Одновременный учет деформации ползучести и пластического течения в материалах, обладающих упругими, вязкими и пластическими свойствами тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Фирсов Сергей Викторович

• Фирсов Сергей Викторович
• кандидат наук
• 2022

Оглавление диссертации кандидат наук Фирсов Сергей Викторович

2.3.1 Обратимые деформации

2.3.2 Влияние источника необратимых деформаций

2.3.3 О перемене механизмов производства необратимых деформаций

2.3.4 Изучение влияние ползучести на развитие области пластического течения

2.3.5 Изучение влияние пластического течения на процесс ползучести

2.3.6 Об использовании условия максимальных касательных напряжений

2.3.7 Об учёте упрочнения при пластическом течении

Заключение к главе

3 Силы инерции вращающихся цилиндров как источник ползучести и

пластического течения

3.1 Плоская деформация материала вращающегося цилиндра

3.1.1 Система интегродифференциальных уравнений задачи

3.1.2 Деформирование, предваряющее течение

3.1.3 Постановка задачи в безразмерных переменных

3.1.4 Упругое решение

3.1.5 Время и место начала пластического течения

3.1.6 Вязкопластическое течение

3.1.7 Установившееся вязкопластическое течение

3.1.8 Задание закона вращения

3.1.9 Разгружающая упругопластическая граница

3.1.10 Замечания об особенностях численных расчётов

3.2 Обобщённые плоские деформации

3.2.1 Задание обобщённого плоского деформирования

3.2.2 Условия и возможности появления вязкопластического течения

3.2.3 Развитие вязкопластического течения

3.2.4 Установившееся вязкопластическое течение

3.2.5 Уравнение в конечных разностях

3.3 Тестирование программы расчётов и обсуждение результатов

3.3.1 Точное упругое решение в качестве средства тестирования

3.3.2 Установившееся вязкопластическое течение

3.3.3 О смене механизма производства необратимых деформаций

3.3.4 Двухслойный вал. Ползучесть и вязкопластическое течение

3.3.5 Эволюция напряжённо-деформированных состояний во вращающейся трубе

3.3.6 Ползучесть и пластическое течение в двухслойном вале с

незакреплёнными торцами

3.3.7 Вращение цилиндров с зафиксированными торцами

3.3.8 Вращение цилиндров со свободными торцами

Заключение к главе

4 Взаимовлияение ползучести и пластического течения в условиях плоских напряжённых состояний

4.1 Упруговязкопластическая задача

4.1.1 Вводные замечания и постановка задачи

4.1.2 Обратимое деформирование

4.1.3 Время и место начала течения

4.1.4 Уравнение вязкопластического течения

4.1.5 Организация численных расчётов

4.1.6 Эволюция области течения

4.2 Взаимовлияние процессов ползучести и пластического течения

4.2.1 Ползучесть до вязкопластического течения

4.2.2 Вязкопластическое течение в условиях ползучести

4.2.3 Взаимовлияние пластичности и ползучести при других граничных условиях

Заключение к главе

Заключение

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Одновременный учет деформации ползучести и пластического течения в материалах, обладающих упругими, вязкими и пластическими свойствами»

Введение

В механике деформируемого твёрдого тела при рассмотрении задач деформирования предполагается, что материал, из которого состоит рассматриваемая деталь, обладает некими свойствами, обуславливающими процесс деформирования. Само деформирование разделяют на консервативное (без потерь внутренней энергии) и диссипативное (в результате которого внутренняя энергия тела рассеивается, уходя в тепловую энергию или в производство необратимых деформаций). Консервативный механизм деформирования описывается с помощью упругих свойств среды, в то время как диссипативный механизм деформирования в изотермическом квазистатическом случае может быть описан вязкими и пластическими свойствами среды. Для решения большинства задач используются предположения о малости влияния одного или двух из данных свойств, что в свою очередь позволяет исключить их из рассмотрения и значительно упростить итоговую математическую модель, описывающую данный процесс. Однако это автоматически накладывает определённые ограничения на список задач, которые могут быть решены с помощью подобных математических моделей.

Так, к примеру, в рамках классической теории упругости [96, 134] успешно решаются множество задач. Однако, она становится неприменима в тех случаях, когда напряжённое состояние в среде достигает некоторого критического значения, при котором начинается пластическое течение. Также, решения, полученные в рамках теории упругости, могут не соответствовать действительности при большой продолжительности процесса деформирования, т.к. в таких случаях уже нельзя пренебрегать деформациями, накопленными в результате ползучести.

Аналогичным образом, ряд технологических операций обработки металов давлением (прокатка, волочение, штамповка) расчитываются в рамках идеального жёсткопластического анализа [58, 117, 131], когда пренебрегают упругими деформациями в силу их малости в сравнении с пластическими деформациями. Это позволяет расчитывать значительное формоизменение деталей, однако не позволяет определить итоговое распределение напряжений в детали и, соответственно, упругий отклик, происходящий после снятия нагрузки, что также добавляет погрешность в вычисления итоговой геометрической формы получаемой детали

[113, 138, 150].

Аналогичная ситуация наблюдается для теорий ползучести [4, 5, 15, 55, 73,

126, 232], использующихся при расчётах на длительную прочность [92—94, 105,

127, 149], где упругими деформациями пренебрегают. Однако в задачах релаксации напряжений [16], при обработке металлов [98, 201] для получения корректного результата необходимо учитывать упругие деформации.

Для избегания подобных погрешностей и расширения класса технологических задач, которые могут быть решены с помощью данной математической модели, последние строятся с учётом уже двух из трёх основных свойств материалов. К таким моделям можно отнести модели упругопластичности [3, 46, 67], вязко-упругости [13, 68, 84, 100, 188, 215], вязкопластичности [48, 101, 103, 112, 226] и др.

Однако практически не рассматриваются совместно два свойства диссипа-тивного деформирования материалов: пластичность и ползучесть. Это обуславливается тем, что пластическое деформирование обычно рассматривается в скоротечных процессах, в то время как ползучесть рассматривается, в основном, при длительных процессах деформирования с практически неизменным во времени значением нагрузки. Однако оба из этих процессов приводят к значительному перераспределению напряжений в рассматриваемой деформируемой среде, тем самым они могут оказывать значительное влияния на взаимное протекания данных процессов.

Рассмотрим технологию холодной формовки, при которой формоизменение детали происходит за счёт медленного режима ползучести [53, 71, 113]. Эта технология применяется в тех случаях, когда деталь существенно теряет прочность в случае высокоскоростного формоизменения при высоких температурах. Однако, даже в случае холодной формовки, в местах контакта детали и оснастки могут образовываться области локального пластического течения. Наличие таких областей может существенно повлиять на распределение напряжений в среде, как было сказано ранее. Соответственно, для корректного описания подобных процессов необходимо рассматривать все три основные свойства: упругость, пластичность и ползучесть. Также подобные процессы формоизменения обычно сопровождаются накоплением больших деформаций.

Однако, если в малых деформациях представленно довольно много различных теорий, со случаем больших (или конечных) деформаций всё обстоит слож-

нее. При построении теории больших деформаций встают две наиболее серьёзные проблемы [19,234], имеющие кинематический характер. Первая из них—это проблема выбора корректного способа разделения полных деформаций на обратимые и необратимые, где под обратимыми обычно понимаются упругие деформации, а под необратимыми — пластические. При этом пластические деформации включают в себя как, собственно, деформации пластичности, так и деформации ползучести. Основная сложность заключается в том, что экспериментально можно определить только полные деформации. Для корректного построения математической модели необходимо данные деформации разделить на упругие, на основе которых расчитываются напряжения в среде, и на пластические деформации, которые в свою очередь отвечают за необратимое деформирование детали, что необходимо для расчёта итоговой геометрии. В связи с невозможностью их разделения опытным путём, построение подобного разделения становиться произволом конструкторов математических моделей. Необходимым требованием остаётся только соблюдение геометрической корректности подобного разделения, что, в свою очередь, оказывается не такой простой задачей.

Одна из первых попыток составить модель больших упругопластических деформаций была предпринята Л.И. Седовым в монографии [130]. Им было предложено разделить вектор перемещений на упругую и пластическую составляющие, однако некорректность данного подхода была выявлена вскоре после выхода издания [130].

После нескольких неудачных попыток, первой геометрически непротиворечивой кинематикой конечных упругопластических деформаций принято считать модель Э. Ли, описанную в работах [204, 206]. В данной модели предполагается мультипликативное разделение полных деформаций на упругие Ре и пластические Ер:

р рр дг дг др е р дР0 дрдР0'

где Р и Р0 — радиус-векторы начального и текущего положений точки среды, подверженной деформированию, р — радиус-вектор данной точки в состоянии разгрузки.

Предположение о взаимно однозначном соответствии единственного состояния разгрузки каждому деформированному состоянию хотя и распространяло основные положения модели Прандтля-Рейса [38, 70] на большие деформации, однако, оставляло без ответов вопросы о том, что понимается под самим разгру-

зочным состоянием и какова зависимость разгрузочного состояния от пути разгрузки. Считать таким состоянием для каждой частицы тела предельное состояние при неограниченном измельчении тела предложено в работе [153] А. Д. Чер-нышовым. Им же в статье [152] проведено обобщение предложения Э. Ли на тер-моупругопластические материалы.

Вопреки ожиданиям исследователей, разложение, предложенное в [204], приводило лишь к неполному разделению общей упругопластической деформации по причине его неединственности [162]. Это явилось причиной аномалий в определяющих теориях, созданных на основе подхода Э. Ли. Обсуждению и устранению данной проблемы посвящён ряд исследований [164, 174, 175, 196, 212, 218, 236], в том числе со стороны самого автора данного подхода [205, 207].

Корректировка недостатков и обобщение предложения Э. Ли [204] на случай анизотропных материалов были приведены в работе [189]. Здесь закон, связывающий напряжения и обратимые деформации, существенно зависит от необратимых составляющих. Но экспериментальная конкретизация такого закона оказалась невозможной, что не позволило применять его на практике.

В работе [167] автором принимается разложение полных деформаций, отличающееся от рассмотренного в [204] порядком множителей:

Такой вариант также приводит к зависимости разгрузочного состояния от пути разгрузки, и, как было доказано несколько лет спустя в [222], здесь не представляется возможным образовать тензор необратимых деформаций, неизменный в процессах разгрузки.

Несмотря на все недостатки, геометрическая корректность модели Э. Ли оказалась настолько привлекательной, что она во многом определила дальнейшее развитие теории больших упругопластических деформаций. В дальнейшем было предложено значительное количество математических моделей, основанных на мультипликативном разложении деформаций на упругие и пластические. В работе [218] приведён обзор подобных моделей. Среди них можно выделить модели, представленные в работах [1, 6, 83, 160, 184, 221, 231]. Обобщение модели на случай учёта вязких свойств среды на стадии пластического течения приведено в работах [81, 82]. Дальнейшее улучшение модели В.И. Левитасом [86—90] позволило избежать некоторых неточностей предшествующих работ. Однако, для

избавления теории от зависимости обратимых деформаций от необратимых в процессе разгрузки, понадобилось ввести дополнителное ограничение [209].

В работе [86] так же уделено внимание решению второй серьёзной проблемы построения модели конечных деформаций, а именно проблеме выбора объективной производной по времени, которая позволяет определить скорости необратимых деформаций [194]. Эта проблема возникает при попытке обобщения теории пластического течения [39, 47, 64, 70, 72, 74, 131, 151]. Выбор такой производной также является, по большей частью, произволом автора математической модели. Так, в работе [118], было предложено использовать производную Яумана. В работах [2, 56, 129] использовалась производная Коттер-Ривлина для связи тензора конечных деформаций Альманси с тензором скоростей деформаций. Также было предложено опираться на эксперементальные данные при выборе производной [170, 173], что приводило к необходимости проверять пригодность используемой производной для решения конкретных задач.

Основываясь на кинематике наложения малых упругих и неупругих деформаций на конечные деформации, авторами [85, 106, 107, 128] были построены эволюционные определяющие уравнения поведения сложных сред при конечных деформациях, включающие согласованную с ними объективную производную.

Обобщение деформационной теории пластичности, в которой тензорно-линейные соотношения между деформациями и напряжениями совпадают по форме с положениями теории малых упругопластических деформаций [66, 67], для исследования распространённых на практике процессов с большими пластическими и малыми упругими деформациями предложено авторами работ [108,116]. В данных работах также осуществляется общая постановка упругопла-стических задач с большими пластическими деформациями как в лагранжевых, так и в эйлеровых переменных. Расширению теории упругопластических процессов А. А. Ильюшина на случай конечных деформаций также посвящён ряд других исследований [43, 115]. Исследованию процессов деформирования в рамках теории пластического течения, часто встречающихся в прикладных задачах, сопровождающихся малыми упругими и большими пластическими деформациями, посвящены работы [176, 203].

Также, в некоторых случаях, для расчёта больших деформаций прибегают к построению приближённых численных решений [50, 133, 136, 166, 200, 242]. Однако здесь также не обошлось без проблем. Так как большинство алгоритмов

расчётов состояний упругопластических тел в больших деформациях основываются на системе уравнений, составленных относительно скоростей деформаций, что приводит к необходимости установки связи между тензором скоростей упругих деформаций и тензором напряжений. Соответственно, возникает необходимость брать производную тензора напряжений по времени, что опять приводит к необходимости выбора дополнительной объективной производной по времени. В качестве таковых производных выбирались производная Зарембы-Яумана-Нолла [166, 200, 216, 239], Грина-Нагди [195, 234], Ли [238]. В работах [237, 242] приводится сравнение численных решений с использованием различных объективных производных. Результаты даных расчётов оказались сопоставимы только для случая малых упругих деформаций. При росте упругих деформаций в окрестностях границ упругопластических областей наблюдались недопустимые осцилляции в результатах [219, 241].

На основе всего вышесказанного можно сделать вывод, что в настоящее время имеется довольно много геометрически и термодинамически корректных математических моделей, описывающих большие упругопластические деформации (к приведённым ранее можно также добавить работы [1, 50, 57, 83, 133, 154, 161— 163, 171, 172, 199, 202, 208, 211, 223, 235]), однако общепризнанной модели больших деформаций, включающей в себя упругие и пластические деформации, не существует.

Отдельно отметим модель больших упругопластических деформаций, которая была предложена в 90-х годах на Дальнем Востоке [17, 41, 104]. В отличии от теории Э. Ли, рассмотренной ранее, в данной модели, согласно формализму неравновесной термодинамики, обратимые и необратимые деформации определяют в качестве параметров состояния, для которых необходимо постулировать соответствующие уравнения изменения или переноса [104]. Подобный подход к определению обратимых и необратимых деформаций через дифференциальные уравнения переноса позволяет избежать проблему выбора объективной производной, так как введённые уравнения переноса устанавливают связь тензора необратимых деформаций с тензором их скоростей в качестве источника данных деформаций. В [41] для обратимых и необратимых деформаций постулируются уравнения изменения, в которых конкретизируются источники, а разгрузочное состояние не является зависимым от характера деформационного процесса. В статье [17] составляющие полных деформаций также определяются уравнениями переноса, предполагается

неизменность необратимых деформаций в процессе разгрузки, а изменение компонент соответствующего тензора происходит аналогично случаю жёсткого вращения среды. Здесь же принята упрощающая гипотеза, используемая в классической теории, о независимости термодинамических потенциалов от необратимой составляющей полных деформаций, или о зависимости напряжений в материале только от уровня и распределения обратимых деформаций.

Предложенная теория получила развитие, найдя обобщения [75, 80] для случаев температурных и реологических эффектов и применение к постановкам, моделированию и аналитическим и численно-аналитическим решениям множества краевых задач [7, 9, 10, 18, 20, 22—27, 29—34, 77—79, и др.], часть из которых вместе с общими сведениями по данной модели были собраны в монографии [19].

Дальнейшее исследование по данной модели проводится при совместном учёте деформаций пластичности и ползучести [8, 11, 12, 44, 45]. Считается, что необратимые деформации не разделяются на деформации, вызванные пластичностью и ползучестью, разделяются только их механизмы накопления. Соответственно, в уравнениях переноса тензора необратимых деформаций различными будут только значения источника необратимых деформаций.

Однако возникает новая проблема, связанная с определением данного источника, а именно механизма производства необратимых деформаций. Так, например, при начальной стадии деформирования, предшествующей пластическому течению, в качестве механизма накопления необратимых деформаций выступает ползучесть. Однако какой следует выбрать механизм, когда напряжённое состояние в среде достигает поверхности нагружения? Наиболее очевидным является замена механизма с ползучести на пластичность, однако в таком случае может появиться разрыв в скоростях необратимых деформаций на упругопластической границе. Чтобы исключить подобный разрыв, можно предположить, что накопленные скорости деформаций ползучести являются начальными значениями для скоростей пластичности. Это позволяет избежать разрыва в случае нагрузки, однако не известно, образуется ли разрыв при разгрузке. Также, можно использовать предположение, что деформация ползучести присутствует в среде всегда, когда напряжения в среде не равны нулю. В связи с этим предположением механизм накопления необратимых деформаций в области пластического течения можно представить, как суперпозицию пластичности и ползучести.

В работах [12,110, 114] второй вариант согласования пластичности и ползу-

чести рассматривается на примере задач наиболее простой геометрии теории больших деформаций. В [12] исследуется деформирование материала, расположенного между двумя жесткими цилиндрами, при повороте внутреннего цилиндра, в [110, 114] исследованы задачи о деформировании сферического слоя в условиях всестороннего сжатия. В качестве закона ползучести здесь выбран закон Нортона, а согласуемым с ним условием пластичности в [110] служит условие Мизеса, в [12, 114] — условие Треска, обобщённое на случай учёта вязких свойств среды.

В настоящей диссертации вопрос определения механизма производства необратимых деформаций изучается на примере задачи движения деформируемого материала в трубе при задаваемом перепаде давления. Данная проблема остаётся классической задачей механики. В случае жёстковязкопластичной модели среды она рассматривалась в [48, 61, 101, 102, 112]. В [25—27] считалось, что в продвигающемся ядре материал является не жёстким, а деформируется упруго. Таким образом задача оказывается разрешимой только в рамках модели больших упру-говязкопластических деформаций. Удобно при этом рассматривать данную задачу в условиях определения обратимых и необратимых деформаций посредством задания (определения) составляющих полных деформаций дифференциальными уравнениями их изменения (переноса) [19]. Следует отметить, что антиплоское движение в [25—27] изучалось в рамках связанной теории термоупруговязкопла-стичности. Это первые решённые задачи теории в условиях необходимо возникающих больших деформациях. Нагрев в таких задачах осуществлялся за счёт пристеночного трения.

Близкие по постановке к задачам продвижения материала по трубе за счёт пристеночного вязкопластического течения являются задачи проталкивания упру-говязкопластической пробки в трубе с помощью переменного давления [21,22,76, 77]. Важно отметить, что такие задачи теории больших упруговязкопластических деформаций рассматривались в виде процесса развития течения и последующего его торможения до полной остановки с расчётом сформировавшихся распределений остаточных деформаций и напряжений.

В настоящей диссертации рассмотрим случай, когда в продвигающемся упругом ядре наряду с упругими свойствами материала учитываются и его вязкие свойства в форме развивающихся необратимых деформаций ползучести. Соответствующая глава диссертации (глава 2) основана на наших работах [119, 121, 123, 181, 182].

Вопрос о выборе механизма накопления необратимых деформаций встаёт не только в случае больших деформаций. Изучение данного вопроса в рамках модели малых деформаций представляет собой не меньший интерес. Для этого рассматривается задача вращения дисков и валов. Она является одной из классических задач механики деформируемых твёрдых тел. Их решение входит во множество различных монографий и учебников.

Изучение данных задач началось с того, что Тимошенко [134] впервые предложил рассчитывать распределение напряжений в форме решения соответствующей краевой задачи теории упругости. Принципиально решенной, в рамках теории упругости, данную задачу можно считать после получения Лурье [96] общего решения этой задачи с произвольной зависимостью упругого потенциала от инвариантов тензора конечных деформаций. Если рассматривать дальше теорию упругости, то можно отметить работы [156, 179, 233, 243], в которых решались задачи упругого деформирования вращающихся цилиндров из функционально-градиентных материалов. Вязкоупругое деформирование сплошных и полых цилиндров из функционально-градиентных материалов рассматривалось в работе [244]. В работах [159, 165, 198] решались задачи вращения гиперупругих цилиндров.

Решались так же задачи необратимого деформирования вращающихся цилиндров. Так, в рамках жёсткопластического анализа, задачу вращения сплошного цилиндра впервые рассмотрел Надаи [217]. Он установил, что, при условии несжимаемости, деформация цилиндра сводится к равномерному осевому сжатию и осесимметричному поперечному расширению, равному половине сжатия. Радиальное и тангенциальное напряжения совпадают, а осевое напряжение отличается от них на величину предела текучести. Изучению необратимого деформирования, происходящего вследствии ползучести, посвящена монография Работно-ва [126].

Задача о вращении цилиндра в рамках упругопластической модели материала впервые рассматривалась в [197], где рассматривался сплошной цилиндр с закреплёнными концами и использовалось условие пластичности Треска и ассоциированный закон пластического течения. При решении авторы, на основе работы [217], предположили, что радиальное и тангенциальное напряжения совпадают. Однако, позднее, в работе [187] было показано, что подобное предположение неверно. Ведь в таком случае на упругопластической границе появляется разрыв

в перемещениях.

Корректное решение для данной задачи приведено в работах [186, 187]. Авторами показано, что условие Треска впервые выполняется в центре цилиндра, что приводит к одновременному появлению двух областей пластического течения, первая из которых соответствует ребру призмы Треска, а вторая - её грани. Дальнейшее увеличение скорости вращения приводит к развитию пластического течения и постепенному уменьшению области упругого деформирования. В определённый момент, на внешней граничной поверхности сплошного цилиндра выполняется условие пластичности и появляется ещё одна область пластического течения, распространяющаяся от внешней граничной поверхности во внутрь цилиндра, навстречу к первым двум областям. В дальнейшем, две упругопласти-ческие границы совмещаются, область упругого деформирования пропадает, и на месте их соединения зарождается ещё одна область пластического течения, соответствующая ребру призмы Треска. Полученное в этих работах [186, 187] решение является непрерывным во всём цилиндре на всех стадиях пластического течения. Деформирование, происходящее при постепенной остановке сплошного цилиндра с закреплёнными концами, рассматривалось в работе [210]. В этой работе были рассмотрены стадии появления областей повторного пластического течения при плавной остановке вращения, а так же найдены значения максимальной скорости вращения, которая должна быть достигнута, что бы после остановки в цилиндре появились области повторного пластического течения.

Полый цилиндр с закрепленными концами исследовался в [185]. Авторы рассматривали как идеально-пластический, так и линейно-упрочняющийся материал. При данных граничных условиях зарождается только одна область пластического течения на внутренней граничной поверхности и, с увеличением скорости вращения, распространяется на весь цилиндр.

Анализ деформаций во вращающихся цилиндрах со свободными концами осложняется дополнительным условием на суммарную осевую силу. Исследование упругопластических деформаций во вращающемся сплошном [214] и полом [213] цилиндре со свободными концами показало, что пластическое течение в них характеризуется другой конфигурацией пластических областей в сравнении с цилиндрами с закрепленными концами [185—187, 210]. Так, в центре сплошного цилиндра появляются две пластические области, которые с возрастанием скорости вращения распространяются на весь цилиндр. В полом цилиндре условие пластич-

ности, соответствующее грани призмы Треска, впервые выполняются на внутренней поверхности, в результате чего появляется пластическая область. Затем, на упругопластической границе происходит переход с грани призмы Треска на ее ребро и количество пластических областей возрастает до трех. Дальнейшее увеличение скорости вращения приводит к исчезновению сначала внутренней пластической области, а затем и внешней упругой области.

Вращение сплошного цилиндра с закреплёнными и свободными концами из линейно-упрочняющегося упругопластического материала рассматривается в работе [177]. Сравнение результатов [177, 185], полученных для упрочняющегося и идеально-пластического материала, показало, что в обоих случаях появляются одинаковые пластические области, но течение в цилиндре из упрочняющегося материала распространяется медленней, а уровень напряжений в нем — выше. Подробный анализ упругопластических деформаций во вращающемся цилиндре с условием текучести Мизеса и нелинейным законом упрочнения в рамках деформационной теории пластичности приведён в [178]. Наряду с этим, математическая модель допускает сведение к линейно-упрочняющемуся и идеально-пластическому материалу, а также включает все упомянутые ранее типы граничных условий на поверхностях и торцах цилиндра. Из численного решения установлено, что для идеально-пластического и линейно-упрочняющегося материала условия Треска и Мизеса приводят к близким распределениям перемещений и напряжений в цилиндре. Однако, пластические деформации, предсказанные с помощью условия Мизеса, оказываются значительно меньше. Кроме того, использование условия Мизеса дает более высокую оценку предельной скорости вращения цилиндра. Напряженно-деформированное состояние в нелинейно-упрочняющемся цилиндре существенно зависит от параметров материала.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Фирсов Сергей Викторович, 2022 год

/ А

....... ....... ...... ...... ...... ....... ....... ......

0.2 0.4 0.6 0.8

1 т

0.2 0.4 0.6 0.8

1 т

Рисунок 2.5 - Результаты расчётов при учёте накопленных скоростей ползучести в области пластического течения. Обратимые деформации при: а) т = 0,05; в) т = 0,2. Необратимые деформации при: б) т = 0,05; г) т = 0,2. Изменение источника необратимых деформаций: д) перед область пластического течения (£ = 0,824); е) на границе пластической области (£ = 0,825).

0

2 2

0

0

Получается, что введённое ограничение, приводящее к модели (1.56), гарантирует неразрывность только при продвижении упругопластической границы. Если упругопластическая граница остановит своё продвижение, то разрыв в источнике необратимых деформаций по прежнему будет образовываться, и чем больше пройдёт времени, тем больше будет данный разрыв. Отдельного изучения требует вопрос о неразрывности источника необратимых деформаций при продвижении упругопластической границы в обратном направлении, то есть при снятии нагрузки. При данных параметрах эволюции нагрузки (градиента давления ф(т)) при сходе напряжений с поверхности нагружения также наблюдается образование разрыва в источнике необратимых деформаций ^^ (рисунок 2.5.е).

Если для сохранения непрерывности ^^ на неподвижной упругопластической границе производить корректировку значения параметра е^, то можно избежать появления разрыва в деформациях и напряжениях. Однако в таком случае появляется новый вопрос: с обновлением значения параметра е^ на неподвижной упругопластической границе также становится необходимым его пересчёт и внутри всей области пластического течения. В противном случае разрыв в деформациях и напряжениях будет образовываться уже внутри области пластического течения.

Для разрешения этой дилеммы предлагается всегда считать, что источник необратимых деформаций есть сумма скоростей деформаций пластичности и ползучести, только вне области пластического течения скорости пластичности тождественно равны нулю. Иными словами это можно записать в форме (1.57). Данный подход позволяет избежать появления разрывов в источнике необратимых деформаций, в связи с чем деформации и напряжения также остаются непрерывными во всей деформируемой среде. Здесь не будем приводить результаты расчётов для данной модели, так как она будет применяться для всех последующих задач, в результатах которых и можно будет отметить отсутствие разрывов.

2.3.4 Изучение влияние ползучести на развитие области пластического течения

Перейдём к рассмотрению совместного протекания процессов ползучести и пластического течения, а именно к изучению возможного влияния, которое оказывает один механизм на другой. Ведь и ползучесть, и пластичность зависят от напряжений, и оба данных механизма приводят к изменению уровня напряже-

ний в деформируемой области. Для начала рассмотрим, какое влияние оказывает ползучесть на пластическое течение. Для этого совместно рассмотрим задачу упруго-пластического деформирования (решения для данного случая на графиках будут обозначаться р1) и вязкого деформирования (с учётом ползучести) при разной интенсивности процесса ползучести. Для этого зафиксируем параметры пластичности на значении п = 30 для всех случаев, а для ползучести будем использовать параметры: п = 3, х = 2 • 10—3, х = 3 • 10—3 и х = 4 • 10—3. Решения для данных трёх случаев на графиках будут обозначаться соответственно 2, 3 и 4. Остальные параметры среды примут значения (2.33): а = —201, в = —208. Функция нагрузки задаётся в форме (2.32). Максимальное значение нагрузки возьмём равным фтах = 1,45. Результаты решения данных задач приведены на рисунке 2.6. На графиках не приведены изменения с течением времени компонент ефф и РФФ (графики б) и г) на рисунке 2.6), так как в ходе нагружения компоненты егг и ргг с определённого момента времени практически сравниваются с ними, а после снятия нагрузки (т > т3) вообще совпадают. Однако в показанный на отдельных графиках момент времени т = 0,1 (графики а) и в) на рисунке 2.6) этого ещё не произошло.

Как видно из полученных графических зависимостей, ползучесть оказывает малое влияния на касательную компоненту тензора необратимых деформаций по сравнению с тем влиянием, которое она оказывает на диагональные компоненты тензоров деформаций. Несмотря на то, что при данных параметрах размер области пластического течения при разных интенсивностях ползучести остаётся неизменным, можно наблюдать увеличение интенсивностей напряжений на поверхности трубы £ = 1 при больших значениях параметра ползучести х. Как видно из графиков, значения диагональных компонент тензоров деформаций в таких случаях начинают приближаться к значению касательной компоненты и, соответственно, они начинают оказывать значительное влияние на процесс деформирования.

Так же следует отметить, что для случая 4 (х = 4 • 10—3) компоненты тензоров деформаций и интенсивности напряжений продолжают расти даже после снятия нагрузки (ф(т) = 0). В связи с этим можно предположить, что при деформировании были накопленны критические деформации и остаточные напряжения, которые сами по себе приведут к разрушению среды даже без приложения внешней нагрузки.

о

-2 -4

2----3

0.2 0.4 0.6 0.8

1 е

в)

ю-6 р

0.6 0 -0.6 -1 .2 -1.8

0

0.2 0.4 0.6 0.8

Ргг

1 е

д)

е,р, 10-3Р1 0

-4 --8 -

2----3

0 0.2 0.4 0.6 0.8

1 е

ж)

Я р1 1.5

2----3

вц,10-3 р1 1.6

2----3

0.8

0

-0.8 г)

1

>■> /

/ /

---

':вТг' ......

1

0

0.2 0.4 0.6 0.8

1 т

Рц,10-3 Р1 0.8

-0.8

-1.6

: Ргг___-I—-ГГ-4---

Ргг

0.2 0.4 0.6 0.8

1 т

е)

е,р, 10-3 Р1 4

2----3

0

-4 -8 -12

з)

Я р1 1.5

1 ■ 1

етг : \

-...... . ' 1 ' - ......

•О--. — ........

----

: \

1 ' 1

0.2 0.4 0.6 0.8

2----3

1 т

0.5

1 1 !

.........."

1

1—

0.2 0.4 0.6 0.8

1 е

0.2 0.4 0.6 0.8

1 т

Рисунок 2.6 - НДС среды при разной интенсивности ползучести. Обратимые деформации при: а) т = 0,1; б) £ = 1. Необратимые деформации при: в) т = 0,1; г) £ = 1. Касательные компоненты деформаций при: д) т = т2; е) £ = 1. Интенсивности напряжений при: ж) т = т2; з) £ = 1.

4

4

В

В

0

2

3

4

2

3

4

0

0

4

4

0

4

4

1

0

0

0

2.3.5 Изучение влияние пластического течения на процесс ползучести

Рассмотрим, какое влияние оказывает интенсивность пластического течения на процесс ползучести материала. Для этого рассмотрим деформирование вязкой среды в качестве эталонной и деформирование сред, в которых интенсивность пластического течения будет задаваться за счёт изменения значения предела текучести. Для того чтобы избежать изменений остальных безразмерных параметров примем, что при обезразмеривании производилось деление на некоторое фиксированное значение а0, в то время как предел текучести материала может быть иным. В этом случае формула (2.35) примет вид

IV — к

4 = т,,. (2.40)

Здесь к — это отношение предела текучести материала к величине, которая использовалась при обезразмеривании. Таким образом в ранее рассмотренных случаях принималось к = 1, то есть предел текучести совпадал с величиной обезраз-меривания.

Для изучения влияния пластического течения рассмотрим случаи к = 0,9; к = 1 и к = 1,1. Они соответственно будут обозначены как 0.9, 1.0 и 1.1. Случай вязкого деформирования обозначим как сг. Расчёт будем производить при значениях параметров а = -201; в = -208; ( = 30, п = 3, х = 2 • 10-3. Максимальное значение нагрузки возьмём равным фтах = 1,55. Результаты расчётов представлены на рисунке 2.7. Как и в предыдущем случае, компоненты ефф, рфф с течением времени сравниваются с егг, ргг и, после снятия нагрузки (ф(т) = 0), полностью совпадают.

Если сравнить данные графические зависимости (рисунок 2.7) с полученными ранее (рисунок 2.6), то можно заметить, что изменение значений деформаций и напряжений на поверхности трубы £ = 1 имеют схожий характер. Однако, смотря на их распределение внутри среды можно заметить, что варьирование влияния пластического течения приводит только к различным результатам в пределах области пластического течения, в то время как при разной интенсивности ползучести изменялись значения деформаций во всей среде. Но в связи с тем, что наибольшие значения как деформаций, так и напряжений достигаются в окрестности поверхности трубы £ = 1, то выводы, полученные в предыдущем пункте для влияния интенсивности ползучести, также справедливы и в данном случае.

о

-2 -4

0

в)

Рц,10-6 сг 1

0

-1 -2

д)

е,р, 10-3 сг 4

0

-4 -8 -12

ж)

Е 1.6

1.2 0.8 0.4 0

1.1---1.0 ....... 0.9----

!

-..... ......-

0.2 0.4 0.6 0.8

1 е

1.1

1.0

0.9

ч -- ч

ч\\ .......\л

0.2 0.4 0.6 0.8

1 е

1.1---1.0 ....... 0.9----

Ртг

\

\

0.2 0.4 0.6 0.8

сг - 1.1---1.0 ....... 0.9----

1 е

1 1 1 1 1 1 1 1 /

-

— — - -- --: _ - ^ -

|

1.1 0.9

-11 1.6

0.8

,10-3 сг

1.1---1.0 ....... 0.9----

0.8

г)

Рг], Ю

1 /'

"...... / / / У -

---

ч | 4

0.2 0.4

-3

сг

1.1

0.6

1.0

0.8

0.9

1 т

Рфф

Ртт

Ргг

1

-2

1 1 1

х- ....... ^ —------:

"ч V

\ \

1 ---

0.2 0.4

0.6

0.8

1 т

е)

е,р, 10-3 сг 4

1.1---1.0 ....... 0.9----

0

-4 -8 -12

з)

Я 1.6

1

етг \

---

"...... -__ ч. Ртг ......:........ -

......______ 1 "

0.2 0.4

0.6

0.8

1 т

сг

1.1---1.0 ....... 0.9----

0.2 0.4

0.6

0.8

1 е

1.2 0.8 0.4 0

1.1 0.9

0.2 0.4

0.6

0.8

1 т

Рисунок 2.7 - НДС среды при разной интенсивности пластичности. Обратимые деформации при: а) т = 0,1; б) £ = 1. Необратимые деформации при: в) т = 0,1; г) £ = 1. Касательные компоненты деформаций при: д) т = т2; е) £ = 1. Интенсивности напряжений при: ж) т = т2; з) £ = 1.

В

0

В

0

0

0

0

е

0

0

0

0

То есть увеличение интенсивности пластического течения не приводит к смещению упругопластической границы £ = т(т) на стадии поддержания постоянной нагрузки ф(т) = фтах (т\ ^ т ^ т2), однако, в связи с тем, что значения диагональных компонент тензоров деформаций и, соответственно, напряжений достигают значений, сравнимых с касательными компонентами, происходит рост уровня напряжений в окрестности поверхности трубы £ = 1. Также следует отметить, что после снятия нагрузки (ф(т) = 0) в случае 0.9 (к = 0,9) наблюдается рост напряжений, вплоть до появления области повторного пластического течения (рисунок 2.7.з).

2.3.6 Об использовании условия максимальных касательных напряжений

Рассмотрим также другие модели пластического течения, которые были приведены ранее. Воспользуемся моделью вязкопластического течения с пластическим потенциалом типа в форме условия течения Треска-Сен-Венана (2.36):

1 с _ к

оР = _ оР = _ ___ (п _ п ) ГР =0

°тт = = о^ с (Пгг Пгг) , =

_р 13_к С '--(2-41)

'-ТХ = £ с °Гг'

= -— Пг-7,, с = (Пгг — Пгг )2 + 4п^.

В качестве модельных задач возьмём наиболее отличительные, которые были представлены ранее. Эталонными будут решения задач деформирования среды только с вязкими (ползучесть) и пластическими (течение) свойствами. Обозначим эти случаи соответственно сг и р1. Для сравнения с ними рассмотрим задачу совместного учёта деформаций пластичности и ползучести со значениями параметров: п = 3; х = 2 • 10—3; к = 1; ( = 30. А также задачи с повышенным влияним пластичности (к = 0,9) и ползучести (х = 4 • 10—3). Обозначим эти три случая соответственно 2, 0.9 и 4. Свойства среды, как и ранее, задаются значениями а = —201; в = —208. Максимальное значение нагрузки возьмём равным фтах = 1,35. Результаты расчётов представлены на рисунке 2.8.

По представленным графическим зависимостям можно видеть, что модель пластического течения (2.41) на основе условия пластичности Треска-Сен-Венана приводит к схожим результатам, что и модель (2.40) на основе условия пластичности Мизеса. Различия связаны только с тем, что пластическое течение не приводит к изменениям компонент ефф, рфф тензоров обратимых и необратимых деформа-

вц,10-6 сг

-2

-4

0

д)

е,р, 10-3 сг

0

-4

-8

2---0.9

---- ___- —

-с-

0.2 0.4 0.6 0.8

1 е

2---0.9

в)

Рц,10-6 сг 0.4

0

-0.4 -0.8 -1.2

0 0.2 0.4 0.6 0.8

1 е

2---0.9

1 1

— чЛ

\\

\\

\\ \ \\ N \\.

\ 1

Ртг

0 0.2 0.4 0.6 0.8

1 е

е^,10 3 сг

0.8

-0.8

г)

Рц,10 3 сг 1.4

0.7

-0.7

-1.4

е)

5

1.2

0.8

0.4

2---0.9

1 !

-...... ......: / :

- . «И32 — — "

N ---

е22 \ \ \

|

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

2---0.9

1

/

,Рг* / ..------------- .___

: —" --—__ ___

Ргг \

......Л.....:""" \

......:...... 1 |

0.2 0.4 0.6 0.8

сг - 2---0.9

0.2 0.4 0.6 0.8

Рисунок 2.8 - НДС среды при пластическом потенциале Треска. Обратимые деформации при: а) т = 0,1; б) £ = 1. Необратимые деформации при: в) т = 0,1; г) £ = 1. Касательные компоненты деформаций при: д) т = т2. Интенсивности

напряжений при: е) £ = 1.

4

4

2

в

0

0

т

4

0

0

1

т

4

4

е

0

0

1

т

ций (что хорошо видно на рисунках 2.8.а и 2.8.в), так как согласно модели (2.41) компонента скорости пластического течения равна нулю. Это приводит к тому, что с течением времени компоненты ефф и рфф принимают значения, значительно меньше других диагональных компонент, в связи с чем они не приводятся на графиках 2.8.б и 2.8.г. Напомним, что в случае пластического потенциала Мизеса (2.40), данные компоненты были практически равны значениям соответствующих компонент ezz и pzz. Это приводит к тому, что значения компонент err и ezz, а также prr и pzz становятся примерно равными по модулю, в то время как в предыдущем случае компоненты err и prr превосходили по модулю значения компонент ezz и pzz практически в два раза.

Также, при использовании данной модели (2.41), выход напряжений на поверхность нагружения произойдёт раньше, чем при использовании модели (2.40) при равных значениях параметров, что связано с разницей между мерами напряжений S и £. Соответственно, в текущем случае пластичность распространится на большую область и скорость пластических деформаций также будет выше.

2.3.7 Об учёте упрочнения при пластическом течении

Рассмотрим деформирование упрочняющейся среды. Для этого воспользуемся соотношениями (2.37) для задания скоростей пластического течения

1 Н — к 3

4 = (т- - Р), Н = V 2 (т- - Р^- (2.42)

Как и в предыдущем случае рассмотрим деформирование отдельно пластичной (течение) и вязкой (ползучесть) сред, которые обозначим соответственно р1 и сг. Используем следующие параметры материала: а = -201; в = -208; к = 1; ( = 30; с =20; п = 3; х = 2 • 10-3. Наряду с ними рассмотрим также задачи с совместным учётом пластичности и ползучести при данных значениях параметров, с повышенным влиянием ползучести (х = 4 • 10-3), а также с более выраженным упрочнением (с = 50). Обозначим эти три случая соответственно 2, 4 и 50. Максимальное значение градиента давления задавалось равным фтах = 1,45. Результаты расчётов для приведённых значений параметров представлены на рисунке 2.9.

Как видно из представленных графиков, введение в рассмотрение упрочнения материала приводит к сокращению уровня накопленных обратимых и необра-

о -2 -4

2----50

вц,10-4 сг

3Г2

2----50

1.6

0 0.2 0.4 0.6 0.8

в)

Pij, 10-6cr - 2 -

i е

1.6

^n^Ji^U^^Tl... .....

0.2 0.4 0.6

0.8

1 т

г)

50

0.8

0

-0.8

-1.6 0

д)

h Pl 1.2

! /

......

\\

W

::::::::: \ i ¡ i ¡ i ¡ i ¡ i N

Pij, 10-4 cr 1.6

■50

pфф

prr

Pzz

0.2 0.4 0.6 0.8

2----50