискретными абелевы-ми полугруппами с сокращением и компактными квантовыми полугруппами, включающий двойственность Понтрягина для абелевых групп.

Методика ■исследования. В работе применяются методы функционального анализа и теории функций. Для построения п исследования примеров квантовых полугрупп используется операторный подход. Основные определения теории компактных квантовых полугрупп взяты из публикаций |32|, |'11|, |28|.

Научная новизна. Известные примеры компактных квантовых групп и полугрупп строятся как замыкания *-алгебр Хопфа в подходящей норме таким образом, чтобы копроизведение продолжалось до непрерывного гомоморфизма. С появлением операторного подхода в теории квапловых групп возник вопрос существования и задания непрерывного копроизведепия па конкретных С*-алгебрах. Ранее этот вопрос; был мало изучен. В дайной работе рассматривается такая задача для целого класса С*-алгсбр. В частности, приводится построение структуры компактной квантовой полугруппы на алгебре Теплица.

Ранее полугр\ пповыс С*-алгебры не рассматривались в теории некоммутативных пространств, компактных квантовых полугрупп и компактных квантовых групп. В данной диссертации впервые показано, что класс С*-алгебр, порожденных изометриями, можно рассматривать как алгебры функций на некоторой компактной квантовой полугруппе.

Наиболее известный представитель этого класса - алгебра Теплица. Эта алгебра ранее встречалась в работах по леорпи квантовых групп. Так. в работе |25| алгебра Теплица возникает как деформация алгебры функций па единичном диске II. Эта. деформация является алгеброй функций на квантовом пространстве, называемом квантовым

диском. Следовательно, алгебра Теплина описывает квантовый диск. Возникает вопрос существования на квантовом диске ырхктуры квантовой полугруппы или квантовой группы.

П. Солтан в статье |36] высказал предположение, что алгебра Теплица не соответствует никакой компактной квантовой группе и привел аргументы в пользу этого суждения. Однако, в силу отсутствия доказательства, этот вопрос остается открытым.

В данной рабсле алгебра Теплица наделяется структурой алгебры функций па компактной ква.птовон полугруппе. Доказывается, что эта квантовая полугруппа содержит единичную окружное! i5 как подгруппу. Затем, полученные резул ьтаты обобщаются на полугрупповые С*-алгебры, порожденные изометриями.

Для построенной к вахтовой полугруппы показан ряд свойств, характерных для теории. развитой C..U. Вороиовнчем. но не встречавшихся ранее у квантовых полугрупп. Построенные компактные квантовые полугруппы объединяются в одну ка,тегорию. Построен инъективный функтор из этой категории в категорию абелевых полугрупп. Таким образом, впервые предъявляется способ квантования уже имеющейся абелевой полугруппы. без параметра q.

Впервые дли исследования компактной квантовой полугруппы используется теория инверсных полугрупп, и слабых алгебр Хопфа. Ранее связь между полугрупповы.ми би-алгебрами инверсных полугрупп и конечномерными биалгебрами была показана A.M. Вершиком в работе [2|. Из результата, доказанного в этой статье, следует, что любая конечномерная полу простая коко.ммута тивпая инволютивная биалгебра изоморфна слабой алгебре Хопфа. Примеры, построенные в данной диссертации, также подходят под -л'о описание.

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты и приведенные конструкции открывают новые возможности в изучении теорий квантовых симметрии и суперсимметрий, а 'также в их практическом примеиепи и.

Л'п:робап;ая работы. Основные результаты были доложены наследующих конференциях и семинарах:

• Operator Algebras and Quantum Groups - Conference in honour of S.L. Woronowicz;s seventieth birthday, г. Варшава. Польша, 19-23 сентября 2011. Название доклада:

Iníinit.e Compact Quantum Semigroup.

• Noncommutative Geometry and Quantum Groups, г. Осло, Норвегия, 8-15 июня 2012. Название доклада: On compact quantum semigroups and reduced semigroup C*-algebras.

• Opeiaior Theory. г. Тиминюара. Румыния. 2-7 июля 2012 г. Название доклада: The reduced semigroup C*-algebra and its dual algebra.

• семинар профессора А.Я. Хелемского "Алгебры в анализе'', Московский государственный унивсреи re г им. M.L3. .Ломоносова, 2 ноября 2012 i.

• Петербургский семинар по теории представлений и динамическим системам, 6 февраля 2013 г., г. Санкт-Петербург, Санкт-Петербургское отделение матемагического института им. В.А. Стеклова.

• Шестая международная молодежная научная конференция «Тинчуринские чтения». Казань. 27-2У апреля 2011 г. "Построение структуры биалгебры па алгебре Теп и ш ta'"'

• Десятая международная Казанская летняя научная школа-конференция «Теория функций, се приложения и смежные вопросы», Казань, 1-7 июля 201 1 г. ''''Бесконечномерная компактная квантовая по ivrpviina"

• Десятая международная Казанская научная школа-конференция «Лобачевские чтепия-2011», Казань, 31 октября-4 ноября 201 L г. "Структура некоторых С*-биалгсбр".

• Международная паучно-пра.к гпческая конференция «Актуальные проблемы естественных и гуманитарных' на.ук». Казань, ноябрь 2011 г "Compact; quantum semigi oup'".

Публикации. По теме диссертации опубликовано 10 работ, список которых приведен в конце работы.

С/т:ру%т:цра а, объем, работы. Диссертация сосгоит пз введения, пяти гнав и списка литературы. Работа набрана в системе LaTeX2e и содержит 122 страницы.

На зали;ату выносятся следую иi;ae результаты.

1. Построен первый пример компактной квантовой полугруппы на некоммутативной С*-алгебре - алгебре Теплица Т. Доказано, что эта компактная квантовая полугруппа содержит в себе плотную слабую алгебру Хопфа с гем же конроизведеиием. Приведены примеры неэквивалентных копроизведепий, задающих структуру компактной квантовой полугруппы на алгебре Теплица. ^Доказано. что стандартная компактная квантовая группа наС(5') является квантовой подгруппой в (Т, А).

2. На. двойственном прост ])апстве к алгебре Т опредетяется структура ассоциативной банаховой алгебры с единицей. Найден функционал Ха,а,ра па (7~, А). Доказано, что банахова алгебра регулярных борелевских мер па окружности со сверткой в качестве умножения изометрически вкладывается в двойственную алгебру к алгебре Теплица.

3. Построена категория Q¿>H.<i компактных квантовых полугрупп па категории приведенных подугрупповых (Ф'-адгебр. Показа,по существование ипъективпого функтора из кате1'0])ии Qó1,,.,] в kai'eropnio S„b абелевых дискретных полут [>упп с сокращением.

Основное содержание работы.

Первая глава, состоящая из семи параграфов, посвящена описанию квантовых групп в рамках алгебраического подхода.. Такие квантовые группы называются конечными, поскольку в этой теории используются лишь конечномерные алгебры. Вся теория компактных квантовых групп основывается на аксиомах и конструкциях, приведенных в первой главе В параграфе 1.2.2 приводится описание понятия *-алгебры Хопфа — основного к.ла.сса квантовых групп, появившегося задолго до самого понятия квантовой группы.

Глава 2 coctoi-ii из двух разделов. Первый посвящен предварительным сведениям о С*-алгебрах. Второй раздел представляет' собой краткое описание основных фактов теории С*-алгебр Хопфа. Положение теории С*-алгебр Хопфа во втором разделе второй гтавы начинаете я с определения компактных матричных псевдогрупп, так как исторически именно они были предшественниками компактных квантовых групп и полугрупп. Позднее, исключив из понятия компактной матричной псевдогруппы лишние требования, С.Л. Воропович определил компактную квантовую группу.

Пусі і) А - упитальнан С*-а.лгебра. У мита, ¡ьный *-гомоморфйзм А- А —> A <g> А называется коїьртивсОашем па /1, сени он удовлетворяет условию коассоциаливности:

(Д м І<1)Д = (ні Д)Д.

Пара (А, Д) С*-алгебры А с единицей и копроизведением Д ira А называется компактной квантовой полугруппой.

Компактная квантован, /рунна, - --по компактная квантовая полугруппа (А Д), такая чго множества

(1®Л)Д(А) и (Л®1)Д(Л)

являются линейно плотными в A (R> А.

Классическим примером компактной квантовой группы (полугруппы) является алгебра непрерывных функций па компактной группе (полугруппе), где копроизведепие определяется равенством (Д(/))( >:. ij) = 1{'і-у). Верно и обра тное. Компак тная квантовая группа [А, Д) с коммутативной алгеброй А является алгеброй непрерывных функций на компактной группе.

К о ми аъ m нал ьвант.оваи. г/njnna гто ангебра (¡іуньч/иїї, на ъншгшоыуи г'рунпс. v un порам отличастся от, алгебры, фун:кн;и,й. на, обыч'ной, компактной группе только некомму-тантвност'шо.

Для компактных квантовых групп, аналогично теории *-алгебр Хопфа, вводится понятие функционала Хаара.

Пусть (АД) - компактная квантован группа и А - пространство непрерывных линейных функционалов па А. Нормированное состояние h, Є А назовем функи;аоналом Хаа/ра |44| па А. если для /побої о функционала р Є А выполняю гея равенства

h * р = р * h = Ар • h. Ар Є С.

13 работе |44| СЛ. Воронов, ином доказано, что для любой компактной квантовой группы существует едипел венный положи тельный функционал Хаара.

Глава 3 посвящена компактным квантовым полугруппам. Основные результаты опубликованы в работах [AGLl], |AGL2|, |АМ|, [AL|, |ATN|.

В этой гла.вс приводится конструкция компак тной квантовой полугруппы на. алгебре Теплица Т. Прежде показываются важные свойства этой алгебры, такие как разложимость опера,торов в ряд Фурье, критерий компактности. Конечная цель - исследование

двойственной алгебры к алгебре Теплица, которая порождаемся кваптовоіі структурой. Теорема 3.3.1. Существует коп'ронзведетіе А: 'Т —>• 'Г й 'Г, такое 'что (Т. А) являет,ся компактной квантовой полугруппой, и при этом, не является, ко.тшктной квантовой группой,.

Показывается, что данная компактная квантовая полугруппа содержи т в себе окружность 51 как подгруппу. Существует и еэр годи чес кое действие 51 на (Т., А). Алгебра неподвижных точек совпадает с коммутативной С*-алгеброй 7о-

В 1998 г. Ф. Ли |27| определил объект, который явился естественным обобщением понятия алгебры Хопфа. Пусть .4 - алгебра (без нормы) с заданным на пей копроизведе-пием А: А —> Символом т обозначим отоб])ажеиие произведения трех элементов

алгебры А, т(а ф Ь с* с) = аЬс.

Пусть существует линейное отображение Т: А —> А. такое что

ун(і(1 ,У) Т ^ іс1)(А % ісі)А = ІСІ.

■111,(7" оо І(1 <%> Т)( А бо і(1)А = Т.

Тогда А называется слабой алгеброй Хопфа, а Т — слабым, антиподом..

Классическим примером слабой алгебры Хопфа является полугрупповая алгебря инверсной полугруппы. 13 работе: А.М. Верпшка |2| доказан результат, из которого следует, ч то любая конечномерная полупроетая кокомму тативная инволютивная биалгебра изо-мо])фна слабой алгебре Хопфа.

Теорема 3.4.2. В компактной квантовой полугрупп,е (Т. А) существует плотна,я, подалгебра со структурой слабой алгебры, Хопфа и копроизведетиш, А.

Заметим, чло похожий результат и*вестей в общем случае в теории компактных квантовых групп. Каждая компакшая квашовая гр\ппа содержит плотную ^-алгебру Хопфа. Этот факт доказывает, что обобщение топологической теории квантовых групп соответствует обобщениям алгебр Хопфа. В статье |АМ| предлагается один из вариантов такого обобщения, и предлагаются примеры компактных квантовых полугрупп с указанным выше свойством, в качестве подтверждения оправданности такого понятия.

В разделе 3.5 при помощи квантовой структуры строится двойственная алгебра к алі ебре Теплица Т.

Теорема 3.5.1. С опера;и;а,ей умнооісен;а,я. индуктированной копро-и,зведен:а,ем на Т,

простра,исгпво л'и,нейпых непрерывных функционалов Т является коммутативной ба-наї.овоіі, 7/7 штамп ига алгеброй.

С..ІІ. Воронович показал су щесі вовапие фупкциоиала Хаара для любой компактной квантовой группы. Однако, для компактной квантовой полугруппы функционал Хаара может и не существовать, в отличие от компактной квантовой группы. Пример такого объекта можно на,йти в работе Дж. Мерфи, Л. Тюсец |32|. Поэтому, для каждого нового примера компактной квантовой полугруппы возникает вопрос существования функционала Хаара.

Теорема 3.5.2. В алгебре Т <,ут:е(твует функционал Хаара.

Заметим, что данный функционал не является точным па алгебре Т и даже па плотной подалгебре. Этот факт отличает приведенную конструкцию от случая компактных кван говых гру пп.

Обозначим через То пространство тех функционалов из Т, которые равны нулю на операторах из алгебры компактных операторов К.

Теорема 3.5.3. Алгебра % изоморфнп алгебре М(5') регулярных борелевских мер на, окружности, со сверткой мер в качестве умно;)ісен,ия.

Последний раздел главы 3 посвящен исследованию продолжения теории мультипликативного упитарпя на компактную квантовую полугруппу. На примерах алгебры Теплица и алгебры непрерывных функций па компактной полугруппе с нулем показывается, что такой оператор и может пе существовать для компактных квантовых полугрупп. Но с помощью пентагонального соотношения все-таки можно определить оператор на (7'-алгебре. который ¡адаст истрпвиа лыюе копроизведеппе. и таким образом является обобщением м \ льтиплика ї ивпого хнптарня.

Мультипликативным унитлрием называется унитарный оператор а. Є ІЗ(Н ® Н). удовлетворяющий пентагональному соотношению:

"'12'"'] і'"'2.і = '"'2.і "' 12 •

Здесь ис.поль зуклч я обозначения, определяемые для любого оператора а Є В(Н Н) следующим образом:

а 12 = а & I, а,->:>, = I а. а]:5 — сг^сь^іг ■= яіла\2(Т2.\-

Следующий результат хороню известен в 'теории компактных квантовых групп, и впервые был получен С Баажо.м и /К. Скандал псом |1-4|.

Пусіь (Л. А) -- компактная квантовая группа с функционалом Хаара h и (Hin 7Г/,) — ГНС-представление. соответствующее /¿. Тогда существует мультипликативный унита-рий и Є B(Hh 0 Ні,), такой что

(7Г/, 0 тг,,)Д(а) = '(/,(71/, (а) 0 1)п*.

Теорема 3.7.3. Не существует мультииткативного уиитария для (Т. А), удо-в/іет.вор.яюиі)ег<>

(тг,, 0 тг/,)Д(а) = г/,(тг/,(а) СО /)и\

Глава 4 посвящена полугрупповой С*-алгебре диск])етной абелевой полугруппы с сокращением. Гірак'ітічески все понятия и результаты, изложенные в главе 4, опубликованы в работе |АТ|, |ASGL|, |АА|.

Пусть G - компактная абелева группа, группа характеров которой изоморфна аддитивной дискретной группе Г. Обозначим через S полугруппу, порождающую группу Г, 'го есть

Г = {<>,- ЬI а.Ь Є S}

І Іреді юл ara,ем. что S содержит 0 - нейтральный элемент группы Г. и пе содержит группу, отличную от тривиальной.

Представление полугруппы S в l2{S) оператором сдвига а —> Т„ называется регулярным представлен,'аем. С*-ал гебра, порожден пая этим представлен нем обозначается

cus).

В работе |15| Л.А. Кобури доказал, что все изометрические (не унитарные) представления полугруппы Z+ порождают канонически изоморфные С*-алгебры. Позднее Р.Д. Дуглас в работе |19| и Дж. Мерфи в |30| обобщили зточ результат па полугруппы с полным порядком. Возник естественный вопрос: каким свойством до.юісна обладать полугрупп,а, S. 'чтобы, любые два а:юм,етр'и:чески,е представлени,я, п,орооісдал;а канон,'и/чески изолюрфные С*-алгебры,? Ответ па это г вопрос изложен в работе |АТ|.

Теорема 4.3.1. Следующие два условия эквивалентны:

/. все изометрические иеуии,тарные предстаем,еи'ая S поротсдают ка/іипшчески, изо-мо'рфи'ые С*-а.пгебры;

2. естественный порядок и,а, полугруппе S является полным, порядком,.

Теорема 4.5.2. Существует нетривиальная дннамьчесьая система (C*td(S) G т) Обозначим черг 5 К комму іаюрпьіп идеал аліебрьі C* (](S)

Лемма 4.6.4. )ае\іенпі ^ЄбфДЬ) припаї) пе ж um І\ тогда и. mo/ibho тогда когда

lmi7;4Tf =() fes

Теорема 4.6.1. Короткая точная последовательность

о -> к c;ld(S) 4 с(с?) -> о

где id - ьпожение £ - фактор отобpinteen не, расщепима То есть (уш,е< meije т сохраняющее инво/поцию отобрсикение р C{G) —> G*(I(S) rnahoe, что £ о р = к1

Основной результаї главы 5 - построение для каждой абелевой попуїруппьі S с сокращением комнакіиой кванювои пом\ i ])v пиы (C*(d(.S) А) Зюі и д]^ v і пе pe зульїаі ы і лавы 3 опубликованы в |АА| |ASC.I |

Теорема 5.3.1. Пара (С*(|(-Ь) А) яв/іяетія номпаыпнои ъыттовои попугруппон и (одерж и т п/ютную (пабую а/ігібру \опфа

Теорема 5.3.3. Идеал К является hondea лом ь С*(і(5) Компактная квантовая поп угруп na {C*i(l(S) А) (одержит h /нк (п чес hipo компактную квантовую подгруппу {('(С) Ас) ho іее того он pede/к но дет теш G на (0"(<|(ф) А)

Теорема 5.3.4. Функ циона/і \aapa в (G'H(|(S))4 суще( твус т а явлжтся частым (0( тояипем

IlycLb Sab — каїегория диск])сіньіх абе ісвьіх nojivipvnn с сокращение м морфизма-ми в коіО]Юи являіоігя по л v і р\ і и ювые морфизмы Обозначим пере і QiSl(<i каїеіорию, обикіамп вкоіо|)оп лвіяюкл компак і пые квап і ові.іе пол\і р\ пиы ((Г'* (t ) А) носіро-енпые іак как опікано в іднпои і лай по вс с м полуі р\ ппам S Є Ob|(<Sf,/,) Морфи ¡мами в каїеіорпп QStíí\ явії/поіся морфи імьі комиамных квапювых пол\ір\пп

Теорема 5.4.1. Существует инпектпвныи функтор as категории Q<SKd в ъагпего-рто Snb

В иар.п рас])« > ^паапсбрс І ( п піца Т бы ла ía Lana ( і р\ к і \ ра компак і поп квап і овои по i\і ]>\ ппы (Т А) Возникаем (ч і (с мкнпыи вопрос с\ ще( ів\еі ли др\нх копроизведе-ние па Т С помощью конорукцип приведенных в і лаве 5 и исполняя рсзульїаіьі работы [22], на алгебре Теплица можно задать столько сірукі\р комнакліьіх квапювых полугрупп сколько с\чцесів\'сі нолмрупп порождающих Z

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Аухадиев, Марат Альфредович, 2012 год

Литература

¡1| Л '1 Вакс млн Я С СонГн !ьмап 4 пгебра функции па квантовой группе 30(2) Функциональный анализ и ел о приложения 1 22 3 1-14 (1988)

[2] А М Вершик, Двойственность Крейна, позитивные 2-алгебры и дилатация ко-умнстсений Функциональный анализ и 01 о приложения Т 41 (2) 24-43 (2007)

|3| Гофман 1\ Ьипиювы про< тртк тьа ана питичес ки / функций Из 1,а юльс I во нпо-(I рапной лиюрл1\ры М (196*!)

|4| Гриюряп С А, Кузнецова А К) АР-подалгебры С*-алгебр пороле денньа отображениями Изв вузов Матем Т 3 82-97 (2010)

[5| Гршоряп С \ 1\\ зп( цоьа А К) С* алгебры пора >к денные отоб/ню/сенчими Л4а I Заме I кп 1 88 Г> 091-703 (2010)

|6| Григорян С А Салаху1дипов А Ф , С*-аягебры пороэ!сденные полугруппами Изв вузов Малом Т 10, 68-71 (2009)

|7| Кассе п> К квантовые группы (Фазис VI 1999)

|8| Кац Г И колои/вые группы и приицип двойственное ти I II Тр\ цы Моек ма!ем об-ва ХИ (1963) 2594301 Г1 р\ ил Мое к маюм об-ва ХШ (1965) 844113

[9| Клиффорд А Преслои Г Алгебраическая теория полугрупп Т 1 (Мир М 1972)

|1()| М1 Кр(Л1п Принцип нвоис I ьеннех I н I, 1я бикомнак I пой I р\ нпы и ква л])а I ион блок-алюбры 1окл Акал НахкС'ССР 69 725-728 1949

|11| Мсрфп Дж С*-апгебра ч теория операторов (Факюриал М 1997)

[12| H iO P( inei 11 x 1111 T A I a \ i ri i/k>iii il T Oa i,i.coii kaaumocsuuue spqiin flu u ame6p Jlu L\,11 cGpa n ana iiu T 1 1,1,111 1 178-206(1989)

[13| E Abe, Cambridge Tracts in Mathematics 74 Cambridge Umveisity Piess, Cambudge (1980)

|14| Baaj S Skandahs C Umtains multlpliratiis it duahh pom Its prodmts (iois(s do C*-algebics Ann Sennit Et Noun Sup , 4c sene 26 425 - 488 (199 3)

[15j LA Cobuin, The C*-algebia gcueiatecl by an isometi} Bali Arnei Math Sex 73(1967), 722-726

[16| A Comics iVoncommntulive qcomeh tj Academic Piess (1994)

|17| SDophdiei CPm/aii J E Rebuts An alqcbicuc duality theon/ foi multiplicative mutinies 2001

|18] S Doplichei JE Robcits A new duality theorij for compact qioups In\ent Math , 98 (1989) 157-218

|J9| RG Douglas On the C* algebia of a ouc-paiametei seimgioup of isomc ti 10s Ada Math 128(1972) 143-152

120j VG Dimleld, Qvantum Giovps Pioceechngs ICM Beikclo\ 798-820 (1986)

|2I| R Excl Circle actions on G'* cdqebias partial automoiphisms and a generalized Punsncr Voieulescv exact sequence 1 Funct Amahsis 122 (1994) 361-401

|22| SY lang Uniqueness piopciti/ of C'*-alqebias hke the Toc'])h1z alyebia Tiends 111 Mathematics Infoimation Centei ioi Mathematical St lences Vol 6 (2) 29-32 (2003)

|2i| kawamma 1\ C* biah/c bia eh /un d bq Hit chit c I sum of Curil/ ulcp bias I Algebia 319 3935-3959 (2008)

|24| R V Kachson J R Riagiose, Fundamentals oj the theory of operator algebras Academic Piess v 2 1986

1231 S khmek A Lesmewski Quant urn Riemann Suijuces I The Unit Disc Coinmuii Math Pins 146 103-122 (1992)

|26| F Li Weak Hop} alyebras and leyalar monoids J Math Res Exposition (1998)

|27| T Li Weal I/opf Alyebias and Souk New Solat/ons of ihe Quantum VaiKj-Daitei liquation Journal of Algebia \ol 208 no 1 pp 72-100 1998

|28] A Maes, A Van Daelc Notes on Compact Quantum Groups aiXiv rnath/9803122vl, 1998

129] A Maes A Van Daele The multiplicative unitaiij as a basis foi duality preprint 2002

|№| G J Mm pin Oideied gioups and roeplit/algebias / Opeiatoi Theory 18(1987) 303326

|31| G Nag\ On the Haai irieasuie of the quantum SU(n) cjioap Connnun Math Pins 153 217-228 (1993)

| >2| G J Mmpln i I uset ls/wr/s of i/uantum yioup tluoiy Pioc Amei Math Soc \ol 132 no 10 pp 3055-3007 2004

133j C Pinzaii, Embedding eryodic actions of compact quantum groups on Cr-alyebras into quotient spaces, Inteinat J Math 18 (2007) no 2, 137-164

|Vt| P Podles Stpa met i n s of qtiaalum spaces Subqiotips and quotient space s of quantum SU(2) and SO(c1) yioups Coinin Math Pins 170(1995) 1-20

|35| MM Sadi A Kind of Compact Quantum Semiyioups

http //ai\i\ oig/PS_cachc/ai\i\/pdi/0808/0808 2740\2 pdf 2010

| PM Soltan When a Quantum Space is not a Gioup? Banach Ceutei Publications Piocec dings of Banach \lgcbias 2009 91 353-364 2010

|37| W F Stmespimg, Positive Functions on C*-alyebras Pioceedings of the American Mathematical Society, 211-216, 1955

|38] MTakcsaki Duality and von Neumann algebi as Bull AMS 77 4 553-557 (1971)

1391 T Tannaka Ubci den Duahtatssat/ dei nichtkoniinutati\en topologischen Gruppen Tolioku Math I 45 1-12 (1939)

|40| Tatsiiuina. N. An extension ol AKHT theory of locally compact gioups. Kokyuroku HI MS. 311 (1977).

|41| A. Van Daele, Multiplier Hopf Algebras, Trans. Amer. Math. Soc. 342 (1994), 917-932.

[42] S.Vaes, A.Van Daele, Hopf C*-algebras, Proc.London Math.Soc, vo.82,no.2, pp. 337-384 (2001)

|43| S.Wang. Free -products of compact (рш,нічиї (/roups, Comm. Math. Pliys., 1C7, 3 (1995), 671-G92.

[44] S.L. Woronowicz, Compact quantum groups, Symetries quantiques (Les Houches, 1995), pp. 845-884, Noi til-Holland, Anisteiclam, 1998.

|45| S.L. VVoionowicz, Com/pact, Mahvi Pseudotpoups, Commun. Math. Pliys. 111. 613-665 (1987).

[46| S.L. Woronowicz, Twisted SU(2)-group: an example of mi-commutative differential calculus, Pub!. RIMS 23, 117-181 (1987).

[47| S.L. Woronowicz: Unbounded elements affiliated with C*-al»cbias and non-compact quantum gioups. Commun. Math Pli.vs. 136 (1991), 399-432.

Публикации автора по теме диссертации

|AGL1| Аухадиев, М.А. Компактная квантовая полугруппа, порожденная изо-метрией / М.А. Аухадиев, С.А. Григорян, Е.В. Липачева // Изв. вузов. Математика. - 2011. - №10. - С. 89-93.

[AGL2] Aukhadiev, М.А. Infinite-dimensional compact quantum semigroup / М.А. Aukhadiev, S.A. Grigoryari, E.V. Lipacheva // Lobachevskii Journal of Mathematics. - 2011. - Vol. 32. - №4. - P. 304-31.6.

[AT] Aukhadiev, M.A. Isometric representations of totally ordered semigroups / M.A. Aukhadiev, V.H. Tepoyan // Lobachevskii Journal of Mathematics. — 2012. - Vol. 33. - №3. - P. 239-243.

|AM| Аухадиев. M.A. Компактные квантовые инверсные полугруппы / М.А. Аухадиев // Вестник Казанского государственного энергетического университета. - 2010. - Т. 7. - Д'»4. - С. 57-66.

[AL] Аухадиев. М.А. Бесконечномерная компактная квантовая полугруппа / М.А. Аухадиев. Е.В Липачева // Тр. мат. центра им. Н И. Лобачевского. - Казань: Изд-во К аза,п. ма.т. о-в а,. 201 1. - Т. '13 - С 21-23.

|AS| Аухадиев. М.А. Структура некоторых С*-биалгебр /' М.А. Аухадиев. В.А. Тепояп // Тр. мат. центра им. Н.И. Лобачевского. - Казань: Изд-во Казан, мат.о-ва, 2011. -Т. 44. - С. 66-68.

|ASGI.| Аухадиев. М.А Компактные квантовые полугруппы, порожденные абелевыми полугруппа,мп / М.А. Аухадиев. С.А. Григорян. Е.В. Липачева // Материалы меж-

дународной научно-практической конференции '"Актуальные проблемы естественных и гуманитарных наук". - Качані.: Казан, ун-т, 2012. - Ч. 1. - С. 104-100.

[AST) Аухадиев. М.А. Способ зада,пня структуры компактной квантовой полугруппы / М.А. Ау.хадиев // Материалы международной научно-практической конференции "'Актуальные проблемы естественных и гуманитарных наук". - Казань: Казан, ун-т, 2012. - Ч. I. - С. 1 '25-126.

|ATN| Аухадиев. М.А. Построение структуры биалгебры па алгебре Теплица / М.А. Аухадиев // Материалы докладов первой всероссийской молодежной научной конференции "Тиггчуринские чтения". - Казань: КГЭУ, 2011. - С. 261-262.

[AA] Aukhadiev. М.А. The semigroup C*-algebra as an algebra of functions on quantum semigroup // M.A. Auklia.diev // Тр. мат. центра, им. П.И. Лобачевского. - Казань: Изд-во Казан. ма,т. о-во, 2012. - Т. -16. - С. 230-232.